CÁC bài TOÁN bất ĐẲNG THỨC nguyễn phúc tăng

Thông tin tài liệu

Bất đẳng thức do Trần Phương và Tăng biên soạn.Võ Quốc Bá Cẩn.Phạm kim Hùng.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Nguyễn Phúc Tăng - AIT CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC Nguyễn Phúc Tăng Sưu tầm giới thiệu * Các bất đẳng thức quan trọng mở rộng :  Bất đẳng thức AM - GM Nếu a1 , a2 , , an số thực không âm a1  a2   an n  a1a2 an n Đẳng thức xảy a1  a2   an  Bất đẳng thức AM - GM suy rộng Cho số dương w1 , w2 , , wn thoả mãn w1  w2   wn  Nếu a1 , a2 , , an số thực không âm w1a1  w2 a2   wn an  a1w1 a2w2 anwn Đẳng thức xảy a1  a2   an  Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Cho hai dãy số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn Ta có:  a1b1  a2b2   anbn    a12  a22   an2  b12  b22   bn2  Đẳng thức xảy a a1 a2    n b1 b2 bn Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức Cho hai dãy số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn Ta có:  an  a1  a2   an  a12 a2     b1 b2 bn b1  b2   bn Đẳng thức xảy  Bất đẳng thức Holder a a1 a2    n b1 b2 bn Nguyễn Phúc Tăng - AIT      Với m dãy số dương a1,1 , a1,2 , a1,n , a2,1 , a2,2 , , a2,n am,1 , am,2 , , am,n ta có: m  n   n   , j     m  , j  i 1  j 1   j 1 i 1 m    m Đẳng thức xảy m dãy tương ứng tỉ lệ +Bất đẳng thức Cauchy - Chwarz hệ bất đẳng thức Holder m = Bất đẳng thức Minkowski Cho hai dãy số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn Ta có:  a12  b12  a22  b22   an2  bn2   a1  a2   an    b1  b2   bn  Bất đẳng thức Minkowski dạng mở rộng Cho hai dãy số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn Ta có:  n a1a2 an  n b1b2 bn  n  a1  b1  a2  b2   an  bn  Dấu ‘‘=’’ bất đẳng thức Minkowski giống với Cauchy - Schwarz  Bất đẳng thức Vonicur Schur Cho số thực không âm a, b, c Nếu r  0, a r  a  b  a  c   b r  b  c  b  a   c r  c  a  c  b   Đẳng thức xảy a = b = c, a = 0, b = c hoán vị  Bất đẳng thức Bernolli Với số nguyên r  x > - 1  x  r   rx * Các kí hiệu viết tắt thường dùng :  n a k 1   a1  a2   an k  a b  a b  b c  c a (Sigma cyclic: Tổng hoá vị) 2 2 cyc   a b  a b  b c  c a  ab 2 k  a1a2 an 2  bc  ca (Sigma Symmetric: Tổng đối xứng) sym  n a k 1  R -Tập số thực R  -Tập số thực dương  N* - Tập số tự nhiên bỏ qua phần tử Nguyễn Phúc Tăng - AIT  Q - Tập số hữu tỉ  [a, b] - Đoạn (khoảng đóng) hai đầu mút a, b  (a, b) - Đoạn mở hai đầu mút a, b  MO - National Mathematical Olympiad  IMO - International Mathematical Olympiad  TST - Selection Test for International Mathematical Olympiad  VMEO - Viet Nam Mathematical EOlympiad  VMO - Viet Nam Mathematical Olympiad  S.O.S - Sum of Square  MV - Mixing Variables hay dồn biến  SMV - Stronger Mixing Variables hay dồn biến mạnh  THTT - Mathematical and Youth Magazine hay tạp chí Toán Học  APMO - Asian Pacific Mathematical Olympiad  R.M.M - Rumanian Mathematical Magazine  Kvant - Russia Magazine Tuổi Trẻ * Các toán ứng dụng: Bài 1: Cho x, y, z số thực dương có tích 1.Chứng minh rằng: x3  (1  y)(1  z)  (IMO shortlist 1998) Bài 2: Cho a, b, c > thoả mãn abc = Chứng minh rằng: a4  b2 (c  2)  Bài 3: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: abc   cyc a ( a  b) Bài 4: Cho a, b, c > Chứng minh