Đang tải... (xem toàn văn)
Trong toán học sơ cấp, véctơ là một đoạn thẳng có hướng. Ví dụ trong mặt phẳng cho hai điểm phân biệt A và B bất kì ta có thể xác định được véctơ A B → {displaystyle {overrightarrow {AB}}} {displaystyle {overrightarrow {AB}}} được mô tả như hình vẽ. Vectơ hướng từ A đến B Trong toán học cao cấp, một véctơ là một phần tử trong một không gian vectơ, được xác định bởi ba yếu tố: điểm đầu (hay điểm gốc), hướng (gồm phương và chiều) và độ lớn (hay độ dài). Ví dụ, đoạn thẳng AB có điểm gốc là A, hướng từ A đến B được gọi là vectơ AB, kí hiệu là A B → {displaystyle {overrightarrow {AB}}} {displaystyle {overrightarrow {AB}}}. Véctơ được kí hiệu là A B → {displaystyle {overrightarrow {AB}}} {displaystyle {overrightarrow {AB}}} hoặc a → {displaystyle {vec {a}}} {vec a}, b → {displaystyle {vec {b}}} {displaystyle {vec {b}}}, u → {displaystyle {vec {u}}} {vec u}, v → {displaystyle {vec {v}}} {vec v}
BÀI TẬP CHƯƠNG II - HÌNH HỌC 10 MINH HIẾU BÀI TẬP TỰ LUẬN CHƯƠNG II TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG I GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 00 ĐẾN 1800 Định nghĩa Lấy M đường tròn tâm O Xét góc nhọn = sin = y (tung độ ) cos = x (hoành độ ) tungñoä nhñoä hoaø x hoaø nhñoä cot = y tungñoä tan = y x xOM Giả sử M(x; y) y (x 0) y -1 O M x1 x (y 0) Chú ý: – Nếu tù cos < 0, tan < 0, cot < – tan xác định 900, cot xác định 00 1800 Tính chất Góc phụ Góc bù sin(900 ) cos cos(900 ) sin tan(900 ) cot cot(900 ) tan sin(1800 ) sin cos(1800 ) cos tan(1800 ) tan cot(1800 ) cot Giá trị lượng giác góc đặc biệt 00 300 450 600 900 1800 sin 2 cos 2 2 0 –1 tan 3 cot 3 Các hệ thức sin (cos 0) cos cos cot (sin 0) sin tan cot (sin cos 0) tan sin2 cos2 1 tan2 (cos 0) cos2 1 cot (sin 0) sin2 Chú ý: sin 1; cos Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau: -1- BÀI TẬP CHƯƠNG II - HÌNH HỌC 10 MINH HIẾU a) a sin 00 b cos00 c sin900 b) a cos900 b sin900 c sin1800 c) a2 sin900 b2 cos900 c2 cos1800 d) sin2 900 2cos2 600 3tan2 450 e) 4a2 sin2 450 3(a tan450 )2 (2a cos450 )2 Bài 2: Tính giá trị biểu thức sau: a) sin x cos x x 00; 450; 600 b) 2sin x cos2x x 450; 300 Bài 3: lại: Cho biết giá trị lượng giác góc, tính giá trị lượng giác a) sin , nhọn b) cos c) tan x 2 6 Tinh cos150 , tan150 , cot150 Bài 4: Biết sin150 Bài 5: Cho biết giá trị lượng giác góc, tính giá trị biểu thức: tan x 3cot x tan x cot x sin cos a) sin x , 900 x 1800 Tính A b) tan Tính B sin3 3cos3 2sin Bài 6: Chứng minh đẳng thức sau: a) (sin x cos x)2 2sin x.cos x b) sin4 x cos4 x 2sin2 x.cos2 x c) tan2 x sin2 x tan2 x.sin2 x d) sin6 x cos6 x 1 3sin2 x.cos2 x e) sin x.cos x(1 tan x)(1 cot x) 1 2sin x.cos x f) Bài 7: Rút gọn biểu thức sau: a) cos y sin y.tan y d) cos2 x sin2 x b) cosb cosb tan x.cot x e) c) sin a 1 tan2 a 4sin2 x.cos2 x (sin x cos x)2 f) sin(900 x) cos(1800 x) sin2 x(1 tan2 x) tan2 x g) cos10 + cos20 + + cos170 + cos180 Bài 8: Tính giá trị biểu thức sau: a) cos2 120 cos2 780 cos2 10 cos2 890 b) sin2 30 sin2 150 sin2 750 sin2 870 II TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Góc hai vectơ Cho a, b Từ điểm O vẽ OA a,OB b Khi a, b AOB với 00 AOB 1800 Chú ý: + a, b = 900 a b -2- b a A a O b B BÀI TẬP CHƯƠNG II - HÌNH HỌC 10 + a, b = 00 a, b hướng + a, b = 1800 a, b ngược hướng MINH HIẾU + a, b b, a Tích vô hướng của hai vectơ Định nghĩa: a.b a b cos a , b 2 Đặc biệt: a.a a2 a Tính chất: Với a , b, c kR, ta có: + a.b b.a ; a b c a.b a.c ; ka b k a.b a. kb ; a 0; a a + + a2 b2 a b a b a b 2 a 2a.b b2 ; a b 2 a 2a.b b2 ; a.b > a, b nhọn a.b = a, b vuông a.b < a, b tù Biểu thức toạ độ tích vô hướng Cho a = (a1, a2), b = (b1, b2) Khi đó: a.b a1b1 a2b2 a a12 a22 ; cos(a, b) a1b1 a2b2 a12 a22 b12 b22 ; a b a1b1 a2b2 Cho A( xA; yA ), B( xB ; yB ) Khi đó: AB ( xB xA )2 ( yB yA )2 Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, AB = a, BC =2a Tính tích vô hướng: a) AB.AC b) AC.CB c) AB.BC Bài 2: Cho tam giác ABC cạnh a Tính tích vô hướng: a) AB.AC b) AC.CB c) AB.BC Bài 3: Cho bốn D bất điểm A, B, C, kì a) Chứng minh: DA.BC DB.CA DC.AB b) Từ suy cách chứng minh định lí: "Ba đường cao tam giác đồng qui" Bài 4: Cho tam ba trung tuyến AD, BE, CF Chứng minh: giác ABC với BC.AD CA.BE AB.CF Bài 5: Cho hai điểm M, N nắm đường tròn đường kính AB = 2R Gọi I giao điểm hai đường thẳng AM và BN a) Chứng minh: AM AI AB.AI , BN.BI BA.BI b) Tính AM AI BN.BI theo R Bài 6: Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = a) Tính AB AC . , suy giá trị góc A b) Tính CACB c) Gọi D điểm CA cho CD = Tính CD.CB Bài 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính giá trị biểu thức sau: -3- BÀI TẬP CHƯƠNG II - HÌNH HỌC 10 MINH HIẾU a) AB.AC b) ( AB AD )(BD BC) c) ( AC AB)(2AD AB) d) AB.BD e) ( AB AC AD )( DA DB DC) HD: a) a2 b) a2 c) 2a2 d) a2 e) Bài 8: Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = a) Tính AB.AC , suy cosA b) Gọi G trọng tâm ABC Tính AG .BC . c) Tính giá trị biểu thức S = GA.GB GB.GC GC.GA d) Gọi AD phân giác góc BAC (D BC) Tính AD theo AB, AC , suy AD HD: a) AB.AC , cos A b) AG.BC d) Sử dụng tính chất đường phân giác DB c) S 29 54 AB DC AD AB AC , AD AC 5 Bài 9: Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 600 M trung điểm BC a) Tính BC, AM b) Tính IJ, I, J xác định bởi: 2IA IB 0, JB 2JC HD: a) BC = 19 , AM = b) IJ = 133 Bài 10: Cho tứ giác ABCD a) Chứng minh AB2 BC2 CD DA2 AC.DB b) Suy điều kiện cần đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là: AB2 CD BC2 DA2 Bài 11: Cho tam giác ABC có trực tâm H, M trung điểm BC Chứng minh: MH MA BC2 Bài 12: Cho hình chữ nhật ABCD, M điểm Chứng minh: a) MA MC2 MB2 MD b) MA.MC MB.MD c) MA2 MB.MD 2MA.MO (O