TÀI LIỆU THAM KHẢO TOÁN HỌC PHỔ THÔNG 17 30.06.1954 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 4) TRUNG ĐOÀN TRẦN NGUYÊN HÃN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH CHỦ ĐẠO: SỬ DỤNG LINH HOẠT PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA  MỘT SỐ DẠNG TOÁN ĐẶC TRƯNG QUEN THUỘC  PHÂN TÍCH NHÂN TỬ, ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH – THƯƠNG  BÀI TOÁN NHIỀU CÁCH GIẢI CREATED BY GIANG SƠN (FACEBOOK); XYZ1431988@GMAIL.COM (GMAIL) THỦ ĐÔ HÀ NỘI – MÙA THU 2013 LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 4) _ “Non sông Việt Nam có trở nên tươi đẹp hay không, dân tộc Việt Nam có bước tới đài vinh quang để sánh vai với cường quốc năm châu hay không, nhờ phần lớn công học tập em” (Trích thư Chủ tịch Hồ Chí Minh) Này tiếng sáo, tiếng sáo Có biết hát ca không ? Chỉ sợi dây mảnh ràng buộc với đất, Đứt lúc chẳng hay… (Những học nông thôn – Nguyễn Huy Thiệp) CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NGUYÊN HÃN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 4) _ CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG – NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 4) TRUNG ĐOÀN TRẦN NGUYÊN HÃN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Trong chương trình Toán học phổ thông nước ta, cụ thể chương trình Đại số, phương trình bất phương trình nội dung quan trọng, phổ biến nhiều dạng toán xuyên suốt cấp học, phận thường thấy kỳ thi kiểm tra chất lượng học kỳ, thi tuyển sinh lớp 10 THPT, thi học sinh giỏi môn Toán cấp kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng với hình thức phong phú, đa dạng Mặc dù đề tài quen thuộc, thống không mà giảm phần thú vị, nhiều toán tăng dần đến mức khó chí khó, với biến đổi đẹp kết hợp nhiều kiến thức, kỹ làm khó nhiều bạn học sinh THCS, THPT Ngoài phương trình đại số bậc cao, phương trình phân thức hữu tỷ phương trình chứa (còn gọi phương trình vô tỷ) đông đảo bạn học sinh, thầy cô giáo chuyên gia Toán phổ thông quan tâm sâu sắc Chương trình Toán Đại số lớp THCS bước đầu giới thiệu phép toán với thức, kể từ thức xuất hầu hết vấn đề đại số, hình học, lượng giác xuyên suốt chương trình Toán THPT Sự đa dạng hình thức lớp toán thức đặt yêu cầu cấp thiết làm để đơn giản hóa, thực tế phương pháp giải, kỹ năng, mẹo mực hình thành, vào hệ thống Về để làm việc với lớp phương trình, bất phương trình vô tỷ ưu tiên khử giảm thức phức tạp toán Sử dụng biến đổi tương đương – nâng cao lũy thừa phương thức nhất, đơn giản nhằm mục đích Phép biến đổi tương đương theo nghĩa rộng phép toán bắt buộc thực nhiều dạng phương trình, hệ phương trình, vấn đề quan trọng việc giải công đoạn trung gian dẫn đường Tiếp theo lý thuyết phần 3, tác giả trân trọng giới thiệu với bạn học sinh độc giả phần lý thuyết phần 4, trọng tâm tài liệu phần sâu toán đặc trưng giải biến đổi tương đương đơn thuần, toán nâng lũy thừa trực tiếp quy phương trình đại số bậc cao, phân thức hữu tỷ Tài liệu nhỏ viết theo trình tự kiến thức tăng dần, phù hợp với bạn học sinh THCS (lớp 9) ôn thi vào lớp 10 THPT, bạn học sinh THPT thi học sinh giỏi Toán cấp luyện thi vào hệ đại học, cao đẳng, cao tài liệu tham khảo dành cho thầy cô giáo bạn yêu Toán khác I KIẾN THỨC – KỸ NĂNG CHUẨN BỊ Nắm vững biến đổi đại số (nhân, chia đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử, biến đổi phân thức đại số thức) Kỹ biến đổi tương đương, nâng lũy thừa, phân tích đẳng thức, thêm bớt Sử dụng thành thạo ký hiệu logic phạm vi toán phổ thông Nắm vững lý thuyết bất phương trình, dấu nhị thức bậc nhất, dấu tam thức bậc hai CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NGUYÊN HÃN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 4) _ II MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VÀ KINH NGHIỆM THAO TÁC Bài toán Giải phương trình x  x  x  x  3x  x Lời giải Điều kiện x    x   x   Xét x  , phương trình cho nghiệm  Xét x  ; phương trình