rằng:  a3 b  c  abc Bài : Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a3 abc  bc  a  Bài 6: Cho a, b, c > thoả mãn : 1    Chứng minh rằng: a b c a2 abc  a  bc  Nguyễn Phúc Tăng - AIT Bài 7: Cho x, y, z > 1    Chứng minh rằng: x y z  2x  y  z  1 1    12 x y yz zx Bài 8: : Cho x, y, z > thoả mãn Chứng minh rằng:  x  y  3z  (Đề chuyên toán Hà Nam 2016-2017) Bài 9: Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc = ab + bc + ca Chứng minh :  a  2b  3c  16 Bài 10: Cho a, b, c > thoả mãn abc = Chứng minh rằng:   cyc ab  a  Bài 11: Cho x, y, z > thoả mãn xy + yz + xz = 3xyz Chứng minh rằng: x cyc x   xy  Bài 12: Cho x, y, z > x  y  z  Chứng minh rằng: 2   xy  cyc (ĐTTS lớp 10 chuyên Toán – Tin, ĐH Sư phạm Vinh 2002 - 2003 ) Bài 13: Chứng minh với a, b, c > ta có: 1 1    3. a b c a  2b (ĐTTS lớp 10 chuyên Ngoại ngữ, ĐHNN Hà Nội 2007-2008) Bài 14: Cho a, b, c > thoả mãn abc = 1.Chứng minh rằng:  (a  1) 1   b 1 2 Bài 15: : Cho a, b, c >0 Chứng minh rằng: a 1   b  abc abc (Đề thi USA MO 1998) Bài 16: Cho a, b, c > thoả mãn abc = Chứng minh rằng: Nguyễn Phúc Tăng - AIT a ab 1  b5  ab (ĐTTS vào 10 Nguyễn Trãi, Hải Dương 2016-2017) Bài 17: Chứng minh với a, b, c, d > ta có : 1 1 abcd  3 3 3 a b c d abcd (Đề thi Austrian MO 2005) Bài 18: Cho a, b, c, d > Chứng minh rằng: a  b5  c  d abcd  abcd Bài 19: Cho a, b, c, d > Chứng minh rằng:  a  b  c  d   abc  bcd  cda  dab 16 Bài 20: Cho a, b, c > a + b +c =3 Chứng minh ; a 1 b cyc  (Bulgarian TST 2003) Bài 21: : Cho a, b, c không âm thoả mãn a + b + c = 3.Chứng minh: a2 1  a  b cyc 2 Bài 22: Cho a, b, c > thoả mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 2a  abc  a  b cyc (Đề thi vào 10 chuyên toán, Hà Nội 2016-2017) Bài 23: Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh rằng: b cyc a   ab Bài 24: Cho a, b, c số thực không âm thoả mãn: a + b + c = 3.Chứng minh rằng: b cyc a   16 (Trần Quốc Anh) Bài 25: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a3 abc   2 cyc a  b Bài 26: Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh rằng: a 1 3 1 b cyc Nguyễn Phúc Tăng - AIT Bài 27: Cho x, y, z > xyz = Chứng minh rằng: x4 y  x2   (Trần Quốc Anh) Bài 28: Cho a, b, c > 0; abc = Chứng minh rằng: 1 a cyc  b abc   (Phạm Kim Hùng) Bài 29: : Cho a, b, c > thoả mãn a + b + c = abc Chứng minh rằng: a  bc(1  a )  Bài 30: Cho a, ,b c > 0; a + b + c = Chứng minh rằng:  ab  2c  2c  ab  bc  ca (Đề thi Turkish TST 2007) Bài 31: Cho x, y, z > 0; xy + yz + zx = Chứng minh rằng:  4x cyc 1  xy  Bài 32: Cho a, b, c > thoả mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a  bc b  ca c  ab   6 b c a (Nguyễn Phúc Tăng) Bài 33: Cho x, y, z > x + y + z = Chứng minh :  x2   82 x2 Bài 34: Cho a, b, c >0 a + b + c  Chứng minh rằng:  a2  17  b2 Bài 35: : Tìm GTLN: x  2016 x  2017  x 1 x 1 (ĐTTS vào 10 Chuyên Lê Quý Đôn-Bình Định2016-2017) Bài 36: Cho a, b, c > thoả mãn a + b + c = Chứng minh rằng: 19b3  a  ba  5b2  Bài 37: Cho số dương a, b, c thoả mãn a  b  c  1.Tìm GTNN: Nguyễn Phúc Tăng - AIT  2a  ab  2b cyc (ĐTTS vào 10, Hưng Yên 2016-2017) Bài 38: Cho a, b, c số thực không âm thoả mãn: a + b + c = Chứng minh rằng:  a  ab  2b2  cyc Bài 39: Cho a, b, c > thoả mãn abc = Chứng minh rằng:  1  a3 2 Bài 40: Cho