http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính Bài giảng số 01 KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH I TÓM LƯỢC LÝ THUYẾT Cho E, F G không gian véc tơ trường  (   ) Định nghĩa 1.1: Một ánh xạ f : E  F ánh xạ tuyến tính (hay đồng cấu) thoả mãn hai điều kiện sau: i) f (u  v)  f (u)  f (v) với u, v  E ; ii) f (u )   f (u) với u  E ,    Khi F   , ánh xạ tuyến tính f gọi dạng tuyến tính không gian véc tơ E Định nghĩa 1.2: Một ánh xạ tuyến tính f từ không gian véc tơ E vào gọi tự đồng cấu hay phép biến đổi tuyến tính E Định nghĩa 1.3: Ánh xạ tuyến tính f : E  F gọi đơn cấu f tuyến tính đơn ánh, f gọi toàn cấu f tuyến tính toàn ánh f gọi đẳng cấu f tuyến tính song ánh Tính chất 1.4: Một ánh xạ f :E F ánh xạ tuyến tính f (u   v)   f (u)   f (v) với u , v  E ,  ,    Tính chất 1.5: Cho ánh xạ tuyến tính f từ không gian véc tơ E vào không gian véc tơ F, ta có: i) f (0)  ii) f (u )   f (u ) với u  E iii) f (u  v)  f (u)  f (v) với u , v  E Tính chất 1.6: Nếu hai ánh xạ f : E  F g : F  G ánh xạ tuyến tính hợp g  f ánh xạ tuyến tính Định lý 1.7: Cho E F hai  - không gian véc tơ hữu hạn chiều {e1 , e2 , , en } sở E , { f1 , f , , f n } hệ véc tơ F Khi tồn ánh xạ tuyến tính  từ E vào F cho  (ei )  fi với i  1, 2, , n Hệ 1.8: Cho E F hai không gian véc tơ có số chiều, tồn đẳng cấu f từ không gian véc tơ E lên không gian véc tơ F Từ suy không gian véc tơ n chiều đẳng cấu với  n Định nghĩa 1.9: i) Ảnh không gian véc tơ E qua ánh xạ tuyến tính f , kí hiệu Im f tập hợp xác định bởi: Im f   f ( x )  F | x  E  Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính ii) Hạt nhân ánh xạ tuyến tính f , kí hiệu Kerf tập hợp xác định bởi: Kerf   x  E | f ( x )  0 Tính chất 1.10: Cho ánh xạ tuyến tính f : E  F Nếu A không gian véc tơ E f ( A) không gian véc tơ F dim f ( A)  dim A Tính chất 1.11: Các tập hợp Kerf , Im f không gian véc tơ không gian véc tơ E F Tính chất 1.12: i) Ánh xạ tuyến tính f đơn ánh Kerf  0 ii) Ánh xạ tuyến tính f toàn ánh Im f  F Tính chất 1.13: Cho ánh xạ tuyến tính f : E  F , E không gian véc tơ hữu hạn chiều có sở hệ véc tơ {e1 , e2 , , en } Im f  span{ f (e1 ), f (e2 ),  , f (en )} Tính chất 1.14: Nếu ánh xạ f : E  F đẳng cấu tuyến tính ánh xạ ngược f 1 : F  E đẳng cấu tuyến tính Tính chất 1.15: Nếu hai ánh xạ f : E  F g : F  G đẳng cấu tuyến tính hợp g  f f g đẳng cấu tuyến tính ( g  f )1  f 1  g 1 Định lý 1.16: Cho ánh xạ tuyến tính f : E  F , E không gian véc tơ hữu hạn chiều ta có: dim Im f  dim ker f  dim E II MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho ánh xạ f : M 3,1 ()  M 3,1 ( ) , ( M 3,1 () không gian véc tơ ma trận cấp  ) xác định bởi:  x   3x  y  z      f  y   x  2z  z   z     1) Chứng minh f tự đồng cấu tuyến tính M 3,1 () )Chứng minh E1  u  M 3,1 ( R) / f (u )  u E  u  M 3,1 ( R) / f (u )  2u không gian véc tơ M 3,1 () 3) Tìm sở E1 , E2 Gọi véc tơ e2 sở E2 Xác định véc tơ e3 thoả mãn f (e3 )  2e3  e2 Hệ véc tơ e1 , e2 , e3  phụ thuộc tuyến tính hay độc lập tuyến tính? Giải: Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính  x1   x2      1) Gọi u   y1  v   y  hai véc tơ thuộc M 3,1 (), với  ,    , ta có: z  z   1  2  x1  x   3(x1  x )  2(y1  y )  3(z1  z )      f (u   v)  f  y1  y    x1  x  2( z1  z )   z  z    2(z1  z )       (3 x1  y1  3z1 )   (3 x2  y2  3z )      ( x1  z1 )   ( x2  z )     z   z    x1  y1  z1   x2  y  z         x1  z1 x2  z2        z z       f (u )   f (v ) 2) Với véc tơ u, v  E1 ,  ,    , ta có: f (u   v)   f (u)   f (v)  u   v   u   v  E1 Vậy E1 không gian véc tơ không gian véc tơ M 3,1 () Tương tự, ta có E2 không gian véc tơ không gian véc tơ M 3,1 () x 3) Giả sử u   y   E1 , ta có f (u )  u , tức z     3x  y  z   x       x  2z    y,   z  2z     1  1    suy véc tơ u có dạng c1  , với c   Vậy sở E1 véc tơ e1  1   0 0     x  3x  y  z  x     Tương tự v   y   E , ta có f (v)  2v , tức  x  z    y  , suy véc tơ v có dạng z    z  2z        2  2     m1  , với m   Vậy sở E2 véc tơ e2    0 0     x Gọi e3   y  , đẳng thức f (e3 )  2e3  e2 tương đương với hệ sau: z    Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính  3x  y  z   x   2  x  y  3z   2c   x  y 1           e3   c   x  2z    y   1    x  y  z    z    2z   z   0    2z  2z           1 Chọn c  , ta có e3    1    Dễ thấy hệ véc tơ e1 , e2 , e3  độc lập tuyến tính Ví dụ 2: Cho ánh xạ f :    , xác định bởi: f ( x, y )  ( x  y, x  y , x  y , y ) 1) Chứng tỏ f ánh xạ tuyến tính 2) Tìm sở số chiều Kerf , Im f Giải: 1) Xét hai véc tơ u  ( x, y )   , v  ( x ' , y ' )   ,  ,    , ta có: f ( u   v )  f ( x   x ' ,  y   y ' )  ( x   x '  2( y   y ' ), 2( x   x ' )   y   y ' ,  x   x '  ( y   y ' ),  y   y ' )  ( ( x  y )   ( x '  y ' ),  (2 x  y )   (2 x '  y ' ),  ( x  y )   ( x '  y ' ),  y   y ' )   ( x  y , x  y, x  y, y )   ( x '  y ' , x '  y ' , x '  y ' , y ' )   f (u )   f (v) Vậy f ánh xạ tuyến tính 2) Gọi ( x, y)  Kerf , ta có f ( x, y)   ( x  y, x  y, x  y, y)  (0, 0, 0,  ( x, y )  (0, 0) Vậy Kerf  0 dim Kerf  Vì dim Kerf  nên dim Im f  Gọi {e1 (1, 0), e2 (0, 1)} sở tắc  , ta có Im f  [ f (e1 ), f (e2 )]  [(1, 2, 1, 0), ( 2, 1,  1, 1)] Ví dụ 3: Cho ánh xạ tuyến tính f : 3   , xác định bởi: f ( x, y, z )  ( y  z , z  x, x  y ) 1) Chứng minh f đẳng cấu 2) Xác định ảnh qua f không gian F G  xác định F  ( x, y, z ) | x  y  z  0 G  ( x, y , z ) | x  y  z Giải: Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính a) Ánh xạ f tuyến tính, với véc tơ u(x, y, z) u ( x, y, z )   , v( x ' , y ' , z ' )   ,  ,   , ta có: f ( u   v )  f (  x   x ' ,  y   y ' ,  z   z ' )  (( y   y ' )  ( z   z ' ), ( z   z ' )  ( x   x ' ), ( x   x ' )  ( y   y ' ))   ( y  z , z  x, x  y )   ( y '  z ' , z '  x ' , x '  y ' )   f ( x, y, z )   f ( x ' , y ' , z ' )   f (u )   f (v ) f đẳng cấu vì: +) f toàn ánh, (m, n, p)  3 cho f ( x, y, z )  (m, n, p), ta có: mn p  x  y  z  m  m  n p   z  x  n   y  x  y  p   m  n p  z   +) f đơn ánh từ f ( x, y, z )  ta có: ( y  z, z  x, x  y)  (0, 0, 0)  ( x, y, z )  (0, 0, 0) Tìm ảnh F G qua ánh xạ tuyến tính f +) Nếu ( x, y, z )  F , f ( x, y, z )  ( x ' , y ' , z ' ) x '  y '  z '  2( x  y  z )  Suy f(F) = F  x'  y  z  x  +) Nếu ( x, y, z ) G, f ( x, y, z )  ( x , y , z ) ta có:  y '  x  z  x z'  x  y  2x  ' ' ' từ suy ( x ' , y ' , z ' ) G, f(G) = G Ví dụ 4: Trong 3 , xét phép chiếu vuông góc f lên mặt phẳng (P): x + y + z = 1) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính 2) Tìm sở số chiều không gian véc tơ f(E), với x 1 y  z    E  ( x , y , z )   |      Giải: Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính 1) Ta đồng véc tơ u(x, y, z)  với điểm M ( x, y, z ) Thật vậy, giả sử f  phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P), Vì f (0)  0, f (u )  f (OM )  f (M ), nên f(u) hình chiếu điểm M lên mặt phẳng (P) Gọi M’(x’, y’, z’) hình chiếu M lên (P), ta có MM '  t n , n véc tơ pháp tuyến (P), suy ra: x'  x  t   y'  y  t z'  z  t  Vì M’  (P) nên t   x y z Vậy ánh xạ f: R3  (P), xác định bởi: (x, y, z)  ( 2x  y  z  x  y  z  x  y  2z ; ; ) 3 Dễ dàng kiểm tra ánh xạ f ánh xạ tuyến tính 2) Tập E đường thẳng 3 , E không gian véc tơ 3 , nên f(E) không gian (P) hình chiếu đường thẳng lên mặt phẳng (P) Vậy f(E) đường thẳng 3 Dễ thấy u(1, 2, 3) véc tơ E, ta có f(u) = (-1, 0, 1) Cơ sở f(E) véc tơ (-1, 0, 1) dim f(E) = Ví dụ 5: Cho A, B  M n ( ) hai ma trận cấp n Xét ánh xạ f : M n ( )  M n ( ), xác định f ( X )  AX  XB 1) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính 2) Tìm sở Kerf trường hợp sau:  1    1 a) A  B   0 0 b) A  B   0  1 0   Giải: 1) Với ma trận X , Y  M n (),  ,    ta có: f(  X +  Y) = A(  X +  Y) - (  X +  Y) B =  (AX – XB) +  (AY –YB) =  f(X) +  f(Y) Vậy f ánh xạ tuyến tính 2) f ( X )   AX  XB (1) Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính  1  a b   , đặt X    ( a, b, c, d   ), ta có:  1 c d a) Nếu A  B    a b    a b  (1)    ,  c  d   c  d  điều với ma trận X  M (), suy Kerf  M () Vậy chọn sở Kerf hệ ma trận: 1 0 0 1 0 0 0 0 { ,  ,  ,  } 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 a   b) Nếu A  B   0  , đặt X   d 1 0 g    d AX  XB   g a  Vậy ma trận X có dạng: e h b b e h f  c   k  f c   k c  f  , đó: k  a d g b  e  h  a b c a b c     X   c a b  Kerf  { c a b  | a, b, c  } b c a b c a     a b c Với ma trận X   c a b   Kerf , ta viết: b c a   1 0 0 0 0 1       X  a  0  b  0 1  c  0, 0 1 1 0 0 0       suy hệ: 1 0 0 0 0 1       {  ,  0  ,  0 } hệ sinh Kerf dễ thấy hệ độc lập tuyến tính 0 1 1 0 0 0       nên lập thành sở Kerf Ví dụ 6: Gọi M ( ) không gian véc tơ ma trận vuông cấp với hệ số thực, a b M  {  | a, b, c  } không gian véc tơ M ( ) b c Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính Xét ánh xạ f : M  M () , xác định bởi: b a b a  c  f ( )    a bc b c  b a) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính b) Tìm ảnh hạt nhân ánh xạ tuyến tính f c) Tìm sở số chiều ảnh hạt nhân ánh xạ tuyến tính f Giải:  a' a b  M (  ), B   '  b c  c a) Với ma trận A = A   b'    M ( ) ,  ,   , ta có: d'  a b  a ' b ' f ( A   B )  f (   ) b c  b ' c '   a   a ' b  b '   f ( )  b   b '  c   c '  b  b '   (a  c)   (a ' c ')    b  b '  (a  b  c)   (a ' b ' c ')   b  b' a b  a ' c '     a  b  c a ' b ' c '   b  b'  a b  a ' b '   f (  )   f ( ) b c b' c '   f ( A)   f ( B ) Vậy f ánh xạ tuyến tính b) Không gian véc tơ M có sở gồm ma trận 1 0 0 E1    , E2   0 0 1 1 0 0 Ta có: f ( E1 )    , f ( E2 )   0 1 1 1  0  , E3    0 0 1 1 1 0  , f ( E3 )   , 1 0 1 Im f  [ f ( E1 ), f ( E2 ), f ( E3 )], hệ véc tơ { f ( E1 ), f ( E2 ), f ( E3 )} phụ thuộc tuyến tính hệ véc tơ { f ( E1 ), f ( E2 )} độc lập tuyến tính nên n     1  m Im f  [ f ( E1 ), f ( E2 )]  {m    n   | m, n  }    1  n m  n  b  a b  0 a c   0 Nếu f ( )    , ta có    suy b  a  c  a  b  c  0  b c   0  b Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com a Khóa học: Ánh xạ tuyến tính  Vậy Kerf  {  | a  }  a  c) Theo câu (b), ta có { f ( E1 ), f ( E2 )} độc lập tuyến tính hệ sinh Im f nên sở Im f Vậy dim Im f  1  Kerf  [ ], từ suy  1  1    sở Kerf dim Kerf    1 Ví dụ 7: Cho Q   ( x), chứng minh tồn đa thức P cho: Q = P + P’ + P’’ (P’, P’’ đạo hàm cấp cuả đa thức P) Tìm P biết Q = + X + X2 + X3 Giải: Với đa thức P, ta có deg P  deg( P  P '  P" ), nên Q  P  P '  P" P   ( x) Vậy xét ánh xạ f :  ( x)   ( x) , xác định bởi: f ( P)  P  P '  P " Ta có f tự đẳng cấu C3 (x), thật vậy: Với P1 , P2   ( x ),  ,    f ( P1   P2 )  ( P1   P2 )  ( P1   P2 )'  ( P1   P2 )"   ( P1  P1'  P1' )   ( P2  P2'  P2' )   f ( P1 )   f ( P2 ) Vậy f tự đồng cấu  ( x) f đơn ánh, f ( P)   P  P '  P"   P  Vì dim  ( x )  4, nên f song ánh Vậy f đẳng cấu nên đa thức Q   ( x), tồn đa thức P   ( x) cho Q  P  P '  P" Nếu Q   x  x  x3 , đặt P  x3  ax  bx  c Từ Q  P  P '  P" suy a   a     2a  b    b  1 2 a  b  c  c    Vậy đa thức cần tìm P  x3  x  x  Ví dụ 8: Kí hiệu E   n ( x) tập đa thức với hệ số thực có bậc không vượt n (n  N) Xét ánh xạ f : E  E, xác định bởi: f ( P)  P( x  1)  P( x  1)  P( x), với P  E 1) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính 2) Xác định không gian Im f Ker f 