tâm hình chữ nhật) Bài 13: Cho tam giác ABC có A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0) a) Tính chu vi nhận dạng tam giác ABC b) Tìm toạ độ điểm M biết CM AB 3AC c) Tìm tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 14: Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8) a) Tính AB.AC Chứng minh tam giác ABC vuông A b) Tìm tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC c) Tìm toạ độ trực tâm H trọng tâm G tam giác ABC d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC e) Tìm toạ độ điểm M Oy để B, M, A thẳng hàng f) Tìm toạ độ điểm N Ox để tam giác ANC cân N g) Tìm toạ độ điểm D để ABDC hình chữ nhật h) Tìm toạ độ điểm K Ox đểAOKB là hình thang đáy AO i) Tìm toạ độ điểm T thoả TA 2TB 3TC -4- BÀI TẬP CHƯƠNG II - HÌNH HỌC 10 MINH HIẾU k) Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B l) Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác đỉnh C ABC Bài 15: Cho tam giác ABC tìm tập hợp điểm M cho: a) MA2 2MA.MB b) ( MA MB)(2MB MC) c) ( MA MB)( MB MC) d) 2MA2 MA.MB MA.MC Bài 16: Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O Tìm tập hợp điểm M cho: a) MA.MC MB.MD a2 b) MA.MB MC.MD 5a2 c) MA2 MB2 MC2 3MD d) ( MA MB MC)( MC MB) 3a2 Bài 17: Cho tứ giác ABCD, I, J trung điểm AB CD Tìm tập hợp điểm M cho: MA.MB MC.MD IJ Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB=2a, đáy lớn BC=3a, đáy nhỏ Bài 18: AD=2a III HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Cho ABC có: – độ dài cạnh: BC = a, CA = b, AB = c – độ dài đường trung tuyến vẽ từ đỉnh A, B, C: ma, mb, mc – độ dài đường cao vẽ từ đỉnh A, B, C: ha, hb, hc – bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r – nửa chu vi tam giác: p – diện tích tam giác: S Định lí côsin a2 b2 c2 2bc.cos A ; b2 c2 a2 2ca.cosB ; c2 a2 b2 2ab.cosC Định lí sin a b c 2R sin A sin B sin C Độ dài trung tuyến ma2 2(b2 c2 ) a2 ; mb2 2(a2 c2 ) b2 ; 4 Diện tích tam giác 1 aha bhb chc 2 1 = bc sin A ca sin B ab sin C 2 abc = 4R = pr S= -5- mc2 2(a2 b2 ) c2 BÀI TẬP CHƯƠNG II - HÌNH HỌC 10 MINH HIẾU = p( p a)( p b)( p c) (công thức Hê–rông) Giải tam giác tính cạnh góc tam giác biết số yếu tố cho trước Hệ thức lượng tam giác vuông (nhắc lại) A Cho ABC vuông A, AH đường cao BC2 AB2 AC2 (định lí Pi–ta–go) AB2 BC.BH , AC2 BC.CH B H C AH BH CH , AH AB AC2 AH BC AB.AC b a.sin B a.cosC c tan B c cot C ; c a.sin C a.cosB b tan C b cot C Hệ thức lượng đường tròn (bổ sung) Cho đường tròn (O; R) điểm M cố định Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD PM/(O) = MA.MB MC.MD MO2 R2 Nếu M đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT PM/(O) = MT MO2 R2 T B A R O M C D Bài 1: Chứng minh tam giác ABC ta có; a) a b.cosC c.cosB b) sin A sin B cosC sin C cosB d) ma2 mb2 mc2 (a2 b2 c2 ) c) 2Rsin B sin C e) S ABC Bài 2: AB2 AC2 AB.AC Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: a) Nếu b + c = 2a 1 hb hc b) Nếu bc = a2 sin B sin C sin2 A, hbhc ha2 c) A vuông mb2 mc2 5ma2 Bài 3: Cho tứ giác lồi ABCD, gọi góc hợp hai đường chép AC BD a) Chứng minh diện tích S tứ giác cho công thức: S AC.BD.sin b) Nêu kết trường hợp tứ giác có hai đường chéo vuông góc Bài 4: Cho ABC vuông A, BC = a, đường cao AH a) Chứng minh AH a.sin B.cosB, BH a.cos2 B, CH a.sin2 B b) Từ suy AB2 BC.BH , AH BH HC Bài 5: Cho AOB cân đỉnh O, OH OK đường cao Đặt OA = a, AOH a) Tính cạnh OAK theo a b) Tính cạnh tam giác OHA AKB theo a c) Từ tính sin2 , cos2 , tan2 theo sin , cos , tan Bài 6: Giải tam giác ABC, biết: a) c 14; A 600; B 400 b) b 4,5; A 300; C 750 c) c 35; A 400; C 1200 d) a 137,5; B 830; C 570 -6- BÀI TẬP CHƯƠNG II - HÌNH HỌC 10 MINH HIẾU Bài 7: Giải tam giác ABC, biết: a) a 6,3; b 6,3; C 540 b) b 32; c 45; A 870 c) a 7; b 23; C 1300 d) b 14; c 10; A 1450 Bài 8: Giải tam giác ABC, biết: a) a 14; b 18; c 20 b) a 6; b 7,3; c 4,8 c) a 4; b 5; c d) a 3; b 2; c $ BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II $ Bài 1: a) Chứng minh đẳng thức sau: sin x cos x cos x sin x sin x b) sin3 x cos3 x sin x.cos x sin x cos x tan2 x cos2 x sin2 x tan2 x c) d) 1 2 2tan x 4sin x.cos x sin x cos x sin x 2 sin x cos x e) sin x cos x cos x(1 tan x) sin x(1 cot x) cos x sin x f) tan x cot x sin x cos x sin x.cos x g) cos2 x(cos2 x 2sin2 x sin2 x tan2 x) Bài 2: Biết sin180 1 Tính cos180, sin720, sin1620, cos1620, sin1080, cos1080, tan720 Bài 3: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: a) A = cos4 x cos2 x sin2 x b) B = sin4 x sin2 x cos2 x Bài 4: Cho vectơ a, b a) Tính góc a, b , biết a, b hai vectơ u a 2b, v 5a 4b vuông góc b) Tính a b , biết a 11, b 23, a b 30 c) Tính góc a, b , biết (a 3b) (7a 5b), (a 4b) (7a 2b) d) Tính a b , 2a 3b , biết a 3, b 2, (a, b) 1200 e) Tính a , b , biết a b 2, a b 4, (2a b) (a 3b) Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = a) Tính AB.AC cosA 3 b) M, N hai điểm xác định AM AB, AN AC Tính MN Bài 6: Cho bình hình hành ABCD có AB = , AD = 1, BAD 60 a) Tính AB.AD, BA.BC b) Tính độ dài hai đường chéo AC BD Tính cos AC, BD Bài 7: Cho tam giác ABC có góc A nhọn Về phía tam giác vẽ tam giác vuông cân đỉnh A ABD ACE Gọi I trung điểm BC Chứng minh AI DE Bài 8: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O Gọi H, K trực tâm tam giác ABO CDO Gọi I, J trung điểm AD BC -7- BÀI TẬP CHƯƠNG II - HÌNH HỌC 10 MINH HIẾU Chứng minh HK IJ Bài 9: Cho hình vuông ABCD có cạnh 1, M trung điểm cạnh AB Trên đường chéo AC lấy điểm N cho AN AC a) Chứng minh góc DN vuông với MN b) Tính tổng DN.NC MN.CB Bài 10: Cho hợp điểm tam giác ABC Tìm tập M cho: a) AB b) AB AC.AM AC.AM .AM .AM c) ( MA MB)( MA MC) d) ( MA MB 2MC)( MA 2MB MC) Bài 11: Chứng minh tam giác ABC ta có: 2 a) b c a(b.cosC