cho trở thành  x   x   x   3x   x   x  x   3x   x  x   x   4 x  24 x  32  x  14 x  49 3x  38 x  17  19  103   x x  x  Xét x   ; phương trình cho trở thành  x   x  3x    x  x  x   3 x   x  x    x  4 x  24 x  32  x  14 x  49 3x  38 x  17     x   x  7  x  7 19  103 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  0; x  Bài toán Giải phương trình x  x  x  x  x  x  x   Lời giải Điều kiện x  1  x   x   Xét x  nghiệm phương trình cho  Xét x  ; phương trình cho tương đương với x   x   x   x    x  1 x    x  2   x  1 x     x  Trường hợp vô nghiệm Xét x  1 ; phương trình cho tương đương với  x    x   x  2 x  2  x  1 x     x   x  1 x    x  3  x  1  19 3  x  1   x 2 3x  10 x  17  4  x  x    x  x    19  Vậy phương trình có tập nghiệm S  0;    Bài toán Giải bất phương trình x  x   x  3x   x  x  Lời giải Điều kiện x  1  x   x  3  Xét x  1 thỏa mãn phương trình cho  Xét x  ; bất phương trình cho tương đương với  x   x   x   x   x  x2   x   x2    x CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NGUYÊN HÃN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 4) _ x  x  x  3  21     2  x    2  x    3  21  x   x    2  4 x  16  x  x   3x  x  25      Xét x  3 ; bất phương trình cho tương đương với  x   x    x   2 x  x    x   x   x  Bất phương trình (1) nghiệm với x  3  3  21  Kết luận nghiệm S   ; 3  1   ;     Bài toán Giải phương trình x  x  x  3x  x Lời giải Điều kiện x   x  3 o Xét x  thỏa mãn phương trình cho o Xét x  ; phương trình cho tương đương với (1)  x   x  x  x  3x  x  x   x   x  x   x  x   x x   x2  4x   x      x  4x   x  4x  Hệ (*) vô nghiệm o Xét x  3 ; phương trình cho trở thành  x    x    x  2 x   x  x   4 x x   x2  x    x    x x  4x   x  4x  Giá trị bị loại x  3 Vậy phương trình cho có nghiệm x  Bài toán Giải phương trình 2x  x  x  x  x  x   Lời giải Điều kiện x   x   Xét x  nghiệm bất phương trình cho  Xét x  , phương trình trở thành  x   x   x     x 1    x   x   x x     x   x   x  x   x  x    Xét x  , phương trình trở thành  x   x   x       x   x   x   x   x   x 1  x   x  x  x  1 Kết hợp trường hợp ta có nghiệm S   0;1 Bài toán Giải phương trình Lời giải Điều kiện x   x  3x  x  x  x  x  x   CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NGUYÊN HÃN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 4) _ Nhận xét x  3x  x  x  x  , ta có x  Phương trình cho tương đương với 3x   x   x  x   3x  x   x  3x  x    3x  Dễ thấy [*] có nghiệm x  Kết luận S  1 Bài toán Giải phương trình x3  x  x  x  x  3x Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với  x   x3  x  x  x  x x3  x  x  x  3x  x x3  x  x  x x  x  x  x        x  2  x  x  x   x  x  x     x  1  x  1  Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  0; x  Bài toán Giải bất phương trình x  3x   x  x  x  x   x   Lời giải Điều kiện x   x   x   Xét x  , bất phương trình cho nghiệm  Xét x  , bất phương trình cho trở thành  x   x   4x   2x  x  x  2   4x  x  x     x  x  x  x  x   x  1  Xét x  , bất phương trình cho trở thành x   x  4x   2x   x  x  2  x   x  x    x   x2  8x  x2  x   x   Vậy bất phương trình cho có nghiệm x    x  Bài toán Giải bất phương trình 2 x  x  x  3x  x Lời giải Điều kiện x   x   Xét x  , bất phương trình cho nghiệm  Xét x  , bất phương trình ban đầu trở thành  x   2 x   x  3x   2 x   x  3x   x   x   3x  x  x   3x  x  x  x   3x  x  x  x     x  1   x   Xét x  , bất phương trình cho tương đương với  x   x   3x   x   x   3x   x   x  3x  x   x  3x  x  x  x   3x  x  x  x     x  1   x  Kết luận bất phương trình cho có nghiệm x  0; x  CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NGUYÊN HÃN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 4) _ Bài toán 10 Giải bất phương trình x  x   x  x  x  Lời giải Điều kiện x   x   x   Xét x  , bất phương trình cho nghiệm  x    Nhận xét x   x  x   x  x   x  Kết hợp điều kiện ta có x  Bất phương trình trở thành x   x  x   Dễ thấy x  x   x   x  x  1, x  Do [*] vô nghiệm Kết luận nghiệm x   x   Bài toán 11 Giải bất phương trình x  x  x  x   x  3x  Lời giải Điều kiện x   x  3  Xét x  , bất phương trình cho trở thành x  x   x   x   x  3x  x   x  3x    Dễ thấy bất phương trình [*] nghiệm với x   Xét x  3 , bất phương trình cho trở thành  x   x   2 x   2 x   x  3x  2 x   x  3x   x  3x    x  Vậy bất phương trình cho có nghiệm x   x   Bài toán 12 Giải bất phương trình Lời giải x   Điều kiện  x   x  3  13   13  x 2 13  x  3x  x  x  x  3x  x    Xét x  thỏa mãn toán  Xét x  , bất phương trình cho trở thành x x   x x   x x   x   x   x  [1] Chú ý x   x  3, x   x   x   x   x  , [1] nghiệm  Xét x  3 , bất phương trình cho trở thành x  x  x  x  x x    x   x   x    x  x  x  12  4 x  12  x  x  12  2 x  19 19   x   2 x  19    x  2 4  x  x  12   x  76 x  361  x   313  104 Kết luận nghiệm x  x  Bài toán 13 Giải bất phương trình Lời giải x2  5x  x  x2  2x  x   CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NGUYÊN HÃN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 4) _ x  Điều kiện  x   Xét x  nghiệm bất phương trình cho  Xét x  bất phương trình cho trở thành x  1  x   x   x   x   x    x  29 29 Suy  x  4  29  Kết hợp hai trường hợp ta có tập nghiệm S  0  5;   4 Bài toán 14 Giải phương trình x  x  1  x  x  1  x  x  1  x   Lời giải Điều kiện x   x   Xét x  nghiệm phương trình cho  Xét x  , ta thu x   x   x  x  1  x  x   x2   x 1  x  1  x  1    x2   x   x2  x   Phương trình (*) vô nghiệm   Kết luận phương trình đề vô nghiệm  x  1  x  1  x  x  1 x2   x   0   Nhận xét Bất phương trình chứa thức (bất phương trình vô tỷ) dạng toán ẩn chứa nhiều điều thú vị, đòi hỏi nắm vững kiến thức khả thực hành, tính toán xác Không nằm phạm vi biến đổi tương đương – nâng lũy thừa, bạn thấy 14 thí dụ có "khó xử lý", hay nói khác để giải trọn vẹn việc làm đơn giản, dạng toán đặc trưng phổ biến, xây dựng từ sử dụng biến đổi tương đương kiến thức khai phương kèm theo điều kiện phức tạp, xuất nhiều đề thi tuyển sinh đại học môn Toán thời kỳ trước kỳ thi "Ba chung" năm 2002 kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ THPT Chuyên tỉnh thành toàn quốc Điều xuất phát hạng tử tham gia chứa hai thức, hai vế chứa nhân tử chung, tức đưa dạng tích – thương, giảm bớt biến đổi cồng kềnh Tuy nhiên điều kiện xác định lại vấn đề đáng lưu ý, số toán có điều kiện xác định đặc biệt, hợp khoảng – đoạn – điểm, gây không khó khăn cho trình phân tách thừa số Đôi điều kiện lại chìa khóa gỡ bỏ bế tắc cho toán, chí đến đánh giá bất ngờ, gọn nhẹ Xin lưu ý phép biến đổi thức (đã đề cập chương trình Đại số THCS): A  B  A  A A  ABC  A B C   ;   B B B  C   Mặc dù vấn đề rõ ràng, chút "sơ ý" kết hợp "nhanh nhẹn, xông pha" ngộ nhận hoàn toàn xảy Đứng trước lớp toán có điều kiện phức tạp dạng tương tự, bạn cần bình tĩnh, nhìn nhận khách quan, cẩn thận để tìm phương án giải hợp lý Ngoài cách làm trên, bình phương trực tiếp hai vế kèm theo điều kiện cho lời giải túy, nhiên rườm rà CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NGUYÊN HÃN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 4) _ Bài tập tương tự Giải phương trình bất phương trình sau tập hợp số thực x  x  3x  x  x  x x  x  x  x  3x x  x  3x  x  x  3x x2  x   x2  x   x2  x  x  x    x  x  1  x  x  1 x  x  x  3x  x  x x  8x   x2   x  x2  x   x2   x  x2  x  3x2  5x  x2  x 10 x  x   x   3x  11 x  3x  x  x   x  x  12 x2  x  x2  x  x2  5x 13 x  x   x  3x   x  14 x2  5x  x  x2  x 15 3x  x  x  x  x  x 16 x  3x  x  3x  x 17 x  x   3x  x   x  x  18 5x  x  x2  x  x2 19 x2  x   x2  x   x2  x  20 x2  x2  x  x2  5x 21 x2  x  x2  x  x2  x 22 x  3x  2 x  x  3x  x 23 x  x  x  x  x  3x 24 x  x  x  3x   x  25 x2  x  x2  5x    x  2 26 x  x   x  x  10  x  x  27 x  x  x  3x  x  11x 28 x  x  x  x  x  10 x 29 x  x  x  x  x  13x 30 x  x  3x  x  x  x 31 x  3x  10 x  2 x  x 32 3x  x  x  x  x 33 5x  x  x  x2  x CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NGUYÊN HÃN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 4) _ 10 x3 x3 Bài toán 15 Giải bất phương trình x    x  5  x   Lời giải Điều kiện x   x  3 Phương trình cho tương đương với   x  5   x3   x  3   x  32   x  5    x  3   x  3  0 4  x     x      x   x3      x     x  5  x  5  x  3 x  11 3x  1  1    x  3;11;  3   x  5 So sánh với điều kiện xác định thu nghiệm S  3;11 Lời giải Điều kiện x   x  3 Phương trình cho tương đương với x2    x  5 x2   x  3  x2   x5 x2  x 3  x2   x2         x   x   x  3; ;3;11    x   x  6  x  x   So sánh với điều kiện xác định thu nghiệm S  3;11 x2     x  Bài toán 16 Giải bất phương trình x2 x2  x   Lời giải x  Điều kiện   x  2 Bất phương trình cho tương đương với x2     x   Xét x2   x2   7 x x2   x2   x   x    x2  x  2 x    x  2; 2 Bất phương trình (1) nghiệm với (1) x  x    x x   1  x   x      x x   x  x  5  Kết hợp điều kiện  ta thu nghiệm S  2   ;   2   x  2  Xét Bài toán 17 Giải bất phương trình x2   x x 1 x 1  x   Lời giải Điều kiện x   x  1 o Xét x  1 , bất phương trình cho không thỏa mãn o Xét x  , bất phương trình cho tương đương với CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NGUYÊN HÃN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 4) _ 98 Bài toán 224 Giải phương trình x4  x2   x   x2  x   x2  x  x 1  x   Lời giải Điều kiện x  1 Phương trình cho tương đương với x4  x2   x  x   x2  x   x  x 1  x2  x    x2  x    1  x  x   x    x 1     x2  x   x    x2  x   x    x2  x   x   x2     x  0; 2  x  x 1  x 1  x  2x  Kết luận phương trình cho có hai nghiệm kể Bài toán 225 Giải phương trình x2  x2   x  x3 x x3  x   Lời giải Điều kiện x  x  3  Phương trình cho tương đương với x2  x2    x3 x  x x3 x2  x  x  3   x3  x  x3  x  x2   x   x  x3  x   1    x  x  x  3   x   x  3x   Kết luận phương trình ban đầu có nghiệm x   5 Bài toán 226 Giải phương trình  x2   x4  x2  x2 x4  x   Lời giải Điều kiện x  4 Phương trình cho tương đương với x2   x2  x2  x4 x4  x2   x    1  x   x  x      x2  x4  x   x  x2  x4 0   x x   x   Kết luận phương trình cho vô nghiệm Bài toán 227 Giải phương trình x3   4x   x 1  x2  x  4x   x   Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NGUYÊN HÃN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 4) _ 99 x3   x  x 1  4x   x 1  4x   x 1   x  x    1   4x     x 1  4x    x 1  4x    x2  x   x     11  11   x 1  4x  3x  4    x   ; ;  2    x  x   x   x  3x     11  Kết luận phương trình cho có hai nghiệm, S   ;    x  25 Bài toán 228 Giải phương trình  x   2x   2x  x2 Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với 26  x   x  25  2x   2x   x  x2  2x    2x    x    1  x    1 x2 x2        x  3  2x   2 x   x  x   x    1      x  18 32 x   x  x         Đối chiếu điều kiện ta thu nghiệm x  18 / Bài toán 229 Giải phương trình x3   2x   x  x    x     2  x  x   x   Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với x3      x  4  x     2x   x   x x    x2  x  x   x   2x   2x   x    x2  x   x   2x    1    x    x   2x   x  1    x  1 x  x   x x  x     Đối chiếu điều kiện, kết luận phương trình cho vô nghiệm    CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NGUYÊN HÃN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 4) _ 100 x  25 Bài toán 230 Giải phương trình  x  2x   35 2x  x Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với 35  x   x  25  2x   35 2x   x x  2x    2x    x      x    x x      2x    x   x     x   2 x   x  x  5   x 3 x    243  Đối chiếu điều kiện ta thu nghiệm  Bài toán 231 Giải phương trình  x   x   3x  x  1 x2  x   Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với x   x    x   3x  x  2x  15 2 5 2  x  3x    3x  x  3x    x x x    2   x   3x   x  3x    x x    1  x  x  3x x  x x     x2     x  1  x  3x  2 x     x x  Kết luận phương trình cho có hai nghiệm kể Bài toán 232 Giải phương trình x  x    x  x  x  x  x  2 x   x x  x   Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với x2  8x    x  x  x  2 x    x  x x x     