NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM TẬP 2B VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN KHI BIẾT HỆ SỐ GÓC GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 Facebook: https://web.facebook.com/phong.baovuong Page: https://web.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Website: http://tailieutoanhoc.vn/ Email: baovuong7279@gmail.com 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM MỤC LỤC Vấn đề Viết phƣơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết hệ số góc tiếp tuyến CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 10 GIÁO VIÊN NÀO MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ GẶP THẦY VƢƠNG GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM Vấn đề Viết phƣơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết hệ số góc tiếp tuyến Phƣơng pháp:  Giải phương trình f '( x)  k giải phương trình ta tìm nghiệm x1 , x2 , , xn  Phương trình tiếp tuyến: y  f '( xi )( x  xi )  f ( xi ) (i  1,2, , n) h : ối v i ài to n ta ần ưu  ố tiếp tuyến m t số v n đ sau a đ th h nh số nghiệm a phương trình f '( x)  k  Cho hai đư ng th ng d1 : y  k1 x  b1 d2 : y  k2 x  b2 i) tan   k1  k2  k1 k2 hi đ đ   (d1 , d2 )  k  k2  ii) d1 / / d2    b1  b2 iii) d1  d2  k1 k2  1 Nếu đư ng th ng d cắt trục Ox, Oy lần ượt A, B tan OAB   x OB đ hệ số góc c a d OA đ nh y '  x   tan OAB Ví dụ : Cho hàm số y  2x  x 1 đ th (C) Giải b t phương trình y '  4 ; Viết phương trình tiếp tuyến v i (C) biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy lần ượt A, B mà OA  4OB Lời giải Ta có y '  1 ( x  1)2 B t phương trình y '  4    1 1 ( x  1)   x 1   x      2   2 ( x  1)2 x  x  x     Cách 1: Ta có tan OAB  Nhưng y '  1 OB  nên hệ số góc c a tiếp tuyến k  k   4 OA 1  0, x  nên hệ số góc c a tiếp tuyến k   ( x  1) Hoành đ tiếp điểm nghiệm phương trình Từ đ ta x x  1 1   ( x  1)  x  1 13 đ nh hai tiếp tuyến thỏa mãn: y   x  ; y   x  4 4 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM Cách 2:  2x   Phương trình tiếp tuyến v i (C) điểm M  x0 ;  ( x0  1) là: x0    y x02  x0  x0  x 1 hay y   ( x  x )  x0  ( x0  1)2 ( x0  1)2 ( x0  1)2 Ta x đ nh tọa đ giao điểm c a tiếp tuyến v i trục tọa đ :  x2  x0   A(2 x02  x0  1; 0), B  0;   ( x0  1)2   x02  x0  Từ giả thiết OA  4OB , ta có: x02  x0   ( x0  1) x   ( x0  1)2     x0  1 Cách 3: Giả sử A(a; 0), B(0; b) v i ab  V i giả thiết OA  4OB  a  b  a  4b  ng th ng qua hai điểm A, B có dạng  : b  a x y b   hay  : y   x  b a b a b ng  : y   x  b tiếp xúc (C) điểm hoành đ x0 hệ sau có nghiệm x0 : a  1 b  (*)  a b b  ( x0  1) (I) Từ (*) suy      a a  x0    b x  b (**)  x0  a    x0  1    ( x  1)   x   Hệ (I) trở thành  x  1  b    xb  x0     3  13 b   x0  1 b   x0  x0   1 13 Do có hai tiếp tuyến thỏa mãn: y   x  ; y   x  4 4 Ví dụ Gọi (C) đ th c a hàm số y  x2  2mx  m , m tham số khác khác  xm 1.Chứng minh (C) cắt Ox điểm M k hoành đ x0 hệ số góc c a tiếp tuyến c a (C) M : x0  2m x0  m 2.Tìm m để (C) cắt Ox hai điểm hai tiếp tuyến c a (C) hai điêm đ vuông g v i Lời giải Ta có y  x  3m  Khi m  m   3m  m xm đa thức tử không chia hết ho đa thức mẫu đ đ th hàm số không suy biến thành đư ng th ng GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM Hệ số góc c a tiếp tuyến (d) c a (C) M k  y '( x0 )  (2 x0  2m)( x0  m)  ( x02  2mx0  m) ( x0  m)2 Vì M thu c Ox nên y( x0 )  k (2 x0  2m)( x0  m) ( x0  m)  x02  2mx0  m   x02  2mx0  m  x0  m x0  2m x0  m (đp m) 2.Phương trình hoành đ giao điểm c a (C) Ox  x2  2mx  m  x  m 0 xm   g( x)  x  2mx  m  (1) (C) cắt Ox hai điểm phân biệt M,N  (1) có hai nghiệm x1, x2 khác – m m   m    '  m2  m  m   m        (*)  g( m)   3m  m    m    hi đ hệ số góc c a hai tiếp tuyến c a (C) M, N k1  x1  2m x  2m , k2  x1  m x2  m Hai tiếp tuyến vuông góc  k1 k2  1  x  2m  x2  2m      1  x1  m  x2  m   4[x1 x2  m( x1  x2 )  m2 ]  x1 x2  m( x1  x2 )  m2 (2) Lại có x1  x2  2m , x1 x2  m Do đ : (2)  m2  5m   m   m  So v i u kiện (*) nhận m = Ví dụ : Cho hàm số y  x x 1 đ th (C) Tìm tọa đ điểm M thu c (C), biết tiếp tuyến c a (C) M vuông góc v i đư ng th ng qua điểm M điểm I 1;1 Lời giải  x  V i x0  , tiếp tuyến (d) v i (C) M  x0 ;  x0    y phương trình : x02 x0 1  x  y  0 ( x  x )  x0  ( x0  1)2 ( x0  1)2 ( x0  1)2  có vec tơ hỉ phương u   1;  ( x0  1)2  (d) ể (d) vuông g     , IM   x0  1;  x0     IM u kiện : u.IM   1.