c.cosB) b) (b2 c2 ) cos A a(c.cosC b.cos B) b) sin A sin B.cosC sin C.cosB sin( B C) Bài 12: Cho ABC Chứng minh rằng: a) Nếu (a b c)(b c a) 3bc A 600 b3 c3 a3 b) Nếu a2 A 600 b c a c) Nếu cos( A C) 3cos B B 600 d) Nếu b(b2 a2 ) c(a2 c2 ) A 600 Bài 13: Cho ABC Chứng minh rằng: b2 a2 b cos A a cos B ABC cân đỉnh C 2c sin B b) Nếu 2cos A ABC cân đỉnh B sin C c) Nếu a 2b.cosC ABC cân đỉnh A b c a d) Nếu ABC vuông A cosB cosC sin B.sin C a) Nếu e) Nếu S 2R2 sin B.sin C ABC vuông A Bài 14: Cho ABC Chứng minh điều kiện cần đủ để hai trung tuyến BM CN vuông góc với là: b2 c2 5a2 Bài 15: Cho ABC a) Có a = 5, b = 6, c = Trên đoạn AB, BC lấy điểm M, K cho BM = 2, BK = Tính MK b) Có cos A , điểm D thuộc cạnh BC cho ABC DAC , DA = 6, BD chu vi tam giác ABC HD: a) MK = 30 15 b) AC = 5, BC = 25 , AB = 10 Bài 16: Cho tam giác có độ dài cạnh là: x2 x 1; 2x 1; x2 a) Tìm x để tồn tam giác b) Khi chứng minh tam giác có góc 1200 Bài 17: Cho ABC có B 900 , AQ CP đường cao, S ABC 9SBPQ -8- 16 Tính BÀI TẬP CHƯƠNG II - HÌNH HỌC 10 MINH HIẾU a) Tính cosB b) Cho PQ = 2 Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp ABC HD: a) cosB b) R Bài 18: Cho ABC a) Có B 600 , R = 2, I tâm đường tròn nội tiếp Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ACI b) Có A 900 , AB = 3, AC = 4, M trung điểm AC Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp BCM c) Có a = 4, b = 3, c = 2, M trung điểm AB Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp BCM HD: a) R = b) R 13 c) R 23 30 Bài 19: Cho hai đường tròn (O1, R) (O2, r) cắt hai điểm A B Một đường thẳng tiếp xúc với hai đường tròn C D Gọi N giao điểm AB CD (B nằm A N) Đặt AO1C , AO2D a) Tính AC theo R ; AD theo r b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ACD HD: 2 a) AC = 2Rsin , AD = 2r sin b) Rr Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC, BD = a, CAB , CAD a) Tính AC b) Tính diện tích tứ giác ABCD theo a, , Bài 20: HD: a a) AC = sin( ) a2 cos( ) b) S 2sin( ) Bài 21: Cho ABC cân đỉnh A, A , AB = m, D điểm cạnh BC cho BC = 3BD a) Tính BC, AD b) Chứng tỏ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD, ACD Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp ABC m 11 a) BC = 2msin , AD = b) cos 4cos 16 cos để bán kính chúng HD: _Hết _ * Learning is the eye of the mind * -9- ... ngoại tiếp BCM HD: a) R = b) R 13 c) R 23 30 Bài 19: Cho hai đường tròn (O1, R) (O2, r) cắt hai điểm A B Một đường thẳng tiếp xúc với hai đường tròn C D Gọi N giao điểm AB CD (B nằm A N) Đặt... ABC với BC.AD CA.BE AB.CF Bài 5: Cho hai điểm M, N nắm đường tròn đường kính AB = 2R Gọi I giao điểm hai đường thẳng AM và BN a) Chứng... Cho tứ giác lồi ABCD, gọi góc hợp hai đường chép AC BD a) Chứng minh diện tích S tứ giác cho công thức: S AC.BD.sin b) Nêu kết trường hợp tứ giác có hai đường chéo vuông góc Bài 4: Cho