NGUYỄN BẢO VƢƠNG CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC TẬP HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC – KHOẢNG CÁCH GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 Facebook: https://web.facebook.com/phong.baovuong Page: https://web.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Website: http://tailieutoanhoc.vn/ Email: baovuong7279@gmail.com tailieutoanhoc7279@gmail.com 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC] MỤC LỤC HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC A CHUẨN KIẾN T HỨC B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài toán 01: TÍNH GÓC GI ỮA HAI MẶT PHẲNG .4 Bài toán 02: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC .9 Bài toán 03: ỨNG DỤNG CÔNG THỨC HÌNH CHIẾU 12 Bài toán 01: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CHỨA MỘT ĐƢỜNG THẲNG VÀ VUÔNG GÓC VỚI MỘT MẶT PHẲNG 15 KHOẢNG CÁCH 18 A CHUẨN KIẾN T HỨC 18 B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP 19 Bài toán 01: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM M ĐẾN ĐƢỜNG THẲNG Δ 19 Bài toán 02: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG 21 Bài toán 03: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƢỜNG THẲNG CHÉO NHAU 26 Bài toán 03: ỨNG DỤNG PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƢỜNG THẲNG CHÉO NHAU 39 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 41 TÀI LIỆU CÓ THAM KHẢO TỪ SÁCH CỦA “NGUYỄN PHÚ KHÁNH” GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | TÀI LIỆU CÓ THAM KHẢO TỪ SÁCH CỦA “NGUYỄN PHÚ KHÁNH” NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC] HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC A CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA Góc hai mặt phẳng Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng với hai mặt phẳng  a   P    P  ,  Q    a,b    b   Q    Nếu hai mặt phẳng song song trùng ta nói góc hai mặt phẳng 00 Diện tích hình chiếu S'  S cosφ Trong S diện tích đa giác nằm  P  , S' diện tích đa giác nằm  Q  φ góc  P   Q  Hai mặt phẳng vuông góc 2.1 Định nghĩa Q P Hai mặt phẳng vuông góc với góc chúng 900  P    Q   P  ,  Q  90 2.2 Tính chất  R Hai mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng có đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  a   P   P  Q  a  Q      Nếu hai mặt phẳng vuông góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vuông góc với giao tyến vuông góc với mặt phẳng  P    Q   a   P   a  Q  b   P    Q  a  b  P a Q b GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]  Cho hai mặt phẳng  P   Q  vuông góc với Nếu từ điểm thuộc mặt phẳng  P  dựng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  Q  đường thẳng nằn  P  A   P    P    Q   a   P   A  a   Q   Nếu hai mặt phẳng cắt vuông góc với mặt phẳng giao tuyến chúng vuông góc với mặt phẳng  P    R    Δ  R   Q    R    P    Q   Δ Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật    Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với hai mặt đáy Các mặt bên hình chữ nhật Các mặt bên vuông góc với hai đáy Lăng trụ đứng có đáy đa giác gọi lăng trụ Hình hộp chữ nhật hình lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật Tất mặt hình chữ nhật Đường chéo d  a2  b2  c2 với a,b,c ba kích thước Hình lập phương hình hộp chữ nhật có đáy mặt bên hình vuông S Hình chóp hình chóp cụt   - Hình chóp hình chóp có đáy đa giác chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy Các cạnh bên hình chóp tạo với đáy góc Các mặt bên hình chóp tam giác cân Các mặt bên hình chóp tạo với đáy góc Phần hình chóp nằm đáy thiết