Đang tải... (xem toàn văn)
Phân dạng bài tập hình OXYZ Phân dạng bài tập hình OXYZ Phân dạng bài tập hình OXYZ Phân dạng bài tập hình OXYZ Phân dạng bài tập hình OXYZ Phân dạng bài tập hình OXYZ Phân dạng bài tập hình OXYZ Phân dạng bài tập hình OXYZ Phân dạng bài tập hình OXYZ Phân dạng bài tập hình OXYZ Phân dạng bài tập hình OXYZ Phân dạng bài tập hình OXYZ Phân dạng bài tập hình OXYZ Phân dạng bài tập hình OXYZ Phân dạng bài tập hình OXYZ Phân dạng bài tập hình OXYZ Phân dạng bài tập hình OXYZ Phân dạng bài tập hình OXYZ Phân dạng bài tập hình OXYZ Phân dạng bài tập hình OXYZ Phân dạng bài tập hình OXYZ Phân dạng bài tập hình OXYZ Phân dạng bài tập hình OXYZ Phân dạng bài tập hình OXYZ Phân dạng bài tập hình OXYZ Phân dạng bài tập hình OXYZ Phân dạng bài tập hình OXYZ
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN A Hệ trục tọa độ Oxyz khơng gian Hệ trục tọa độ Oxyz hệ trục gồm có ba trục Ox, Oy, Oz vng góc với đơi Ox ⊥ Oy Tức là: Oy ⊥ Oz Oz ⊥ Ox z r i r k r j y O x - Hệ trục tọa độ Oxyz gồm có thành phần sau: o o o o Góc tọa độ O: O(0;0;0) Trục tọa độ: Trục Ox: Gọi trục hồnh Trục Oy: Gọi trục tung Trục Oz: Gọi trục cao Các vectơ đơn vị vecto phương trục tọa độ: r Trục Ox: Có vecto đơn vị Ox có vecto phương i = ( 1;0; ) r r Trục Oy: Có vecto đơn vị j = ( 0;1; ) Oy có vecto phương j = ( 0;1; ) r r Trục Oz: Có vecto đơn vị k = ( 0;0;1) Oz có vecto phương k = ( 0;0;1) Các mặt phẳng tọa độ: Có ba mặt phẳng tọa độ là: Mp(Oxy), mp(Oyz), mp(Ozx) ( Oxy ) ⊥ ( Oyz ) Ba mặt phẳng tọa độ vng góc với đơi một, tức là: ( Oyz ) ⊥ ( Ozx ) ( Ozx ) ⊥ ( Oxy ) r r rr Mp(Oxy) có vecto pháp tuyến là: n = k = i, j r r r r Mp(Oyz) có vecto pháp tuyến là: n = i = j , k r r rr Mp(Ozx) có vecto pháp tuyến là: n = j = k , i B Tọa độ điểm: uuuur r r r uuuur Tọa độ OM tọa độ điểm M, tức là: OM = x.i + y j + z.k ⇔ M ( x; y; z ) o Đặc biệt: Gốc tọa độ O(0;0;0) o Điểm M(a;b;c) thuộc trục tọa độ: • M ∈ Ox ⇔ M(a;0;0) NX: Điểm nằm trục Ox ln có tung độ cao độ =0 • M ∈ Oy ⇔ M(0;b;0) NX: Điểm nằm trục Oy ln có hồnh độ cao độ =0 • M ∈ Oz ⇔ M(0;0;c) NX: Điểm nằm trục Oz ln có hồnh độ tung độ =0 o Điểm M(a;b;c) thuộc mặt phẳng tọa độ: • M ∈ (Oxy) ⇔ M(a;b;0) NX: Điểm nằm mp Oxy ln có cao độ =0 • M ∈ (Oyz) ⇔ M(0;b;c) NX: Điểm nằm mp Oyz ln có hồnh độ =0 • M ∈ (Ozx) ⇔ M(a;0;c) NX: Điểm nằm mp Ozx ln có tung độ =0 13 r r r r r r Đặc biệt: = (0; 0;0) C Tọa độ vectơ: a = a1.i + a2 j + a3 k ⇔ a = (a1 ; a2 ; a3 ) D Các tính chất vectơ r r Cho a = ( a1 ; a2 ; a3 ) , b = ( b1 ; b2 ; b3 ) số k tuỳ ý, ta có: r r Tổng hiệu hai vectơ Là vecto a ± b = ( a1 ± b1 ; a2 ± b2 ; a3 ± b3 ) Tích vectơ r • Tích vecto với số Là vecto k a = ( k a1 ; k a2 ; k a3 ) • Tích vơ hướng hai vecto: Là số rr o a.b = a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 rr r r Đặc biệt: a.b = ⇔ a ⊥ b • Tích có hướng hai vecto: Là vecto r r a2 a a3 a1 a1 a ; ; o a, b = b2 b3 b3 b1 b1 b Độ dài vectơ Là số khơng âm r o a = a12 + a22 + a32 ÷ ÷ Hai vectơ nhau: Tọa độ tương ứng a1 = b1 r r o a = b ⇔ a2 = b2 a = b r r r r r Đặc biệt: a, b = ⇔ a phương b r Đặc biệt: Vectơ = r r r r Đặc biệt: a = kb ⇔ a phương với b Góc hai vectơ: Bằng tích vơ hướng chia tích độ dài rr r r a.b o cos a, b = r r Cần nhớ: Góc hai vectơ góc tùy ý a.b r r r r r r o Đặc biệt: cos a, b = ⇔ a, b = 90 ⇔ a ⊥ b ( ) ( ) ( ) E Tính chất vecto tọa độ điểm Cho hai điểm A ( x A ; y A ; z A ) , B ( xB ; yB ; z B ) Khi đó: uuur uuur Tọa độ vectơ AB là: AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A ) uuur uuur Độ dài AB : Độ dài đoạn thẳng AB độ dài AB uuur 2 AB = AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) + ( z B − z A ) Chú ý: Độ dài đoạn thẳng AB hay gọi khoảng cách hai điểm A B x A + xB y A + y B z A + z B ; ; Toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AB là: I 2 ÷ x A + xB + xC y A + yB + yC z A + z B + zC ; ; Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC là: G 3 Tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD là: ÷ x + x + x + x y + y + y + y z + z + z + zD B C D B C D G A ; A ; A B C 4 ÷ F Vecto vng góc, vecto phương • Hai vecto vng góc với nhau: Hai vecto vng góc có tích vơ hướng r r rr o a ⊥ b ⇔ a.b = r r r r r r o a ⊥ b ⇔ a, b = 900 ⇔ cos a, b = ( ) • ( ) Hai vecto phương r r r r r o Hai vectơ a , b phương ⇔ a, b = r r r r r r o Hai vectơ a , b phương ⇔ a = kb b = ka a1 a2 a3 b1 b2 b3 r r = = = = o Hai vectơ a , b phương ⇔ ⇔ với mẫu số ≠ b1 b2 b3 a1 a2 a3 G Vecto đồng phẳng, vecto khơng đồng phẳng • • r r r r r r Ba vectơ a, b, c đồng phẳng ⇔ a, b c = r r r r r r Ba vectơ a, b, c khơng đồng phẳng ⇔ a, b c ≠ 14 H Các tính chất điểm thường áp dụng uuur uuur r uuur uuur Ba điểm A, B, C thẳng hàng vecto AB, AC phương ⇔ AB, AC = uuur uuur r uuur uuur • Ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng vecto AB, AC khơng phương ⇔ AB, AC ≠ uuur uuur uuur uuur uuur uuur • Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng vecto AB, AC , AD đồng phẳng ⇔ AB, AC ΑD = uuur uuur uuur uuur uuur uuur • A, B, C, D khơng đồng phẳng vt AB, AC , AD khơng đồng phẳng ⇔ AB, AC ΑD ≠ uuur uuur I Diện tích tam giác ABC: S ABC = AB, AC uuur uuur S ABCD = AB, AC J Diện tích HBH ABCD: uuur uuur uuur VABCD = AB, AC ΑD VABCD = B.h K Thể tích tứ diện ABCD: Các dạng tốn thường gặp Dạng 1: Tìm tọa độ điểm tọa điểm, tọa độ vectơ, vectơ nhau: Bài 1: Tìm tọa độ điểm M biết: uuuur uuuur r r r AM = ( 1; 2;3) , A(1;-1;2) OM = 3i + j − k uuuur r r uuuur r r OM = j − 3k AM = i − 2k , A(-1;-1;3) uuuur r r uuuur r r r OM = −i + j AM = −i + j − 2k , A(0;-1;-2) Bài 2: Cho năm điểm A(1;2;2), B(2;-2;0), C(0;-2;-1), D(-2;0;-1) Tính tọa độ trung điểm đoạn