Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng số 5 đường và mặt bậc hai trong không gian véc tơ euclide
http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide Bài giảng số Đường mặt bậc hai I Tóm lược lý thuyết Định nghĩa 5.1: Tập F gọi không gian hình học Euclide n chiều tựa E cặp điểm (M , N ) F tương ứng với véc tơ E , ký hiệu MN thoả mãn hai điều kiện sau đây: a) MN NP MP với M , N , P F ; b) Với điểm M F véc tơ a E tồn điểm N F để MN a Khi F không gian hình học Euclide phần tử thuộc F gọi điểm Định nghĩa 5.2: Cho F không gian hình học Euclide tựa E , O điểm F ; hệ véc tơ {e1 , e2 , , en } sở trực chuẩn E Khi {O; e1 , e2 ,, en } gọi hệ toạ độ trực chuẩn F với gốc toạ độ O Định nghĩa 5.3: Giả sử {O; e1 , e2 ,, en } hệ toạ độ trực chuẩn không gian hình học Euclide F Khi điểm M thuộc F tương ứng với véc tơ OM thuộc E toạ độ OM theo sở {e1 , e2 , , en } E toạ độ điểm M hệ toạ độ {O; e1 , e2 ,, en } Định nghĩa 5.4: Tập U không gian hình học Euclide F gọi siêu phẳng F với hệ toạ độ trực chuẩn {O; e1 , e2 ,, en } F U có dạng: U {M ( x1 , x2 ,, xn ) F | a1 x1 a2 x2 an xn 0} Định nghĩa 5.5: Đường bậc hai hay đường Cônic tập hợp () điểm không gian hình học Euclide mà toạ độ hệ qui chiếu trực chuẩn thoả mãn phương trình: ax 2bxy cy 2dx 2ey f (1) Các hệ số a, b, c hệ số thực Chú ý hệ số a, b, c số thực không đồng thời không Phân loại đường bậc hai Xét dạng toàn phương f ( x, y ) ax 2bxy cy ma trận đối xứng A dạng toàn phương: a b A b c Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide Giả sử A có giá trị riêng 1 , 2 , gọi u1 , u2 véc tơ riêng tương ứng, x' x phép đặt P ' ( P (u1 u2 ) ) ta đưa dạng toàn phương dạng y y 1 x '2 2 y '2 Khi phương trình cônic có dạng: 1 x '2 2 y '2 2d ' x ' 2e ' y ' f ' Trường hợp 1: 12 Khi phương trình đường bậc hai () có dạng: d' e' d '2 e '2 ' ' 1 ( x ) 2 ( y ) f 1 2 1 2 ' d' ' X x 1 Đặt ' Y y ' e 2 Ta chuyển (1) dạng: 1 X 2Y K (2) +) Nếu 12 K dấu với 1 , 2 phương trình có dạng: X Y2 1 (3) m2 n2 (3) phương trình đường Elip thực Nếu K trái dấu với 1 , 2 (2) xác định Elip ảo +) Nếu 12 (2) viết dạng: X Y2 1 m n2 (4) phương trình hypebol 1 +) Nếu 12 (1) có dạng: 2 Y pX X pY (5) phương trình Parabol (4) (5) Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide Định nghĩa 5.6: Mặt bậc hai hay đường Quadric tập hợp () điểm không gian hình học Euclide 3 mà toạ độ hệ qui chiếu trực chuẩn thoả mãn phương trình: ax by cz 2dxy 2eyz fzx mx ny pz q (6) Các hệ số a , b, c, d , e, f , m, n, p, q hệ số thực Chú ý hệ số a , b, c, d , e, f số thực không đồng thời không Phân loại mặt bậc hai Xét dạng toàn phương f ( x, y , z ) ax by cz 2dxy 2eyz fzx Gọi 1 , 2 , 3 giá trị riêng dạng toàn phương Trường hợp 1: Nếu 1 , 2 , 3 khác dấu, phương trình mặt bậc hai X Y2 Z2 1 đưa dạng: a b2 c2 (7) phương trình elipxôit thực ảo Nếu 1 2 elipxôit thực có dạng: (7) X Y2 Z2 1 (8) a a2 c2 (8) phương trình elipxôit tròn xoay tạo elip có phương trình X Z2 1 a2 c2 mặt phẳng Oxz quay quanh trục Oz Trường hợp 2: Nếu 1 , 2 , 3 khác không dấu phương trình mặt bậc hai đưa dạng: X Y2 Z2 1 (9) a b2 c2 X Y2 Z2 1 (10) a b2 c2 X Y2 Z2 0 (11) a b2 c (9) phương trình mặt hypecbôlôit tầng Nếu a b mặt bậc hai có dạng: X Y2 Z2 1 (12) a a2 c2 Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide (12) hypecbôlôit tròn xoay tầng sinh hypecbôn có phương trình X Z2 1 a2 c2 mặt phẳng Oxz quay quanh trục Oz (10) phương trình mặt hypecbôlôit hai tầng Nếu a b mặt bậc hai có dạng: X Y2 Z2 1 (13) a a2 c2 (13) hypecbôlôit tròn xoay hai tầng sinh hypecbôn có phương trình X Z2 1 a2 c2 mặt phẳng Oxz quay quanh trục Oz (11) phương trình mặt nón thực Đặc biệt a b , (11) trở thành X Y2 Z2 0 (14) a2 a2 c2 (14) phương trình mặt nón tròn xoay quanh trục Oz Trường hợp 3: 12 0, 3 , phương trình mặt bậc hai có dạng: 1 X 2Y 2kZ (15) 1 X 2Y k (16) (15) phương trình mặt parabôlôit Đặc biệt 1 2 (15) parabôlôit tròn xoay sinh parabol có phương trình: X 2k Z mặt phẳng Oxz quay 1 quanh trục Oz (16) phương trình mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz Đặc biệt 1 2 (16) mặt trụ tròn xoay có phương trình: X Y k 1 Trường hợp 3: Nếu 1 0, 2 3 , phương trình mặt bậc hai có dạng: X pY (17) (17) phương trình mặt trụ parabôlic II Các ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Nhận dạng đường bậc hai sau đây: 1) x xy y 18 x 18 y ; Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide 2) x y xy 2(1 3) x 2(1 3) y Giải: 1) Xét dạng toàn phương: f ( x, y ) x xy y 5 4 Ma trận dạng toàn phương là: A 4 5 Các giá trị riêng ma trận nghiệm phương trình: A I (5 )2 16 Toạ độ véc tơ riêng ứng với giá trị riêng thoả mãn hệ phương trình: x1 x2 x1 x2 x x véc tơ riêng tương ứng v1 (1,1) Toạ độ véc tơ riêng ứng với giá trị riêng thoả mãn hệ phương trình: 4 x1 x2 x1 x2 x x Vậy véc tơ riêng tương ứng v2 (1,1) Đặt u1 v1 1 v 1 ( , ), u2 ( , ) v1 v2 2 2 Khi ma trận P 2 ma trận trực giao ta có P 1 P t 2 ' ' x x y x x 2 Đặt P ' y y y x' y ' 2 thay vào phương trình đường cônic ta có: ' x '2 9( y ' 2)2 Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide X x ' Đặt: ' Y y X2 Y2 đường bậc hai Elip tắc có dạng: 2) Xét dạng toàn phương f ( x, y ) x 3xy y 3 ma trận dạng toàn phương là: A 1 Các giá trị riêng ma trận nghiệm phương trình: A I ( 1)( 1) 2 Toạ độ véc tơ riêng ứng với giá trị riêng 2 thoả mãn hệ phương trình: 3 x1 x2 x2 3x1 x x Vậy véc tơ riêng tương ứng v1 (1, 3) Toạ độ véc tơ riêng ứng với giá trị riêng thoả mãn hệ phương trình: x1 3x2 x1 3x2 x x Vậy véc tơ riêng tương ứng v2 ( 3,1) v1 v2 Đặt u1 ( , ), u2 ( , ) Khi ma trận P v1 2 v2 2 1 t ma trận trực giao ta có P P ' x x' y x x 2 Đặt P ' y y y x' y ' 2 ' Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục 3 http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide thay vào phương trình đường cônic ta có: ( x ' 1)2 ( y ' 1)2 X x' Đặt: ' Y y đường bậc hai hypecbol tắc có dạng: X Y Ví dụ 2: Nhận dạng đưa mặt bậc hai sau dạng tắc: 1) x y z xy yz zx ; 2) xy xz yz x y z Giải: 1) Xét dạng toàn phương: x y z xy yz zx Ma trận dạng toàn phương có dạng: A Phương trình đặc trưng ma trận là: A I 4 12 9 1 1 2 Với , toạ độ véc tơ riêng tương ứng nghiệm hệ sau: 1 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x x2 x3 2 Véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng v1 (1, 1, 1) Với , toạ độ véc tơ riêng tương ứng nghiệm hệ sau: Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide 1 x x x3 2 1 x1 x2 x3 x1 x2 x3 2 1 x1 x2 x3 Nghiệm tổng quát hệ có dạng: (a b, a, b) (a, b ) là: v2 (1, 1, 0), v3 v1 v2 (1, 1, 2) Véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng Trực chuẩn hoá hệ véc tơ trực giao v1 , v2 , v3 ta hệ véc tơ sau: 1 1 1 ), u2 ( , , 0), u3 ( , , ) u1 ( , , 3 2 6 Khi ma trận P u1 u2 u3 3 2 ma trận trực giao 6 ' ' ' x x y z ' x x ' ' ' Đặt y P y ' y x y z z z' ' ' x z z Thay vào phương trình mặt bậc hai, ta có: '2 '2 y z 1 2 Phương trình xác định mặt trụ tròn xoay quanh trục Ox 2) Xét dạng toàn phương: xy yz zx Ma trận dạng toàn phương có dạng: Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide 0 1 A 1 1 0 Khi phương trình đặc trưng ma trận A có dạng: 1 A I 1 1 0 ( 1)( 2) 1 Với , toạ độ véc tơ riêng tương ứng nghiệm hệ: 2 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x x 2x 1 Véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng v1 , , 3 3 Với 1, toạ độ véc tơ riêng tương ứng nghiệm hệ: x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x x x Véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng 1 là: 1 1 v2 , , , v3 v2 v1 , , 2 6 6 Khi ma trận P (v1 v2 v3 ) 3 2 ma trận trực giao 6 Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide ' ' ' x x y z ' x x ' ' ' Đặt y P y ' y x y z z z' ' ' x z z Thay vào phương trình mặt bậc hai, ta có: 16 '2 ' x '2 y '2 z '2 x z 0 2 30 2( x ' ) y '2 ( z ' ) 3 , Y y' , Z z' , mặt bậc hai có dạng: 30 2X Y Z Đây phương trình mặt hypecbolôit hai tầng tròn xoay sinh hypecbol 30 2X Y mặt phẳng Oxy quay quanh trục Ox Ví dụ 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với sở tắc xét điểm M (a, b ) Đặt X x ' a r cos , b r sin (r 0), đường bậc hai tương ứng với điểm M có phương trình: (a 1) x 2bxy (a 1) y 2ax 2by (a 1) (C) 1) Xác định đường bậc hai ứng với gốc toạ độ; 2) Tìm giá trị riêng véc tơ riêng dạng toàn phương: (a 1) x 2bxy (a 1) y 3) Nhận dạng đưa đường bậc hai (C) dạng tắc biết điểm M nằm đường tròn tâm O bán kính Giải: 1) Đường bậc hai tương ứng với điểm O(0, 0) có dạng: x y 1 Đây phương trình đường tròn ảo Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide 2) Ma trận dạng toàn phương là: b a 1 A a 1 b Đa thức đặc trưng ma trận có dạng: 1 r A I ( 1) a b 1 r Với 1 r , toạ độ véc tơ riêng tương ứng nghiệm hệ sau: (cos 1) x1 (sin ) x2 cos x1 sin x2 2 (sin ) x1 (1 cos ) x2 Vậy toạ độ véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng 1 r là: v1 ( sin , cos ) 2 Với 1 r , toạ độ véc tơ riêng tương ứng nghiệm hệ sau: (cos 1) x1 (sin ) x2 sin x1 cos x2 2 (sin ) x1 (1 cos ) x2 Vậy toạ độ véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng r là: v2 (cos , sin ) 2 3) Vì M nằm đường tròn tâm O bán kính nên ta có r sin cos 2 ma trận trực giao Khi ma trận P (v1 v2 ) cos sin 2 ' ' x sin x cos y x x 2 Đặt: P ' y y y cos x ' sin y ' 2 Thay vào đường bậc hai (C), ta có: 2( x ' sin ) y ' cos cos 2 2 2 Đặt X x ' sin , Y y ' cos cos 2 2 2 Khi đường bậc hai (C ) Parabol có dạng: Y 2X ' Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide III Bài tập tự giải Bài 1: Nhận dạng đưa dạng tắc đường bậc hai sau: 1) x xy y x y 0; 2) 11x 24 xy y 15 0; 3) x xy y 24 0; 4) x xy y 24 x 12 y 18 Bài 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với sở tắc xét điểm M (a, b ) a r cos , b r sin (r 0), đường bậc hai tương ứng với điểm M có phương trình: (a 1) x 2bxy (a 1) y 2ax 2by (a 1) (C) Nhận dạng đưa dạng tắc đường bậc hai (C) trường hợp sau: 1) M nằm đường tròn tâm O bán kinh 2) M nằm đường tròn tâm O bán kinh Bài 3: Nhận dạng đưa tắc mặt bậc hai sau: 1) x y z xy xz yz ; 2) x y z xy yz x y z 0; 3) x y z xy xz yz 10 x z 26 0; 4) xy xz x y z 0; 5) x y z xy yz zx 0; 6) xy x 10 y z 31 Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục [...]... Thay vào đường bậc hai (C), ta có: 1 1 5 2( x ' sin ) 2 2 y ' cos cos 2 0 2 2 2 2 2 2 1 1 5 Đặt X x ' sin , Y 2 y ' cos cos 2 2 2 2 2 2 2 Khi đó đường bậc hai (C ) là một Parabol có dạng: Y 2X 2 ' Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide III Bài. .. Euclide III Bài tập tự giải Bài 1: Nhận dạng và đưa về dạng chính tắc các đường bậc hai sau: 1) x 2 2 xy y 2 8 x y 0; 2) 11x 2 24 xy 4 y 2 15 0; 3) 2 x 2 4 xy 5 y 2 24 0; 4) 5 x 2 4 xy 2 y 2 24 x 12 y 18 0 Bài 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với cơ sở chính tắc xét điểm M (a, b ) trong đó a r cos , b r sin (r 0), và đường bậc hai tương ứng với điểm M có... 1) 0 (C) Nhận dạng và đưa về dạng chính tắc đường bậc hai (C) trong các trường hợp sau: 1) M nằm trong đường tròn tâm O bán kinh bằng 1 2) M nằm ngoài đường tròn tâm O bán kinh bằng 1 Bài 3: Nhận dạng và đưa về chính tắc các mặt bậc hai sau: 1) x 2 5 y 2 z 2 2 xy 6 xz 2 yz 6 0 ; 2) 2 x 2 y 2 2 z 2 2 xy 2 yz x 4 y 3 z 2 0; 3) 2 x 2 2 y 2 5 z 2 4 xy 2 xz 2...http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide 2) Ma trận của dạng toàn phương trên là: b a 1 A a 1 b Đa thức đặc trưng của ma trận có dạng: 1 r A I 0 ( 1) 2 a 2 b 2 0 1 r Với 1 r , toạ độ véc tơ riêng tương ứng là nghiệm của hệ sau: (cos 1) x1 (sin ) x2 0 ... cos ) x2 0 Vậy toạ độ véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng 1 r là: v1 ( sin , cos ) 2 2 Với 1 r , toạ độ véc tơ riêng tương ứng là nghiệm của hệ sau: (cos 1) x1 (sin ) x2 0 sin x1 cos x2 0 2 2 (sin ) x1 (1 cos ) x2 0 Vậy toạ độ véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng 1 r là: v2 (cos , sin ) 2 2 3) Vì M nằm trên đường tròn tâm O bán kính bằng... 2 xy 2 yz x 4 y 3 z 2 0; 3) 2 x 2 2 y 2 5 z 2 4 xy 2 xz 2 yz 10 x 2 z 26 0; 4) 2 xy 2 xz x y z 0; 5) x 2 y 2 z 2 xy yz zx 1 0; 6) 2 xy 6 x 10 y z 31 0 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục ... http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide III Bài tập tự giải Bài 1: Nhận dạng đưa dạng tắc đường bậc hai sau:... ' Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục 3 http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide thay vào phương trình đường. .. X pY (5) phương trình Parabol (4) (5) Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide