Đang tải... (xem toàn văn)
Chủ đề 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – ĐỊNH LÝ VIÉT. Dạng 1: Chứng minh phương trình có nghiệm, vô nghiệm. Bài 1: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm. 1) x2 – 2(m 1)x – 3 – m = 0 ; 2) x2 + (m + 1)x + m = 0 ; 3) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0 ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = 0 ; 5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0 ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = 0 ; 7) x2 – 2mx – m2 – 1 = 0 ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – 3 + m = 0 Bài 2: a) Chứng minh rằng với a, b , c là các số thực thì phương trình sau luôn có nghiệm: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0 b) Chứng minh rằng với ba số thức a, b , c phân biệt thì phương trình sau có hai nghiệm phân biết: c) Chứng minh rằng phương trình: c2x2 + (a2 – b2 – c2)x + b2 = 0 vô nghiệm với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. d) Chứng minh rằng phương trình bậc hai: (a + b)2x2 – (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt. Bài 3: a) Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình bậc hai sau đây có nghiệm: ax2 + 2bx + c = 0 (1) bx2 + 2cx + a = 0 (2) cx2 + 2ax + b = 0 (3) b) Cho bốn phương trình (ẩn x) sau: x2 + 2ax + 4b2 = 0 (1) x2 2bx + 4a2 = 0 (2) x2 4ax + b2 = 0 (3) x2 + 4bx + a2 = 0 (4) Chứng minh rằng trong các phương trình trên có ít nhất 2 phương trình có nghiệm. c) Cho 3 phương trình (ẩn x sau): với a, b, c là các số dương cho trước. Chứng minh rằng trong các phương trình trên có ít nhất một phương trình có nghiệm. Bài 4: a) Cho phương trình ax2 + bx + c = 0. Biết a ≠ 0 và 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm. b) Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có hai nghiệm nếu một trong hai điều kiện sau được thoả mãn: a(a + 2b + 4c) < 0 ; 5a + 3b + 2c = 0. Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phương trình bậc hai nhờ nghiệm của phương trình bậc hai cho trước. Bài 1: Gọi x1 ; x2 là các nghiệm của phương trình: x2 – 3x – 7 = 0. Tính: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là . Bài 2: Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình: 5x2 – 3x – 1 = 0. Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau: Bài 3: a) Gọi p và q là nghiệm của phương trình bậc hai: 3x2 + 7x + 4 = 0. Không giải phương trình hãy thành lập phương trình bậc hai với hệ số bằng số mà các nghiệm của nó là . b) Lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm là . Bài 4: Cho phương trình x2 – 2(m 1)x – m = 0. a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm x1 ; x2 với mọi m. b) Với m ≠ 0, lập phương trình ẩn y thoả mãn . Bài 5: Không giải phương trình 3x2 + 5x – 6 = 0. Hãy tính giá trị các biểu thức sau: Bài 6: Cho phương trình 2x2 – 4x – 10 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2. Không giải phương trình hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 – x1 Bài 7: Cho phương trình 2x2 – 3x – 1 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2. Hãy thiết
BI TP TT 2017 (NGY NP BI 12/02/2017) PHN I: I S Ch 1: PHNG TRèNH BC HAI NH Lí VI-ẫT Dng 1: Chng minh phng trỡnh cú nghim, vụ nghim Bi 1: Chng minh rng cỏc phng trỡnh sau luụn cú nghim 1) x2 2(m - 1)x m = ; 2) x2 + (m + 1)x + m = ; 3) x2 (2m 3)x + m2 3m = ; 4) x2 + 2(m + 2)x 4m 12 = ; 2 5) x (2m + 3)x + m + 3m + = ; 6) x 2x (m 1)(m 3) = ; 7) x2 2mx m2 = ; 8) (m + 1)x2 2(2m 1)x + m = Bi 2: a) Chng minh rng vi a, b , c l cỏc s thc thỡ phng trỡnh sau luụn cú nghim: (x a)(x b) + (x b)(x c) + (x c)(x a) = b) Chng minh rng vi ba s thc a, b , c phõn bit thỡ phng trỡnh sau cú hai nghim phõn 1 + + = (ẩn x) bit: xa xb xc c) Chng minh rng phng trỡnh: c2x2 + (a2 b2 c2)x + b2 = vụ nghim vi a, b, c l di ba cnh ca mt tam giỏc d) Chng minh rng phng trỡnh bc hai: (a + b)2x2 (a b)(a2 b2)x 2ab(a2 + b2) = luụn cú hai nghim phõn bit Bi 3: a) Chng minh rng ớt nht mt cỏc phng trỡnh bc hai sau õy cú nghim: ax2 + 2bx + c = (1) bx2 + 2cx + a = (2) cx2 + 2ax + b = (3) b) Cho bn phng trỡnh (n x) sau: x2 + 2ax + 4b2 = (1) x2 - 2bx + 4a2 = (2) x2 - 4ax + b2 = (3) 2 x + 4bx + a = (4) Chng minh rng cỏc phng trỡnh trờn cú ớt nht phng trỡnh cú nghim c) Cho phng trỡnh (n x sau): 2b b + c ax x+ =0 (1) b+c c+a 2c c + a bx x+ =0 (2) c+a a+b 2a a + b cx x+ =0 (3) a+b b+c vi a, b, c l cỏc s dng cho trc Chng minh rng cỏc phng trỡnh trờn cú ớt nht mt phng trỡnh cú nghim Bi 4: a) Cho phng trỡnh ax2 + bx + c = Bit a v 5a + 4b + 6c = 0, chng minh rng phng trỡnh ó cho cú hai nghim b) Chng minh rng phng trỡnh ax2 + bx + c = ( a 0) cú hai nghim nu mt hai iu kin sau c tho món: a(a + 2b + 4c) < ; 5a + 3b + 2c = Dng 2: Tớnh giỏ tr ca biu thc i xng, lp phng trỡnh bc hai nh nghim ca phng trỡnh bc hai cho trc Bi 1: Gi x1 ; x2 l cỏc nghim ca phng trỡnh: x2 3x = Tớnh: 2 A = x1 + x ; B = x1 x ; C= 1 + ; x1 x D = ( 3x1 + x )( 3x + x1 ) ; E = x1 + x ; F = x1 + x Lp phng trỡnh bc hai cú cỏc nghim l 1 x1 x2 Bi 2: Gi x1 ; x2 l hai nghim ca phng trỡnh: 5x2 3x = Khụng gii phng trỡnh, tớnh giỏ tr ca cỏc biu thc sau: 3 A = 2x1 3x1 x + 2x 3x1x ; x x1 x x B= + + + ; x x + x1 x1 + x1 x 