thẳng: AB, AC, AD Tính tọa độ trọng tâm tam giác sau: ABC, ABD Bài 3: Cho hai điểm A(1;2;3), B(4;5;6) Tìm điểm C cho A trung điểm BC Cho hai điểm M(-1;0;3), N(0;2;-3) Tìm điểm E cho N trung điểm ME Bài 4: Cho ba điểm A(1;2;2), B(2;-2;0), C(0;-2;-1) Tìm điểm M cho A trọng tâm tam giác BCM Tìm điểm N cho B trọng tâm tam giác ANC Bài 5: Tìm tọa độ điểm M biết: Vận dụng hai vecto uuur uuur uuu r MA = AB + OA với A(2;1;0), B(-2;0;1) uuur uuur r 3MA − MB = với A(2;1;4), B(-2;3;1) uuur uuur MA = −5MB với A(2;1;0), B(-2;0;1) Bài 6: Cho ba điểm A(1;6;3), B(1;2;-3), C(0;2;-4) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành Cho hai điểm A(1;-7;3), B(1;2;-9) Tìm tọa độ điểm C để tứ giác OABC hình bình hành Cho hai điểm M(1;-1;3), N(1;0;-4) Tìm tọa độ điểm P để tứ giác OMNP hình bình hành r r r r r Dạng 2: Vectơ phương với nhau: a phương b ⇔ a, b = Bài 1: Xét phương vectơ sau r r r r a = ( 1;1;1) , b = ( −2; −2; −2 ) , a = ( 2; −2;1) , b = ( −2; 2; −1) r r r r a = ( 2;1; −2 ) , b = ( 2; −1;0 ) a = ( 1;3;0 ) , b = ( 2; −1; ) • Bài 2: Cho ba điểm A(1;2;3), B(1;2;-3), C(0;2;-4) Chứng minh A, B, C khơng thẳng thàng Bài 3: Cho hai điểm A(1;2;-3), B(9;-8;1), C(-1;1;2) Chứng minh A, B, C khơng thẳng hàng r r rr Dạng 3: Vectơ vng góc với a ⊥ b ⇔ a.b = r r r r Bài 1: Cho a = ( m;6; −5 ) , b = ( m; − m; −1) Tìm m để a ⊥ b r r r r Bài 2: Cho a = ( m;3; −2 ) , b = ( m; − m; −1) Tìm m để a ⊥ b Bài 3: Cho ba điểm A(1;-3;0), B(1;-6;4), C(13;-3;0) Chứng minh tam giác ABC vng Bài 4: Cho ba điểm A(-1;1;2), B(0;1;1), C(1;0;4) Chứng minh tam giác ABC vng Tính diện tích tam giác Cho ba điểm A(1;-3;0), B(1;-6;4), C(13;-3;0) Chứng minh tam giác ABC vng Cho ba điểm, M(0;1;1), N(1;0;4) P(-1;1;2) Chứng minh tam giác vng Cho ba điểm A(1;0;3), B(2;2;4), C(0;3;-2) Chứng minh tam giác ABC vng Cho ba điểm A(1;1;0), B(0;2;0), C(0;0;2) Chứng minh tam giác ABC vng A 15 Dạng 4: Độ dài vectơ, chu vi diện tích tam giác Bài 1: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Tính độ dài đoạn thẳng AB, AC, BC Chứng minh tam giác ABC tam giác Tính diện tích tam giác Bài 2: Cho ba điểm A(2;2;0), B(2;0;2), C(0;2;2) Tính độ dài đoạn thẳng AB, AC, BC Chứng minh tam giác ABC tam giác Tính diện tích tam giác Dạng 5: Chứng minh A, B, C, D đồng phẳng khơng đồng phẳng, tính thể tích tứ diện ABCD Bài 1: Cho bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1) Chứng minh A, B, C, D khơng đồng phẳng Tính thể tích tứ diện ABCD Bài 2: Cho bốn điểm A(1;0;1), B(2;1;2), C(1;-1;1), D(4;5;-5) CMR: A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện Tính thể tích tứ diện ABCD Bài 3: Cho ba điểm A(1;-4;1), B(2;1;2), C(1;-1;1) Chứng minh O, A, B ,C khơng đồng phẳng uuu r r r r uuur r r r uuur r r r uuur r r r Bài 4: Cho bốn điểm A, B, C, D thỏa mãn OA = i − j + 2k , OB = i + j + 2k , OC = 4i + j + 2k , OD = 4i − j + 2k Xác định tọa độ điểm A, B, C, D Chứng minh A, B, C, D bốn điểm đồng phẳng - Phương trình mặt cầu - Phương trình mặt phẳng - Phương trình đường thẳng PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Phương trình mặt cầu: Có hai dạng phương trình mặt cầu Dạng 1: Phương trình tắc mặt cầu Mặt cầu cầu (S) có tâm I(a;b;c) có bán kính R Phương trình mặt cầu có dạng: ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 Dạng 2: Phương trình mặt cầu dạng khai triển Từ pt ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 Ta khai triển đẳng thức, ta được: x + y + z − 2ax-2by-2cz+a +b +c -R =0 Ta đặt d=a +b +c2 -R , ta phương trình: x + y + z − 2ax-2by-2cz+d=0 Như ta có hai dạng phương trình mặt cầu: 2 o Mc (S): ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R có tâm I(a;b;c) bán kính R Mc (S): x + y + z − 2ax-2by-2cz+d=0 có I(a;b;c) bán kính R = a + b + c − d Các dạng tốn phương trình mặt cầu: Có hai dạng tốn phương trình mặt cầu - Dạng 1: Cho phương trình mặt cầu xác định tâm bán kính mặt cầu cho yếu tố liên quan đến mặt cầu xác định tâm bán kính mặt cầu - Dạng 2: Cho yếu tố liên quan đến mặt cầu viết phương trình mặt cầu Dạng 1: Xác định tâm bán kính mặt cầu o Dạng Dạng Mặt cầu (S): x + y + z − 2ax-2by-2cz+d=0 • Có tâm I(a;b;c) với hệ số x hệ số y hệ số z a= b= c= • −2 −2 −2 • Bán kính: R = a + b + c − d Mc (S): ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 2 Có tâm I(a;b;c) bán kính R Bài tập xác định tâm bán kính mặt cầu Bài 1: Xác định tâm bán kính mặt cầu (S) ( x-1) + ( y − ) + ( z − ) = ( x+1) + ( y + ) + ( z + 3) = ( x-2 ) + y + ( z + 1) = x + ( y − 3) + ( z + ) = 36 2 2 Bài 2: Xác định tâm bán kính mặt cầu (S) x + y + z − x − y − z − = 2 2 2 x + y + z + x + y + z − = 16 x + y + z − x + y + z + = x + y + z − x − y − z = x + y + z − 3x + y − z − = x + y + z − x − z = Bài 3: Xác định tâm bán kính mặt cầu có tâm A(1;2;3) qua điểm B(;3;4;2) Xác định tâm bán kính mặt cầu có đường kính AB với A(1;2;3) B(-1;0;4) Bài 4: Xác định bán kính mặt cầu có tâm I(5;-6;-4) Tiếp xúc với trục Ox Tiếp xúc với trục Oy Tiếp xúc với trục Oz Bài 5: Xác định bán kính mặt cầu có tâm I(3;-4;-5) Tiếp xúc với mp(Oxy) Tiếp xúc với mp(Oyz) Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu A Lập phương trình mặt cầu dạng ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 Cách giải: Tìm tâm I bán kính R mặt cầu Các dạng phương trình mặt cầu thường gặp • Dạng 1: Mặt cầu có tâm I bán kính R Mặt cầu có tâm I đường kính d d Có bán kính là: R = • Dạng 2: Mặt cầu có tâm A qua điểm B Có bán kính là: R= AB • Dạng3: Mặt cầu có đường kính AB Có tâm trung điểm I đoạn thẳng AB AB Có bán kính R= Hoặc có bán kính R= IA = IB • Dạng 4: Mặt cầu có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P) Ax + By0 + Cz0 + D Có bán kính R = d ( I , ( P ) ) = A2 + B + C Hoặc có bán kính R=IH với H hình chiếu vng góc I lên (P) • Dạng 5: Mặt cầu có tâm I tiếp xúc với đường thẳng d Có bán kính R = d ( I , d ) Hoặc có bán kính R=IH với H hình chiếu vng góc I lên d B Lập phương trình mặt cầu dạng: x + y + z − 2ax-2by-2cz+d=0 • Cách giải: Lập hệ phương trình với bốn phương trình bốn ẩn a, b, c, d Dạng 1: Lập phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D Phướng pháp • Pt mặt cầu (S) có dạng: x + y + z − 2ax-2by-2cz+d=0 (*) • Vì A, B, C, D thuộc (S): thế tọa độđiểm A vào pt (*) thế tọa độđiểm B vào pt (*) ⇔ thế tọa độđiểm C vào pt (*) thế tọa độđiểm D vào pt (*) - Giải hệ phương trình phương pháp thế, ta tìm a, b, c, d - Sau a, b, c, d vào pt (*) Chú ý: Đề hỏi thêm xác định tâm, tính bán kính, tính diện tích xung quanh thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp Dạng 2: Lập Pt mc qua ba điểm A, B, C có tâm thuộc mp (P): Ax+By+Cz+D=0 Phướng pháp o Pt mặt cầu (S) có dạng: x + y + z − 2ax-2by-2cz+d=0 (*) o Vì tâm I(a;b;c) thuộc (P), nên: A.a+B.b+C.c+D=0 o Vì A, B, C thuộc (S) nên suy hệ phương trình: 17 A.a + B.b + C.c + D = tọa độđiểm A vào pt (*) o Nên ta có hệ bốn pt là: tọa độđiểm B vào pt (*) tọa độđiểm C vào pt (*) Dạng 3: Lập phương trình mặt cầu qua ba điểm có tâm thuộc mặt phẳng tọa độ Phương pháp: Vận dụng điểm thuộc mặt phẳng tọa độ Dạng 4: Lập phương trình mặt cầu qua hai điểm có tâm thuộc trục tọa độ Phương pháp: Vận dụng điểm thuộc trục tọa độ Vị trị trí tương đối mặt cầu a Vị trí tương đối điểm A với mặt cầu: Có vị trí tương đối - Điểm A nằm mặt cầu ⇔ IAR b Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu - Mặt phẳng mặt cầu có ba vị trí tương đối: + Mặt phẳng mặt cầu khơng có điểm chung + Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu điểm + Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến đường tròn Cho mặt phẳng (P) có phương trình: Ax+By+Cz+D=0 Cho mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) bán kính R Tính khoảng cách h = d ( I , ( P ) ) , sau so sánh h với R Nếu h>R mặt phẳng (P) mặt cầu (S) khơng có điểm chung Nếu h=R mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm H Khi đó: a Mặt phẳng (P) gọi tiếp diện mặt cầu b Điểm H gọi tiếp điểm c IH vng góc với mặt phẳng (P), H hình chiếu vng góc tâm I lên mp(P) Nếu hR đường thẳng d mặt cầu (S) khơng có điểm chung Nếu h=R đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm H Khi đó: a Đường thẳng d gọi tiếp tuyến mặt cầu b Điểm H gọi tiếp điểm c IH vng góc với d H hình chiếu vng góc tâm I lên đường thẳng d Nếu h • Nếu mp(P) có phương trình tổng qt Ax+By+Cz+D=0 mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến r n = ( A; B; C ) Các cách viết phương trình mặt phẳng • Cách 1: Áp dụng cơng thức Ax+By+Cz+D=0 rối tìm A, B, C, D r • Cách 2: Phương trình mặt qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) phương trình tổng qt có dạng: A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = Như vậy: Để viết phương trình mặt phẳng ta cần: • Tìm điểm nằm mặt phẳng • Tìm vecto pháp tuyến mặt phẳng • Sau áp dụng cơng thức: A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Mặt phẳng qua ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) phương trình có dạng: x y z + + = với a, b, c, khác a b c khơng Vị trí tương đối hai mặt phẳng khơng gian - Hai mặt phẳng có ba vị trị trí tương đối o Hai mặt phẳng cắt o Hai mặt phẳng song song o Hai mặt phẳng trùng uur • Mp(P) qua điểm A có vecto pháp tuyến nP uur • Mp(Q) qua điểm B có vecto pháp tuyến nQ Mp(P) song song mp(Q): a Hai mặt phẳng song song khơng có điểm chung 20 b c d e uur uur r Hai vecto pháp tuyến phương với nhau, tức là: nP , nQ = Điểm A thuộc (P) khơng thuộc (Q) Điểm B thuộc (Q) khơng thuộc (P) Để chứng minh hai mặt phẳng song song, ta chứng minh: uur uur r i Hai vecto pháp tuyến phương với nhau, tức là: nP , nQ = ii Điểm A thuộc (P) khơng thuộc (Q) Mp(P) trùng với mp(Q): a Hai mặt phẳng trùng có vơ số điểm chung, nghĩa điểm thuộc mặt phẳng thuộc mặt phẳng ngược lại uur uur r b Hai vecto pháp tuyến phương với nhau, tức là: nP , nQ = c Điểm A thuộc (P) thuộc (Q) d Điểm B thuộc (Q) thuộc (P) Mp(P) vng góc với mp(Q): a Hai mặt phẳng vng góc với hai vecto pháp tuyến vng góc với nhau, tức là: uur uuu r nP ⊥ nQ b Để chứng minh mp(P) vng góc với mp(Q) ta chứng minh hai vecto pháp tuyến vng góc uur uuu r với nhau, thứ là: n P n Q = Các dạng phương trình mặt phẳng • Dạng 1: Mặt phẳng qua điểm vng góc với đường thẳng o Mặt vng góc với đường thẳng nhận vecto phương đường làm vecto pháp tuyến o Lưu ý: Đường thẳng cho dạng: Pt tham số, pt tắc pt đường thẳng qua hai điểm phân biệt, đường trục tọa độ • Dạng 2: Mặt phẳng qua điểm song song với mặt phẳng cho trước o Hai mặt phẳng song song cung vecto pháp tuyến • Dạng 3: Mặt phẳng qua ba điểm phân biệt A, B, C r uuur uuur o Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là: n = AB, AC • Dạng 4: Mặt phẳng qua hai điểm A, B vng góc mp(P) r uuur uur o Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là: n = AB, nP o Giả thiết qua hai điểm thay chứa đường thẳng có pt tham số tắc • Dạng 5: Mặt phẳng qua điểm A chứa đường thẳng d r uuur uur o Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là: n = AB, ad với điểm B nằm d • Dạng 6: Mặt phẳng chứa đường thẳng d song song đường thẳng d’, với d d’ chéo r uur uuu r o Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là: n = ad , ad ' • Dạng 7: Mặt phẳng chứa hai đường thẳng d d’ cắt r uur uuu r o Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là: n = ad , ad ' • Dạng 8: Mặt phẳng chứa hai đường thẳng d d’ song song với r uuur uur r uuur uuu