Chương VI Lượng giác Đại Số 10 HK II cos α = x = OH sin α = y = OK sin α tan α = = AT cos α cos α cot α = = BS sin α sin I Giá trị lượng giác góc (cung) lượng giác Định nghĩa giá trị lượng giác Cho (OA, OM ) = α Giả sử M ( x; y ) tang CHƯƠNGVI VI CHƯƠNG GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG LƯỢNG GIÁC GIÁC GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC B K   π  α ≠ + kπ ÷   cotang S M α O ( α ≠ kπ ) T H cosin A Nhận xét: • ∀α , − ≤ cos α ≤ 1; − ≤ sin α ≤ • tanα xác định α ≠ π + kπ , k ∈ Z • cotα xác định α ≠ kπ , k ∈ Z • sin(α + k 2π ) = sin α • tan(α + kπ ) = tan α cos(α + k 2π ) = cos α cot(α + kπ ) = cot α Dấu giá trị lượng giác Phần tư Giá trị lượng giác cosα sinα tanα cotα I II III IV + + + + – + – – – – + + + – – – Giá trị lượng giác góc đặc biệt 00 π 300 π π π 2π 3π π 3π 2π 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600 2 –1 –1 sin 2 cos 2 2 tan 3 3 3 cot − − 2 − –1 3 –1 ; + cot α = − 0 Hệ thức bản: sin 2α + cos2α = ; tanα cotα = ; + tan α = cos α Giá trị lượng giác góc có liên quan đặc biệt Trang 56 sin2 α Chương VI Lượng giác Đại Số 10 HK II Góc đối Góc bù cos(−α ) = cos α sin(π − α ) = sin α sin(−α ) = − sin α cos(π − α ) = − cos α tan(−α ) = − tan α tan(π − α ) = − tan α cot(−α ) = − cot α cot(π − α ) = − cot α Góc π π  cos  − α ÷ = sin α 2  π  tan  − α ÷ = cot α 2  π  cot  − α ÷ = tan α 2  Góc π sin(π + α ) = − sin α π  sin  + α ÷ = cos α 2  cos(π + α ) = − cos α π  cos  + α ÷ = − sin α 2  tan(π + α ) = tan α π  tan  + α ÷ = − cot α 2  cot(π + α ) = cot α π  cot  + α ÷ = − tan α 2  II Công thức lượng giác Công thức cộng sin(a + b) = sin a.cos b + sin b.cos a sin(a − b) = sin a.cos b − sin b.cos a cos(a + b) = cos a.cos b − sin a.sin b cos(a − b) = cos a.cos b + sin a.sin b Hệ quả: Góc phụ π  sin  − α ÷ = cos α 2  tan a + tan b − tan a.tan b tan a − tan b tan(a − b) = + tan a.tan b tan(a + b) = π  + tan α tan  + α ÷ = , 4  − tan α π  − tan α tan  − α ÷ = 4  + tan α sin 2α = sin α cos α Công thức nhân đôi 2 cos 2α = cos α − sin α = cos2 α − = − 2sin α cot α − tan 2α = ; cot 2α = cot α − tan α Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*) tan α − cos2α + cos 2α cos α = − cos 2α tan α = + cos 2α sin 3α = 3sin α − 4sin3 α cos3α = cos3 α − 3cos α 3tan α − tan3 α tan 3α = − 3tan α sin2 α = Công thức biến đổi tổng thành tích Trang 57 Chương VI Lượng giác Đại Số 10 HK II sin(a + b) cos a.cos b sin(a − b) tan a − tan b = cos a.cos b sin(a + b) cot a + cot b = sin a.sin b sin(b − a) cot a − cot b = sin a.sin b a+b a−b cos 2 a+b a−b cos a − cos b = − 2sin sin 2 a+b a−b sin a + sin b = 2sin cos 2 a+b a−b sin a − sin b = cos sin 2 cos a + cos b = cos tan a + tan b =   π π sin α + cos α = 2.sin  α + ÷ = 2.cos  α − ÷ 4 4     π π sin α − cosα = sin  α − ÷ = − cos  α + ÷  4  4 Công thức biến đổi tích thành tổng VẤN ĐỀ 1: Dấu giá trị lượng giác Để xác định dấu giá trị lượng giác cung (góc) ta xác định điểm nhọn cung (tia cuối góc) thuộc góc phần tư áp dụng bảng xét dấu GTLG Bài Xác định dấu biểu thức sau: 21π  2π  3π 4π π 4π 9π sin  − c) C = cot d) D = cos sin tan cot ÷   3 0 Bài Cho < α < 90 Xét dấu biểu thức sau: a) A = sin 500.cos(−300 ) b) B = sin 2150.tan a) A = sin(α + 900 ) b) B = cos(α − 450 ) c) C = cos(2700 − α ) d) D = cos(2α + 900 ) π Xét dấu biểu thức sau: a) A = cos(α + π ) b) B =  2π  c) C = sin  α + d) D = ÷   Bài Cho tam giác ABC Xét dấu biểu thức sau: a) A = sin A + sin B + sin C b) B = A B C c) C = cos cos cos d) D = 2 Bài Cho < α < tan(α − π )  3π  cos  α − ÷   sin A.sin B.sin C A B C tan + tan + tan 2 VẤN ĐỀ 2: Tính giá trị lượng giác góc (cung) Trang 58 Chương VI Lượng giác Đại Số 10 HK II Ta sử dụng hệ thức liên quan giá trị lượng giác góc, để từ giá trị lượng giác biết suy giá trị lượng giác chưa biết I Cho biết GTLG, tính GTLG lại Cho biết sinα , tính cosα , tanα , cotα • Từ sin α + cos2 α = ⇒ cos α = ± − sin2 α – Nếu α thuộc góc phần tư I IV cos α = − sin α – Nếu α thuộc góc phần tư II III cos α = − − sin2 α sin α • Tính tan α = ; cot α = cos α tan α Cho biết cosα , tính sinα , tanα , cotα • Từ sin α + cos2 α = ⇒ sin α = ± − cos2 α – Nếu α thuộc góc phần tư I II sin α = − cos2 α – Nếu α thuộc góc phần tư III IV sin α = − − cos2 α sin α • Tính tan α = ; cot α = cos α tan α Cho biết tanα , tính sinα , cosα , cotα • Tính cot α = tan α 1 = + tan2 α ⇒ cos α = ± • Từ cos2 α + tan α – Nếu α thuộc góc phần tư I IV cos α = + tan2 α – Nếu α thuộc góc phần tư II III cos α = − + tan α • Tính sin α = tan α cos α Cho biết cotα , tính sinα , cosα , tanα • Tính tan α = cot α 1 = + cot α ⇒ sin α = ± • Từ sin α + cot α – Nếu α thuộc góc phần tư I II sin α = + cot α – Nếu α thuộc góc phần tư III IV sin α = − + cot α II Cho biết giá trị lượng giác, tính giá trị biểu thức • Cách 1: Từ GTLG biết, tính GTLG có biểu thức, thay vào biểu thức • Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG biết III Tính giá trị biểu thức lượng giác biết tổng – hiệu GTLG Ta thường sử dụng đẳng thức để biến đổi: A2 + B2 = ( A + B)2 − AB A4 + B = ( A2 + B )2 − A2 B A3 + B3 = ( A + B)( A2 − AB + B ) A3 − B3 = ( A − B)( A2 + AB + B ) IV Tính giá trị biểu thức cách giải phương trình Trang 59 Chương VI Lượng giác Đại Số 10 HK II • Đặt t = sin x , ≤ t ≤ ⇒ cos2 x = t Thế vào giả thiết, tìm t Biểu diễn biểu thức cần tính theo t thay giá trị t vào để tính • Thiết lập phương trình bậc hai: t − St + P = với S = x + y; P = xy Từ tìm x, y Bài Cho biết GTLG, tính GTLG lại, với: , 2700 < a < 3600 5 π c) sin a = , < a < π 13 3π e) tan a = 3, π < a < a) cos a = b) cos α = ,− π a b a+b a3 b3 (a + b)3 Bài Rút gọn biểu thức sau: a) (1 − sin2 x ) cot x + − cot x b) (tan x + cot x )2 − (tan x − cot x )2 Bài Cho c) e) g) i) Bài a) cos2 x + cos2 x.cot x 2 sin x + sin x.tan x sin x − tan x cos2 a − cot x d) ( x.sin a − y.cos a)2 + ( x cos a + y.sin a)2 f) sin2 x − cos2 x + cos4 x cos2 x − sin x + sin x + cos x − cos x − ; x ∈ (0, π ) sin x (1 + cot x ) + cos2 x (1 + tan x ) h) − cos x + cos x  π 3π   π π + sin x − sin x 2 + ; x ∈ − ; ÷ k) cos x − tan x − sin x ; x ∈ ; ÷ 2  − sin x + sin x  2 Chứng minh biểu thức sau độc lập x: ĐS: 3(sin x + cos4 x ) − 2(sin x + cos6 x ) b) 3(sin8 x − cos8 x ) + 4(cos6 x − 2sin x ) + 6sin x ĐS: c) (sin x + cos4 x − 1)(tan2 x + cot x + 2) ĐS: –2 d) cos2 x.cot x + 3cos2 x − cot x + sin x ĐS: e) ĐS: sin x + 3cos4 x − sin x + cos6 x + 3cos4 x − tan2 x − cos2 x cot x − sin2 x f) + sin x cos2 x sin x + cos6 x − g) sin x + cos4 x − ĐS: ĐS: Trang 62 Chương VI Lượng giác Bài Cho tam giác ABC Chứng minh: a) sin B = sin( A + C ) A+B C c) sin = cos 2 Đại Số 10 HK II b) cos( A + B) = − cos C d) cos( B − C ) = − cos( A + 2C ) −3 A + B + C = − sin A A + B + 3C A + B − 2C 3C g) sin h) tan = cos C = cot 2 VẤN ĐỀ 5: Công thức cộng sin(a + b) = sin a.cos b + sin b.cos a tan a + tan b tan(a + b) = sin(a − b) = sin a.cos b − sin b.cos a − tan a.tan b cos(a + b) = cos a.cos b − sin a.sin b tan a − tan b tan(a − b) = cos(a − b) = cos a.cos b + sin a.sin b + tan a.tan b e) cos( A + B − C ) = − cos 2C Hệ quả: f) cos π  + tan α tan  + α ÷ = , 4  − tan α π  − tan α tan  − α ÷ = 4  + tan α Bài Tính giá trị lượng giác góc sau: π 5π 7π ; ; 12 12 12 Bài Tính giá trị biểu thức lượng giác, biết:  π π 38 − 25 a) tan  α + ÷ sin α = , < α < π ĐS:  3 11 π  12 3π (5 − 12 3) < α < 2π b) cos  − α ÷ sin α = − , ĐS: 3  13 26 1 119 c) cos(a + b).cos(a − b) cos a = , cos b = ĐS: − 144 d) sin(a − b), cos(a + b), tan(a + b) sin a = , tan b = a, b góc nhọn 17 12 21 140 21 ĐS: ; ; 221 221 220 π π e) tan a + tan b, tan a, tan b < a, b < , a + b = tan a.tan b = − 2 Từ π suy a, b ĐS: 2 − ; tan a = tan b = − 1, a = b = Bài Tính giá trị biểu thức lượng giác sau: a) A = sin 20o + sin2 100o + sin2 140o ĐS: b) B = cos2 10o + cos110o + cos2 130o ĐS: o o o o o o c) C = tan 20 tan 80 + tan 80 tan140 + tan140 tan 20 ĐS: –3 o o o o o o d) D = tan10 tan 70 + tan 70 tan130 + tan130 tan190 ĐS: –3 a) 150 ; 750 ; 1050 e) E = b) cot 225o − cot 79o.cot 71o ĐS: cot 259o + cot 251o f) F = cos2 75o − sin2 75o ĐS: − Trang 63 3 Chương VI g) G = Lượng giác Đại Số 10 HK II − tan15o + tan15 ĐS: 3 h) H = tan150 + cot150 ĐS: HD: 400 = 600 − 200 ; 800 = 600 + 200 ; 50 = 600 − 100 ; 70 = 600 + 100 Bài Chứng minh hệ thức sau: a) sin( x + y ).sin( x − y ) = sin x − sin y 2sin( x + y ) cos( x + y ) + cos( x − y )    π π 2π c) tan x.tan  x + ÷+ tan  x + ÷.tan  x +  3  3  b) tan x + tan y =   2π ÷+ tan  x +    ÷.tan x = −      π π π 3π  d) cos  x − ÷.cos  x + ÷+ cos  x + ÷.cos  x + (1 − 3) ÷=  3  4  6   e) (cos 70o + cos 50o )(cos 230o + cos 290o ) +(cos 40o + cos160o )(cos320o + cos380o ) = f) tan x.tan x = tan2 x − tan2 x − tan 2 x.tan x Bài Chứng minh hệ thức sau, với điều kiện cho trước: a) tan a = tan(a + b) sin b = sin a.cos(a + b) b) tan a = tan(a + b) 3sin b = sin(2a + b) c) tan a.tan b = − cos(a + b) = cos(a − b) 1− k d) tan(a + b).tan b = cos(a + 2b) = k cos a 1+ k HD: a) Chú ý: b = (a+b)–a b) Chú ý: b = (a+b)–a; 2a+b = (a+b)+a c) Khai triển giả thiết d) Chú ý: a+2b = (a+b)+a; a = (a+b)–b Bài Cho tam giác ABC Chứng minh: a) sin C = sin A.cos B + sin B.cos A sin C b) = tan A + tan B ( A, B ≠ 90 ) cos A.cos B c) tan A + tan B + tan C = tan A.tan B.tan C ( A, B, C ≠ 90 ) d) cot A.cot B + cot B.cot C + cot C.cot A = A B B C C A e) tan tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 A B C A B C f) cot + cot + cot = cot cot cot 2 2 2 cos C cos B g) cot B + = cot C + ( A ≠ 90o ) sin B.cos A sin C.cos A A B C A B C A B C A B C h) cos cos cos = sin sin cos + sin cos sin + cos sin sin 2 2 2 2 2 2 A B C A B C i) sin + sin + sin = + 2sin sin sin 2 2 2  A B C HD: a, b, c, d) Sử dụng (A + B) + C = 1800 e, f) Sử dụng  + ÷+ = 900 2 2 A B C g) VT = VP = tanA h) Khai triển cos  + + ÷ 2 2 Trang 64 Chương VI Lượng giác Đại Số 10 HK II A B C i) Khai triển sin  + + ÷ 2 2 B C A B C A B C Chú ý: Từ cos  + ÷ = sin ⇒ cos cos = sin + sin sin 2 2 2 2 2 A B C A A B C ⇒ sin cos cos = sin2 + sin sin sin 2 2 2 Bài Cho tam giác A, B, C Chứng minh: a) tan A + tan B + tan C ≥ 3, ∀ ∆ ABC nhoïn b) tan A + tan B + tan C ≥ 9, ∀ ∆ ABC nhoïn c) tan A + tan B + tan C ≥ 81, ∀ ∆ ABC nhoïn A B C + tan + tan ≥ 2 A B C e) tan + tan + tan ≥ 2 HD: a, b, c) Sử dụng tan A + tan B + tan C = tan A.tan B.tan C BĐT Cô–si d) Sử dụng a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca d) tan tan A B B C C A tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 e) Khai triển  tan A + tan B + tan C ÷ sử dụng câu c)  2 2 Trang 65 ... = sin 20o + sin2 100 o + sin2 140o ĐS: b) B = cos2 10o + cos110o + cos2 130o ĐS: o o o o o o c) C = tan 20 tan 80 + tan 80 tan140 + tan140 tan 20 ĐS: –3 o o o o o o d) D = tan10 tan 70 + tan 70... liên kết) Bài Tính GTLG góc sau: a) 1200 ; 1350 ; 1500 ; 210 ; 2250 ; 240 ; 300 ; 3150 ; 330 ; 390 ; 4200 ; 4950 ; 25500 − 3; + 3; 7π 13π 5π 10 5π 11π 16π 13π 29π 31π ; ;− ; ;− ; ;− ; ; ;− 4 3 3... trình Trang 59 Chương VI Lượng giác Đại Số 10 HK II • Đặt t = sin x , ≤ t ≤ ⇒ cos2 x = t Thế vào giả thiết, tìm t Biểu diễn biểu thức cần tính theo t thay giá trị t vào để tính • Thiết lập phương