ế ề ế í ệ ế ề tr ó ợ ọ t ủ ế ề ỗ t ột ế ột ề ế ợ ét ột tờ tự ế ề ó tể ét ệ ế ột ề í ụ ột s t r ột s ế í ỡ ủ ó ợ ề ề rộ t ó ế ề ế t ề t ó ế ề ế ề ề ọ rờ r ế t ủ ó ế rờ r ọ tụ ế t ủ ó tụ Đ ệ ề ế ề ố st ủ ế ề rờ r ệt tt trị ó tể ó ủ ó st t ứ Đ ố st ủ ế ề \ x1 x2 y1 P (x1 , y1 ) P (x2 , y1 ) y2 P (x1 , y2 ) P (x2 , y2 ) yj P (x1 , yj ) P (x2 , yj ) ym P (x1 , ym ) P (x2 , ym ) xi P (xi , y1 ) P (xi , y2 ) P (xi , yj ) P (xi , ym ) r ó P (x , y ) = P (X = x , Y = y ) i = 1, n j = 1, m P (x , y ) tỏ ề ệ i i j i j j P (xi , yj ) n i=1 m j=1 P (xi , yj ) = ố st ủ t xn P (xn , y1 ) P (xn , y2 ) P (xn , yj ) P (xn , ym ) P P (xi ) = m j=1 x1 x2 P (x1 ) P (x2 ) xi P (xi ) xn P (xn ) P (xi , yj ) ố st ủ t P P (xj ) = n i=1 Đ y1 y2 P (y1 ) P (y2 ) yj P (yj ) ym P (ym ) P (xi , yj ) ố st ủ ế ề ị ĩ ố st ủ ế ề í ệ ị F (x, y) = P (X < x, Y < y) ề t ì ọ trị ủ ố st t ỗ ể st ể ế trị t ột ó ó ỉ ì ẽ í t í t F (x, y) í t t từ ố số ứ sử x < x ó P (X < x , Y < y) = P (X < x , Y < y) + P (x 2 1 X < x2 , Y < y) P (X < x2 , Y < y) P (X < x1 , Y < y) = P (x1 X < x2 , Y < y) F (x2 , y) F (x1 , y) F (x2 , y) F (x1 , y) í t F (, y) = F (x, +) = F (, +) = 0, F (+, +) = í t ố st ủ r t F (+, y) = F (y) ố st ủ r t ệ q F (x, +) = F1 (x) P (x1 < X < x2 , Y < y) = F (x2 , y) F (x1 , y) P (X < x2 , y1 < Y < y2 ) = F (x, y2 ) F (x, y1 ) P (x1 < X < x2 , y1 < Y < y2 ) = F (x2 , y2 ) F (x1 , y2 ) F (x2 , y1 ) + F (x1 , y1 ) sử ế ề tụ Đ t ộ st ủ ế ề ị ĩ í ệ tứ f (x, y) = F (x, y) xy í t í t f (x, y) í t st ể trị tr ột ề P ((x, Y ) D) = f (x, y)dxdy D í t x y F (x, y) = í t + f (x, y)dxdy + f (x, y)dxdy = ú ọ f (x) t ộ st ủ t t ó + f1 (x) = f (x, y)dy t dF1 (x) dF (x, +) d f1 (x) = = = dx dx dx x + + f (x, y)dxdy = f (x, y)dy tự f (y) t ộ st ủ t + f (x, y)dx f2 (y) = Đ t ố st ó ề ệ ủ t ủ ệ ế ét ế rờ r ọ P (x /y ) st ó ề ệ ể t trị x ề ệ t trị y ó ố st ó ề ệ ủ t ề ệ Y = y ó i j i j j X/yj P x1 x2 P (x1 /yj ) P (x2 /yj ) r ó P (xi /yj ) = ú ý n xi P (xi /yj ) xn P (xn /yj ) P (xi , yj ) P (yj ) m P (xi /yj ) = 1, i=1 P (yj /xi ) = j=1 í ụ ết q tí số ệ tố tr t ề số í q ị trệ ủ ột t t ợ ố st tờ Y \X ố st ủ số ố st ủ số í q trệ ố ủ số P P (X = 100/Y = 1, 5) = tự t ó ố s P (X = 100, Y = 1, 5) 0, 05 = = 0, 125 P (Y = 1, 5) 0, P ét ế tụ t ộ st ó ề ệ ủ t í ệ f (x/y) f (x/y) = f (x, y) = f2 (y) f (x, y) + f (x, y)dx tự t ộ ó ề ệ ủ t ề ệ f (y/x) = f (x, y) = f1 (x) f (x, y) + f (x, y)dy ú ý ế ộ tì ố st ó ề ệ ố st ó ề ệ ó ế rờ r P (xi , yj ) = P (xi ).P (yj /xi ) = P (yj ).P (xi /yj ) = P (xi ).P (yj ) (1) ế tụ f (x, y) = f1 (x).f2 (y) (2) í ề ệ ủ ể ế ộ Đ t số tr ủ ệ ế ỳ ọ ế rờ r n n E(X) = m xi P (xi ) = i=1 m E(Y ) = xi P (xi , yj ) i=1 j=1 m n yj P (yj ) = j=1 yj P (xi , yj ) j=1 i=1 ế tụ + + + + + xf (x, y)dxdy xf1 (x)dx = E(X) = + yf (x, y)dxdy yf2 (y)dy = E(Y ) = P s ế rờ r n n x2i P (xi , yj ) E (X) [xi E(X)] p(xi ) = V (X) = i=1 ế tụ m i=1 j=1 + + + [x E(X)]2 f1 (x)dx = V (X) = x2 f (x, y)dxdy E ( X) tự t ó tứ tí í ụ ố st tí trị tr ì s ủ í q ó ố st ủ í q P E(Y ) = 1.0, 29 + 1, 5.0, + 2.0, 31 = 1, 51 E(Y ) = 12 0, 29 + 1, 52 0, + 22 0, 31 = 2, 43 V (Y ) = E(Y ) E (Y ) = 0, 1499 ệ s ệ s ủ ế ỳ ọ t ủ tí s ệ ủ ế ó ỳ ọ t ủ ú í ệ Cov(X, Y ) = E{[X E(X)][Y E(Y )]} ế ổ t ó tứ m n xi yj P (xi , yj ) E(X).E(Y ), Cov(X, Y ) = ế rờ r j=1 i=1 ế tụ ị ĩ t t ị ủ ệ s tí ị ủ ể ụ t r ệ ệ số t q + + x(x, y)dxdy E(X).E(Y ), Cov(X, Y ) = ệ số t q xy = Cov(X, Y ) X Y í ụ ế tr í (X, Y ) ó xy = 0, 577 ột số tí t = ế ộ tì = ệt ế = tì ụ tộ tế tí ệ s ệ số t q tr ứ ộ t ẽ ủ ố ệ ụ tộ ữ ế ế = t ó ó ố q ệ t q ú ý ế = tì ộ xy yx xy xy xy xy xy ế ọ t q ế ệ s ệ số t q ọ t q ế ú ế t q tì ó tể ộ ụ tộ ế ế ụ tộ tì ị ĩ V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2Cov(X, Y ) V (X Y ) = V (X) + V (Y ) 2Cov(X, Y ) ổ qt V (aX bY ) = a V (X) + b V (Y ) 2abCov(X, Y ) í ụ ó ổ ế ợ ó st t ứ ế ó ố st ế t t ộ ổ ế tì st ỳ ọ ứ ộ rủ r t t tỷ ệ tì rủ r ề st t t ố st ủ ế P ó E(Y ) = 17, V (Y ) = 4, 11 ọ tỷ ệ t tỷ ệ t st t ợ pX + (1 p)Y ộ t ó V (pX + (1 p)Y ) = p2 V (X) + (1 p)2 V (Y ) + 2p(1 p)Cov(X, Y ) E(X) = 4, V (X) = 17, 96 Cov(X, Y ) = xi yj Pij E(X).E(Y ) = 3, 14 ủ r ề st t t t ổ ế Đ ỳ ọ t ó ề ệ q ỳ ọ t ó ề ệ ỳ ọ t ó ề ệ ủ ế tứ m E(Y /X = x) = yj P (yj /x), ế ế rờ r j=1 ế ế tụ tự t ũ ó ị ĩ ỳ ọ t ó ề ệ ủ E(X/Y = y) + yf (y/x)dy, E(Y /X = x) = q t E(Y /X = x) ụ tộ trị ế t E(Y /X = x) = f (x)ợ ọ q ủ ố E(X/Y = y) = g(y)ợ ọ q ủ ố ét q ết ụ tộ ủ tr ì ủ ế ế í ụ ố số ột ộ tổ trở t t trì ộ ọ ứ tổ t ợ s ì ọ tr ì t ứ tổ t ọ ể ọ r ọ ọ ì E(X/Y ) E(X/Y = 30) = 2, 069 P tự E(X/Y = 45) = 1, 946 E(X/Y = 70) = 1, 529 tị q Đ t ố st ủ ế t ố st ủ ột ế sử ủ ế Y = (X) ế ế rờ r tì ứ trị ủ t ó trị ủ st t ứ trị ó í ụ sử ó ố st P Y = X2 trị y = = y = t ó ố st ủ 2 =9 P í ụ ũ Y = X ế ó ố st P ó P (y ) = P (Y = 4) = P (X = 2) + P (X = 2) = 0, P (y2 ) = P (Y = 9) = P (X = 3) = 0, ó ố st ủ P ế ế tụ t ộ st t ứ ợ r ế Y = (X) ệ tì t ộ ủ ế g(y) = f ((y))| (y)| tr ó X = (Y ) ợ ủ Y = (X) í ụ ế X N (à, ) Y = aX + b ì ố st ủ ó (y) = x = | (y)| = | | yb x a yb (y(aà+b)2 ( a à)2 1 e 2(a)2 g(y) = e 22 = |a| |a| ế ế ố tì ột tế tí t ì ủ ó ũ ố t q t t ố st ủ ế ế Z = (X, Y ) ét trờ ợ ệt Z = X + Y í ụ ố st ủ ế P P ố st ủ Z = X + Y tì tt trị ó tể ó ủ Z st t ứ z = + = 4z = + = 5z = + + 5z = + = P (Z = 4) = P (X = 1).P (Y = 3) = 0, 4.0, = 0, 08 P (Z = 5) = P (X = 1).P (Y = 4) + P (X = 2).P (Y = 3) = 0, 44 P (Z = 6) = P (X = 2).P (Y = 4) = 0, 48 P t số tr ủ ế sử ế rờ r P (X = x ) = p i = 1, n ỳ ọ s ủ ế Y = (X) ợ ị tứ i i n E(Y ) = E((X)) = (xi )pi i=1 n {(xi ) E[(X)]}2 pi V (Y ) = V ((X)) = i=1 n (xi )pi {E[(X)]}2 = i=1 ế ế tụ t ộ st f (x) + (x)f (x)dx E(Y ) = E((X)) = + {(x) E[(X)]}2 f (x)dx V (Y ) = V ((X)) = + (x)f (x)dx {E[(X)]}2 = í ụ ế ó ố st ì ỳ ọ s ủ ế Y = (X) = X ó (1) = 2, (3) = 10, (5) = 26 +1 P ó E(Y ) = 2.0, + 10.0, + 26.0, = 13, V (Y ) = 22 0, + 102 0, + 262 0, (13, 2)2 = 79, 36 ị ý ế ế ó E(X) < +, V (X) < + tì ọ Đ ó t tứ rs P (|X E(X)| < ) >0 tù ý t V (X) ứ ứ trờ ợ ế rờ r P (X = x ) = p sử ó trị x , x , x tỏ |x E(X)| < trị x ò tỏ i k i i i |xi E(X)| ó P (|X E(X)| < ) = P (|X E(X)| ) n (xi E(X)) pi V (X) = ữ p n i=1 k+1 n (xi E(X)) pi i=k+1 + pk+2 + + pn n k+1 pi = pi i=k+1 st ể ột tr trị x k+1 , xn pk+1 + pk+2 + + pn = P (|X E(X)| ) V (X) P (|X E(X)| ) P (|X E(X)| ) V (X) P (|X E(X)| < ) ét t tứ é tr st ể ế trị s ệ s ỳ ọ t ủ ó ỏ số t tứ ợ ụ ết q t ố st ủ í ụ tr ì ủ ột ù ộ ệ ị t q trị tr ì ủ t ù ó ọ t ủ ù ó V (X) P (|X E(X)| < ) 0, 95 P (|X 700| < ) 1202 = 0, 95 = 536, 656 X (700 536, 656; 700 + 536, 656) = (163, 344; 1236, 656) t ù ó ó t tr (163, 344; 1236, 656) Đ ị ý rs ế ế X , X , X ộ từ ỳ ọ ữ s V (X ) C, > é tù ý t ó n i lim P (| n X1 + X2 + + Xn E(X1 ) + E(X2 ) + + E(Xn ) |< )=1 n n ứ ét X = ó E(X) = E(X) = X1 +X2 + +Xn n n i=1 E(Xi ) n n i=1 V (Xi ) n2 ụ t tứ rs ố X P (|X E(X)| < ) V (X) =1 V (Xi ) n2 P (|X E(X)| < ) nC C =1 2 n n lim P (|X E(X)| < ) n lim P (|X E(X)| < ) = n ệt X ù ỳ ọ E(X ) = m t ó i i lim P (| n X1 + X2 + + Xn m)| < ) = n ết tr ợ ọ ị ý t số ủ rs t ủ ị ý rs ứ ộ tụ t st ủ tr ì số ọ ủ ột số ế ề tr ì số ọ ủ ỳ ọ t Đ ị ý r ọ t st t ệ ế ố tr é tử ộ st t ệ ế ố ó tr ỗ é tử > ó ị ýị ý t số ủ r lim P (|f p| < ) = n ứ ụ t tứ rs ế f = X n E(f ) = n1 E(X), V (f ) = V n2 (X) số t ệ ế ố tr é tử X B(n, p) E(X) = np V (X) = np(1 p) t t tứ rs t ó ét ị ý r ứ ộ tụ t st ủ t st t ệ ế ố tr é tử ộ ề st t ệ ế ố ó tr ỗ é tử số é tử t ứ tỏ ổ ị ủ t st q trị st ủ ế ố ó Đ trị ý tr t tr ị ĩ eitX ý ệ tr ủ ế ỳ ọ ủ ế X (t) X (t) = E(eitX ) = E(cos(tX)) + iE(sin(tX)) ế ế rờ r P (X = x ) = p ế ế tụ t ộ i i X (t) = X (t) = n itxi pi i=1 e + itx e f (x)dx tí t ủ tr | (t)| ế Y = aX + b tì (t) = e (at) ế X , X , X ế ộ tì X ibt Y X n n X1 +X2 + +Xn (t) = Xk (t) k=1 ế tồ t E|X| tì (t) ũ tồ t ế t ọ t F (x) ị t tr (t) k X X {F (x)} ố st t ứ tr (t) ó {F (x)} ộ tụ tớ F (x) ỉ (t) ộ tụ tớ tr (t) t ứ F (x) í ụ X A(p) ì tr (t) ó ố st ủ n n n n X P X (t) = eit0 (1 p) + eit1 p = peit + p í ụ X B(n, p) ì tr ó n n itx e X (t) = Cnx px (1 nx p) Cnx (peit )x (1 p)nx = (peit + p)n = x=0 x=0 ét í ụ tr t ũ ó tể s r ợ ố q ệ ữ q t A(p) B(n, p) í ụ X N (0, 1) ì tr X (t) = t2 = e 2 t2 = e 2 + eitx e + x2 2 e (xit) dx + + dx = e (x 2itxt2 ) t2 dx tu = x it) u2 e du =e t2 ị ý rr ế X , X , X , ột ế ộ ù t t q t ố st ó ỳ ọ t s ữ E(X ) = a, V (X ) = n i , i tì q t ố st ủ ế Un E(Un ) Un = , V (Un ) ớU n n = Xi i=1 i ộ tụ tớ q t ó n ứ P (Un < x) = x t2 e dt từ ị ý tr ề t tự ó tể sử ụ ị ý ủ P (Un < x) P (a < Un < b) ( + t2 e dt = (x) b E(Un ) V (Un ) ) ( a E(Un ) V (Un ) ) í ụ ọ số tr ì st ể tổ số ể t ợ tr (88, 104) X X số t ợ ọ tứ X U (0, 1) ó X = i 192 i=1 E(Xi ) = 21 , V (Xi ) = i i i 12 E(X) = nE(Xi ) = 96; V (X) = nV (Xi ) = 16 ó P (88 < X < 104) ( 104 96 88 96 ) ( ) = 20 (2) = 0, 9544 16 16 [...]... ủ ế P P ố st ủ Z = X + Y tì tt trị ó tể ó ủ Z st t ứ z = 1 + 3 = 4z = 1 + 4 = 5z = 2 + 3 + 5z = 2 + 4 = 6 1 2 3 4 P (Z = 4) = P (X = 1).P (Y = 3) = 0, 4. 0, 2 = 0, 08 P (Z = 5) = P (X = 1).P (Y = 4) + P (X = 2).P (Y = 3) = 0, 44 P (Z = 6) = P (X = 2).P (Y = 4) = 0, 48 P t số tr ủ ế sử ế rờ r P (X = x ) = p i = 1, n ỳ ọ s ủ ế Y = (X) ợ ị ở tứ i i n... 0 ( + t2 e 2 dt = (x) b E(Un ) V (Un ) ) 0 ( a E(Un ) V (Un ) ) í ụ ọ số tr ì st ể tổ số ể t ợ tr (88, 1 04) X X số t ợ ở ọ tứ X U (0, 1) ó X = i 192 i=1 E(Xi ) = 21 , V (Xi ) = i i i 1 12 E(X) = nE(Xi ) = 96; V (X) = nV (Xi ) = 16 ó P (88 < X < 1 04) 0 ( 1 04 96 88 96 ) 0 ( ) = 20 (2) = 0, 9 544 16 16 ... i i lim P (| n X1 + X2 + + Xn m)| < ) = 1 n ết tr ợ ọ ị ý t số ớ ủ rs t ủ ị ý rs ứ sự ộ tụ t st ủ tr ì số ọ ủ ột số ớ ế ề tr ì số ọ ủ ỳ ọ t Đ ị ý r ọ t st t ệ ế ố tr é tử ộ st t ệ ế ố ó tr ỗ é tử ớ > 0 ó ị ýị ý t số ớ ủ r lim P (|f p| < ) = 1 n ứ ụ t tứ rs ế f = X n E(f ) = n1 E(X), V (f ) = 1 V n2 (X) số t ệ ế ố tr é tử X B(n, p) E(X) = np V (X) = np(1 p) t... é tr ớ st ể ế trị s ệ s ớ ỳ ọ t ủ ó ớ ỏ số t tứ ợ ụ ết q t ố st ủ í ụ tr ì ủ ột ù ộ ệ ị t q trị tr ì ủ ít t ù ó ọ t ủ ù ó V (X) 2 P (|X E(X)| < ) 0, 95 P (|X 700| < ) 1 1202 2 = 0, 95 = 536, 656 X (700 536, 656; 700 + 536, 656) = (163, 344 ; 1236, 656) ít t ù ó ó t tr (163, 344 ; 1236, 656) Đ ị ý rs ế ế X , X , X ộ từ ỳ ọ ữ ... E(f ) = n1 E(X), V (f ) = 1 V n2 (X) số t ệ ế ố tr é tử X B(n, p) E(X) = np V (X) = np(1 p) t t tứ rs t ó ét ị ý r ứ sự ộ tụ t st ủ t st t ệ ế ố tr é tử ộ ề st t ệ ế ố ó tr ỗ é tử số é tử t ứ tỏ sự ổ ị ủ t st q trị st ủ ế ố ó Đ trị ý ớ tr t tr ị ĩ eitX ý ệ tr ủ ế ỳ ọ ủ ế X (t) X (t) = E(eitX ) = E(cos(tX)) + iE(sin(tX)) ế ế rờ r P (X = x ) = p ế ế ... z = + = 4z = + = 5z = + + 5z = + = P (Z = 4) = P (X = 1).P (Y = 3) = 0, 4. 0, = 0, 08 P (Z = 5) = P (X = 1).P (Y = 4) + P (X = 2).P (Y = 3) = 0, 44 P (Z = 6) = P (X = 2).P (Y = 4) = 0, 48 P... số tr ì st ể tổ số ể t ợ tr (88, 1 04) X X số t ợ ọ tứ X U (0, 1) ó X = i 192 i=1 E(Xi ) = 21 , V (Xi ) = i i i 12 E(X) = nE(Xi ) = 96; V (X) = nV (Xi ) = 16 ó P (88 < X < 1 04) ... tr ợ ọ ị ý t số ủ rs t ủ ị ý rs ứ ộ tụ t st ủ tr ì số ọ ủ ột số ế ề tr ì số ọ ủ ỳ ọ t Đ ị ý r ọ t st t ệ ế ố tr é tử ộ st t ệ ế ố ó tr ỗ é tử > ó ị ýị ý t số ủ r lim P (|f