3) Cho đa thức Q  Im f, chứng minh tồn đa thức P  E cho f(P) = Q P(0) = P’(0) = Giải: 1) Với ( P, Q)  E   ,     , ta có: f(  P   Q)  (P  Q)( x  1)  (P  Q)( x  1)  2(P  Q)( x) =  ( P( x  1)  P( x  1)  P( x))   (Q( x  1)  Q( x  1)  2Q( x)) = f ( P)  f (Q) Vậy f ánh xạ tuyến tính 2) Ta có f (1)  f ( x)  Với p  , ta có f ( x p )  ( x  1) p  ( x  1) p  x p p p   Ckp x k   (1)k Ckp x p  k  x p  2C2p x p   R ( x)  p ( p  1) x p   R ( x) với deg R( x)  p  Suy k 0 k 0 p deg f ( x )  p  Vậy Im f  span{ f ( x p )} với p  N p  Đặt f ( x p )  Q p  ( x ) (Đa thức có bậc p – 2) Ta chứng minh hệ Q0 , Q1 ,  , Qn  độc lập n tuyến tính Thật xét:  Q k k  , với k  , k  0, 1, , n  k 0 Giả sử q  [0, n  2] bậc lớn đa thức Qq ( x) cho q  , ta có: q 1  q Q q    k Qk (1) k 0 q 1 Vì q  nên deg qQq  deg Qq Mặt khác deg Qq  deg  k Qk k 0 Điều mâu thuẫn với (1) Vậy q  Từ suy dim Im f = n – Vì dim E  n  nên theo định lý suy dim Kerf  Dễ thấy f(1) = f(x) = 0, {1, x} hệ độc lập tuyến tính nên Kerf  [1, x] 3) Cho Q  Im f , tồn A  E cho f ( A)  Q Theo công thức khai triển Taylor, tồn đa thức B  ( x), deg B  n  cho A  A(0)  xA' (0)  x B Đặt P  x2 B deg P  n P (0)  P ' (0)  Vậy ta có: Q  f ( A)  A(0) f (1)  A' (0) f ( x)  f ( P)  f ( P) Ví dụ 9: Cho u, v tự đồng cấu K – không gian véc tơ E Chứng minh rằng: 1) Ker(vu) = Ker(u)  Im u  Ker(v)= {0} Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính 2) Im(vu) = Im v  Im u + Ker(v) = E Giải: 1) Giả sử Ker (vu)  Ker (u ) x  Im u  Ker (v), tồn y  E cho x  u ( y ) v( x)  Ta có vu( y)   y  Ker (vu )  Ker u Vậy u(x) =  x = 0, tức là: Im u  Ker v = {0} Ngược lại Im u  Ker v = {0} x  Ker(vu) Ta có vu(x) =0, u(x)  Ker v u(x)  Im u nên u(x) =0 hay x  Ker u Suy Ker(vu)  Ker u Dễ thấy Ker u  Ker(vu), từ suy Ker(vu) =Ker u 2) Giả sử Im(vu) = Im v x  E Ta có v(x)  Im v = Im(vu), nên tồn y  E cho vu(y) = v(x)  v(x – u(y)) =0  x –u(y)  Ker v, từ suy x = u(y) + x – u(y)  Im u + Ker v Vậy E = Im u + Ker v Ngược lại E = Im u + Ker v x  Im v tồn y  E cho v(y) =x Vì y  E, nên tồn z  Im u, t  Ker v cho y = z + t, v(z + t) = x hay x =v(z)  Im vu, suy Im v  Im(vu) Dễ thấy Im(vu)  Im v, từ suy Im v = Im(vu) (■) Ví dụ 10: Cho E K – không gian véc tơ hữu hạn chiều, u  L(E) Chứng minh tính chất sau tương đương: 1) Ker u2 = Ker u 2) Im u2 = Im u 3) E = Ker u  Im u Giải: 1)  2) Ta có: Im u2  Im u (1) Theo định lý 1.16, ta có: dim Ker u2 + dim Im u2 = dim E dim Ker u + dim Im u = dimE Mặt khác theo (1) ta có dim Ker u2 = dim Ker u, vậy: dim Im u2 = dim Im u (2) Từ (1) (2) suy Im u2 = Im u 2)  3) Với x E  u(x) Im u = Im u2  y  E cho u(x) = u2(y)  u(x –u(y)) =0  x –u(y)  Ker u Vậy x =x- u(y) +u(y)  Ker u + Im u Từ suy ra: E = Ker u + Im u Mặt khác dim E = dim Im u + dim Ker u, nên dim (Ker u  Im u) = 0, suy