Đang tải... (xem toàn văn)
Một số kiến thức cơ bản trong toán học 11. Bao gồm phần lý thuyết khá kĩ lưỡng giúp các bạn học sinh lớp 11 có thể ôn tập và tìm hiểu một số dạng bài tập cơ bản quan trọng. Hy vọng tài liệu sẽ giúp ích cho các bạn
ĐS & GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 LÝ THUYẾT VÀ PHÂN DẠNG BÀI TẬP ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 CHƯƠNG I HÀM SỐ LG VÀ PTLG CHƯƠNG II TỔ HỢP - XÁC SUẤT CHƯƠNG III DÃY SỐ - CẤP SỐ CHƯƠNG IV GIỚI HẠN CHƯƠNG V ĐẠO HÀM NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Các giá trò lượng giác cung (góc) : sin xác đònh R sin( + k2) = sin cos xác đònh R cos( + k2) = cos - sin (sin 1) - cos (cos 1) tan xác đònh k tan(k) = tan; cot xác đònh k cot( + k) = cot Dấu giá trò lượng giác góc Phần tư Giá trò lượng giác sin cos tan cot I II III IV + + + + + - + + + - Bảng giá trò lượng giác đặc biệt: (00) sin cos tan cot kxđ (300) (450) 2 2 (600) 3 2 (900) kxđ 3 1 3 Công thức lượng giác bản: sin2 + cos2 = 1 cot sin ( k, k Z) NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 tan 0 cos ( k , k Z) tan.cot = ( k , k Z) SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Giá trò lượng giác cung có liên quan đặc biệt: Cung đối:(-) Cung bù:(-) Cung phụ:( -) Cung : (+) sin(-) = -sin sin( - ) = sin sin( -) = cos sin( + ) = -sin cos(-) = cos cos(-) = -cos cos( - ) = sin cos( +) = -cos tan(-) = -tan tan(-) = -tan tan( - ) = cot tan( + ) = tan cot(-) = -cot cot(- ) = -cot cot( - ) = tan cot( + ) = cot Các công thức lượn giác thường sử dụng: Công thức cộng: cos(a-b) = cosacosb + sinasinb cos(a+b) = cosacosb - sinasinb sin(a-b) = sinacosb - cosasinb sin(a+b) = sinacosb + cosasinb tan a tan b tan a tan b tan a tan b tan( a b) tan a tan b Công thức nhân đôi: sin2a = 2sinacosa cos2a = cos2a - sin2a = cos2a - = - 2sin2a tan( a b) Công thức biến tích thành tổng: sinasinb =- [cos(a + b) - cos(a - b)] sinacosb = [sin(a + b) + sin(a - b)] cosacosb = [cos(a + b) + cos(a - b)] Công thức nhân ba: sin3a = 3sina - 4sin3a Công thức sina + cosa: cos(a - ) sina + cosa = sin(a + ) sina + cosa = NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 tan 2a 2tana tan a Công thức hạ bậc: cos 2a cos 2a sin a cos 2a tan a cos 2a cos a Công thức biến đổi tổng thành tích: uv uv cos 2 uv uv cosu - cosv = -2sin sin 2 uv uv sinu + sinv = 2sin cos 2 uv uv sinu - sinu = 2cos sin 2 cosu + cosv = 2cos cos3a = 4cos3a - 3cosa ) sina - cosa = - cos(a + ) sina - cosa = sin(a - SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I- ĐỊNH NGHĨA: Hàm số sin hàm số côsin: a) Hàm số sin: y y B sinx M' sinx M x A' O A x O x x B' Quy tắc đặt tương ứng số thực x với số thực sinx sin: R R x y = sinx gọi hàm số sin, kí hiệu y = sinx Tập xác đònh hàm số sin là: D = R b) Hàm số côsin: y y B M'' cosx M x A' O cosx A x O x x B' Quy tắc đặt tương ứng số thực x với số thực cosx cos: R R x y = cosx gọi hàm số côsin, kí hiệu y = cosx Tập xác đònh hàm số côsin là: D = R NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Hàm số tang hàm số côtang: a) Hàm số tang: Hàm số tang hàm số xác đònh công thức y= sin x cos x (cosx ≠ 0), kí hiệu y = tanx Tập xác đònh hàm số y = tanx là: D = R\{ + k, k Z} b) Hàm số côtang: Hàm số côtang hàm số xác đònh công thức y = cos x sin x (sinx ≠ 0), kí hiệu y = cotx Tập xác đònh hàm số y = cotx là: D = R\{k, k Z} * Nhận xét: Hàm số y = sinx hàm số lẻ, hàm số y = cosx hàm số chẵn, từ suy hàm số y = tanx y = cotx hàm số lẻ II- TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ LƯNG GIÁC: Hàm số y = sinx hàm số tuần hoàn với chu kì 2 Hàm số y = cosx hàm số tuần hoàn với chu kì 2 Hàm số y = tanx y = cotx hàm số tuần hoàn, với chu kì III- SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯNG GIÁC: Hàm số y = sinx: Hàm số y = sinx xác đònh với x R -1 sinx 1; Là hàm số lẻ; Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 a) Sự biến thiên đồ thò hàm số y = sinx đoạn [0; ]: x3 x4 y y B x2 sinx2 sinx1 A' O sinx2 x1 sinx1 A x O x1 x2 x3 x4 x B' Hàm số y = sinx đồng biến [0; Bảng biến thiên: x ] nghòch biến [ ; ] 2 y = sinx NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 * Chú ý: Vì hàm số y = sinx hàm số lẻ nên lấy đối xứng đồ thò hàm số đoạn [0; ] qua gốc tọa độ O, ta đồ thò hàm số đoạn [-; 0] y - - O x -1 b) Đồ thò hàm số y = sinx R: y - 5 -2 - - - 3 3 O 2 2 x 5 -1 2 c) Tập giá trò hàm số y = sinx: Tập giá trò hàm số y = sinx T = [-1; 1] Hàm số y = cosx: Hàm số y = cosx xác đònh với x R -1 cosx 1; Là hàm số chẵn; Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2; Hàm số y = cosx đồng biến [-; 0] nghòch biến [0; ] Bảng biến thiên: x - y = cosx -1 -1 Đồ thò hàm số y = cosx: y - 5 - -2 - 3 - O -1 3 2 5 x Tập giá trò hàm số y = cosx T = [-1; 1] Đồ thò hàm số y = sinx, y = cosx gọi chung đường hình sin NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Hàm số y = tanx: Tập xác đònh: D = R\{ k , k Z}; Là hàm số lẻ; Là hàm số tuần hoàn với chu kì ; a) Sự biến thiên hàm số y = tanx nửa khoảng [0; ): y B M2 T2 tanx2 T1 tanx1 A O M1 A' O x1 x2 x B' Hàm số y = tanx đồng biến nửa khoảng [0; Bảng biến thiên: x - ) + y = tanx * Nhận xét: Khi x gần đồ thò hàm số y=tanx gần đường thẳng x= 2 b) Đồ thò hàm số y = tanx D: Đồ thò hàm số y = tanx ( ; ) : 2 y - NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 O x SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Đồ thò hàm số y = tanx D: -3 - - y 3 O x Tập giá trò hàm số y = tanx T = (-; +) Hàm số y = cotx: Tập xác đònh: D = R\{k, k Z}; Là hàm số chẵn; Là hàm số tuần hoàn với chu kì ; a) Sự biến thiên đồ thò hàm số y = cotx khoảng (0; ): Hàm số y = cotx nghòch biến khoảng (0; ) x + y = tanx - y O x b) Đồ thò hàm số y = cotx D: y -2 -3 - O - 2 3 2 x Tập giá trò hàm số y = cotx T = (-; +) NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Phương trình sinx = a: Xét phương trình sinx = a (a R) (1) Trường hợp a > 1: phương trình (1) vô nghiệm Trường hợp a 1: sin M' x k 2 sinx= sin (k Z ) x k 2 B M a K A' -1 A côsin O x arcsin a k 2 sinx=a (k Z ) x arcsin a k 2 -1 B' * Chú ý: sin u( x ) sin [sin u( x ) sin ] u( x ) k 2 [ k 360 ] (k Z ) 0 u ( x ) k [ 180 k 360 ] sinu(x) = a (-1 a 1) sin u( x ) a (sin u( x ) a) u( x ) arcsin a k 2 [arcsin a k 360 ] (k Z ) 0 u ( x ) arcsin a k [ 180 arcsin a k 360 ] f ( x ) g( x ) k 2 (k Z ) f ( x ) g( x ) k 2 Tổng quát: sin[f(x)] = sin[g(x)] + k2, k Z sin[f(x)] = -1 f(x) = - + k2, k Z Đặc biệt: sin[f(x)] = f(x) = sin[f(x)] = f(x) = k, k Z Phương trình cosx = a: Xét phương trình cosx = a (a R) (2) Trường hợp a > 1: phương trình (2) vô nghiệm Trường hợp a 1: x k 2 cosx = cos (k Z ) x k 2 sin B M A' -1 a O A côsin H x arccos a k 2 cosx = a (k Z ) x arccos a k 2 M' -1 B' * Chú ý: NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 cos u( x ) cos u( x ) k 2 [ k 360 ] [cos u( x ) cos ] (k Z ) 0 u( x ) k 2 [ k 360 ] cosu(x) = a (-1 a 1) cos u( x ) a [cos u( x ) a] u( x ) arccos a k 2 [arccos a k 360 ] u( x ) arccos a k 2 [ arccos a k 360 ] (k Z ) f ( x ) g( x ) k 2 (k Z ) f ( x ) g( x ) k 2 Tổng quát: cos[f(x)] = cos[g(x)] Đặc biệt: cos[f(x)] = f(x) = k2, k Z cos[f(x)] = -1 f(x) = + k2, k Z cos[f(x)] = f(x) = + k, k Z Phương trình tanx = a: tanx = tan x = + k, k Z [x = 0 + k1800, k Z] tanx = a x = arctana + k, k Z [x = arctana + k1800, k Z] * Chú ý: tan[u(x)] = tan u(x) = + k, k Z [ux) = 0 + k1800, k Z] tan[u(x)] = a tan[u(x)] = a ux) = arctana + k, k Z [ux) = arctana + k1800, k Z] Tổng quát: tan[f(x)] = tan[g(x)] f(x) = g(x) + k, k Z Đặc biệt: tan[u(x)] = u(x) = k, k Z Phương trình cotx = a: cotx = cot x = + k, k Z [x = 0 + k1800, k Z] cotx = a x = acrcota + k, k Z [x = acrcota + k1800, k Z] * Chú ý: cot[u(x)] = cot u(x) = + k, k Z [ux) = 0 + k1800, k Z] cot[u(x)] = a cot[u(x)] = a ux) = acrcota + k, k Z [ux) = acrcota + k1800, k Z] Tổng quát: cot[f(x)] = cot[g(x)] f(x) = g(x) + k, k Z Đặc biệt: cot[u(x)] = u(x) = NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 + k, k Z SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Đònh nghóa: Trong không gian ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng b a a O b c c Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Đònh lí 1: Trong không gian cho hai vectơ a, b không phương vectơ c Khi ba vectơ a, b , c đồng phẳng có cặp số m, n cho c = ma nb Ngòai cặp số m, n Đònh lí 2: Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng a, b , c Khi với vectơ x ta tìm ba số m, n, p cho x ma nb pc Ngòai ba số m, n, p LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Đònh nghóa phép toán Đònh nghóa, tính chất, phép toán vectơ không gian xây dựng hoàn toàn tương tự mặt phẳng Lưu ý: + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB BC AC + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB AD AC + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.ABCD, ta có: AB AD AA ' AC ' + Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I trung điểm đoạn thẳng AB, O tuỳ ý Ta có: IA IB ; OA OB 2OI + Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G trọng tâm tam giác ABC, O tuỳ ý Ta có: GA GB GC 0; OA OB OC 3OG + Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G trọng tâm tứ diện ABCD, O tuỳ ý Ta có: GA GB GC GD 0; OA OB OC OD 4OG + Điều kiện hai vectơ phương: a b phương (a 0) ! k R : b ka + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k 1), O tuỳ ý Ta có: MA k MB; NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 OM OA kOB 1 k SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Sự đồng phẳng ba vectơ Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a, b , c , a b không phương Khi đó: a, b , c đồng phẳng ! m, n R: c ma nb Cho ba vectơ a, b , c không đồng phẳng, x tuỳ ý Khi đó: ! m, n, p R: x ma nb pc Tích vô hướng hai vectơ Góc hai vectơ không gian: AB u, AC v (u, v ) BAC (00 BAC 1800 ) Tích vô hướng hai vectơ không gian: + Cho u, v Khi đó: u.v u v cos(u, v ) + Với u v Qui ước: u.v + u v u.v VẤN ĐỀ 1: Chứng minh đẳng thức vectơ Dựa vào qui tắc phép toán vectơ hệ thức vectơ VẤN ĐỀ 2: Chứng minh ba vectơ đồng phẳng Phân tích vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta chứng minh cách: + Chứng minh giá ba vectơ song song với mặt phẳng + Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n R: c ma nb a, b , c đồng phẳng Để phân tích vectơ x theo ba vectơ a, b , c không đồng phẳng, ta tìm số m, n, p cho: x ma nb pc VẤN ĐỀ 3: Tích vô hướng hai vectơ không gian NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §2 HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC I- TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN: u Góc hai vectơ không gian: Đònh nghóa: Trong không gian, cho u v hai vectơ khác vectơ - không Lấy điểm A bất A kì, gọi B C hai điểm cho AB u , AC v Khi ta gọi góc BAC (00 C 1800) góc v hai vectơ u v không gian, kí hiệu ( u, v ) B C Tích vô hướng hai vectơ không gian: Đònh nghóa: Trong không gian cho hai vectơ u v khác vectơ - không Tích vô hướng hai vectơ u v số, kí hiệu u v , xác đònh công thức: u.v u v cos(u, v ) Trường hợp u = v = ta quy ước u v = II- VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG: Đònh nghóa: Vectơ a khác vectơ – không gọi vectơ phương đường thẳng d giá vectơ a song song trùng với đường thẳng d a d Nhận xét: Nếu a vectơ phương đường thẳng d vectơ ka với k vectơ phương d Một đường thẳng d không gian hoàn toàn xác đònh biết điểm A thuộc d vectơ phương a Hai đường thẳng song song với chúng hai đường thẳng phân biệt có hai vectơ phương phương III- GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG: Đònh nghóa: Góc hai đường thẳng a b không gian góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm song song với a b b a b' O a' Nhận xét: Để xác đònh góc hai đường thẳng a b ta lấy điểm O thuộc hai đường thẳng vẽ đường thẳng qua O song song với đường thẳng lại NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 11 Nếu u FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 vectơ phương đường thẳng a v vectơ phương đường thẳng b (u , v ) = góc hai đường thẳng a b 00 900 1800 - 900 < 1800 Nếu a b song song trùng góc chúng 00 V- HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC: Đònh nghóa: Hai đường thẳng gọi vuông góc với góc chúng 900 Người ta kí hiệu hai đường thẳng a b vuông góc với a b Nhận xét: Nếu u v vectơ phương hai đường thẳng a b thì: a b u.v Cho hai đường thẳng song song Nếu đường thẳng vuông góc với đường thẳng vuông góc với đường thẳng Hai đường thẳng vuông góc với cắt chéo LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Vectơ phương đường thẳng: a VTCP d giá a song song trùng với d Góc hai đường thẳng: a//a, b//b a, b a ', b ' Giả sử u VTCP a, v VTCP b, (u, v ) Khi đó: a, b 180 Nếu a//b a b a, b 00 00 1800 900 1800 Chú ý: 00 a, b 900 Hai đường thẳng vuông góc: a b a, b 900 Giả sử u VTCP a, v VTCP b Khi a b u.v Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với cắt chéo Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Phương pháp: Có thể sử dụng cách sau: Chứng minh góc hai đường thẳng 900 Chứng minh vectơ phương đường thẳng vuông góc với Sử dụng tính chất hình học phẳng (như đònh lí Pi–ta–go, …) NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §3 ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG I- ĐỊNH NGHĨA: Đường thẳng d gọi vuông góc với mặt phẳng () d vuông góc với đường thẳng a nằm mặt phẳng () Khi d vuông góc với () ta nói () vuông góc với d, d () vuông góc với Kí hiệu: d () II- ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG: Đònh lí: Nếu đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng Hệ quả: Nếu đường thẳng vuông góc với hai cạnh tam giác vuông góc với cạnh thứ ba tam giác III- TÍNH CHẤT: Tính chất 1: Có mặt phẳng qua điểm cho trước vuông góc với đường thẳng cho trước * Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng: Người ta gọi mặt phẳng qua trung điểm I đoạn thẳng AB vuông góc với đường thẳng AB mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB d O M A B I Tính chất 2: Có đường thẳng qua điểm cho trước vuông góc với mặt phẳng cho trước NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 O SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 IV- LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG: a b Tính chất 1: a) Cho hai đường thẳng song song Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng vuông góc với đường thẳng b) Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với mặt phẳng song song với a Tính chất 2: a) Cho hai mặt phẳng song song Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng b) Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với đường thẳng song song với b Tính chất 3: a a) Cho đường thẳng a mặt phẳng () song song với Đường thẳng vuông góc với () vuông góc với a b) Nếu đường thẳng mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) vuông góc với đường thẳng khác chúng song song với V- PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ ĐỊNH LÍ BA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC: Phép chiếu vuông góc: Cho đường thẳng vuông góc với mặt phẳng () Phép chiếu song song theo phương lên mặt phẳng () gọi phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng () A B A' B' * Nhận xét: Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng trường hợp đặc biệt phép chiếu song song nên có đầy đủ tính chất phép chiếu song song Chú ý người ta dùng tên gọi “phép chiếu lên mặt phẳng ()” thay cho tên gọi “phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng ()” dùng tên gọi H' hình chiếu H mặt phẳng () thay cho tên gọi hình chiếu vuông góc H mặt phẳng () Đònh lí ba đường vuông góc: Cho đường thẳng a nằm mặt phẳng () b đường thẳng không thuộc() đồng thời không vuông góc với () Gọi b’ hình chiếu vuông góc b () Khi a vuông góc với b a vuông góc với b’ NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 A B b A' B' b' a SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Góc đường thẳng mặt phẳng: Đònh nghóa: Cho đường thẳng d mặt phẳng () Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng () ta nói góc đường thẳng d mặt phẳng () 900 Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng () góc d hình chiếu d’ () gọi góc đường thẳng d mặt phẳng () * Chú ý: Nếu góc đường thẳng d mặt phẳng () ta có 00 900 d A d' H O LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Đònh nghóa d (P) d a, a (P) Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng a, b (P), a b O d (P) d a, d b Tính chất Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng trung điểm Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng a b (P) b (P ) a (P) (Q) a (Q) a ( P ) a (P) b a b ( P ) a b a b a (P ), b (P ) (P) (Q) (P) Q) (P) a,(Q) a a (P) a b,(P) b a P) Đònh lí ba đường vuông góc Cho a (P), b (P) , a hình chiếu a (P) Khi b a b a Góc đường thẳng mặt phẳng Nếu d (P) d ,(P) = 900 Nếu d (P) d ,(P) = d , d ' với d hình chiếu d (P) Chú ý: 00 d ,(P) 900 NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 VẤN ĐỀ 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Chứng minh hai đường thẳng vuông góc * Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d (P), ta chứng minh cách sau: Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nằm (P) Chứng minh d vuông góc với (Q) (Q) // (P) Chứng minh d // a a (P) * Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Để chứng minh d a, ta chứng minh cách sau: Chứng minh d vuông góc với (P) (P) chứa a Sử dụng đònh lí ba đường vuông góc Sử dụng cách chứng minh biết phần trước VẤN ĐỀ 2: Tìm thiết diện qua điểm vuông góc với đường thẳng Phương pháp: Tìm đường thẳng cắt vuông góc với đường thẳng cho, mặt phẳng cắt song song (hoặc chứa) với đường thẳng VẤN ĐỀ 3: Góc đường thẳng mặt phẳng Phương pháp: Xác đònh góc đường thẳng a mặt phẳng (P) Tìm giao điểm O a với (P) Chon điểm A a dựng AH (P) Khi AOH (a,(P)) NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §4 HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC I- GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG: Đònh nghóa: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng Nếu hai mặt phẳng song song trùng ta nói góc hai mặt phẳng 00 Cách xác đònh góc hai mặt phẳng cắt nhau: Giả sử hai mặt phẳng () () cắt theo giao tuyến c Từ điểm I c ta dựng () đường thẳng a vuông góc với c dựng () đường thẳng b vuông góc với c Người ta chứng minh góc hai mặt phẳng () () góc hai đường thẳng a b b c a I Diện tích hình chiếu đa giác: Cho đa giác H nằm mặt phẳng () có diện tích S H’ hình chiếu vuông góc H mặt phẳng (), gọi góc mp() mp() Khi diện tích S’ H’ tính theo công thức: S’ = Scos II- HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC: Đònh nghóa: Hai mặt phẳng gọi vuông góc với góc hai mặt phẳng góc vuông Nếu hai mặt phẳng () () vuông góc với ta kí hiệu () () Các đònh lí: Đònh lí 1: Điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Hệ quả1: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vuông góc với giao tuyến vuông góc với mặt phẳng d c NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Hệ 2: Cho hai mặt phẳng () () vuông góc với Nếu từ điểm thuộc mặt phẳng () ta dựng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng () đường thẳng nằm mặt phẳng () d Đònh lí 2: Nếu hai mặt phẳng cắt vuông góc với mặt phẳng giao tuyến chúng vuông góc với mặt phẳng III- HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HÌNH HỘP CHỮ NHẬT, HÌNH LẬP PHƯƠNG: Đònh nghóa: Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy Độ dài cạnh bên gọi chiều cao hình lăng trụ đứng Hình lăng trụ đứng có đáy tam giác, tứ giác, ngũ giác,v.v… gọi hình lăng trụ đứng tam giác, hình lăng trụ đứng tứ giác, hình lăng trụ đứng ngũ giác,v.v… Hình lăng trụ đứng có đáy đa giác gọi hình lăng trụ Ta có loại lăng trụ hình lăng trụ tam giác đều, hình lăng trụ tứ giác đều, hình lăng trụ ngũ giác đều… Hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành gọi hình hộp đứng Hình lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật gọi hình hộp chữ nhật Hình lăng trụ đứng có đáy hình vuông mặt bên hình vuông gọi hình lập phương Nhận xét: Các mặt bên hình lăng trụ đứng luôn vuông góc với mặt phẳng đáy hình chữ nhật Lăng trục đứng tam giác Lăng trụ đứng ngũ giác NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 Hình hộp chữ nhật Hình lập phương SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 IV- HÌNH CHÓP ĐỀU VÀ HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU: Hình chóp đều: Cho hình chóp đỉnh S có đáy đa giác A1 A2 An H hình chiếu vuông góc S mặt phẳng đáy ( A1 A2 An ) Khi đoạn thẳng SH gọi đường cao hình chóp H gọi chân đường cao Một hình chóp gọi hình chóp có đáy đa giác có chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy S C B A D H F E Nhận xét: a) Hình chóp có mặt bên tam giác cân Các mặt bên tạo với mặt đáy góc b) Các cạnh bên hình chóp tạo với mặt đáy góc B' C' D' A' Hình chóp cụt đều: Phần hình chóp nằm đáy thiết diện song song với đáy cắt cạnh bên hình chóp gọi hình chóp cụt F' E' C B D A F E LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Góc hai mặt phẳng a (P) (P),(Q) a, b b (Q) Giả sử (P) (Q) = c Từ I c, dựng a (P), a c (P),(Q) a, b Chú ý: 00 (P),(Q) 900 b (Q), b c Diện tích hình chiếu đa giác Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S diện tích hình chiếu (H) (H) (Q), = (P),(Q) Khi đó: S = S.cos Hai mặt phẳng vuông góc (P) (Q) (P),(Q) 900 Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: (P) a (P) (Q) a (Q) NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Tính chất (P) (Q) A (P) a (P ) a A, a (Q) (P) (Q),(P) (Q) c a (Q) a (P ), a c (P ) (Q) a (P ) ( R) a ( R) ( Q ) ( R ) VẤN ĐỀ 1: Góc hai mặt phẳng Phương pháp: Muốn tìm góc hai mặt phẳng (P) (Q) ta sử dụng cách sau: (P),(Q) a, b Giả sử (P) (Q) = c Từ I c, dựng a (P), a c (P),(Q) a, b b (Q), b c Tìm hai đường thẳng a, b: a (P), b (Q) Khi đó: VẤN ĐỀ 2: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng * Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Để chứng minh (P) (Q), ta chứng minh cách sau: Chứng minh (P) có đường thẳng a mà a (Q) Chứng minh (P),(Q) 900 * Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d (P), ta chứng minh cách sau: Chứng minh d(Q) với (Q)(P) d vuông góc với giao tuyến c (P) (Q) Chứng minh d = (Q) (R) với (Q) (P) (R) (P) Sử dụng cách chứng minh biết phần trước VẤN ĐỀ 3: Tính diện tích hình chiếu đa giác Phương pháp: Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S diện tích hình chiếu (H) (H) (Q), = (P),(Q) Khi đó: S = S.cos NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §5 KHOẢNG CÁCH I- KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG, ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho điểm O đường thẳng a Trong mặt phẳng (O,a) gọi H hình chiếu vuông góc O a Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a, kí hiệu d(O,a) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Cho điểm O mặt phẳng () Gọi H hình chiếu vuông góc O lên mặt phẳng () Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng () kí hiệu d(O, ()) O a H O H II- KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG, GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG: Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: Đònh nghóa: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng () Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng () khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng (), kí hiệu d(a, ()) Khoảng cách hai mặt phẳng song song: Đònh nghóa: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng a O H O H Ta kí hiệu khoảng cách hai mặt phẳng () () song song với d((),()) Khi d((),())= d(M,()) với M (), d((),()) = d(M’,()) với M’ () NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 III- ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG VÀ KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU: Đònh nghóa: a) Đường thẳng cắt hai đường thẳng chéo a, b M vuông góc với đường thẳng gọi a đường vuông góc chung a b b N b) Nếu đường vuông góc chung cắt hai đường thẳng chéo a, b M, N độ dài đoạn thẳng MN gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo a b Cách tìm đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo nhau: Cho hai đường thẳng chéo a b Gọi () a mặt phẳng chứa b song song với a, a’ hình chiếu vuông góc a mặt phẳng () Vì a // () nên a // a’ Do a’ b’ cắt điểm Gọi điểm N Gọi () mặt phẳng chứa a a’ đường thẳng qua N vuông góc với () Khi () vuông góc với () Như nằm () nên cắt đường thẳng a M cắt đường thẳng b N, đồng thời vuông góc với a b Do đường vuông góc chung a b Nhận xét: a) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng mặt phẳng song song với chứa đường thẳng lại b) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng a b M N b LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng d ( M , a) MH H hình chiếu M a (P) d ( M ,(P )) MH Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song d(a,(P)) = d(M,(P)) M điểm nằm a d((P),(Q) = d(M,(Q)) M điểm nằm (P) NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ HÌNH HỌC 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Khoảng cách hai đường thẳng chéo Đường thẳng cắt a, b vuông góc với a, b gọi đường vuông góc chung a, b Nếu cắt a, b I, J IJ gọi đoạn vuông góc chung a, b Độ dài đoạn IJ gọi khoảng cách a, b Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng VẤN ĐỀ 1: Khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp: Dựng đoạn vuông góc chung hai đường thẳng chéo a b Cách 1: Giả sử a b: Dựng mặt phẳng (P) chứa b vuông góc với a A Dựng AB b B AB đoạn vuông góc chung a b Cách 2: Sử dụng mặt phẳng song song Dựng mặt phẳng (P) chứa b song song với a Chọn M a, dựng MH (P) H Từ H dựng đường thẳng a // a, cắt b B Từ B dựng đường thẳng song song MH, cắt a A AB đoạn vuông góc chung a b Chú ý: d(a,b) = AB = MH = a(a,(P)) Cách 3: Sử dụng mặt phẳng vuông góc Dựng mặt phẳng (P) a O Dựng hình chiếu b b (P) Dựng OH b H Từ H, dựng đường thẳng song song với a, cắt b B Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a A AB đoạn vuông góc chung a b Chú ý: d(a,b) = AB = OH VẤN ĐỀ 2: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song Để tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) ta cần xác đònh đoạn vuông góc vẽ từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ [...]... u1 là số hạng đầu, um là số hạng cuối II– CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ: 1 Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát: 2 Dãy số cho bằng phương pháp mô tả: 3 Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi: III– BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA DÃY SỐ: Ví dụ: Các số hạng của dãy số cho bởi công thức un= n 1 n được biễu diễn trên trục số như sau: 0 1 5 4 4 3 u4 u3 3 2 2 u2 u1 u(n) IV– DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN:... Dấu hiệu chia hết: Số chia hết cho 2 là những số có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8 Số chia hết cho 5 là những số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 Số chia hết cho 3 là những số có tổng các chữ số chia hết cho 3 Số chia hết cho 9 là những số có tổng các chữ số chia hết cho 9 4 Số và chữ số: NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §1 QUY... ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 CHƯƠNG III DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1 Tính chất chia hết của một tổng: Nếu tất cả các số hạng trong một tổng chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó Nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho một số, còn các số hạng khác đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó 2 Tính chất của luỹ thừa với số mũ... ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §3 CẤP SỐ CỘNG I– ĐỊNH NGHĨA: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d Số d được gọi là công sai của cấp số cộng Nếu (un) là cấp số cộng với công sai d , ta có công thức truy hồi: un+1= un + d với n N* Đặc biệt khi d = 0 thì cấp số. .. cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau) II– SỐ HẠNG TỔNG QUÁT: Đònh lí: Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác đònh bởi công thức: un = u1 + (n – 1)d với n 2 III– TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG: Đònh lí: Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với... hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q Số q được gọi là công bội của cấp số nhân Nếu (un) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: un 1 un q với n N* * Đặc biệt: Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u1, 0, 0,…,0,… Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u1, u1, u1,…, u1,… Khi u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng... với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0,…, 0,… II– SỐ HẠNG TỔNG QUÁT: Đònh lí: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un được xác đònh bởi công thức: un u1.q n 1 với n 2 III– TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ NHÂN: Đònh lí: Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghóa là: uk2 uk 1.uk... được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số) Kí hiệu: u: N* R n u(n) Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển: u1, u2, u3,…, un,…, trong đó un = u(n) hoặc viết tắt là (un), và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số 2 Đònh nghóa dãy số hữu hạn: Mỗi hàm số u xác đònh trên tập M={1, 2, 3, …, m} với m N* được gọi là một dãy số hữu hạn Dạng khai... CHẶN: 1 Dãy số tăng, dãy số giảm: Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu ta có un+1 > un với mọi n N* Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu ta có un+1 < un với mọi n N* * Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm Chẳng hạn, dãy số (un) với un = 3n , tức là dãy số: -3, 9, -27, 81,… không tăng và cũng không giảm NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168... ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §3 HÀM SỐ LIÊN TỤC I– HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM: Đònh nghóa: Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên khoảng K và x0 K Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu xlim f ( x) f ( x 0 ) x 0 Hàm số y = f(x) không liên tục tại x0 được gọi là hàm số gián đoạn tại điểm đó II– HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG: Đònh nghóa: Hàm số y = f(x) được ... - - O x -1 b) Đồ thò hàm số y = sinx R: y - 5 -2 - - - 3 3 O 2 2 x 5 -1 2 c) Tập giá trò hàm số y = sinx: Tập giá trò hàm số y = sinx T = [-1 ; 1] Hàm số y = cosx: Hàm số. .. hết: Số chia hết cho số có chữ số tận 0; 2; 4; 6; Số chia hết cho số có chữ số tận Số chia hết cho số có tổng chữ số chia hết cho Số chia hết cho số có tổng chữ số chia hết cho Số chữ số: ... sin (- ) = -sin sin( - ) = sin sin( - ) = cos sin( + ) = -sin cos (- ) = cos cos( - ) = -cos cos( - ) = sin cos( +) = -cos tan (- ) = -tan tan( - ) = -tan tan( - ) = cot tan(