NGUYỄN ĐÌNH YÊN LÝ THUYẾT MODULE TRÊN VÀNH GIAO HOÁN TÂY BẮC - 2011 Mục lục Mục lục Lời nói đầu ĐẠI CƯƠNG VỀ MODULE VÀ ĐỒNG CẤU MODULE 1.1 Định nghĩa ví dụ 1.2 Module 10 1.3 Module thương 13 1.4 Module xoắn 13 1.5 Đồng cấu module 14 1.5.1 Định nghĩa đồng cấu module 14 1.5.2 Hợp thành hai đồng cấu 16 1.5.3 Ảnh hạt nhân 17 Bài tập 23 TÍCH VÀ TỔNG TRỰC TIẾP, MODULE TỰ DO, DÃY KHỚP 27 2.1 Tích trực tiếp tổng trực tiếp 27 2.2 Module tự 35 2.3 Dãy khớp 40 Bài tập 46 HÀM TỬ HOM VÀ HÀM TỬ TENXƠ 51 3.1 Module đồng cấu 51 3.2 Hàm tử Hom 53 3.3 Tích tenxơ 61 3.4 Hàm tử tenxơ 68 Bài tập 73 MỘT SỐ MODULE ĐẶC BIỆT 75 4.1 Module phẳng 75 4.2 Module xạ ảnh 77 MỤC LỤC 4.3 Module nội xạ 82 4.4 Module chia 87 4.5 Module Noether 90 4.6 Module Artin 94 4.7 Vành module thương 95 Bài tập 100 Hướng dẫn giải tập 104 Chương 104 Chương 110 Chương 120 Chương 125 Tài liệu tham khảo 132 Lời nói đầu Học phần Lý thuyết module đưa vào giảng dạy Khoa Toán - Lý - Tin, Trường Đại học Tây bắc từ năm 2003 với thời lượng đơn vị học trình, đến năm 2010 nhà trường chuyển đổi chế đào tạo từ kết hợp niên chế với học phần sang đào tạo theo hệ thống tín chỉ, thời lượng học phần tín chỉ, với yêu cầu tăng cường tính tự học, tự kiểm tra sinh viên trình tích lũy kiến thức Tài liệu biên soạn sở giảng Lý thuyết module vành giao hoán Khoa Toán - Lý - Tin, Trường Đại học Tây Bắc, với mục đích bổ sung thêm tài liệu học tập cho sinh viên Đại học Sư phạm ngành Toán Nội dung sách bao gồm bốn chương Chương Đại cương module đồng cấu module, chương trình bày khái niệm tính chất module, module con, module thương, tổng giao module con, hệ sinh, module xoắn, đồng cấu định lý đẳng cấu module Chương Tích tổng trực tiếp, module tự dãy khớp, chương gồm vấn đề: xây dựng tích trực tiếp, tổng trực tiếp, dãy khớp, dãy khớp chẻ chứng minh tính chất chúng Ngoài chương trình bày vấn đề lớp module tự theo trình tự giống khảo sát không gian véc tơ Chương Hàm tử Hom hàm tử tenxơ, Trong chương xây dựng khái niệm module đồng cấu, tích tenxơ hai module, hàm tử Hom, hàm tử tenxơ chứng minh tính chất chúng, với lưu ý "hàm tử" khái niệm lý thuyết phạm trù mà không trực tiếp định nghĩa, gọn gàng cách nói ta lấy tên chương hàm tử hom hàm tử tenxơ, điều không ảnh hưởng đến thứ tự trình bày nội dung kiến thức chương Chương Một số module đặc biệt, Chương trình bày vấn đề mở đầu lớp module đặc biệt: module phẳng, module xạ ảnh, nội xạ, module chia được, module Noether, Artin module thương Hệ thống tập cuối chương biên soạn phong phú bao gồm tập để sinh viên luyện tập, tự kiểm tra việc lĩnh hội kiến thức tập cho sinh viên tham gia vào việc phát triển hiểu biết lý thuyết Để giảm bớt khó khăn ban đầu việc tự học tự kiểm tra sinh MỤC LỤC viên, vành sở module nhắc đến giả thiết giao hoán có đơn vị = Hệ thống kiến thức chọn lựa cách tối thiểu, mệnh đề, định lý chứng minh tỉ mỉ, chi tiết Ngoài cuối sách có hướng dẫn giải hầu hết tập chương, để sinh viên tiện đối chiếu trình tự học Hy vọng với cách trình bày tài liệu góp phần nâng cao hiệu học tập sinh viên Tác giả chân thành cám ơn đồng nghiệp môn Đại số khoa Toán Lý - Tin Trường Đại học Tây bắc đóng góp nhiều ý kiến bổ ích trình biên soạn tài liệu Đặc biệt xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo Quản lý khoa học, Khoa Toán - Lý - Tin tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành giáo trình Cuối cùng, kinh nghiệm khoa học thời gian nhiều hạn chế, tài liệu chứa số lỗi khác Tác giả mong muốn tiếp tục nhận ý kiến đóng góp phê bình đồng nghiệp bạn sinh viên Sơn la, ngày 15 tháng năm 2012 Tác giả Chương ĐẠI CƯƠNG VỀ MODULE VÀ ĐỒNG CẤU MODULE Chương trình bày khái niệm tính chất module, module con, module thương, tổng giao module con, hệ sinh, module xoắn, đồng cấu định lý đẳng cấu module 1.1 Định nghĩa ví dụ Khái niệm module vành mở rộng khái niệm không gian vectơ trường Nói rõ định nghĩa khái niệm K−không gian véc tơ ta thay trường K vành K ta định nghĩa K− module Từ mở rộng mà lớp module chứa lớp nhóm aben (vì nhóm aben coi module vành số nguyên Z) Ngoài vành lại coi module Qua ta thấy cấu trúc module có khả thống cấu trúc nhóm aben, vành không gian véc tơ Vì nói khái niệm module khái niệm quan trọng đại số đại Để tạo điều kiện thuận lợi cho người bắt đầu làm quen với lý thuyết module, ta giả thiết vành sở R vành giao hoán có đơn vị = Định nghĩa 1.1 Một nhóm cộng abel M với ánh xạ gọi phép nhân với vô hướng R × M −→ M (a, x) −→ ax ĐẠI CƯƠNG VỀ MODULE VÀ ĐỒNG CẤU MODULE thỏa mãn điều kiện sau: (M1 ) a(x + y) = ax + ay (M2 ) (a + b)x = ax + bx (M3 ) (ab)x = a(bx) (M4 ) 1x = x Với a, b ∈ R với x, y ∈ M gọi module R hay gọi R−module Nếu vành R rõ ràng không sợ nhầm lẫn ta gọi tắt module Vành R gọi vành sở, phần tử R gọi vô hướng Ví dụ 1.1 Mỗi K−không gian vectơ V K−module Mỗi nhóm cộng abel M Z−module với phép nhân với vô hướng xác định   x + x + · · · + x với n ≥ n ∈ Z, x ∈ M : nx = với n =   (−n)(−x) với n < Nhóm cộng gồm phần tử module vành gọi module không; ký hiệu Giả sử R vành n số tự nhiên khác Khi tập tích Decaster Rn = {(a1 , a2 , , an )| ∈ R, i = 1, 2, , n} với phép cộng nhân với vô hướng xác định sau: (a1 , a2 , , an ) + (b1 , b2 , , bn ) = (a1 + b1 , a2 + b2 , , an + bn ) k(a1 , a2 , , an ) = (ka1 , ka2 , , kan ) R−module Đặc biệt, n = ta có R R−module Tập hợp Matm×n (R) ma trận cấp m × n với phần tử thuộc vành R R−module với phép cộng ma trận cấp phép nhân vô hướng phép nhân phần tử R với ma trận Giả sử K vành vành R R K−module với phép cộng, phép nhân với vô hướng phép cộng, nhân vành R Nói riêng, vành đa thức R[x] R−module 1.1 Định nghĩa ví dụ Giả sử M R−module, S tập Ta gọi E tập tất ánh xạ từ S vào M Khi E R−module với hai phép toán cộng phép nhân với vô hướng xác định sau: với f, g ∈ E, s ∈ S, k ∈ R (f + g)(s) = f (s) + g(s) (kf )(s) = kf (s) Giả sử f : R −→ S đồng cấu vành bảo toàn đơn vị Khi với S−module M có cách tự nhiên cấu trúc R−module với phép nhân với vô hướng định nghĩa sau: với a ∈ R, x ∈ M đặt ax = f (a)x Sau số tính chất đơn giản module Giả sử M R−module Khi ta có: Tính chất 1.1 0x = 0, ∀x ∈ M a0 = 0, ∀a ∈ R Chứng minh Ta có 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x, thực luật giản ước nhóm M ta 0x = Tương tự a0 = a(0 + 0) = a0 + a0, thực luật giản ước nhóm M ta 0a = Lưu ý R−module, từ đẳng thức ax = không suy a = x = không gian véc tơ Tính chất 1.2 a(−x) = (−a)x = −ax Với ∀a ∈ R, ∀x ∈ M Chứng minh Ta có = a.0 = a(x+(−x)) = ax+a(−x) Từ ta có a(−x) = −ax Tương tự, = 0x = (a + (−a))x = ax + (−a)x Từ ta có (−a)x = −ax Từ tính chất 1.2 định nghĩa module ta dễ dàng suy tính chất sau: Tính chất 1.3 Với a, b ∈ R với x, y ∈ M ta có a(x − y) = ax − ay; (a − b)x = ax − bx Tương tự không gian vectơ, cho module ta có khái niệm module con, module thương, đồng cấu module, khái niệm độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính, hệ sinh sở Nhưng thay trường K vành R, nên module có sở tính chất khái niệm có thay đổi Chúng ta xem xét vấn đề ĐẠI CƯƠNG VỀ MODULE VÀ ĐỒNG CẤU MODULE 10 1.2 Module Định nghĩa 1.2 Một tập khác rỗng N R−module M gọi module M R−module phép toán M thu hẹp vào N Mệnh đề 1.1 (Điều kiện tương đương) Giả sử M R−module, N tập khác rỗng M Khi N module M hai điều kiện sau thỏa mãn x + y ∈ N với x, y ∈ N ax ∈ N với x ∈ N; a ∈ R Chứng minh Điều kiện cần: Hiển nhiên Điều kiện đủ: Giả sử N tập R−module M thỏa mãn điều kiện (1) (2) Khi với x, y ∈ N có x −y thuộc N suy x − y ∈ N N nhóm nhóm cộng Abel M, nói riêng N nhóm cộng Aben Điều kiện (2) xác định ánh xạ R × N −→ N (a, x) −→ ax Do điều kiện định nghĩa module thỏa mãn M, nên thỏa mãn N Vậy N R−module module M Hệ 1.1 Một phận N = ∅ R−module M module M với a, b ∈ R với x, y ∈ N có ax + by ∈ N Chứng minh Điều kiện cần: Hiển nhiên Điều kiện đủ: Giả sử N ⊂ M thỏa mãn ax + by ∈ N với a, b ∈ R với x, y ∈ N Ta chọn b = ta ax ∈ N, ∀x ∈ N, ∀a ∈ R Ta lại chọn a = b = x + y ∈ N, ∀x, y ∈ N Như điều kiện mệnh đề 1.1 thỏa mãn, nên N module M Ví dụ 1.2 Giả sử M R−module Khi M {0} module M Chúng gọi module tầm thường Vành R xem R−module module R ideal R Nếu M nhóm cộng abel, ta xem Z−module, module M nhóm M Mệnh đề 1.2 Giả sử M R−module {Ni }i∈I họ module M Khi N = Ni module M i∈I MỘT SỐ MODULE ĐẶC BIỆT 118 Ngược lại, giả sử n, m nguyên tố Khi tồn r, s ∈ Z cho nr + ms = Dễ thấy tương ứng sau f : Zn ⊕ Zm −→ Znm (x, y) −→ mx + ny đồng cấu Z−module Hơn f (x, y) = mx + ny nm Từ suy mx + ny chia hết cho n m, ny m mx n Từ giả thiết n, m nguyên tố nên x n y m Vậy (x, y) = (0, 0) nghĩa f đơn cấu Mặt khác với a ∈ Znm tùy ý, ta có f (ar, as) = a Vậy f toàn cấu Từ suy f đẳng cấu ⊲ 2.20 Với y ∈ L tồn x = x1 + x2 ; x1 ∈ N; x2 ∈ P cho y = f (x) = f (x1 ) + f (x2 ) ∈ f (N) + f (P ) Suy L = f (N) + f (P ) Mặt khác y ∈ f (N) ∩ f (P ) tồn x1 ∈ N; x2 ∈ P cho y = f (x1 ) = f (x2 ) suy x1 − x2 = z ∈ Kerf = N ∩ P Do x1 = x2 + z ∈ N ∩ P, suy y = f (x1 ) = Vậy L = f (N) ⊕ f (P ) ⊲ 2.21 • Giả sử đồng cấu ϕ : M −→ M thỏa mãn ϕ(M) = N ϕ(x) = x với x ∈ N ta có ϕ(x) ∈ N với x ∈ M suy ϕ2 (x) = ϕ(ϕ(x)) = ϕ(x) Vậy ϕ2 = ϕ • Nếu đồng cấu ϕ : M −→ M thỏa mãn ϕ2 = ϕ với x ∈ M ta có ϕ(x−ϕ(x)) = ϕ(x)−ϕ2 (x) = 0, suy x−ϕ(x) ∈ Kerϕ, x ∈ Imϕ+Kerϕ Mặt khác với x ∈ Imϕ ∩ Kerϕ ta có x = ϕ(x′ ) ϕ(x) = suy = ϕ(x) = ϕ2 (x′ ) = ϕ(x′ ) = x Vậy M = Imϕ ⊕ Kerϕ ⊲ 2.22 Từ giả thiết (N + P )/P hạng tử trực tiếp M/P suy tồn module L/P M/P cho M/P = L/P ⊕ (N + P )/P Ta có M = L ⊕ N, thật vậy: • Với m ∈ M tồn n ∈ N, p ∈ P, l ∈ L cho m + P = (l + P ) + (n + p + P ) = (l + n) + P =⇒ m − (n + l) = q ∈ P ⊂ L Do m = n + (l + q) ∈ N + L Vậy M = N + L • Với x ∈ N ∩ L ta có x + P ∈ (N + P )/P ∩ L/P = {0} Suy x ∈ P , kết hợp với x ∈ N suy x ∈ N ∩ P = Vậy N ∩ L = 119 4.7 Vành module thương thuộc Q phụ thuộc tuyến tính ⊲ 2.23 Hai phần tử x = pq , y = m n (mq)x − (np)y = Vậy có sở có Z−module Q gồm phần tử Tuy nhiên hệ gồm phần tử Q chẳng hạn { pq } hệ sinh Q = n pq với n ∈ Z Vậy Z−module Q sở q+1 ⊲ 2.24 Mọi x ∈ M có biểu diễn x = x1 + x2 với x1 ∈ M1 ; x2 ∈ M2 Từ ta có ánh xạ: ϕ : M −→ M1 x −→ x1 Dễ thấy ϕ toàn cấu Kerϕ = M2 Suy M1 ∼ = M/M2 Giả sử xi = suy i∈I xi = Do hệ {xi | i ∈ I} độc xi = i∈I i∈I lập tuyến tính nên = với i ∈ I Vậy hệ {xi | i ∈ I} độc lập tuyến tính Giả sử P module M sinh hệ {xi | i ∈ I} • Với x = xi ta có x − xi = i∈I i∈I xi = x′ ∈ N, suy i∈I xi + x′ ∈ N + P x= i∈I Vậy M = N + P • Nếu x ∈ N ∩ P ta có x ∈ N x ∈ P suy x có biểu diễn xi = xi = Do hệ {xi | i ∈ I} x= xi ; ∈ R x = i∈I i∈I i∈I độc lập tuyến tính nên = với i ∈ I suy x = xi = i∈I Vậy M = N ⊕ P ⊲ 2.25 Theo giả thiết M R−module tự với sở S = {xi | i ∈ I} nên ta có M = Rxi ; AM = Axi Xét ánh xạ: i∈I i∈I Rxi −→ ϕ: i∈I Rxi /Axi i∈I (ai xi )i∈I −→ (ai xi + Axi )i∈I Dễ thấy ϕ toàn cấu Vì xi thuộc sở S nên axi ∈ Axi a ∈ A Do Kerϕ = {(ai xi )i∈I | xi ∈ Axi } = {(ai xi )i∈I | ∈ A} = Axi = AM i∈I Từ suy M/AM = Axi ∼ = Rxi / i∈I i∈I Rxi /Axi i∈I MỘT SỐ MODULE ĐẶC BIỆT 120 Do axi ∈ Axi a ∈ A nên có đẳng cấu Rxi /Axi ∼ = R/A, axi + Axi → a + A Từ suy M/AM ∼ = (R/A) ∼ = (R/A)(I) i∈I ⊲ 2.26 Giả sử có dãy khớp R−module tự f g 0→N − →M − → P → Do g toàn cấu nên M/Kerg ∼ = P Suy M/Kerg tự Mặt khác f đơn cấu ∼ nên N = Imf = Kerg, suy M/N module tự Theo tập 2.5 ta có N hạng tử trực tiếp M Từ ta có M∼ = N ⊕ P = N ⊕ M/Imf = N ⊕ M/Kerg ∼ = N ⊕ M/N ∼ Nếu N P có sở {xi }i∈I {yj }j∈J M = N ⊕ P có sở {(xi , 0), (0, yj )}(i,j)∈I×J Vậy ta có r(M) = r(N) + r(P ) Chương ⊲ 3.1 Do F module tự với sở S nên phần tử f ∈ Hom(F, M) hoàn toàn xác định ảnh phần tử S Từ ta có ánh xạ: Φ : Hom(F, M) −→ M (S) xác định f ∈ Hom(F, M) : Φ(f ) = (f (s))s∈S • Φ đồng cấu Φ(af + bg) = ((af + bg)(s))s∈S = (af (s) + bg(s))s∈S = a(f (s))s∈S + b(g(s))s∈S = aΦ(f ) + bΦ(g) • Φ đơn cấu Φ(f ) = f (s) = với s ∈ S Suy f = • Φ toàn cấu với (xs )s∈S ∈ M (S) ta có đồng cấu f :−→ M xác định f (s) = xs với s ∈ S, nghĩa có f ∈ Hom(F, M) thỏa mãn Φ(f ) = (xs )s∈S Vậy ta có đẳng cấu Hom(F, M) ∼ = M (S) n ⊲ 3.2 Giả sử {xi }m i=1 {yj }j=1 tương ứng sở M N Khi ta có M∼ = Rn Áp dụng hệ 3.3 mệnh đề 3.3 ta có đẳng cấu sau: = Rm ; N ∼ nm Hom(M, N) ∼ = Rnm = Hom(Rm , Rn ) ∼ = (Hom(R, R)) ∼ Vậy Hom(M, N) module tự có hạng nm 121 4.7 Vành module thương Nhận xét: Ta chứng minh Hom(M, N) tự có hạng nm cách sở gồm nm phần tử nó, chẳng hạn: ϕij | i = 1, m; j = 1, n ϕij : M −→ N xác định ϕij (xk ) = yj k = i với k = 1, , m k = i n ⊲ 3.3 Nếu {xi }m i=1 hệ sinh M {yj }j=1 hệ sinh N, {(xi ⊗ yj ) | i = 1, m; j = 1, n} hệ sinh M ⊗ N ⊲ 3.4 Do M, N R−module tự với hạng r(M) = m r(n) = n Suy ∼ M = Rm N ∼ = Rn Theo định lý 3.5 ta có M ⊗N ∼ = Rm ⊗ Rn ∼ = Rnm Suy M ⊗ N module tự có hạng nm ⊲ 3.5 Giả sử f : M −→ M ′ g : N −→ N ′ đồng cấu R−module Khi Nếu f g toàn cấu M ′ ⊗ N ′ = f (M) ⊗ g(N) Do x′ ⊗ y ′ ∈ M ′ ⊗ N ′ với x′ ∈ M ′ y ′ ∈ N ′ tồn (x, y) ∈ M ⊗ N cho f (x) = x′ ; g(y) = y ′ Suy (f ⊗ g)(x ⊗ y) = x′ ⊗ y ′ Lại {x ⊗ y | (x, y) ∈ M × N} hệ sinh M ⊗ N nên f ⊗ g toàn cấu Nếu f g đẳng cấu, tồn đồng cấu ngược f −1 : M ′ −→ M g −1 : N ′ −→ N Từ ta có (f −1 ⊗ g −1)(f ⊗ g) = f −1 f ⊗ g −1g = 1M ⊗ 1N = 1M ⊗N (f ⊗ g)(f −1 ⊗ g −1) = f f −1 ⊗ gg −1 = 1′M ⊗ 1N = 1M ′ ⊗N ′ Vậy f ⊗ g đẳng cấu Cách khác: Gọi K module M ⊗ N sinh phần tử x ⊗ y với x ∈ Kerf y ∈ Kerg Khi ta có K ⊂ Ker(f ⊗ g) Do f ⊗ g cảm sinh đồng cấu h : (M ⊗ N)/K −→ M ′ ⊗ N ′ z + K −→ (f ⊗ g)(z) MỘT SỐ MODULE ĐẶC BIỆT 122 Để chứng minh K = Ker(f ⊗ g), ta h đơn cấu Do f, g toàn cấu nên với phần tử (x′ , y ′) ∈ M × N tồn (x, y) ∈ M × N cho f (x) = x′ ; g(y) = y ′ Xét tương ứng k : M ′ × N ′ −→ (M ⊗ N)/K (x′ , y ′ ) −→ (x ⊗ y) + K k ánh xạ Vì có (x1 , y1 ) ∈ M × N thỏa mãn f (x1 ) = x′ ; g(y1) = y ′ x − x1 = x2 ∈ Kerf, y − y1 = y2 ∈ Kerg Do x ⊗ y − x1 ⊗ y1 = x2 ⊗ y1 + x ⊗ y2 ∈ K Dễ thấy k ánh xạ song tuyến tính Theo tính chất phổ dụng tích tenxơ tồn đồng cấu k ∗ : M ′ ⊗ N ′ −→ (M ⊗ N)/K thỏa mãn k ∗ (x′ ⊗ y ′ ) = (x ⊗ y) + K Ta có k ∗ h = 1P với P = (M ⊗N)/K Vậy h đơn cấu, suy Ker(f ⊗g) = K Từ đó, f, g đẳng cấu suy Ker(f ⊗ g) = K = Kết hợp với (f ⊗ g) toàn cấu suy (f ⊗ g) đẳng cấu Xét đơn cấu f : Z −→ Z; n −→ 2n ánh xạ đồng 1Z2 : Z2 −→ Z2 Ta có 1Z2 ⊗ f : Z2 ⊗ Z −→ Z2 ⊗ Z đồng cấu không, nên 1Z2 ⊗ f đơn cấu Z2 ⊗ Z = Ker(1Z2 ⊗ f ) = Mâu thuẫn với Z2 ⊗ Z ∼ = Z2 = ⊲ 3.6 Giả sử M = A ⊕ A′ ; N = B ⊕ B ′ Đặt P = (A ⊗ B) ⊕ (A ⊗ B ′ ) ⊕ (A′ ⊗ B) ⊕ (A′ ⊗ B ′ ) Theo hệ 3.4 tổng trực tiếp tích tenxơ tồn đẳng cấu g : P −→ M⊗N Gọi α : A ⊗ B −→ P phép nhúng tắc, ta có dãy đồng cấu α g A⊗B − →P − → M ⊗ N Với a ⊗ b ∈ A ⊗ B ta có gα(a ⊗ b) = g(a ⊗ b, 0, 0, 0) = (a, 0) ⊗ (b, 0) = i(a) ⊗ j(b) = (i ⊗ j)(a ⊗ b) Do tập phần tử a ⊗ b hệ sinh A ⊗ B nên gα = i ⊗ j Vì gα đơn cấu nên (i ⊗ j) đơn cấu ⊲ 3.7 123 4.7 Vành module thương Theo mệnh đề 3.14 ta có Z ⊗ Q ∼ = Q Gọi A B tương ứng tập phần tử sinh Z ⊗ Q Q ⊗ Q, hiển nhiên ta có A ⊂ B Ngược lại r ⊗ s ∈ B s = pq , với r = m n r⊗s= m np p m p ⊗ = ⊗ =m⊗ ∈ A n q n nq nq Vậy A = B Suy Q ⊗ Q = Z ⊗ Q ∼ = Q Vì f : Z −→ 2Z , n −→ 2n đẳng cấu, nên theo tập 3.5 ta có đẳng cấu Z2 ∼ = Z ⊗ Z2 ∼ = 2Z ⊗ Z2 ⊲ 3.8 Với m n ⊗ ( pq + Z) ∈ Q ⊗ Q/Z ta có p m m m ⊗ ( + Z) = ⊗ (p + Z) = ⊗ = n q nq nq Từ suy Q ⊗ Q/Z = Chứng minh tương tự ⊲ 3.9 Ta có tương ứng f : Zm × Zn −→ Zd (x + mZ, y + nZ) −→ xy + dZ ánh xạ song tuyến tính Theo tính chất phổ dụng tích tenxơ, tồn đồng cấu g : Zm ⊗ Zn −→ Zd cho g((x + mZ) ⊗ (y + nZ)) = xy + dZ Mặt khác dễ kiểm tra đồng cấu sau h : Zd −→ Zm ⊗ Zn z + dZ −→ (1 + mZ) ⊗ (z + nZ) ánh xạ ngược g Từ ta có điều phải chứng minh Còn (m, n) = Đẳng thức Zm ⊗ Zn = hệ đẳng cấu Zm ⊗ Zn ∼ = Zd ⊲ 3.10 Ta có tương ứng f : R/I −→ M/IM (r + I, m) −→ rm + IM ánh xạ,hơn ánh xạ song tuyến tính Theo tính chất phổ dụng tích tenxơ, tồn đồng cấu g : R/I ⊗ M → M/IM thỏa mãn g((r + I) ⊗ m) = rm + IM MỘT SỐ MODULE ĐẶC BIỆT 124 Xét tương ứng h : M/IM −→ R/I ⊗ M m + IM −→ (1 + I) ⊗ m Ta có h ánh xạ, thật vậy, m + IM = n + IM m − n ∈ IM nên có dạng m − n = s ri mi với ri ∈ I, mi ∈ M Suy i=1 s (1 + I) ⊗ m = (1 + I) ⊗ ri mi n+ i=1 s = (1 + I) ⊗ n + (ri + I) ⊗ mi i=1 = (1 + I) ⊗ n Vậy h ánh xạ Dễ thấy h ánh xạ ngược g Do R/I ⊗ M ∼ = M/IM Ta có M/IM ⊗R/I N/IN ∼ = M ⊗R (R/I ⊗R/I N/IN) = (M ⊗R R/I) ⊗R/I N/IN ∼ ∼ = M ⊗R N/IN ∼ = M ⊗R (N ⊗R R/I) ∼ = (M ⊗R N)/I(M ⊗R N) = (M ⊗R N) ⊗R R/I ∼ ⊲ 3.11 Giả sử có dãy khớp ngắn chẻ f g 0→M − →N − → P → Khi đồng cấu f có nghịch đảo trái h : N → M thỏa mãn hf = 1M Từ ta có: (1X ⊗ h)(1X ⊗ f ) = 1X ⊗ (hf ) = 1X ⊗ 1M = 1X⊗M Suy 1X ⊗ f đơn cấu Từ ta có dãy khớp: 1X ⊗f 1X ⊗g −→ X ⊗ M −−−→ X ⊗ N −−−→ X ⊗ P −→ Lại từ 1X ⊗ f có nghịch đảo trái 1X ⊗ h nên dãy khớp chẻ ⊲ 3.12 Theo tập 3.2 3.4 Hom(M ⊗ N, M ⊗ P ) Hom(M, N) ⊗ Hom(M, P ) module tự hạng r(M)r(N)r(M)r(P ) Vậy chúng đẳng cấu với 125 4.7 Vành module thương Chương ⊲ 4.1 Do gh = dòng khớp nên Imh ⊂ Kerg = Imf Suy với x ∈ P tồn a ∈ A cho f (a) = h(x) Từ ta xác định đồng cấu h1 : P −→ Imf x −→ h1 (x) = h(x) Mặt khác f cảm sinh toàn cấu f1 : A −→ Imf a −→ f1 (a) = f (a) Nếu gọi j : Imf → B phép nhúng tắc, ta có biểu đồ đồng cấu f1 P  h j g A −−−→ Imf −−−→ B −−−→ C Do P xạ ảnh, nên tồn tạo đồng cấu k : P → A cho h1 = f1 k Từ suy f k(x) = f1 k(x) = h1 (x) = h(x) với x ∈ P Vậy f k = h ⊲ 4.2 Đặt h′ = ϕh xét sơ đồ đồng cấu P   h′ f g A −−−→ B −−−→ C Do giả thiết hình vuông (1) giao hoán kh = 0, nên gh′ = gϕh = ψkh = Áp dụng 4.1 suy tồn đồng cấu γ : P → A cho f ψ = h′ = ϕh ⊲ 4.3 Ta biết module xạ ảnh đẳng cấu với hạng tử trực tiếp module tự Mặt khác module tự không xoắn (xem tập 2.8), module không xoắn hạng tử trực tiếp không xoắn (xem tập 2.1), suy module xạ ảnh không xoắn Ngược lại module miền nguyên không xoắn không xạ ảnh chẳng hạn Z−module Q không xoắn không xạ ảnh, thật vậy, module module tự vành module tự do, nên module xạ ảnh vành module tự Mặt khác Q không Z−module tự (xem tập 2.23) Vậy Q không Z−module xạ ảnh MỘT SỐ MODULE ĐẶC BIỆT 126 ⊲ 4.4 Xét biểu đồ đồng cấu R−module h′ g′ ✲ j ✲ ✟✟ ✟ ✟ k ✟✟ ✟ ✟ ✟✟ ✟ ❄✟ ✙ B/Kerg Img C N Trong đồng cấu xác định sau: • h′ : B/Kerg → N xác định h′ (b + Kerg) = h(b) h′ ánh xạ b + Kerg = b′ + Kerg, giả thiết Imf = Kerg nên tồn a ∈ A cho b = b′ + f (a) suy h(b) = h(b′ + f (a)) = h(b′ ) + hf (a) = h(b′ ) Do h đồng cấu nên h′ đồng cấu • g ′ đẳng cấu cảm sinh từ đồng cấu g cho g ′(b + Kerg) = g(b) • j phép nhúng tắc Img vào C • Do N nội xạ jg ′ đơn cấu, nên tồn đồng cấu k : C → N cho kjg ′ = h′ Đồng cấu k vừa xác định đồng cấu cần tìm, h(b) = h′ (b + Kerg) = kjg ′ (b + Kerg) = kjg(b) = kg(b) với b ∈ B Vậy kg = h ⊲ 4.5 Đặt h′ = kψ xét sơ đồ đồng cấu A f ✲ B g ✲ C h′ ❄ N Do giả thiết hình vuông (1) giao hoán nên ψf = hϕ suy h′ f = kψf = khϕ = Theo 4.4 tồn đồng cấu γ : C → N cho γg = h′ = kψ, nghĩa hình vuông (2) giao hoán ⊲ 4.6 Điều kiện cần: Hiển nhiên theo định nghĩa module xạ ảnh Điều kiện đủ: Giả sử có dãy khớp ngắn: f g −−−→ A −−−→ B −−−→ P −−−→ 127 4.7 Vành module thương Ta có P xạ ảnh g có nghịch đảo phải Vì g toàn cấu nên có đẳng cấu ϕ′ : P −→ B/Kerg c −→ bc + Kerg với bc ∈ g −1(c) Gọi N(B) module nội xạ nhận B module i : B → N(B) phép nhúng tắc Định nghĩa ánh xạ ϕ : P −→ N(B)/Kerg c −→ bc + Kerg ϕ ϕ′ khác tập đích Do ϕ′ đẳng cấu nên ϕ đơn cấu Gọi p : N(B) → N(B)/Kerg toàn cấu tắc, ta có biểu đồ g ✲ P ✑ ✑ ψ′ ✑ ϕ i ✑ ✑ ✰ ❄ ✑ ❄ p ✲ N(B)/Kerg N(B) B Do N(B) nội xạ nên theo giả thiết tồn đồng cấu ψ ′ : P → N(B) cho ϕ = pψ ′ Ta có ϕ′ (c) = bc + Kerg = ϕ(c) = pψ ′ (c) = ψ ′ (c) + Kerg Suy ψ ′ (c) = bc + xc với xc ∈ Kerg Từ ta có ψ ′ (c) = bc + xc ∈ B Vậy Imψ ′ ∈ B Xét đồng cấu ψ : P → B xác định ψ(c) = ψ ′ (c), ta có gψ(c) = gψ ′(c) = g(bc + xc ) = g(bc ) + g(xc ) = g(bc ) = c Suy gψ = 1P , g có nghịch đảo phải Vậy P xạ ảnh ⊲ 4.7 Điều kiện cần hiển nhiên Điều kiện đủ: Xét dãy khớp ngắn dạng: f g 0→N − →U − → V → Để chứng minh N nội xạ ta chứng minh đồng cấu f có nghịch đảo phải Gọi F (U) F (N) R−module tự với sở tương ứng U N Khi ánh xạ đồng 1U : U → U 1N : N → N mở rộng thành đồng cấu fU : F (U) → U; fN : F (N) → N Xét biểu đồ đồng cấu h F (N) −−−→ F (U)   f f N −−−→ N U f −−−→ U g −−−→ V −−−→ MỘT SỐ MODULE ĐẶC BIỆT 128 Trong h đồng cấu xác định h(x) = f (x), (h xác định F (N) module tự do) Dễ dàng kiểm tra h đơn cấu Vì F (U) tự nên F (U) xạ ảnh, theo giả thiết tồn đồng cấu ϕ : F (U) → N cho f ϕ = fU Từ xác định đồng cấu t = ϕ|U : U → N thỏa mãn tf = 1N Vậy N module nội xạ ⊲ 4.8 Vì module xạ ảnh đẳng cấu với hạng tử trực tiếp module tự Hơn module tự module phẳng nên module xạ ảnh module phẳng ⊲ 4.9 Giả sử M N R−module phẳng Khi với đơn cấu R−module f : P → Q, ta có đơn cấu 1M ⊗ (1N ⊗ f ) : M ⊗ (N ⊗ P ) −→ M ⊗ (N ⊗ Q) Ngoài ta có đẳng cấu ϕ : M ⊗ (N ⊗ P ) −→ (M ⊗ N) ⊗ P ; ψ : M ⊗ (N ⊗ Q) −→ (M ⊗ N) ⊗ Q Dễ dàng kiểm tra biểu đồ sau giao hoán 1M ⊗(1N ⊗f ) M ⊗ (N ⊗ P ) −−−−−−−→ M ⊗ (N ⊗ Q)    ψ ϕ 1M ⊗N ⊗f (M ⊗ N) ⊗ P −−−−−−→ (M ⊗ N) ⊗ Q Từ suy 1M ⊗N ⊗ f đơn cấu Vậy M ⊗ N module phẳng ⊲ 4.10 Xét đồng cấu f∗ = 1M ⊗ f : M ⊗ N −→ M ⊗ P, ta có z ∈ Im(1M ⊗ f ) tồn t = n (xi ⊗ yi ) ∈ M ⊗ N cho i=1 n z = f∗ (t) = (1M ⊗ f ) n (xi ⊗ yi ) (xi ⊗ f (yi )) ∈ M ⊗ Imf = i=1 i=1 Vậy ta có Im(1M ⊗ f ) = M ⊗ Imf Xét đồng cấu g : N → Imf xác định g(n) = f (n) với n ∈ N, gọi i : Imf → P phép nhúng tắc Ta có f = ig suy 1M ⊗ f = (1M ⊗ i)(1M ⊗ g) Vì 1M ⊗ i đơn cấu nên Ker(1M ⊗ f ) = Ker(1M ⊗ g) Ký hiệu j : Kerf → N phép nhúng tắc ta có dãy khớp sau j g −−−→ Kerf −−−→ N −−−→ Imf −−−→ 129 4.7 Vành module thương Do M module phẳng nên dãy sau khớp ⊗j ⊗g M M −−−→ M ⊗ Kerf −− −→ M ⊗ N −− −→ M ⊗ Imf −−−→ Từ suy M ⊗ Kerf = M ⊗ Imj = Im(1M ⊗ j) = Ker(1M ⊗ g) Vậy Ker(1M ⊗ f ) = M ⊗ Kerf ⊲ 4.11 Chỉ cần chứng minh phần tử sinh M ⊗ N xoắn (xem tập 1.8) Điều dễ dàng kiểm tra nhờ đẳng thức λ(x ⊗ y) = λx ⊗ y = x ⊗ λy với λ ∈ R, x ∈ M, y ∈ N ⊲ 4.12 Nếu M R−module hạng n ta có đẳng cấu Hom(M, N) ∼ = (Hom(R, N))n ∼ = N n Từ dễ dàng suy điều phải chứng minh ⊲ 4.13 Vì Q/Z Z−module chia nên theo định lý 4.7 ta HomZ (R, Q/Z) R−module nội xạ ⊲ 4.14 Kết suy từ đẳng cấu I HomZ (M, Q/Z) ∼ = (HomZ (R, Q/Z)) = HomZ (R(I) , Q/Z) ∼ ⊲ 4.15 Nếu M R−module xạ ảnh tồn R−module N cho M ⊕N module tự Áp dụng 4.14 định lý 4.3 suy điều phải chứng minh ⊲ 4.16 Nếu Q Z−module xạ ảnh tồn Z−module P cho Q ⊕ P module tự Vì Z vành nên Q tự do, mâu thuẫn (xem tập 2.23) ⊲ 4.17 Giả sử S = {xi | i ∈ I} hệ sinh M Nếu phần tử sinh xi chia phần tử x = xi ∈ M với ∈ R i∈I không hầu hết trừ số hữu hạn, chia được, với = λ ∈ R tồn yi ∈ M cho xi = λyi với i ∈ I Đặt y = yi ta có i∈I x = λy Kết suy từ đẳng thức λ(x ⊗ y) = λx ⊗ y = x ⊗ λy ⊲ 4.18 Áp dụng đẳng cấu Hom(R, N) ∼ =N I Hom(M, N) ∼ = NI = Hom(R(I) , N) ∼ = (Hom(R, N)) ∼ Với tập số I ⊲ 4.19 Theo bổ đề 4.1 ta có J ideal S −1 R tồn ideal I R cho J = S −1 I Hơn I = {a ∈ R | a/1 ∈ J} MỘT SỐ MODULE ĐẶC BIỆT 130 • Nếu J ideal nguyên tố, I = f −1 (J), với f : R → S −1 R đồng cấu tự nhiên, nên I ideal nguyên tố R Nếu I ∩ S = ∅ tồn r ∈ I ∩ S Khi r/1 ∈ J khả nghịch, mâu thuẫn với J nguyên tố Vậy I ∩ S = ∅ • Ngược lại I ideal nguyên tố R không giao với S J = S −1 I = S −1 R Mặt khác (a/r)(b/s) ∈ J suy ab/1 = (rs/1)(ab/rs) ∈ J Theo cách xác định I ta có ab ∈ I Do I nguyên tố nên a ∈ I b ∈ I suy a/r ∈ J b/s ∈ J Vậy J ideal nguyên tố S −1 R • Ta có ánh xạ ϕ : Spec(R)∗ → Spec(S −1 R), xác định ϕ(I) = S −1 I song ánh ⊲ 4.20 Kiểm tra tương ứng sau h : S −1 A −→ B a/s −→ g(a)g(s)−1 đồng cấu thỏa mãn yêu cầu đặt ⊲ 4.21 Xét tương ứng ϕ : S −1 R −→ S −1 (R/I) a/s −→ a/s Nếu a/s = b/r tồn t ∈ S cho t(ar − bs) = suy t(ar − bs) = 0, a/s = b/r Vậy ϕ ánh xạ Dễ dàng kiểm tra ϕ toàn cấu có Kerϕ = S −1 I Từ suy đẳng cấu cần chứng minh ⊲ 4.22 Ta có S −1 f ánh xạ Thật vậy, x/s = y/t ∈ S −1 M tồn r ∈ S cho r(tx − sy) = Ta có = f (r(tx − sy)) = r(tf (x) − sf (y)) tức f (x)/s = f (y)/t ∈ S −1 N Dễ dàng kiểm tra S −1 f đồng cấu S −1 R−module Giả sử có dãy khớp f g M −−−→ N −−−→ P Vì gf = nên S −1 gS −1f = S −1 gf = suy ImS −1 f ⊂ KerS −1 g Đảo lại, x/s ∈ KerS −1 g S −1 g(x/s) = g(x)/s = suy tồn t ∈ S cho tg(x) = Khi g(tx) = 0, hay tx ∈ Kerg = Imf Viết tx = f (y) với y ∈ M, ta x/s = tx/ts = f (y)/ts = S −1 f (y/ts) Suy x/s ∈ ImS −1 f Suy dãy sau khớp S −1 f S −1 g S −1 M −−−→ S −1 N −−−→ S −1 P 131 4.7 Vành module thương ⊲ 4.23 Từ dãy khớp p i −−−→ N −−−→ M −−−→ P −−−→ theo 4.22 ta có dãy khớp S −1 p S −1 i −−−→ S −1 N −−−→ S −1 M −−−→ S −1 P −−−→ Từ suy điều phải chứng minh Nhận xét ta thực tương tự tập 4.21 nhận đẳng cấu cần chứng minh ⊲ 4.24 Suy từ Bổ đề 4.1 Định lý 4.9 ⊲ 4.25 Áp dụng tập 4.25 hệ 4.6 ⊲ 4.26 Giả sử f : M → N đơn cấu R−module Khi ánh xạ S −1 f : S −1 M → S −1 N đơn cấu Dựa vào tính chất phổ dụng tích tenxơ ta xây dựng đẳng cấu ϕ : S −1 R ⊗R M −→ S −1 M thỏa mãn ϕ(a/s ⊗ x) = ax/s đẳng cấu tương tự ψ : S −1 R ⊗R N −→ S −1 N Mặt khác dễ kiểm tra hình vuông sau giao hoán −1 ⊗f s R S −1 R ⊗ M −− −− −→ S −1 R ⊗ N   ψ  ϕ S −1 M S −1 f −−−−−→ S −1 N Từ suy điều phải chứng minh —————————————————————————————————— Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận, Cơ sở lý thuyết môđun vành, NXB Giáo dục, 2001 [2] Dương Quốc Việt, Cơ sở lí thuyết module, NXB Đại học Sư Phạm, 2008 [3] Robert B Ash, A course in Commutative Algebra, 2003 [4] S.T Hu, Nhập môn đại số đồng điều, NXB ĐHTHCN, 1975 [5] M F Atiyah and I G Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969 [6] Ngô Thúc Lanh, Đại số số học (tập 4), NXBGD, 1983 132 [...]... tất cả các phần tử xoắn của M, thì M là module xoắn khi và chỉ khi τ (M) = M và M là module không xoắn khi và chỉ khi τ (M) = 0 Ví dụ 1.3 1 Z module Z là module không xoắn 2 Z module Zn là module xoắn 3 Mọi module con của module xoắn (không xoắn) đều là module xoắn (không xoắn) ĐẠI CƯƠNG VỀ MODULE VÀ ĐỒNG CẤU MODULE 14 Chú ý rằng, khái niệm "module xoắn" và "module không xoắn" không phải là hai khái... ra dưới đây được xét với vành cơ sở luôn giao hoán và có đơn vị 1 = 0 ⊲ 1.1 Cho R là một vành, M là một Z module và HomZ (M, M) là vành các tự đồng cấu của nhóm cộng aben M Chứng minh rằng M là R module khi và chỉ khi tồn tại một đồng cấu vành ϕ : R −→ HomZ (M, M) sao cho ϕ(1) = 1M ⊲ 1.2 Chứng minh rằng trong 8 tiên đề của định nghĩa module, gồm 4 tiên đề về nhóm cộng giao hoán và 4 tiên đề (M1 ) −... TIẾP, MODULE TỰ DO, DÃY KHỚP Trong lí thuyết module có hai hướng nghiên cứu là phân tích các module cho trước thành các module con đặc biệt đơn giản hơn để từ đó khảo sát, nghiên cứu Hướng thứ hai là xây dựng các module mới từ hệ các module đã cho mà tổng và tích trực tiếp là các module như vậy, chúng có khả năng biến một hệ các module cho trước tùy ý thành một hệ các module con của cùng một module. .. với phép nhân với vô hướng như trên là một R module Module M/N được gọi là module thương của M trên N Phần tử x + N ∈ M/N thường được ký hiệu bởi x 1.4 Module xoắn Định nghĩa 1.5 Cho R là một miền nguyên, M là R module Phần tử x ∈ M được gọi là phần tử xoắn nếu tồn tại λ ∈ R − {0} sao cho λx = 0 Module M gọi là module xoắn nếu mọi phần tử của M đều là phần tử xoắn M gọi là module không xoắn nếu M không... −→ N là một đồng cấu module Khi đó ta luôn có M/Kerf ∼ = Imf Định lý 1.7 (Tính chất phổ dụng của module thương) Giả sử N là module con của module M và p : M −→ M/N là toàn cấu chính tắc Khi đó với mỗi đồng cấu f : M −→ P sao cho N ⊆ Kerf, thì tồn tại duy nhất một đồng cấu h : M/N −→ P sao cho f = hp Nghĩa là biểu đồ sau là giao hoán f M p P h M/N ĐẠI CƯƠNG VỀ MODULE VÀ ĐỒNG CẤU MODULE 20 Chứng minh... ax + by ∈ Nk hay là ax + by ∈ N Vậy N là module con của M Nhận xét 1.1 Giả sử M là R module, S là một bộ phận của M Khi đó có ít nhất một module con của M chứa S chẳng hạn là M Theo mệnh đề 2.2 thì giao của tất cả các module con của M chứa S là module con bé nhất của M chứa S Định nghĩa 1.3 Giao của tất cả các module con của M chứa tập con S của M được gọi là module con của M sinh bởi S và được kí hiệu... và suy ra L = 0, hay N = Imf Vậy f là toàn cấu Định lý 1.5 (Định lý đồng cấu tổng quát) Giả sử M, N, L là các R module và f : L −→ M, g : L −→ N là các R−đồng cấu module, trong đó f là toàn cấu Khi đó 1 Tồn tại duy nhất đồng cấu h : M −→ N sao cho biểu đồ sau là giao hoán f L g M h N (Nghĩa là g = hf ) nếu và chỉ nếu Kerf ⊆ Kerg Khi biểu đồ trên giao hoán ta còn có hai điều tương đương sau 2 h là đơn... do đó S là cơ sở của M TÍCH VÀ TỔNG TRỰC TIẾP, MODULE TỰ DO, DÃY KHỚP 36 Ví dụ 2.2 1 R module R là một module tự do với cơ sở S = {1} 2 Z module Zn , với n > 1 không có cơ sử vì mọi tập con S = ∅ của nó đều phụ thuộc tuyến tính, do với ∀x ∈ S đều có nx = 0 Vậy Z module Zn không là module tự do 3 Module 0 có cơ sở là tập rồng ∅ nên là module tự do 4 Z module Q không có cơ sở Thật vậy, mọi tập gồm hai... M và nó không chứa trong một module con thực sự nào của M Chứng minh rằng mỗi R module M = 0 hữu hạn sinh đều chứa ít nhất một module con tối đại ⊲ 1.19 Giả sử M là một R− module và N là module con thực sự của M Chứng minh rằng với mỗi a ∈ M \ N luôn tồn tại module con tối đại P của M chứa N mà không chứa a ⊲ 1.20 Chứng minh rằng trong Z module Q các số hữu tỷ không có module con tối đại ⊲ 1.21 Giả...11 1.2 Module con Chứng minh Ta có 0 ∈ Ni với ∀i ∈ I nên 0 ∈ Ni = N, vậy N = ∅ Mặt khác i∈I với mọi x, y ∈ N có x, y ∈ Ni ; ∀i ∈ I, do Ni là module con của M nên với mọi a, b ∈ R ta có ax + by ∈ Ni , ∀i ∈ I suy ra ax + by ∈ Ni = N Vậy N là module i∈I con của M Chú ý 1.1 Nói chung hợp của các module con của R module M không là một module con của M, chẳng hạn trong Z module Z, hợp của hai module con ... Chương Đại cương module đồng cấu module, chương trình bày khái niệm tính chất module, module con, module thương, tổng giao module con, hệ sinh, module xoắn, đồng cấu định lý đẳng cấu module Chương... ĐẠI CƯƠNG VỀ MODULE VÀ ĐỒNG CẤU MODULE Chương trình bày khái niệm tính chất module, module con, module thương, tổng giao module con, hệ sinh, module xoắn, đồng cấu định lý đẳng cấu module 1.1 Định... 1.3 Z module Z module không xoắn Z module Zn module xoắn Mọi module module xoắn (không xoắn) module xoắn (không xoắn) ĐẠI CƯƠNG VỀ MODULE VÀ ĐỒNG CẤU MODULE 14 Chú ý rằng, khái niệm "module