( x0  1)  x  1 0 ( x0  1) x0   x0  GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM V i x0  ta M  0;  V i x0  ta M  2;  Vậy, M  0;  M  2;  tọa đ cần tìm Ví dụ : Cho hàm số y  x3  3x2  9x  tiếp tuyến hệ số g đ th (C) Trong t t ả tiếp tuyến a đ th (C) h y tìm nhỏ nh t Lời giải Hàm số đ Ta ho x đ nh D  y '  3x  x  Gọi M( x0 ; y0 )  (C)  y0  x03  3x02  9x0  Tiếp tuyến điểm M mink  12, đạt đượ ậy t t ả k  y '( x0 )  3x02  6x0   3( x0  1)2  12  12 hệ số g hi x0  1  y0  16 tiếp tuyến a đ th hàm số tiếp tuyến M  1;16  hệ số g nhỏ nh t phương trình là: y  12x + Ví dụ Gọi (C) đ th c a hàm số y  2x3  6x2  Viết phương trình tiếp tuyến (d) c a (C) điểm A thu (C) hoành đ x  Tìm giao điểm khác A c a (d) (C) X đ nh tham số a để t n nh t m t tiếp tuyến c a (C) có hệ số góc a Chứng minh có nh t m t tiếp tuyến c a (C) qua điểm y ''  c a (C) hoành đ thỏa m n phương trình Lời giải Phương trình tiếp tuyến (d) c a (C) điểm A: y  y '(3)( x  3)  y(3)  18x  49 Phương trình hoành đ giao điểm c a (d) (C):  2x3  6x2   18x  49  2x3  6x2  18x  54   x   x  3 Suy giao điểm c a (d) (C) khác A B   3;103  T n nh t m t tiếp tuyến c a (C) có hệ số góc a  x0  , y '( x0 )  a  x0 : 6x02  12x0  a Bài toán quy v Tìm a để phương trình - 6x2 +12x = a (1) có nghiệm (1)  6x2 – 12x + a = (1) có nghiệm   '  36  6a   a  Vậy a  Từ giả thiết suy hoành đ phương trình y ''   x   I 1;  1 Phương trình tiếp tuyến (D) c a (C) qua I 1;  1 có dạng : y  (D) tiếp xúc (C) điểm hoành đ  x – 1 –  2 x0  x0   k( x0  1)  (1) x0   có nghiệm x0  6 x0  12 x0  k (2) GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM Thay (2) vào (1) ta  2x03  6x02   (6x02  12x0 )( x0  1)   ( x0  1)3   x0  uy phương trình  d  y  6x – Ví dụ : Cho hàm số y   x3  ( m  1)x  (3m  2)x  đ th (C) Tìm m để (C ) hai điểm 3 phân biệt M1 ( x1 ; y1 ), M2 ( x2 ; y2 ) thỏa mãn x1 x2  tiếp tuyến c a (C ) điểm đ vuông g v i đư ng th ng d : x  3y   Lời giải Hàm số đ ho x đ nh D  y '  2x  2(m  1)x  3m  Ta Hệ số góc c a d : x  3y   kd  Tiếp tuyến điểm M1 ( x1 ; y1 ), M2 ( x2 ; y2 ) vuông góc v i d phải có: y '  3 Trong đ x1 , x2 nghiệm c a phương trình: 2x  2(m  1)x  3m   3  2x2  2(m  1)x  3m   Yêu cầu toán  phương trình (1) (1) hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 x2   '  ( m  1)2  2(3m  1)   m  3    3m    1  m   0    Vậy, m  3 1  m   thỏa mãn toán Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến v i đ th C  : y  x3  6x2  9x  điểm M , biết M điểm cực tr c a  C  tạo thành tam giác có diện tích Lời giải Hàm số đ ho điểm cực tr A 1;  , B  3; 2  đư ng th ng qua cực tr AB : 2x  y   Gọi M  x0 ; y0  tọa đ tiếp điểm c a đ th C  c a hàm số tiếp tuyến  d  cần tìm hi đ y0  x03  6x02  9x0  Ta có: AB  , d  M ; AB   x0  y0  Giả thiết SMAB   AB.d  M; AB    2x0  y0    2x0  y0  10 2x0  y0  2 TH1: Tọa đ  y0  2  x0 2 x  y  2     y  2   M thỏa mãn hệ:  hay M  0; 2  2 x x  x0  11     x0    y0  x0  x0  x0   0   Tiếp tuyến M là: y  9x  GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM 2 x  y  10  M thỏa mãn hệ:    y0  x0  x0  x0  TH2: Tọa đ  y   y0  10  x0  hay M  4;    x   x0  x0  11    x0      Tiếp tuyến M là: y  9x  34 Vậy, có tiếp tuyến thỏa đ bài: y  9x  y  9x  34 Ví dụ : Cho hàm số y  x 1 2( x  1) đ th (C) Tìm điểm M (C) cho tiếp tuyến v i (C) M tạo v i hai trục tọa đ m t tam giác có trọng tâm nằm đư ng th ng 4x + y = Lời giải Hàm số đ Gọi M( x0 ; đ nh D  ho x \1 x0  )  (C ) điểm cần tìm 2( x0  1) Gọi  tiếp tuyến v