1  x   x   x   x   x   x  x x     CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NGUYÊN HÃN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 4) _ 101   x   x   x   x   x    x   2x  x     x  1;1;3 2x   x x 1 x     Đối chiếu điều kiện ta thu ba nghiệm kể Bài toán 233 Giải phương trình x3  3x    x  x  x   x3  x2   x x  x   Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với 7 x3  3x    x   x3  x    x2  x x x    37  x   x   x   x   x  x x x     2x   4x      x x   x    x   x     x x  x2   x    x  2x       x  1 x  3  2x2  x           x  ; 1;  ;  2 2   x  1  x  x  1    x  2x   Kết luận phương trình cho có bốn nghiệm kể Bài toán 234 Giải phương trình 2x   2x   4x2  8x   x 1 x 1  x   Lời giải Điều kiện x  1 Phương trình cho tương đương với 2x    2x  x 1 x2  8x   2x   x   x 1   x   2x 1  x   2x   2x      1 x   x    x 1   x   x   x  2    x   2x 1 x  Kết luận phương trình cho có hai nghiệm x  2; x   Bài toán 235 Giải phương trình x3     2  x  x    1 x  x x x  x   CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NGUYÊN HÃN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 4) _ 102 Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với 2 x   x2  x     x    x x x  2  2  x   x  x   x     x  x   x   x x x   2    x     x  x   x    x x    x2  x   x2  x           x  1; ;  x  x 1  x  2  x  x20    x Đối chiếu điều kiện ta thu ba nghiệm Bài toán 236 Giải phương trình 9x  1   x   3x       x   x x   x   Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với 9x  1   3x       x  2  x  x x   3x    3x    x    1  x    1 x x      3x   3 x   x   x   x    1    x x 3 x   x   Kết luận phương trình ban đầu có nghiệm  Bài toán 237 Giải phương trình  x  11x  15 2x  1  x   x4 x4  x   Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với  2x   x  11x  15 2x  2x   x3    x    1  1 x4 x4 x  x     2x   x    x  2 x     1     2 x   x   x  1  x4  Đối chiếu điều kiện ta thu hai nghiệm x  1; x  2   Bài toán 238 Giải phương trình  x  3x x3  3x    3x  x 2x 1 2x 1  x   Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NGUYÊN HÃN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 4) _ 103 x  3x x3  3x  x   3x  2x 1 2x 1  x3   x3   x   3x      3x    2x 1   2x 1   x3   x    3x     2x 1  x  x   2    x  1;    3  x   x  x  6 x  x   Đối chiếu điều kiện ta thu nghiệm x    Bài toán 239 Giải phương trình x   18  x  x  x   x  19 x  x  x   Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với 18 8 x9  x  19 x   x   x  x x  x6   x6   x    x    x   x   x x      x6   x   x   x    x   x   x 0 x     x  1;1  2  x   6x  x x  Đối chiếu điều kiện ta thu nghiệm x    Bài toán 240 Tìm nghiệm dương phương trình sau  x  4 2  x    x  1  3x    x  x  3x  12  x x2   x   Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với x   3x  12    x  4 2   x  x   x  1  3x   x x  8 x4 8 2 2  x  3x    x   x  3x   x  x x   x4  2 3x     x   x  0  x x     x   4x2  x   x   x  1;1 2x  x  Đối chiếu điều kiện ta thu nghiệm dương x  CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NGUYÊN HÃN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 4) _ 104 Nhận xét Thông qua gần 100 toán (từ 146 đến 240), chủ yếu toán đưa dạng nhân tử, rải rác xếp theo bậc tăng dần, từ bậc lên đến bậc Chắc chắn thông qua đọc, hiểu, vận dụng, nhiều bạn độc giả quen thuộc hình thành kỹ thục với dạng toán Bất kỳ điều lớn lao xuất phát từ thứ đơn giản, tảng nhất, thân thương nhất, tác giả xin nhắc lại dạng thức, kèm theo điều kiện phân tích nhân tử (đưa phương trình tích với thừa số gồm hai hạng tử): n f x  n g x  n h x  n k x f x g x  h x k x                 Tác giả xin dừng chân toán với bậc 8, bạn phát triển đào sâu thêm, biến hóa sáng tạo nhiều toán độc đáo nữa, thú vị nữa, lưu ý điều kiện xác định toán thức bậc chẵn yếu tố nghiệm hữu tỷ làm cho thao tác tính toán nhẹ nhàng Tính phức tạp hạng tử tỷ lệ thuận với độ khó toán, hy vọng nhận nhiều ý kiến đóng góp phát triển mang tính