diện song song với đáy cắt tất cạnh bên hình chóp gọi hình chóp cụt Hai đáy hình chóp cụt hai đa giác đồng dạng C D O D' A A' BC' O' B' C D O A B GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC] B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài toán 01: TÍNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Phƣơng pháp: Để tính góc hai mặt phẳng  α  β  ta thực theo cách sau: Cách Tìm hai đường thẳng a,b vuông góc với hai mặt phẳng  α  β  Khi góc hai đường thẳng a,b góc hai mặt phẳng  α  β   a   α    α  , β    a,b   b  β       Cách Tìm hai vec tơ n1 ,n có giá vuông góc với  α  β  góc hai mặt phẳng α β  xác định cos φ  n1 n n1 n Cách Sử dụng công thức hình chiếu S'  S cosφ , từ để tính cos φ ta cần tính S S' Cách Xác định cụ thể góc hai mặt phẳng sử dụng hệ thức lượng tam giác để tính Ta thường xác định góc hai mặt phẳng theo hai cách sau: a)  Tìm giao tuyến Δ   α   β  Chọn mặt phẳng  γ   Δ  Tìm giao tuyến a   γ    α , b   γ  β   α  ,β  a,b α β a γ b p q b)  Tìm giao tuyến Δ   α   β  Lấy M  β  Dựng hình chiếu H M  α   Dựng HN  Δ  MN  Δ β M Phương pháp có nghĩa tìm hai đường thẳng nằm hai mặt phẳng  α  , β  vuông góc với giao tuyến Δ điểm giao tuyến φ α H N Các ví dụ GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC] Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB  a,AD a Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA  a a) Góc hai mặt phẳng  SCD   ABCD  b) Góc hai mặt phẳng  SBC   SAD  S d Lời giải a) Ta có  SCD   ABCD  CD β CD  SA  CB   SAD   CD  AD α A  SAD   ABCD  AD,  SAD  SCD  SD B     SCD  ,  ABCD    DA,SD   SDA  φ tan φ  D C SA a    φ  300 AD a 3 AD   SAD   b) Ta có  BC   SBC    SAD    SBC   d  AD BC SA  d  SA  d , Vì  d AD AD BC d AD  d  AB nên  SAB   d  AD  AD  SAB   SBC  SB,  SAB   SAD  SA  SAD suy ASB góc hai mặt phẳng  SBC  Tam giác ASB vuông cân A nên ASB  450 Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' Tính góc hai mặt phẳng  A' BC   A'CD  Lời giải Cách Ta có  A'BC   A'CD  A'C Gọi O tâm hình vuông ABCD H hình chiếu vuông góc O A'C  BD  AC  BD   ACA'   BD  A'C Do   BD  AA' GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC] A'C  OH Vậy   A'C   BDH A'C  BD A'  BDH   A'CD  HD,  BDH   A'BC  BH    A'BC  ,  A'BD     HB,HD  B'   Tương tự DH  a C' H A D O Tam giác BCA' vuông B có đường cao BH , 1 1    2 BH BA' BC a D' B C    BH  a a 2a 2a 2a   2a HB  HD  BD 3 Áp dụng định lí côsin cho ΔHBD ta có cos BHD    2HB.HD 2a  BHD  1200 Vậy 2  A' BC , A' BD   HB,HD  60 Cách Gọi H  A'C   BDC'  , mặt chéo  BDC'  ứng với đường chéo A'C nên  BDC'   A'C Vậy góc hai đường thẳng HB,HD góc hai mặt phẳng  A' BC   A'CD  Do CB  CD  CC'  HB  HD  HC' BD  BC'  DC'  a suy H la tâm tam giác C' BD  BHD 1200 Vậy  A' BC , A' BD   HB,HD  60 AB'  A' B  AB'   A' BC  Cách 3: Do  AB'  BC Tương tự AD'   A'CD nên  A'BC , A'BD   AB',AD'  60 ( ΔAB'D' đều) Ví dụ Cho tứ diện ABCD có AB  b,AC  c,AD d đôi vuông góc Gọi α,β,γ góc mặt phẳng  BCD  với mặt phẳng  ACD ,  ABD ,  ABC a)Chứng minh cos2 α  cos2 β  cos2 γ  b) Tính S BCD theo α  300 ,β  450 ,γ  600 Lời giải a) Cách GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC] Kẻ đường cao AH tam giác ACD , AB  AC  AB   ACD   AB  CD  AB  AD B Vậy  ABH  CD CD giao tuyến hai mặt phẳng  ACD   BCD  nên α  AHB Ta có D A AB b 1 1 , mà tanα       nên 2 AH AH AH AC AD c d tanα  H C b c  d2 cd Mặt khác  tan α  α c 2d  cos2α  2 2 cos α b c  c d  d2 b2 Tương tự ta có : cos2β  b2d b2 c 2 , cos γ  b2 c  c 2d2  d2 b2 b2 c  c 2d  d b2 Từ suy cos2 α  cos2 β  cos2 γ  Cách Gọi H hình chiếu A  BCD  I trung điểm CD Đặt AB  b,AC  c, AD d b  b, c  c, d d    BH.BI  BA2  b2 2 BH b c  d  2   k Dễ thấy AH   BCD  cd 2 IH c d IH.IB  IA  c  d2  Suy AH  AH   k IC AC2 c d2 c2 AB  AI , mà    AI  AC  CD nên 1 k 1 k ID AD2 d2 c  d2 c  d2  d2  c 2d2 b2 c  d2 b2 c2 AB  AC  AB   2 2 2 2 2 2 2 2 b c c d d b b c c d d b c d c d  c 2d2 d2 b2 b2 c b  c  d b2 c  c 2d2  d2 b2 b2 c  c 2d2  d2 b2 b2 c  c 2d2  d2 b2 Lại có b,c,d vec tơ vuông góc với mặt phẳng  ACD ,  ABD ,  ACB Từ ta có: b2 c 2d2 b.AH 2 2 2 cd cosα   b c c d d b  2 2 2 2 b AH b c c d d b b c  c 2d2  d2 b2 b 2 bcd GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC] Tương tự : cosβ  c.AH  b AH bd b c c d d b 2 2 2 ,cosγ  d.AH b AH  bc b c  c d2  d2 b2 2 Suy cos2 α  cos2 β  cos2 γ  b) Sử dụng công thức hình chiếu A Gọi H hình chiếu A  BCD  Trước tiên ta chứng minh tam giác BCD nhọn Không giảm tổng quát, giả sử B lớn Ta có CD2  AC2  AD2  c2  d2 B D H Tương tự CB2  b2  c2 ,DB2  b2  d2 Áp dụng định lí côsin cho ΔBCD ta có cos B  b  2      b  c  b  d   c  b2  d2  c  d2 b C BC2  BD2  CD2 2BC.BD 2  I 2 2b2   c b2  d2    B nhọn, hay tam giác BCD nhọn AH  CD  BH  CD , tương tự ta có CH  BD từ suy H trực tâm ΔBCD , mà Ta có  AB  CD ΔBCD nhọn nên H thuộc miền tam giác BCD Do SBCD  SHBC  SHBD  SHCD  SABC cos γ  SABD cosβ  SACD cosα 1 bc  2bd  3cd  bccos600  bdcos450  cdcos300  2 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AB  2a ; cạnh bên SA vuông góc với đáy SA  a a) Tính góc hai mặt phẳng  SAD   SBC  b) Tính góc hai mặt phẳng  SBC   SCD  Lời giải  BD  AD  BD   SAD   BD  SI Dựng DE  SI,E  SI a) Gọi I  AD  BC SI   SAD   SBC    BD  SA  BDE   SI Do BED góc hai mặt phẳng  SAD   SBC  GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC] Do đáy ABCD nửa lục giác nên IAB  IBA  600  ΔIBA Vì AI  AB  2a , SI  SA2  AI  Dễ thấy ΔSAI ΔDEI  a    2a  2 a DE DI a SA     DE  a SA SI a 7 7 BD   SAD  BD  DE Trong tam giác vuông BDE ta có tan BED  Vậy BD a    BED  arctan DE a S  SAD , SBC  arctan b) Dựng AP  SH,P  SH Q Do CD   SAH  AP  CD  AP   SCD Tương tự, dựng AQ  SC,Q  SC AQ   SBC    Do PAQ   SBC  ,  SCD     AP  a A B E H D Trong tam giác SAH ta có : 1 1    AP AS AH2 a P C I  a       3a SA a Dễ thấy ΔSAC vuông cân A nên AQ  SC   2 AP   SCD  AP  PQ a AP  10  APQ  arccos 10  Trong ΔAPQ có cos APQ  AQ a 5 Vậy  SBC , SCD  arccos 10 Bài toán 02: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC Phƣơng pháp: Để chứng minh hai mặt phẳng  α  β  vuông góc với ta dùng cách sau: GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC] Các ví dụ Ví dụ Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi M,N trung điểm AB CD Tính khoảng cách hai đường thẳng BN CM Lời giải Gọi H tâm tam giác BCD AH   BCD Gọi  α  A A' mặt phẳng qua N song song với AH  α   BN Xét phép chiếu vuông góc lên  α  , gọi A',B',C',D',H',M',N' ảnh M A,B,C,D,H,M,N B'  N'  H'  N , C'  C,D'  D M' Ta có d  CM,CD  d  N,CM'  D B a 3 2a a , AH  AB2  BH2  a2   BH  BN     a  3 3   H N C 1 a NM'  AH  a  2 Tam giác NCM' vuông N nên 1 1 10 a 10       d  N,CM'   2 2 d  N,CM'  CN NM' 10 a a  a  2      6 Vậy d  CM,BN  d N,CM'   a 10 10 Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a Gọi M,N trung điểm AB B'C' Tính khoảng cách hai đường thẳng AN DM Lời giải Gọi E trung điểm BC Dễ thấy ΔADM  ΔBAE nên AMD  AEB , mà AEB  BAE  900  AMD  BAE  900 M A  DM  AE Lại có EN   ABCD  EN  DM  AEN  DM I I K D Xét phép chiếu vuông góc lên  ANE  , ta có AN hình C B E A' B' chiếu nên N d  DM,AN   d  I,AN  D' C' GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 40 VUÔNG GÓC NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC] Gọi K hình chiếu cuả I AN d  I,AN   IK Ta có ΔAKI ΔAEN , suy IK AI AI.EN   IK  EN AN AN AN2  AE2  EN2  AB2  BE2  EN2  1 9a 3a  AN  1 1 a       AI  2 AI AD AM a a a Thay vào  1 ta IK  Vậy d  DM,AN   2a 15 2a 15 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Câu 64 Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi vuông góc OA  OB  OC  a Gọi I trung điểm BC Hãy dựng tính độ dài đoạn vuông góc chung cặp đường thẳng: a) OA BC A a B 3a 2 C a 12 D B a C a D A a b) AI OC A a OA  OB Bài làm: 64 a) Do  OA  OC a 5  OA   OBC   OA  OI Lại có OB  OC I trung điểm BC nên OI  BC Vậy OI đoạn vuông góc chung OA BC OI  F C O BC a  2 b) Gọi J trung điểm OB mặt phẳng  AIJ  chứa AI E H J I B song song với OC Hạ OH  AJ,H  AJ  IJ OC  IJ   OAB   IJ  OH OH  AIJ  Từ H kẻ đường thẳng song song  OC   OAB  Ta có  với IJ cắt AI E , từ E kẻ đường thẳng song song với OH cắt OC F EF đoạn vuông góc chunh AI OC GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 41 VUÔNG GÓC NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC] Trong tam giác OAJ có Vậy EF  OH  1 a     OH  OH2 OA2 OJ a a Câu 65 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , cạnh SA   ABC SA  a Tính khoảng cách từ A đến  SBC A d  A,  SBC    a B d  A,  SBC    a C d  A,  SBC    D d  A,  SBC    a 3 a 2 Bài làm:65 Gọi I trung điểm BC Do tam giác ABC nên AI  BC , mặt khác SA   ABC  SA  BC   SAI    SBC hạ AH  SI H AH   SBC  S Vậy d  A, SBC    AH Ta có AI  a a suy ,SA  2 H 1 1  2   2 2 AH AI AS a  a           C A I a  AH  2 a Hay d  A,  SBC    B a Câu 66 Cho tứ diện ABCD có AD   ABC  , AC  AD  4cm , AB  3cm, BC  5cm Tính khoảng cách từ A đến  BCD A d  A,  DBC    34 17 B d  A,  DBC        12 6 34 C d A,  DBC   D d A,  DBC   17 17 17 Bài làm: 66 Chứng minh AB,AC,AD đôi vuông góc , từ tính   d A,  DBC   34 17 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 42 VUÔNG GÓC NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC] ( Trích đề thi ĐH Khối D Năm 2002) Câu 67 Cho hai mặt phẳng  P   Q  vuông góc với nhau, có giao tuyến đường thẳng Δ Trên Δ lấy hai điểm A, B cho AB  a Trong mặt phẳng  P  lấy điểm C , mặt phẳng  Q  lấy điểm D cho AC,BD vuông góc với Δ AC  BD  AB Tính khoảng cách từ A đến  BCD A d  A,  BCD    a B d  A,  BCD    a C d  A,  BCD      a a D d A,  BCD   Bài làm:67 Gọi O trung điểm CD Ta có  P    Q  Δ   P    Q  , mà AC  Δ P C  AC   Q  AC  AD  ΔACD vuông H A  OA  OC  OD O Tương tự ΔBCD vuông B  OB  OC  OD B A Vậy OA  OB  OC  OD   d A,  BCD   AH  D Q AH  BC  AH   BCD  Hạ AH  CB  AH  BD a Câu 68 Cho tứ diện ABCD có AB  a,AC  b,AD  c BAC  CAD  DAB  600 Tính khoảng cách từ D đến  ABC A d  D,  ABC    c B d  D,  ABC    c C d  D,  ABC      c c D d D,  ABC   3 Bài làm:68 Gọi H hình chiếu D  ABC  A Hạ HM  AB,HN  AC Xét hai tam giác vuông AMD AND có AD chung, MAD  NAD  600 nên M ΔMAD  ΔNAD  DM  DN  HM  HN AH N đường phân giác góc A tam giác ABC c Ta có AM  ADcos600  H D C GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 43 VUÔNG GÓC B NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC] c AM c AH    cos 30 DH  AD2  AH2  c  Vậy d  D,  ABC    c2 a  3 c Câu 69 Cho hình chóp S.ABC có SA  3a SA   ABC  Tam giác ABC có AB  BC  2a , góc ABC  1200 Tính khoảng cách từ A đến  SBC A d  A,  SBC    B d  A,  SBC    3a a C d  A,  SBC    D d  A,  SBC    2a 7a  BC  AI Bài làm:69 Kẻ AI  BC,I  BC , ta có   BC  SA S  BC   SAI  AH  SI Kẻ AH  SI  AH  BC  AH   SBC  Vậy d  A, SBC    AH A Ta có ABI  600 , AI  ABsin 600  2a 1 1   2  2 AH AS AI  3a  a    C H  a 120 B I 3a  AH  2 9a Vậy d  A,  SBC    3a Câu 70 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông BA  BC  a , cạnh bên AA'  a Gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM,B'C ( Trích đề thi ĐH Khối D Năm 2008) A d  AM, B'C   a 2 B d  AM, B'C   a 3 C d  AM,B'C   a 7 D d  AM, B'C   a 5 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 44 VUÔNG GÓC NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC] Bài làm: 70 Gọi N trung điểm BB' ; ta có   B'C MN  B'C   MN   AMN   AMN   B'  d  AM,B'C   d B',  AMN  Mặt khác N trung điểm BB' nên d  B',  AMN   d  B,  AMN   M B  d B,  AMN   BH Ta có A' N H Kẻ BI  AM AM   BNI  ,kẻ BH  NI  BH   AMN nên  C' C I 1   2 BH BN BI A 1    BN2 BA2 BM2 a  BH  a a Vậy d  AM,B'C   7 Cách Kẻ BI  AM  IBB'   AM , kẻ CK AM CK   IBB'  Xét phép chiếu vuông góc lên  IBB'  ta có B'K hình chiếu B'C  IBB'  nên d  AM,B'C   d  I,B'K  C' B' Hạ IH  B'K,H  B'K , ta có 1 a     BI  2 BI BA BM a Dễ thấy BK  A' a 14 2a  2a  a B'K  BK  BB'2  5 B IK.BB' a 5 a  a  B'K a 14 Vậy d  AM,B'C   C I IH IK Ta có ΔKHI ΔKBB'   BB' B'K  IH  M H K A a Câu 71 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vuông A B , BA  BC  a,AD  2a Cạnh bên SA   ABCD SA  a Gọi H hình chiếu vuông góc A SB Tính khoảng cách từ H đến  SCD ( Trích đề thi ĐH Khối D Năm 2007) GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 45 VUÔNG GÓC NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC] A d  H,  SCD    a B d  H,  SCD    a C d  H,  SCD   a Bài làm:71 Gọi I trung điểm AD , IA  ID  IC  D d  H,  SCD    a AD nên ΔACD vuông C  CD  AC 1 S Lại có SA   ABCD  SA  CD   Từ 1 ,   suy CD   SAC   CD  SC , hay tam giác SCD vuông C Gọi d1 ,d2 khoảng cách từ B,H đến  SCD I A H D F Ta có B d2 SH SH.SB SA2     d1 SB SB2 SB2 d  d1 K C E Kẻ AF  SC dễ thấy AF  SCD  , kẻ BK AF,K  EF d1  BK Gọi E  AB CD Ta có BK EB 1    BK  AF AF EA 2 Mặt khác,trong tam giác vuông SAC ta có  KB  1 1 1       AF  a AF2 AC2 AS 2a 2a a a a a a  d1   d2   2 3 Vậy d  H,  SCD    d2  a Lƣu ý: Có thể tính khoảng cách từ H đến  SCD theo S cách khác sau: Gọi E  AB  CD,K  AH SE Dễ thấy B trung điểm AE SH  nên H SB H trọng tâm tam giác ASE Ta có    KH  d  A,  SCD   KA I A K d H,  SCD  B C GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 46 E VUÔNG GÓC D NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC] Tứ diện ABES có AB,AE,AS đôi vuông góc nên 1 1 1 1     2 2 2 2 2 4a 4a 2a a d A,  SCD  AE AD AS       a  d A,  SCD   a  d H,  SCD   Câu 72 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a Gọi SH đường cao hình chóp Khoảng cách từ trung điểm I SH đến  SBC b Tính SH 2ab A SH  a  16b 2 B SH  ab a  16b 2 C SH  2ab 3a  16b D SH  Bài làm: 72 Gọi E trung điểm BC , ta có 3ab a  16b2 S  BC  HE  BC   SHE    BC  SH K   SHE    SBC  Do IK  SE IK   SBC   IK  b Ta có ΔSKI ΔSHE  HE.SK  SH  IK IK SK  HE SH B A  *  , mà HE  a2 ,IK  b,SK  SI2  IK  SH4  b2 nên 2ab a  16b2 E H C D a SH2 2ab  b2  SH   *   SH  2b a  16b2 Vậy SH  I Câu 73 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O , cạnh a AC  a Gọi H trung điểm cạnh AB , biết SH   ABCD SH  a Tính khoảng cách a) Từ O đến  SCD A d  O,  SCD    a 14 B d  O,  SCD    a 21 C d  O,  SCD    3a 21 14 D d  O,  SCD    a 21 14 b) Từ A đến  SBC GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 47 VUÔNG GÓC NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC] A d  A,  SBC    a 57 19 B d  A,  SBC    2a 19 C d  A,  SBC    2a 19 D d  A,  SBC    2a 57 19 Bài làm:73 a) Gọi I  HO CD     OI  d  H, SCD   HI d O, SCD  S Tam giác ABC nên CH  AB mà AB CD  CH  CD Mặt khác CD  SH CD   SHC  , kẻ   HJ  SC,J  SC  HJ   SCD  d H,  SCD  HJ a       HJ  a  F    I O H B    a 3a a 3a J K 1 a   , tam giác SHC có 2 HJ HC HS2 Ta có HC   D A E C  a 21 a 21   d O,  SCD   d H,  SCD   7 14 b) Ta có B  AB   SBC  nên    BA  d  H,  SBC   BH d A,  SBC  AE  BC Gọi E,F trung điểm BC,BE  HF  BC  HF Vậy   BC  SH  AE  HF  BC  BC  SHF   SBC   SHF  , kẻ HK  SF HK   SBC  nên  d H,  SBC   HK Ta có HF   HK  AE a 1 16 19      2 2 2 2 HK HF HS 3a a 3a a 19      d A,  SBC   2d H,  SBC   Vậy d  A,  SBC    2a 57 19 2a 57 19 Câu 74 Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có tất cạnh a Gọi M,N trung điểm AA',BB' Tính khoảng cách hai đường thẳng B'M CN GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 48 VUÔNG GÓC NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC] A d  B'M,CN   3a 5a 7a a B d  B'M,CN   C d  B'M,CN   D d  B'M,CN   4 4 Bài làm:74 C' Gọi O,O' trung điểm BC,B'C' , I  OO' CN   B'M AN Do   B'M  AN   ACN   CAN    d  B'M,CN   d B'M,  ACN    d B',  ACN  O' B' M  N I  1 C   d B',  ACN  d B,  CAN  Ta có CB   CAN   C  A O Mặt khác N trung điểm BB' nên  A'  2 B    CB    d  O,  CAN   CO d B,  CAN  Dễ thấy tứ diện OACI có OA,OC,OI đôi vuông góc nên 1 1    2 d2 O,  ACN  OA OC OI   a Dễ thấy OC  ,OI  4 CN a a nên  ,OA  1 1 4 16 64     2 2  2 2 3a a a 3a d O,  ACN   a   a   a                   d O,  ACN    5 a Từ 1 ,   ,   ,   ,   ta có d  B'M,CN   a Câu 75 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O , SO   ABCD , AC  4, BD  2,SO  Tính a) Khoảng cách từ A đến  SBC A d  A,  SBC    19 B d  A,  SBC    17 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 49 VUÔNG GÓC NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC] C d  A,  SBC    D d  A,  SBC    19 19 b) Khoảng cách hai đường thẳng AB SD A d  AB,SD   B d  AB,SD   19 19 C d  AB,SD   19 D d  AB,SD   19 Bài làm: 75 a) Ta có AO   SBC   C nên    CA   d  O,  SBC   CO d A,  SBC  Mặt khác dễ thấy tứ diện OBCS có cạnh OB,OC,OS đôi vuông góc nên  1 1 1    2 d O,  SBC  OB OC OS    S  1 19  d O,  SBC     12 19    d A,  SBC   19 b) Ta có  SCD  mặt phẳng chứa SD song song với AB d  AB,SD  d AB, SCD   d B, SCD  Tương tự câu a) ta có d  B,  SCD   2d  O,  SCD  mà   d O,  SCD   19    d B,  SCD   O D 19 , hay d  AB,SD   19 B A C Câu 76 Cho tứ diện ABCD có AB  CD  a,AD  BC  b,AC  BD  c Tính khoảng cách cặp cạnh đối tứ diện A d  AD, BC   B d  AD, BC   C d  AD, BC   D d  AD,BC   a  c  b2 a  b2  c , d  AC, BD  2 a  c  b2 a  b2  c , d  AC, BD  3 a  c  b2 a  b2  c , d  AC, BD  2 a  c  b2 a  b2  c , d  AC, BD  2 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 50 VUÔNG GÓC NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC] Bài làm: 76 Gọi M,N trung điểm AB CD Xét hai tam giác ACD BCD có CD chung AC  BD,AD  BC nên ΔACD  ΔBCD , mà M trung điểm AB nên MN  AB Lí lưaanj tương tự ta có MN  CD Vậy MN đường vuông góc chung AB CD , d  AB,CD  MN Ta có AN2  A   2 AC2  AD2 CD2 b  c  a   4 MN2  AN2  AM2    b2  c  a  a a2 2 2 c B b c a b c a b c a , hay d  AB,CD    MN   2 2 b M 2 b a Tính tương tự ta có : d  AD,BC   c D N C a  c  b2 a  b2  c , d  AC,BD   2 Câu 77 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA , M trung điểm AE , N trung điểm BC Chứng minh MN  BD tính khoảng cách hai đường thẳng MN AC ( Trích đề thi ĐH Khối B Năm 2007) A d  MN,AC   a3 5a 7a a B d  MN,AC   C d  MN,AC   D d  MN,AC   4 4 Bài làm: 77 Gọi P trung điểm SA Ta có MP đường trung bình ΔEAD  MP AD MP BC S E Do MP  NC nên MPCN hình bình hành  MN CP Mặt khác ABCD hình chóp nên dễ dàng chứng minh BD   SAC  BD  CP MN CP Vậy   BD  CP  MN  BD P M A GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 D | HAI MẶT N PHẲNGC 51 VUÔNG GÓC D NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC] Ta