Ker u  Im u ={0} Vậy E = Ker u  Im u Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính 3)  1) Ta có Ker u  Ker u2 Với x  Ker u2  u2(x) =0  u(x)  Ker u Vì u(x)  Imu, nên u(x)  Ker u  Im u, lại 3)  Ker u  Im u ={0}, u(x) = hay x  Ker u, tức Ker u2  Ker u Suy Ker u2 = Ker u III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài tập 1: Trong ánh xạ sau ánh xạ ánh xạ tuyến tính? 1) Phép vị tự tâm O, tỉ số k  2) Phép đối xứng mặt  3) Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng  4) Phép quay với tâm quay gốc toạ độ O góc quay  2 5) Phép chiếu vuông góc lên đường thẳng qua gốc toạ độ  6) f :    , xác định f ( x, y, z )  ( x  y, x  z ) 7) f :   , xác định f ( z )  Re z 8) f :   , xác định f(z) = |z| 9) f :    , xác định f ( x, y)  ( x, x, x  y) Bài tập 2: Cho E F  – không gian véc tơ, f ánh xạ từ E vào F Chứng tỏ f ánh xạ tuyến tính tìm sở Ker f trường hợp sau: 1) E  F   f :    , xác đinh bởi: f ( x, y)  ( y, x) 2) E   , F   f :    , xác đinh bởi: f ( x, y, z )  (2 x  y  z, x  y  z ) 3) E  F   f :    , xác đinh bởi: f ( x, y, z )  (5 x  z, x  y  z, 3x  z ) 4) E   , F   f :    xác định bởi: f ( x1 , x2 , x3 )  ( x1  x2  x3 , x1  x2 , x2  x3 )   1    Bài tập 3: Cho ma trận A =   15  11 , xét ánh xạ f : M 31 ( )  M 31 (), xác định f(X)   14  11   =AX 1) Chứng minh f tự đồng cấu 2) Chứng minh V  { X  M 31 ( ) | f ( X )  X } không gian véc tơ không gian véc tơ M 31 ( ) 3) Gọi e1 sở V, tìm véc tơ e2 e3 cho f(e2) = e2 +e1 f(e3) = e3 + e2 Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính 4) Chứng minh {e1, e2, e3} sở M 31 ( ) Bài tập 4: Cho ánh xạ f :  ( x)   ( x) , xác định bởi: P  P( x   )  P( x   ) Trong  ,  số phức khác 1) Chứng minh f tự đồng cấu  ( x) 2) Chứng minh f toàn ánh 3) Tìm hạt nhân tự đồng cấu f Bài tập 5: Với đa thức P( x) có hệ số thực với bậc nhỏ 3, ta cho tương ứng đa thức Q ( x)  (2 x  1) P  ( x  1) P ' ( x ) 1) Chứng minh ánh xạ f biến P( x) thành Q( x) ánh xạ tuyến tính từ  ( x ) vào  ( x ) 2) Chứng minh f đơn cấu Bài tập 6: Tìm sở số chiều hạt nhân tự đồng cấu xác định công thức toạ độ sau:  y1  x1  x2  x3  1)  y  x1  x2  x3  y  x  2x  2x   y1  x1  3x2  x3  2)  y  x1  x2  x3  y  3x  x  x   a ab ac    Bài tập 7: Cho ma trận A   ba b bc  với a, b, c  , xét ánh xạ  ca cb c    f : M 3,1 ()  M 3,1 (), xác định f ( X )  AX Chứng minh f ánh xạ tuyến tính xác định Im f Kerf Bài tập 8: Cho ánh xạ  :  n ( x )  , xác định  ( P)   P(t )dt 1) Chứng minh  dạng tuyến tính  2) Tìm số chiều Im Im  Ker 3) Tìm sở Ker Bài tập 9: Cho u , v ánh xạ từ ( x) vào ( x) xác định bởi: u ( P )  XP P  ( x),  v( P )  P ' 1) Chứng minh u v tự đồng cấu ( x) 2) Xác định v  u  u  v Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính 3) Chứng minh v  u  u n  v  nu n 1 Bài tập 10: Cho