đột phá từ quý độc giả CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NGUYÊN HÃN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 4) _ 105 Bài tập tương tự Giải phương trình bất phương trình sau tập hợp số thực x   x   x2  x   2 x   x   x  x   3 x   x  x  x   x  29  x  3  1992 x   x  1945    x   x  1945  x  29  1992 x   x   x   x  13x  15  3x   x   x  13x   x   x    x  x  15 x x    x  5  x    x   x 2x     x   2x  1 x 10 11 x   x  x    x3  x  x  12 x   x   x3  x  x   13 x   x    x3  x2  x  14 x   20115 x   2011  x  x  2x   x 15 26 x  2014  x   26   x  2014  x   16 x   x   x  x   49 17 x  17  1997 x   1997   x   x  17  18 x  19  1890 x   1890   x   x  5 19 5 3x   x    3x   x    20 19415 x  15  x   1941  x  20 x  75 21 x   5  x  12  x    x   22 1954 x   x    1954  x   x   23 x   x    x3  x2  x  24 x  30  1975 x   1975   x  30  x   25 x   5 3x    20 x  x  26 x  x   5 x   10 x   27 x2  x   x2  x   x4  x2   28 x2  x   x2  x   x4  x2   29 x2  x   5 x2  x    5 x4  30 x  x   x  x   x  x  63  31 1974 x  19  x   1974   x  19  x  1 CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NGUYÊN HÃN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 4) _ 106 32 x   1959 x   1959  x  33 1988 x  14  x   1988   x  14  x  3 34 x   x    x  x  20 35 1979 x   x   1979  x  x  36 1975 x   x   1975   x   x  5 37 1964 x   x   1964  x  13x  40 38 x   x    x  x  12  x  19  x  5  1945 40 16 x   x  1975  16   x   x  1975  39 1945 x  19  x   41 x  x   x   x3   42 x   1963 x   1963  x  3x  43 x  x   x   x3   44 x   x   x  x   45 x   x    x  3x  46 x  15 x   x  x  47 x   x   x2  x   48 x   x   x  16  49 x   x  x   x3   50 x   x  x   x3   10 51 x  x   x  x   x  x   52 x  17  1997 x    x  17  x    1997 53 1973 x  27  x   x  28 x  27  1973 54 x   1949 x  10   x  1 x  10   1949 55 21x   1954 21x   1954  21x   21x    56  x   x    x 57 x  30  1980 x    x  30  x  3  1980 58 1975 x  21  x    x  21 x    1975 59 x   1930 x   1930  x  3  x   60 x   19318 x  26   x  3 x  26   1931 61 x  30  1975 x   x  34 x  120  1975 62 1954 x  10  x  10  x  100  1954 16 x  516 x  5  1956 17 x   1975 17 x   17 x  17 x    1975 63 16 x   1956 16 x   64 CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NGUYÊN HÃN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 4) _ 107 2 x 1  2x   x  2x 65 x5 66 2x 1  67 x3  68 2x 1  69 70 x2   71 x2   x2  2x  x2  2x   x   x2  x2 72 x2   x2  x  x2  x   x   x2  3x  73 2x 1  74 x3  75 x2  x   76 x2  x   77 x2  x   78 x6 79 2x 1  80 x 1  x2  x  x2  x   x 3 x 1 x2  81 x 1  x3  x  x3  x   x 1  x 1 x2  82 x3   x   x2  x   x  x 1 83 x3   3x   x  x   x  3x  5x2  x  5x2  x   2x   2x 1 2x  x3  x  5 x3  x    3x  x3 3x  2 x2  x  2x2  x   3 x  2x 1 3 x x6 x  1  6x 1  x 6x 1 x2  x  x2  x   x   x2  x 1 x3  x3   x 1  2x 1 x 1 x3  x  5 x3  x   x 1  x3 x 1 3x3  x3  5  x   x2  x  x 1 x3  3x  x3  3x   x  x   2x2  x  x2  x  x3  x  x  x3  x2  x   x   x2  x  x 1 x3  x  x3  x   x2  x x2 x3  x  x3  x   x  x5  2x 1 x  x5 CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NGUYÊN HÃN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 4) _ 108 x4   x2  x   x2  2x   x2  2x  x x2 84 85 86 87 88 89 90 91 x3  27  x   x   x  3x  2x  92 x3   x   x2  x   x  2x  93 x  x  63  5x   x2  x   x2  x  5x  94 x4  x2   x   x2  x   x2  x  7x 1 95 x2  96 x  x 97 98 99 x2  2x  x2  2x  x 1   x 1  x2  x 1 x  3x  6 x  3x  6 x 1   x 1  x3  x2  x3  x  6 x  x  1  x  x 1  x x2  x  x 2x 1   x  x 1 2x 1 x 3x  3x  x7  x7  x x7 x2  5x  x  5x  x   x 3 x2 x2  x2  x  2x2  x   x 2 x2 x2  x2  2x    x2  x   x x  x3 2x    x  4x 1  x 4x 1 x2  x2  x  8 2x2  x   2x 1  x2 2x  x3  x   x   2x 1  2x2  x  x 1 CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NGUYÊN HÃN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 4) _ 109 III MỘT SỐ TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Bùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004 Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Bùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005 Nâng cao phát triển toán 8, tập – tập Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004 Nâng cao phát triển toán 9, tập – tập Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005 Toán nâng cao Đại số 10 Nguyễn Huy Đoan; NXB Giáo dục Việt Nam; 1999 Bài tập nâng cao số chuyên đề Đại số 10 Nguyễn Huy Đoan; Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2006 Tài liệu chuyên toán: Đại số 10 – Bài tập Đại số 10 Đoàn Quỳnh – Doãn Minh Cường – Trần Nam Dũng – Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2010 Một số chuyên đề Đại số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT Nguyễn Văn Mậu – Nguyễn Văn Tiến số tác giả; NXB Giáo dục Việt Nam; 2009 Tuyển tập toán hay khó Đại số Nguyễn Đức Tấn – Đặng Đức Trọng – Nguyễn Cao Huynh – Vũ Minh Nghĩa – Bùi Ruy Tân – Lương Anh Văn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2002 10 Một số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp, tập – tập Phan Đức Chính – Phạm Văn Điều – Đỗ Văn Hà – Phạm Văn Hạp – Phạm Văn Hùng – Phạm Đăng Long – Nguyễn Văn Mậu – Đỗ Thanh Sơn – Lê Đình Thịnh; NXB Đại học Quốc gia Hà Nội; 1997 11 Bài giảng chuyên sâu Toán THPT: Giải toán Đại số 10 Lê Hồng Đức – Nhóm Cự Môn; NXB Hà Nội; 2011 12 Phương pháp giải phương trình bất phương trình Nguyễn Văn Mậu; NXB Giáo dục Việt Nam; 1994 13 Toán bồi dưỡng học sinh phổ thông trung học – 1; Đại số Hàn Liên Hải – Phan Huy Khải – Đào Ngọc Nam – Nguyễn Đạo Phương – Lê Tất Tôn – Đặng Quan Viễn; NXB Hà Nội; 1991 14 Phương trình hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Đức Tấn – Phan Ngọc Thảo; NXB Giáo dục Việt Nam; 1996 15 Chuyên đề bồi dưỡng Toán cấp ba; Đại số Nguyễn Sinh Nguyên; NXB Đà Nẵng; 1997 16 Giải toán Đại số sơ cấp (Dùng cho học sinh 12 chuyên, luyện thi đại học) Trần Thành Minh – Vũ Thiện Căn – Võ Anh Dũng; NXB Giáo dục Việt Nam; 1995 17 Những dạng toán điển hình kỳ thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng; Tập Bùi Quang Trường; NXB Hà Nội; 2002 18 Ôn luyện thi môn Toán THPT theo chủ đề; Tập một: Đại số lượng giác Cung Thế Anh; NXB Giáo dục Việt Nam; 2011 19 Phương pháp giải toán trọng tâm Phan Huy Khải; NXB Đại học Sư phạm; 2011 20 Các giảng luyện thi môn Toán; Tập Phan Đức Chính – Vũ Dương Thụy – Đào Tam – Lê Thống Nhất; NXB Giáo dục Việt Nam; 1993 21 Hệ phương trình phương trình chứa thức Nguyễn Vũ Lương – Phạm Văn Hùng – Nguyễn Ngọc Thắng; NXB ĐHQG Hà Nội; 2006 CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NGUYÊN HÃN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 4) _ 110 22 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ THPT Chuyên trực thuộc đại học THPT Chuyên tỉnh thành 23 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ THPT hệ đại trà địa phương toàn quốc 24 Đề thi học sinh giỏi môn toán khối đến khối 12 cấp 25 Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng môn Toán (chính thức – dự bị) qua thời kỳ 26 Đề thi Olympic 30 tháng Toán học khối 10, khối 11 tỉnh miền Trung Nam (1995 – 2013) 27 Các tạp chí toán học: Tạp chí Toán học tuổi trẻ; Tạp chí Toán tuổi thơ THCS; Tạp chí Kvant 28 Các diễn đàn toán học: Boxmath.vn; Math.net.vn; Mathscope.org; Onluyentoan.vn; Diendantoanhoc.net; Math.net.vn; K2pi.net; Mathlink.ro; 29 Một số trang mạng học tập thông qua facebook; twiter; CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NGUYÊN HÃN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 4) _ 111 THÂN THỂ TẠI NGỤC TRUNG TINH THẦN TẠI NGỤC NGOẠI DỤC THÀNH ĐẠI SỰ NGHIỆP TINH THẦN CÁNH YẾU ĐẠI CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NGUYÊN HÃN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 4) _ 112 CREATED BY GIANG SƠN; XYZ1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NGUYÊN HÃN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH [...]...  