a, b, c > a  b  c  Chứng minh rằng: a 3  b2  c  a ,b ,c (Đề thi vào 10 chuyên toán THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp 2016 2017 / Tạp chí CruxMath) Bài 41: Cho a, b, c > a +b +c =3 Chứng minh rằng: a  b  c  ab  bc  ca (Russia 2002) Bài 42: Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh rằng: a  b  c  ab  bc  ca Bài 43: : Cho a, b,c số thực không âm Chứng minh rằng:  a(a  c)  2(ab  bc  ca) cyc (Komal Magazine) Bài 44: : Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh rằng: a (a  c  2b)  ab   Bài 45: Cho x, y, z >0 Chứng minh rằng:  x x 1 ( x  y )( x  z ) (Đề thi 10 chuyên toán Hà Nội 2014-2015 / Tạp chí Crux math) Bài 46: Cho a, b, c > Chứng minh rằng:  a3 a  b  c 3 1 Bài 47: Cho x, y, z số hực dương thoả mãn x + y + z = Chứng minh rằng: 1 x  y  z  xy  yz  zx Nguyễn Phúc Tăng - AIT (Tạp chí toán học tuổi trẻ, T4, Số 425, Tháng 12 năm 2012) Bài 48: Cho số thực dương x, y, z Chứng minh : xyz ( x  y  z  x  y  z )   ( x  y  z )( xy  yz  zx) (Đề thi 10 vào 10 THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hoá năm 2014-2015) Bài 49: Cho a, b, c số thực không âm ab + bc + ca > Chứng minh rằng:   a2 3 bc Bài 50: Chứng minh với nọi số thực dương a, b, c ta có: a  2b 3 a  ab  bc  Bài 51: Cho a, b, c > thoả mãn a + b + c = Chứng minh rằng:  ab 3 c  ab Bài 52: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:  a  bc abc  b2  c2 a  b  c (Phạm Hữu Đức) Bài 53: Cho số thực không âm a, b, c Chứng minh rằng:  a b  c 2 a  bc (Phạm Kim Hùng, Vasile) Bài 54: Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh rằng: a  bc  b  ca  (Trần Quốc Anh) Bài 55: Cho a, b, c, d > Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 1     a  b2  c2  d ab bc cd da (Vasile Cirtoaje) Bài 56: Cho a, b, c số thực không âm thoả mãn (a+b)(b+c)(c+a) > Chứng minh rằng:  a  ab  b 2  ab  bc  ca   4 c  ab a  b2  c2 (Bùi Ngọc Anh) Bài 57: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: Nguyễn Phúc Tăng - AIT  a  a  bc  bc  a  b2  c Bài 58: Cho a, b, c > Chứng minh : 3(a  b  c ) ab  bc  ca  2 (a  b  c )2 a  b  c Bài 59: Cho x, y, z số thực dương Chứng minh rằng:   ( xy  yz  xz )     x  y     (Iranian Mathematical Olumpiad 1996) Bài 60: Cho x, y, z số thực không âm Chứng minh rằng: x cyc   xy  y ( x  y  z )2 Bài 61: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: 1 bc    a b c a  bc Bài 62: Cho a, b, c  Chứng minh rằng: a  bc  bc  abc Bài 63: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b  c  2a  b  c  3abc  a  b  c  (Nguyễn Văn Quý) Bài 64: Cho a, b, c > Chứng minh rằng:  a  bc  3 a  b  c  bc Bài 65: Cho a, b, c  Chứng minh rằng:  a3  abc  abc bc Bài 66: Chứng minh với a, b, c  ta có:  a3  abc b  c  Bài 67: Cho a, b, c số thực dương thay đổi thoả mãn a + b + c = Tìm GTNN: 14  a  b  c   ab  bc  ca a b  b2c  c a (Đề thi 10 chuyên toán,Nguyễn Trãi, Hải Dương 2016-2017) Nguyễn Phúc Tăng - AIT Bài 68: Cho (a  b)  4ab  12 Chứng minh rằng: 1   2015ab  2016 a 1 b 1 (Đề thi vào 10 chuyên toán, THPT Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương 2015-2016) Bài 69: Cho a, b, c số thực thoả mãn abc = Chứng minh rằng: a2 1  a ,b ,c ( a  1) Bài 70: Cho a, b, c > thoả mãn abc = Chứng minh rằng: 5bc a ba c  2 15 Bài 71: Cho