2 3x + 5x1x + 3x C= 2 4x1x + 4x1 x Bi 3: a) Gi p v q l nghim ca phng trỡnh bc hai: 3x + 7x + = Khụng gii phng trỡnh hóy thnh lp phng trỡnh bc hai vi h s bng s m cỏc nghim ca nú l b) Lp phng trỡnh bc hai cú nghim l p q q p 1 10 72 10 + Bi 4: Cho phng trỡnh x2 2(m -1)x m = a) Chng minh rng phng trỡnh luụn luụn cú hai nghim x1 ; x2 vi mi m 1 y = x + b) Vi m 0, lp phng trỡnh n y tho y1 = x1 + x2 x1 Bi 5: Khụng gii phng trỡnh 3x2 + 5x = Hóy tớnh giỏ tr cỏc biu thc sau: A = ( 3x1 2x )( 3x 2x1 ) ; B= x1 x + ; x x1 C = x1 x2 ; D= x1 + x + + x1 x2 Bi 6: Cho phng trỡnh 2x2 4x 10 = cú hai nghim x1 ; x2 Khụng gii phng trỡnh hóy thit lp phng trỡnh n y cú hai nghim y1 ; y2 tho món: y1 = 2x1 x2 ; y2 = 2x2 x1 Bi 7: Cho phng trỡnh 2x2 3x = cú hai nghim x1 ; x2 Hóy thit lp phng trỡnh n y cú hai nghim y1 ; y2 tho món: x1 y = x2 y = x + a) b) x2 y = x + y = x Bi 8: Cho phng trỡnh x + x = cú hai nghim x1 ; x2 Hóy thit lp phng trỡnh n y cú hai nghim y1 ; y2 tho món: x1 x y + y = + y + y = x + x 2 x x1 a) ; b) y y y + y 2 + 5x + 5x = + = 3x + 3x y y Bi 9: Cho phng trỡnh 2x2 + 4ax a = (a tham s, a 0) cú hai nghim x1 ; x2 Hóy lp phng trỡnh n y cú hai nghim y1 ; y2 tho món: 1 1 y1 + y = + + = x1 + x x1 x y1 y Dng 3: Tỡm iu kin ca tham s phng trỡnh cú nghim cú nghim kộp,vụ nghim Bi 1: a) Cho phng trỡnh (m 1)x2 + 2(m 1)x m = (n x) Xỏc nh m phng trỡnh cú nghim kộp Tớnh nghim kộp ny b) Cho phng trỡnh (2m 1)x2 2(m + 4)x + 5m + = Tỡm m phng trỡnh cú nghim a) Cho phng trỡnh: (m 1)x2 2mx + m = - Tỡm iu kin ca m phng trỡnh cú nghim - Tỡm iu kin ca m phng trỡnh cú nghim kộp Tớnh nghim kộp ú b) Cho phng trỡnh: (a 3)x2 2(a 1)x + a = Tỡm a phng trỡnh cú hai nghim phõn bit 4x 2( 2m 1) x + m2 m = 2 x + 2x + x +1 Xỏc nh m phng trỡnh cú ớt nht mt nghim b) Cho phng trỡnh: (m2 + m 2)(x2 + 4)2 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = Xỏc nh m phng trỡnh cú ớt nht mt nghim Bi 2:a) Cho phng trỡnh: Dng 4: Xỏc nh tham s cỏc nghim ca phng trỡnh ax2 + bx + c = tho iu kin cho trc Bi 1: Cho phng trỡnh: x 2(m + 1)x + 4m = 1) Xỏc nh m phng trỡnh cú nghim kộp Tỡm nghim kộp ú 2) Xỏc nh m phng trỡnh cú mt nghim bng Tớnh nghim cũn li 3) Vi iu kin no ca m thỡ phng trỡnh cú hai nghim cựng du (trỏi du) 4) Vi iu kin no ca m thỡ phng trỡnh cú hai nghim cựng dng (cựng õm) 5) nh m phng trỡnh cú hai nghim cho nghim ny gp ụi nghim 6) nh m phng trỡnh cú hai nghim x1 ; x2 tho 2x1 x2 = - 7) nh m phng trỡnh cú hai nghim x1 ; x2 cho A = 2x12 + 2x22 x1x2 nhn giỏ tr nh nht Bi 2: nh m phng trỡnh cú nghim tho h thc ó ch ra: a) (m + 1)x2 2(m + 1)x + m = 0; (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 b) mx (m 4)x + 2m = 0; 2(x12 + x22) = 5x1x2 c) (m 1)x2 2mx + m + = 0; 4(x12 + x22) = 5x12x22 d) x2 (2m + 1)x + m2 + = 0; 3x1x2 5(x1 + x2) + = Bi 3: nh m phng trỡnh cú nghim tho h thc ó ch ra: a) x2 + 2mx 3m = ; 2x1 3x2 = b) x2 4mx + 4m2 m = ; x1 = 3x2 c) mx2 + 2mx + m = ; 2x1 + x2 + = 2 d) x (3m 1)x + 2m m = ; x1 = x22 e) x2 + (2m 8)x + 8m3 = ; x1 = x22 f) x2 4x + m2 + 3m = ; x12 + x2 = Bi 4: a) Cho phng trỡnh: (m + 2)x2 (2m 1)x + m = Tỡm iu kin ca m phng trỡnh cú hai nghim phõn bit x1 ; x2 cho nghim ny gp ụi nghim b) Cho phng trỡnh bc hai: x2 mx + m = Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim x ; x2 cho biu thc R = 2x1x + t giỏ tr ln nht Tỡm giỏ tr ln nht ú x1 + x + 2(1 + x1x ) c) nh m hiu hai nghim ca phng trỡnh sau õy bng mx2 (m + 3)x + 2m + = Bi 5: Cho phng trỡnh: ax + bx + c = (a 0) Chng minh rng iu kin cn v phng trỡnh cú hai nghim m nghim ny gp ụi nghim l 9ac = 2b2 Bi 6: Cho phng trỡnh bc hai: ax2 + bx + c = (a 0) Chng minh rng iu kin cn v phng trỡnh cú hai nghim m nghim ny gp k ln nghim (k > 0) l : kb2 = (k + 1)2.ac Ch 2: GII BI TON BNG CCH LP PHNG TRèNH H PHNG TRèNH Bi 1: Mt ụtụ i t A n B mt thi gian nht nh Nu xe chy vi tc 35 km/h thỡ n chm mt gi Nu xe chy vi tc 50 km/h thỡ n sm hn gi Tớnh quóng ng AB v thi gian d nh i lỳc u Bi 2: Mt ngi i xe mỏy t A n B cỏch 120 km vi tc d nh trc Sau c quóng ng AB ngi ú tng tc thờm 10 km/h trờn quóng ng cũn li Tỡm tc d nh v thi gian xe ln bỏnh trờn ng, bit rng ngi ú n B sm hn d nh 24 phỳt Bi 3: Mt canụ xuụi t bn sụng A n bn sụng B vi tc 30 km/h, sau ú li ngc t B tr v A Thi gian xuụi ớt hn thi gian i ngc gi 20 phỳt Tớnh khong cỏch gia hai bn A v B Bit rng tc dũng nc l km/h v tc riờng ca canụ lỳc xuụi v lỳc ngc bng Bi 4: Mt canụ xuụi mt khỳc sụng di 90 km ri ngc v 36 km Bit thi gian xuụi dũng sụng nhiu hn thi gian ngc dũng l gi v tc xuụi dũng hn tc ngc dũng l km/h Hi tc canụ lỳc xuụi v lỳc ngc dũng Bi 5: Hai ngi th cựng lm chung mt cụng vic gi 12 phỳt thỡ xong Nu ngi th nht lm gi v ngi th hai lm gi thỡ c hai ngi ch lm c cụng vic Hi mt ngi lm cụng vic ú my gi thỡ xong? Bi 6:Nu vũi A chy gi v vũi B chy gi thỡ c vũi B chy gi 30 phỳt thỡ c h Nu vũi A chy gi v h Hi nu chy mt mỡnh mI vũi chy bao lõu mi y h Bi 7: Hai vũi nc cựng chy vo mt b thỡ sau gi y b Nu mi vũi chy mt mỡnh cho y b thỡ vũi II cn nhiu thi gian hn vũi I l gi Tớnh thi gian mi vũi chy mt mỡnh y b? Bi 8: Trong thỏng giờng hai t sn xut c 720 chi tit mỏy Trong thỏng hai, t I vt mc 15%, t II vt mc 12% nờn sn xut c 819 chi tit mỏy Tớnh xem thỏng