x 4 4 3 6  6  Kết hợp với điều kiện ta thu được nghiệm S   ;    3;   4  4  x  4 x   Bài toán 34 Giải bất phương trình  x3  x2  2 x  4  1 x 4 x  x   Lời giải  x  x  4   0; x  0  x  4  x  0 Điều kiện  3   x 4  2 2  x  1  x  2 x  4   0  x  x  2 x  4  0 Bất phương trình đã cho tương đương với x  4 x 4 x  4 x  x3  x 2  2 x  4  1 ... Kết luận phương trình ban đầu vô nghiệm Bài toán 45 Giải phương trình x  3  6 x  3x  4  4 x  1 Lời giải 1 Điều kiện x  4 Phương trình đã cho tương đương với  x   7 x  3  2 6 x  x  3  7 x  3  2 12 x 2  13x  4 4 1  6 x 2  18 x  12 x 2  13x  4  6 x 2  5 x  4  0  x   ;   3 2 4 Đối chiếu điều kiện đi đến nghiệm duy nhất x  3 Bài toán 46 Giải phương trình 4 x  5... GIANG SƠN; XYZ 143 1988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NGUYÊN HÃN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 4) _ 12  x 4 0 x  4 x 4   x 4  x  4  x  1  1  x  5  x  1 Nhận xét x  5  x  1  x  1, x  4 nên (*) vô nghiệm Kết luận nghiệm S  4 x  4 x  4    x 1 1... x4  x  4  2x  1 Bài toán 74 Giải phương trình Lời giải 2 2 1 1 1  1  1 1 Ta có x 4  x  2  x 4  x 2   x 2  x     x 2     x     0, x   4 4 2  2  2 2 2 2 1 1 7  1  1 7 Và x  x  4  x  x   x 2  x     x 2     x     0, x   4 4 2  2  2 2 1 Do đó điều kiện là x  Khi đó phương trình đã cho tương đương 2 4 4 2 x 4  x  3  2 x 4  x  2  x 4. ..   x   4 Lời giải 2 2 2 4 x 4  4 x  4 4 x 4  4 x 2  1  4 x 2  4 x  1  2  2 x  1   2 x  1  2 4 Ta có x  x  1     0, x   4 4 4 Suy ra điều kiện xác định x  2 Phương trình đã cho trở thành x  2 x  2 x2 x  2 x 4  x  1   x 2  x  2   4  4 2 2 x4  x  1 x  x 1  x  x  2  x  x  2x 1 x  2 x  2  1  5 1  5   4  x  2; ;  2   2 2 2 2... GIANG SƠN; XYZ 143 1988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NGUYÊN HÃN; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG, NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 4) _ 18 Bài tập tương tự Giải các phương trình và bất phương trình sau trên tập hợp số thực x5 1 3 x 2  25   x  4  x5 x2 2 4 x 2  4   x 2  x  1 x2 3 4 5 6 7 x 1 x...  7  4 x Lời giải 1 7 Điều kiện   x  Phương trình đã cho tương đương với 7 4 3x  8  2  x    2 x  3 x  5   3x  8  2  7 x  1 7  4 x   2 x 2  13x  18  28 x 2  45 x  7  2 x 2  13x  18  28 x 2  45 x  7  30 x 2  32 x  9  0 Phương trình (1) vô nghiệm vì   0 Kết luận phương trình ban đầu vô nghiệm 1 Bài toán 43 Giải phương trình 2 x  1  3x  2  x  4 x ... 1 Bài toán 22 Giải bất phương trình 4x2  1    4x2  x  1 2x  1 2x 1    x   Lời giải 1 1 x 2 2 Bất phương trình đã cho tương đương với Điều kiện x   4 x 2  1 4x2 1  4 x 2  1 4x 1  4x  x 1   2 2 2 2x 1  4 x  x  2 x  1  1  4 x  x  4 x  4 x  1  2 2 x  1  1  2 x  1  2 x  1  1 1    x x x  0     4 x 2  1 3 x  2  4 x  2   2 2   ... 5 5 o Với 4 x  6  2  0  4 x  6  4  x  Bất phương trình nghiệm đúng với x  2 2 5 3 5 o Với 4 x  6  2  0  4 x  6  4  x    x  2 2 2  2 x  3x  2   4x  6  2  2  4 x  2  2 3x 2  2 x  4 x  2  4 4 x  6  3 x 2  2 x  2 4 x  6  3 x 2  2 x  16 x  24  3x 2  18 x  24  0  2  x  4 5 Thu được nghiệm trường hợp này là 2  x  2 3 Kết luận bất phương trình đã cho... Giải phương trình  x   Lời giải 2 2 1 1 1  1  1 1 Nhận xét x  2  0, x   và x  x  1  x  x   x 2  x     x 2     x     0, x   4 4 2  2  2 2 1 Suy ra ta có điều kiện x   Lúc này bất phương trình tương đương với 2 4 4 4 2 x 4  2 x  3  2 x 4  2 2 x  1  x 4  2 x  3  2 x 4  x  1 x  2  2 x5  x 4  4 x  2  x 5  2 x 4  x 2  3 x  2  x 5  x 4  x ... _ CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG – NÂNG CAO LŨY THỪA (PHẦN 4) TRUNG ĐOÀN TRẦN NGUYÊN HÃN – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH ...  x   Phương trình (*) vô nghiệm   Kết luận phương trình đề vô nghiệm  x  1  x  1  x  x  1 x2   x   0   Nhận xét Bất phương trình chứa thức (bất phương trình vô tỷ) dạng... biến đổi đẹp kết hợp nhiều kiến thức, kỹ làm khó nhiều bạn học sinh THCS, THPT Ngoài phương trình đại số bậc cao, phương trình phân thức hữu tỷ phương trình chứa (còn gọi phương trình vô tỷ) đông