r o Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là: n = AB, ad n = AB, ad ' o Với điểm A thuộc d điểm B thuộc d’ • Dạng 9: Mặt phẳng qua điểm vng góc với hai mặt phẳng cắt (P) (Q) r uur uur o Mặt phẳng có vecto pháp tuyến là: n = nP , nQ • Dạng 10: Mặt phẳng có vecto pháp tuyến cách điểm M khoảng d o Viết phương trình mặt phẳng dạng Ax+By+Cz+D=0 Áp dụng cơng thức tính khoảng cách để tìm D o Các trường hợp thường gặp: Đề cho vecto pháp tuyến Mặt phẳng vng góc với đường thẳng Mặt phẳng song song với mặt phẳng • Dạng 11: Măt phẳng có vecto pháp tuyến tiếp xúc với mặt cầu: 21 o o Viết phương trình mặt phẳng dạng Ax+By+Cz+D=0 Áp dụng cơng thức tính khoảng cách để tìm D Các trường hợp thường gặp: Đề cho vecto pháp tuyến Mặt phẳng vng góc với đường thẳng Mặt phẳng song song với mặt phẳng Cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ điểm M(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = là: d ( M , ( P)) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C Khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song với khoảng cách từ điểm nằm mặt phẳng đến mặt phẳng ngược lại Để tính khoảng cách hai mp song song (P) (Q) ta làm sau: • Chọn điểm M thuộc (Q) Sau tính khoảng cách từ M đến (P) Ax0 + By0 + Cz0 + D d ( ( P) ,( Q) ) = d ( M ,( P) ) = A2 + B + C Chú ý: Khoảng cách số khơng âm Các dạng tập phương trình mặt phẳng Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Bài 1: Tính khoảng cách từ điểm M(-1;2;-3) đến mặt phẳng sau: 2x-2y-z-10=0 3x-4y+10=0 x-2y-2z=0 Bài 2: Tính khoảng cách hai mặt phẳng song song: (P): 2x+y+z-2=0 (Q): 2x+y+z+3=0 (P): x-y+2z-4=0 (Q): -x+y-2z+1=0 Bài 3: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P): -x+2y-2z-33=0 Tính khoảng cách từ trung điểm đoạn AB đến mp(P): x-y-z-1=0 , với A(1;0;2),B(-1;2;4) Cho A(1;2;3), B(-1;-2;-3), C(3,-9,27) mặt phẳng (P): 2x-2y-z=0.Tính khoảng cách từ tọa độ trọng tâm G tam giác ABC đến mặt phẳng (P) Bài 4: Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;2;3), C(-3,-9,15) mp(P): 2x-2y-z=0 Tính khoảng cách từ tọa độ trọng tâm G tam giác ABC đến mặt phẳng (P) Tính khoảng cách từ trung điểm đoạn thẳng AB đến mp(P) Tính khoảng cách từ trung điểm đoạn thẳng BC đến mp(P) Bài 5: Tính khoảng cách từ điểm M(-2;1;3) đến mặt phẳng tọa độ Viết phương trình mặt phẳng Dạng 1: Mặt phẳng qua điểm vng góc với đường thẳng d co trước Nhận xét: - Mặt phẳng vng góc với đường thẳng d nên mặt phẳng vng góc với giá đường thẳng d - Do mặt phẳng nhận vecto phương đường thẳng d làm vecto pháp tuyến Bài 1: Cho ba điểm I(1;2;0), J(0;-1;-2), K(-2;0;-1) Viết phương trình mặt phẳng qua I vng góc với JK Viết phương trình mặt phẳng qua gốc tọa độ vng góc với IJ Viết phương trình mặt phẳng qua I vng góc với trục Ox Viết phương trình mặt phẳng qua K vng góc trục Oz x = − t x −1 y z +1 Bài 2: Cho điểm E(1;-2;-3) hai đường thẳng d: y = + 2t , d’: = = −1 −2 z = − 2t Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua E vng góc với đường thẳng d Viết phương trình mặt phẳng (P) qua E vng góc với đường thẳng d’ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua O vng góc với đường thẳng d Viết phương trình mặt phẳng (P) qua O vng góc với đường thẳng d’ x = + 2t x −1 y z +1 = = Cho hai đường thẳng d: y = + t , d': Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng −1 −2 z = −1 + 3t d’ vng góc với đường thẳng d 22 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q) có phương trình tổng qt x+y+z+1=0, mặt phẳng (R) có phương trình tổng qt 2x-y-3=0 điểm M(1;2;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M vng góc với mặt phẳng (Q) mặt phẳng (R) Dạng 10: Mặt phẳng có vecto pháp tuyến cách điểm M khoảng d • Viết phương trình mặt phẳng dạng Ax+By+Cz+D=0 Áp dụng cơng thức tính khoảng cách để tìm D r Viết phương trình mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n = ( 2; 2;1) cách điểm M(1;-2;0) khoảng Cho mặt phẳng (P): 2x+2y+z-1=0 điểm M(0;0;2) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) cách điểm điểm M khổng Cho (Q): 4x+3y-12z+1=0 Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với (Q) cho khoảng cách từ gốc tọa độ đến (P) x = + 16t Cho đường thẳng d: y = −15t Viết phương trình mặt phẳng (P) vng góc với d khoảng cách từ gốc tọa z = + 12t độ đến (P) 10 Viết phương trình mặt phẳng (P) vng góc trục Oy cho khoảng cách từ điểm M(1;2;3) đến mặt phẳng (P) Dạng 11: Măt phẳng có vecto pháp tuyến tiếp xúc với mặt cầu: • Viết phương trình mặt phẳng dạng Ax+By+Cz+D=0 Áp dụng cơng thức tính khoảng cách để tìm D 1: Cho mặt phẳng (P): 2x+2y+z-1=0 mặt cầu (S) có tâm I(1;2;0) bán kính R=3 Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) 2: Cho mặt phẳng (P): 16x-15y-12z-75=0 mặt cầu (S): ( x-1) + ( y − ) + ( z − 3) = Viết phương trình mặt 2 phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình: x + y + z − x − y − z − = song song với mặt phẳng có pt (Q): 4x+3y-12z+1=0 4: Cho mặt cầu (S): ( x − 3) + ( y − ) + ( z − 1) = 100 mặt phẳng (P): 2x-2y-z+9=0 2 a Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C) b Xác định tâm tính bán kính đường tròn (C) 5: Cho mặt cầu (S): x + y + z = mặt phẳng (P): x+z=2 Chứng minh (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C) Xác định tọa độ tâm bán kính đường tròn (C) giao tuyến (P) (S) PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Vecto phương đường thẳng Là vecto có giá song song với đường thẳng trùng với đường thẳng d M r a r a Nhận xét: - Một đường thẳng có vơ số vecto phương vecto phương phương với r r - Nếu đường thẳng d có vecto phương a k a vecto phương đường thẳng d Các cách xác định vecto phương đường thẳng o Cách 1: Tìm vecto có giá song song có giá trùng với đường thẳng o Cách 2: Tìm hai vecto có giá vng góc với đường thẳng lấy tích có hướng Phương trình tham số đường thẳng r Đường thẳng d qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vecto phương a = ( a; b; c ) 25 x = x0 + at Phương trình tham số có dạng: y = y0 + bt z = z + ct Phương trình tắc đường thẳng r Đường thẳng d qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vecto phương a = ( a; b; c ) x − x0 y − y0 z − z0 = = , với abc ≠ a b c Nhận xét: Để viết phương trình đường thẳng ta cần tìm điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) thuộc đường thẳng vecto r phương a = ( a; b; c ) đường thẳng Các dạng phương trình đường thẳng o Đường thẳng qua hai điểm A, B phân biệt o Đường thẳng qua điểm vng góc với mặt phẳng o Đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng o Đường thẳng qua điểm vng góc với hai đường thẳng cắt chéo o Đường thẳng qua điểm song song với hai mặt phẳng cắt Ví trí tương đối hai đường thẳng khơng gian - Hai đường thẳng có bốn vị trí tương đối: + Hai đường thẳng cắt + Hai đường thẳng chéo (khơng đồng phẳng) + Hai đường thẳng song song + Hai đường thẳng trùng Phương trình tắc có dạng: r Cho đường thẳng d qua A ( x A ; y A ; z A ) có vecto phương a = ( a; b; c ) uu r • Cho đường thẳng d’ qua B ( xB ; yB ; z B ) có vecto phương a ' = ( a '; b '; c ' ) Hai đường thẳng cắt nhau: • Hai đường thẳng cắt cắt điểm • Hai đường thẳng cắt chúng đồng phẳng • Nếu đường thẳng d d’ cắt nhau: o Khi đó: r uu r r r uu r Hai vecto phương a, a ' khơng phương, tức a, a ' ≠ r uu r uuur r uu r uuur Ba vecto a, a ', AB đồng phẳng, tức a, a ' AB = • • Để chứng minh đường thẳng d d’ cắt nhau, ta có cách sau đây: r uu r uuur o Cách 1: Chứng minh a, a ' AB = o Cách 2: Đi tìm giao điểm d d’ Hai đường thẳng chéo nhau: • Hai đường chéo chúng khơng có điểm chung khơng đồng phẳng • Nếu đường thẳng d d’ chéo nhau: o Khi đó: r uu r r r uu r Hai vecto phương a, a ' khơng phương, tức a, a ' ≠ r uu r uuur r uu r uuur Ba vecto a, a ', AB khơng đồng phẳng, tức a, a ' AB ≠ r uu r uuur • Để chứng minh đường thẳng d d’ chéo nhau, ta chứng minh a, a ' AB ≠ Hai đường thẳng song song • Hai đường thẳng song song chúng khơng có điểm chung Nghĩa điểm thuộc đường thẳng khơng thuộc đường thẳng ngược lại • Hai đường thẳng song song chúng đồng phẳng • Nếu đường thẳng d d’ song song với nhau: o Khi đó: r uu r r r uu r Hai vecto phương a, a ' phương, tức là: a, a ' = Điểm A thuộc d khơng thuộc d’ Điểm B thuộc d’ khơng thuộc d 26 • Để chứng minh đường thẳng d d’ song song với nhau, ta chứng minh: r uu r r r uu r Hai vecto phương a, a ' phương, tức là: a, a ' = Điểm A thuộc d khơng thuộc d’ Hai đường thẳng trùng nhau: • Hai đường thẳng trùng có vơ số điểm chung, nghĩa điểm thuộc đường thẳng thuộc đường thẳng ngược lại • Nếu đường thẳng d d’ trùng nhau: o Khi đó: r uu r r r uu r Hai vecto phương a, a ' phương, tức là: a, a ' = Điểm A thuộc d thuộc d’ Điểm B thuộc d’ thuộc d • Để chứng minh đường thẳng d d’ trùng nhau, ta chứng minh: r uu r r r uu r Hai vecto phương a, a ' phương, tức là: a, a ' = Điểm A thuộc d thuộc d’ Hai đường thẳng vng góc với • Hai đường thẳng vng góc với cắt chéo • Hai vecto phương vng góc với Tích vơ hướng chúng • Để chứng minh hai đường thẳng vng góc với nhau, ta chứng minh hai vecto phương vng góc với ru r nhau, tức là: a.a' = Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng khơng gian - Đường thẳng mặt phẳng có vị trí tường đối + Đường thẳng cắt mặt phẳng điểm + Đường thẳng song song với mặt phẳng, khơng có điểm chung + Đường thẳng chứa mặt phẳng, có vơ số điểm chung Đường thẳng song song với mặt phẳng • Đường thẳng mặt phẳng khơng có điểm chung • Vecto phương vng góc với vecto pháp tuyến • Để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng, ta chứng minh: rr o Vecto phương vng góc với vecto pháp tuyến, tức là: a.n = o Một điểm A thuộc đường thẳng khơng thuộc mặt phẳng Đường thẳng chứa mặt phẳng • Đường thẳng mặt phẳng có vơ số điểm chung, tức điểm thuộc đường thẳng thuộc mặt phẳng • Vecto phương vng góc với vecto pháp tuyến • Để chứng minh đường thẳng chứa mặt phẳng, ta chứng minh: rr o Vecto phương vng góc với vecto pháp tuyến, tức là: a.n = o Một điểm A thuộc đường thẳng thuộc mặt phẳng Đặc biệt: Đường thẳng vng góc với mặt phẳng r r r • Vecto phương phương với vecto pháp tuyến, tức là: a, n = • Đường thẳng cắt mặt phẳng điểm Đường thẳng cắt mặt phẳng • Khi vecto phương khơng vng góc với vecto pháp tuyến đường thẳng cắt mặt phẳng Tức là: rr a.n ≠ Cách khác: • Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng x = x0 + at y = y0 + bt • Tọa độ giao điểm có nghiệm hệ phương trình: z = z0 + ct Ax+By+Cz+D=0 • Xét phương trình: A ( x0 + at ) +B ( y0 + bt ) +C ( z0 + ct ) +D=0 (*) o o Nếu pt (*) có nghiệm t, đường thẳng cắt mặt phẳng điểm Nếu pt (*) vơ nghiệm, đường thẳng song song với mặt phẳng 27 o Nếu pt (*) có vơ số nghiệm, đường thẳng chứa với mặt phẳng Bài tập dạng phương trình đường thẳng Dạng 1: Đường thẳng qua hai điểm phân biệt uuur Nhận xét: Đường thẳng AB có vecto phương vecto AB Bài 1: Cho hai điểm A(1;2;3), B(-2;0;-3) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua hai điểm A, B Viết phương trình đường thẳng OA Viết phương trinh đường thẳng OB Bài 2: Cho mặt cầu (S) có phương trình 4x + y + z = 400 Viết phương trình đường thẳng qua tâm mặt cầu điểm M(2;3;-1) Cho ba điểm A(1;1;1), B(3;3;3), C(-8;-12;-4) Viết phương trình đường thẳng qua trung điểm đoạn thẳng AB trọng tâm tam giác ABC Dạng 2: Đường thẳng d qua điểm vng góc với mặt phẳng (P) o Đường thẳng vng góc với mặt phẳng nhận vecto pháp tuyến mặt phẳng làm vecto phương Bài 1: Cho hai điểm E(1;-2;3), F(3;-4;5) mặt phẳng (P): 2x-3y+4y-5=0 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua E vng góc với mặt phẳng (P) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua F vng góc với mặt phẳng (P) Viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ vng góc với mặt phẳng (P) Bài 2: Cho bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua D vng góc với mặt phẳng (ABC) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A vng góc với mặt phẳng (BCD) Bài 3: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;-3) vng góc với mặt phẳng Oxz Dạng 3: Đường thẳng qua điểm song với đường thẳng Nhận xét: Hai đường thẳng song song vecto phương x = + 2t Bài 1: Cho điểm A(1;2;3) đường thẳng d: y = + t z = −1 + 3t Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A song song với d Viết phương trình đường thẳng ∆ qua gốc tọa độ song song với d x −1 y z +1 = = Bài 2: Cho điểm M(-2;0;-3) đường thẳng d: −1 −2 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M song song với d Viết phương trình đường thẳng ∆ qua gốc tọa độ song song với d Bài 3: Cho điểm P(1;2;3) Viết phường trình đường thẳng ∆ qua P song song với trục Ox Viết phường trình đường thẳng ∆ qua P song song với trục Oy Dạng 4: Đường thẳng qua điểm vng góc với hai đường thẳng d d’ cắt chéo uur uur uuu r Đường thẳng ∆ có vecto phương là: a∆ = ad , ad ' x = + 2t x −1 y z +1 = = Bài 1: Cho điểm A(1;-2;0) hai đường thẳng d: y = + t , d’: Viết phương trình đường thẳng ∆ −1 −2 z = −1 + 3t qua A vng góc với d d’ Bài 2: Cho ba điểm A(1;1;1), B(3;0;3), C(-4;-1;2) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A vng góc với AB BC Viết phương trình đường thẳng ∆ vng góc với AB AC A Viết phương trình đường thẳng ∆ qua Q(2;-3;9) vng góc với trục Ox, Oy Viết phương trình đường thẳng ∆ qua Q(2;-3;9) vng góc với trục Ox, Oy 28 Dạng 5: Đường thẳng qua điểm song song với hai mặt phẳng cắt Nhận xét: o Đường thẳng d song song với mp(P) mp(Q) d vng góc với giá hai vecto pháp tuyến mp(P) mp(Q) uur uur uur o Khi đường thẳng d có vecto phương là: a∆ = nP , nQ Viết phương trình mặt phẳng qua điểm E(1;2;-3) song song với hai mặt phẳng cắt (P): x-y+2=0, (Q): x-z+2=0 Viết pt đường thẳng qua điểm F(0;1;-2) song song với hai mặt phẳng cắt (P): 2x-y-3=0, (Q): x-2y-10=0 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến đường thẳng d là: uur uuuur ad , AM d ( M,d ) = với điểm A thuộc đường thẳng d uur ad Bài 1: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng d x = 1+ t x = 1− t M(1;2;3), d: y = − t N(0;-1;2), d: y = + t z = −1 + 2t z = −1 x −1 y z +1 x + y + z −1 = = = = A(1;2;3), d: B(1;-1;2), d: −1 −2 1 Bài 2: Tính khoảng cách từ điểm M(1;-2;3) đến trục tọa độ Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: Khoảng cách hai đường thẳng d d’ chéo là: uur uuu r uuur ad , ad ' AB A∈ d d ( d , d ') = với uur uuu r ad , ad ' B ∈ d ' Bài 1: Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo x = + t x = −t ' d: y = − t d’: y = + 3t ' z = + 2t z = 2t ' x = −2t x −1 y − z d: y = −5 + 3t d’: = = −2 −1 z = Bài 2: Cho tứ diện ABCD với A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(1;1;1) Tính khoảng cách cặp cạnh đối tứ diện Cách khác: - Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d song song với d’ - Khi đó:d(d;d’)=d(d’,(P))=d(M,(P)) Với M thuộc d’ Tính khoảng cách hai đường thẳng song song với nhau: Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm nằm đường thẳng đến đường thẳng ngược lại • Để tính khoảng cách hai đường thẳng d d’ song song • Chọn điểm M thuộc d’ Sau tính khoảng cách từ M đến d Hoặc ngược lại uur uuuur ad , AM d ( d , d ') = d ( M , d ) = • uur ad x = − 2t x −1 y − z = = d: y = 3t d’: −2 z = −1 + t 29 x = −1 − t x = 1− t y = + t d: d’: y = + 2t z = t z = −1 + t Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song với Khoảng cách đường thẳng song song với mặt phẳng khoảng cách từ điểm bắt kì đường thẳng đến mặt phẳng • • Để tính khoảng cách đường thẳng d song song với mp(P) Chọn điểm M thuộc d Sau tính khoảng cách từ M đến (P) Ax0 + By0 + Cz0 + D d ( d,( P) ) = d ( M ,( P) ) = • A2 + B + C x = 1+ t x = −1 + 4t d: y = − t mp(P): x-y+z+9=0 d: y = + 3t mp(P): 4x+3y+z-10=0=0 z = + t z = t CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP A Các dạng tốn giao điểm góc Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng Cách giải: Lập hệ phương trình tìm t sau suy giao điểm Bài 1: Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng: x = 1+ t d: y = − t mp(P): 2x+y+2z=0 z = + t x = 12 + 4t d: y = + 3t mp(P): 3x+5y-z-2=0=0 z = 1+ t Bài 2: Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng: x + y +1 z − x+2 y z +3 d: = = mp(P): x+2y-z+5=0 d: = = mp(P): 2x+y-z2 1 −2 5=0 Bài 3: Cho hai điểm M(1;2;1), N(0;-1;-2) mặt phẳng (P): 2x-y-3z-4=0 Tìm giao điểm đường thẳng MN mặt phẳng (P) Bài 4: Cho bốn điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2), D(2;2;2) Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng OD mặt phẳng (ABC) Tìm giao điểm hai đường thẳng Cách giải: Lập hệ phương trình tìm t t’ sau suy giao điểm Bài 1: Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d d’: x = + 2t x = + t ' d: y = + t d’: y = + 2t ' z = −1 + 3t z = 1+ t ' x = −1 + t x −1 y + z − = = d: d’: y = −t −2 z = −2 + 3t Tính góc đường thẳng mặt phẳng Cách giải: Góc đường thẳng mặt phẳng sin góc vectơ phương vectơ pháp tuyến rr a.n sinα = r r Chú ý: 00 ≤ α ≤ 900 a.n Bài 1: Tính góc đường thẳng d mặt phẳng (P) x = 1+ t d: y = − t mp(P): 2x+y+2z=0 z = + t d: x − 12 y − z − = = mp(P): 3x+5y-z-2=0 Bài 2: Cho hai điểm A(1;2;3), B(1;0;2) mặt phẳng (P): 2x-2y-z+19=0 Tính góc đường thẳng AB mặt phẳng (P) Tính góc đường thẳng OA mặt phẳng Oxy Tính góc đường thẳng OB mặt phẳng Oyz Cần nhớ: • Góc hai đường thẳng 30 Góc hai đường thẳng cos góc hai vectơ phương r uu r a.a ' cosα = r uu r Chú ý: 00 ≤ α ≤ 900 a a' • Góc hai mặt phẳng Góc hai mặt phẳng cos góc hai vectơ pháp tuyến r uu r n.n ' cosα = r uu r Chú ý: 00 ≤ α ≤ 900 n n' Tính góc hai đường thẳng x = + 2t x = + t ' d: y = + t d’: y = + 2t ' z = −1 + 3t z = 1+ t ' Tính góc hai mặt phẳng (P): x-y-1=0, (Q): 2y-z-10=0 x = −1 + t x −1 y + z − = = d: d’: y = −t −2 z = −2 + 3t (P): 2x-y+2=0, (Q): x-3z=0 Các dạng tốn hình chiếu vng góc điểm đối xứng Tìm hình chiếu vng góc điểm M lên mặt phẳng(P) Phương pháp • Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M vng góc với mp(P) • Bước 2: Tìm giao điểm H d (P) • Bước 3: Điểm H hình chiếu vng góc M lên (P) Cần nhớ: Hình chiếu vng góc M lên (P) giao điểm đường thẳng d qua M vng góc với (P) Tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua mặt phẳng(P) Phương pháp • Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M vng góc với mp(P) • Bước 2: Tìm giao điểm H d (P) • Bước 3: Do M M’ đối xứng qua (P) nên H trung điểm đoạn thẳng MM” Cần nhớ: Hai điểm M M’ đối xứng qua (P) H trung điểm đoạn thẳng MM’ Cho điểm M(1;2;3) mặt phẳng (P) có phương trình tổng qt 2x-3y+6z+35=0 a Tìm hình chiếu vng góc điểm M lên mặt phẳng (P) b Xác định điểm M’ đối xứng với M qua mp(P) Cho điểm A(1;0;-2) mặt phẳng (P) có phương trình tổng qt 2x-z+2=0 c Tìm hình chiếu vng góc điểm A lên mặt phẳng (P) d Xác định điểm đối xứng với A qua mp(P) Xác định hình chiếu vng góc điểm M lên đường thẳng d Phương pháp • Bước 1: Viết phương trình mp (P) qua điểm M vng góc với đường thẳng d • Bước 2: Tìm giao điểm H d (P) • Bước 3: Điểm H hình chiếu vng góc M lên d Cần nhớ: Hình chiếu vng góc M lên đường thẳng d giao điểm đường thẳng d qua M vng góc với (P) Xác định điểm M đối xứng với điểm M’ qua đường thẳng d Phương pháp • Bước 1: Viết phương trình mp (P) qua điểm M vng góc với đường thẳng d • Bước 2: Tìm giao điểm H d (P) • Bước 3: Do M M’ đối xứng qua d nên H trung điểm đoạn thẳng MM’ Cần nhớ: Hai điểm M M’ đối xứng qua d H trung điểm đoạn thẳng MM’ x −1 y +1 z = = Cho điểm I(1;1;8) đường thẳng d: −1 a Tìm hình chiếu vng góc điểm I lên đường thẳng d b Xác định điểm đối xứng với I qua đường thẳng d 31 x = 1− t Cho điểm A(1;-2;0) đường thẳng d: y = + 2t z = a Tìm hình chiếu vng góc điểm I lên đường thẳng d b Xác định điểm đối xứng với I qua đường thẳng d Cho bốn điểm A(4;1;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1) a Tìm hình chiếu vng góc D lên mặt phẳng (ABC) b Xác định hình chiếu vng góc điểm A lên cạnh BC c Xác định hình chiếu vng góc điểm O lên mặt phẳng (BCD) d Xác định hình chiếu vng góc điểm O lên cạnh AB Đặc biệt: Hình chiếu vng góc điểm M(x0;y0;z0) lên trục tọa độ mặt phẳng tọa độ Hình chiếu vng góc lên trục tọa độ Hình chiếu vng góc lên mp tọa độ Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M(x0;y0;z0) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M(x 0;y0;z0) trục tọa độ phẳng tọa độ Phương pháp Phương pháp • Hình chiếu vng góc điểm M(x0;y0;z0) trục • Hình chiếu vng góc điểm M(x0;y0;z0) Ox là: M(x0;0;0) (Oxy) là: M(x0;y0;0) • Hình chiếu vng góc điểm M(x0;y0;z0) trục • Hình chiếu vng góc điểm M(x0;y0;z0) Oy là: M(0;y0;0) (Oyz) là: M(0;y0;z0) • Hình chiếu vng góc điểm M(x0;y0;z0) trục • Hình chiếu vng góc điểm M(x0;y0;z0) Oz là: M(0;0;z0) (Oxz) là: M(x0;0;z0) CÁC BÀI TỐN XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI TRONG KHONG GIAN Vị trí tương đối hai đường thẳng r uu r Bước 1: Tính tích có hướng a, a ' = r uu r Bước 2: Xét tính phương a, a ' r uu r r r uu r • Nếu a, a ' = a, a ' phương d song song với d d trùng với d’ o Nếu M thuộc d mà khơng thuộc d’ d song song d’ o Nếu M thuộc d thuộc d’ d trùng với d’ r uu r r r uu r • Nếu a, a ' ≠ a, a ' khơng phương d cắt d’ d d’ chéo r uu r uuur o Nếu a, a ' AB = d d’ cắt r uu r uuur o Nếu a, a ' AB ≠ d d’ chéo r uu r Đặc biệt: Nếu a.a ' = hai đường thẳng vng góc với Bài tập luyện tập vị trí tương đối hai đường thẳng Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau x = + t x = −t ' d: y = − t d’: y = + 3t ' z = + 2t z = 2t ' x −1 y − z x y z d: = = d’: = = −2 −1 −2 Chứng minh hai đường thẳng vng góc với x = − 2t x = 1+ t y = + t d: d’: y = + 2t z = z = x = − 2t x −1 y − z = = d: y = 3t d’: −2 z = −1 + t x = −2t x −1 y − z d: y = −5 + 3t d’: = = −2 −1 z = d: x −1 y − z x y+5 z −4 = = d’: = = −2 2 32 Vị trí tương đối hai mặt phẳng r uu r Bước 1: Tính n, n ' = Bước 2: Xét tính phương hai vecto pháp tuyến r uu r r o Nếu n, n ' ≠ hai mặt phẳng cắt r uu r r o Nếu n, n ' = hai mặt phẳng song song trung o Nếu điểm A thuộc mặt khơng thuộc mặt phẳng mp song song o Nếu điểm A thuộc mặt thuộc mặt phẳng mp trùng r uu r Đặc biệt: Nếu n.n ' = hai mặt phẳng vng góc với Bài tập vị trí tương đối hai mặt phẳng Xét vị trí tương đối hai mặt phẳng (P): 2x-y+3=0, (Q): x+z-10=0 (P): x-y-3=0, (Q): 2x-2y=0 (P): x-y+z-1=0,(Q): 2x-z+3=0 Chứng minh hai mặt phẳng vng góc với (P): 2x-y+30=0, (Q): x+2y-10=0 (P): 2x+2y-z-3=0, (Q): x+y+4z-10=0 Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cách 1: rr Bước 1: Ta tính a.n = Bước 2: rr o Nếu a.n ≠ đường thẳng cắt mặt phẳng rr o Nếu a.n = đường thẳng song song với mặt phẳng đường thẳng nằm mặt phẳng o Nếu điểm A thuộc đường thẳng khơng thuộc mặt phẳng đt song song mp o Nếu điểm A thuộc đường thẳng thuộc mặt phẳng đt nằm mp Cách 2: Lập hệ phương trình tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng o Nếu phương trình có nghiệm t đường thẳng cắt phẳng điểm o Nếu phương trình vơ nghiệm theo t đường thẳng song song mặt phẳng o Nếu phương trình có vơ số nghiệm t đường thẳng chứa mặt phẳng rr r Đặc biệt: Nếu a.n = đường thẳng vng góc với mặt phẳng Bài tập vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Xét vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng x = 1+ t d: y = − t mp(P): 2x+y+2z=0 z = + t x = 10 + t d: y = 2t mp(P): 2x+y+2z=0 z = 10 − 2t Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng x = 1+ t d: y = − t mp(P): -x+y-z=0 z = + t d: x − 12 y − z − = = mp(P): 3x+5y-z-2=0 4 d: x y z −1 = = mp(P): x+y+3z-5=0 3 −2 d: x − 12 y − z − = = mp(P): -2x+2y-z-2=0 −2 Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Bước 1: Tính khoảng cách h = d ( I ; ( P ) ) Bước 2: So sánh h với R o Nếu h>R mặt phẳng mặt cầu khơng có điểm chung o Nếu h=R mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu o Nếu hR đường thẳng mặt cầu khơng có điểm chung o Nếu h=R đường thẳng tiếp xúc mặt cầu o Nếu h[...]... thì đường thẳng chứa trong với mặt phẳng Bài tập về các dạng phương trình đường thẳng Dạng 1: Đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt uuur Nhận xét: Đường thẳng AB có vecto chỉ phương là vecto AB Bài 1: Cho hai điểm A(1;2;3), B(-2;0;-3) 1 Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A, B 2 Viết phương trình đường thẳng OA 3 Viết phương trinh đường thẳng OB Bài 2: 1 Cho mặt cầu (S) có phương trình... điểm A lên cạnh BC c Xác định hình chiếu vuông góc của điểm O lên mặt phẳng (BCD) d Xác định hình chiếu vuông góc của điểm O lên cạnh AB Đặc biệt: Hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) lên trục tọa độ và mặt phẳng tọa độ Hình chiếu vuông góc lên trục tọa độ Hình chiếu vuông góc lên mp tọa độ 1 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên 2 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(x... tọa độ Phương pháp Phương pháp • Hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên trục • Hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên Ox là: M(x0;0;0) (Oxy) là: M(x0;y0;0) • Hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên trục • Hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên Oy là: M(0;y0;0) (Oyz) là: M(0;y0;z0) • Hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên trục • Hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0)... −2 + 3t 2 (P): 2x-y+2=0, (Q): x-3z=0 Các dạng toán về hình chiếu vuông góc và điểm đối xứng 1 Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm M lên một mặt phẳng(P) Phương pháp • Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P) • Bước 2: Tìm giao điểm H của d và (P) • Bước 3: Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên (P) Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên (P) chính là... z = 2 + t z = t CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP A Các dạng toán về giao điểm và góc 1 Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Cách giải: Lập hệ phương trình rồi tìm t sau đó suy ra giao điểm Bài 1: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng: x = 1+ t 1 d: y = 3 − t và mp(P): 2x+y+2z=0 z = 2 + t x = 12 + 4t d: y = 9 + 3t và mp(P): 3x+5y-z-2=0=0 z = 1+ t 2 Bài 2: Tìm giao điểm của đường... Tìm hình chiếu vuông góc của điểm I lên đường thẳng d b Xác định điểm đối xứng với I qua đường thẳng d 31 x = 1− t 2 Cho điểm A(1;-2;0) và đường thẳng d: y = 2 + 2t z = 3 a Tìm hình chiếu vuông góc của điểm I lên đường thẳng d b Xác định điểm đối xứng với I qua đường thẳng d 3 Cho bốn điểm A(4;1;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1) a Tìm hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng (ABC) b Xác định hình. .. d: y = 1 và d’: z = 1− t x = −2 + 2t ' y =1 z = 0 ÔN TẬP 1 Câu 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với A(1;4;-1), B(2;4;3) và C(2;2;-1) 1 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC 2 Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành Câu 2 Trong không gian Oxyz cho hai điểm E(1;-4;5), F(3;2;7) 1 Viết phương trình mặt cầu đi... mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là 2x-3y+6z+35=0 a Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P) b Xác định điểm M’ đối xứng với M qua mp(P) 2 Cho điểm A(1;0;-2) và mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là 2x-z+2=0 c Tìm hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (P) d Xác định điểm đối xứng với A qua mp(P) 3 Xác định hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d Phương pháp... và song song với d Bài 3: Cho điểm P(1;2;3) 1 Viết phường trình đường thẳng ∆ đi qua P và song song với trục Ox 2 Viết phường trình đường thẳng ∆ đi qua P và song song với trục Oy Dạng 4: Đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với hai đường thẳng d và d’ cắt nhau hoặc chéo nhau uur uur uuu r Đường thẳng ∆ có vecto chỉ phương là: a∆ = ad , ad ' x = 1 + 2t x −1 y z +1 = = Bài 1: Cho điểm A(1;-2;0)... phẳng(P) đi qua gốc tọa độ và chứa đt d: Dạng 6: Mặt phẳng chứa một đường thẳng d và song song với một đường thẳng d’ 23 r uur uuu r - Mp(P) có vecto pháp tuyến là n = ad , ad ' Bài 1: Cho bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1) 1 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AC và song song với BD 2 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa DC và song song với AB Bài 2: x = 2 − t x −1 y z +1 = = 1 ... đường thẳng chứa với mặt phẳng Bài tập dạng phương trình đường thẳng Dạng 1: Đường thẳng qua hai điểm phân biệt uuur Nhận xét: Đường thẳng AB có vecto phương vecto AB Bài 1: Cho hai điểm A(1;2;3),... với d H hình chiếu vng góc tâm I lên đường thẳng d Nếu h