CÁCH GIẢI MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐẶC BIỆT KIỀU ĐÌNH MINH (GV THPT Chuyên Hùng Vương, Phú Thọ) Phương trình hàm loại toán hay khó Chính lẽ mà toán phương trình hàm thường xuất thi olympic Trong trình làm toán giảng dạy tác giả bắt gặp dạng phương trình hàm đẹp đặc biệt mà tác giả muốn giới thiệu bạn đọc Đó phương trình hàm dạng Tìm tất hàm số f : ¡ → ¡ thoả mãn ( ) ( ) ( f x m ± y n = x k f x m − k ± y l f y n −l ) ∀x, y ∈ ¡ ; m, n ∈ ¥ * , k , l ∈ ¥ , m > k , n > l Để tiến hành giải toán ta làm sau ● Xây dựng tính chất cộng tính cho hàm cho m k m −k ● Dựa vào đẳng thức f ( x ) = x f ( x ) ta tính biểu thức sau theo hai cách ( ( x + 1) ) ; f ( ( x + 1) m f khác m + ( x − 1) m ) ; f ( ( x − y ) ) ; f ( ( x + 1) m m trình rút hàm f ( x ) Sau số thí dụ minh hoạ cho phương trình hàm nói Thí dụ Tìm tất hàm số f : ¡ → ¡ thoả mãn ( ) − x m , Từ lập phương ) f x − y = xf ( x ) − f ( y ) , ∀x, y ∈ ¡ (1) Lời giải Cho x = y = , từ ( 1) suy f ( ) = Cho y = , từ ( 1) suy f ( x ) = xf ( x ) , ∀x ∈ ¡ Cho x = , từ ( 1) suy f ( − y ) = − f ( y ) , ∀y ∈ ¡ , chứng tỏ hàm f hàm lẻ Phương trình hàm cho trở thành ( ) ( ) f ( −x + y) = f ( − ( x f x − y = f x + f ( − y ) , ∀x, y ∈ ¡ ⇒ f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , ∀x ≥ 0, ∀y ∈ ¡ Lại có 2 −y )) =−f ( x suy f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , ∀x ≤ 0, ∀y ∈ ¡ Tóm lại f ) f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , ∀x, y ∈ ¡ Bây ta tính f ( ( x + 1) ) = f ( x ( ( ) ) ) ( ) − y = − f x − f ( y ) = f − x + f ( y ) , ∀x , y ∈ ¡ ( ) ( ( x + 1) ) theo hai cách Ta có + x + ⇔ ( x + 1) f ( x + 1) = f x + f ( x ) + f ( 1) ⇔ ( x + 1) ( f ( x ) + f ( 1) ) = xf ( x ) + +2 f ( x ) + f ( 1) ⇔ f ( x ) = xf ( 1) , ∀x ∈ ¡ ⇔ f ( x ) = ax, ∀x ∈ ¡ , a ∈ ¡ Thử lại ta thấy hàm f ( x ) = ax thoả mãn phương trình hàm cho Vậy f ( x ) = ax, ∀x ∈ ¡ ■ Thí dụ Tìm tất hàm số f : ¡ → ¡ thoả mãn ( ) f x + y = xf ( x ) + yf ( y ) , ∀x, y ∈ ¡ (2) Lời giải Cho x = , từ ( ) suy f ( y ) = yf ( y ) , ∀y ∈ ¡ Cho y = , từ ( ) suy f ( x ) = xf ( x ) , ∀x ∈ ¡ Do phương trình hàm cho trở thành ( ) ( ) ( ) f x + y = f x + f y , ∀x, y ∈ ¡ ⇒ f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , ∀x, y ≥ ( 2.1) thay y − y từ ( ) ta f ( x + y ) = xf ( x ) − yf ( − y ) So sánh với phương trình cho suy − yf ( − y ) = yf ( y ) , ∀y ∈ ¡ ⇒ f ( − x ) = − f ( x ) , ∀x ∈ ¡ , chứng tỏ f hàm số lẻ Do với x ≥ 0, y ≤ ta có 2 f ( x − y ) = f ( x + ( − y) ) = f ( x) + f ( − y) = f ( x) − f ( y ) ⇒ f ( x) = f ( x − y ) + f ( y ) ⇒ f f ( x − y ) + f ( y ) ⇒ f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , ∀x ≥ 0, ∀y ≤ Với x ≤ 0, y ≤ ta có ( 2.2 ) f ( x + y ) = − f ( −x − y) = − ( f ( −x) + f ( − y) ) = − ( − f ( x) − f ( y ) ) = f ( x) + f ( y ) ( ( x − y) + y) = ( 2.3) Kết hợp ( 2.1) , ( 2.2 ) ( 2.3) ta f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , ∀x, y ∈ ¡ Bây làm tương