hai tự đồng cấu tuyến tính f g E 1) Chứng minh Im g  f  Im g Kerf  Kerf  g 2) Chứng minh g  f  Im f  Kerg Bài tập 11: Cho ánh xạ f :  n ( x )   n ( x) , xác định bởi: f ( P)  ( x  1) P"  (2 x  1) P ' 1) Tính f (1), f ( x ), f ( x k ) với k  [1, n] 2) Chứng minh f tự đồng cấu  n ( x) 3) Xác định ma trận A f sở tắc 1, x,  , x n   n ( x) Bài tập 12: Cho phép biến đổi tuyến tính f K – không gian véc tơ cho f   f , với    \ 0, 1 1) Chứng minh Im f  Im f Kerf  Kerf 2) Chứng minh Im f Kerf bù E ĐÁP SỐ Bài 1: 1) Phép vị tự f :    , f(u) =  u với ánh xạ tuyến tính 2) Phép đối xứng mặt  ánh xạ tuyến tính 3) Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng R3 ánh xạ tuyến tính 4) Phép quay f tâm O góc quay  R2 ánh xạ tuyến tính f xác định f(x, y) = (xcos  - ysin  , xsin  +ycos  ) 5) Là ánh xạ tuyến tính 6) Là ánh xạ tuyến tính 7) Là ánh xạ tuyến tính 8) Không ánh xạ tuyến tính 9) Là ánh xạ tuyến tính Bài 2: 1) Kerf = {0} 2) Ker f = span [(2, 1, -3)] 3) Ker f = {0} Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Giảng viên môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục [...]... định bởi f(x, y) = (xcos  - ysin  , xsin  +ycos  ) 5) Là ánh xạ tuyến tính 6) Là ánh xạ tuyến tính 7) Là ánh xạ tuyến tính 8) Không là ánh xạ tuyến tính 9) Là ánh xạ tuyến tính Bài 2: 1) Kerf = {0} 2) Ker f = span [(2, 1, -3)] 3) Ker f = {0} Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân Giảng viên bộ môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục...  \ 0, 1 1) Chứng minh rằng Im f 2  Im f và Kerf 2  Kerf 2) Chứng minh rằng Im f và Kerf là bù nhau trong E ĐÁP SỐ Bài 1: 1) Phép vị tự f :  3   3 , f(u) =  u với là ánh xạ tuyến tính 2) Phép đối xứng mặt trong  3 không phải là ánh xạ tuyến tính 3) Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng trong R3 không phải là ánh xạ tuyến tính 4) Phép quay f tâm O góc quay  trong R2 là ánh xạ tuyến tính f được... Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính và xác định Im f và Kerf 1 Bài tập 8: Cho ánh xạ  :  n ( x )  , xác định bởi  ( P)   P(t )dt 0 1) Chứng minh rằng  là một dạng tuyến tính trên  2) Tìm số chiều của Im Im  và Ker 3) Tìm một cơ sở của Ker Bài tập 9: Cho u , v là những ánh xạ từ ( x) vào ( x) xác định bởi: u ( P )  XP P  ( x),  v( P )  P ' 1) Chứng minh rằng u và v là những tự... và f :  3   4 xác định bởi: f ( x1 , x2 , x3 )  ( x1  x2  x3 , 3 x1  x2 , 2 x2  x3 )   2 1 2    Bài tập 3: Cho ma trận A =   15  6 11  , xét ánh xạ f : M 3 1 ( )  M 3 1 (), xác định bởi f(X)   14  6 11    =AX 1) Chứng minh rằng f là một tự đồng cấu 2) Chứng minh rằng V  { X  M 3 1 ( ) | f ( X )  X } là một không gian véc tơ con của không gian véc tơ M 3 1 ( ) 3) Gọi e1... đơn cấu Bài tập 6: Tìm cơ sở và số chiều hạt nhân của một tự đồng cấu