Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618) https://www.facebook.com/groups/lophoctoanthaykien/ Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG Oxy Tóm tắt nội dung: A.Lý thuyết B.Các dạng tập ví dụ minh họa C.Bài tập tự luyện D.Bài tập dành cho học sinh khá, giỏi A LÝ THUYẾT  Vectơ phương (vtcp) vectơ pháp tuyến (vtpt) đường thẳng r r r  Vectơ u ≠ gọi vecto phương đường thẳng ( d ) giá u song r (d ) u song trùng với ( d ) r r r  Vectơ n ≠ gọi vecto pháp tuyến đường thẳng ( d ) giá n vuông góc r (d ) với ( d ) n  Mối quan hệ vectơ pháp tuyến vectơ phương: r r rr  n ⊥ u ⇔ n.u = r  Nếu đường thẳng ( d ) có vtpt n = ( a; b ) r r ( d ) có vtcp u = ( −b; a ) u = ( b; − a )  Các dạng phương trình đường thẳng Phương trình tham số (PTTS) đường thẳng  x = x0 + tu1 → Đi qua điểm M0(x0 ; y0), có vtcp u = (u1 ; u )   y = y0 + tu (u12 + u 22 ≠ 0) Chú ý Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm giống cố gắng thu hoạch chưa gieo trồng – David Bly Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618) https://www.facebook.com/groups/lophoctoanthaykien/ Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh  Khi cho t giá trị cụ thể ta tìm điểm thuộc đường thẳng (d) u2 r ( u1 ≠ )  Nếu ( d ) có vtcp u = ( u1 ; u2 ) (d) có hệ số góc k = u1 →  Nếu đường thẳng (d) có hệ số góc k (d) có vtcp u = (1; k )  Phương trình đường thẳng (d) qua M0(x0 ; y0) có hệ số góc k là: y – y0 = k ( x – x0 ) Phương trình tắc (PTCT) đường thẳng: x − x0 y − y0  x = x0 + tu1 = (u12 + u 22 ≠ 0) ⇔ Từ PTTS  u u2 y = y + tu  , u1 ≠ u2 ≠ Phương trình tổng quát (PTTQ) đường thẳng Đi qua điểm M0(x0 ; y0), có vtpt n = ( a ; b) là: a ( x – x0 ) + b ( y – y0 ) = → Chú ý: r →  Phương trình ax + by + c = (d) có vtpt là: n = (a ; b) vtcp là: a = ( b; -a )  Muốn tìm điểm thuộc ( d ) cần cho x giá trị cụ thể vào pt ( d ) tìm y ngược lại (cho y tìm x)  Đường thẳng (d) cắt Ox Oy A(a ; 0) B(0 ; b) x y Và có phương trình theo đoạn chắn là: + = (a , b ≠ 0) a b  Cho (d) : ax + by + c = Nếu ( ∆ ) song song với (d) phương trình ( ∆ ) ax + by + m = (m khác c) Nếu ( ∆ ) ⊥ ( d) phươnh trình ( ∆ ) : bx - ay + m =  Vị trí tương đối hai đường thẳng ∆ : a1 x + b1 y + c1 = Cho hai đường thẳng ∆ : a x + b2 y + c = Để xét vị trí tương đối hai đường thẳng ∆ ∆ ta xét số nghiệm hệ phương trình a1 x + b1 y + c1 =  a2 x + b2 y + c2 = (I)  Nếu (I) có nghiệm hai đường thẳng cắt điểm  Nếu (I) vô nghiệm hai đường thẳng song song với  Nếu (I) vô số nghiệm hai đường thẳng nằm (trùng nhau)  Chú ý Với a2 , b2 , c2 ≠ ta có Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm giống cố gắng thu hoạch chưa gieo trồng – David Bly Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618) https://www.facebook.com/groups/lophoctoanthaykien/ Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh  ∆1 ∩ ∆ ⇔  a1 b1 ≠ a2 b2 ∆1 / / ∆ ⇔  ∆1 ≡ ∆ ⇔ a1 b1 c1 = ≠ a2 b2 c2 a1 b1 c1 = = a2 b2 c2  Góc hai đường thẳng Góc hai đường thẳng ∆ ∆ : → → cos(∆1 , ∆ ) = cos(n1 , n2 ) = → → → → | n1 n2 | = | n1 || n2 | | a1a2 + b1b2 | a12 + a22 b12 + b22  Khoảnh cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm M0(x0 ; y0) đến ∆ : ax + by + c = là: d(M0, ∆ ) = | ax + by + c | a2 + b2  Điểm thuộc đường thẳng M ( x0 ; y0 ) ∈ ∆ : ax + by + c = ⇔ ax0 + by0 + c = Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm giống cố gắng thu hoạch chưa gieo trồng – David Bly Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618) https://www.facebook.com/groups/lophoctoanthaykien/ Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh B.CÁC DẠNG BÀI TẬP  Dạng toán 1: Viết phương trình đương thẳng qua điểm và có vectơ chỉ phương r Đường thẳng (d) qua điểm M ( x0 ; y0 ) và có vectơ chỉ phương u = (a; b) có dạng :  x = x0 + at (t ∈ R )  Tham số: d :   y = y0 + bt  Chính tắc: x − x y − y0 = a b ( Nếu a.b ≠ 0)  Tổng quát: b( x − x0 ) − a ( y − y0 ) = −b( x − x0 ) + a ( y − y0 ) = r r r  Chú ý: Nếu (d) có vtcp u = (a; b) d có vtpt n = (b; −a ) n = (−b; a ) r  ví dụ: Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) biết qua M ( 1; −2 ) có vtcp u = ( 2; −1) Hướng dẫn r Đường thẳng ( ∆ ) qua điểm M(1;-3) có vtcp u = ( 2; −1) có:  x = + 2t (t ∈ R )  Phương trình tham số ( ∆ )   y = −3 − t x −1 y + =  Phương trình tắc ( ∆ ) là: −1  Phương trình tổng quát ( ∆ ) là: 1.( x − 1) + 2( y + 3) = ⇔ x + y + =  Dạng toán 2: Viết phương trình đường thẳng qua điểm và có vectơ pháp tuyến r Đường thẳng (d) qua điểm M ( x0 ; y0 ) và có vectơ pháp tuyến n = ( A; B ) có dạng :  x = x0 + Bt  x = x0 − Bt  Tham số: d :    y = y0 − At (t ∈ R )  y = y0 + At (t ∈ R)  Chính tắc: x − x y − y0 = B −A x − x y − y0 = −B A (Nếu A.B ≠ 0)  Tổng quát: A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) = ⇔ Ax + By + C =  Chú ý: r r r  Nếu d có vtpt n = ( A; B ) d có vtcp u = ( B; − A) u = (− B; A) r  Nếu d có vtpt n = ( A; B ) d có PTTQ có dạng: Ax + By + m = Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm giống cố gắng thu hoạch chưa gieo trồng – David Bly Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618) https://www.facebook.com/groups/lophoctoanthaykien/ Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh r  Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) biết qua N ( 3; ) có vtpt n = ( −3;7 ) Hướng dẫn r r ( ∆ ) có véc tơ pháp tuyến: n = ( −3;7 ) ⇒ ( ∆ ) có véc tơ phương u = ( 7;3)  qua N ( 3; ) có phương trình tham số là: r vtcp u = ( 7;3)  ( ∆ ) :   ( ∆ ) :   ( ∆ ) :   x = + 7t   y = + 3t  qua N ( 3; ) x−3 y −2 = có phương trình tắc ( ∆ ) là: r −3 vtcp u = ( 7;3)  qua vtpt N ( 3; ) r có phương trình tổng quát là: −3 x + y − = n = ( −3;7 )  Dạng toán 3: Viết phương trình đường thẳng qua điểm và có hệ số góc y − y0 = k ( x − x ) Đường thẳng (d) qua điểm M0(x0;y0) có hệ số góc k là:  Chú ý: Nếu (d) có hệ số góc k (d) có dạng: y = k.x + m (k ≠ 0, m ∈ R, k ∈ R)  Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng qua điểm M0(-5; -8) có hệ số góc -3 Hướng dẫn phương trình đường thẳng qua điểm M0(-5; -8) có hệ số góc -3 có dạng là: y + = −3( x + 5) ⇔ y = −3 x − 23 Nhận xét: Ta viết phương trình đường thẳng dạng PTTS PTTQ r Hướng dấn: Vì ( ∆ ) có hệ số góc k = −3 nên ( ∆ ) có vtcp u = ( 1; −3) viết PTTS PTTQ  Dạng toán 4: Viết PTĐT (d) qua hai điểm phân biệt A( x1; y ) B( x2 ; y ) uuu r  Tính toạ độ vecto AB uuu r  Khi AB vtcp đường thẳng (d) qua điểm A B uuu r  Trở lại toán dạng: viết phương trình đường thẳng qua điểm (A B) có vtcp ( AB )  Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) qua hai điểm phân biệt M ( 4;1) , N ( 4; ) Hướng dẫn uuuu r  Vì ( ∆ ) qua điểm M ( 4;1) , N ( 4; ) nên có vtcp MN = ( 0;1)   qua M ( 4;1) uuuu r nên có phương trình tham số là: vtcp MN = ( 0;1)  ( ∆ ) :   x=4   y = 1+ t Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm giống cố gắng thu hoạch chưa gieo trồng – David Bly Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618) https://www.facebook.com/groups/lophoctoanthaykien/ Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh uuuu r uuuur  Chú ý: ( ∆ ) qua M ( 4;1) ; N ( 4; ) nên có vtcp MN NM ; viết ptts ( ∆ ) qua điểm M điểm N  Dạng toán 5: Viết phương trình đường thẳng ( d) qua điểm M0(x0;y0) song song với đường thẳng (d’) cho trước có dạng là: Ax + By + C = Cách 1: r r  Dựa vào giả thuyết để tìm vtpt n = ( A; B ) (hoặc vtcp u = (− B; A) ) đường thẳng (d) r  Viết PTTS (d) qua điểm M0(x0;y0) và có vectơ chỉ phương u r  Hoặc viết PTTQ (d) qua điểm M0(x0;y0) và có vectơ pháp tuyến n Cách 2:  Vì (d) // (d’) nên (d) có dạng: Ax + By + m = (*)  Vì M0(x0;y0)∈ (d) thay toạ độ điểm M vào (*) tính m  Thay giá trị m vừa tìm vào (*) ta phương trình đường thẳng (d) cần tìm  Chú ý: Hai đường thẳng song song với  VTCP đường thẳng VTCP đường thẳng  VTPT đường thẳng VTPT đường thẳng  Ví dụ: Viết PTĐT ( ∆) qua điểm Q (2;1) song song với đường thẳng (d) : 2x + y − = Hướng dẫn Cách 1: r  ( d ) có vtpt n = ( 2;1) r r song song với (d) nên ( ∆ ) có vtpt là: n = ( 2;1) ⇒ ( ∆ ) có vtcp là: u = ( 1; −2 )  ( ∆)  ( ∆ ) :   qua Q ( 2;1) nên có ptts là: r vtcp u = ( 1; −2 )  x = 2+t   y = − 2t Cách 2:  Vì (∆) // (d) nên (∆) có dạng: x + y + m = (*)  Mặt khác Q (2;1) ∈ (∆) nên 2.2 + 1+m = ⇔ m= -5  Vậy PTĐT (∆) cần tìm có dạng là: x + y − = Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm giống cố gắng thu hoạch chưa gieo trồng – David Bly Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618) https://www.facebook.com/groups/lophoctoanthaykien/ Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh  Dạng toán 6: Viết phương trình đường thẳng ( d) qua điểm M0(x0;y0) vuông với đường thẳng ∆ cho trước có dạng là: Ax + By + C = Cách 1: r r  Dựa vào giả thuyết để tìm vtpt n = ( A; B ) (hoặc vtcp u = (− B; A) ) đường thẳng (d) r  Viết PTTS (d) qua điểm M0(x0;y0) và có vectơ chỉ phương u r  Hoặc viết PTTQ (d) qua điểm M0(x0;y0) và có vectơ pháp tuyến n Cách 2:  Vì d ⊥ ∆ nên phương trình (d) có dạng: Bx − Ay + m = (hoặc − Bx + Ay + m = ) (*)  Vì M0(x0;y0)∈ (d) thay toạ độ điểm M vào (*) tính m  Thay giá trị m vừa tìm vào (*) ta phương trình đường thẳng (d) cần tìm  Chú ý :  Hai đường thẳng vuông góc với thì: vtcp (vtpt) đường thẳng vtpt (vtcp) đường thẳng  Nếu d vuông với đường thẳng : y = kx + m đường thẳng d có phương trình dạng: y = − x + n (Vì hai đường thẳng vuông góc có tích hệ số góc k -1)  Ví dụ: Viết PTĐT( d) qua điểm P (-1;1) vuông góc với đường thẳng (∆): x − y + = Hướng dẫn Cách 1: r  ( ∆ ) có vtpt n = ( 2; −3) r  (d) vuông góc với đường thẳng ( ∆ ) nên ( d ) có vtcp là: u = ( 2; −3)  qua P ( −1;1)  x = −1 + 2t nên có PTTS là:  r vtcp u = ( 2; −3)  y = − 3t ( d ) :  Cách 2:  Vì (d) ⊥ (∆) nên (d) có dạng: x + y + m = (*)  Mặt khác P (-1;1) ∈ (d) nên 3.(-1) + 2.1+m = ⇔ m=  Vậy PTĐT (∆) cần tìm có dạng là: x + y + = Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm giống cố gắng thu hoạch chưa gieo trồng – David Bly Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618) https://www.facebook.com/groups/lophoctoanthaykien/ Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh  Dạng toán 7: Viết phương trình đường thẳng ( d) qua điểm M0(x0;y0) tạo với đường thẳng ∆ góc α cho trước (Bài toán liên quan đến góc)  Gọi phương trình đường thẳng (d) qua M0(x0;y0) có hệ số góc k có dạng là: y − y0 = k ( x − x0 ) ⇔ kx − y + y0 − kx0 = ( )  Sau áp dụng công thứ tính góc hai đường thẳng d ∆ từ suy giá trị k cần tìm  Thay giá trị k vừa tìm vào (2) ta PTĐT (d)  Ví dụ: Cho đường thẳng (∆) : 3x-2y+1=0 Viết PTĐT (d) qua điểm M (1;2) tạo với (∆) góc 450 Hướng dẫn  PTĐT (d) viết dạng: y – = k ( x-1) ⇔ kx – y +2 – k = | 3k + ( −1).( −2) | k + 32 + (−2)  Vì (d) hợp với (∆) góc 450 nên: cos 45 = ⇔ 2 | 3k + | 13 k + = 9k + 12k + ⇔ = 13.( k + 1) ⇔ 5k + 24k − =  k=  ⇔   k = −5  Vậy phương trình (d) là: 1 x − y + − = ⇔ x − 5y + = 5 hay −5 x − y + − (−5) = ⇔ x + y + = Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm giống cố gắng thu hoạch chưa gieo trồng – David Bly Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618) https://www.facebook.com/groups/lophoctoanthaykien/ Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh  Dạng toán 8: Viết phương trình đường thẳng (∆) qua điểm M0(x0;y0) cách điểm ( N( x1; y1 ) khoảng a (Bài toán liên quan đến khoảng cách)  Gọi phương trình đường thẳng (∆) qua M0(x0;y0) có hệ số góc k có dạng là: y − y0 = k ( x − x0 ) ⇔ kx − y + y0 − kx0 = ( )  Áp dụng công thức: d(N,∆)=a Từ suy giá trị k cần tìm  Thay giá trị k vừa tìm vào (2) ta PTĐT (∆)  Ví dụ 1: Lập phương trình đường thẳng ∆ qua M(2;7) cách N(1;2) khoảng Hướng dẫn  PTĐT (∆) qua điểm M(2; 7) có hệ số góc k có dạng là: y − = k ( x − 2) ⇔ kx − y + − 2k =  Vì (∆) cách N(1;2) khoảng nên: Ta có: d(N, ∆) =1 ⇔ | k − + − 2.k | | −k + | =1⇔ = ⇔ ( − k + 5) = ( k + 1) k2 +1 k2 +1 ⇔ k − 10k + 25 = k + ⇔ k =  Vậy phương trình (∆) là:  12 12 12 x − y + − = ⇔ 12 x − y + 11 = 5  x = + 2t ; t ∈ R Tìm điểm M ∈ d cho khoảng cách Ví dụ 2: Cho đường thẳng d có ptts:  y = 3+t từ M đến điểm A(0;1) khoảng Hướng dẫn  x = + 2t  Điểm M ( x; y ) ∈ d  nên tọa độ M phải thỏa mãn phương trình d y = 3+t  Gọi M (2 + 2t;3 + t ) ∈ d uuur  Ta có: AM = (2 + 2t; + t ) Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm giống cố gắng thu hoạch chưa gieo trồng – David Bly Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618) https://www.facebook.com/groups/lophoctoanthaykien/ Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh uuuur  Theo giả thiết: AM = ⇔ (2 + 2t ) + (2 + t ) = ⇔ (2 + 2t ) + (2 + t ) = 25 t = ⇔ 5t + 12t − 17 = ⇔  t = −17  −24 −2 ; ) 5 Dạng toán 9: Viết phương trình đường thẳng ( d1 ) đối xứng với đường thẳng ( d ) qua điểm I  Vậy có điểm M thỏa ycbt M1 (4; 4) M (   Lấy điểm A thuộc ( d ) ; gọi A’ điểm đối xứng A qua I (tức I trung điểm AA’)  Viết pt đường thẳng ( d1 ) qua điểm A’ song song với ( d ) Ví dụ: Cho điểm I ( 1;1) đường thẳng ( d ) : x − y + = Viết phương trình tổng quát  đường thẳng ( d1 ) đối xứng với đường thẳng ( d ) qua điểm I d1 A’ Hướng dẫn  Lấy điểm A ( 0;1) ∈ ( d ) ; gọi A′ điểm đối xứng với A qua I suy A′ ( 2;1) (với I trung điểm AA’)  Vì ( d1 ) / / ( d ) nên phương trình ( d1 ) có dạng: x − y + c =  ( d1 ) qua  I d A A′ ( 2;1) nên: − 2.1 + c = ⇒ c =  Vậy PTTQ ( d1 ) x − y =  Dạng toán 10:Tìm hình chiếu điểm A xuống đường thẳng ∆ (Tìm tọa độ điểm H ∈ ( ∆ ) cho MH ngắn nhất); tìm điểm đối xứng điểm A qua đường thẳng ∆ Cách 1:  Viết pt đường thẳng d qua A vuông góc với ∆  Gọi H hình chiếu A ∆ Khi H = ∆ ∩ d  A′ điểm đối xứng điểm A qua đường thẳng ∆ H trung điểm AA′  x = x0 + u1t Cách 2: Nếu pt ∆ cho dạng tham số:   y = y0 + u2t uuur  Gọi H hình chiếu A ∆ H ∈ ( ∆ ) ⇒ H ( x0 + u1t ; y0 + u2t ) ⇒ tọa độ AH uuur r uuur r  Do AH ⊥ ∆ nên AH ⊥ u∆ ⇔ AH u∆ = ⇒ t ⇒ tọa độ H  A′ điểm đối xứng điểm A qua đường thẳng ∆ H trung điểm AA′ Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm giống cố gắng thu hoạch chưa gieo trồng – David Bly Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618) https://www.facebook.com/groups/lophoctoanthaykien/ Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh Cách 3: Nếu pt ∆ cho dạng tổng quát: ax + by + c =  Gọi H ( xH ; yH ) hình chiếu điểm A ∆  H ∈∆ H ∈ ∆ ⇒ axH + byH + c = (1)  Khi   AH ⊥ ∆ uuur r  AH ⊥ ∆ ⇔ AH = ( xH − xA ; yH − y A ) phương với n = ( a; b )  Do đó: b ( xH − xA ) − a ( yH − y A ) = (2)Giải (1) (2) ta tọa độ điểm H Ví dụ: Cho đường thẳng ( ∆ ) : x − y + = điểm A ( 4;1) a) Tìm tọa độ hình chiếu A ( ∆ ) b) Tìm điểm A′ điểm đối xứng A qua ( ∆ ) Hướng dẫn a) Tọa độ hình chiếu A ( ∆ )  Gọi H hình chiếu A ( ∆ )  Đường thẳng AH ⊥ ( ∆ ) ⇒ pt AH có dạng: x + y + c =  AH qua A nên: 2.4 + + c = ⇒ c = −9  Vậy phương trình AH x + y − = 14  x=  2 x + y − =   14 17  ⇔ ⇒H ; ÷  Tọa độ H nghiệm hệ:  5 5 x − y + =  y = 17  b) Tọa độ điểm A′ đối xứng A qua ( ∆ )  A′ điểm đối xứng A qua ( ∆ ) ⇔ H trung điểm AA′  x A + x A′  x A′ =  xH =    29  ⇔ ⇔ ⇒ A′  ; ÷ 5   y = y A + y A′  y ′ = 29 H A   Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm giống cố gắng thu hoạch chưa gieo trồng – David Bly Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618) https://www.facebook.com/groups/lophoctoanthaykien/ Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh Dạng toán 11: Viết phương trình đường thẳng (d’) đối xứng với đường thẳng ( d ) qua đường  thẳng ( ∆ ) Để giải toán này, trước tiên ta nên xét chúng cắt hay song song  Nếu (d)// ( ∆ )  Lấy A∈ (d) Xác định điểm A’ đối xứng với điểm A qua ( ∆ )  Viết phương trình đường thẳng (d’) qua A’ song song với (d)  Nếu (d) cắt ( ∆ ) điểm I  Lấy A∈ (d) (A≠I) Xác định điểm A’ đối xứng với điểm A qua ( ∆ )  Viết phương trình đường thẳng (d’) qua A’ I Ví dụ: Cho hai đường thẳng (d1) : x + y − = (d ) : x − y + = Lập phương trình  đường thẳng ( d3 ) đối xứng với (d1) qua (d2) Hướng dẫn  1 ≠ Vậy ( d1 ) cắt ( d ) điểm I −3  x + y -1 = Tọa độ điểm I nghiệm hệ  => I(0;1) x − 3y + = Lấy A(1;0) ∈ (d1)  12  Gọi A’ điểm đối xứng với A qua (d2) nên A’  ; ÷ (tìm tọa độ A’ dựa vào dạng 10) 5  Vậy phương trình ( d3 ) phương trình đường thẳng qua hai điểm I A’  Xét (d1) (d2) , Ta có:     ( d3 ) : x − y + =  Dạng toán 12: Viết phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng (d1) (d2) Với: (d1) : A1 x + B1 y + C1 = (d2): A2 x + B2 y + C2 = ur uu r  Tính tích vô hướng vecto n1 , n2 vtpt (d1) , (d2)  Phương trình đường phân giác góc tạo (d1) (d2): Ax + By + C A2 + B = A' x + B' y + C A '2 + B '2  Khi đó: tồn đường phân giác vuông góc với góc tạo (d1) (d2): (∆1 ): Ax + By + C A2 + B = A' x + B'y + C A '2 + B '2 (∆2 ): Ax + By + C A2 + B  A' x + B'y + C  ÷ = −  2 ÷ A' + B'   Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm giống cố gắng thu hoạch chưa gieo trồng – David Bly Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618) https://www.facebook.com/groups/lophoctoanthaykien/ Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh  Tùy theo yêu cầu toán ta phải biết cách phân biệt đường phân giác góc nhọn, góc tù, đường phân giác trong, tam giác để suy PTĐT mà ta cần tìm Dựa vào bảng sau: ur uu r n1.n2 Phương trình phân giác góc nhọn Phương trình phân giác góc tù − (∆1) (∆2 ) + (∆2 ) (∆1) Chú ý 1: Vị trí tương đối hai điểm đường thẳng: Cho đường thẳng d : ax + by + c = điểm A( x A ; y A ), B ( xB ; y B ) Đặt TA = ax A + by A + c, TB = axB + by B + c nếu:  TA TB = ( ax A + by A + c ) ( axB + by B + c ) > A, B phía đường thẳng d  TA TB = ( ax A + by A + c ) ( axB + by B + c ) < A, B khác phía đường thẳng d Chú ý 2:  Nếu phương trình đường thẳng cho dạng tham số, tắc ta trước hết phải đưa dạng tổng quát  Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm tùy ý đường thẳng đến đường thẳng  Ví dụ 1: Cho đường thẳng d : x + y − = 0; d ′ : 3x + y + = a) Chứng minh d cắt d’ b) Lập phương trình hai đường phân giác góc tạo d d’ Hướng dẫn ≠ nên d cắt d’ b) Phương trình hai đường phân giác góc tạo d d’ là: a) Vì:  x + y − = 3x + y + x − y + = x + 3y − 3x + y + =± ⇔ ⇔ 10 10  x + y −1 =  x + y − = − ( 3x + y + ) Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm giống cố gắng thu hoạch chưa gieo trồng – David Bly Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618) https://www.facebook.com/groups/lophoctoanthaykien/ Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh  Ví dụ 1: Cho đường thẳng (d1):3x+4y - 1=0 (d2): 4x+3y+5 = Viết phương trình đường phân giác góc nhọn tạo (d1) (d2) Hướng dẫn r  (d1) có vtpt n1 = ( 3; ) r  (d2) có vtpt n2 = ( 4;3) ur uu r  Ta có: n1.n2 =3.4+4.3=24 >0  Ta có phươngtrình : 3x + y − +4 = x + 3y + 2 +3 ⇔ x + y − = x + 3y + ur uu r  Vì n1.n2 >0 nên phương trình đường phân giác góc nhọn cần tìm là: x + y − = −( x + 3y + 5) ⇔ x + y + =  Dạng toán 13: Viết phương trình đường trung tuyến, đường cao, trung trực, phân giác cạnh tam