Thông tin tài liệu
Netschool.edu.vn Phương pháp tính tích phân CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ VÔ TỶ TÍCH PHÂN CHỨA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I KIẾN THỨC Thuộc nguyên hàm : a/ sin ax+b dx cos ax+b a sin ax+b dx ln c os ax+b cos ax+b b/ c / cos ax+b dx sin ax+b a cos ax+b d/ dx ln sin ax+b sin ax+b Đối với : I f ( x)dx a/ Nếu f(x)= R sin m x; cos n x ta ý : - Nếu m lẻ , n chẵn : đặt cosx=t ( Gọi tắt lẻ sin ) - Nếu n lẻ , m chẵn : đặt sinx=t ( Gọi tắt lẻ cos ) - Nếu m,n lẻ : đặt cosx=t sinx =t ( gọi tắt lẻ sin lẻ cos ) - Nếu m,n đề chẵn : đặt tanx=t ( gọi tắt chẵn sinx , cosx ) b/ Phải thuộc công thức lượng giác công thức biến đổi lượng giác , đẳng thức lượng giác , công thức hạ bậc , nhân đôi , nhân ba , tính theo tang góc chia đôi Nói chung để tính tích phân chứa hàm số lượng giác , học sinh đòi hỏi phải có số yếu tố sau : - Biến đổi lượng giác thục - Có kỹ khéo léo nhận dạng cách biến đỏi đưa dạng biết nguyên hàm II MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Tính tích phân sau : a (ĐH, CĐ Khối A – 2005) I sin 2x sin x cos x dx sin 2x cos x dx cos x b ĐH, CĐ Khối B – 2005 I KQ: ln Giải 2cos x 1 s inx dx sin x sin x dx a I 3cos x 3cos x 0 1 t2 1 c osx= ;s inxdx=- tdt 3 Đặt : t 3cos x x t 2; x t 2 t 1 1 2t 1 34 Khi : I tdt dt t t t 9 3 27 sin x cos x 2sin x cos x cos x dx dx s inxdx cos x cos x cosx+1 0 b I 2 1 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 Netschool.edu.vn TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC dt=-sinxdx, x=0 t=2;x= t Đặt : t cosx f ( x)dx t 1 dt t dt t t 1 1 Do : I f ( x)dx 2 t dt t 2t ln t t 2 2 Ví dụ Tính tích phân sau 2 2ln sin 2x a ĐH- CĐ Khối A – 2006 I cos2 x 4sin x dx KQ: cos 3x dx sin x b CĐ Bến Tre – 2005 I KQ: 3ln Giải sin 2x a I dx Đặt : t cos2 x 4sin x t cos2 x 4sin x cos x 4sin x tdt 2sin x cos x 8sin x cos x dx 3sin xdx sin xdx tdt Do : x t 1; x t 2 Vậy : I f ( x)dx 2 tdt 2 2 dt t 31 t 31 3 cos 3x dx sin x b I Ta có : cos3x=4cos3 x 3cos x 4cos2 x 3 cosx= 4-4sin x 3 cosx= 1-4sin x cosx 1 4sin x cosxdx cos3x dx 1+sinx s inx dt=cosxdx,x=0 t=1;x= t Đặt : t s inx 1 t 12 dt 4t dt f ( x)dx t t Cho nên : f ( x)dx 3 Vậy : I f ( x)dx 4t dt 8t 2t 3ln t 3ln t 1 Ví dụ Tính tích phân sau 2 a CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005 I sin xdx sin x cos x.cos x Trang Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC b CĐ Y Tế – 2006 I sin x cos x sin 2x dx KQ: ln Giải 2 sin xdx s inx a I dx ln cosx ln x sin x cos x 1 cosx 1+cosx sin x cos x.cos 0 b I sin xdx sin x cos x sin 2x dx 4 sin x cos x s inx+cosx sin x cos x dx s inx+cosx dx 1 Vì : s inx+cosx= sin x ; x x sin x 4 2 4 4 Do : sinx+cosx sinx+cosx Mặt khác : d sinx+cosx cosx-sinx dx d s inx+cosx Cho nên : I ln s inx+cosx ln1 ln ln sinx+cosx 4 Ví dụ Tính tích phân sau cos2x I a CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006 dx KQ: KQ: ln sin x cos x 3 32 cos2x dx 2sin 2x I b CĐ KTKT Đông Du – 2006 Giải cos2x a I sin x cos x 3 