giờng mi t sn xut c bao nhiờu chi tit mỏy? Bi 9: Nm ngoỏi tng s dõn ca hai tnh A v B l triu ngi Dõn s tnh A nm tng 1,2%, cũn tnh B tng 1,1% Tng s dõn ca c hai tnh nm l 045 000 ngi Tớnh s dõn ca mi tnh nm ngoỏi v nm nay? Bi 10: Mt khu hỡnh ch nht cú chu vi l 280 m Ngi ta lm li i xung quanh (thuc t vn) rng m Tớnh kớch thc ca vn, bit rng t cũn li trng trt l 4256 m2 Bi 11: Cho mt hỡnh ch nht Nu tng chiu di lờn 10 m, tng chiu rng lờn m thỡ din tớch tng 500 m2 Nu gim chiu di 15 m v gim chiu rng m thỡ din tớch gim 600 m2 Tớnh chiu di, chiu rng ban u Bi 12:Cho mt tam giỏc vuụng Nu tng cỏc cnh gúc vuụng lờn cm v cm thỡ din tớch tam giỏc tng 50 cm2 Nu gim c hai cnh i cm thỡ din tớch s gim i 32 cm Tớnh hai cnh gúc vuụng Bi 13: Tỡm mt s t nhiờn cú hai ch s, tng cỏc ch s bng 11, nu i ch hai ch s hng chc v hng n v cho thỡ s ú tng thờm 27 n v Bi 14: Tỡm mt s cú hai ch s, bit rng s ú gp ln ch s hng n v ca nú v nu s cn tỡm chia cho tng cỏc ch s ca nú thỡ c thng l v s d l Bi 15: Nu t s ca mt phõn s c tng gp ụi v mu s thờm thỡ giỏ tr ca phõn s bng Nu t s thờm v mu s tng gp thỡ giỏ tr phõn s bng Tỡm phõn s ú 24 Bi 16:Nu thờm vo t v mu ca mt phõn s thỡ giỏ tr ca phõn s gim Nu bt vo c t v mu, phõn s tng Tỡm phõn s ú PHN II: HèNH HC Bi 1: Cho hai ng trũn (O), (O') ct ti A, B Cỏc tip tuyn ti A ca (O), (O') ct (O'), (O) ln lt ti cỏc im E, F Gi I l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc EAF a) Chng minh t giỏc OAO'I l hỡnh bỡnh hnh v OO'//BI b) Chng minh bn im O, B, I, O' cựng thuc mt ng trũn c) Kộo di AB v phớa B mt on CB = AB Chng minh t giỏc AECF ni tip Bi 2: Cho tam giỏc ABC Hai ng cao BE v CF ct ti H.Gi D l im i xng ca H qua trung im M ca BC a) Chng minh t giỏc ABDC ni tip c mt ng trũn.Xỏc nh tõm O ca ng trũn ú b) ng thng DH ct ng trũn (O) ti im th l I Chng minh rng im A, I, F, H, E cựng nm trờn mt ng trũn Bi 3: Cho hai ng trũn (O) v (O') ct ti A v B Tia OA ct ng trũn (O') ti C, tia O'A ct ng trũn (O) ti D Chng minh rng: a) T giỏc OO'CD ni tip b) T giỏc OBO'C ni tip, t ú suy nm im O, O', B, C, D cựng nm trờn mt ng trũn Bi 4: Cho t giỏc ABCD ni tip na ng trũn ng kớnh AD Hai ng chộo AC v BD ct ti E V EF vuụng gúc AD Gi M l trung im ca DE Chng minh rng: a) Cỏc t giỏc ABEF, DCEF ni tip c b) Tia CA l tia phõn giỏc ca gúc BCF c)* T giỏc BCMF ni tip c Bi 5: T mt im M bờn ngoi ng trũn (O) ta v hai tip tuyn MA, MB vi ng trũn Trờn cung nh AB ly mt im C V CD AB, CE MA, CF MB Gi I l giao im ca AC v DE, K l giao im ca BC v DF Chng minh rng: a) Cỏc t giỏc AECD, BFCD ni tip c b) CD2 = CE CF c)* IK // AB Bi 6:Cho tam giỏc ABC ni tip ng trũn (O) T A v tip tuyn xy vi ng trũn V hai ng cao BD v CE a) Chng minh rng bn im B, C, D, E cựng nm trờn mt ng trũn b) Chng minh rng xy// DE, t ú suy OA DE Bi 7: Cho tam giỏc u ABC ni tip ng trũn (O) Trờn cung nh AB ly mt im M ng thng qua A song song vi BM ct CM ti N a) Chng minh rng tam giỏc AMN l tam giỏc u b) Chng minh rng MA + MB = MC c)* Gi D l giao im ca AB v CM Chng minh rng: 1 + = AM MB MD Bi 8: Cho ba im A, B, C c nh vi B nm gia A v C Mt ng trũn (O) thay i i qua B v C V ng kớnh MN vuụng gúc vi BC ti D ( M nm trờn cung nh BC).Tia AN ct ng trũn (O) Ti mt im th hai l F Hai dõy BC v MF ct ti E Chng minh rng: a) T giỏc DEFN ni tip c b) AD AE = AF AN c) ng thng MF i qua mt im c nh Bi 9:T mt im A bờn ngoi ng trũn ( O; R) v hai tip tuyn AB, AC vi ng trũn Gi M l trung im ca AB Tia CM ct ng trũn ti im N Tia AN ct ng trũn ti im D a) Chng minh rng MB2 = MC MN b) Chng minh rng AB// CD c) Tỡm iu kin ca im A cho t giỏc ABDC l hỡnh thoi Tớnh din tớch c hỡnh thoi ú Bi 10: Cho ng trũn (O) v mt dõy AB Gi M l im chớnh gia ca cung nh AB V ng kớnh MN Ct AB ti I Gi D l mt im thuc dõy AB Tia MD ct ng trũn (O) ti C a) Chng minh rng t giỏc CDIN ni tip c b) Chng minh rng tớch MC MD cú giỏ tr khụng i D di ng trờn dõy AB c) Gi O' l tõm ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ACD Chng minh rng MAB = AO'D d) Chng minh rng ba im A, O', N thng hng v MA l tip tuyn ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ACD Bi 11: Cho tam giỏc ABC vuụng A ( AB < AC), ng cao AH Trờn on thng HC ly D cho HD = HB V CE vuụng gúc vi AD ( E AD) a) Chng minh rng AHEC l t giỏc ni tip b) Chng minh AB l tip tuyn ca ng trũn ngoi tip t giỏc AHEC c) Chng minh rng CH l tia phõn giỏc ca gúc ACE d) Tớnh din tớch hỡnh gii hn bi cỏc on thng CA CH v cung nh AH ca ng trũn núi trờn bit AC= 6cm, ACB = 300 Bi 12: Cho ng trũn tõm O cú ng kớnh BC Gi A l Mt im thuc cung BC ( AB < AC), D l im thuc bỏn kớnh OC ng vuụng gúc vi BC ti D ct AC E, ct tia BA F a) Chng minh rng ADCF l t giỏc ni tip b) Gi M l trung im ca EF Chng minh rng AME = ACB c) Chng minh rng AM l tip tuyn ca ng trũn (O) d) Tớnh din tớch hỡnh gii hn bi cỏc on thng BC, BA v cung nh AC ca ng trũn (O) bit BC= 8cm, ABC = 600 Bi 13: Cho na ng trũn tõm O, ng kớnh AB = 2R im M thuc na ng trũn V ng trũn tõm M tip xỳc vi AB ( H l tip im) K cỏc tip tuyn AC, BD vi ng trũn (M) ( C, D l tip im) a) Chng minh rng C, M, D thng hng b) Chng minh rng CD l tip tuyn ca ng trũn (O) c) Tớnh tng AC + BD theo R d) Tớnh din tớch t giỏc ABDC bit AOM = 600 Bi 14: Cho tam giỏc vuụng cõn ABC (A = 