i (C) M ta y  f ' ( x0 )( x  x0 )  phương trình  : x0  x 1 y ( x  x0 )  2( x0  1) 2( x0  1)  x0  1  x  x0    x  x0   Gọi A    Ox  A   ;  , B    Oy  B  0;    2( x  1)2       x  x0  x02  x0   ;  OAB có trọng tâm là: G(     6( x0  1)2   Do G thu c đư ng th ng: 4x + y =  4  4 x  1 x02  x0  x02  x0   0 6( x0  1)2   1  x0    x0    (vì A, B  O nên x  2x0   )   x    x     2 V i x0    3  M ;   2 V i x0    5  M ;   2 Ví dụ : Tìm m để tiếp tuyến c a đ th y  x3  3x2  m điểm hoành đ cắt trục Ox , Oy lần ượt A B cho diện tích tam giác OAB có diện tích 1, Tìm giá tr dương tiếp tuyến điểm a m để  Cm  : y  x4   m  1 x2  3m  cắt trục hoành điểm phân biệt hoành đ l n nh t v i trục tọa đ tạo thành tam giác có diện tích 24 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM Lời giải x   y 1  m  suy M 1; m   Tiếp tuyến M d : y  3x  m   m2  ;0 d cắt Ox A nên A  xA ;  A  d suy A    d cắt Oy B nên B  0; yB  B  d suy B  0; m   Diện tích tam giác OAB có diện tích 1, OA OB   OA OB  hay 2 m2 m   hay  m    phương trình nghiệm m  5 m  Vậy, m  5 m  giá tr cần tìm Phương trình hoành đ giao điểm  Cm  trục hoành :   x4   m  1 x2  3m    x2   x2   3m      V i m   Cm  cắt trục hoành giao điểm phân biệt x  3m  hoành đ l n nh t Gỉa sử A  3m  2;  giao điểm hoành đ l n nh t tiếp tuyến d A phương trình: y   3m  1 3m  2.x   3m  1 3m    Gọi B giao điểm c a d Oy suy B 0; 2  3m  1 3m    Theo giả thiết, tam giác OAB vuông O SOAB  24  OA.OB  48 hay   3m  18m2  22m   48     Xét f  m  3m  18m2  22m   48, m  2 Ta có: f '  m   v i m  , suy f  m  đ ng biến v i m  f    đ phương trình 3  có nghiệm nh t m  23 Vậy, m  thỏa m n đ để tiếp tuyến c a đ th hàm số : y  x3  mx  m  điểm Ví dụ 10 Tìm m đư ng tròn  x     y    2 theo dây cung hoành đ cắt đ dài nhỏ nh t Lời giải y '  3x2  m  y ' 1   m V i x   y 1   M 1;  Phương trình tiếp tuyến M : y  y ' 1 x  1    m x  y   m   d  GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM ng tròn có tâm I  2;  bán kính R    đư ng tròn, tức d I ;  d   R  Vì IM  R nên đ dài cung nhỏ nh t  d  tiếp xúc v i   m    m   m   hay m m  6m  10  ình phương hai vế rút gọn ta đượ phương trình 2m2  3m   , giải phương trình ta m  m  thỏa toán Ví dụ 11 : Tìm m để tiếp tuyến c a đ th y  x3  3x2  m điểm lần ượt hoành đ cắt trục Ox, Oy điểm A B ho đư ng tròn ngoại tiếp tam giác OAB có chu vi 2 18 Lời giải V i x0   y0  m   M 1; m –  Tiếp tuyến M d: y  (3x02  6x0 )( x  x0 )  m   d : y  3x  m  d cắt trục Ox A:  3xA  m   xA  m1  m1   A ; 0   d cắt trục Oy B : yB  m   B(0 ; m  1)  m1 m1 ; Tam giác vuông O Trung điểm I c a AB tâm đt ngoại tiếp I     BK OI= m1 18 Giả thiết có 2 OI  2 m   m1    18  m  2 Ví dụ 12 Gọi (C) đ th c a hàm số y  x1 Viết phương trình tiếp tuyến (t) c a (C), biết: x 1 (t) tiếp xúc v i đư ng tròn: ( ) : ( x  2)2  ( y  6)2  45 Khoảng cách từ (t) đến điểm I(1;1) l n nh t Lời giải T nh tiến OI v i I(1;1), hệ trục Oxy  hệ trục IXY  x  X  xI  X   Công thức chuyển hệ tọa đ :    y  Y  yI  Y  X  x     ối v i hệ trục IXY A có tọa đ  Y  y     Hàm số cho trở thành : Y   Phương trình X 1 X  2   Y   F(X) ( X  1)  X X a đư ng tròn ( ) (X  1)2  (Y  5)2  45, (  ) có tâm A(1;5) , bán kính R = GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM  : y  (4x03  4x0 )( x  x0 )  y0 Giả sử  tiếp tuyến tiếp xúc v i (C) hai điểm phân biệt M(m; m4  2m2  1) N(n; n4  2n2  1) v i m  n phương trình  : y  y '(m)( x  m)  y(m) Ta  : y  y '(n)( x  n)  y(n) 3   y '(m)  y '(n)  4n  4n  m  m Suy   4  m.y '( m)  y(m)  n.y '(n)  y(n) 3m  2m   3n  2n  2  (n  m)(n2  mn  n2 )  (n  m)   n  mn  n     2 2 2 2  (n  m)  3(n  m )    (*) 3(n  m )(n  m )  2(n  m )   Từ (*) ta có: m  n  n2  m2   m  n   m  n  n2   n  1  mn  vô nghiệm  m n    ( m  n)2   2 Vậy y  2 tiếp tuyến cần tìm Bài Cho hàm số y  x3  3x2  9x  đ th (C) Viết phương trình tiếp tuyến c a (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nh t A y  2x  B y  x  C y  12x  D y  12x  Bài làm Ta có: y '  3( x2  2x  3) Do y '  ( x  1)2    12  y '  12 đạt x  Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  12x  Câu Viết phương trình tiếp tuyến c a (C), biết tiếp tuyến tạo v i đư ng th ng d : y  x  m t góc  thỏa cos   41 1  321  A y    x  9    1  321  B y    x    34    1  321  C y    x  7    D đ p n h Bài làm Ta có: y '  3( x2  2x  3) Gọi M( x0 ; y0 ) tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến  M: y  y '( x0 )( x  x0 )  y0 Hay kx  y  b  , V i k  y '( x0 ) Theo ta có: cos   k 1 k  2  41 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 16 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM  41( k  1)2  50( k  1)  9k  82k    k  9, k    k  9  x02  2x0   x0  0, x0  Từ đ ta tìm hai tiếp tuyến: y  9x  y  9x   k  321  27 x02  54 x0  80   x0  9 1  321  Từ đ ta tìm hai tiếp tuyến là: y    x    y( x0 )    Câu Viết phương trình tiếp tuyến c a (C), biết tiếp tuyến qua điểm A(1; 6) A y  7; y  9x  B y  6; y  9x  C y  6; y  2x  D y  6; y  9x  Bài làm Ta có: y '  3( x2  2x  3) Gọi M( x0 ; y0 ) tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến  M: y  y '( x0 )( x  x0 )  y0 Do tiếp tuyến qua A nên ta phương trình  3( x02  2x0  3)(1  x0 )  x03  3x02  9x0   x03  3x0    ( x0  1)2 ( x0  2)   x0  1, x0   x0  1  y   x0   y  9x  Bài 7: Câu Cho hàm số y  x3  2x2  x  Tìm điểm thu đ th hàm số mà tiếp tuyến đ vuông g m t tiếp tuyến khác c a đ th A M 1;  B N  1;1 Bài làm Gọi A( a; f ( a)) điểm thu C E  0;1 D p n h đ th hi đ tiếp tuyến A có hệ số góc k  3a2  4a  1 * Nếu a   ; a  1 hiển nhiên tiếp tuyến vuông góc v i tiếp tuyến A * Nếu k  Ta xét phương trình 3x2  x    3x  x   3a  a   (1) 3a  a  ể t n tiếp tuyến vuông góc v i tiếp tuyến A (1) phải có nghiệm 1 3a  a   0 0   '   3(1  )0  3a  a  3a  a  3a  a    2  10     2  10  a   ;   1;     ;      3       GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 17 v i NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM đ th (C) Tìm toạ đ điểm M thu c d : y  3x  cho từ M kẻ Câu Cho hàm số y  x3  3x  đượ đến (C ) hai tiếp tuyến hai tiếp tuyến đ vuông g A M(1; 1) B M(3; 7) v i C M(1; 5) D M(0; 2) Bài làm Gọi M( m; 3m  2)  d Phương trình tiếp tuyến  c a (C) A( x0 ; y0 ) : y  (3x02  3)( x  x0 )  x03  3x0  Tiếp tuyến qua M  3m   (3x02  3)(m  x0 )  x03  3x0   x02 (2x0  3m)  Yêu cầu toán  m  Vậy M(0; 2) Bài 8: 2x  m ,m tham số khác – (d) m t tiếp tuyến c a (C) Tìm x2 m để (d) tạo v i hai đư ng tiệm cận c a (C) m t tam giác có diện tích Câu Gọi (C) đ th c a hàm số y =  m  6 A   m  5  m  3 C  m  m  B  m  Bài làm Hai đư ng tiệm cận đứng ngang c a (C)  m  3 D   m  5 phương trình ần ượt x = 2, y = ,suy giao điểm c a chúng I(2;2) T nh tiến OI Hệ trục Oxy  Hệ trục IXY  x  X  xI  X   Công thức chuyển hệ tọa đ :    y  Y  yI  Y  ối v i hệ trục IXY Hai đư ng tiệm cận đứng ngang c a (C) phương trình Y   (C) phương trình ần ượt X = , Y = 2(X  2)  m 4m  Y  F( X )  X22 X Gọi X0 hoành đ tiếp điểm c a tiếp tuyến (d) v i (C) phương trình (d) Y m4 m4 m4 2m  ( X  X0 )   X X0 X0 X02 X0  2m   Gọi A giao điểm c a (C) v i đư ng tiệm cận đứng c a A  0;  X0   Gọi B giao điểm c a (C) v i đư ng tiệm cận ngang c a B( 2X0 ; 0) Diện tích tam giác vuông IAB (d) tạo v i hai đư ng tiệm cận S 1 2m  IA.IB  YA XB  2X0  2m  2 X0  2m    m  3 S   2m       2m   2  m  5 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 18 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM Câu Cho hàm số y  x3   m( x  1) đ th (Cm ) Có giá tr m để tiếp tuyến c a (Cm ) giao điểm c a v i trục tung tạo v i hai trục tọa đ m t tam giác có diện tích A B.2 C.3 D Bài làm Ta có M(0;1  m) giao điểm c a (Cm ) v i trục tung y '  3x2  m  y '(0)  m Phương trình tiếp tuyến v i (Cm ) điểm m y  mx   m Gọi A, B lần ượt giao điểm c a tiếp tuyến v i trục hoanh trục tung, ta có tọa đ  1 m  A ;   m  B(0;1  m) Nếu m  tiếp tuyến song song v i Ox nên loại khả Nếu m  ta có 1  m  16  m   1 1 m SOAB   OA.OB   1 m   2 m m  m  7  Vậy có giá tr cần tìm Bài 9: x1 Tìm giá tr nhỏ nh t c a m cho t n nh t m t điểm M  (C) mà tiếp 2x  tuyến c a (C) M tạo v i hai trục toạ đ m t tam giác có trọng tâm nằm đư ng th ng d : y  2m  Câu Cho hàm số y  A B 3 C D Bài làm Gọi M( x0 ; y0 )  (C) Phương trình tiếp tuyến M : y  3 ( x  x0 )  y0 (2 x0  1)2 Gọi A B giao điểm c a tiếp tuyến v i trục hoành trục tung  yB  x02  x0  (2 x0  1)2 Từ đ trọng tâm G c a OAB có: yG  Vì G  d nên Mặt khác: x02  x0  3(2 x0  1)2 x02  x0  (2 x0  1)2  x02  x0  3(2 x0  1)2  2m  x02  (2 x0  1)2 (2 x0  1)2  x02 (2 x0  1)2   1 Do đ để t n nh t m t điểm M thoả toán 2m    Vậy GTNN c a m 1 m 3 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM 2mx  Gọi I giao điểm c a hai tiệm cận c a (C) Tìm m để tiếp tuyến m t xm diểm b t kì c a (C) cắt hai tiệm cận A B cho IAB có diện tích S  22 Câu Cho hàm số y  A m  5 B m  6 C m  7 D m  4 Bài làm (C) có tiệm cận đứng x  m , tiệm cận ngang y  2m  2mx0   Giao điểm tiệm cận I(m; 2m) M  x0 ;   (C ) x0  m   Phương trình tiếp tuyến  c a (C) M: y   cắt TC 2mx0  m2  ( x  x0 )  x0  m ( x0  m)  2mx0  m2   A  m;  , cắt TCN B(2x0  m; 2m) x0  m   Ta có: IA  m2  ; IB  x0  m  SIAB  IA.IB  4m2   22  m  4 x0  m C  : y  2xx23 Câu Gọi  d  tiếp tuyến c a đ th M cắt đư ng tiệm cận hai điểm phân biệt A, B Tìm tọa đ điểm M ho đư ng tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nh t , v i I giao điểm hai tiệm cận  5 A M 1;1 M  1;  3   5 B M  4;  M  3;   3 Bài làm Gọi M  x0 ; y0   C   y0  D M 1;1 M  3;  x0  y '0   x0   x0   Phương trình tiếp tuyến  d  c a  C  M : y  1 x  d  cắt hai đư  5 C M 1;1 M  4;   3  2 x  x   x0  x0   2x   ng tiệm cận hai điểm phân biệt A  2;  , B  x0  2;   x0   Dễ th y M trung điểm AB I  2;  giao điểm hai đư ng tiệm cận Tam giác IAB vuông I nên đư ng tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích     2x    2   2 S   IM    x0           x0      x0    x          D u đ ng thức xảy  x0    x  2  x   y0    x0   y0  Vậy M 1;1 M  3;  thỏa mãn toán Bài toán mở rộng : Tìm điểm  C  hoành đ x  cho tiếp tuyến đ tạo v i hai đư ng tiệm cận m t tam giác có chu vi nhỏ nh t GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 20 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM  2x   HD: theo ta có : A  2;  , B  x0  2;   IA, IB Chu vi tam giác AIB  x0   P  IA  IB  AB  IA  IB  IA2  IB2  IA.IB  2.IA.IB ng thức xảy IA  IB Nếu trư ng hợp tam giác AIB không vuông P  IA  IB  AB để tính AB ta cần đến đ nh lý hàm số   cosin AB2  IA2  IB2  2IA.IB cos IA, IB  P  IA  IB  AB2  IA.IB  IA2  IB2  2IA.IB cos IA , IB  P  IA.IB  2IA.IB  2IA.IB cos IA, IB Bài 10: Cho hàm số y  2x x1   ng thức xảy IA  IB đ th  C  Có điểm M thu c  C  cho tiếp tuyến M c a  C  cắt Ox , Oy A , B cho diện tích tam giác OAB A B.2 , O gốc tọa đ C.3 Bài làm Gọi M  x0 ; y0   C   y0  x0 x0   y '0  Phương trình tiếp tuyến  t  c a  C  M : y0  D x  1 x  1 2 x x02 x   1  Tiếp tuyến  t  cắt hai trục tọa đ Ox, Oy hai điểm phân biệt A  x02 ; ,  x02 B  0;   x  1    cho diện tích tam giác AOB có diện tích   hi đ 2 x0 1 1 OA.OB   OA.OB   x02   4x02   x0  1  2  x  1     x02  x0    x0    M   ; 2  2      x0  x0    x   M  1;1  Bài 12: Cho hàm số y  2x  x 1 đ th (C) Câu Viết phương trình tiếp tuyến c a (C), biết tiếp tuyến song song v i đư ng th ng d : y  4x  A  : y  4x  ;  : y  4x  B  : y  4x  ;  : y  4x  C  : y  4x  ;  : y  4x  14 D  : y  4x  ;  : y  4x  14 Bài làm Hàm số x Ta có: y '  đ nh v i x  4 ( x  1)2 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 21 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM Tiệm cận đứng: x  ; tiệm cận ngang: y  ; tâm đối xứng I (1; 2) Gọi M( x0 ; y0 ) tiếp điểm suy phương trình tiếp tuyến c a (C): :y 2x  4 ( x  x0 )  x0  ( x0  1) Vì tiếp tuyến song v i đư ng th ng d : y  4x  nên ta có: y '( x0 )  4  4  4  x0  0, x0  ( x0  1)2 * x0   y0    : y  4x  * x0   y0    : y  4x  14 Câu Viết phương trình tiếp tuyến c a (C), biết tiếp tuyến tạo v i hai trục tọa đ m t tam giác vuông cân A  : y  x  ;  : y  x  B  : y  2x  ;  : y  x  11 C  : y  x  78 ;  : y  x  11 D  : y  x  ;  : y  x  Bài làm Hàm số x Ta có: y '  đ nh v i x  4 ( x  1)2 Tiệm cận đứng: x  ; tiệm cận ngang: y  ; tâm đối xứng I (1; 2) Gọi M( x0 ; y0 ) tiếp điểm suy phương trình tiếp tuyến c a (C): :y 2x  4 ( x  x0 )  x0  ( x0  1) Vì tiếp tuyến tạo v i hai trục tọa đ m t tam giác vuông cân nên hệ số góc c a tiếp tuyến 1 4  1  x0  1, x0  ( x0  1)2 * x0  1  y0    : y  x  * x0   y0    : y  x  Câu Viết phương trình tiếp tuyến c a (C), biết tiếp tuyến tạo v i hai tiệm cận m t tam giác có chu vi nhỏ nh t A  : y  x  21  : y  x  B  : y  x   : y  x  C  : y  x   : y  x  17 D  : y  x   : y  x  Bài làm Hàm số x Ta có: y '  đ nh v i x  4 ( x  1)2 Tiệm cận đứng: x  ; tiệm cận ngang: y  ; tâm đối xứng I (1; 2) Gọi M( x0 ; y0 ) tiếp điểm suy phương trình tiếp tuyến c a (C): :y 2x  4 ( x  x0 )  x0  ( x0  1)2 Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 22 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM x   2x    x0   A  1; A: 4   x0    y  ( x  1)2 (1  x0 )  x  0  Tiếp tuyến cắt tiệm ngang y   x0   B(2 x0  1; 2) B: 4 2  ( x  1)2 ( x  x0 )  x  0  Suy ra: IA  ; IB  x0   IA.IB  16 x0  Chu vi tam giác IAB : P  IA  IB  AB  IA  IB  IA2  IB2 Mà IA  IB  IA.IB  8; IA2  IB2  2IA.IB  32 Nên P   32   ng thức xảy  IA  IB  ( x0  1)2   x0  3, x0  1 Vậy ta có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu toán:  : y  x   : y  x  Bài 13 Cho hàm số y  2x x2 đ th (C) Câu Trên đ th (C) t n ao nhiêu điểm mà tiếp tuyến c a (C) đ song song v i đư ng th ng y  4x  A B.2 Bài làm Hàm số x Ta có: y '  D đ nh v i x  2 ( x  2)2 Gọi M( x0 ; y0 )  (C) Tiếp tuyến  c a (C) M y C.3 phương trình x0 x02 4 ( x  x )   x  x0  ( x0  2)2 ( x0  2)2 ( x0  2)2 Tiếp tuyến  song song v i đư ng th ng y  4x   4   ( x0  2)  x0  1; x0  3   x0   ( x  2)2  Vậy (C) hai điểm thỏa yêu cầu toán Câu Viết phương trình tiếp tuyến c a (C), biết tiếp tuyến tạo v i hai trục tọa đ m t tam giác có diện tích 18 A  : y  x ;: y  x 9 B  : y  31 x ;: y  x 9 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 23 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM C  : y  4 x ;: y  x 9 Bài làm Hàm số x Ta có: y '  x ;: y  x 9 đ nh v i x  2 ( x  2)2 Gọi M( x0 ; y0 )  (C) Tiếp tuyến  c a (C) M y D  : y  phương trình x0 x02 4 ( x  x )   x  x0  ( x0  2)2 ( x0  2)2 ( x0  2)2 Gọi A, B lần ượt giao điểm c a tiếp tuyến  v i Ox, Oy y     Suy A :  x02  x   x0  A(  x0 ; 0) 2  ( x  2)2 x  ( x  2)2    y  0   x   x02  B: x02  B  0;  y  ( x  2)2  ( x0  2)     Vì A, B  O  x0  x04 1 Tam giác AOB vuông O nên SAOB  OA.OB  2 ( x0  2)2 Suy SAOB  x04    x04  ( x0  2)2 18 ( x0  2)  x0   3x  x0   (vn)   02  x    3x0  x0   0  * x0   y0  * x0   4 Phương trình  : y  x  , y '( x0 )  9 9  y0  1, y '( x0 )  9 Phương trình  : y  ( x  )   x  4 Câu Giả sử t n phương trình tiếp tuyến c a (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp tuyến l n nh t hoành đ tiếp điểm lúc là: A x0  0, x0  4 Bài làm Hàm số x Ta có: y '  B x0  0, x0  3 C x0  1, x0  4 D x0  1, x0  3 đ nh v i x  2 ( x  2)2 Gọi M( x0 ; y0 )  (C) Tiếp tuyến  c a (C) M phương trình GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 24 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM y x0 x02 4 ( x  x )   x  x0  ( x0  2)2 ( x0  2)2 ( x0  2)2 tâm đối xứng I( 2; 2) Ta Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến  : d Do x0  ( x0  2)  16 8 x02 x  y  0: ( x0  2)2 ( x0  2)2 t , v i t  ( x0  2)2  t  16 t t   d2 t  16 16t 16 ng thức xảy t  16  t   ( x0  2)2   x0  0, x0  4 Bài 14: Cho hàm số y  x3  ax2  bx  c , c  đ th (C) cắt Oy A hai điểm chung v i trục Ox M N Tiếp tuyển v i đ th M qua A Tìm a; b; c để SAMN  A a  4, b  5, c  2 B a  4, b  5, c  C a  4, b  6, c  2 D a  4, b  5, c  2 Bài làm Giả sử (C) cắt