Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 II TÍCH PHÂN Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân A Tóm tắt lí thuyết I CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN a Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) liên tục K a, b  K Giả sử F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K thì: b b  f ( x )dx   F( x)a  F(b)  F(a) ( Công thức NewTon - Leipniz) a b Các tính chất tích phân b  Tính chất 1: a  f ( x )dx    f ( x)dx a b  Tính chất 2: Nếu hai hàm số f(x) g(x) liên tục  a; b b b b   f ( x )  g( x ) dx   f ( x)dx   g( x )dx a a a  Tính chất 3: Nếu hàm số f(x) liên tục  a; b k số b b  k f ( x)dx  k. f ( x )dx a a  Tính chất 4: Nếu hàm số f(x) liên tục  a; b c số b  a c b f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx a c  Tính chất 5: Tích phân hàm số  a; b cho trước không phụ thuộc vào biến số , b nghĩa là: b b  f ( x )dx   f (t)dt   f (u)du  a a a PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ b a) DẠNG 1: Tính I =  f[u(x)].u' (x)dx cách đặt t = u(x) a Công thức đổi biến số dạng 1: b u(b) a u (a)  f u ( x).u ' ( x)dx   f (t )dt Cách thực hiện: Bước 1: Đặt t  u ( x)  dt  u ' ( x)dx NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân Bước 2: Đổi cận: FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 xb t  u (b)  xa t  u (a) Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta u (b ) b I   f u( x ).u' ( x)dx   f (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới) a u(a) b b) DẠNG 2: Tính I =  f(x)dx cách đặt x = (t) a b  a  I   f ( x )dx   f  (t )  ' (t ) dt Công thức đổi biến số dạng Cách thực x   (t )  dx   ' (t )dt xb t Bước 2: Đổi cận:  xa t  Bước 1: Đặt Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta b  a  I   f ( x )dx   f  (t )  ' (t ) dt (tiếp tục tính tích phân mới) PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Công thức tích phân phần b b  u ( x).v' ( x) dx  u ( x).v( x)a   v( x).u ' ( x )dx b a a b b a a hay:  udv  u.vba   vdu Cách thực Bước 1: Đặt u  u ( x) du  u ' ( x)dx  dv  v ' ( x)dx v  v( x) b b a a Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng phần:  udv  u.vba   vdu Bước 3: Tính u.v ba b  vdu a II CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Tính tích phân I   x  3x 1 dx x2  x (Phân tích & dùng định nghĩa) Bài giải ♥ Biến đổi hàm số thành dạng x  3x 1 x 1  1 2 x x x x NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 2 x  3x 1 x 1 dx   dx   dx x x x x 1 Khi đó: I     dx  x 1   2 x 1 dx  ln x  x  ln x x ♥ Vậy I   ln  Ví dụ 2: Tính tích phân I    x 1 dx x2 1 (Phân tích & dùng định nghĩa) Bài giải  x 1 ♥ Biến đổi hàm số thành dạng  x 1 Khi đó: I   x 1 x 1 1 x  x 1 2x  1 2 x 1 x 1 2x dx x 1 dx   dx      dx  x 1   2x dx  ln x   ln x 1 ♥ Vậy I   ln  ln Ví dụ 3: Tính tích phân I   e x 1 e x dx (Đổi biến số dạng 1) Bài giải ♥ Đặt t  e x 1  dt  e x dx  x  ln t  Đổi cận:    x  Suy ra: I   t  t3 t dt   30 3 ♥ Vậy I   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ví dụ 4: Tính tích phân I   x  x dx (Đổi biến số dạng 1) Bài giải ♥ Đặt t   x  t   x  2tdt  2 xdx  tdt  xdx  x  t  Đổi cận:    x  Suy ra: I   ♥ Vậy I  t   t3 t dt  2 1  2 1  e Ví dụ 5: Tính tích phân I    5ln x dx x (Đổi biến số dạng 1) Bài giải x ♥ Đặt t   5ln x  t   5ln x  2tdt  dx  x  e t  Đổi cận:    x  t  2 38 Suy ra: I   t dt  t  33  23   15 15 15 ♥ Vậy I  38  15  Ví dụ 6: Tính tích phân I    x 1 sin xdx (Tích phân phần) Bài giải du  dx  u  x  ♥ Đặt    dv  sin xdx v   cos x    4 1 Suy ra: I    x 1 cos x  sin x 0   4 1    x  1 cos x  sin x  4 0 ♥ Vậy I   NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168  Ví dụ 7: Tính tích phân I   x 1  sin x dx (Tích phân phần)   0 x2 x sin xdx  ♥ Ta có: I   xdx      0  2 x sin xdx    x sin xdx 32 du  dx u  x Đặt    dv  sin xdx v   cos x    Suy ra: ♥ Vậy I      1 1 x sin xdx  x cos x   cos xdx   cos xdx  sin x  2 4 0 2   32 Ví dụ 8: Tính tích phân I   x  ln x dx x (Phân tích + đổi biến số dạng 1) Bài giải 2 1 ♥ Ta có: I   xdx  2 ln x dx   ♥ Tính  x x2 xdx   2 ln x dx x Đặt t  ln x  dt  dx x  x  t  ln Đổi cận:    x  Suy ra:  t  ln ln x t2 dx   tdt  x ln  ln 2 ♥ Vậy I   ln 2  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ví dụ 9: Tính tích phân I   ♥ Đặt x 1 ln xdx x2 (Tích phân phần)  u  ln x du  dx  x    dv  x 1 dx   v  x  x2 x  2 1   1 1 Suy ra: I   x   ln x    x   dx   x x x 2   1 1   x   ln x   x     x x 1  ln  2 ♥ Vậy I  ln   Ví dụ 10: Tı́nh tı́ch phân I = 0 (2e x2  ex ) xdx (Phân tích + đổi biến dạng 1+ tích phân phần) Bài giải ♥ Ta có: I =  I1 =  I2 = 0 2xe x2 dx   xex dx 1 x2 x2 x2 0 2xe dx  0 e d (x ) = e  = e – x 0 xe dx Đă ̣t u = x  du = exdx dv = exdx  v = ex 1 Suy ra: I2 =  xex   0 ex dx = e  e x  = ♥ Vâ ̣y I = e – + = e  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 III TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân  A DẠNG: I=   P ( x) dx ax+b  a  0  * Chú ý đến công thức: m m   ax+b dx  a ln ax+b  Và bậc P(x) cao hoắc   ta chia tử cho mẫu dẫn đến    P( x) m  ax+b dx   Q ( x)  ax+b dx   Q( x)dx  m ax+b dx Ví dụ 1: Tính tích phân: I= x3 1 x  dx Giải Ta có: f ( x)  x 27  x2  x   2x  8 2x  Do đó: 2 x3 27  27 13 27 1 1 3 2 1 x  dx  1  x  x   x   dx   x  x  x  16 ln x      16 ln 35 Ví dụ 2: Tính tích phân: I=  x2  dx x 1 Giải x 5  x 1  x 1 x 1  1 x2    1  dx    x      4ln    dx   x  x  4ln x   x 1 x 1  2  5   Ta có: f(x)= Do đó:   B DẠNG:  ax  P( x) dx  bx  c Tam thức: f ( x)  ax  bx  c có hai nghiệm phân biệt   Công thức cần lưu ý:  u '( x) dx  ln u ( x)  u ( x)  Ta có hai cách Cách 1: ( Hệ số bất định ) Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu ) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ví dụ 3: Tính tích phân: I= x x  11 dx  5x  Giải Cách 1: ( Hệ số bất định ) A  x  3  B  x   x  11 x  11 A B     x  x  ( x  2)( x  3) x  x  ( x  2)( x  3) Ta có: f(x)= Thay x=-2 vào hai tử số: 3=A