900), trung im I ca cnh BC Xột mt im D trờn tia AC V ng trũn (O) tip xỳc vi cỏc cnh AB, BD, DA ti cỏc im tng ng M, N, P a) Chng minh rng im B, M, O, I, N nm trờn mt ng trũn b) Chng minh rng ba im N, I, P thng hng c) Gi giao im ca tia BO vi MN, NP ln lt l H, K Tam giỏc HNK l tam giỏc gỡ, ti sao? d) Tỡm hp im K im D thay i v trớ trờn tia AC PHN B SUNG (TUN PHNG) Bi 1: (4,0 im) Cho phng trỡnh x 2mx + 3m = (1) Xỏc nh m phng trỡnh (1) cú nghim phõn bit Khi (1) cú nghim phõn bit x1 , x2 , x3 , x4 , tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: A = x14 + x24 + x34 + x44 x1 x2 x3 x4 Bi 2: (4,0 im) ( x + 1) + ( y ) = 10 Gii h phng trỡnh: 2 ( x + x + ) ( y y + ) = 20 1 1 + + + + 2 Tớnh tng S = x x + x x + 15 x 12 x + 35 x 2020 x + 1020099 x = 2011 Bi 3: (2,0 im): Tỡm cỏc s nguyờn x, y tha ng thc: x + y + 10 xy = x y Bi 4: (6,0 im): Cho ng trũn (O ; R), trờn ú ly mt im c nh A v v ng trũn (A ; R) Ly im H di ng trờn (A ; R), cỏt tuyn ca (O) i qua A v H ct (O) ti im th hai K Dng trung trc ca on HK ct (O) ti B v C Chng t rng H l trc tõm ca tam giỏc ABC Tớnh s o gúc A ca tam giỏc ABC Bi 5: (2,0 im): Mt hỡnh trũn bỏn kớnh cm ln ngoi mt tam giỏc vuụng cú cỏc cnh gúc vuụng l cm v cm Hỡnh trũn ln luụn tip xỳc vi mt cỏc cnh ca tam giỏc v ti mi nh ca tam giỏc, hỡnh trũn luụn gi tip xỳc vi nh ú ln t mt cnh sang cnh k tip Khi hỡnh trũn ln mt vũng y trờn cỏc cnh ca tam giỏc thỡ qu o ca tõm hỡnh trũn ú cú di bng bao nhiờu ? Bi 6: (2,0 im): Ngi ta thit lp dóy cỏc hỡnh ng giỏc bng cỏc chm im c biu din bi hỡnh ng giỏc u tiờn nh hỡnh v sau Hi ng giỏc th 25 gm bao nhiờu chm im ? Tỡm cụng thc tớnh un vi un l s chm im to nờn hỡnh ng giỏc th n : Cõu im Ni dung i (4 im) 1.1 (2 ) x 2mx + 3m = (1) t t = x , phng trỡnh (1) tr thnh: t 2mt + 3m = (2) phng trỡnh (1) cú nghim phõn bit thỡ cn v l phng trỡnh (2) cú nghim dng phõn bit 0,5 Ta cú ' = m 3m + = m ữ + > , m R 0,5 Do ú (2) luụn luụn cú nghim phõn bit (2) cú nghim dng phõn bit t1 , t2 , cn v l: P = t1t2 = 3m > m> S = t1 + t2 = 2m > Vy phng trỡnh (1) cú nghim phõn bit v ch khi: m > 1.2 (2 ) 1,0 Vi iu kin: m > , phng trỡnh (2) cú nghim dng phõn bit t1 , t2 , nờn phng trỡnh (1) cú nghim phõn bit: x1 = t1 , x2 = t1 , x3 = t2 , x4 = t2 , suy ra: x2 = x1 , x4 = x3 v x12 = x22 = t1 , x32 = x42 = t2 , ú: A = x14 + x24 + x34 + x44 x1 x2 x3 x4 = 2t12 + 2t22 6t1t2 A = ( t1 + t2 ) 5t1t2 = 4m ( 3m ) = ( 4m 15m + 20 ) 15 95 95 A = m ữ + 64 95 15 Vy Amin = v ch m = > (tha iu kin) 8 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 (4 im) 2.1 (2 ) 2 ( x + 1) + ( y ) = 10 ( x + 1) + ( y ) = 10 2 2 ( x + x + ) ( y y + ) = 20 ( x + 1) + ( y ) + = 20 t u = x + 1; v = y , h phng trỡnh tr thnh: 0,25 u + v = 10 u + v = 10 u + v = 10 2 2 2 u v + u + v = 19 u v = ( u + 1) ( v + 1) = 20 Do ú u , v l hai nghim ca phng trỡnh t 10t + = t1 = 1; t2 = 0,5 u = u = u = u = Suy ra: hoc hoc v = v = v = v =1 0,5 Gii cỏc h ( x + = 1; y = 3) , ( x + = 1; y = 3) , ( x + = 1; y = 3) , ( x + = 1; y = 3) ( x + = 3; y = 1) , ( x + = 3; y = 1) , ( x + = 3; y = 1) , ( x + = 3; y = 1) Ta cú cỏc nghim ca h phng trỡnh ó cho l: ( x ; y ) = ( 0;5) , ( 0; 1) , ( 2;5 ) , ( 2; 1) , ( 2;3 ) , ( 2;1) , ( 4;3 ) , ( 4;1) 2.2 (2 ) S= + + ( x 1) ( x 3) ( x 3) ( x 5) ( x 5) ( x ) + + 0,75 ( x 1009 ) ( x 1011) iu kin S cú ngha: x 1,3,5, ,1009,1011 hay: x 2k 1, k Z, k 506 0,5 0,25 1 1 1 1 1 S= + + + + + ữ x x x x x x x 1007 x 1009 x 1009 x 1011 1 505 S= ữ= x 1011 x ( x 1) ( x 1011) Khi x = 2011 (tha iu kin) thỡ S = 0,5 101 402000 0,25 0,5 (2 im) x + y + 10 xy = x y ( + y ) x + 10 yx + y = , õy l phng trỡnh bc hai theo n x v tham s l y vỡ + y > 0, y R ' = 25 y ( + y ) y = y ( 24 y ) phng trỡnh cú nghim nguyờn thỡ 24 y v 24 y = k ( k Z) 24 y 0, y Z y = 0; y = 1; y = 2; y = Vi y = ta cú x = nờn (0 ; 0) l mt nghim ca phng trỡnh Vi y = 1; y = thỡ ' = 22 v ' = 6, khụng phi l cỏc s chớnh phng Vi y = ta cú ' = 4.16 = 82 ' = , ta cú nghim ca phng trỡnh: 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 10 y ( y = ) Khi y = phng trỡnh cú mt nghim nguyờn x = Khi y = phng trỡnh cú mt nghim nguyờn x = x= Vy phng trỡnh ó cho cú nghim: ( x = 0; y = ) , ( x = 2; y = ) , ( x = 2; y = ) 0,5 (6,0 im) 4.1 (2 ) + Ta cú: Hai tam giỏc BHC v BKC i xng vi qua BC, nờn chỳng bng nhau, suy ra: ã ã BHC = BKC V tia CH ct AB ti E v tia BH ct AC ti D ã ã Ta cú: BAK (gúc ni tip cựng chn = BCK ã ã ằ ) v BCH cung BK (CI l ng cao = BCK ca tam giỏc cõn HCK, va l phõn giỏc gúc C) ã ã Suy ra: BAK = BCE 4.2 (4 ) (2 ) 0,25 0,25 0,5 0,5 ã ã ã M BAK + ãABC = 900 nờn BCE + ABC = 900 ã Do ú: BEC = 900 , nờn CE l ng cao th hai ca tam giỏc ABC 0,5 H l giao im ca hai ng cao AI v CE ca tam giỏc ABC, vy H l trc tõm ca tam giỏc ABC + Trng hp H ng trũn (O): K ng kớnh FG ca (O) vuụng gúc vi dõy BC ti M, thỡ M l trung 0,25 im ca BC Trong ng trũn (O) hai dõy AK v FG song song nờn chn hai cung ằ = ằAG KF = AG (1) 0,25 KF T giỏc OHAG cú OG // = AH = R nờn OHAG l hỡnh bỡnh hnh, suy 0,25 ra: AG = OH (2) 0,25 T (1) v (2) suy KF = HO, nờn HKFO l hỡnh thang cõn M BC l trung trc ca HK nờn cng l trung trc ca OF, nờn 0,5 R OM ã ã OM = OF = cos FOC = = FOC = 60 2 OC 1ã ã ã = BOC = FOC = 600 (gúc ni tip v gúc tõm cựng chn cung M BAC 0,5 BC) (1 ) + Trng hp H ngoi (O) nhng trờn na ng trũn (A)cha im O, ng kớnh PQ l tip tuyn ca (O) ti A Khi ú tam giỏc ABC cú gúc nhn v mt gúc tự (gúc C tự chng hn) ã ã ã + ãAHB = 900 , HBI = IBK Ta cú: HBI (i xng ã ã qua BI), IBK (gúc ni tip cựng = CAK ã chn cung KC), nờn CAH + ãAHB = 900 , suy ra: BH AC ti D Vy H l trc tõm ca tam giỏc ABC ã Chng minh tng t trờn, ta cú M l trung im ca OF v BAC = 600 0,25 0,25 0,5 (1 ) ã Vy BAC = 1200 + Trng hp H trờn na ng trũn (A) ng kớnh PQ v khụng cha O: Khi ú A l gúc tự Ta cng chng minh tng t H l trc tõm tam giỏc ABC v M l trung im ca bỏn kớnh OF ã ã Suy MOC = 600 BOC = 1200 ã ã M BFC = BOC = 1200 (2 gúc i xng qua BC) ã ã Nhng BAC (gúc ni tip cựng chn = BFC cung BKC 0,25 0,25 0,25 0,25 (2,0 im) + Qu o ca tõm hỡnh trũn hỡnh trũn ln mt vũng trờn cỏc cnh ca tam giỏc ABC gm on thng cú di bng cnh ca tam giỏc vuụng ni vi bi cỏc cung trũn bỏn kớnh bng cm, cỏc cung trũn cú s o ln lt l: 0 90 , 180 , 180 , ú tng s o ca cung trũn l: 900 + 3600 ( + ) = 3600 (vỡ + = 900 ) Ta cú di cnh huyn l 62 + 82 = 100 = 10 cm Vy di ca qu o ca tõm hỡnh trũn l: + + 10 + 0,5 0,5 360 r = 24 + (cm) (vỡ r = cm) 180 1,0 (2,0 im) Gi un l s chm im to nờn ng giỏc th n Ta cú: 0,5 n1 = 1; n2 = 22 + = 5; u3 = 32 + + = 12; n4 = + + + 1; Tng quỏt: un = n + ( n 1) + ( n ) + + + + = n + ( n 1) n Chng minh: Hỡnh ng giỏc th n gm: + Mt hỡnh vuụng cú n hng chm im, mi hng cú n chm im, nờn hỡnh vuụng ú cú n chm im + Mt hỡnh tam giỏc cú cnh ỏy trựng vi cnh trờn ca hỡnh vuụng, cũn li l n hng, mi hng cú s chm im gim dn nh sau: n 1, n 2, , 3, 2, Do ú hỡnh tam giỏc cú s chm im: S n = ( n 1) + ( n ) + ( n 3) + + Sn = + + + + 0,5 hay : + + ( n ) + ( n ) + ( n 1) Suy ra: 2Sn = ( n 1) n S n = ( n 1) n Vy: un = n + ( n 1) n 0,5 p dng: u25 = 252 + 12.25 = 925 0,5 Bi (2,5 im) Gii cỏc phng trỡnh sau: 3x2 + 4x + 10 = 14 x 4 x x 16 + x + + x + y y = y x4 - 2y4 x2y2 4x2 -7y2 - = 0; (vi x ; y nguyờn) Bi 2: (2.5 im) Tỡm s t nhiờn n n + 18 v n 41 l hai s chớnh phng Cn bc hai ca 64 cú th vit di dng nh sau: 64 = + Hi cú tn ti hay khụng cỏc s cú hai ch s cú th vit cn bc hai ca chỳng di dng nh trờn v l mt s nguyờn? Hóy ch ton b cỏc s ú Bi 3: (3,25 im) Cho ng trũn (O; R) v ng thng d khụng i qua O ct ng trũn (O) ti hai im A v B T mt im M tựy ý trờn ng thng d v ngoi ng trũn (O) v hai tip tuyn MN v MP vi ng trũn (O), (P, N l hai tip im) 2 a) Chng minh rng MN = MP = MA.MB b) Dng v trớ im M trờn ng thng d cho t giỏc MNOP l hỡnh vuụng c) Chng minh rng tõm ca ng trũn i qua im M, N, P luụn chy trờn ng thng c nh M di ng trờn ng thng d Bi 4: (1,5 im) Trờn mt phng ta xOy ly im P(0; 1), v ng trũn (K) cú ng kớnh OP Trờn trc honh ly ba im M(a; 0); N(b; 0), Q(c; 0) Ni PM; PN; PQ ln lt ct ng trũn (K) ti A; B ; C Tớnh di cỏc cnh ca tam giỏc ABC theo a; b; c Bi 5: (0,75 im) Cho a, b, c > 19b - a 19c3 - b 19a - c3 + + 3(a + b + c) 2 Chng minh rng: ab + 5b cb + 5c ac + 5a Cõu 1: Gii phng trỡnh: a) x + x + x x + = 2 Cõu 2: Cho hm s f ( x ) = ( x3 + x 5) 2011 b) x 3x + = x + 2012 Tớnh f ( x ) vi x = 3 + 17 + 3 17 Cõu 3: Cho hỡnh thoi ABCD, ng cao AH Cho bit AC = m; BD = n v AH = h Chng minh rng: 1 = 2+ 2 h m n Cõu 4: Cho hai ng trũn (O1; 5cm) v (O2; 2cm) nm ngoi Mt tip tuyn chung ngoi AB ca hai ng trũn ( A (O1 ); B (O2 ) ) v mt tip tuyn chung CD ca hai ng trũn ( C (O1 ); D (O2 ) ) Tớnh di on ni tõm O1O2 bit AB = 1,5CD Cõu 5: Cú tn ti hay khụng s nguyờn dng k cho 2k + 3k l s chớnh phng? Cõu 6:a) Cho a, b v c l cỏc s thc khụng õm tha a + b + c = Chng minh rng ab bc ca + + c +1 a +1 b +1 b) Cho hỡnh vuụng ABCD v 2013 ng thng tha ng thi hai iu kin sau: - Mi ng thng u ct hai cnh i ca hỡnh vuụng; - Mi ng thng u chia hỡnh vuụng thnh phn cú t s din tớch l 0,5 Chng minh rng 2013 ng thng trờn cú ớt nht 504 ng thng ng qui Cõu Phn a Ni dung trỡnh by KX: x (1) 2 Nhõn c hai v ca PT vi ri bin i PT v dng ( ) 2x +1 + ( 2x ) =4 2x +1 + 2x = Ta cú x + + x x + + x = Du = xy v ch ( )( ) x + x x (2) T (1) v (2) ta cú nghim ca PT l: x b 27 x 3x + = x ữ + >0 t t = x x = t + Vỡ 3 nờn t > thay 3 x = t + vo PT ta cú ( t + ) ( t + ) + = 9t ( t 1) (t + 2t + 3t + 5t + ) = (2) Vỡ t > nờn ( t + 2t + 3t + 5t + ) > Do ú PT (2) cú nghim nht t = x = 1,5 t m = 3 + 17 ; n = 3 17 ta cú: x = m + n v m.n = - x = m + n x = ( m + n ) = m3 + n3 + 3mn ( m + n ) = x x3 + x = Do ú: f ( x ) = ( x3 + x ) 2011 + 2012 = ( ) 2011 + 2012 = 2013 Vy f ( x ) = 2013 vi x = 3 + 17 + 3 17 A I D O B H K C Gi O l giao im hai ng chộo ca hỡnh thoi ta cú AC BD v m n ; OB = OD = Qua O k OI AB , ng thng OI ct CD ti K 2 h ta cú IK = AH = h v OI = OA = OC = p dng HTL vo tam giỏc AOB vuụng ti O ta cú: 1 = + 1 1 1 2 = + m n = + 2 2 ú h OI OA OB h m n ữ ữ ữ A 1,5 B I D O1 O2 C E K O2I O1A v O2E O1C ta cú O2I = AB; O2E = CD; IA = O2B = 2cm => IO1 = cm; CE = O2D = 2cm => O1E = 7cm, t CD = x thỡ O2E = x cũn IO2 = AB = 1,5x p dng nh lý Pitago vo cỏc tam giỏc vuụng O1IO2 v O1EO2 ta cú: O1O2 = IO12 + IO2 = 32 + ( 1,5 x ) O1O2 = O1 E + O2 E = + x (1) (2) T (1) v (2) suy 32 + ( 1,5 x ) = + x x = 32 O1O2 = 9cm 1,5 Hc sinh phỏt biu v CM b sau: (nu HS ch phỏt biu b khụng CM cho 0,25) B1: S