tự thí ( dụ việc tính f ( x + 1) ) theo hai cách ta suy nghiệm f ( x ) = ax, ∀x ∈ ¡ ■ Thí dụ (USA MO 2000) Tìm tất hàm số f : ¡ → ¡ thoả mãn ( ) f x − y = xf ( x ) − yf ( y ) , ∀x, y ∈ ¡ (3) Lời giải Cho x = y , từ ( 3) suy f ( ) = Cho x = , từ ( 3) suy f ( − y ) = − yf ( y ) , ∀y ∈ ¡ Cho y = , từ ( 3) suy f ( x ) = xf ( x ) , ∀x ∈ ¡ Do phương trình cho trở thành ( ) ( ) ( ) f x − y = f x + f − y , ∀x, y ∈ ¡ ⇒ f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , ∀x ≥ 0, ∀y ≤ ( 3.1) Lại thay x = − y vào ( 3.1) ta = f ( ) = f ( − y ) + f ( y ) , ∀y ≤ ⇒ f ( − y ) = − f ( y ) , ∀y ≤ ⇒ f ( − y ) = − f ( y ) , ∀y ∈ ¡ , chứng tỏ hàm f lẻ Lại có f ( x − y ) = f ( x + ( − y ) ) = f ( x ) + f ( − y ) = f ( x ) − f ( y ) , ∀x ≥ 0, ∀y ≥ ⇒ ⇒ f ( ( x − y ) + y ) = f ( x − y ) + f ( y ) , ∀x ≥ 0, y ≥ ⇒ f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , ∀x ∈ ¡ , ∀y ≥ ( 3.2 ) Kết hợp ( 3.1) ( 3.2 ) suy f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , ∀x, y ∈ ¡ Tiếp theo làm tương tự hai thí dụ ta kết f ( x ) = ax, ∀x ∈ ¡ ■ Thí dụ (T12/412 THTT) Tìm tất hàm số f : ¡ → ¡ thoả mãn ( ) f x + y = x f ( x ) + y f ( y ) , ∀x, y ∈ ¡ ( 4) Lời giải 3 Lần lượt cho x = 0, y = ta f ( y ) = y f ( y ) f ( x ) = x f ( x ) Do phương trình hàm 3 3 cho trở thành f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , ∀x, y ∈ ¡ ⇒ f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , ∀x, y ∈ ¡ ( Ta tính f ( x + 1) + f ( x − 1) ( ( x + 1) f ( ( x + 1) f ( 3 3 ) theo hai cách sau ) = f ( 2x + 6x ) = f ( 2x ) + f ( 6x ) = f ( x ) + f ( x ) = 2x f ( x ) + f ( x ) + f ( x − 1) ) = f ( ( x + 1) ) + f ( ( x − 1) ) = ( x + 1) f ( x + 1) + ( x − 1) f ( x − 1) = + f ( x − 1) 3 ) 3 ( 3 ) 2 ( 4.1) ( ) = x + x + ( f ( x ) + f ( 1) ) + x − x + ( f ( x ) − f ( 1) ) = x + f ( x ) + xf ( 1) ( 4.2 ) 2 So sánh ( 4.1) ( 4.2 ) ta có x f ( x ) + f ( x ) = ( x + ) f ( x ) + xf ( 1) ⇒ f ( x ) = f ( 1) x = ax, a ∈ ¡ Thử lại hàm f ( x ) = ax thoả mãn phương trình hàm cho Kết luận f ( x ) = ax, ∀x ∈ ¡ ■ Thí dụ Tìm tất hàm số f : ¡ → ¡ thoả mãn ( ) ( ) f x + y = f ( x ) + yf y , ∀x, y ∈ ¡ ( 5) Lời giải Cho x = 0, y = , từ ( 5) suy f ( ) = Cho x = , từ ( 5) suy ( ) ( ) f y = yf y , ∀y ∈ ¡ ⇒ − yf ( ( − y ) ) = f ( ( − y ) ) = f ( y ) = yf ( y ) , ∀y ∈ ¡ ⇒ f ( − y ) = − f ( y ) , ∀y ≠ 4 3 Vậy f hàm số lẻ 4 Phương trình hàm cho viết lại sau f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , ∀x, y ∈ ¡ , suy f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , ∀x ∈ ¡ , ∀y ≥ ( 5.1) Ta có f ( x + y ) = f ( − ( −x − y) ) = − f ( ( −x) + ( − y) ) = − ( f ( −x) + f ( − y ) ) = − ( − f ( x) − f ( y ) ) = f ( x) + f ( y ) , ( 5.2 ) Kết hợp ( 5.1) ( 5.2 ) ta f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , ∀x, y ∈ ¡ 4 Bây ta tính f ( ( x + 1) + ( x − 1) ) theo hai cách sau ∀x ∈ ¡ , ∀y ≤ ( ( x + 1) f ( ( x + 1) f + ( x − 1) 4 + ( x − 1) ( ) = f ( x + 12 x + 2) = f ( x ) + 12 f ( x ) + f ( 1) = xf ( x ) + 12 f ( x ) + f ( 1) ) = f ( ( x + 1) ) + f ( ( x − 1) ) = ( x + 1) f ( ( x + 1) ) + ( x −1) f ( ( x −1) ) = 4 4 ) ( ) ( ) ( 5.3) ( ) = ( x + 1) f x + x + 3x + + ( x − 1) f x − x + 3x − = xf x + f x + xf ( x ) + f ( 1) ( 5.4 ) x + vào ( 5.5) ta So sánh ( 5.3) với ( 5.4 ) ta có f ( x ) = xf ( x ) , ∀x ∈ ¡ ( 5.5) Tiếp tục thay x ( ) ( ) f x + x + = ( x + 1) ( f ( x ) + f ( 1) ) ⇒ f x + f ( x ) + f ( 1) = ( x + 1) f ( x ) + ( x + 1) f ( 1) ⇒ ( ) ⇒ f x = ( x − 1) f ( x ) + xf ( 1) ( 5.6 ) Từ ( 5.5) , ( 5.6 ) suy xf ( x ) = ( x − 1) f ( x ) + xf ( 1) ⇒ f ( x ) = xf ( 1) = ax, ∀x ∈ ¡ Dễ thấy hàm thoả mãn phương trình cho Vậy hàm cần tìm f ( x ) = ax, ∀x ∈ ¡ ■ Thí dụ Tìm tất hàm số f : ¡ → ¡ thoả mãn ( ) ( ) ( ) f x + y = x f x + y f y , ∀x, y ∈ ¡ ( 6) Lời giải ( Dễ chứng minh f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , ∀x, y ∈ ¡ Bây ta tính f ( x + 1) + ( x − 1) 5 ) theo hai cách Đặt t = ( x + 1) + ( x − 1) = x5 + 20 x + 10 x 5 3 Ta có f ( t ) = f ( x ) + 20 f ( x ) + 10 f ( x ) = x f ( x ) + 20 f ( x ) + 10 f ( x ) ( 6.1) Mặt khác f ( t) = f ( ( x + 1) ) + f ( ( x − 1) ) = ( x + 1) f ( ( x + 1) ) + ( x − 1) f ( ( x − 1) ) = x f ( x ) + x f ( x ) + 12xf ( x ) + 5 3 2 ( ) +4 f ( 1) x + f x + f ( x ) ( 6.2 ) 2 Từ ( 6.1) , ( 6.2 ) suy f ( x ) + f ( x ) = 3x f ( x ) + xf ( x ) + f ( 1) x, ∀x ∈ ¡ ( 6.3) Trong ( 6.3) thay x x + ta 9f ( ( x + 1) ) + f ( x + 1) = ( x + 1) ( ) ⇔ f ( x ) + f ( x ) = f ( 1) x f ( x + 1) + ( x + 1) f ( ) ( ) ( ( x + 1) ) + f ( 1) ( x + 1) ⇔ ( ) f x + 27 f x + 29 f ( x ) + 11 f ( 1) = f x + 17 f ( x ) + f ( 1) x + 18 xf ( x ) + 12 f ( 1) x + 11 f ( 1) + f x 2 + xf ( x ) + f ( 1) x ( 6.4 ) Trong ( 6.4 ) lại thay x x + f ( x + 1) + f ( ( x + 1) ) = f ( 1) ( x + 1) ( ) ⇔ f ( x ) + 12 f ( x ) = f ( 1) x + ( x + 1) f ( x + 1) + f ( 1) ( x + 1) ⇔ f x + 18 f ( x ) + 11 f ( 1) = f ( 1) x + 12 f ( 1) x + 11 f ( 1) + xf ( x ) + f ( x ) 2 + 12 f ( 1) x + xf ( x ) ( 6.5 ) Từ ( 6.4 ) , ( 6.5 ) suy f ( x ) = f ( 1) x ⇒ f ( x ) = f ( 1) x = ax, ∀x ∈ ¡ Thử lại hàm số thoả mãn phương trình cho Vậy nghiệm phương trình f ( x ) = ax, ∀x ∈ ¡ Bình luận: Qua thí dụ thấy nghiệm phương trình hàm nêu có dạng f ( x ) = ax, ∀x ∈ ¡ Từ phương trình tổng quát với việc chọn giá trị cụ thể luỹ thừa ta toán tương ứng Tuy nhiên luỹ thừa cao việc tính toán trở nên phức tạp BÀI TẬP TỰ LUYỆN Tìm tất hàm số f : ¡ → ¡ thoả mãn phương trình sau f ( x − y ) = f ( x ) − y f ( y ) , ∀x, y ∈ ¡ 2 f ( x + y ) = xf ( x ) + f ( y ) , ∀x, y ∈ ¡ 3 2 f ( x − y ) = xf ( x ) − yf ( y ) , ∀x, y ∈ ¡ 3 2 f ( x − y ) = x f ( x ) − yf ( y ) , ∀x, y ∈ ¡ f ( x − y ) = f ( x ) − y f ( y ) , ∀x, y ∈ ¡ f ( x + y ) = f ( x ) + y f ( y ) , ∀x, y ∈ ¡ 5 3 f ( x − y ) = x f ( x ) − y f ( y ) , ∀x, y ∈ ¡ 6 3 3 f ( x − y ) = x f ( x ) − y f ( y ) , ∀x, y ∈ ¡ 7 4 f ( x + y ) = x f ( x ) + y f ( y ) , ∀x, y ∈ ¡ 7 5 10 f ( x − y ) = x f ( x ) − y f ( y ) , ∀x, y ∈ ¡