thay x=-3 vào hai tử số: -1= -B suy B=1  x2 x3 1 x  11   dx  0 x  x  0  x   x   dx   3ln x   ln x    ln  ln Do đó: f(x)= Vậy: Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu ) Ta có: f(x)=  x  5  2x  2x  1  2   2   x  5x  x  x   x   x  3 x  5x  x  x  1 Do đó: I=  f ( x)dx    0  2x  1   x2     2ln  ln  dx   ln x  x   ln x  5x  x  x   x    2 Tam thức: f ( x)  ax  bx  c có hai nghiệm kép  Công thức cần ý:  u '( x) dx  ln  u ( x)   u( x)   Thông thừơng ta đặt (x+b/2a)=t Ví dụ 4: Tính tích phân sau: I= x3 0 x  x  dx Giải Ta có: 3 x x x dx   dx  2x 1  x  1 Đặt: t=x+1 suy ra: dx=dt ; x=t-1 và: x=0 t=1 ; x=3 t=4 Do đó: x3   x  1 dx    t  1 t2 1 1  1 dt    t     dt   t  3t  ln t    2ln  t t  t1 2 1 Ví dụ 5: Tính tích phân sau: I=  4x 4x dx  4x 1 Giải Ta có: 4x 4x  x  x   x  1 2  x   t  1 x   t  1 1  t  1 4x 4x 1 1   dx  dx  dt  0 x  x  0  x  12 1 t 2 1  t  t  dt   ln t  t  1  2 Đặt: t= 2x-1 suy ra: dt  2dx  dx  dt;  Do đó: Tam thức: f ( x)  ax  bx  c vô nghiệm NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 b  u  x  P( x) P( x) 2a  Ta viết: f(x)=  ; 2 2  b      a  u  k   k   a  x        2a a   2a     Khi đó: Đặt u= ktant Ví dụ 6: Tính tích phân sau: I=  x  x2  x  dx x 4 Giải x  2x  4x   x2 2 x 4 x 4 2 x  2x  4x   dx  1 2  Do đó:  dx  x   dx  x  x    J (1)    0  2  x 4 x 4 x 4 2  0  Ta có: Tính tích phân J= x dx 4 x   t     Đặt: x=2tant suy ra: dx = dt ;    t  0;   cost>0 cos t  x   t   4     14 14   Khi đó:  dx   dt   dt  t  2  tan t cos t 20 x 4  Thay vào (1): I     C DẠNG:  ax  P( x ) dx  bx  cx  d Đa thức: f(x)= ax  bx  cx  d  a   có nghiệm bội ba  Công thức cần ý: x m dx   Ví dụ 7: Tính tích phân: I= 1  m1 1 m x  x   x  1 dx Giải Cách 1:  Đặt: x+1=t , suy x=t-1 và: x=0 t=1 ; x=1 t=2  Do đó: x t 1 1 1  1 12 dt     dt        t t t   t 2t  1 dx     x  1    3  x  1  x  1  x  1   x  1 Cách 2:  Ta có: x  x  1   1  1 1 dx   dx       0  x  13 0   x  12  x  13   x   x  12        Do đó: x NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 x Ví dụ 8: Tính tích phân: I=  1  x  1 dx Giải  Đặt: x-1=t , suy ra: x=t+1 và: x=-1 t=-2 x=0 t=-1  Do đó: 1 x4   x  1 dx  1   t  1 t3 2 1 dt  1 t  4t  6t  4t  1  dt    t      dt 2 t t t t  2  1 1     t    42  13  dt   t  4t  ln t   12   33  ln t t t  t t  2 2 2  Đa thức: f(x)= ax  bx  cx  d  a   có hai nghiệm: Có hai cách giải: Hệ số bất định phương pháp nhẩy tầng lầu Ví dụ 9: Tính tích phân sau: I=   x  1 x  1 dx Giải Cách ( Phương pháp hệ số bất định )  Ta có:  x  1 x  1 A  x  1  B  x  1 x  1  C  x  1 A B C     2 x   x  1  x  1  x  1 x  1  A  1  A  Khi (1)  Thay hai nghiệm mẫu số vào hai tử số:   1  2C C    2  A  B  x   A  C  x  A  B  C  A  B  C   B  A  C    1    4  x  1 x  1 3 1 1 1  dx     2  x  1 x  12 2  x   x  1  x  12  dx   1 1 3  I   ln  x  1 x  1    ln  ln 2  x  1  4 4  Do đó: Cách 2:  Đặt: t=x+1, suy ra: x=t-1 x=2 t=3 ; x=3 t=4  Khi đó: I=   x  1 x  1 4 dt t  t   1 1   dt  dt  dt   2     t t  2 t t  2  t  t  2 t  3 dx   4 11  1  1 t 2 4  I      dt   dt    ln  ln t   ln 2 2t 2 t  t  4 t 3 3t  4t    3t  4t     3t  4t   3t     3t  4t     Hoặc:        t  2t t  2t  t  2t   t  2t t  t  2t  t t  4    Do đó: I=   33t  42t    22   dt   ln t  2t   3ln t     ln t  2t  t t  4 t   3 Hoặc:  2 1  t  t  4   t 2 1 1 2          2 2   t t  2 t t  2 4t 2 t  4t 2 t t    1 2 1 t2 2 1 1 2 1 1 Do đó: I=      dt   ln     ln   ln     ln  ln   3t2 t t  4 t t  4 2 3 4 6 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 I  1 dt  (  )   x Câu 11 Tính tích phân   x  xdx   Ta có I   x  x  xdx   x dx   x x  dx 0 3 Đăṭ J   x dx và K   0 3 81 x x  dx ; ta có J   x dx  x  4 3 K   x x  dx Đặt t  x   t  x   2tdt  dx và x  t  Ta có x   t  1; x   t  2 1 Khi đó K   t (t  1)dt   (t  t )dt   t  t   116 Vậy I  J  K    5 1 15 1679 60   Câu 12 Tính tích phân: I   x  x  x dx 1   I   x  x  x dx   x dx   x  x dx 1 x3 I1   x dx   0 I   x3  x dx Đặt t   x  x   t  xdx  tdt Đổi cận: x   t  1; x   t   t3 t   I    1  t  t dt    t  t dt        15 0 Vậy I  I1  I  2 15 Câu 13 Tính nguyên hàm sau: I   x x  3dx NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Đặt t  x   t  x   2tdt  2xdx  xdx  tdt Suy I   t.tdt   t dt  t3 ( x  3)3 C  C 3 dx Câu 14 Tính nguyên hàm: I   2x    Đặt t  2x   t  2x   tdt  dx I  tdt    1   dt  t  ln t   C t4  t4  2x   ln  Câu 15 Tính I =  2x    C    x3 x  x  dx I=    1 x x  x  dx   x dx   x J   x3 x  1dx    t x5 J  J x  1dx  5  t  dt 22 15 1 2 I= J  15 J   Câu 16 Tính tích phân sau: I   x x  3dx  Đặt x   t ta x   t  dx  2tdt  Đổi cận: x   t  2; x   t  3 232 2  Khi I    2t  6t  dt   t  2t   5 2 Tích phân hàm số mũ, hàm số logarith Câu 17 Tính tích phân I   1  x    e2 x  dx  du   dx =>  2x v  x  e 1 I  (1  x)(2 x  e x )   (2  e2 x ) dx 2 u   x Đặt  2x  dv  (2  e )dx NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân 1 1 = (1  x)(2 x  e2 x )  ( x  e2 x ) 0 Câu 18 Tính tích phân I   2 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168  e 1 x  2ln x dx x2 2 ln x x2 ln x ln x I   xdx  2 dx  2 dx    dx x 1 x x 1 Tính J   ln x dx x2 Đặt u  ln x, dv  1 dx Khi du  dx, v   x x x x Do J   ln x   1 dx x2 1 1 J   ln    ln  x1 2 Vậy I   ln 2  (1 + x)e dx x Câu 19 Tính tích phân I = I   (1  x )e dx x   dv  e dx v  e u   x du  dx    Đặt  Thay vào công thức tích phân phần ta được: x x   1 I  (1  x )ex   e xdx  (1  1)e1  (1  0)e  e x  2e   (e1  e )  e  Vậy, I   (1  x )e xdx  e ln Câu 20 Tính tích phân: I   e2 x ex  dx Đặt t  e x   t  e x   2tdt  e x dx x   t  2, x  ln  t  3 I (t  1)2tdt   (t  1)dt  t 2  t3   2  t  3   2 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu 21 Tính: I  0 ( x  2)e x dx I   ( x  2)e x dx u  x2 du  dx   x x  dv  e dx  ve Đặt  1 Khi I= ( x  2)e x   e x dx 1 = ( x  2)e x  e x  2e  e Câu 22 Tính: I  1 I e 1  3ln x ln x dx x  3ln x ln x dx x Đặt u=  3ln x =>u2= 1+3lnx => 2udu= dx x Đổi cận: x=e => u=2 x=1 => u=1 Khi I=  u u2 1 udu 3 2 2 u5 u3 116 =  u (u  1)du  (  )  91 135 Câu 23 Tính tích phân I   x (x  e x )dx du  dx  u  x   Đặt    dv  (x  e x )dx v  x  e x   Ta có I   1 x2 x2 x3 x (x  e )dx  x (  e x )   (  e x )dx   e  (  e x ) 2 0 x  Câu 24 Tính tích phân I    e e I   1  e  (  e )  (0  1)  x   ln x  x  x ln x  dx e e x  x ln x     ln x   d  x ln x   dx   xdx   x ln x  x ln x  1 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 e I  x  ln x ln x  e  1 e2   ln  e   2 e Câu 25 Tính tích phân I    x   ln xdx e x  e e 1 1 Ta có: I    x   ln xdx   x ln xdx   ln xdx x  x e x  Tính  x ln xdx Đặt u  ln x dv  xdx Suy du  dx v  e e x2 2 e x2 x e2 x e2 Do đó,  x ln xdx  ln x   dx     2 4 1 e  Tính 1  x ln xdx Đặt t  ln x  dt  x dx Khi x 1 t  , x  e t  e 1 t2 Ta có:  ln xdx   tdt  x Vậy, I  1  e2   Câu 26 Tı́nh tích phân: I =  tan x ln(cos x ) dx cos x *Đặt t=cosx Tính dt=-sinxdx , đổi cận x=0 t=1 , x   t  2 Từ I    ln t dt  t2 dt t2 1 Suy I   ln t  t  1  du  dt ; v   t t *Đặt u  ln t ;dv  *Kết I  1 ln t dt t2 1 1 t dt   ln  t 2 ln 2 e Câu 27 Tính tích phân sau: x log 23 x  3ln x dx Đặt Từ NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Đổi cận: với I   u4 u 1  (1u )2 du   (  1 u 2u2 1du ) 0 2u 1 2( u 1) 1 *)    2 2 u  u 1 ( u 1) u 1 ( u 1)    u 1 u 1  [( u 1)  ( u 1)]2 ( u 1)2         ( u 1) ( u 1)( u 1) ( u 1)      3         ( u 1)2 ( u 1)   u 1 u 1     I   ( 1 2  1 1  3 1  du )       du      ( u 1) ( u 1)  u 1 u 1   u  u 1   0  u 1    1 1  |u 1|   ln     u      ln  u 1 u 1  |u 1|   e  x ln x dx x Câu 28 Tính tích phân I   e e e  x ln x dx   dx   x ln xdx x x 1 e e A   dx  ln x  1 x I   du  dx  u  ln x   x B   x ln xdx Dat    dv  xdx v  x  e 2 e e e e2 x x x x e2  I    B  ln x   dx  ln x    12 4 4 2 e e Câu 29 Tính tích phân: I  1 I e ln x    ln x   x 1       x   Đặt u  ln x  dx x  ln x ln x  ln x  du  dx : u(1)=0; u(e)= x x e NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 e 1  u 1  e 1 du  ln  ln  u 1  u  0 e  I  e  (x  3e Câu 30 Tính tích phân x )e 2xdx 1 Ta có I   (x  3e )e dx   xe dx  3 e 3xdx x 2x 2x 0 1 1 Đăṭ J  3 e3xdx và K   xe 2xdx ; ta có J  3e 3xdx  e 3x  e3  0 0 du  dx u  x  ; đó K  xe 2x K   xe dx Đặt   2x 2x dv  e dx v  e  1 2x  2x e dx 0 1 1 1 1  K  e  e 2x  e  e   e  Vậy I  e  e  4 4 4 e Câu 31 Tính tích phân I   x  ln x  x  x ln x e Phân tích I  e Tính x  ln x  x  x ln x e x 1  x  x ln x dx   x  x ln x dx 1  x  x ln x dx   x dx  1 x  x  x ln x dx =  x  ln x dx  1 e Tính 2( x  ln x) e 2( x  ln x) e dx = dx e x 1 1 e  d ( x  ln x) x  ln x e  ln( x  ln x)  ln(e  1) Vậy I = + ln(e+1) Câu 32 Tính nguyên hàm sau:  dx e 1 x dx ex  (   e x   e x  1)dx d (e x  1) =  dx   x = x – ln( e x  ) + C e 1 Ta có: Câu 33 Tính tích phân: I   (1  e x ) xdx NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân u  x du  dx Đặt:    x x  dv  (1  e )dx v  x  e FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Khi đó: I  x( x  e )   ( x  e x )dx  I   e  ( x 0 x2  e x ) 10  2 e Câu 34 Tính tích phân I   x3 ln xdx 1 ln x  u  x   x dx  u '  x  dx Đặt   v  x   x  x  v '  x   e I e e 1 e4 3e  x ln x   x dx   x  4 x 16 16 1 e Câu 35 Tính tích phân: I    x ln x dx x2 e e ln x 4e I   dx   dx    I1     I1 x x x1 e 1 e ln x Tính I1   dx x Đặt t  ln x  dt  dx x Đổi cận: x   t  0; x  e  t  1 I1   t dt  t4 1  4 y Vậy x -8 -6 -4 -2 -5 Câu 36 Tính tích phân sau I   (2x+e x )dx 1 1 0 I    x  e x  dx   xdx   e x dx  x  e x    e   e 0 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu 37 Tính tích phân sau I   x  e x  3 dx 1  2e  x I    e  3 dx    2e  dx 3 dx  x x 0 x x ln 2e 0 2x  2e   3   ln  ln 2e  ln e  ln x   I     dx x x  ln x  1  1 Câu 38 Tính tích phân sau e  Tính I1   1 x dx ta kết I1    e 1 dx x  Đổi cận x   t  0; x  e  t   Đặt ln x  t ta dt  1 2t  dt   2t  ln  t  1    ln t 1  Khi K2    Vậy ta I  I1  I  e  ln ln Câu 39 Tính tích phân sau I    x  2e ln  Tính I1   xdx ta kết I ln  Tính I   2e x 1 x   dx 1  ln 2 dx  Đặt e x  t ta e x dx  dt  Đổi cận x   t  1; x  ln  t  2 dt   ln t  ln  2t  1   ln  ln  ln t 2t  1  Vậy ta L  L1  L2  ln 2  ln  Khi I   e Câu 40 Tính tích phân I   x ln xdx 1  du  dx  u  ln x  x    dv  xdx v  x  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân e I FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 e e e x2 x x2 x ln x   dx  ln x  2 1  e2  Câu 41 Tính tích phân I   xe x dx u  x du  dx x x x I  xe  e dx  e  e 1     x x 0 dv  e dx v  e   Tích phân hàm lượng giác  Câu 42 Tính tích phân I   ( x  sin x ) cos xdx    I   ( x  sin x ) cos xdx   x cos xdx   sin x cos xdx 0     M N Tính M u  x  du  dx   dv  cos xdx v  sin x Đặt       M  x sin x   sin xdx   cos x   2 0 Tính N Đặt t  sin x  dt  cos xdx   t 1 Đổi cận x 0t 0 t N   t dt   3  Vậy I  M  N   x  Câu 43 Tính tích phân: I   x cos xdx   I   xdx   x cos xdx 0 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân  +  xdx   2 x  FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 2    12 + J   xcos2 xdx  x sin x   sin xdx  cos2 x  20 0 I  2  Câu 44 Tính tích phân I =  ( x  cos x) sin xdx     I   x sin xdx   cos2 x sin xdx Đặt I1   x sin xdx, I   cos x sin xdx 0 0  u  x du  dx   I1   x cos x dv  sin xdx v   cos x Đặt       cos xdx  sin x  1  cos3 x I   cos x sin xdx    cos2 xd (cos x)    3 0 Vậy I     Câu 45 Tính tích phân: I   (1  cos x )xdx  I     (1  cos x )xdx   xdx   x cos xdx 0   Với I   0 x2 xdx     02 2   2   Với I   x cos xdx u  x du  dx Thay vào công thức tích phân phần ta được:   dv  cos xdx v  sin x    Đặt      I  x sin x   sin xdx   ( cos x )  cos x  cos   cos  2  Vậy, I  I  I  2 2 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168  Câu 46 Tính Tích phân I   x cos xdx  I   x cos xdx , u  x du  dx  dv  cos xdx v  sin x Đặt    I  x sin x   sin xdx      cos x 02   2   cot  x   6   Câu 47 Tính tích phân sau: I     cos x  sin x  dx     cos x  sin x   cos  x    6    + Ta có: cos x  sinx       cot  x    2 6    + Do đó: I   dx   d tan  x    ln tan  x    ln   6   2     cos x  tan x      3 6       Câu 48 Tính tích phân: I   sin x sin x.dx  Tính tích phân: I   sin x sin x.dx  I =  sin x cos x.dx Đặt t=sinx => dt=cosxdx 1 ▪ I   2t dt = t5 = 5 Câu 49 Cho hàm số f ( x)  tan x 2 cot x  cos x  cos x  có nguyên hàm F (x)    F    Tìm nguyên hàm F (x) hàm số cho 4 Tìm nguyên hàm F (x)     F ( x)   tan x cot x  cos x  cos x dx =   sin x  sin x dx NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân cos x  x  cos x  C     F       C   C  1 2 4 cos x Vậy F ( x)  x  cos x  1 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168  Câu 50 Tính tích phân I   2x   sin x  dx I    0   0  2x   sin x  dx   2x.dx   dx   sin xdx  A  B  C  A   2x dx  x      2  ; B   dx  x 02    C   sin xdx  cosx  Vậy I  A  B  C  2   1 1  Câu 51 Tính tích phân I =  x tan xdx  I=  x(  1) dx  cos x    xdx    x  I1 = x tan x   tanxdx  Vậy I= u  x  du  dx Đặt  dx   v  tan x dv  cos x    x dx  0 xdx cos x 2 32 x dx  I cos x     ln cos x     ln  2  ln  32 Câu 52 Tính nguyên hàm I    x   sin xdx Tính nguyên hàm I    x   sin xdx NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168  du  dx   cos x v    x   cos3x  x   cos3x Do đó: I     cos3 xdx    sin x  C 3 u  x  Đặt  , ta  dv  sin xdx  Câu 53 Tính tích phân sau: I    s inx+ cos x  dx      I    s inx  cos x  dx   s inxdx   cos xdx   cos x  sin x  0  Câu 54 Tính tích phân sau: I    x  sin x  dx    I    x  sin x  dx   xdx   sin xdx  x 2 0   2  cos x  2  Câu 55 Tính tích phân sau: I   1  sin x  cos xdx  I   1  sin x  cos xdx  Đặt sin x  t  dt  cos xdx   Đổi cận x   t  0; x   t  1  t4   Khi I   1  t dt   t    0   Câu 56 Tính tích phân sau I     Đặt cot x  t  dt   Đổi cận x  dx sin x cos4 x 1 dx sin x    t  3; x   t  1  Khi I   1   dt  t    1 1  t  t NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309     dt   t     27   t 3t  SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168  Câu 57 Tính tích phân sau: I    s inx  x  sin xdx    I    s inx  x  sin xdx   sin xdx   x sin xdx 0    cos x dx   2  Đặt I1   sin xdx     I   x sin xdx u  x du  dx  dv  sin xdx v   cos x      I   x cos x   cos xdx    s inx    Khi I    Câu 58 Tính tích phân I   x sin xdx u  x du  dx   dv  sin xdx v   cos x Đặt     I   x cos x   cos xdx    s inx 02  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ ... 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta b  a  I   f ( x )dx   f  (t )  ' (t ) dt (tiếp tục tính tích phân mới) PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Công thức tích phân phần... 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 III TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân  A DẠNG: I=   P ( x) dx ax+b  a... 0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Nguyên hàm – Tích phân FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Tích phân hàm phân thức Câu Tính tích phân: I   6x+7 dx 3x  1 6x+7 (6x+4)+3 I