giác Dựa vào bảng sau để hinh thành nên cách viết PTĐT cần tìm Bài toán viết PT Cạnh AB tam giác Trung tuyến AM Đường cao AH Đường trung trực ∆ Đường phân giác Hình A B C A M B C A C BH A B ∆ C I Phương trình tham số Phương trình tổng quát qua A( x0 ; y0 ) r AB :  r uuu u = AB  qua A( x0 ; y0 ) AB :    u = AB ⇒ n qua A( x0 ; y0 ) AM :   u = AM qua A( x0 ; y0 ) AM :    u = AM ⇒ n qua A( x0 ; y0 ) AH :    n = BC ⇒ u qua A( x0 ; y0 ) AH :   n = BC   xB + xc y B + yc  qua I  ;    ∆:   n = BC ⇒ u   xB + xc y B + yc   qua I  ;    ∆ :   n = BC Dựa vào dạng toán 12 Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm giống cố gắng thu hoạch chưa gieo trồng – David Bly Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618) https://www.facebook.com/groups/lophoctoanthaykien/ Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh  Ví dụ 1: Cho tam giác ABC với A ( 4;5 ) ; B ( −6; −1) ; C ( 1;1) Viết phương trình tổng quát cạnh AB, đường trung tuyến AM, đường cao AH tam giác ABC; đường trung trực cạnh AB Hướng dẫn Phương trình cạnh AB:  Đường thẳng AB qua A ( 4;5 ) ; B ( −6; −1) uuur  Nên có vtcp AB = ( −10; −6 ) r  ⇒ đường thẳng AB có vtpt là: n = ( 6; −10 )  Phương trình tổng quát AB là: ( x − ) − 10 ( y − ) = ⇔ x − 10 y + 26 = Phương trình đường trung tuyến AM:    M trung điểm BC nên M  − ;0 ÷   uuuu r  13     Vì AM qua A ( 4;5 ) ; M  − ;0 ÷ nên AM có vtcp AM =  − ; −5 ÷     13  r   ⇒ AM có vtpt n =  5; − ÷ 2   Phương trình tổng quát đường trung tuyến AM là: 13 ( x − ) − ( y − ) = ⇔ 10 x − 13 y + 25 = Phương trình đường cao AH: uuur  Đường cao AH qua A ( 4;5 ) có vtpt BC = ( 7; )  Phương trình tổng quát đường cao AH là: ( x − ) + ( y − ) = ⇔ x + y − 38 = Phương trình đường trung trực AB:  Gọi K trung điểm AB nên K ( −1; )  Gọi ( ∆ ) đường trung trực AB uuur  ⇒ ( ∆ ) qua điểm K ( −1; ) có vtpt AB = ( −10; −6 )  Phương trình tổng quát ( ∆ ) −10 ( x + 1) − ( y − ) = ⇔ −10 x − y + = ⇔ x + y − = Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm giống cố gắng thu hoạch chưa gieo trồng – David Bly Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618) https://www.facebook.com/groups/lophoctoanthaykien/ Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh  Ví dụ 1: Lập phương trình đường phân giác góc A ∆ABC biết ∆ABC biết A ( 2;0 ) ; B ( 4;1) ; C ( 1; ) Hướng dẫn  Phương trình cạnh AB: x − y − =  Phương trình cạnh AC: x + y − =  Phương trình hai đường phân giác góc A  x + 3y − = x − 2y − 2x + y − =± ⇔ 5 3 x − y − = (d) ( d ′)  Xét đường phân giác ( d ) : x + y − =  Thế tọa độ điểm B vào vế trái d : t1 = + 3.1 − = >  Thế tạo độ điểm C vào vế trái d : t2 = + 3.2 − = >  Vì t1.t2 > nên B C nằm phía d ⇒ d đường phân giác  Vậy đường phân giác góc A là: d ′ : x − y − = Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm giống cố gắng thu hoạch chưa gieo trồng – David Bly Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618) https://www.facebook.com/groups/lophoctoanthaykien/ Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh C.BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài tập 1: Viết phương trình tổng quát đường thẳng ( ∆ ) trường hợp sau: r a) Qua M ( 1;3) có vtpt n = ( 2;5 ) r b) Qua M ( 1; ) có vtcp u = ( 3;7 ) c) Qua M ( 4;1) ; N ( 5;3) d) Qua M ( −5; −8 ) có hệ số góc k = −3 e) Qua M ( 2;5 ) song song với đường thẳng d : x + y − = f) Qua M ( 2;5 ) vuông góc với đường thẳng d : x + y − = g) Qua A ( 5;0 ) ; B ( 0; ) Bài tập 2: Cho tam giác ABC có A(-2; 1), B(2; 3) C(1; -5) a) Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC tam giác b) Lập phương trình đường thẳng chứa đường cao AH tam giác c) Lâp phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM d) Lập phương trình đường thẳng chứa đường trung trực cạnh BC e) Lập phương trình đường thẳng chứa đường phân giác góc A ∆ABC Bài tập 3: Viết PTĐT d1 đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆ biết: a, (d) : x + 2y − = 0;( ∆) : 2x − y + = b, (d) : 2x + 3y + = 0;( ∆) : 5x − y + = Bài tập 4: Cho A(1;1), B(3;6) Viết PTĐT (d) qua A cách B đoạn Bài tập 5: Viết phương trình đường phân giác góc hai đường thẳng ∆1 : x − 10 y + = 0; ∆ 2: x + y + = Bài tập 6: Cho I(1;2) đường thẳng (∆ ) : 3x − y + = a) Tìm phương trình đường thẳng (d) qua A song song với ( ∆ ) b) Tìm phương trình đường thẳng ( ∆ ’ ) đối xứng với ( ∆ ) qua A Bài tập 7: Cho đường thẳng ∆ : x + y − = Lập phương trình đường thẳng d qua M ( −6;1) tạo với ( ∆ ) góc 450 Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm giống cố gắng thu hoạch chưa gieo trồng – David Bly Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618) https://www.facebook.com/groups/lophoctoanthaykien/ Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh D.BÀI TẬP DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI Bài tập 1*: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích , A(2;–3), B(3;–2) Tìm toạ độ điểm C, biết điểm C nằm đường thẳng d: 3x – y – = Hướng dẫn x = t Giả sử C(t; –4 + 3t) ∈ d  y = −4 + 3t PTTS d:  uuu r uuur 1 AB AC sin A = AB AC − AB.AC 2 ⇒ C(–2; –10) C(1;–1) ( S= ) = ⇔  t = −2 4t + t + = ⇔  t =  Bài tập 2*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M(–1; 1) trung điểm cạnh BC, hai cạnh AB, AC nằm hai đường thẳng d1: x + y − = d2: x + y + = Tìm toạ độ đỉnh A, B, C Hướng dẫn  15  x + y − = Toạ độ điểm A nghiệm hệ:  ⇒ A  ; − ÷  4 2 x + y + =  −3 − c  Giả sử: B(b;2 − b) ∈ d1, C  c; ÷∈ d2   b + c   = −1 b =  −3 − c M(–1; 1) trung điểm BC ⇔  ⇔ 2 − b + c = − =1    1 7  1 ⇒ B  ; ÷, C  − ; ÷ 4 4  4 Bài tập 3*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD biết M(2;1); N(4; –2); P(2;0); Q(1;2) thuộc cạnh AB, BC, CD, AD Hãy lập phương trình cạnh hình vuông Hướng dẫn r Giả sử đường thẳng AB qua M có VTPT n = ( a; b) (a2 + b2 ≠ 0) r => VTPT BC là: n1 = (−b; a ) AB có dạng: a(x –2) +b(y –1)= ⇔ ax + by –2a –b =0 BC có dạng: –b(x – 4) +a(y+ 2) =0 ⇔ – bx + ay +4b + 2a =0 Do ABCD hình vuông nên d(P, AB) = d(Q,BC) Phương trình Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm giống cố gắng thu hoạch chưa gieo trồng – David Bly Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618) https://www.facebook.com/groups/lophoctoanthaykien/ Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh −b ⇔ a + b2 = 3b + 4a b = −2a ⇔ a2 + b2 b = − a • b = –2a: AB: x – 2y = ; CD: x – 2y –2 =0; BC: 2x +y – 6= 0; AD: 2x + y – =0 • b = –a: AB: –x + y+ =0; BC: –x –y + 2= 0; AD: –x –y +3 =0; CD: –x + y+ =0 Bài tập 4*: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2;–3), B(3;–2), tam giác ABC có diện tích ; trọng tâm G ∆ABC nằm đường thẳng d: 3x – y – = Tìm bán kính đường tròn nội tiếp ∆ ABC Hướng dẫn Gọi C(a; b), (AB): x –y –5 =0 ⇒ d(C, AB) = a − b = a − b = ⇒ a−b−5 =3⇔  a−b−5 = 2S∆ABC AB  a +5 b −5 (1) ; ; Trọng tâm G  ÷∈ d (2)   ⇒ 3a –b =4 (3) • (1), (3) ⇒ C(-2; -10) ⇒ r = • (2), (3) ⇒ C(1; –1) ⇒ r= S = p + 65 + 89 S = p +2 Bài tập 5*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình d1: x + y + = Phương trình đường cao vẽ từ B d 2: x − y − = Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C Viết phương trình cạnh bên tam giác ABC Hướng dẫn uuur B(0; –1) BM = (2; 2) ⇒ MB ⊥ BC Kẻ MN // BC cắt d2 N BCNM hình chữ nhật 8 1  3 phương trình đường thẳng MN: x + y − = N = MN ∩ d2 ⇒ N  ; ÷ NC ⊥ BC ⇒ phương trình đường thẳng NC: x − y − = Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm giống cố gắng thu hoạch chưa gieo trồng – David Bly Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618) https://www.facebook.com/groups/lophoctoanthaykien/ Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh 2 3 5 3 C = NC ∩ d1 ⇒ C  ; − ÷ AB ⊥ CM ⇒ phương trình đường thẳng AB: x + y + = AC ⊥ BN ⇒ phương trình đường thẳng AC: 6x + 3y + = Bài tập 6* :Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 1)2 = 25 điểm M(7; 3) Lập phương trình đường thẳng d qua M cắt (C) A, B phân biệt cho MA = 3MB Hướng dẫn M nằm (C) (C) có tâm I(1;–1) R = Mặt khác: uuur uuur MA.MB = 3MB ⇒ MB = Gọi H hình chiếu I lên AB ⇒ BH = ⇒ IH = R − BH = = d ( I ,( d ) ) Ta có: phương trình đường thẳng d: a(x – 7) + b(y – 3) = (a2 + b2 > 0) d ( I ,( d ) ) = ⇔ a = =4⇔ 2  a = − 12 b a +b  −6a − 4b Vậy d: y – = d: 12x – 5y – 69 = Bài tập 7*:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho D ABC có cạnh AC qua điểm M(0;– 1) Biết AB = 2AM, phương trình đường phân giác AD: x – y = 0, phương trình đường cao CH: 2x + y + = Tìm tọa độ đỉnh D ABC Hướng dẫn Gọi d đường thẳng qua M vuông góc với AD cắt AD, AB I N, ta có:  1 (d ) : x + y + = 0, I = ( d ) ∩ ( AD) ⇒ I  − ; − ÷ ⇒ N ( −1; 0)  2 (I trung điểm MN) AB ⊥ CH ⇒ pt ( AB ) : x − y + = 0, A = ( AB ) I ( AD ) ⇒ A(1; 1) AB = 2AM ⇒ AB = 2AN ⇒ N trung điểm AB ⇒ B ( −3; −1)   pt ( AM ) : x − y − = 0, C = ( AM ) I (CH ) ⇒ C  − ; −2 ÷   Bài tập 8*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d1: x − y + 17 = , d2: x + y − = Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(0;1) tạo với d1, d2 tam giác cân giao điểm d1, d2 Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm giống cố gắng thu hoạch chưa gieo trồng – David Bly Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618) https://www.facebook.com/groups/lophoctoanthaykien/ Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh Hướng dẫn Phương trình đường phân giác góc tạo d1, d2 là: x − y + 17 x + y −5  x + y − 13 = ( ∆1 ) = ⇔ 12 + (−7) 12 + 12 3 x − y − = ( ∆2 ) Đường thẳng cần tìm qua M(0;1) song song với ∆1 , ∆2 KL: x + y − = x − y + = Bài tập 9*:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho D ABC cân có đáy BC Đỉnh A có tọa độ số dương, hai điểm B C nằm trục Ox, phương trình cạnh AB : y = 7(x - 1) Biết chu vi D ABC 18, tìm tọa độ đỉnh A, B, C Hướng dẫn B = AB I Ox ⇒ B (1;0) , A ∈ AB ⇒ A ( a;3 7(a − 1) ) ⇒ a > (do x A > 0, y A > ) Gọi AH đường cao ∆ABC ⇒ H (a;0) ⇒ C (2a − 1;0) ⇒ BC = 2( a − 1), AB = AC = 8(a − 1) Chu vi ∆ ABC = 18 ⇔ a = ⇒ C (3;0), A ( 2;3 ) Bài tập 10*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(1;0), B(–2;4), C(–1;4), d(3;5) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ( ∆) : x − y − = cho hai tam giác MAB, MCD có diện Hướng dẫn tích Phương trình tham số ∆: x = t M ∈ ∆ ⇒ M(t; 3t – 5)   y = 3t − S MAB = S MCD ⇔ d (M , AB ) AB = d (M , CD ).CD ⇔ t = −9 ∨ t = 7 ⇒ M (−9; −32), M ( ; 2) 3 Bài tập 11*:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác có phương trình hai cạnh 5x – 2y + = 4x + 7y – 21 = Viết phương trình cạnh thứ ba tam giác đó, biết trực tâm trùng với gốc tọa độ O Hướng dẫn Giả sử AB: 5x – 2y + = 0; AC: 4x + 7y – 21 = ⇒ A(0;3) Phương trình đường cao BO: 7x – 4y = ⇒ B(–4; –7) A nằm Oy, đường cao AO nằm trục Oy ⇒ BC: y + = Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm giống cố gắng thu hoạch chưa gieo trồng – David Bly Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618) https://www.facebook.com/groups/lophoctoanthaykien/ Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh Bài tập 12*:Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng đường Hướng dẫn d1 : x − y + = d2: 3x + 6y – = Lập phương trình đường thẳng qua điểm P( 2; –1) cho đường thẳng cắt hai đường thẳng d1 d2 tạo tam giác cân có đỉnh giao điểm hai thẳng d1, d2 r r d1 có VTPT a1 = (2; −1) ; d2 có VTPT a2 = (3;6) ur uu r Ta có: a1 a2 = 2.3 − 1.6 = nên d1 ⊥ d d1 cắt d2 điểm I khác P Gọi d đường thẳng qua P( 2; -1) có phương trình: đường thẳng d : A( x − 2) + B ( y + 1) = ⇔ Ax + By − A + B = d cắt d1, d2 tạo tam giác cân có đỉnh I ⇔ d tạo với d1 (hoặc d2) góc 450 ⇔ 2A − B A2 + B  A = 3B = cos 450 ⇔ A2 − AB − 3B = ⇔  22 + (−1)2  B = −3 A * Nếu A = 3B ta có đường thẳng d : x + y − = * Nếu B = –3A ta có đường thẳng d : x − y − = Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu toán d : 3x + y − = ; d : x − y − = Bài tập 13*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ∆ ABC có đỉnh A(1;2), phương trình đường trung tuyến BM: x + y + = phân giác CD: x + y − = Viết phương trình đường thẳng BC Hướng dẫn Điểm C ∈ CD : x + y − = ⇒ C ( t ;1 − t )  t +1 − t  ; ÷   Từ A(1;2), kẻ AK ⊥ CD : x + y − = I (điểm K ∈ BC ) Suy trung điểm M AC M  Suy AK : ( x − 1) − ( y − ) = ⇔ x − y + = x + y −1 = ⇒ I ( 0;1) x − y + = Tọa độ điểm I thỏa hệ:  Tam giác ACK cân C nên I trung điểm AK ⇒ tọa độ K ( −1;0 ) Đường thẳng BC qua C, K nên có phương trình: x +1 y = ⇔ 4x + 3y + = −7 + Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm giống cố gắng thu hoạch chưa gieo trồng – David Bly Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618) https://www.facebook.com/groups/lophoctoanthaykien/ Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh Bài tập 14*:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6; 2) giao điểm đường chéo AC BD Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng ∆: x + y – = Viết phương trình đường thẳng AB Hướng dẫn I (6; 2); M (1; 5) ∆: x + y – = 0, E ∈ ∆ ⇒ E(m; – m); Gọi N trung điểm AB  xN = xI − xE = 12 − m I trung điểm NE ⇒  ⇒ N (12 – m; m – 1)  y N = yI − yE = − + m = m − uuuu r uur MN = (11 – m; m – 6); IE = (m – 6; – m – 2) = (m – 6; – m) uuuu r uur MN IE = ⇔ (11 – m)(m – 6) + (m – 6)(3 – m) = ⇔ m – = hay 14 – 2m = ⇔ m = hay m = uuuu r + m = ⇒ MN = (5; 0) ⇒ phương trình (AB) y = uuuu r + m = ⇒ MN = (4; 1) ⇒ phương trình (AB) x – – 4(y – 5) = ⇒ x – 4y + 19 = Bài tập 15*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác góc A d1: x + y + = 0, phương trình đường cao vẽ từ B d2: 2x – y + = 0, cạnh AB qua M(1; –1) Tìm phương trình cạnh AC Hướng dẫn uuuu r Gọi N điểm đối xứng M qua d1 ⇒ N ∈ AC MN = ( xN − 1, y N + 1) uuuu r Ta có: MN phương r n d1 = (1; 1) ⇔ 1( xN − 1) − 1( y N + 1) = ⇔ xN − y N = (1) 1 Tọa độ trung điểm I MN: xI = (1 + xN ), y I = (−1 + y N ) 2 I ∈ (d1 ) ⇔ 1 (1 − xN ) + (−1 + y N ) + = ⇔ xN + y N + = 2 (2) Giải hệ (1) (2) ta N(–1; –3) Phương trình cạnh AC vuông góc với d2 có dạng: x + 2y + C = N ∈ ( AC ) ⇔ + 2.(−3) + C = ⇔ C = Vậy, phương trình cạnh AC: x + 2y + = Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm giống cố gắng thu hoạch chưa gieo trồng – David Bly [...]... N + 1) uuuu r Ta có: MN cùng phương r n d1 = (1; 1) ⇔ 1( xN − 1) − 1( y N + 1) = 0 ⇔ xN − y N = 2 (1) 1 1 Tọa độ trung điểm I của MN: xI = (1 + xN ), y I = ( 1 + y N ) 2 2 I ∈ (d1 ) ⇔ 1 1 (1 − xN ) + ( 1 + y N ) + 2 = 0 ⇔ xN + y N + 4 = 0 2 2 (2) Giải hệ (1) và (2) ta được N( 1; –3) Phương trình cạnh AC vuông góc với d2 có dạng: x + 2y + C = 0 N ∈ ( AC ) ⇔ 1 + 2.(−3) + C = 0 ⇔ C = 7 Vậy, phương trình... dụ: Cho hai đường thẳng (d1) : x + y − 1 = 0 và (d 2 ) : x − 3 y + 3 = 0 Lập phương trình  đường thẳng ( d3 ) đối xứng với (d1) qua (d2) Hướng dẫn  1 1 ≠ Vậy ( d1 ) cắt ( d 2 ) tại điểm I 1 −3  x + y -1 = 0 Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ  => I(0 ;1) x − 3y + 3 = 0 Lấy A (1; 0) ∈ (d1)  1 12  Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (d2) nên A’  ; ÷ (tìm tọa độ A’ dựa vào dạng 10 ) 5 5  Vậy phương trình... + y − 1 = 0 ⇒ C ( t ;1 − t )  t +1 3 − t  ; ÷ 2   2 Từ A (1; 2), kẻ AK ⊥ CD : x + y − 1 = 0 tại I (điểm K ∈ BC ) Suy ra trung điểm M của AC là M  Suy ra AK : ( x − 1) − ( y − 2 ) = 0 ⇔ x − y + 1 = 0 x + y 1 = 0 ⇒ I ( 0 ;1) x − y + 1 = 0 Tọa độ điểm I thỏa hệ:  Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của AK ⇒ tọa độ của K ( 1; 0 ) Đường thẳng BC đi qua C, K nên có phương trình: x +1 y = ⇔... đỉnh là giao điểm của hai thẳng d1, d2 r r d1 có VTPT a1 = (2; 1) ; d2 có VTPT a2 = (3;6) ur uu r Ta có: a1 a2 = 2.3 − 1. 6 = 0 nên d1 ⊥ d 2 và d1 cắt d2 tại một điểm I khác P Gọi d là đường thẳng đi qua P( 2; -1) có phương trình: đường thẳng d : A( x − 2) + B ( y + 1) = 0 ⇔ Ax + By − 2 A + B = 0 d cắt d1, d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I ⇔ khi d tạo với d1 (hoặc d2) một góc 450 ⇔ 2A − B A2 + B 2... qua hai điểm I và A’  Xét (d1) và (d2) , Ta có:     ( d3 ) : 7 x − y + 1 = 0  Dạng toán 12 : Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng (d1) và (d2) Với: (d1) : A1 x + B1 y + C1 = 0 và (d2): A2 x + B2 y + C2 = 0 ur uu r  Tính tích vô hướng của 2 vecto n1 , n2 lần lượt là vtpt của (d1) , (d2)  Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi (d1) và (d2): Ax + By + C A2 +... MN = (4; 1) ⇒ phương trình (AB) là x – 1 – 4(y – 5) = 0 ⇒ x – 4y + 19 = 0 Bài tập 15 *:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A là d1: x + y + 2 = 0, phương trình đường cao vẽ từ B là d2: 2x – y + 1 = 0, cạnh AB đi qua M (1; 1) Tìm phương trình cạnh AC Hướng dẫn uuuu r Gọi N là điểm đối xứng của M qua d1 ⇒ N ∈ AC MN = ( xN − 1, y N + 1) uuuu r... của d:  uuu r uuur 1 1 AB AC sin A = AB 2 AC 2 − AB.AC 2 2 ⇒ C(–2; 10 ) hoặc C (1; 1) ( S= ) 2 = 3 ⇔ 2  t = −2 4t 2 + 4 t + 1 = 3 ⇔  t = 1  Bài tập 2*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M( 1; 1) là trung điểm của cạnh BC, hai cạnh AB, AC lần lượt nằm trên hai đường thẳng d1: x + y − 2 = 0 và d2: 2 x + 6 y + 3 = 0 Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C Hướng dẫn  15 7  x + y − 2 =... ÷  4 4 2 x + 6 y + 3 = 0  −3 − 2 c  Giả sử: B(b;2 − b) ∈ d1, C  c; ÷∈ d2  6  b + c  1  2 = 1 b = 4  −3 − 2 c M( 1; 1) là trung điểm của BC ⇔  ⇔ 2 − b + 6 c = − 9 =1   4  2 1 7  9 1 ⇒ B  ; ÷, C  − ; ÷ 4 4  4 4 Bài tập 3*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD biết M(2 ;1) ; N(4; –2); P(2;0); Q (1; 2) lần lượt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD Hãy lập phương trình các...  1 1 (d ) : x + y + 1 = 0, I = ( d ) ∩ ( AD) ⇒ I  − ; − ÷ ⇒ N ( 1; 0)  2 2 (I là trung điểm MN) AB ⊥ CH ⇒ pt ( AB ) : x − 2 y + 1 = 0, A = ( AB ) I ( AD ) ⇒ A (1; 1) AB = 2AM ⇒ AB = 2AN ⇒ N là trung điểm AB ⇒ B ( −3; 1)  1  pt ( AM ) : 2 x − y − 1 = 0, C = ( AM ) I (CH ) ⇒ C  − ; −2 ÷  2  Bài tập 8*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng d1: x − 7 y + 17 = 0 , d2: x + y −... đường thẳng AB Hướng dẫn I (6; 2); M (1; 5) ∆: x + y – 5 = 0, E ∈ ∆ ⇒ E(m; 5 – m); Gọi N là trung điểm của AB  xN = 2 xI − xE = 12 − m I trung điểm NE ⇒  ⇒ N (12 – m; m – 1)  y N = 2 yI − yE = 4 − 5 + m = m − 1 uuuu r uur MN = (11 – m; m – 6); IE = (m – 6; 5 – m – 2) = (m – 6; 3 – m) uuuu r uur MN IE = 0 ⇔ (11 – m)(m – 6) + (m – 6)(3 – m) = 0 ⇔ m – 6 = 0 hay 14 – 2m = 0 ⇔ m = 6 hay m = 7 uuuu r ... (0984.094. 618 ) https://www.facebook.com/groups/lophoctoanthaykien/ Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh  1 ∩ ∆ ⇔  a1 b1 ≠ a2 b2 1 / / ∆ ⇔  1 ≡ ∆ ⇔ a1 b1 c1 = ≠ a2 b2 c2 a1 b1 c1 = = a2... Ta có: d(N, ∆) =1 ⇔ | k − + − 2.k | | −k + | =1 = ⇔ ( − k + 5) = ( k + 1) k2 +1 k2 +1 ⇔ k − 10 k + 25 = k + ⇔ k =  Vậy phương trình (∆) là:  12 12 12 x − y + − = ⇔ 12 x − y + 11 = 5  x = + 2t... qua M (1; 1) Tìm phương trình cạnh AC Hướng dẫn uuuu r Gọi N điểm đối xứng M qua d1 ⇒ N ∈ AC MN = ( xN − 1, y N + 1) uuuu r Ta có: MN phương r n d1 = (1; 1) ⇔ 1( xN − 1) − 1( y N + 1) = ⇔ xN