a, b, c > thoả mãn abc = Chứng minh rằng:  1 a ,b ,c 2a Bài 72: Cho số thực x, y, z thoả mãn x + y + z  x( yz  1)2 y ( zx  1)2 z ( xy  1)2 15    z ( zx  1) x ( xy  1) y ( yz  1) (ĐTTS lớp 10 THPT Lam Sơn 2016-2017) Bài 73: Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a  (b  c)  4( a  b  c) (Darij Grinberg) Bài 74: Cho số thực a, b, c, x, y, z Chứng minh bất đẳng thức sau: x  ay  bz  a  b cyc (Rumanian TST) Bài 75: Cho trước số thực a, b Chứng minh bất đẳng thức sau với x, y, z số thực dương tuỳ ý: x2   ay  bz  az  by    a  b (Olympiad 30-4) Bài 76: Cho a, b, c > thoả mãn a + b + c = 1.Chứng minh rằng: a b2 c2    3(a  b  c ) b c a Bài 77: Cho a, b, c > a  b  c  1   , Chứng minh rằng: a b c Nguyễn Phúc Tăng - AIT  a  2b  3 cyc Bài 78: Giả sử a, b, c, d số thực không âm thoả mãn ab +bc +cd +da=1 Chứng minh rằng: a3  bcd (Đề thi IMO Shortlist 1998) Bài 79: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a5 a  b3  c  a2  ab  b2  Bài 80: Cho a, b, c > thoả mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a6  b3  c3  18 Bài 81: Cho a, b, c > abc = Chứng minh rằng:  cyc a  ab  a  1  abc (ĐTTS vào 10 chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội 2007-2008) Bài 82: Cho a, b, c > abc = Chứng minh :  cyc a3  2b3  1 Bài 83: Cho số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện : (x+y)(y+z)(z+x) = Chứng minh :  cyc x  xy  y xy   (Tạp chí Toán học tuổi trẻ T6, số 463) Bài 84: Cho số thực dương a, b,c thoả mãn abc + a + b = 3ab Chứng minh rằng: ab b a    a  b 1 bc  c  ca  c  (Đề thi học sinh giỏi môn toán tỉnh Phú Thọ năm 2011-2012)  Bài 85: Cho a, b, c > thoả mãn bất đẳng thức sau:  2 a  b  cyc Chứng minh rằng: ab + bc + ca  (Đề thi chọn đội tuyển Olympic toán vùng Balkan dành cho lứa tuổi thiếu niên, Rumanian 2007) Bài 86: Cho x, y, z độ dài cạnh tam giác Chứng minh : Nguyễn Phúc Tăng - AIT  x  1 y  z     (Tạp chí toán học tuổi trẻ, T4, Số 42, Tháng 7/2012) Bài 87: Cho a, b, c > thoả mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh : a3  (2a  b2 )(2a  c2 )  Bài 88: Cho x, y, z > thoả mãn x + y + z = xy + yz + xz Tìm GTNN: x 1  y 1 Bài 89: Cho a, b, c > abc  Chứng minh rằng: a5  a 0  2 cyc a  b  c (Đề thi IMO 2005) Bài 90: Cho a, b, c > thoả mãn abc = Chứng minh rằng:  a(a  c)  cyc (Đề thi Zhaukovty 2008) Bài 91: Cho x, y > thoả mãn xy = Tìm GTNN: x2  y x  y 1 (Đề thi vào 10 chuyên toán, Nguyễn Trãi, Hải Dương 2014-2015) Bài 92: Cho a, b, c > a + b + c = ab + bc + ca Chứng minh rằng: a2  a,b,c a  a   Bài 93: Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh rằng:  4b cyc a 1    a ,b ,c a a  (Đề thi Greece MO 2002) Bài 94: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a3 a2   b cyc cyc b (Đề thi Junior Banlkan 2000) Bài 95: Cho a, b, c số thực dương cho abc = Chứng minh : 1  cyc  a  b (Vasile Cirtoaje) Nguyễn Phúc Tăng - AIT Bài 96: Cho số thực không âm a, b, c thoả mãn ab + bc +ca > Chứng minh rằng: a abc   b2  bc  c ab  bc  ca Bài 97: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = Chứng minh : a a 1  b2  c Bài 98: Cho a, b, c > abc = Chứng minh : a b 2 cyc 1  b 4 Bài 99: a, b, c > thoả mãn abc = Chứng minh rằng:   cyc  a  b Bài 100: Chứng minh x  y  z  thì:  x2 y    z   x2  y  z   (Đề thi Việt Nam MO 1991) Bài 101: Chứng minh với a, b, c không âm ta có: a (b  c) 2  c2 b Bài 102: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: b a   c2 a  b  c (Phạm Kim Hùng) Bài 103: Cho a, b, c số thực không âm thoả mãn ab + bc +ca > Chứng minh rằng: a  16bc  b2  c2  10 Bài 104: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a  b2  c2 ab  ab  bc  ca a  ab  bc (Trần Quốc Anh) Bài 105: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a  b2  c2 ab  ab  bc  ca a  bc  b (Trần Quốc Anh) Bài 106: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a  b2  c2 ab  ab  bc  ca b  bc  c Nguyễn Phúc Tăng - AIT (Trần Quốc Anh) Bài 107; Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a  b2  c2 a2  ab  bc  ca a  ab  bc (Trần Quốc Anh) Bài 108: Cho x, y, z số thực dương thoả mãn (x - y)(x - z) = 1; y minh rằng:  ( x  y)  z Chứng 4 cyc (ĐTTS lớp 10 Chuyên Toán, Nam Định 2016-2017) Bài 109: Cho x, y, z số không âm thoả mãn (x + z)(y + z)=1 Chứng minh rằng:  ( x  y) 4 cyc (ĐTTS lớp 10 ĐHSP Hà Nội 2008) Bài 110: Cho x, y, z  0; (x-y)(y-z)(z-x)  Chứng minh rằng:   xy  yz  xz     4   x  y   (Trần Nam Dũng, VMO 2008) Bài 111: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: ab  bc  ca a  b  c  4 a  b2  c abc Bài 112: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau : a3  b3  c3 9(ab  bc  ca)   12 abc a  b2  c2 Bài 113: Chứng minh với a, b, c > ta có bất đẳng thức sau : a  b2  c2 8abc  2 ab  bc  ca (a  b)(b  c)(c  a ) Bài 114: Cho a, b, c số thực không âm hai số đồng thời Chứng minh : a (b  c)  b2  bc  c  (Darij Grinberg) Bài 115: Cho a, b, c > Chứng minh : a2  2a  (b  c  a)2  Bài 116: Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh : Nguyễn Phúc Tăng - AIT (b  c  a) 3(a  b  c )  2a  (b  c)2  (a  b  c)2 (Võ Quốc Bá Cẩn) Bài 117: Cho a, b, c > Chứng minh : a (b  c)  2 a  (b  c) (Đề thi Olympic 30/4, khối 11, lần XII - 2006) Bài 118: Cho a, b, c > Chứng minh : (b  c  3a)  2a  (b  c)2  (Phạm Văn Thuận, Mathlinks forum) Bài 119: Cho a, b, c > Chứng minh : (b  c  2a)  2a  (b  c)2  (USAMO 2003) Bài 120: Cho a, b, c > Chứng minh : (2a  b  c)2 12  4a3  (b  c)3  a  b  c Bài 121: Cho a, b, c > Chứng minh : (b  c  a)2  (b  c)2  a  (Đề thi HSG Đắc Lắc 2014-2015/ HOMC 2007) Bài 122: Cho a, b, c, d > thoả mãn a + b + c + d = Chứng minh : 16 a ,b ,c ,d 3a    (Vaslie Cirtoaje – Algebraic Inequalities – Old and New Method ) Bài 123: Cho a, b, c > Chứng minh : a2  a  (b  c)2  2 Bài 124: Cho a, b, c > thoả mãn a  b  c  Chứng minh : 1  a ,b ,c a   a Bài 125: Cho a, b, c > thoả mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh : 1    a  b2  c2 2 a b c (Đề thi Romania TST 2006) Bài 126: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: Nguyễn Phúc Tăng - AIT a  1 a  8bc (IMO 2001) Bài 127: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: 1   1 3a  (a  1) 3b  (b  1) 3c  (c  1) (Lê Hữu Điền Khuê THPT Quốc Học, Thành phố Huế) Bài 128: Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh rằng: a abc  bc a Bài 129: Chứng minh với số thực a, b, c không âm ta có: a  abc a  2b  cyc Bài 130: Chứng minh với số thực a, b, c không âm ta có: a  b  3c  Bài 131: Cho a, b, c  0; a + b + c = Chứng minh rằng:  a   b  bc Bài 132: Cho a, b, c  Chứng minh rằng:  2a  ab  