chớnh phng khụng th cú tn cựng l 2; 3; 7; B2: S chớnh phng chia cho khụng th cú s d l Gi s tn ti k N * cho 2k + 3k l s chớnh phng t k = 4t + r vi t N ; r { 0;1; 2;3} thỡ s ang xột cú dng A = 2k + 3k = 24 t + r + 34t + r = 16t.2r + 81t.3r Xột trng hp cú th xy ra: - Vi r = thỡ t N * v s A = 16t + 81t cú tn cựng l ( A khụng l s chớnh phng theo B 1) (1) - Vi r = thỡ s A = 16t.4 + 81t.9 cú tn cựng l (A khụng l s chớnh phng theo B 1) (2) - Vi r = thỡ s A = 16t.2 + 81t.3 chia d (A khụng l s chớnh phng theo B 2) (3) - Vi r = thỡ s A = 16t.8 + 81t.27 chia d (A khụng l s chớnh phng theo B 2) (4) T (1), (2), (3), (4) ta thy khụng tn ti s nguyờn dng k s 2k + 3k l s chớnh phng a 2,5 Hc sinh phỏt biu v CM bt ng thc ph sau: - Vi x; y l cỏc s thc dng bt k ta cú: 11 + ữ (1) ng thc x+ y x y xy v ch x = y Tht vy: Vỡ x; y l cỏc s thc dng theo BT Cụsi ta cú 11 1 1 + ữ + ữ xy =4 x+ y x y xy x y ( x + y) - p dng BT (1) ta cú: ab ab ab 1 = + ữ (1 ) c +1 ( c + a) + ( c + b) c+a c+b bc bc 1 ca ca 1 + + ữ(2 ); ữ (3 ) a +1 a + b a + c b +1 b + a b + c Tng t Cng v vi v ca ba ng thc trờn ta c: ab bc ca ab + ca ab + cb cb + ca a + b + c + + + + = ữ= c +1 a +1 b +1 b + c c+a a+b 4 ng thc xy v ch a = b = c = b A A1 E B H M I J N K D B1 F C Gi MN; EF l ng ni trung im hai cnh i ca hỡnh vuụng (hỡnh v) Gi s ng thng d1 ct cnh AB ti A ct MN ti I v ct cnh CD ti B1 Ta cú cỏc t giỏc AA1B1D v BCB1A1 l hỡnh thang v cú MI, NI ln lt l cỏc ng trung bỡnh ca hai hỡnh thang ú Khi ú Suy S AA1B1D S A1BCB1 AD ( AA1 + DB1 ) IM IM =2 = = = (theo GT) IN IN BC ( A1 B + B1C ) MI 1 = nờn MI = MN vy im I c nh MN 3 Lp lun tng t ta tỡm c cỏc im H; J; K c nh (hỡnh v) Cú im c nh m cú 2013 ng thng i qua nờn theo nguyờn lý irichle ớt nht phi cú 504 ng thng ng qui Cõu Chng minh rng vi mi s t nhiờn n cho trc, s m = n(n + 1)(n + 2) (n + 7) + 1.2.3 khụng th phõn tớch thnh tng ca hai s chớnh phng x + x + 10 + x + x + = 3( x + 1) 4x2 + x = y 4y2 =z b) Giair h phng trỡnh: + y z2 =x + z Cõu a) Tỡm cỏc s nguyờn dng x, y, z tha ng thi hai iu kin sau : x y 2011 l s hu t v x + y + z l s nguyờn t y z 2011 b)Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh 20 y xy = 150 15 x Cõu Cho tam giỏc ABC nhn cú trung tuyn CM Cỏc ng cao AH, BD, CF ct ti I Gi E l trung im ca DH ng thng qua C v song song vi AH ct BD ti P; ng thng qua C v song song vi BD ct AH ti Q a) Chng minh PI.AB = AC.CI b) Gi (O) l ng trũn ngoi tip tam giỏc CDH Chng minh MD l tip tuyn ca ng trũn (O) c) CE ct ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC ti R (R khỏc C); CM ct ng trũn (O) ti K (K khỏc C) Chng minh AB l ng trung trc ca on KR 1 + , x, y > tha xy Cõu a) Chng minh + x + y + xy b) Cho a, b, c l cỏc s dng tha iu kin a, b, c Chng minh Cõu a) Gii phng trỡnh a b c 22 + + a + b b + c c + a 15 Cõu Ni dung í i m Trong s nguyờn liờn tip luụn cú mt s chia ht cho v mt s khỏc chia ht cho 2, ú tớch ca chỳng chia ht cho Trong s nguyờn liờn tip luụn cú s chn liờn tip, gi s ú l cỏc s 2k , 2k + 2, 2k + 4, 2k + 6(k  ) Ta cú 2k (2k + 2)(2k + 4)(2k + 6) = 16k ( k + 1)( k + 2)( k + 3) M k (k + 1)(k + 2)(k + 3)M8 nờn 2k (2k + 2)(2k + 4)(2k + 6)M128 T ú suy iu cn chng minh Ta chng minh bng phn chng T phn a ta suy m = 128c + 5040 Gi s m cú th phõn tớch thnh tng ca hai s chớnh phng, tc l tn ti cỏc s t nhiờn a, b cho 128c + 5040 = a + b (1) V trỏi ca (1) chia ht cho nờn a, b cựng l cỏc s chn (vỡ ngc li, nu mt s chn v mt s l thỡ v phi (1) l s l, cũn nu hai s u l thỡ a + b = (2 x + 1) + (2 y + 1) = z + chia d 2, vụ lớ!) Do ú a = 2a , b = 2b (a , b Ơ ) v (1) 32c + 1260 = a + b (2) Lp lun tng t cho (2), ta cú 2 2 1 1 nng chn, l ca 2 a ,b 2 0,25 0,25 0,5 (2) 8c + 315 = a + b ,( a , b Ơ ) (3) Lỳc ny, 8c + 315 3(mod 4) cũn a + b 3(mod 4) (tht vy, xột tt c cỏc kh 0,25 2 0,25 0,25 2 2 ta thy ch cú ba kh nng xy l a + b 0(mod 4) a + b 1(mod 4) a + b 2(mod 4) 2 2 2 2 2 2 0,25 ú (3) mõu thun, suy iu phi chng minh - Nu x + > x > thỡ (1) a x + = ( x + 1) x + x + 10 x + x + x + x + 10 x + x + = (2) 0,5 T (1) v (2) suy 2 x + x + = 3x + 1 3x + x x x=3 3 2 4(2 x + x + 4) = x + x + x + x 15 = x = 3, x = Th li Vi x = thỡ VT(1) = VP(1) = 12 Vy phng trỡnh cú nghim nht x = Giải hệ phơng trình b - Nu x = thỡ h cú nghim (x ; y ; z) l (0 ; ; 0) 0,25 0,25 1,00 0,25 1 + 4x2 y = x2 y = x2 + 1 + y = +4 - Nu x y 0; z Ta cú : = y2 z z y 1+ 4z = = +4 x z 4z x 0,25 Cng theo v cỏc phng trỡnh ca h ta c + ữ+ + ữ+ + ữ = x y z x y z 2 0,25 1 2ữ + 2ữ + 2ữ = x y z 1 x = y = z = Th li ta thy x = y = z = tha h pt ó 2 cho 1 Vy h cú nghim (x ; y ; z) l (0 ; ; 0), ; ; ữ 2 a Tỡm cỏc s nguyờn dng x, y, z tha ng thi hai iu kin x y 2011 m = (1) , ú m, n l cỏc s nguyờn tha Ta cú y z 2011 n n > 0, (m, n) = (1) nx my = 2011 ( ny mz ) (2) 2011 l s vụ t v m, n, x, y, z l cỏc s nguyờn nờn ta cú nx = my xz = y (2) nx my = ny mz = ny = mz 0,25 1,00 0,25 Vỡ 0,25 Ta li cú : x + y + z = ( x + z ) xz + y 2 = ( x + z ) y2 = ( x + y + z ) ( x y + z ) Vỡ x + y + z l s nguyờn t v x + y + z l s nguyờn ln hn nờn x y + z = Do ú x + y + z = x + y + z (3) Nhng x, y, z l cỏc s nguyờn dng nờn x x ; y y ; z z Suy x2 = x, y2 = y, z2 = z => x = y = z = x y 2011 = v x + y + z = (tha món) Khi ú y z 2011 Vy (x ; y ; z) = (1 ; ; 1) tha yờu cu bi toỏn b Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh 20 y xy = 150 15 x Ta cú : 150 15x = 20y2 6xy 6xy 15x = 20y2 150 3x(2y 5) = 5(4y2 25) 25 (2y 5)(10y + 25 3x) = 25 Xột trng hp sau 0,25 0,25 1,00 0,25 y = x = 10 +) (tha món) 10 y + 25 3x = 25 y = y = 25 x = 58 +) (tha món) 10 y + 25 3x = y = 15 0,25 70 y = x = +) (loi) 10 y + 25 x = 25 y = x = 10 y = 25 +) 74 (loi) 10 y + 25 3x = y = 70 y = x = +) (loi) 10 y + 25 3x = y = 0,25 0,25 y = x = 10 +) (tha món) 10 y + 25 3x = y = Vy phng trỡnh cú nghim (x ; y) l (10 ; 3), (58 ; 15), (10 ; 0) Chng minh PI.AB = AC.CI a 1,00 C D Chng minh 0,25 I H E P PBC = 90 => ACB + C1=900 Ta cú : P + C = 900 => ACB = P Q A F B M Chng minh t giỏc ADIF ni tip CAB = PIC (2) T (1) v (2) tam giac PIC ng dng vi CAB PI IC = PI AB = AC.IC (pcm) AC AB 0,25 0,25 0,25 Chng minh MD l tip tuyn ca ng trũn (O) Chng minh t giỏc CDIH ni tip ng trũn (O) => DIC l gúc ni tip chn cung DI (3) ADB cú DM l ng trung tuyn MDB cõn ti M => MBD = MDB Ta li cú => MBD = DCI (cựng ph vi CAB) (5) T (4) v (5) => MDB = DCI (6) T (3) v (6) suy MD l tip tuyn ca ng trũn (O) Chng minh AB l ng trung trc ca on KR c c C b H 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 Chng minh t giỏc ADHB ni tip CDH = ABC CDH : CBA ( g g ) CD DH = CB AB 0,25 CD CB CD CB = = CDE : CBM ( g.g ) MCB = ACR (8) DH AB DE MB Ta li cú : ACR = ABR (9) T (7), (8), (9) MBK = ABR BA l phõn giỏc ca KBR Chng minh tng t ta c AB l phõn giỏc ca KAR T ú suy AB l ng trung trc ca KR 1 + , x, y > tha xy a Chng minh + x + y + xy 0,25 0,50 1 1 + + x + xy + y + xy (1) 0,25 xy x (1 + x )(1 + xy ) x ( y x ) (1 + x )(1 + xy ) + xy y (1 + y )(1 + xy ) y ( y x 0,25 ) y x x y ữ + xy ữ + x + y ữ ữ (1 + y )(1 + xy ) ( )( ) y x xy y x x + x y y x y 0 ữ ữ + xy ữ ữ ( 1+ x) ( 1+ y) + xy ( + x ) ( + y ) ( ) BT cui cựng ỳng xy ng thc xy x = y hoc xy = a b c 22 + + b Chng minh a + b b + c c + a 15 (2) + + 0,50 22 15 b c a 1+ 1+ a b c b c a t x = , y = , z = thỡ x, y, z v xyz = a b c 1 22 + + BT tr thnh + x + y + z 15 1+ 0,25 0,25 Khụng gim tng quỏt, gi s z nh nht suy xy Theo cõu a 1 2 2t + + + = + = + ,t= z + x + y + z + xy + z + 1 + z t + t + z 2t 22 + , t Bng bin i tng ng Ta s CM t + t + 15 BT 8t 22t + 23t (2t 1)(4t 9t + 7) BT cui cựng ỳng t v 4t 9t + > 0, t Ht - 0,25 Cõu 1.(2,0 im) a) Cho hm s y=ax+b Bit f(1) f(2); f(5) f(6) v f(999)=1000 Tớnh f(2010) b) Rut gon biờu thc: A = 2( x + y x )( x + y y ) + x + y vi moi x, y > Cõu 2.(2,0 im) a) Chng minh rng a + a khụng chia ht cho 25 vi mi s nguyờn a b) Tỡm cỏc s nguyờn dng x, y khỏc cho: x y = y x Cõu 3.(2,0 im) a) Gii phng trỡnh x 3x = x b) Gii phng trỡnh nghim nguyờn x + y = Cõu 4.(1,5 im) Cho cỏc s thc dng a, b, c tha a + b + c = Chng minh rng a + bc + b + ca + c + ab + ab + bc + ca Cõu 5.(2,5 im) Cho na ng (O, R) ng kớnh AB, bỏn kớnh OC vuụng gúc vi AB M l im di chuyn trờn na ng trũn (O) ( M khỏc A v B) Tip tuyn ca na ng trũn (O) ti M ct OC, ct tip tuyn ti A v ct tip tuyn ti B ca na ng trũn (O) ln lt ti D, E v H Gi F l giao im ca AE v BD a) Xỏc nh v trớ ca M trờn na ng trũn (O) din tớch t giỏc ABHE l nh nht AB b) Chng minh EA EF= Ni dung chớnh Cõu i m a) Vỡ f(1) f(2) nờn a (1) f(5) f(6) nờn a (2) 0,5 T (1) v (2) suy a=0 Do ú f(2010)=f(999)=1000 0,5 b) A = 2( x + y x )( x + y y ) + x + y = = 2( x + y ) x + y ( x + y ) + xy + x + y 0,25 = x2 + y ( x + y) + x2 + y 0,5 = ( x + y ) x + y + x + y = x + y (vỡ x + y > x + y ) 0,25 a) N = a + a = (a 2)(a + 3) + 0,25 Vỡ (a 2) (a + 3) = chia ht cho nờn a 2; a + hoc cựng chia ht cho hoc cựng khụng chia ht cho 0,25 *Nu a 2; a + cựng chia ht cho thỡ (a 2)(a + 3) chia ht cho 25 m khụng chia ht cho 25 suy N khụng chia ht cho 25 0,25 *Nu a 2; a + cựng khụng chia ht cho thỡ (a 2)(a + 3) khụng chia ht cho ( l s nguyờn t) suy N khụng chia ht cho 5, ú N khụng chia ht cho 25 0,25 Vy N khụng chia ht cho 25 vi mi s nguyờn a b) Gi s x < y Chia c hai v ca PT cho x x ta c: x y x = yx xx Vỡ y x Mx x m x l s nguyờn dng nờn y Mx t y = kx (k N , k ) 0,25 Theo bi ta cú x kx = (kx) x ( x k ) x = (kx) x x k = kx x k = k (1) Ta thy x (vỡ nu x = thỡ k = ) Do ú x k 2k T (1) v (2) suy k 2k nờn 2k 2k (2) 0,25 (3) D thy k thỡ bt ng thc (3) khụng xy Do ú k = 0,25 Thay k = vo (1) ta c x = y = 2.2 = Th li x = 2; y = tha bi Vỡ vai trũ ca x, y nh vy ( x, y ) { ( 2; ) , ( 4; ) } a) KX: x x 3x = x ( x x + 4) + ( x x + 1) = x = x = 2(T / m) ( x 2) + ( x 1) = x = 0,25 0,5 0,5 Vy phng trỡnh cú nghim nht x = b) x + y = y = 4x 5x + + x x+2 = = x + 5 x+2 = t t Z Do ú x = 5t y = 4t x = 5t (t Z ) Vy nghim ca phng trỡnh l y = 4t 0,5 t 0,5 Vỡ a + b + c = , nờn ỏp dng BT Cauchy ta cú: 0,25 b + c bc a +b+c a + bc a + bc a a + 2a bc a + bc a + 2a bc + bc ( a + bc a + bc ) 0,5 (1) a + bc a + bc Chng minh tng t ta cú: b + ca b + ca (2) 0,25 c + ab c + ab (3) Cng theo v cỏc bt ng thc (1), (2) v (3) ta c a + bc + b + ca + c + ab a + b + c + ab + bc + ca Hay a + bc + b + ca + c + ab + ab + bc + ca Du bng xy v ch a = b = c = 0,5 a) Ta cú AE//BH( cựng vuụng gúc vi AB) nờn t giỏc ABHE l hỡnh thang vuụng Do ú S ABHE = ( AE + BH ) AB EH AB = (theo tớnh 2 0,5 cht hai tip tuyn ct nhau) S ABHE nh nht EH nh nht EH BH ABHE l hỡnh ch nht M l im chớnh gia ca cung AB Vy Min S ABHE = R M C b) Xột hỡnh thang ABHE cú OA=OB, OD//AE//BF DE = DF VDEF=VDHB ( g c g ) EF=BH 0,5 0,5 m BH = HM ; EA = EM (Tớnh cht hai tip tuyn ct nhau) Suy AE.EF=EM.MH (1) ã Li cú OE l tia phõn giỏc ca ãAOM ; OH l tia phõn giỏc ca BOM ã ã m ãAOM v BOM l hai gúc k bự nờn EOH = 900 0,5 p dng h thc lng vo tam giỏc EOH vuụng ti H ta cú EM MH = OM = AB (2) T (1) v (2) suy AE.EF = F 0,5 AB H D M C E A O B CHC CC EM HON THNH BI TT NHT V ểN NM MI THNH CễNG TRONG MI K THI [...]