có  SAC  mặt phẳng chứa AC song song với MN nên d  MN,AC   d  N,  SAC     a  d B,  SAC   Vậy d  MN,AC   a Câu 78 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a,AD 2a , cạnh SA   ABCD , cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Trên SA lấy điểm M cho AM  a Tính khoảng cách từ S đến  BCM A d  S,  BCM    2a B d  S,  BCM    a C d  S,  BCM    a D d  S,  BCM    a Bài làm:78 Kẻ SH  BM Ta có  BC  AB  BC   SAC   BC  SH Lại có   BC  SA S SH  BM  SH   MBC   SH  BC H Vậy d S, MBC    SH M Ta có SA   ABCD   SB,  ABCD   D A  SBA  600  SA  ABtan600  a B a  2a MB  AB  AM  a        2 MH MS MS.MA   HM   Dễ thấy ΔMHS ΔMAB nên MA MB MB C 2a a 3 a 2a 3 BH  BM  MH  2a  a  a  SH  SB2  BH2  4a  3a  a Vậy d  S,  BCM    a GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 52 VUÔNG GÓC NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC] Câu 79 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M,N trung điểm cạnh AB AD ; H giao điểm CN DM Biết SH   ABCD SH  a Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC A d  DM,SC   B d  DM,SC   a 57 19  DM  CN Bài làm: 79 Ta có   DM  SH 2a 57 2a C d  DM,SC   19 D d  DM,SC    DM   SCN  2a 57 19 S  DM  SC Gọi I hình chiếu H SC HI đoạn vuông góc chung SC DM nên d  DM,SC   HI Tứ giác AMHN nội tiếp nên DH.DM  DN.DA  DH   a 2 AM  AD 2 a   a  a2 Ta có HC2  DC2  DH2  a  a M a    2a     5 Vậy d  DM,SC    N H D I B C a 4a 2a   HC  5 Tam giác SCH vuông H có đường cao HI nên  A DN.DA DM 1   2 HI HS HC2 19 3a  2  HI  2 3a 4a 12a 19 2a 57 19 Câu 80 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB  a,AC  2a,AA'  2a BAC  1200 Gọi M trung điểm cạnh CC' Tính khoảng cách từ A đến  A' BM A d  A,  A' BM    a B d  A,  A' BM    a 3 C d  A,  A' BM    a D d  A,  A' BM    a Bài làm: 80 Áp dụng định lí cô sin ta có  1 BC2  AB2  AC2  2AB.ACcosA  a  4a  2.2a.a     7a  2  BC  a GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 53 VUÔNG GÓC NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC] Ta có BM  BC2  MC2  2a 3,A'B  AB2  AA'2  a 21 A'M  A'C2  C'M2  3a , từ ta có MB2  MA'2  21a2  A'B2 nên tam giác MA'B vuông M hay MB  MA' Kẻ BI  AC I Gọi N  A'N AC , ta có IA   A'BM   N nên Ta có AN  2AC  4a , AI  ABcos 600     NA NI d  I,  A' BM   d A,  A' BM  a a 9a nên IN  IA  AN   4a  , 2    4a  d  I,  A' BM   9a d A,  A' BM  Dễ thấy BI  ACC'A'  BI A'M , A' A'M  BI  A'M  IMB   A'M  MB  IBM   A'BM  BM nên kẻ IK  BM C' B' IK   A'BM  M I Vậy d I, A'BM   IK A C N K Ta có B 2  5a   2a  3a IM  IC  CM             2 1 4 64 3a   2 2   IK  2 2 IK IM IB 3a 45a 45a Do d  A,  A' BM    3a a  Lƣu ý: Có thể sử dụng    NA d  C,  A' BM   NC d A,  A' BM  dựng hình vẽ tính khoảng cách từ A đến  A' BM GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 54 VUÔNG GÓC [...]... trung bình trong tam giác 1 ACG  OH  CG 2 Mặt khác GC AC 2 2 2 3a   2  CG  2GA'  CG  CA'  a 3  GA' A'I 3 3 3 1 2 3a a 3  OH   2 3 3 Vậy d  AD',BD   MN  OH  a 3 3 Cách 2 Dựng đường vuông góc chung (theo cách 2) rồi tính độ dài đoạn vuông góc chung GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 34 VUÔNG GÓC NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]... Dễ thấy MNOH là hình chữ nhật nên MN  OH Do OH là đường trung bình trong tam giác 1 ACG  OH  CG 2 Mặt khác GC AC 2 2 2 3a   2  CG  2GA'  CG  CA'  a 3  GA' A'I 3 3 3 1 2 3a a 3  OH   2 3 3 Vậy d  AD',BD   MN  OH  a 3 3 Cách 2 Dựng đường vuông góc chung (theo cách 2) rồi tính độ dài đoạn vuông góc chung Chon  DCB'A'  vuông góc với AD' tại trung điểm O của A' B' AD' Gọi I là... AHKB Dễ thấy AHKB là hình thang vuông tại A và H , nên S AHKB  1 1 1 1    AH2 AS 2 AD2 a 3 Ta có   Trong ΔSCD có HK  CD nên 2  1  AB  HK  AH 2 1 4 a 3   AH  2 a 2 3a 2 HK SH SH.SD SA2    CD SD SD2 SD2 3 3 SA2 3a 2 3  2   HE  CD  a 2 2 4 4 4 SA  AD 3a  a 2 Vậy SAHKB  1 1 3a  3a 7a2 3 AB  HK AH   a     2 2 4 2 16 Ví dụ 2 a)  α  là mặt phẳng chứa SD và vuông góc... CIC'  cos φ  1 3  3 3a 2 S' 3 3a 2 Từ 1 ,  2  ,  3  ta có S   4  1 cosφ 4 3 Vậy diện tích thiết diện là S  3 3a 2 4 Bài toán 01: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CHỨA MỘT ĐƢỜNG THẲNG VÀ VUÔNG GÓC VỚI MỘT MẶT PHẲNG Phƣơng pháp: Bài Toán: Cho mặt phẳng  α  và đường thẳng a không vuông góc β với  α  Xác định mặt phẳng β  chứa a và vuông góc với  α  A Để giải bài toán này ta làm theo các bước sau:... suy ra H là tâm của đường tròn ngoại tiếp ΔABD 2 3 2 a 3 a 3  3 2 3 D' Gọi O giao điểm của AC và BD , ta có AH  AO  a 3  A'H  AA'  AH  a    3    2 a 2 C' A' 2 B' 2 D 2 3 Vậy d  A', ABCD   A'H a H 2 3 A C O B Ví dụ 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , tam giác SAD đều và có cạnh bằng 2a , BC  3a các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau Tính... mặt phẳng  ABC  và  A' B'C'  nên SABC  SA'B'C' cosC'KC 1 1 3a 2 Ta có SICJ  S ABC  , mặt khác SICJ  IJ.CK 2 2 4 3a 2 2S 3a  CK  ICJ  2  IJ 26a 26 2 Xét ΔC'CK ta có tan C'KC  Mà 1  tan 2 C'KC  CC' a 26   3a CK 3 26 1 2 cos C'KC  cosC'KC  Vậy SABC  S A' B'C' cosC'KC  S A' B'C'  3 35 SABC cosC'KC  35 2 a 2 Ví dụ 3 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a Gọi  α  là... 3  CA  2CO  a 3 2   SA  CS2  CA2  h 2  a 3 2 B A  3a 2  h 2 Hai tam giác vuông AHO va ACS đồng dạng nên O C D GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 20 VUÔNG GÓC NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC] a 3 h OH OA OA.SC ah 3 2   OH    2 2 SC SA SA 3a  h 2 3a 2  h 2 Vậy d  O,SA   OH  3ah 2 3a 2  h 2 Ví dụ 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD... 1 1 1 1 3 a 3   2  2  2  OH  2 2 2 3 OH OD OI a a 2  a    2  A' B' a 3 Vậy d  AD',BD   MN  OH  3 Cách 3 Giả sử MN là đoạn vuông góc chung của AD' và C' D' BD với M  AD',N BD Từ M kẻ MP  AD , từ N kẻ M NQ  AD A B Dễ thấy BD  MNP   BD  NP ; AD'   MNQ  AD'  MQ Q P N Hai tam giác AMQ và DNP vuông cân nên D C a QD  QN  QP  MP  PA  3 Lại có PN  DP 2  2a 3 2  a... Suy ra SA  CB C H góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  SAC  là BHC A I D Ta có ΔAHI  ΔADS  Mà AI  IH AI  SD AD B a 3 ,AD  2AI  a 3 , 2 SA  AD2  SD2  a 3  2 2 a 6  AI.SD 3a 2  suy ra IH     2  AD 2   a 3 a 6 2 2  a  BC  BHC  900 2 2 3a 2 2 Ví dụ 3 Cho hình chóp đều S.ABC , có độ dài cạnh đáy bằng a Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB Tính diện tích tam... nên MN  OH , mạt khác OH là đường cao trong tam giác vuông ODI nên 1 1 1 1 1 3 a 3   2  2  2  OH  2 2 2 3 OH OD OI a a 2  a    2  GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI MẶT PHẲNG 30 VUÔNG GÓC NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC] Vậy d  AD',BD   MN  OH  a 3 3 A' Cách 3 Giả sử MN là đoạn vuông góc chung của AD' và BD B' với M  AD',N BD Từ M kẻ ... HK  CD nên   AB  HK  AH a   AH  a 3a HK SH SH.SD SA2    CD SD SD2 SD2 3 SA2 3a    HE  CD  a 2 4 SA  AD 3a  a Vậy SAHKB  1 3a  3a 7a2 AB  HK AH   a     2 4 16... ACG  OH  CG Mặt khác GC AC 2 3a    CG  2GA'  CG  CA'  a  GA' A'I 3 3a a  OH   3 Vậy d  AD',BD   MN  OH  a Cách Dựng đường vuông góc chung (theo cách 2) tính độ dài đoạn vuông... SABC  SA'B'C' cosC'KC 1 3a Ta có SICJ  S ABC  , mặt khác SICJ  IJ.CK 2 3a 2S 3a  CK  ICJ   IJ 26a 26 Xét ΔC'CK ta có tan C'KC  Mà  tan C'KC  CC' a 26   3a CK 26 cos C'KC  cosC'KC