Ox M(m; 0) N(n; 0) cắt Oy A(0; c ) Tiếp tuyến M phương trình y  (3m2  2am  b)( x  m) Tiếp tuyến qua A nên ta  2m3  am2   m   3m3  2am2  bm  c  a (do m3  am2  bm  c  ) Mà (C) cắt Ox hai điểm nên (C) tiếp xúc v i Ox Nếu M tiếp điểm suy Ox qua A vô v i Ox N Do đ nên ta (C) tiếp xúc y  x  ax  bx  c  ( x  n) ( x  m) 2  a a m   , n    m  2n   a   Suy 2mn  n2  b  a  32c (1) mn2  c 5a  16b    Mặt khác SAMN   c n  m   c a  a  32c   a  ta có: ac  8 vô nghiệm 5a  16b  a3  32c   a  ta có: ac   a  4, b  5, c  2 5a2  16b  GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 25 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM Bài 15: Cho hàm số y  2x  x 1 đ th (C) Câu Viết phương trình tiếp tuyến c a (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc  3 A : y   x  y   x  4 4 B : y   x  y   x  4 1 C : y   x  y   x  4 4 13 D : y   x  y   x  4 4 Bài làm : Gọi M( x0 ; y0 ) tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến  M y 2x  1 ( x  x0 )  x0  ( x0  1) Hệ số góc c a tiếp tuyến   nên suy 1    x0  3, x0  1 ( x0  1)2 13 Từ đ ta tìm tiếp tuyến là: y   x  y   x  4 4 Câu Viết phương trình tiếp tuyến c a (C), biết tiếp tuyến tạo v i hai tiệm cận m t tam giác có chu vi nhỏ nh t A y   x  y   x  4 4 1 B y   x  y   x  4 13 C y   x  y   x  4 13 D y   x  y   x  4 4 Bài làm : Gọi M( x0 ; y0 ) tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến  M y 2x  1 ( x  x0 )  x0  ( x0  1) Tiếp tuyến  cắt tiệm cận đứng A(1; x0 ), cắt đư ng tiệm cận ngang B(2x0  1; 2) Tâm đối xứng x0  I (1; 2) Suy IA  , IB  x0   IA.IB  x0  Chu vi tam giác IAB : p  AB  IA  IB  IA2  IB2  IA  IB Mặt khác: IA2  IB2  2IA.IB  8; IA  IB  IA.IB  Nên p  2  ng thức xảy  IA  IB  ( x0  1)2   x0  3, x0  1 13 Từ đ ta tìm tiếp tuyến là: y   x  y   x  4 4 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 26 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM Câu Viết phương trình tiếp tuyến c a (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng I đến tiếp tuyến tạo l n nh t A y   x  y   x  4 4 1 B y   x  y   x  4 13 C y   x  y   x  4 4 13 D y   x  y   x  4 4 Bài làm : Gọi M( x0 ; y0 ) tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến  M y 2x  1 ( x  x0 )  x0  ( x0  1) Gọi H hình chiếu c a I lên  Ta có d( I , )  IH Trong tam giác vuông IAB ta có: 1     IH IA2 IB2 IA.IB ng thức xảy  IA  IB Suy IH  13 Từ đ ta tìm tiếp tuyến là: y   x  y   x  4 4 Câu Tìm điểm M thu c (C) cho tiếp tuyến c a (C) M vuông góc v i IM A y  x  1, y  x  B y  x  3, y  x  C y  x  1, y  x  D y  x  1, y  x  Bài làm : Gọi M( x0 ; y0 ) tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến  M y 2x  1 ( x  x0 )  x0  ( x0  1)2  1 ng th ng  có VTCP u   1;  ( x  1)2  IM    x0    )  , IM  ( x0  1; x0     x0  0, x0  ( x0  1)3 Từ đ ta tìm tiếp tuyến: y  x  1, y  x  Bài 16: Câu Gọi (C) đ th c a hàm số y  x4  (d) m t tiếp tuyến c a (C) , (d) cắt hai trục tọa đ A B Viết phương trình tiếp tuyến (d) tam giác OAB có diện tích nhỏ nh t ( O gốc tọa đ ) A y   4 x B y   4 x C y   4 x D y   4 x 125 15 12 Bài làm Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng : y  4x03 ( x  x0 )  x04   4x03 x  3x04  đ x0 hoành đ tiếp điểm c a (d) v i (C)  3x   A giao điểm c a (d) v i trục Ox  A  ;   4x    B giao điểm c a (C) v i trục Oy  B(0; 3x04  1) Diện tích c a tam giác vuông OAB: GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 27 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM 4 1 (3x0  1) (3x0  1) S  OA.OB  xA yB   3 2 x0 x Xét trư ng hợp x0  Xét hàm số f ( x0 )  f '( x0 )  (3x  1) S  x03 hi đ (3x04  1)2 , x0  (0; ) x03 2(3x04  1)12 x03 x03  (3x04  1) 3x02 x06 f '( x0 )   x04   3(3x04  1)(5x04  1) x04 1  x0  (do x0  0) 5 Bảng biến thiên c a f ( x0 ) Từ bảng biến thiên suy f ( x0 )  Suy minS  5  x0  hi đ phương trình 64 5 đạt x0  a (d) y  4 125 x Vì trục Oy trụ đối xứng c a (C) nên trư ng hợp x0 < phương trình Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y   4 125 x a (d) y   4 x 125 Câu Gọi (Cm) đ th c a hàm số y  x4   m  1 x2  3m  , m tham số Tìm giá tr dương c a tham số m để (Cm) cắt trục hoành bốn điểm phân biệt tiếp tuyến c a (Cm) giao điểm hoành đ l n nh t hợp v i hai trục toạ đ m t tam giác có diện tích 24 A m  B m  C m  D m  Bài làm Phương trình hoành đ giao điểm c a (Cm) trục hoành x4   m  1 x2  3m   (1) GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 28 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM ặt t  x2 ,t  Phương trình (1) trở thành : t   m  1 t  3m   (2) (Cm) cắt trục Ox bốn điểm phân biệt  Phương trình (1) hai nghiệm dương phân iệt nghiệm phân biệt  Phương trình (2) Vì (2) có hai nghiệm t  1, t  3m  v i m m > (giả thiết) nên ta có  3m  ,suy v i tham số m > , (Cm) cắt Ox diểm phân biệt gọi A giao điểm hoành đ l n nh t hoành đ A xA  3m  Gọi f(x)  x4   m  1 x2  3m  phương trình tiếp tuyến d c a (Cm) A y  f '( xA )( x  xA )  f ( xA )  [4xA3  6(m  1)xA ]( x  xA ) ( f ( xA )  )  [4(3m  2) 3m   6( m  1) 3m  2]( x  3m  2)    6m   3m  x  3m  2)    Gọi B giao điểm c a tiếp tuyến d v i trục Oy B ;  6m   3m   Tam giác mà tiếp tuyến d tạo v i hai trục toạ đ tam giác vuông OAB ( vuông tạiO) ,theo giả thiết ta có : SOAB  24  OA.OB  48  xA yB  48  3m  2(6m  2)(3m  2)  48 (3) Gọi f  m   3m  2(6m  2)(3m  2)  3m  2(18m2  22m  4) f '( m)  3m  (18m2  22m  4)  (36m  22) 3m   v i m >0 2 Suy hàm số f(m) đ ng biến (0;+ ) f    24 đ phương trình (3) hỉ có m t nghiệm 3 m  (0;+ ) Bài 18: Câu Cho hàm số y  2x x2 từ tâm đối xứng c a đ th C A y  2x y  x  đ th  C  Viết phương trình tiếp tuyến c a đ th để khoảng cách đến tiếp tuyến l n nh t B y  x y  x  Bài làm Tiếp tuyến  d  c a đ th y C C  điểm M C y  3x y  x  D y  x y  x  hoành đ a  2 thu c  C  phương trình 2a ( x  a)   x  ( a  2)2 y  2a2  a2 ( a  2) Tâm đối xứng c a  C  I  2;  d( I , d)  a2 16  ( a  2)  a2 2.4.( a  2)  a2 2 a2 2 d( I , d) l n nh t (a  2)2   a  4 a  Từ đ suy hai tiếp tuyến y  x y  x  GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 29 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM Câu Cho hàm số y  C 2x  x2 đ th  C  Tìm  C  điểm M cho tiếp tuyến M c a cắt hai tiệm cận c a  C  A,B cho AB ngắn nh t A M(3; 3) M( 1; ) B M( 1; ) M(1;1) 5 C M(4; ) M( 1; ) D M(3; 3) M(1;1)   Bài làm L y điểm M  m;     C  Ta có: y ( m)   m2 ( m  2)2  Tiếp tuyến  d  M phương trình y   1 ( x  m)   m2 ( m  2)2   Giao điểm c a  d  v i tiệm cận đứng là: A  2;   m2  Giao điểm c a  d  v i tiệm cận ngang là: B(2m – 2; 2)   Ta có: AB2  ( m  2)2  8 ( m  2)2   ng thức xảy m  m  Vậy, điểm M cần tìm có tọa đ là: M(3; 3) M(1;1) Bài 19 : Tìm m để tiếp tuyến c a đ th y  x3  mx  m  điểm M phương trình ( x  2)  ( y  3)  theo m t dây ung 2 A m  B m  hoành đ x  1 cắt đư ng tròn (C) đ dài nhỏ nh t C m  D m  Bài làm : Ta có: y  3x  m  y(1)   m ; y(1)  2m  (C) có tâm I(2; 3) , R = 2 Phương trình đư ng th ng d M(1; 2m  2) : y  (3  m)x  m   (3  m)x  y  m   d( I , d)  4m (3  m)2    (3  m) (3  m)2   (3  m)2  (3  m)2   2R D u "=" xảy  m  D đ d( I , d) đạt l n nh t  m  Tiếp tuyến d cắt (C) điểm A, B cho AB ngắn nh t  d( I , d) đạt l n nh t  m  , suy d: y  x3 GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 30 ... LIÊN HỆ 0946798489 NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG V ĐẠO HÀM Vấn đề Viết phƣơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết hệ số góc tiếp tuyến Phƣơng pháp:  Giải phương trình f '( x)  k giải phương trình. .. 12 hệ số g hi x0  1  y0  16 tiếp tuyến a đ th hàm số tiếp tuyến M  1;16  hệ số g nhỏ nh t phương trình là: y  12x + Ví dụ Gọi (C) đ th c a hàm số y  2x3  6x2  Viết phương trình tiếp. .. MỤC LỤC Vấn đề Viết phƣơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết hệ số góc tiếp tuyến CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 10 GIÁO VIÊN NÀO MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ GẶP THẦY