http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Khơng gian véc tơ Euclide Bài giảng số Tích vơ hướng – Khơng gian véc tơ Euclide I Tóm lược lý thuyết Định nghĩa 2.1: Cho E không gian véc tơ trường số thực  , tích vơ hướng E ánh xạ , : E  E   ( x, y)  x, y  thoả mãn điều kiện sau: i)  x , y    y , x , ii) iii) iv)  x  y, z    x, z    y, z , <   x, y     x, y ,  x, x  x  E  x, x    x  Định nghĩa 2.2: Không gian véc tơ E trường số thực  gọi khơng gian véc tơ Euclide E có tích vơ hướng Định nghĩa 2.3: Độ dài véc tơ x không gian véc tơ Euclide E với tích vơ hướng < , > xác định bởi: x   x, x  Tính chất 2.4: Độ dài véc tơ không gian Euclide E có tính chất đơn giản sau: i) x   x  ; ii)  x   x ,    ; iii)  x, y   x y (Bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacovxki); iv) x  y  x  y (Bất đẳng thức tam giác) Định nghĩa 2.5: Đối với hai véc tơ x y không gian véc tơ Euclide ta gọi góc  x y xác định công thức: cos    x, y  x y Định nghĩa 2.6: Hai véc tơ u v không gian véc tơ Euclide E trực giao  u, v   Định nghĩa 2.7: Giả sử E không gian véc tơ Euclide hữu hạn chiều Một sở {v1 , v2 , , } sở trực giao E  vi , v j   với i, j  1, 2, , n thoả mãn i  j Nó sở trực chuẩn thoả mãn thêm điều kiện vi  với i = 1, 2,…, n Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Không gian véc tơ Euclide Mệnh đề 2.8: Giả sử E khơng gian Euclide hữu hạn có sở trực chuẩn {v1 , v2 , , } với véc tơ u  E , ta có: u  u, v1  v1   u , v2  v2     u ,  Định lý 2.9: Nếu hệ véc tơ {v1 , v2 , , } không gian véc tơ Euclide hữu hạn chiều E trực giao đơi hệ độc lập tuyến tính Mệnh đề 2.10: Cho {v1 , v2 , , } hệ véc tơ trực giao đôi không gian véc tơ Euclide E Ta có: 2 v1  v2     v1  v2    2 Với n = 2, ta có đẳng thức Pitago sau: v1  v2  v1  v2 Định lý 2.11: Mỗi không gian véc tơ Euclide hữu hạn chiều có sở trực chuẩn Phương pháp trực giao hoá Gram-schmidt Giả sử {u1 , u2 , , un } sở khơng gian véc tơ Euclide hữu hạn chiều E Đặt v1  u1 Gọi véc tơ v2  u2  1v1 , 1 thoả mãn v2 , v1  0, ta có:  u2  1v1 , v1    1   u2 , v1   u2 , v1    v1 , v1  v1 Tổng quát hoá lên, ta tìm vs 1  u s1  1v1   2v2     s vs trực giao với véc tơ v1, v2, …, vs, điều tương đương với tìm số thực 1 ,  , , s cho  vi , vs 1  với i = 1, 2, …, s Ta có  vi , vs1    vi , us 1  1  vi , v1     i  vi , vi   s  vi , vs    vi , u s 1   i  vi , vi    i  Vậy vs+1 = us+1 -  vi , us 1   vi , u s 1   với i = 1, 2, …, s  vi , vi  vi  v1 , u s 1   v2 , u s1  v ,u  v1 v2 - …- s s21 vs với s = 1,…, n -1 2 v1 v2 vs Hệ véc tơ {v1 , v2 , , } hệ sở trực giao Đặt ei  vi với i = 1, 2, …, n vi {e1, e2, …, en} hệ sở trực chuẩn không gian véc tơ Euclide E Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Khơng gian véc tơ Euclide Định nghĩa 2.12: Cho không gian véc tơ Euclide E, F không gian E Véc tơ x  E gọi trực giao với F trực giao với véc tơ F Ta kí hiệu x  F Tập tất véc tơ vng góc với F E kí hiệu F  Định nghĩa 2.13: Hai