Cho nên : f ( x)dx dx Vì : cos x cos2 x sin x cosx+sinx cosx-sinx cos2x sinx-cosx+3 dx cosx-sinx cosx+sinx dx sinx-cosx+3 dt= cosx+sinx dx; x t 2, x t Đặt : t s inx-cosx+3 f ( x)dx t dt dt t3 t3 t 1 1 314 Vậy : I f ( x)dx 3 dt t t t t 32 2 dt cos xdx cos2xdx= dt cos2x dx Đặt : t 2sin x b I 2sin 2x x t 1; x t Trang Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 3 cos2x dt Vậy : I dx ln t ln 2sin 2x 41 t 4 Ví dụ Tính tích phân sau : 4sin3 x dx cos x I a CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006 b CĐ Bến Tre – 2006 I KQ: sin3x sin3 3x 0 cos3x dx Giải cos2 x 4sin3 x a I dx s inxdx=4 1 cosx s inxdx=4 1 cosx cos x cosx 0 0 sin3x sin3 3x dx cos3x b I Ta có : sin 3x sin 3x sin 3x 1 sin 3x sin 3x.cos 3x dt=-3sin3xdx sin3xdx=- dt Đặt : t cos3x x t 2; x t Vậy : t 1 1 1 f ( x)dx dt t dt t 2t ln t 32 t 31 t 3 2 1 2 ln Ví dụ Tính tích phân sau a I = sin x sin x cot gx dx sin x c I = b I = x) dx sin( x) sin( sin x dx d I = cos x(sin x cos x)dx 0 Giải a I = s inx 1 sin x sin x sin x cot gx dx cot xdx sin x s inx 3 1 sin x cot xdx cot x cot xdx Trang Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC b I = x) dx sin( x) sin( cosx-sinx cosx+sinx dx d cosx+sinx ln cosx+sinx cosx+sinx 2 cos2x cos4x dx 1 2cos 2x dx 0 sin x dx c I = 2 1 3 3 3 cos2x+ cos4x dx x sin 2x sin 4x 32 8 16 08 d I = cos x(sin x cos x)dx Vì : sin x cos4 x sin 2 x Cho nên : 12 1 I 1 sin 2 x cos2xdx= cos2xdx- sin 2 x cos xdx sin x sin x 20 0 0 2 Ví dụ Tính tích phân sau a I = sin b I = xdx c I = sin x cot gx tg x cot g x 2dx d */I = ( dx cos x sin x )dx Giải a I = sin xdx cos x sinxdx=- 1 2cos x cos x d cosx 0 2 cosx+ cos3 x cos5 x 15 b I = sin x cot gx dx Trang Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1 2tdt dx dx 2tdt sin x sin x Đặt : t cot x t cot x x t 3; x t 2tdt Vậy : I dt 2t 2 t 1 1 t anx-cotx 2 dx t anx-cotx dx tg x cot g x 2dx c I = Vì : tanx-cotx= sinx cosx sin x cos x cos2x 2 2cot x cosx sinx sinxcosx sin2x t anx-cotx0;x ; 4 3 4 6 Vậy : I t anx-cotx dx t anx-cotx dx cos2x cos2x dx dx sin2x sin2x ln sin x 4 12 ln sin x 3 ln d I = ( Đặt : x cos x sin x )dx (1) t dx dt , x t ;x t 0 Do : I cos t sin t dt 2 0 sin t cost dt sin x cosx dx 2 Lấy (1) +(2) vế với vế : 2I I Ví dụ Tính tích phân sau a 4 tan xdx (Y-HN-2000) b cos2x 0 sinx+cosx+2 dx (NT-2000) cos x dx (NNI-2001) sin x c 4 sin x 0 cos6 x dx ( GTVT-2000) e d 2sin x 0 sin x dx (KB-03) sin x 0 cos2 x dx f Giải sin x 1 cos x 1 2 1 a tan xdx Ta có : f ( x) tan x 4 cos x cos x cos x cos x 4 Trang Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Do : I dx f ( x)dx dx tan x tan x x 2 cos x cos x cos x 4 4 t anx+ tan x 12 3 12 12 * Chú ý : Ta có cách phân tích khác : f ( x) tan x tan x tan x 1 tan x 1 tan x tan x tan x 1 tan x tan x 1 3 4 4 dx dx Vậy : I tan x 1 tan x tan x 1 1 dx tan x dx cos x cos x 1 1 1 I tan x t anx+x 3 3 12 3 3 b cos2x sinx+cosx+2 dx Ta có : f ( x) sinx+cosx+9 cos x sin x cosx-sinx cosx+sinx cos2x sinx+cosx+9 sinx+cosx+9 3 4 cosx+sinx cosx-sinx dx Do : I f ( x)dx 0 sinx+cosx+2 cosx+sinx=t-2.x=0 t=3;x= t 2, Đặt : t s inx+cosx+2 dt cosx-sinx dx f ( x)dx t dt dt t3 t3 t Vậy : 2 1 1 1 1 22 1 I dt t t t t 3 2 2 9 2 sin t cost sin t cost dt sin t cost cost sin t dt f ( x) sin t cost+9 sin t cost+9 cos x dx sin x c cos6 x 1 sin x 3sin x 3sin x sin x 1 sin x Ta có : f ( x) 4 4 sin x sin x sin x sin x sin x Trang Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Vậy : I 1 cot x dx dx cos2x dx dx 2 sin x sin x 2 4 1 5 23 cot x 3cot x x x sin x 12 d sin x cos x 1 dx dx dx dx dx 0 cos6 x 0 cos6 x 0 cos6 x cos4 x 0 cos4 x cos2 x 0 1 tan x cos2 x 2 4 1 tan x 4 1 2 dx tan x dx tan x tan x d tan x 1 tan x d t anx 2 cos x cos x 0 1 1 t anx+ tan x tan x t anx- tan x tan x tan x 5 3 15 2 d cos2x sin x sin x 2sin x e dx dx dx ln cos2x ln cos2x cos x cos2x cos2x 0 4 0 2sin x cos2 x d 1 sin x 1 f dx dx ln sin x ln sin x sin x sin x 2 0 Ví dụ Tính tích phân sau : 4 2 a sin x cos xdx b sin x 2cos3x dx sin x cos x dx J dx K c I s inx+ c osx s inx+ c osx 0 cos2x dx s inx cosx- Giải a sin x cos xdx 1 cos x cos x.s inxdx cos x cos x d cosx 2 4 0 1 cos7 x cos5 x 7 35 2 sin 3x 3sin 3x d 1 cos 3x 1 dx dx ln cos 3x ln b 2cos3x cos 3x cos x 6 0 sin x cos x 1 16 dx dx dx c Ta có : I J 201 20 s inx+ 3cosx sin x s inx+ cosx 3 2 2 Trang Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC x d tan 1 1 Do : x x x x sin x 2sin cos x+ tan 2cos tan 3 2 6 6 2 6 2 6 2 6 x d tan 1 x Vậy : I ln tan ln ln (1) 20 x 2 6 tan 2 6 sin x 3cosx sin x 3cosx sin x 3cos x dx dx s inx+ 3cosx s inx+ 3cosx - Mặt khác : I 3J 2 Do : I 3J s inx- 3cosx dx cosx- s inx (2) 0 3 1 I ln I J ln 16 4 Từ (1) (2) ta có hệ : I 3J J ln 16 Để tính K ta đặt t x Vậy : K cos2t 1 dt I J ln sint+ 3cost cos t+3 sin t+3 2 2 Ví dụ 10 Tính tích phân sau dt a dx ( CĐ-99) sin x b dx s inx+cosx (ĐH-LN-2000) 10 10 4 sin x cos x sin x cos x dx (SPII-2000) c dt dx x ; t 0.x t 2 cos 2t+3 3 d dx (MĐC-2000) s inxsin x+ 6 Giải 4 1 dx dx a 0 sin x 0 s inx+cosx dx tan x 4 cos x 4 b dx s inx+cosx x 1 x 2dt dt dx 1 tan dx; dx ; x t 0, x t x 2 2 1 t 2 cos 2 1 1 2dt 2dt dt 2 Vậy : I 2 2t t 1 t t 2t t 12 0 2 1 t2 1 t2 Đặt : t tan Trang Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC du; t tan u ; t tan u dt 2 cos u Đặt : t tan u 2dt 2 f (t )dt du 2du 2 cos 2u tan u t u2 u Vậy : I 2du 2u u2 u1 arxtan arctan u1 u1 sin c 10 x cos10 x sin x cos x dx Ta có : sin10 x cos10 x sin x cos x sin x cos x cos4 x sin x cos6 x sin x cos2 x sin x cos2 x sin x cos4 x sin x cos x sin x 1 cos4x cos8x 15 1 cos 2 x 1 sin 2 x cos 2 x sin x cos4x+ cos8x 16 32 32 32 15 1 15 15 Vậy : I cos4x+ cos8x dx sin x sin x 32 32 32 32.8 64 0 0 dx s inxsin x+ 6 Ta có : x x sin x x sin x cosx-sinxco x = * 6 6 6 6 sin x cosx-sinxco x 6 6 2 2 Do : f ( x) s inxsin x+ s inxsin x+ s inxsin x+ 6 6 6 cos x+ cos x+ 3 cosx I f ( x)dx cosx dx ln s inx ln sin x+ sinx 6 sinx sin x sin x 6 6 d s inx 3 I ln ln ln ln 2 sin x+ 6 * Chú ý : Ta có cách khác 1 f(x)= sin x s inxsin x+ s inx s inx+ cosx 6 3 Vậy : I dx cot x sin x 6 2d cot x cot x cot x 2 ln cot x ln Ví dụ 11 Tính tích phân sau Trang 10 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC dx 2costdt.x=0 t=- ; x t - Đặt : x sin t Vì : t ; cost>0 4 4 2costdt=dt f ( x)dx 2 1 sin t - Vậy : I dt t 4 4 mx n Tích phân dạng : I ax bx c Phương pháp : mx n a 0 dx A.d ax bx c B 1 ax bx c ax bx c ax bx c b.2 Quy đồng mẫu số , sau đồng hệ số hai tử số để suy hệ hai ẩn số A,B b.3 Giải hệ tìm A,B thay vào (1) b.1 : Phân tích f ( x) b.4 Tính I = A ax bx c a biết cách tính Trong ax bx c dx B dx (2) ax bx c VÍ DỤ MINH HỌA x2 Ví dụ Tính tích phân sau I dx (a>0) x2 x 1 Giải A x 2 x2 B Ax B A - Ta có : f ( x) 1 x2 2x x2 2x x2 2x x2 2x - Đồng hệ số hai tử số ta có hệ : 1 2x 2 A A 3 f ( x) 2 x 2x x 2x B A B 1 - Vậy : I f ( x)dx x 1 dx 1 3 dx 2 x x x x 1 1 1 Theo kết , ta có kết : I x2 2x 3ln 2 3ln 1 2x Ví dụ Tính tích phân sau I - Ta có : 2x 2x x2 x x2 A 2x dx Giải B 2 Ax A B 2x x2 2x x2 2x x2 2 A A 1 - Đồng hệ số hai tử số ta có : 2 A B 3 B 1 Trang 19 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1 x dx - Vậy : I 2 x x2 0 1 x x2 dx 2 Theo kết tính ví dụ ta có : I Ví dụ Tính tích phân sau I x dx 1 2x x 2 dx 0 2x x2 2 x2 x Giải - Học sinh tự giải theo hướng dẫn - Sau cách giải nhanh x 4 x 2 +/ Ta có : f ( x) x2 4x x2 4x x2 4x 1 x dx 1 x dx 1 +/ Vậy : I dx ln x x J (1) 2 x2 4x x2 x 0 x 2 1 x dt +/ Tính J : Đặt t x Hay : dt t dx x 2 3 10 +/ Do : J 2 1 x dx t dx 2 x 2 x 2 Khi x=0, t=2+ ; x=1, t=3+ 10 10 10 dt ln t ln Thay vào (1) ta tìm I t 2 2 10 I 10 2ln 2 Tích phân dạng : I mx n ax bx c a 0 dx Phương pháp : b.1 Phân tích : 1 (1) n m x ax bx c m n y x t t m dy x t dx n b.2 Đặt : x y m 1 1 x t ax bx c a t b t c y y y mx n ax bx c ' b.3 Thay tất vào (1) I có dạng : I ' dy Ly My N Tích phân biết cách tính Ví dụ Tính tích phân sau x 1 VÍ DỤ MINH HỌA dx x2 x Giải Trang 20 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1 x ; dx y y - Đặt : x y x y 1; x y - Khi : y2 1 1 1 y2 1 x x 1 1 x 2x y y y2 y y 2 - Vậy : I 1 dy y2 1 2 Ví dụ Tính tích phân sau 1 1 ln y y ln 2 y2 3x dx dy x 1 x 3x Giải - Trước hết ta phân tích : x 1 3x 2 2 x 1 x 3x x 1 x 3x x 1 x 3x x 3x x 1 x 3x * Học sinh tự tính hai tích phân 5 2 ln Đáp số : I 3ln 3 3 x Tích phân dạng : I R x; y dx R x; m dx x ( Trong : R(x;y) hàm số hữu tỷ hai biến số x,y , , , số biết ) Phương pháp : x b.1 Đặt : t= m (1) x b.2 Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế (1) ta có dạng x t b.3 Tính vi phân hai vế : dx= ' t dt đổi cận x b.4 Cuối ta tính : R x; m x Ví dụ Tính tích phân sau 1 ' dx R t ; t ' t dt ' VÍ DỤ MINH HỌA x dx x 1 Giải x t 1; dx 2tdt ; x t 0, x t - Đặt : x t t 1 t3 t f ( x ) dx tdt dt t t dt 1 t t 1 t 1 x 11 - Vậy : dx t t dt 4ln t 1 x 1 1 0 Ví dụ Tính tích phân sau : a x 1 x x dx b x3 x dx c x xdx Trang 21 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC d x5 x3 x2 dx e 1 2dx x5 4 f x4 x5 GIẢI a x dx x 1 Đặt : x 1 dx 2tdt t 1 1 t x 1 x t 1 I 2tdt 2 t dt t 1 t x t 0, x t 0 1 1 Vậy : I t ln t 1 2 0 b x3 x dx x x xdx xdx tdt Đặt : t x x t I t 1 t dt x t 1, x t 2 58 1 Vậy : I t t dt t t 15 5 c x xdx 2 dx 2tdt Đặt : t x x t I 1 t t 2tdt x t 0, x t 2 0 112 1 Vậy : I t t dt 2 t t 2 15 3 2 d x5 x3 x2 Đặt : dx x x xdx x2 2 t 1 t 1 t.2tdt x t 1; xdx tdt t x 1 I 2 t 1 tdt t x t 1, x t 1 59 1 Vậy : I t t 1 5 e 1 3 x t 5, dx 2tdt 2.2tdt Đặt : t x I 1 dt t4 t4 x 1 t 2, x t 2 Vậy : I t 4ln t ln ln 4ln f 2dx x5 4 2 d x 1 dx x 1 5 x5 x5 x4 33 Ví dụ Tính tích phân sau : Trang 22 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 dx TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC x x dx a b x x3dx 0 x c d 1 f x dx x xdx 2 x 2 x x e xdx 1 x 3dx GIẢI a x x dx x x xdx Đặt : x t ; xdx tdt t x2 I 1 t t tdt t t 2t 1 dt x t 1, x t 1 1 Vậy : I t t t 105 7 b x x dx x x xdx 2 x t 1; xdx tdt I t 1 t.tdt t t dt Đặt : t x x t 1, x t 1 58 1 Vậy : I t t 15 5 c x x dx dx 2costdt; x cost 2 I 4sin t cos t cos tdt 4sin 2tdt Đặt : x 2sin t 0 x=0 t=0.x=2 t= d Vậy : I 1 cos4t dt t sin 4t 2 xdx 2 x 2 x - Vậy : I 1 1 x x dx x x dx 1 3 2 22 2 x x 3 e x xdx 1 1 x t 1; dx 2tdt I t 1 t.2tdt 2 t t dt Đặt : t x x 1 t 0, x t 0 1 1 1 1 Vậy : I t t 0 15 5 5 3 Trang 23 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC x f x 3dx x x 3.xdx 0 x t 3; xdx tdt Đặt : t x I x t 3, x t 56 12 1 Vậy : I t t 15 5 Ví dụ Tính tích phân sau : x 3 a dx 1 x x x x x 1 t 1 t.tdt b t t dt 10 dx x 1 x2 c d dx x x 1dx x e x dx GIẢI x 3 dx x 1 x 3 a 3 1 dx 2tdt Đặt : t x x t x 1 t 0; x t Vậy : 2 t t t t2 1 2 I 2tdt 2 dt 2 t dt t 3t 3ln t t 3t t 1 t t2 2 0 0 Do : I 6ln 10 10 10 dx dx dx b x x 1 x 1 x 1 1 x 1 1 x t 1; dx 2tdt.x t 2; x 10 t dx 2tdt - Đặt : t x f ( x)dx 2 dt 2 t t 12 t 1 x 10 1 3 - Vậy : I f ( x)dx dt ln t 2ln t t t c x2 x x 1 x x 1 dx x 1 dx x x 1 dx x 1 3 x x 1dx (1) 3 x t 1, dx 3t dt.x t 1; x t - Đặt : t x 3 f ( x)dx x x 1dx t 1 t.3t dt 3t 3t dt 3 33 - Vậy : I f ( x)dx 3t 3t dt t t 14 28 7 1 d x 3 x 1dx x x 1xdx 1 Trang 24 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC xdx tdt.x t 1, x t - Đặt : t x x t 2 f ( x)dx x x 1xdx t 1 tdt t 2t t dt 1 2 1 - Vậy : I x x 1xdx t 2t t dt t t t 2 1 6 1 0 2 x x dx x x xdx e 1 2 x t ; xdx tdt.x t 1, x t - Đặt : t x 2 2 f ( x)dx x x xdx 1 t t tdt t t dt 1 1 1 - Vậy : I x x xdx t t dt t t dt t t 15 3 Ví dụ Tính tích phân sau 1 3 1 x2 1 dx ( ĐHXD-96) x 1 2 dx x 1 dx (GTVT-98 ) 3x ( BK-95) x x2 1 x2 x x2 Giải dx ( HVBCVT-97 ) 2 x x 1 x 1 x2 1 dx Ta có : f ( x) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x x x 1 2 1 Vậy : I f ( x)dx x x x x dx x x x x x x 5 15 0 2 x dx x 1 x xdx x2 1 1 2 x t 1, xdx tdt.x t , x t - Đặt : t x xdx tdt dt f ( x)dx x x t 1 t t 1 dx dt acr tan t -Vậy : I 12 x x 1 t 1 3 3 t3 1 x , dx t dt , x t 1; x t x 1 3 dx Đặt : t 3x 3 3x f ( x)dx x dx t t dt t 2t dt 3t 3x x 1 11 46 dx t 2t dt t t - Vậy : I 3 3 3x 15 Trang 25 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 2 x2 x x2 dx 2 x2 xdx 1 x2 x t xdx tdt.x 2 t 5, x t - Đặt : t x x2 t 1 1 xdx tdt 1 dt 1 f ( x)dx dt x t 1 t 1 t 1 t 1 - Vậy : 1 1 t 1 1 t t dt t ln t ln f ( x)dx 2 1 1 1 1 Ví dụ Tính tích phân sau 1 x3 x 3 x 1 dx ( HVNHTPHCM-2000) I 2/2 x 2x xdx (ĐHTL-2000) I x x x3 x2 dx 1 x x2 2 (ĐHTM-97) dx dx (HVTCKT-97) Giải x 1 x x2 x2 1 x x9 dx x 1 x 1xdx x 4dx 0 x t 1, xdx tdt ; x t 1; x t Vậy : Đặt t x f ( x)dx t 1 t.tdt t t dt 2 x x 1xdx Suy : 1 3 4 1 t t dt t t 15 ; 1 - Do : I 15 15 I x 1 x dx = x xdx x2 1 x dx x 1 x t 1, xdx 3t dt xdx t dt.x t 1; x t - Đặt : t x t 1 3 f ( x ) dx t dt t t dt t t 12 4t 6t 4t dt 2t 2 3 2 - Vậy : I t13 4t10 6t 4t dt t14 t11 t t ( Học sinh tự tìm kết 21 14 11 1 ) 3 3 0 x 2x xdx = x xdx 1 x xdx x 1 xdx I 2 2 1 2 3 x x x dx x x x dx x x x x x x x x 5 3 5 1 Trang 26 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 2/2 dx costdt.x=0 t=0;x= t x dx Đặt : x sin t f ( x)dx sin t costdt= 1-cos2t dt x2 cost 14 1 - Vậy : I 1 cos2t dt t sin 2t 20 2 Ví dụ Tính tích phân sau : 1 11 x a 2 x 1/ dx 1 x (HVQS-98) x a dx (2x 1) x ,a (AN-96) dx dx x x 9 (HVQS-99) (AN-99) Giải 1 dx 11 x 1 x * Chú ý : a Một học sinh giải cách , em tham khảo Nhân liên hợp ta : x x2 x2 1 x2 1 1 x - f(x)= 2x 2 x 2x x x2 1 1 11 1 x2 - Vậy : I f ( x)dx 1 dx xdx ln x x J 1 1 2 x 1 x 1 1 x t 1.xdx tdt ; x 1 t 2; x t * Tính J : Đặt t x t t2 f ( x ) dx tdt dt 1 dt 2 t 1 t 1 t 1 t 1 * Học sinh thử tính thử xem có không ? Nếu không giải thích xem ? ( Theo điều kiện tồn tích phân ) b Một học sinh giải theo cách khác : dx cos 2t dt , x 1 t ; x t - Đặt : x tan t dt dt f ( x)dx cos t sin t cost+1 cost tan t cost - Sau áp dụng cách giải tích phân chứa hàm số lượng giác , không , hàm số không khả tích với t=0 * Đây cách giải : t 1 t , - Đặt: t x x t x x t 2tx x x x 2t 2 t 1 - Suy : dx dt 2t - Đổi cận : x=-1, t= ;x=1 t= -Do : Trang 27 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1 I 21 1 dt 2t 1 t 2 1 dt t 1 2 1 1 1 t t 1 dt ln t 1 2 1 1 1 t 1 1 Hay : I ln ln 2 t 2t 1/ (2x 1) x ln ln 2 1 1 1 2 dt t t t 1 2 1 2 dx 2 1 1 1 * Chú ý : 1 dt; x t 0; x t cos t dt dt cost du - Suy : f ( x)dx dt 2 cos t 2sin t cos 2t 1+sin t u tan t 1 cost cost cos 2t -Cách Đặt x t ant dx= du - Vậy : I arctanu arctan 1 u 0 * Học sinh tự tìm hiểu : Tại lại không đặt t x để giải a a 2 x x a dx ,a x x a xdx 0 * Học sinh thử làm theo cách có không ? du dx u x I x - Đặt : 3 v 1 x dv x x a - Do : I * Cách khác : 1 a J 1 Tính tích phân J : 1 x a J a 1a 0 x2 x2 dx dx a dx cos 2t dt.x t 0; x a t - Đặt : x a.tan t f ( x)dx a tan t a a dt a sin tdt cost cos 2t cos5t du costdt.t=0 u=0;t= t - Nếu lại đặt u sin t sin t u2 f (t )dt a costdt=a du 2 sin t u - Ta lại có : f(u)= 1- 1-u 1-u 3 1 1 u 1 u 1 u 1 u * Với : 1 1 1 1 1 g (u ) 3 u u u u u u u u u u Trang 28 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 u 3 1 u 3 u u 1 u 3 1 u 3 1 u 2 1 u 2 u u 1 1 3 1 1 (1) 1 u 3 1 u 3 16 1 u 2 1 u 2 u u 1 1 1 - h(u ) (2) 2 1 u 1 u u u 1 u 1 u Vậy : I 2 2 2 0 g (u)du h(u)du (3) 1 1 3 1 1 g (u )du du 1 u 3 1 u 3 16 1 u 2 1 u 2 u u 1 1 3 1 u 11 85 2 ln 2ln 2ln 2 1 u 1 u 16 u u u 2 64 64 2 h(u )du 2 1 1 1 1 1 u 2 ln 1 du ln 1 u 2 1 u 2 u u 1 u 1 u 1 u Thay kết tìm vào (3) Vậy : I 4 dx x x 9 x xdx x2 149 64 x t 9.xdx tdt ; x t 4; x t - Đặt : t x tdt dt 1 1 f ( x)dx t t t 3 t 3 t t dt 1 1 t 3 1 - Vậy : I ln ln ln dt ln 6 t 3 t 3 t 3 6 7 Ví dụ Tính tích phân sau 1 0x 3 2/2 x3 x 1 dx (HVNGTPHCM-2000) x 1dx (YHN-2001) x3 0x - Với : 1 x dx (HVTCKT-97) (1 x )3 dx (YHP-2000) x2 x2 dx = 1 0 x3 x x2 x 1 x dx Giải x x x dx (1) 2 x x 1dx x x 1xdx Trang 29 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 2 x t 1.xdx tdt.x t 1; x Đặt : t x 2 g ( x)dx x x 1xdx t 1 t.tdt t t dt x - Cho nên : 2 x 1xdx - x dx 2/2 t 1 26 1 (2) t dt t t 15 5 1 51 x (3) Thay (2) (3) vào (1) ta có : I 15 15 5 dx costdt.x=0 t=0;x= t= x dx Đặt : x sin t f ( x)dx sin t costdt= 1-cos2t dt x2 cost 2 cos2t 1 1 1 2 - Do : I dt t sin 2t 2 2 2 3.I= x 1dx = x x 2 2 x2 x 1 dx x 1dx 2 x2 1 dx Vậy : I 5 2I x 1 2 dx I ln x x ln 1 I ln 2 dx costdt.x=0 t=0;x=1 t= 2 (1 x ) dx Đặt : x sin t f ( x)dx cos 6tcostdt=cos 4tdt 1 cos2t dt Vậy : 2 cos4t 12 1 3 I 1 cos 2t dt cos 2t cos4t dt 3t 2sin 2t sin 4t 0 80 8 16 Ví dụ Tính tích phân sau a x 2 0 a x dx (a 0) (SPIHN-2000)2 dx (QG-97) x 1 x dx dx (CĐSPHN-2000) (CĐSPKT-2000) x4 x2 x(1 x ) 1 Giải a x a x dx (a 0) dx a.costdt.x=0 t=0;x=a t= - Đặt : x a.sin t 2 f ( x)dx a sin t.a.cost.a.costdt=a sin t cos tdt a - Vậy : I a sin 2tdt a4 a4 0 1 cos4t dt t sin 4t 16 Trang 30 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 1 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 0 x x dx x x dx dx 0 x x x 1 x x 1 x3 10 32 2 1 0 x x 2 dx dx x x dx 1 x x 1 x x 1 Vậy : I x 4 x 2 01 13 8 2 3 1 23 3 x t 12 dx t 1 dt ; x t 2; x t dx Đặt : t x t 1 dt 1 f ( x)dx dt dt x(1 x ) t 1 t t 1 t t t 1 t 1 1 1 - Vậy : I 2 dt 2ln ln ln 2ln t 1 t t 2 2 Ví dụ 10 Tính tích phân sau 1 (x x)dx x2 (ĐHHĐ-99) x x 1dx / 2 dx (ĐHĐN-97) x 1 x2 dx (ĐHCT) x 1 (x 1)sin xdx x 2x 3 x 1 dx ( ĐHTSNT-2000) Giải 1 (x x)dx x2 1 x2 x dx x dx x2 x2 x2 0 0 x2 10 x 1dx arctanx J 1 - Tính J ( Sử dụng phương pháp tích phân phần ) 1 1 x2 2 x dx x x dx x 1 dx I arctanx 0 0 x2 x2 0 - Do : I 2 I x t 2.dx 2tdt.x t 3; x t dx Đặt : t x 2tdt x 1 f ( x)dx t 1 t dt - Do : I 1 dt t ln t 2 ln ln ln 1 t 1 2 x x 1dx 3 x2 dx x 1 Trang 31 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 8 1 8 1 u 1 du udu u u du 24 udu 0 u 30 20 0 u 8 1 1 du du 1 26 52 24 I 1 u 1 I I 2 6 1 u 3 u a x x dx b x 1 x 1 dx x2 dx x 1 x 1 1 x t ; dx 2tdt x t 1; x t - Đặt : t x t 2t 2tdt 2t 4t dt f ( x)dx t 2 2 - Vậy : I 2t 4t dt t 2t 4t 3 1 / (x 1)sin xdx x 1 x dx 1 s inxdx x s inxdx s inxdx x d cosx cosx J 0 0 a x 2x 3 2 2 2 1 2 - Tính J: J x d cosx cosx.x x.cosxdx 2. x.d s inx x.s inx sin xdx 0 0 0 2 cosx I b I x5 x3 x2 dx x2 x2 2 x2 2 xdx x t 1; xdx tdt ; x t 1; x t - Đặt : t x t 1 t 1 tdt t 1 dt f ( x)dx t 1 26 - Vậy : I t 1 dt t t 5 1 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1 x xdx (ydtphcm-2000) x dx (ĐHNGT-2000) x dx 2x 1 x x dx (KA-2003) x x 4 x dx (KA-2004) x 1 x dx (DB-2003) 2 Trang 32 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 3ln x.ln x dx (KB-2004) x e dx 2x 4x x4 13 x 1 x 8x 2 x a x dx 19* dx 16 3x x2 x a 21 22* x x2 dx dx x2 a2 dx x 18 20* x3 dx (CĐSPHN-04) ln x 14 dx (DB-05) x ln x 1 dx x x2 a 17 12 dx (CĐSPKT-04) x5 2x3 e3 5x 15 ln x dx (DB-06) x ln x e 11 (DB-2006) x2 x 1dx (DB-2005) 10 dx 10 (DB-06) x x 1 x2 1 x2 dx x6 dx x 23*+ x3 dx x4 24 dx 1 x 1 x Trang 33 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 [...]... ( Trong đó : R(x;y) là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x,y và , , , là các hằng số đã biết ) Phương pháp : x b.1 Đặt : t= m (1) x b.2 Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng x t b.3 Tính vi phân hai vế : dx= ' t dt và đổi cận x b.4 Cuối cùng ta tính : R x; m x 2 Ví dụ 1 Tính tích phân sau 1 1 ' dx ... t c y y y mx n ax bx c 2 ' b.3 Thay tất cả vào (1) thì I có dạng : I ' dy Ly My N 2 Tích phân này chúng ta đã biết cách tính 3 Ví dụ 1 Tính tích phân sau x 1 2 VÍ DỤ MINH HỌA dx x2 2 x 3 Giải Trang 20 Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1 1 x 1 ; dx 2 1 y y - Đặt : x 1 y x ... x2 x (4) +/ Với a0 1 4 4 2costdt=dt f ( x)dx 2 2 1 sin t 4 - Vậy : I dt t 4 4 4 4 2 4 mx n 2 Tích. .. 4 4 2 4 mx n 2 Tích phân dạng : I ax 2 bx c Phương pháp : mx n a 0 dx A.d ax 2 bx c B 1 ax 2 bx c ax 2 bx c ax 2 bx c b.2 Quy đồng mẫu số , sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số A,B b.3 Giải hệ tìm A,B thay vào (1) b.1 : Phân tích f ( x) b.4 Tính I = 2 A ax 2 bx c 1 a 0 đã biết cách tính ở trên Trong đó ax 2... tính thử xem có được không ? Nếu không được thì giải thích xem tại sao ? ( Theo điều kiện tồn tại tích phân ) b Một học sinh giải theo cách khác : 1 dx cos 2t dt , x 1 t 4 ; x 1 t 4 - Đặt : x tan t 1 dt dt 2 f ( x)dx 1 cos t sin t cost+1 cost 1 tan t cost - Sau đó áp dụng cách giải tích phân chứa các hàm số lượng giác , nhưng cũng không được , do hàm. .. Trang 16 Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 2 3 17 sin 2004 x 0 sin 2004 x cos2004 x dx ( CĐSPHN-05) 2 x sin x 0 sin 2 x cos2 x dx CĐST-05) 18 sin 3x sin 3 x 19 dx ( CĐHY-06) 1 c os3x 0 6 3 20 dx CĐSPHN-06) s inxsin x+ 6 3 21 sin 2 x 1 sin 2 x dx ( CĐKT-06) 2 3 0 Bài 5 ( Tiết 3) TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ I KIẾN ... f (b x)dx Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số Ví dụ : Tính tích phân sau Trang 12 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC a/ 4sin xdx... chung cách giải dài Học sinh thử giải xem ( theo cách hướng dãn ) * Ta sử dụng phương pháp đổi biến số dạng Trang 18 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG... Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1 x dx - Vậy : I 2 x x2 0 1 x x2 dx 2 Theo kết tính ví dụ ta có : I Ví dụ Tính tích phân sau I x dx
Ngày đăng: 15/01/2017, 18:45
Xem thêm: Phương pháp tính tích phân các hàm số lượng giác và vô tỉ , Phương pháp tính tích phân các hàm số lượng giác và vô tỉ