Thông tin tài liệu
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT VỚI HỆ SỐ HẰNG Th.S Đỗ Viết Tuân-HVQLGD Định nghĩa: Hệ phương trình vi phân tuyến tính không có dạng 𝑑𝑦1 = 𝑎11 𝑦1 + 𝑎12 𝑦2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑦𝑛 + 𝑓1 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦2 = 𝑎21 𝑦1 + 𝑎22 𝑦2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑦𝑛 + 𝑓2 𝑥 I 𝑑𝑥 … 𝑑𝑦𝑛 = 𝑎𝑛1 𝑦1 + 𝑎𝑛2 𝑦2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 𝑦𝑛 + 𝑓𝑛 𝑥 𝑑𝑥 Trong 𝑎𝑖𝑗 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑓𝑖 (𝑥) 𝑖 = 1, 𝑛 hàm xác định liên tục (a, b) Dạng ma trận Đặt 𝑌 = 𝐴= 𝑎11 𝑎21 … 𝑎𝑛1 𝑦1 𝑦2 ⋮ 𝑦𝑛 , 𝑎12 𝑎22 … 𝑎𝑛2 Khi 𝐼 ⇔ 𝑑𝑌 𝑑𝑥 𝑑𝑌 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦1 𝑑𝑥 𝑑𝑦2 𝑑𝑥 ⋮ , 𝑑𝑦𝑛 𝑑𝑥 𝑎1𝑛 … … 𝑎2𝑛 … … , F(x) = … 𝑎𝑛𝑛 = 𝐴𝑌 + 𝐹(𝑥) 𝑓1 (𝑥) 𝑓2 (𝑥) ⋮ 𝑓𝑛 (𝑥) (II) Phương pháp giải hệ 𝑑𝑌 𝑑𝑥 Bước 1: Giải hệ = 𝐴𝑌, tìm hệ nghiệm bản: 𝑌1 , 𝑌2 , … , 𝑌𝑛 Bước 2: Tìm nghiệm riêng Y* (II) phương pháp biến thiên số lagrange Y* C1 (x)Y1 C2 (x)Y2 Cn (x)Yn Bước 3: Kết luận nghiệm tổng quát 𝑌 = 𝐶1 𝑌1 + 𝐶2 𝑌2 + ⋯ + 𝐶𝑛 𝑌𝑛 + 𝑌 ∗ 𝐶𝑖 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Giải hệ phương trình vi phân: 𝑑𝑦1 = 4𝑦1 + 𝑦2 − 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦2 = −2𝑦1 + 𝑦2 𝑑𝑥 Lời giải Xét hệ 𝑑𝑦1 = 4𝑦1 + 𝑦2 𝑑𝑥 𝑑𝑦2 = −2𝑦1 + 𝑦2 𝑑𝑥 Ma trận hệ số: 𝐴 = −2 4−𝜆 Phương trình đặc trưng: = −2 − 𝜆 0⇔ 4−𝜆 1−𝜆 +2=0 𝜆=2 ⇔ 𝜆 − 5𝜆 + = ⇔ 𝜆=3 Tìm nghiệm Với 𝜆 = 2, tọa độ vectơ riêng nghiệm hệ 2𝑥1 + 𝑥2 = ⇔ 𝑥2 = −2𝑥1 −2𝑥1 − 𝑥2 = Vectơ riêng 𝑣1 1; − nghiệm 2𝑥 𝑒 𝑌1 = −2𝑒 2𝑥 Với 𝜆 = 3, tương tự vectơ riêng 𝑣2 1; − 3𝑥 𝑒 nghiệm 𝑌2 = −𝑒 3𝑥 Tìm nghiệm riêng Gọi 𝑌 ∗ = 𝐶1 (𝑥)𝑌1 +𝐶2 (𝑥)𝑌2 nghiệm riêng 2𝑥 3𝑥 𝐶 𝑥 𝑒 + 𝐶 𝑥 𝑒 Khi 𝑌 ∗ = −2𝐶1 𝑥 𝑒 2𝑥 − 𝐶2 𝑥 𝑒 3𝑥 Thay Y* vào hệ ban đầu ta có: 𝐶′1 (𝑥)𝑒 2𝑥 + 𝐶′2 (𝑥)𝑒 3𝑥 = −𝑒 2𝑥 𝐶′1 (𝑥) = ⇔ 2𝑥 3𝑥 𝐶′2 (𝑥) = −2𝑒 −𝑥 −2𝐶′1 (𝑥)𝑒 − 𝐶′2 (𝑥)𝑒 = 𝐶1 (𝑥) = 𝑥 𝐶′1 (x) = ⇔ ⇔ −𝑥 𝐶2 (𝑥) = 2𝑒 −𝑥 𝐶′2 (𝑥) = −2𝑒 Nghiệm tổng quát Suy nghiệm 2𝑥 2𝑥 𝑥𝑒 + 2𝑒 𝑌∗ = 2𝑥 2𝑥 −2𝑥𝑒 − 2𝑒 Nghiệm tổng quát: 𝑌 = 𝐴𝑌1 + 𝐵𝑌2 + 𝑌 ∗ 𝐴𝑒 2𝑥 + 𝐵𝑒 3𝑥 + 𝑥 + 𝑒 2𝑥 = −2𝐴𝑒 2𝑥 − 𝐵𝑒 3𝑥 − 2𝑥 + 𝑒 2𝑥 (A,B = const) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 𝑑𝑦1 𝑑𝑥 𝑑𝑦2 𝑑𝑥 = 2𝑦1 + 4𝑦2 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −𝑦1 − 2𝑦2 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 Lời giải Xét hệ phương trình dy1 2y1 4y dx I dy y 2y dx Xét phương trình đặc trưng (I) là: 2 1 2 1 Với tọa độ véctơ riêng nghiệm hệ phương trình sau: 2x1 4x x1 2x x1 2x Suy vecto riêng (2; -1) hệ phương trình (I) có nghiệm là: 2 Y1 1 Giả sử nghiệm hệ phương trình (I) có dạng là: a1 b1x e 0x a b x 1 Y2 0x a2 b x e a2 b x Ta thay vào (I) ta có: b1 a1 b1x a2 b2 x b1 2a1 4a2 2b1 4b x b2 a1 b1x a2 b2 x b2 a1 2a2 b1 2b x b1 2a1 4a2 b1 2b2 2b1 4b2 b1 2a1 4a2 b2 a1 2a2 b a 2a b 2b Ta chọn a1 1; a2 1 b2 1; b1 2 2x Y2 Khi 1 x Nghiệm tổng quát hệ phương trình (I) là: Giả sử Y*(x) nghiệm riêng hệ phương trình (I) Khi Y*(x) có dạng: 2C1 x 1 2x C2 x Y* C1 x 1 x C2 x Trong C1 (x), C2 (x) nghiệm hệ phương trình sau: 2C'1 x 1 2x C'2 x cosx C'1 x 1 x C'2 x sin x C'2 x 2sin x cosx C'1 x 3sin x cosx 2xsin x x cosx C2 x 2sin x cosx dx C1 x 3sin x cosx x 2sin x cosx dx C2 x cosx sin x C1 x 3sin x cosx x 2sin x cosx dx C1 x cosx sin x C2 x 3cosx sin x x 2sin x cosx dx Đặt I x 2sin x cosx dx u x du dx Đặt v 2 cosx sin x du 2sin x cosx dx Khi đó: I 2x cosx xsin x cosx sin x dx 2x cosx xsin x 2sin x cosx Suy ra: C1 x 2x cosx xsin x 3sin x cosx Suy ra:Y * x 4x cos x x sin x 6sin x cos x 1 2x cos x sin x 2x cos x x sin x 3sin x cos x 1 x cos x sin x 8x cosx cosx 5sin x 4x cosx 2sin x cosx Nghiệm tổng quát hệ phương trình (I) là: 2C1 1 2x C2 8x cos x cos x 5sin x Y C1Y1 C2 Y2 Y C1 1 x C2 4x cos x 2sin x cos x * Vậy hệ phương trình (I) có nghiệm 2C1 1 2x C2 8x cos x cos x 5sin x Y C1 1 x C2 4x cos x 2sin x cos x Luyện tập Bài tập: Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính sau: 𝑑𝑦1 = 5𝑦1 − 3𝑦2 + 2𝑒 3𝑥 𝑎) 𝑑𝑥 𝑑𝑦2 = 𝑦1 + 𝑦2 + 5𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦1 = −2𝑦1 + 𝑦2 − 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 𝑏) 𝑑𝑦2 = −3𝑦1 + 2𝑦2 + 6𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 Luyện tập dy1 2y1 y c) dx dy 4y y dx [...]... Nghiệm tổng quát của hệ phương trình (I) là: 2C1 1 2x C2 8x cos x 6 cos x 5sin x Y C1Y1 C2 Y2 Y C1 1 x C2 4x cos x 2sin x 4 cos x * Vậy hệ phương trình (I) có nghiệm là 2C1 1 2x C2 8x cos x 6 cos x 5sin x Y C1 1 x C2 4x cos x 2sin x 4 cos x 4 Luyện tập Bài tập: Giải các hệ phương trình vi phân tuyến tính sau: 𝑑𝑦1 =... 1; a2 1 b2 1; b1 2 1 2x Y2 Khi đó 1 x Nghiệm tổng quát của hệ phương trình (I) là: Giả sử Y*(x) là nghiệm riêng của hệ phương trình (I) Khi đó Y*(x) có dạng: 2C1 x 1 2x C2 x Y* C1 x 1 x C2 x Trong đó C1 (x), C2 (x) là nghiệm của hệ phương trình sau: 2C'1 x 1 2x C'2 x cosx C'1 x 1 x ...2x1 4x 2 0 x1 2x 2 x1 2x 2 0 Suy ra vecto riêng là (2; -1) hệ phương trình (I) có một nghiệm cơ bản là: 2 Y1 1 Giả sử một nghiệm cơ bản nữa của hệ phương trình (I) có dạng là: a1 b1x e 0x a b x 1 1 Y2 0x a2 b 2 x e a2 b 2 x Ta thay vào (I) khi đó ta ...
Ngày đăng: 18/01/2017, 08:32
Xem thêm: 21 bài giảng HPT vi phân tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng , 21 bài giảng HPT vi phân tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng