wWw.VipLam.Net 3.BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC A-Lý thuyết : Phương pháp 1: Sử dụng phép biến đổi tương đương : A ≥  A < B ⇔  B >  A < B2  A ≥  A ≤ B ⇔  B ≥  A ≤ B2  B < B ≥ A > B ⇔  ∪ A ≥ A > B B ≤ B > A ≥ B ⇔  ∪ A ≥ A ≥ B Bài toán 1: Giải bpt sau : x − < x − x − x + ≤ x + 3 x − > x − x + x − ≥ x + Bài giải :  x>  2 x − >   ⇔ x − ≥ ⇔ x ≥  4 x − x + >  x − < (2 x − 1)   x≥3  x2 − x + ≥  ⇔ x≥− ⇔  x + ≥  x − x + ≤ ( x + 3)  4 x − <  x − ≥ ∪ ⇔  3 x − ≥ 3 x − > (4 x − 3) 2 3 ≤ x < ⇔ ≤ x 4( x − 1) x + − − x < − x 4.( x − 3) x − ≤ x − Bài giải : 2( x − 1) ≥  x ≤ −1 ∪ x ≥   (1) ⇔  x + ≥ ⇔  x ≥ −1 2( x − 1) ≤ ( x + 1)  x2 − x − ≤    x = −1 ⇔ 1 ≤ x ≤  4( x − 1) <  ( x + 5)(3 x + 4) ≥ (2) ⇔  x −1 ≥   ( x + 5)(3 x + 4) > 16( x − 1) 2  x <  x ≤ −5     x ≤ −5 ∪ x ≥ −  ⇔ − ≤ x < ⇔    1 ≤ x <  x ≥   13 x − 51x − <  Kết luận : x ≤ −5 ∪ − ≤ x < wWw.VipLam.Net x + ≥  Đk: 3 − x ≥ ⇔ −2 ≤ x ≤ 5 − x ≥  (1) ⇔ x − ≥ x +  x + > x + ≤ ⇔ ∪ 2  x − ≥  x − ≥ ( x + 3) (1) ⇔ − x + − x > x + ⇔ x − 11x + 15 > x − +) Xét : −2 ≤ x < (2) (1) +) Xét : ≤ x ≤ 2 (2) ⇔ x − 11x + 15 > (2 x − 3) ⇔ 2x2 − x − < ⇔− − x + x − > − x x + ≥ x − + − x x + − x + < x Bài 2: Giải bpt sau : 1.( x − x) x − x − ≥ 13 ⇔x≥− Suy x > nghiệm bpt +) Xét : x ≤ −2 ∪ ≤ x < 3 ( ( x2 − + 2x x2 1+ 1+ x ) ) < x + 21 > x−4 Bài giải : Bài 1: wWw.VipLam.Net 8 − x ≥  (1) ⇔ 2 x − ≥  x − ≤ (8 − x )  x ≤   ⇔ x ≥   x − 18 x + 65 ≥ ⇔ x + ≥  Đkiện :  x + ≥ ⇔ x ≥ x ≥  (5) ⇔ x + < x + + x ⇔ x + < x + + ( x + 1) x ⇔ − x < ( x + 1) x ≤ x≤5 1 − x < o 1 − x ≥ ⇔ ∪ x ≥ ( − x ) < x( x + 1) (2) ⇔ x − x + > x −  x − ≥ x − < ⇔ ∪ 2 2 x − x + ≥ ( x − x + 1) > ( x − ) x <    x ≤ −  x ≥ ⇔  ∪  x − 2x − >  +  x ≥   ⇔x≤ 3− ∪x>3 Tương tự : < x ≤ x + ≥  4.Đk:  x − ≥ ⇔ ≤ x ≤ 7 − x ≥  (4) ⇔ x + ≥ ⇔ ≥ −1 + ⇔2≥ ( 2x − + − x ( x − 8) ( − x ) ( x − 8) ( − x ) ⇔ ≥ −2 x + 22 x − 56 ⇔ x − 11x + 30 ≥ x ≤ ⇔ x ≥ 4 ≤ x ≤ Kết luận :  6 ≤ x ≤  9 + x ≥ x ≥ − ⇔ 2.Đk :  3 − + x ≠  x ≠ Khi : )  3+ x < − ⇔ x > 1∪   −3 + < x ≤1    3+ x < − ⇔  −3 + Bài 2:  x − 3x − =  (1) ⇔  x − 3x − >    x − 3x ≥      x = x ≤ −    ⇔ x = − ⇔ x = 2 x ≥        x < −     x >  x ≤ ∪ x ≥  Bài 2: x − 3x + + x − x + ≥ x − x + x − x + 15 + x + x − 15 ≤ x − 18 x + 18 + x + − x ≤ − x2 Bài giải : wWw.VipLam.Net (2) ⇔ ( 2x2 + + 2x x2 ⇔ + 2x < ⇔x< ) < x + 21 Xét : < x ≤  − ≤ x < Kết luận :   x ≠ Đk: + x ≥ ⇔ x ≥ −1 Nhận xét : x = nghiệm bpt +) Xét x ≠ : (3) ⇔ ( ( x2 − + x ) x2 ⇔ 1− 1+ x Bài 1:   −1 ≤ x ≤ 3: Đk :   x ≠ ) > x−4 > x−4 ⇔ − + x > −4 ⇔ 1+ x < ⇔ 1+ x < ⇔ x  f ( x) ≥  Bài tập nhà : Bài : Giải bpt sau : −3 x + x + + ( 3) ⇔ u + > ⇔ 2u − 6u + > 2u 3− 3+ ⇔0 2 3− 3+ ⇔0< x < ∪ x> 2 8−3 8+3 ⇔0< x< ∪x> 2 8−3 8+3 Kết luận : < x < ∪x> 2 Bài tập nhà : Bài 1: Giải bpt sau : 1) 3x + x + < − x − x 2).2 x + x + 3 − x − x > 3) 3x + x + − 3x + x + ≥ Phương pháp 2: Đặt ẩn số phụ : wWw.VipLam.Net Bài 2: 1) x + x − + x − x − > 2).5 x + 3) x < 2x + +4 2x x x +1 −2 >3 x +1 x Bài 3: x+ x x −1 > 35 12 Bài giải : Bài 1: 1.Đặt : ( ) ⇔ ( − t ) + 3t > ⇔ 2t − 3t − < ⇔ ≤ t < ( dot ≥ 0) ⇔ ≤ − x − x2 <  −3 ≤ x ≤  ⇔ 25 ⇔ −3 ≤ x ≤ 3 − x − x < Đặt : t = x + x + 2, t ≥ t = x + x + 4, t ≥ ⇒ t = x + x + = 3( x + x) + t2 − ⇒ x + 2x = Khi : t2 − ( 1) ⇔ t < − ⇔ t + 3t − 10 < ⇔ ≤ t < 2(t ≥ 0) ⇔ ≤ 3x + x + < ⇔ x + x + < 4(do3 x + x + > 0) ⇔ x + x < ⇔ −2 < x < Đặt : t = − x − x2 , t ≥ ⇒ t = − 2x − x2 ⇒ 2x + x = − t Khi : 2 ⇒ 3x + x = t − Ta : t2 + − t ≥ ⇔ t + ≥ t + ⇔ t + ≥ ( t + 1) ⇔ 2t ≤ ⇔ t ≤ ⇔ ≤ 3x + x + ≤ 3 x + x + ≥ ⇔ 3 x + x + ≤ −2   −2 ≤ x ≤ −  x ≤ −1 ∪ x ≥ ⇔ ⇔  −2  ≤x≤1  −2 ≤ x ≤ 3  Bài 2: ( 1) ⇔ ( ) x −1 +1 + ( ) x −1 −1 Đk : x ≥ : ⇔ x −1 +1 + x −1 −1 > > 3 Đặt : t = x − 1, t ≥ Khi : Bài 2:   2− 2− u < 0 < x < 2 ⇔ ⇔   2+ 2+ u >  x>    3−2 0 < x <   3+2 x >  wWw.VipLam.Net ⇔ t + + t − > (2) +)t ≥ 1: 3 (2) ⇔ 2t > ⇔ t > ⇔ x − ≥ 1( dot ≥ 1) ⇔ x ≥ +)0 ≤ t < 1: (2) ⇔ > x ≥ Vậy : ≤ x − ≤ ⇔  x ≤ Kết luận : x ≥ 2.Đk : x >   ( 2) ⇔  x + ÷ < x + x + 4(3) x  Đặt : 1 t= x+ ≥ x = 2, t ≥ 2 x x ⇒ x+ = t −1 4x Khi : ( 3) ⇔ 5t < ( t − 1) + Đk: x < −1 ∪ x > : x +1 x Đặt: t = ,t > ⇒ = x x +1 t Ta : − 2t > ⇔ 2t + 3t − < t ⇔ ( t + 1) ( 2t + t − 1) < ⇔ < t < (dot > 0) x +1 ⇔0< < ⇔ − < x < −1 x Bài 3:  x < −1 Đk: x − > ⇔  x >1 +) Xét x < -1 :bpt VN +) x > : x2 x2 1225 + > 2 x −1 x −1 144 x x 1225 ⇔ + − > 0(2) x −1 x −1 144 ( 1) ⇔ x + t=  t< ⇔ 2t − 5t + > ⇔   t > 2 x > ⇔ 2x − x + > Đặt : u = x , u > Ta : 2u2 – 4u + 1> ,t >0 1225 >0 144 25 ( dot > 0) 12 x2 25 > ⇔144 x > 625 x − 625 12 x −1 ⇔t > Đặt : x+ x −1 (2) ⇔t + 2t − Do đk:Ta có x2 ⇔ ⇔144 x − 625 x + 625 > 25   0 ≤ x < 16 1 < x < ⇔ ⇔ (dox >1) x > 25 x >    