xác định bởi các công thức toạ độ sau:  y1  x1  x2  x3  1)  y 2  2 x1  x2  x3  y  x  2x  2x 1 2 3  3  y1  x1  3x2  2 x3  2)  y 2  2 x1  x2  3 x3  y  3x  x  4 x 1 2 3  3  a 2 ab ac    Bài tập 7: Cho ma trận A   ba b 2 bc  với a, b, c  , xét ánh xạ  ca cb c 2    f : M 3 ,1 ()  M 3 ,1 (), xác... Kerg Bài tập 11 : Cho ánh xạ f :  n ( x )   n ( x) , xác định bởi: f ( P)  ( x 2  1) P"  (2 x  1) P ' 1) Tính f (1) , f ( x ), f ( x k ) với mọi k  [1, n] 2) Chứng minh rằng f là một tự đồng cấu của  n ( x) 3) Xác định ma trận A của f trong cơ sở chính tắc 1, x,  , x n  của  n ( x) Bài tập 12 : Cho một phép biến đổi tuyến tính f của K – không gian véc tơ sao cho f 2   f , với    \ 0, 1 ... ) 3) Gọi e1 là cơ sở của V, hãy tìm véc tơ e2 và e3 sao cho f(e2) = e2 +e1 và f(e3) = e3 + e2 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân Giảng viên bộ môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính 4) Chứng minh rằng {e1, e2, e3} là cơ sở của M 3 1 ( ) Bài tập 4: Cho ánh xạ f :  2 ( x)... Trong đó  ,  là các hằng số phức khác nhau 1) Chứng minh rằng f là một tự đồng cấu của  2 ( x) 2) Chứng minh rằng f là toàn ánh 3) Tìm hạt nhân của tự đồng cấu f Bài tập 5: Với mỗi đa thức P( x) có hệ số thực với bậc nhỏ hơn 3, ta cho tương ứng một đa thức Q ( x)  (2 x  1) P  ( x 2  1) P ' ( x ) 1) Chứng minh rằng ánh xạ f biến P( x) thành Q( x) là một ánh xạ tuyến tính từ  3 ( x ) vào  4 ( x )... bởi f ( x, y)  ( x, x, x  y) Bài tập 2: Cho E và F là những  – không gian véc tơ, f là ánh xạ từ E vào F Chứng tỏ rằng f là ánh xạ tuyến tính và tìm cơ sở của Ker f trong các trường hợp sau: 1) E  F   2 và f :  2   2 , xác đinh bởi: f ( x, y)  ( y, x) 2) E   3 , F   2 và f :  3   2 , xác đinh bởi: f ( x, y, z )  (2 x  y  z, x  y  z ) 3) E  F   3 và f :  3   2 , xác đinh bởi:... 2) Xác định v  u  u  v Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân Giảng viên bộ môn toán-khoa CNTT –Học viện Quản lý Giáo dục http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ánh xạ tuyến tính 3) Chứng minh rằng v  u  u n  v  nu n 1 Bài tập 10 : Cho hai tự đồng cấu tuyến tính f và g của E 1) Chứng minh rằng Im g  f  Im g và Kerf  Kerf  g 2) Chứng ... R2 ánh xạ tuyến tính f xác định f(x, y) = (xcos  - ysin  , xsin  +ycos  ) 5) Là ánh xạ tuyến tính 6) Là ánh xạ tuyến tính 7) Là ánh xạ tuyến tính 8) Không ánh xạ tuyến tính 9) Là ánh xạ tuyến. .. A Tính chất 1. 11: Các tập hợp Kerf , Im f không gian véc tơ không gian véc tơ E F Tính chất 1. 12: i) Ánh xạ tuyến tính f đơn ánh Kerf  0 ii) Ánh xạ tuyến tính f toàn ánh Im f  F Tính chất. .. cấu tuyến tính ánh xạ ngược f 1 : F  E đẳng cấu tuyến tính Tính chất 1. 15: Nếu hai ánh xạ f : E  F g : F  G đẳng cấu tuyến tính hợp g  f f g đẳng cấu tuyến tính ( g  f ) 1  f 1  g 1 Định