... A; B ; C Tớnh di cỏc cnh ca tam giỏc ABC theo a; b; c Bi 5: (0,75 im) Cho a, b, c > 0 19b 3 - a 3 19c3 - b 3 19a 3 - c3 + + 3(a + b + c) 2 2 2 Chng minh rng: ab + 5b cb + 5c ac + 5a 3 Cõu 1: Gii phng trỡnh: a) x + 2 x 5 2 + x 3 2 x 5 + 2 = 2 2 Cõu 2: Cho hm s f ( x ) = ( x3 + 6 x 5) 2011 b) x 2 3x + 9 = 9 3 x 2 + 2012 Tớnh f ( x ) vi x = 3 3 + 17 + 3 3 17 Cõu 3: Cho hỡnh thoi ABCD, ng cao... z t + 1 t + 1 z 2t 1 22 1 + 2 , t 2 Bng bin i tng ng Ta s CM t + 1 t + 1 15 2 3 BT 8t 22t 2 + 23t 7 0 (2t 1)(4t 2 9t + 7) 0 1 BT cui cựng ỳng do t v 4t 2 9t + 7 > 0, t 2 Ht - 0,25 5 Cõu 1.(2,0 im) a) Cho hm s y=ax+b Bit f(1) f(2); f(5) f(6) v f (99 9)=1000 Tớnh f(2010) b) Rut gon biờu thc: A = 2( x 2 + y 2 x )( x 2 + y 2 y ) + x 2 + y 2 vi moi x, y > 0 Cõu 2.(2,0 im) a)... 2 x 5 = 4 Du = xy ra khi v ch khi ( )( ) 2 x 5 + 1 3 2 x 5 0 x 7 (2) 5 2 T (1) v (2) ta cú nghim ca PT l: x 7 b 2 3 27 x 3x + 9 = x ữ + >0 2 4 t t = x 2 x = t + 2 Vỡ 2 3 3 nờn t > 0 thay 3 3 x = t 3 + 2 vo PT ta cú ( t + 2 ) 3 ( t + 2 ) + 9 = 9t 2 ( t 1) 2 (t 4 + 2t 3 + 3t 2 + 5t + 7 ) = 0 (2) 4 3 2 Vỡ t > 0 nờn ( t + 2t + 3t + 5t + 7 ) > 0 Do ú PT (2) cú nghim duy nht t = 1 ... x = 10 +) (tha món) 10 y + 25 3x = 5 y = 0 Vy phng trỡnh cú 3 nghim (x ; y) l (10 ; 3), (58 ; 15), (10 ; 0) Chng minh PI.AB = AC.CI a 1,00 C 1 D Chng minh 0,25 I 0 4 H E P PBC = 90 => ACB + C1 =90 0 Ta cú : P + C = 90 0 => ACB = P Q A F B M Chng minh t giỏc ADIF ni tip CAB = PIC (2) T (1) v (2) tam giac PIC ng dng vi CAB PI IC = PI AB = AC.IC (pcm) AC AB 0,25 0,25 0,25 Chng minh MD l tip... trờn cỏc cnh ca tam giỏc ABC gm 3 on thng cú di bng 3 cnh ca tam giỏc vuụng ni vi nhau bi cỏc cung trũn bỏn kớnh bng 1 cm, cỏc cung trũn cú s o ln lt l: 0 0 0 90 , 180 , 180 , do ú tng s o ca 3 cung trũn l: 90 0 + 3600 ( + ) = 3600 (vỡ + = 90 0 ) Ta cú di cnh huyn l 62 + 82 = 100 = 10 cm Vy di ca qu o ca tõm hỡnh trũn l: 6 + 8 + 10 + 0,5 0,5 360 r = 24 + 2 (cm) (vỡ r = 1 cm) 180 1,0 6 (2,0 im)... M trờn na ng trũn (O) din tớch t giỏc ABHE l nh nht AB 2 b) Chng minh EA EF= 4 Ni dung chớnh Cõu i m a) Vỡ f(1) f(2) nờn a 0 (1) f(5) f(6) nờn a 0 (2) 0,5 T (1) v (2) suy ra a=0 Do ú f(2010)=f (99 9)=1000 0,5 b) A = 2( x 2 + y 2 x )( x 2 + y 2 y ) + x 2 + y 2 = = 2( x 2 + y 2 ) 2 x 2 + y 2 ( x + y ) + 2 xy + x 2 + y 2 0,25 2 = x2 + y 2 ( x + y) + x2 + y 2 0,5 = ( x + y ) x 2 + y 2 + x 2... 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 Chng minh t giỏc ADHB ni tip CDH = ABC CDH : CBA ( g g ) CD DH = CB AB 0,25 CD CB CD CB = = CDE : CBM ( g.g ) MCB = ACR (8) DH AB DE MB Ta li cú : ACR = ABR (9) T (7), (8), (9) MBK = ABR BA l phõn giỏc ca KBR Chng minh tng t ta c AB l phõn giỏc ca KAR 5 T ú suy ra AB l ng trung trc ca KR 1 1 2 + , x, y > 0 tha món xy 1 a Chng minh 1 + x 1 + y 1 + xy 0,25 0,50... 1) + ( n 2 ) + ( n 3) + + Sn = 1 + 2 + 3 + 3 2 + 1 0,5 hay : + + ( n 3 ) + ( n 2 ) + ( n 1) 1 2 Suy ra: 2Sn = ( n 1) n S n = ( n 1) n Vy: un = n 2 + ( n 1) n 0,5 2 p dng: u25 = 252 + 12.25 = 92 5 0,5 2 Bi 1 (2,5 im) Gii cỏc phng trỡnh sau: 1 3x2 + 4x + 10 = 2 14 x 2 7 2 4 4 x 2 4 x 4 16 + 4 x + 1 + x 2 + y 2 2 y 3 = 5 y 3 x4 - 2y4 x2y2 4x2 -7y2 - 5 = 0; (vi x ; y nguyờn) Bi 2: (2.5... Pitago vo cỏc tam giỏc vuụng O1IO2 v O1EO2 ta cú: O1O2 2 = IO12 + IO2 2 = 32 + ( 1,5 x ) 2 O1O2 2 = O1 E 2 + O2 E 2 = 7 2 + x 2 (1) (2) 2 T (1) v (2) suy ra 32 + ( 1,5 x ) = 7 2 + x 2 x 2 = 32 O1O2 = 9cm 5 1,5 Hc sinh phỏt biu v CM 2 b sau: (nu HS ch phỏt biu 2 b khụng CM cho 0,25) B1: S chớnh phng khụng th cú tn cựng l 2; 3; 7; 8 B2: S chớnh phng chia cho 3 khụng th cú s d l 2 Gi s tn ti k N *... 2k + 3k = 24 t + r + 34t + r = 16t.2r + 81t.3r Xột 4 trng hp cú th xy ra: - Vi r = 0 thỡ t N * v s A = 16t + 81t cú tn cựng l 7 ( A khụng l s chớnh phng theo B 1) (1) - Vi r = 2 thỡ s A = 16t.4 + 81t .9 cú tn cựng l 3 (A khụng l s chớnh phng theo B 1) (2) - Vi r = 1 thỡ s A = 16t.2 + 81t.3 chia 3 d 2 (A khụng l s chớnh phng theo B 2) (3) - Vi r = 3 thỡ s A = 16t.8 + 81t.27 chia 3 d 2 (A khụng l s chớnh ... 8t 22t + 23t (2t 1)(4t 9t + 7) BT cui cựng ỳng t v 4t 9t + > 0, t Ht - 0,25 Cõu 1.(2,0 im) a) Cho hm s y=ax+b Bit f(1) f(2); f(5) f(6) v f (99 9)=1000 Tớnh f(2010) b) Rut gon... 0,75 ( x 10 09 ) ( x 1011) iu kin S cú ngha: x 1,3,5, ,10 09, 1011 hay: x 2k 1, k Z, k 506 0,5 0,25 1 1 1 1 1 S= + + + + + ữ x x x x x x x 1007 x 10 09 x 10 09 x 1011 1... C) ã ã Suy ra: BAK = BCE 4.2 (4 ) (2 ) 0,25 0,25 0,5 0,5 ã ã ã M BAK + ãABC = 90 0 nờn BCE + ABC = 90 0 ã Do ú: BEC = 90 0 , nờn CE l ng cao th hai ca tam giỏc ABC 0,5 H l giao im ca hai ng cao AI