không gian U V không gian véc tơ Euclide E gọi trực giao với véc tơ thuộc U trực giao với véc tơ thuộc V Tính chất 2.14: Giả sử F không gian k - chiều khơng gian véc tơ Euclide n- chiều E F  không gian (n-k) - chiều E F  trực giao với F E Nếu F = {0} F   E , cịn F = E F   {0} II Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Cho véc tơ x  ( x1 , x2 )  E   y  ( y1 , y2 )  E Xét biểu thức:  ( x, y )  x1 y1  x2 y2  x1 y2  x2 y1 Chứng minh  tích vơ hướng E Giải: Với ( x, y )  E ,  ( x, y )   i) ( x, y )  E ,  ( y, x)  y1 x1  y2 x2  y1 x2  y2 x1   ( x, y ) ii) ( x, x ' , y )  E , ( ,  ' )   , ta có:  ( x   ' x ' , y )  2( x1   ' x1' ) y1  5( x2   ' x2' ) y2  ( x1   ' x1' ) y2  ( x2   ' x2' ) y1   (2 x1 y1  x2 y2  x1 y2  x2 y1 )   ' (2 x1' y1  x2' y  x1' y  x2' y1 )   ( x, y )   ' ( x ' , y ) iii) x  E ,  ( x, x )  x12  x22  x1 x2  2( x1  x2 )  x2  2   x1  x2  iv)  ( x, x)  2( x1  x2 )  x2     x1  x2  2  x2  Hay x  Vậy  tích vơ hướng E Ví dụ 2: Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Khơng gian véc tơ Euclide Các véc tơ u, v, w không gian véc tơ Euclide E với tích vơ hướng chuẩn tắc thoả mãn điều kiện sau:  u, v   2,  v, w   3,  u , w   5, u  1, v  2, w  Tính giá trị biểu thức sau: 1)  u  v, v  w  2) 2w  v 3) u  2v  4w Giải: 1) Theo tính chất tích vơ hướng ta có:  u  v, v  w  u , v    u , w    v, v    v, w    v   2 w  v  w  v, w  v   w, w  2  w, v  2  v, w    v, v  2) 2  w   v, w   v  212  w  v  212 3) u  2v  w  u  2v  w, u  2v  w   u , u    u , v    u , w  16  v, w    v, v   16  w, w     40  48  16  784  881  u  2v  w  881 Ví dụ 3: Cho tích vơ hướng  ( x, y )  x1 y1  x2 y2  x1 y2  x2 y1 không gian véc tơ Euclide  1) Tính độ dài góc hai véc tơ f1 (1,1) f (1, 1) 2) Xác định sở trực giao  tích vơ hướng 3) Cho véc tơ u(1,1), xác định toạ độ u sở Giải: 1) Cho x  ( x1 , x2 ), ta có x   ( x, x )  x12  x22  x1 x2 Vậy f1  5, f  Góc hai véc tơ là: cos( f1 , f )   ( f1 , f )  f1 f 2) Gọi e1 (1, 0), e2 (0, 1) sở  Áp dụng trình trực giao hố Gramschmidt ta có: e1   (e1 , e1 )  Đặt v1  1 e1  ( , 0) 2 Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tn –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Khơng gian véc tơ Euclide Cho u2  e2   (e2 , v1 )v1 , ta có  (e2 , v1 )   1  u2  e2  e1  ( ,1) 2 Và u2   (u2 , u2 )  u 2 ) Đặt v2   ( , u2 Vậy {v1, v2} sở trực giao cần tìm  tích vơ hướng  3) Tìm toạ độ u (1,1) sở {v1, v2} Cách 1: Giả sử u   v1   v2 , ta có   ,  , toạ độ u 2 , ) 2 Cách 2: Ta có u   (u , v1 )v1   (u, v2 )v2 , sở {v1, v2} u (  (u, v1 )  3  (u, v2 )  Vậy u( , ) 2 2 Ví dụ 4: Cho ánh xạ f :  ( x)   ( x)   xác định sau: Với p, q   ( x), p  a  a1 x  a x , q  b0  b1 x  b2 x ta có: f ( p, q )  a0b0  a1b1  a2b2 1) Chứng minh f tích vơ hướng  ( x); 2) Hãy trực giao hóa Gram-schmidt hệ sở: u   x  x , u2   12 x  x , u3   x  25 x   ( x) để sở trực giao  ( x) Giải: 1) f tích vơ hướng  ( x) i) Với p, q   ( x), p  a  a1 x  a x , q  b0  b1 x  b2 x , ta có: f (q, p )  b0 a0  b1a1  b2 a2  f ( p, q ) ii) Với p, q, r   ( x), p  a0  a1 x  a2 x , q  b0  b1 x  b2 x , r  c0  c1 x  c2 x  ,   , ta có: f ( p   q , r )  ( a0   b0 )c0  ( a1   b1 )c1  ( a2  b2 )c2   (a0c0  a1c1  a2c2 ) +  ( b0c0  b1c1  b2c2 ) Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tn –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Khơng gian véc tơ Euclide   f ( p, r )   f (q, r ) iii) f (r ,  p   q )  c0 ( a0  b0 )  c1 ( a1  b1 )  c2 ( a2  b2 ) =  ( c0 a0  c1a1  c2 a2 ) +  ( c0b0  c1b1  c2b2 )   f (r , p)   f (r , q) iv) f(p, p) = a02  a12  a22  f ( p, p)   a0  a1  a2  hay p = 2) Áp dụng q trình trực giao hố Gram-schmidt, ta có: v1   x  x v2  u2  f (v1 , u2 ) 100 v1   12 x  x  (3  x  x )   x  x f (v1 , v1 ) 50 v3  u3  f (v1 , v3 ) f (v2 , v3 ) v1  v2 f (v1 , v1 ) f (v2 , v2 )   x  25 x  3(3  x  x )  3(3  x  x )   x Hệ véc tơ {v1, v2, v3} sở trực giao cần tìm  ( x) Ví dụ 5: Cho  – kgvt E   ( x) , với cặp  P, Q   E Xét  P , Q   P (0)Q (0)  P ' (1)Q ' (1)  P "Q " 1) Chứng minh biểu thức xác định tích vô hướng E 2) Xác định sở trực giao E tích vơ hướng từ sở 1, x, x   ( x) Giải: 1) Cho đa thức P, Q, Q1  E  ,    i)  P, Q   P (0), Q (0), P ' (1), Q ' (1) P " , Q" , P (0), Q(0), P '(1), Q '(1), P '' , Q ''   ii)  P,  Q   Q1   P (0)( Q   Q1 )(1)  P '(1)( Q   Q1 )'(1)  P "( Q   Q1 )"   [ P(0)Q(0)  P ' (1)Q ' (1)  P ''Q '' ]   [ P (0)Q1 (0)  P ' (1)Q1' (1)  P ''Q1'' ]    P, Q     P, Q1  iii)  P , P   P (0)  P ' (1)  ( P " )   P, P    P (0)  P '(1)  P "   P  Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tn –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Khơng gian véc tơ Euclide Vậy tích vơ hướng E 2) 1, x, x  sở tắc E Dùng phương pháp trực giao hoá Schmidt sau: Q0  1,  Q0 , Q0  Q (0)Q0 (0)   Q0  Đặt P0  Q1  x   x, P0  P0 Vì  x, P0   Q1  x Ta có  Q1 , Q1   Q1' (0)Q1' (0)   Q1  1, đặt P1  x Lại đặt Q2  x   x , P0  P   x , P1  P1 Vì  x , P0   x , P1   nên Q2  x  x x2 Vì  Q , Q2  nên Q2  Vậy đặt P2   x ta có hệ véc tơ {P0, P1, P2} sở trực chuẩn E cần tìm Ví dụ 6: Cho không gian véc tơ Euclide V   ( x) tập đa thức có bậc không vượt hai với hệ sô thực Xét biểu thức:  p1 , p2    p1 ( x ) p2 ( x)dx (1) 1 1) Chứng minh biểu thức (1) xác định tích vơ hướng V; 2) Tìm sở số chiều không gian trực giao với véc tơ p1  1; 3) Xác định sở trực giao V Giải: 1) Với p1 ( x ), p2 ( x )   ( x) ta có  p1 , p2    p1 ( x ) p2 ( x)dx nên 1  p1 , p2    Với p1 ( x), p2 ( x), q ( x )   ( x )  ,    , ta có 1   p1   p2 , q    ( p1   p2 )( x )q( x )dx    p1 ( x )q( x )dx    p2 ( x)q( x)dx 1 1    p1 , q     p2 , q   p, p    p( x) dx  , với p ( x)   ( x ), ta có: 1 Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tn –HVQL Giáo dục 1 http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Khơng gian véc tơ Euclide  p, p     p( x )2 dx  với  x   (2) 1 p( x)  0, tức x0 , p ( x0 )  ,  p( x0 ), p( x0 )    p( x0 ) dx  p( x0 )2  1 điều mâu thuẫn với (2) Vậy p( x)  với x   hay p = 2) Giả sử p(x) đa thức thuộc không gian trực giao với p1  , ta có:  p ( x),1    (ax  bx  c ).1dx  1 x x2  (a  b  cx)  a  3c 1 a   2(  c)  Vậy đa thức thuộc không gian trực giao với đa thức p1  có dạng p  c(1  x )  bx Không gian trực giao với p1  có dạng: span{ x,1  x } 3) Xét hệ véc tơ sở 1, x, x   ( x) , dùng phương pháp trực giao hố Gram –schmidt ta có:  1,1    1.1dx    Đặt q1  1 1  xdx  x,1  1 Cho p2  x  1 x   x   x , ta có  x, x    x 2dx  1 Đặt q2  x Vậy p2  Cho p3  x   x ,1  1  x , x  x  x  p 2 2 (x  ) Ta có: p3  p3 , p3    ( x  ) dx  Đặt q3   p 3 1 Vậy {q1 , q2 , q 3} sở trực giao cần tìm Ví dụ 7: Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Khơng gian véc tơ Euclide Cho không gian véc tơ Euclide M 22 () với tích vơ hướng  u11 u12  v v  , V   11 12   U , V   u11v11  u12v12  u21v21  u22v22 , U     u21 u22   v21 v22    m m  1 1 1) Hãy tìm tham số m để hai véc tơ A   , B   m m   trực m  1   giao với nhau; 2) Với m tìm kiểm tra lại đẳng thức Pitago Giải 1) Ta có:  A, B   m  m  m(m  1)  m  m Để A B trực giao với m  =  m2 +m =    m  1  1  1   1  2) Với m = 0, A   , B  A  B    1   1  1      A   A, A   2, B   B, B   2, 2 A  B   A  B, A  B    Dễ thấy: A  B  A  B  1 2  1 0  2  Với m  , A   A  B   , B     1   1 2   3  A   A, A   , B   B, B   , A  B   A  B, A  B   13 2 Dễ thấy: A  B  A  B Ví dụ 8: Cho khơng gian véc tơ Euclide  với tích vơ hướng chuẩn tắc Xác định sở trực giao không gian trực giao với không gian nghiệm hệ  x1  x2  x3  x4  phương trình:   x1  x2  x3  x4  Giải:  x1   x3 Giải hệ phương trình ta có  x   x  Suy nghiệm tổng quát hệ có dạng: x  (a, b,  a,  b)  a(1, 0,  1, 0)  b(0,1, 0,  1) (a, b  ) Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Khơng gian véc tơ Euclide Vậy khơng gian nghiệm H hệ phương trình là: H = span{v1 (1, 0, -1, 0), v2 (0, 1, 0, -1)} Giả sử y  ( y1 , y2 , y3 , y4 )  H  , ta có:  y  y3  y, v1    y1  y3      y , v  y  y  y  y    2 4  Vậy H  {(c, d , c, d ) | c, d  }  span { u1 (1, 0,1, 0), u2 (0,1, 0,1)} Dễ thấy  0, nên {u1, u2} sở trực giao cần tìm H  Ví dụ 9: Trong khơng gian véc tơ Euclide M 22 () với tích vơ hướng  U , V   u11v11  u12v12  u21v21  u22v22  u11 u12   v11 v12  , V  U     v v  , cho không gian W xác định  u21 u22   21 22   ta   W   : t    với a, b khác không   tb   Hãy tìm sở W  Từ suy sở trực chuẩn W  Giải:  a 0 W có véc tơ sở T    0 b m n Giả sử H   W  , ta có H  W hay  H , T     p q  m n  a 0   ,      ma  qb  0, tức m  kb q  ka với k  p q 0 b  kb n    b     0   : k , n , p    span Vậy W        ,  0  ,   p  ka  a            b  0 1 0 0 Cơ sở W  { E1   , E2   , E3     }  a 0       Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Không gian véc tơ Euclide Dễ thấy {E1, E2, E3} hệ trực giao hệ: { b     1 0 0 0 E1  a  b  , W2  E2   W1   , W3  E3     } E1  a  E2  0     2  a b   sở trực chuẩn W  Ví dụ 10: Giả sử E không gian véc tơ Euclide với hạng hữu hạn Cho U1, U2 không gian V Chứng minh rằng: 1) (U  U )   U 1  U 2 ; 2) (U  U )   U 1  U 2 Giải  x U1  x  U1 1) Nếu x U  U     x  (U  U )  x  (U1  U )   x  U2  x U  Suy ra:  U 1  U 2  (U  U )  (1) Mặt khác nếu:   x  (U  0)  x U1 x  (U  U )  x  (U1  U )     x  U1  U 2   x  (U  0)  x U Vậy ta có (U  U )   U1  U 2 (2)  Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh 2) Ta có: x  U1  U 2  x  (U 1  U 2 )   U  U (theo câu 1)  x  (U1  U )  Vậy: U1  U 2  (U1  U )  III Bài tập tự giải Bài 1: Các véc tơ u, v, w khơng gian véc tơ Euclide E với tích vơ hướng chuẩn tắc thoả mãn điều kiện sau:  u, v   2,  v, w   3,  u , w   5, u  1, v  2, w  Tính giá trị biểu thức sau: 1)  2v  w, 3u  2w  2)  u  v  2w, 4u  v  3) u  v Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Không gian véc tơ Euclide Bài 2: Kiểm tra xem biểu thức sau đây, biểu thức xác định tích vơ hướng ? 1)  :  u , v   2u1v1  u2v2 ; 2)  :  u , v  u1v1  u1v2  u2v1  u2v2 ; 3)  :  u , v   u12v12  u22v22  u32v32 2 Bài 3: Chứng minh  u , v  ( u  v  u  v ) với véc tơ u, v thuộc không gian véc tơ Euclide E Bài 4: Tìm sở trực chuẩn khơng gian bù trực giao với không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính  sau: 0  x1  x2  x3 x  x  x  2x     x1  x2  x3  x4   x1  x2  x3  x4  Bài 5: Áp dụng phương pháp trực giao hố Gram-schmidt để tìm sở trực chuẩn không gian Euclide từ hệ sở sau: 1) {u1(2, 2, -1), u2 (4, 1, 1), u3 (1, 10, -5)}  ; 2) {u1(0, 2, 1, 0), u2 (1, -1, 0, 0), u3 (1, 2, 0, -1), u4(1, 0, 0, 1)}  Bài 6: Trong không gian véc tơ Euclide  , cho không gian con: W  ( x, y )   : x  y  0 Tìm khơng gian trực giao W  tích vơ hướng:  u , v   u1v1  u2v2  (u1v2  u2v1 ) Bài 7: Cho E không gian véc tơ Euclide, E1 E2 không gian E cho E1  E2  E Chứng minh E1  E2  E Bài 8: Cho E   với tích vơ hướng chuẩn tắc Hãy tìm khơng gian bù trực giao với không gian Ei E sau: 1) E1 = span {(3, 2, 0, 4), (1, 0, 0, -2), (0, 1, 3, 2)}; 2) E2 = {(x1, x2, x3, x4)   | 2x1 +3x2 –x4 = 0} Bài 9: Chuẩn hoá véc tơ sau: 1) x  e1  2e2  3e3  8e4  5e5 ; Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tn –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Khơng gian véc tơ Euclide 2) x  e1 sin   e2 sin  cos   e3sin  cos   e4 cos  Bài 10: Giả sử {e1, e2, …, en} sở trực chuẩn không gian véc tơ Euclide E chứng minh với u  E , ta có: u  u , e1      u , en  Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục ... véc tơ Euclide Cho không gian véc tơ Euclide M 2? ? ?2 () với tích vơ hướng  u11 u 12  v v  , V   11 12   U , V   u11v11  u12v 12  u21v21  u22v 22 , U     u21 u 22   v21 v 22   ...   u11v11  u12v 12  u21v21  u22v 22  u11 u 12   v11 v 12  , V  U     v v  , cho không gian W xác định  u21 u 22   21 22   ta   W   : t    với a, b khác không   tb ... ,  ( x, x )  x 12  x 22  x1 x2  2( x1  x2 )  x2  2   x1  x2  iv)  ( x, x)  2( x1  x2 )  x2     x1  x2  2  x2  Hay x  Vậy  tích vơ hướng E Ví dụ 2: Bài giảng cung cấp độc