bc  2a  b  c Bài 133: Cho a, b, c > Chứng minh rằng:  a 6a  b3  c  Bài 134: Cho a, b, c > Chứng minh rằng:  a  b3  c 1 Bài 135: Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh rằng:  4a  bc  abc Bài 136: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng:  a  a b c bca Bài 137: Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh rằng: Nguyễn Phúc Tăng - AIT a  bc  (Romania 2005) Bài 138: Cho a, b, c số thực thoả mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a b c    a  b  c  10 (Poland 1996) Bài 139: Cho a, b, c > thoả mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a b c    b c a abc Bài 140: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a  b2 ab 3 a  b  c     c cyc a  b 2 (Nguyễn Đình Thi, Cezar Lupu) Bài 141: Cho số thực dương a, b, c cho ab + bc + ca = Chứng minh rằng:  a3  a  a  b  c (Iran 2008) Bài 142: Cho số thực a, b, c Chứng minh rằng: a   b   c     a  b  c  (APMO 2004) Bài 143: Cho a, b, c > 0; abc = Chứng minh rằng:   a  b    a  b  c  1 cyc (MOSP 2001) Bài 144: Cho a, b, c > 0; a + b + c = Chứng minh rằng: a  b2  a  b2  c2 (Lê Việt Hưng, Hải Lăng, Quảng Trị ) Bài 145: Cho a, b, c > 0; abc = Chứng minh rằng: 1 1 a  b   a  cyc a ,b ,c (Bulgaria 1997) Bài 146: Cho a, b, c > 0; ab + bc + ca =3 Chứng minh rằng: 1   a  b  c   abc (Romania 2008) Nguyễn Phúc Tăng - AIT Bài 147: Cho số thực không âm a, b, c cho số đồng thời Chứng minh rằng:  cyc  a  2b   ab  bc  ca (Phạm Kim Hùng) Bài 148: Cho a, b, c > 0; abc = Chứng minh rằng: 1  a ,b ,c a  a  (Võ Quốc Bá Cẩn, Vasile Cirtoaje) Bài 149: Cho a, b, c > Chứng minh rằng:   a  b  c    abc (Mathlinks Contest) Bài 150: Cho a, b, c > 0; a  b  c  Chứng minh rằng: a2   b2  ac  (Nguyễn Phúc Tăng) Bài 151: Cho x, y, z số thực không âm thoả mãn x  y  z        x y   cyc x , y , z x     (Đề thi chọn đội tuyển VMO Bà Rịa - Vũng Tàu 2016-2017) Bài 152: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng:  a ,b ,c 1  a   21  ab  bc  ca   32 32 (Đề chọn đội tuyển VMO Thái Nguyên 2016-2017) Bài 153: Cho b  a > 0; c > Chứng minh rằng: a2 c2 ab   2 2 a c c b 2a (Nguyễn Phúc Tăng) Bài 154: Cho a, b, c số không âm Chứng minh rằng:  a2    a  b  c  a ,b ,c (Tạp chí Cruxmath) Bài 155: Chứng minh với số thực dương x, y, z ta có: x3  y  z x y  z  (Nguyễn Việt Hùng, GV THPT Chuyên KHTN,ĐHQGHN) Nguyễn Phúc Tăng - AIT Bài 156: Cho a, b, c > a + b + c = abc Chứng minh rằng: a b c    4 b c a abc (Lê Việt Hưng) Bài 157: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: ab  cyc abc a  b  c   abc  a  b  cyc (MOSP 2000) Bài 158: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a 1   8abc 3abc (Nguyễn Việt Hùng, GV THPT Chuyên KHTN,ĐHQGHN) Bài 159: Cho a, b, c > 0; a + b + c = Chứng minh rằng: a 2b  c3  a2  ab  b2   ab  bc  ca (Turkey National Olympiad ) Bài 160: Cho a, b, c > 0; a  b  c  Chứng minh rằng; a b3 c    abc  b c a (Nguyễn Phúc Tăng) Bài 161: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: 2 a b3 c  a  b  c   a  b  c     b2 c a ab  bc  ca (Nguyễn Phúc Tăng) Bài 162: Cho x, y, z > Chứng minh : 2x  y  z    x  y  x  z   x  y  z (Cruxmath) Chứng minh rằng:   a  bc  Bài 163: Cho a, b, c > ab + bc + ca = (China TST 2005) Bài 164: Cho a, b, c > 0; ab + bc + ca = Chứng minh rằng:  a 2 b  c2 Nguyễn Phúc Tăng - AIT Bài 165: Cho a, b, c > 0; abc = Chứng minh rằng:  a ,b ,c a3  a  1 3 (UK TST 2005) Bài 166: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b c  1 1    a  b  c         b c a a b c (UK MO 2005) Bài 167: Cho x, y, z số thực không âm thoả mãn x  y  z  Chứng minh rằng:  x x  yz  (Ukraine Olympiad 2008) Bài 168: Cho x, y, z > 0; x + y + z = Chứng minh rằng:  yz  x  x  27 31 (Serbia 2008) Bài 169: Cho a, b, c > thoả mãn a + b + c =3 Chứng minh rằng:   2 cyc a  b  (Iran 2009) Bài 170: Cho a, b, c số thực không âm cho a + b + c > Chứng minh rằng: a2   3a   b  c  (Võ Quốc Bá Cẩn, Viet Nam (IMO training camp) 2009) * Các tài liệu tham khảo: [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] Solving the inequality ***** Group/ Facebook Mathematical Inequality Group/ Facebook Imad Zak Group/ Facebook Diendantoanhoc.net http://www.ssmrmh.ro/ mathlinks.ro http://math.stackexchange.com/ Crux Mathematicorum Mathematical and Youth Magazine Nguyễn Phúc Tăng - AIT [10] Romanian Magazine [11] Kalva.demon.co.uk [12] Mathnfriend.net [13] k2pi.com [14] Mathlinks Inequality Forum [15] Vasile Cirtoaje [16] Daniel Sitaru [17] Leonard Giugiuc [18] Mathematical Reflections [19] Hojoo Lee - Topics in Inequalities [20] Kavant Magazine [21] IMO [22] Ha Noi Mathematical Open Compertion [23] Olympiad / Olympiad 30/4 [24] IMO Shortlist [25] JBMO, TST [26] Những viên kim cương bất đẳng thức toán học - Trần Phương sách số tác giả khác: Vasile Cirtoaje, Trần Quốc Anh, Võ Quốc Bá Cẩn, Phạm Kim Hùng, Phan Huy Khải, Bùi Việt Anh, Phan Thành Nam,… Hết [...]... môn toán 9 tỉnh Phú Thọ năm 2011-2012) 1  1 Bài 85: Cho a, b, c > 0 thoả mãn bất đẳng thức sau:  2 2 a  b  1 cyc Chứng minh rằng: ab + bc + ca  3 (Đề thi chọn đội tuyển Olympic toán vùng Balkan dành cho lứa tuổi thiếu niên, Rumanian 2007) Bài 86: Cho x, y, z là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng : Nguyễn Phúc Tăng - AIT  x  1 y  z   3 2  2  (Tạp chí toán học và tuổi trẻ, bài. .. Nam Dũng, VMO 2008) Bài 111: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: ab  bc  ca a  b  c  3 4 a 2  b2  c 2 abc Bài 112: Cho a, b, c > 0 Chứng minh bất đẳng thức sau : a3  b3  c3 9(ab  bc  ca)  2  12 abc a  b2  c2 Bài 113: Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0 ta luôn có bất đẳng thức sau : a 2  b2  c2 8abc  2 ab  bc  ca (a  b)(b  c)(c  a ) Bài 114: Cho a, b, c là các số thực không âm... KHTN,ĐHQGHN) Bài 159: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 1 Chứng minh rằng: a 2b 2 3  c3  a2  ab  b2   ab  bc  ca (Turkey National Olympiad ) Bài 160: Cho a, b, c > 0; a 2  b 2  c 2  3 Chứng minh rằng; a 3 b3 c 3    abc  4 b c a (Nguyễn Phúc Tăng) Bài 161: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: 2 2 2 a 3 b3 c 3  a  b  c   a  b  c     b2 c 2 a 2 ab  bc  ca (Nguyễn Phúc Tăng) Bài 162: Cho... rằng:  a  a b c bca Bài 137: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 Chứng minh rằng: Nguyễn Phúc Tăng - AIT a 3  2 bc  (Romania 2005) Bài 138: Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng: a b c 9    a 2  1 b 2  1 c 2  1 10 (Poland 1996) Bài 139: Cho a, b, c > 0 thoả mãn a 2  b 2  c 2  3 Chứng minh rằng: a b c 9    b c a abc Bài 140: Cho các số thực dương a, b,... Junior Banlkan 2000) Bài 95: Cho a, b, c là các số thực dương sao cho abc = 1 Chứng minh rằng : 1 1  2 cyc 1  a  b (Vasile Cirtoaje) Nguyễn Phúc Tăng - AIT Bài 96: Cho các số thực không âm a, b, c thoả mãn ab + bc +ca > 0 Chứng minh rằng: a abc   b2  bc  c 2 ab  bc  ca Bài 97: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng : a 3 a 1  b2  c Bài 98: Cho a, b, c >... 3 Bài 163: Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = (China TST 2005) Bài 164: Cho a, b, c > 0; ab + bc + ca = 1 Chứng minh rằng:  a 2 b  c2 2 Nguyễn Phúc Tăng - AIT Bài 165: Cho a, b, c > 0; abc = 1 Chứng minh rằng:  a ,b ,c a3  a  1 2 3 (UK TST 2005) Bài 166: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: 2 a b c  1 1 1    a  b  c         b c a a b c (UK MO 2005) Bài 167: Cho x, y, z là các. .. c cyc a  b 2 2 2 (Nguyễn Đình Thi, Cezar Lupu) Bài 141: Cho các số thực dương a, b, c sao cho ab + bc + ca = 1 Chứng minh rằng:  a3  a  2 a  b  c (Iran 2008) Bài 142: Cho các số thực bất kì a, b, c Chứng minh rằng: a 2  2  b 2  2  c 2  2   3  a  b  c  (APMO 2004) Bài 143: Cho a, b, c > 0; abc = 1 Chứng minh rằng:   a  b   4  a  b  c  1 cyc (MOSP 2001) Bài 144: Cho a, b,... Trị ) Bài 145: Cho a, b, c > 0; abc = 1 Chứng minh rằng: 1 1 1 a  b   a  2 cyc a ,b ,c (Bulgaria 1997) Bài 146: Cho a, b, c > 0; ab + bc + ca =3 Chứng minh rằng: 1 1  1  a  b  c   abc 2 (Romania 2008) 2 Nguyễn Phúc Tăng - AIT Bài 147: Cho các số thực không âm a, b, c sao cho không có 2 số nào đồng thời bằng 0 Chứng minh rằng:  cyc 1  a  2b  2  1 ab  bc  ca (Phạm Kim Hùng) Bài 148:... Cirtoaje) Bài 149: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: 1 3  1  a  b  c   2  abc 2 (Mathlinks Contest) Bài 150: Cho a, b, c > 0; a 2  b 2  c 2  3 Chứng minh rằng: a2  1  b2  ac  6 (Nguyễn Phúc Tăng) Bài 151: Cho x, y, z là các số thực không âm thoả mãn x 2  y 2  z 2  1  1  3 2     x y   2 cyc x , y , z x  1    2 (Đề thi chọn đội tuyển VMO Bà Rịa - Vũng Tàu 2016-2017) Bài 152:... 2016-2017) Bài 152: Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng:  a ,b ,c 1 1  a  3  3 21  ab  bc  ca   32 32 (Đề chọn đội tuyển VMO Thái Nguyên 2016-2017) Bài 153: Cho b  a > 0; c > 0 Chứng minh rằng: a2 c2 ab  2  2 2 2 2 a c c b 2a (Nguyễn Phúc Tăng) Bài 154: Cho a, b, c là các số không âm Chứng minh rằng:  a2  1  6  a  b  c  a ,b ,c (Tạp chí Cruxmath) Bài 155: Chứng minh rằng ... m  , j  i 1  j 1   j 1 i 1 m    m Đẳng thức xảy m dãy tương ứng tỉ lệ +Bất đẳng thức Cauchy - Chwarz hệ bất đẳng thức Holder m = Bất đẳng thức Minkowski Cho hai dãy số thực a1 , a2... c) (Darij Grinberg) Bài 74: Cho số thực a, b, c, x, y, z Chứng minh bất đẳng thức sau: x  ay  bz  a  b cyc (Rumanian TST) Bài 75: Cho trước số thực a, b Chứng minh bất đẳng thức sau với x,...  4 a  b2  c abc Bài 112: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau : a3  b3  c3 9(ab  bc  ca)   12 abc a  b2  c2 Bài 113: Chứng minh với a, b, c > ta có bất đẳng thức sau : a  b2

Ngày đăng: 07/01/2017, 19:17

Xem thêm: CÁC bài TOÁN bất ĐẲNG THỨC nguyễn phúc tăng, CÁC bài TOÁN bất ĐẲNG THỨC nguyễn phúc tăng

CÁC bài TOÁN bất ĐẲNG THỨC nguyễn phúc tăng

Thông tin tài liệu

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan