Cực trị hình học Trang - CC TR HèNH HC Kin thc trng tõm A-Phng phỏp gii bi toỏn cc tr hỡnh hc 1- Hng gii bi toỏn cc tr hỡnh hc : a) Khi tỡm v trớ ca hỡnh H trờn D cho biu thc f cú giỏ tr ln nht ta phi chng t c : +Vi mi v trớ ca hỡnh H trờn D thỡ f m ( m l hng s ) +Xỏc nh v trớ ca hỡnh H trờn D cho f = m b) Khi tỡm v trớ ca hỡnh H trờn D cho biu thc f cú giỏ tr nh nht ta phi chng t c : +Vi mi v trớ ca hỡnh H trờn D thỡ f m ( m l hng s ) +Xỏc nh v trớ ca hỡnh H trờn D f = m - Cỏch trỡnh by li gii bi toỏn cc tr hỡnh hc + Cỏch1 :Trong cỏc hỡnh cú tớnh cht ca bi,ch mt hỡnh ri chng minh mi hỡnh khỏc u cú giỏ tr ca i lng phi tỡm cc tr nh hn ( hoc ln hn ) giỏ tr ca i lng ú ca hỡnh ó ch + Cỏch2 :Bin i tng ng iu kin i lng ny t cc tr bi i lng khỏc t cc tr cho n tr li c cõu hi m bi yờu cu Vớ d : Cho ng trũn (O) v im P nm ng trũn( P khụng trựng vi O).Xỏc nh v trớ ca dõy i qua im P cho dõy ú cú di nh nht Gii : +Cỏch : Gi AB l dõy vuụng gúc vi OP ti P , v dõy CD l dõy bt k i qua P v khụng trựng vi AB ( h.1) K OH CD C OHP vuụng ti H OH < OP CD > AB O Nh vy tt c cỏc dõy i qua P , dõy vuụng gúc H vi OP ti P cú di nh nht B A P +Cỏch : Xột dõy AB bt k i qua P ( h.2) K OH AB Theo liờn h gia dõy v khong cỏch n tõm: AB nh nht OH ln nht h D A O H P GV Vũ Hà - THCS long xuyên h B Cực trị hình học Trang - Ta li cú OH OP OH = OP H P Do ú maxOH = OP Khi ú dõy AB vuụng gúc vi OP ti P B-Cỏc kin thc thng dựng gii bi toỏn cc tr hỡnh hc 1- S dng quan h gia ng vuụng gúc , ng xiờn , hỡnh chiu a-Kin thc cn nh: A B a C A K A H H h.3 C B B h.4 h.5 a1) ABC vuụng ti A (cú th suy bin thnh on thng) AB BC Du = xy A C ( h.3 ) a2) ( h.4 ) + AH a AH AB + AB < AC HB < HC a b Du = xy B H a3)( h.5 ) A,K a; B, H b; a // b ; HK a HK AB Du = xy A K v B H b-Cỏc vớ d: Vớ d 1: Trong cỏc hỡnh bỡnh hnh cú hai ng chộo bng cm v cm ,hỡnh no cú din tớch ln nht ? Tớnh din tớch ln nht ú Gii : B A B C H O A OH D D h.6 h.7 Xột hỡnh bỡnh hnh ABCD cú AC = cm; BD = cm ( h.6) Gi O l giao im hai ng chộo K BH AC Ta cú : SABCD = 2SABC = AC.BH Ta cú AC = 8cm, BH BO = 3cm Do ú : SABCD 8.3 = 24 (cm2) SABCD = 24 cm2 BH BO H O BD AC GV Vũ Hà - THCS long xuyên C Cực trị hình học Trang - Vy max SABCD = 24 cm2 Khi ú hỡnh bỡnh hnh ABCD l hỡnh thoi (h.7) cú din tớch 24cm2 Vớ d 2: Cho hỡnh vuụng ABCD Trờn cỏc cnh AB,BC ,CD,DA ta ly theo th t cỏc im E,F,G,H cho AE = BF = CG = DH Xỏc nh v trớ ca cỏc im E, F,G,H cho t giỏc EFGH cú chu vi nh nht E K Gii : A B HAE = EBF = FCG = GHD HE = EF = FG = GH F EFGH l hỡnh thoi O ã ã AHE = BEF H ã ã ã ã AHE + AEH = 900 BEF + AEH = 900 ã C D HEF = 900 G EFGH l hỡnh vuụng h.8 Gi O l giao im ca AC v EG T giỏc AECG cú AE = CG, AE //CG nờn l hỡnh bỡnh hnh suy O l trung im ca AC v EG , ú O l tõm ca c hai hỡnh vuụng ABCD v EFGH HOE vuụng cõn : HE2 = 2OE2 HE = OE Chu vi EFGH = 4HE = OE Do ú chu vi EFGH nh nht OE nh nht K OK AB OE OK ( OK khụng i ) OE = OK E K Do ú minOE = OK Nh vy , chu vi t giỏc EFGH nh nht v ch E,F,G,H l trung im ca AB , BC, CD, DA Vớ d 3: Cho on thng AB cú di 2a V v mt phớa ca AB cỏc tia Ax v By vuụng gúc vi AB Qua trung im ca M ca AB cú hai ng thng thay i luụn vuụng gúc vi v ct Ax, By theo th t ti C v D xỏc nh v trớ ca cỏc im C,D cho tam giỏc MCD cú din tớch nh x y nht Tớnh din tớch tam giỏc ú D Gii: Gi K l giao im ca CM v DB =B = 900 , AMC ã ã MA = MB ; A = BMK MAC = MBK MC = MK Mt khỏc DM CK à1=D à2 DCK cõn D K MH CD MHD = MBD MH = MB = a 12 H C A GV Vũ Hà - THCS long xuyên M B K h.9 Cực trị hình học Trang SMCD = CD.MH 1 AB.MH = 2a.a= a2 2 ã ã SMCD = a2 CD Ax ú AMC = 450 ; BMD =450 Vy SMCD = a2 Cỏc im C,D c xỏc nh trờn Ax; By cho AC = BC =a l gúc tự , im D di chuyn trờn cnh BC Vớ d 4: Cho tam giỏc ABC cú B Xỏc nh v trớ ca im D cho tng cỏc khong cỏch t B v C n ng thng AD cú giỏ tr ln nht Gii: A Gi S l din tớch ABC Khi D di chuyn trờn cnh BC ta cú : SABD + SACD = S E K BE AD , CF AD 2 AD.BE + AD.CF = S H B D C 2S F h.10 AD Do ú BE + CF ln nht AD nh nht hỡnh chiu HD nh nht ã Do HD HB ( ABD >900 ) v HD = HB D B Vy Khi D B thỡ tng cỏc khong cỏch t B v C n AD cú giỏ tr ln nht 2- S dng quan h gia ng thng v ng gp khỳc BE +CF = a-Kin thc cn nh: Vi ba im A,B,C bt k ta cú : AC +CB AB AC +CB = AB C thuc on thng AB b-Cỏc vớ d: ã Vớ d 5:Cho gúc xOy v im A nm gúc ú Xỏc nh im B thuc tia Ox, im C thuc tia Oy cho OB = OC v tng AB +AC l nh nht Gii: m K tia Om nm ngoi gúc xOy cho y ãyOm = xOA ã Trờn tia Om ly im D D cho OD = OA Cỏc im D v A c nh ã ã OD =OA, OC = OB , COD = BOA C DOC = AOB CD = AB A Do ú AC +AB = AC +CD M AC +CD AD O AC +AB AD B x Xy ng thc v ch C AD h.11 GV Vũ Hà - THCS long xuyên Cực trị hình học Trang - Vy min(AC+AB) =AD Khi ú C l giao im ca AD v Oy , B thuc tia Ox cho OB = OC Vớ d 6:Cho hỡnh ch nht ABCD v im E thuc cnh AD Xỏc nh v trớ cỏc im F thuc cnh AB , G thuc cnh BC , H thuc cnh CD cho t giỏc EFGH cú chu vi nh nht Gii : F A B I E K D M H A I F B E G C K G M D h.12 h.13 C H Gi I ,K, L theo th t l trung im ca EF, EG , EH (h.12) AEF vuụng ti A cú AI l trung tuyn AI =1/2EF CGH vuụng ti C cú CM l trung tuyn CM =1/2GH IK l ng trung bỡnh ca EFG IK = 1/2FG KM l ng trung bỡnh ca EGH KM = 1/2EH Do ú : chu vi EFGH = EF +FG +GH +EH =2(AI + IK + KM + MC) Ta li cú : AI + IK + KM + MC AC Suy chu vi EFGH 2AC ( di AC khụng i ) Chu vi EFGH nh nht bng 2AC A,I,K,M,C thng hng ã ã ã Khi ú ta cú EH//AC,FG//AC, AEI nờn EF//DB , tng t GH//DB = EAI = ADB Suy t giỏc EFGH l hỡnh bỡnh hnh cú cỏc cnh song song vi cỏc ng chộo ca hỡnh ch nht ABCD (h.13) 3- S dng cỏc bt ng thc ng trũn a-Kin thc cn nh: C D C A H A O B B C B B A D h.15 D C O O K h.14 D A h.16 h.17 a1) AB l ng kớnh , CD l dõy bt k CD AB (h.14) a2) OH,OK l cỏc khong cỏch t tõm n dõy AB v CD : AB CD OH OK (h.15) ã ã a3) AB,CD l cỏc cung nh ca (O) : AB CD AOB (h.16) COD GV Vũ Hà - THCS long xuyên Cực trị hình học Trang - ằ CD ằ a4) AB,CD l cỏc cung nh ca (O) : AB CD AB (h.17) b-Cỏc vớ d: Vớ d 7: Cho hai ng trũn (O) v (O) ct A v B mt cỏt tuyn chung bt k CBD (B nm gia C v D) ct cỏc ng trũn (O) v (O) ti C v D Xỏc nh v trớ ca cỏt tuyn CBD ACD cú chu vi ln nht Gii: A = s AmB ẳ = s AnB ẳ s C ; s D 2 D s o cỏc gúc ACD khụng i O O ACD cú chu vi ln nht mt n m cnh ca nú ln nht , chng hn AC l ln nht D C B AC l dõy ca ng trũn (O) , ú AC ln nht AC l ng kớnh ca ng C trũn (O), ú AD l ng kớnh ca ng h.18 trũn (O) Cỏt tuyn CBD v trớ CBD vuụng gúc vi dõy chung AB Vớ d 8: Cho ng trũn (O) v mt im P nm ng trũn Xỏc nh dõy ã AB i qua P cho OAB cú giỏ tr ln nht Gii: ã Xột tam giỏc cõn OAB , gúc ỏy OAB ln nht nu ã gúc nh AOB nh nht B O ãAOB = s ằ AB ) ã B ằ nh nht dõy A Gúc AOB nh nht Cung AB H P AB nh nht Khong cỏch n tõm OH ln nht Ta cú OH OP A OH =OP H P nờn max OH = OP AB OP h.19 Suy dõy AB phi xỏc nh l dõy AB vuụng gúc vi OP ti P 4- S dng bt ng thc v ly tha bc hai a-Kin thc cn nh: Cỏc bt ng thc v ly tha bc hai c s dng di dng : A2 ; A2 Do ú vi m l hng s , ta cú : f =A2 + m m ; f = m vi A = f = A2 + m m ; max f = m vi A = GV Vũ Hà - THCS long xuyên Cực trị hình học Trang - b-Cỏc vớ d: 4-x Vớ d 9: Cho hỡnh vuụng ABCD cú cnh bng 4cm A x E Trờn cỏc cnh AB, BC,CD,DA, ly theo th t cỏc im E, F, G, H cho AE = BF = CG = D Tớnh di AE 4-x cho t giỏc EFGH cú chu vi nh nht Gii: AHE = BEF = CFG = DGH H HE = EF = FG = GH , HEF = 900 HEFG l hỡnh vuụng nờn chu vi EFGH nh nht HE nh nht D G t AE = x thỡ HA = EB = 4-x h.20 HAE vuụng ti A nờn : HE = AE2 +AE2 = x2 + (4 x)2 = 2x2 8x +16 = 2(x 2)2 +8 HE = =2 x = Chu vi t giỏc EFGH nh nht bng cm , ú AE = cm Vớ d 10: Cho tam giỏc vuụng ABC cú di cỏc cnh gúc vuụng AB = cm, AC = 8cm.M l im di chuyn trờn cnh huyn BC.Gi D v E l chõn cỏc ng vuụng gúc k t M n AB v AC Tớnh din tớch ln nht ca t giỏc ADME Gii: ADME l hỡnh ch nht A t AD = x thỡ ME = x x 8-x EM CE x CE D = = CE = x ME //AB AB CA E C AE = x B M h.21 4 Ta cú : SADME = AD AE = x ( x ) = 8x x 3 = (x 3)2 +12 12 SADME = 12 cm x =3 Din tớch ln nht ca t giỏc ADME bng 12 cm ,khi ú D l trung im ca AB , M l trung im ca BC v E l trung im ca AC 5- S dng bt ng thc Cụ-si a-Kin thc cn nh: x+y xy Du = xy v ch x = y Bt ng thc Cụ-si :Vi x ; y ta cú : GV Vũ Hà - THCS long xuyên B F C Cực trị hình học Trang - Bt ng thc Cụ-si thng c s dng di cỏc dng sau : x + y) ( 2 + Dng 1: x + y Du = xy v ch x = y xy 2 xy x + y) ( + Dng 2: ; ( x + y) xy 2 ( x + y) ; x + y ( x + y) x + y2 Du = xy v ch x = y + Dng 3:Vi x ; y ; x +y khụng i thỡ xy ln nht v ch x = y + Dng4: Vi x ; y ; xy khụng i thỡ x+y nh nht v ch x = y b-Cỏc vớ d: Vớ d 11: Cho on thng AB, im M di chuyn trờn on thng y V cỏc ng trũn cú ng kớnh MA v MB Xỏc nh v trớ ca im M tng din tớch ca hai hỡnh trũn cú giỏ tr nh nht Gii : t MA =x , MB = y Ta cú : x + y =AB (0 < x,y < AB) Gi S v S theo th t l din A O O M B tớch ca hai hỡnh trũn cú ng kớnh y x l MA v MB Ta cú : 2 x + y2 x y h.22 S +S = ữ + ữ = 2 Ta cú bt ng thc : x + y) ( 2 nờn : x +y 2 AB2 x + y) ( S +S = 8 Du ng thc xy v ch x = y AB2 Do ú (S+S) = Khi ú M l trung im ca AB Vớ d 12: Cho im M nm trờn on thng AB V v mt phớa ca AB cỏc tia Ax v By vuụng gúc vi AB Qua M cú hai ng thng thay i luụn vuụng gúc vi GV Vũ Hà - THCS long xuyên Cực trị hình học Trang - v ct Ax, By theo th t ti C v D Xỏc nh v trớ ca cỏc im C,D cho tam giỏc MCD cú din tớch nh nht Gii : y MC.MD D x t MA = a , MB = b ãAMC = BDM ã = C a b MC = , MD = cos sin ab A a ( B SMCD = b M cos.sin h.23 Do a,b l hng s nờn SMCD nh nht 2sin.cos ln nht Theo bt ng thc 2xy x2 +y2 ta cú : 2 2sin.cos sin +cos = nờn SMCD ab SMCD = ab sin = cos sin = sin(900) = 900 = 450 AMC v BMD vuụng cõn Vy SMCD = ab Khi ú cỏc im C,D c xỏc nh trờn tia Ax ; By cho AC = AM , BD = BM Ta cú : SMCD = Vớ d 13: Cho ABC , im M di ng trờn cnh BC Qua M k cỏc ng thng song song vi AC v vi AB , chỳng ct AB v AC theo th t D v E.Xỏc nh v trớ ca im M cho hỡnh bỡnh hnh ADME cú din tớch ln nht Gii : SADME ln nht SABC K BK AC ct MD H SADME = MD HK SABC = AC BK SADME MD HK = SABC AC BK t MB = x , MC = y , MD BM x = = MD//AC ta cú : AC BC x + y xy Theo bt ng thc ( x + y) A SADME ln nht K D B H E x h.24 M HK MC y = = BK BC x + y SADME 2xy = SABC ( x + y ) ; GV Vũ Hà - THCS long xuyên y C Cực trị hình học Trang 10 - Du ng thc xy x = y Vy maxSADME = SABC ú M l trung im ca BC Vớ d 14: Cho ABC vuụng cõn cú cnh huyn BC = a Gi D l trung im ca AB im E di chuyn trờn cnh AC Gi H,K theo th t l chõn cỏc ng vuụng gúc k t D, E n BC Tớnh din tớch ln nht ca hỡnh thang DEKH Khi ú hỡnh thang tr thnh hỡnh gỡ ? Gii: Ta cú : 2SDEKH = (DH +EK).HK = ( BH +KC ) HK M (BH + KC) +HK =BC = a khụng i a Nờn (BH + KC) HK ln nht BH + KC) = HK = Do ú : a a a2 B max SDEKH = = 2 H a Khi ú ng cao HK = suy : D a a a K KC = BC BH HK = a = 2 a a Do ú DH = HB = , EK = KC = 4 C E Hỡnh thang DEKH l hỡnh ch nht , E l trung A h.25 im ca AC 6- S dng t s lng giỏc a-Kin thc cn nh: H thc gia cnh v gúc tam giỏc vuụng B c + b = a.sinB = a.cosC + b = c.tgB = c.cotgC A a b h.26 C b-Cỏc vớ d: Vớ d 15: Chng minh rng cỏc tam giỏc cõn cú cựng din tớch tam giỏc cú cnh ỏy nh hnl tam giỏc cú gúc nh nh hn A Gii: B GV Vũ Hà - THCS long xuyên H h.27 C Cực trị hình học Trang 22 Bài 2: Cho đờng tròn (O;R) (O';R') A nằm (O), B nằm (O') Xác định vị trí điểm A,B để đoạn thẳng AB có độ dài lớn / Tìm cực trị dùng quan hệ đờng vuông góc với đờng xiên 2.1 Kiến thức sở A Ta có AH d; A d; B,C d *.AB AH, dấu "=" xảy B H *.AB AC BH HC A d C H 2.2 Các ví dụ áp dụng Ví dụ1:: Cho ABC ( = 900) M điểm chuyển động cạnh BC Vẽ MD AB; ME AC (D AB, E AC) Xác định vị trí M để DE có độ dài nhỏ Giải: Vẽ AH BC (H BC), H cố định AH không đổi, tứ giác AEMD có  = Ê = D A = 900 A => AEMD hình chữ nhật D E => DE = AM mà AM AH (không đổi) (theo t/c đờng xiên đờng vuông góc) B Dấu "=" xảy M H Vậy M H DE nhỏ H M C Ví dụ : Cho đờng thẳng d đờng tròn (O;R) có khoảng cách từ tâm đến d OH R Lấy hai điểm A d; B (O;R) Hãy vị trí A B cho độ dài AB ngắn nhất? Chứng minh điều Giải: Từ tâm (O) kẻ OH d, OH cắt đờng tròn (O) K Xét ba điểm A B O ta có AB + OB OA mà OA OH (quan hệ đờng xiên đờng vuông góc) => AB OH - OB = HK không đổi A H Vậy AB = KH B K B O K GV Vũ Hà - THCS long A xuyên d H Cực trị hình học Trang 23 - 2.3.Bài tập vận dụng: Bài 1: Trên cạnh BC, AC tam giác ABC lấy tơng ứng hai điểm M N cho Bạch Mã = CN Tìm vị trí M để MN có giá trị lớn Bài 2: Cho nửa đờng tron (O;R) đờng kính AB.M điểm nửa đờng tròn, kẻ MH HB Xác định vị trí M để: a) SABC lớn b) Chu vi MAB lớn Tìm cực trị vận dụng bất đẳng thức đờng tròn 3.1 Kiến thức sở: + Trong đờng tròn: đờng kính dây cung lớn + Dây cung lớn dây gần tâm + Cung lớn dây trơng cung lớn + Cung lớn góc tâm lớn 3.2 Các ví dụ áp dụng : Ví dụ : Cho đờng tròn (O) điểm M nằm đờng tròn (M O) Xác định vị trí dây cung AB đờng tròn (O) qua M cho độ dài AB ngắn Giải: Ta có dây AB OM M dây cung có A độ dài nhỏ Thật vậy: Qua M vẽ dây A'B' A M (O) A'B' không vuông góc với OM Vẽ OM' A'B' M' A'B'; M' M => OM' MM' => M B B O OM > OM' => AB < A'B' (theo định lý khoảng cách từ tâm đến dây) Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O;R) M điểm di động đờng tròn (O) Xác định vị trí M để MA + MB + MC đạt giá trị lớn GV Vũ Hà - THCS long xuyên Cực trị hình học Trang 24 Giải: Ta xét M cung BC Trên MA lấy D cho MB = MD Ta chứng minh đợc: BMD tam giác A => B + B = 602 Mà B + B = 600 => B = B Chứng minh cho BAD = BCM (gcg) => AD = MC O D B => MA + MB + MC = MA + MD + DA = 2MA C M Mà MA dây cung đờng tròn (O;R) => MA = 2R => max (MA + MB + MC) = 2.2R = 4R MA đờng kính đờng tròn (O) M điểm cung BC Tơng tự ta xét M thuộc cung AB M thuộc cung AC => M điểm cung AB cung AC MA + MB + MC đạt giá trị lớn 3.4.Bài tập vận dụng: Bài 1: Trên cạnh BC, AC tam giác ABC lấy tơng ứng hai điểm M N cho BM = CN Tìm vị trí M để MN có giá trị lớn Bài 2: Cho tứ gác ABCD nội tiếp đờng tròn (O;R) cho trớc tìm tứ giác có tổng AB.CD + AD.BC đạt giá trị lớn Tìm cực trị dùng bất đẳng thức đại số 4.1 Kiến thức bổ sung : + Bất đẳng thức côsi cho hai số không âm: a,b Ta có: a+b ab Dấu "=" xảy a= b + Bất đẳng thức côsi tổng quát cho n số không âm a + a + + a n n n a1a a n Dấu "=" xảy a1 = a2 = = an + Bất đẳng thức Bunhiacôpski GV Vũ Hà - THCS long xuyên Cực trị hình học Trang 25 - (a + b ).(x + y ) Dấu "=" xảy (ax + by) a b = x y + Và số bất đẳng thức quen thuộc khác 4.2 Các ví dụ áp dụng: Ví dụ Cho đờng tròn (0; R) , đờng kính AB , M điểm chuyển động đờng tròn Xác định vị trí M đờng tròn để MA + MB đạt giá trị lớn M Giải : Ta có : AMB = 900 ( góc nt chắn nửa đ.tròn) A B MAB có M = 900 Theo Pitago ta có : MA2 + MB2 = AB2 = 4R2 áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có MA + MB (1 + 3)( MA2 + MB ) = 4.4 R = 4R Dấu "=" xảy tg = MA + MB 4R MB = = MA MB MA MB = = tg600 MA MÂB = 600 nên max(MA + MB) = 4R MÂB = 600 Ví dụ : Cho đoạn thẳng AB , điểm M di chuyển đoạn Vẽ đờng tròn đờng kính MA , MB Xác định vị trí M để tổng diện tích hai hình tròn có giá trị nhỏ Giải A O M O B / Đặt MA =x , MB = y , ta có : x + y = AB ( < x< y < AB ) GV Vũ Hà - THCS long xuyên Cực trị hình học Trang 26 Gọi S Sthứ tự diện tích hình tròn có đờng kính MA MB 2 x2 + y x y Ta có : S + S = + = 2 ( x + y) áp dụng BĐT : x + y S + S 2 Dấu "=" xảy x = y 2 ( x + y ) = AB 8 Vậy Min (S + S ) = AB M trung điểm AB Ví dụ : Cho ABC có BC = a , AC = b , AB = c Tìm điểm M nằm bên tam giác ABC cho a b c + + có giá trị nhỏ Trong x,y,z khoảng cách từ M đến BC , x y z AC , AB Giải Gọi diện tích ABC S Ta có ax +by + cz = 2S Không đổi Ap dụng BĐT Bunhiacopski ta có a b c (ax +by + cz ) ( + + ) x y z a b a b c ax + by + cz x y z A c (ax +by + cz ) ( x + y + z ) (a+b+c)2 a b c ( a + b + c) + + (x y z ) 2S Vậy ax = a x by b y = z M a b c + + đạt giá trị nhỏ x y z a b c ( a + b + c) + + (x y z )= 2S c b x C a B cz c x = y = z ABC tam giác z 4.3 Các tập áp dụng : Bài 1: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh a Trên hai cạnh AB AD lần lợt lấy điểm M, N cho chu AMN = 2a Tìm vị trí M N để SAMN lớn GV Vũ Hà - THCS long xuyên Cực trị hình học Trang 27 Bài 2: Cho ABC ngoại tiếp đờng tròn (O;r) Kẻ tiếp tuyến đờng tròn (O;r) song song với cạnh tam giác Các tiếp tuyến tạo với cạnh tam giác thành tam giác nhỏ có diện tích S 1, S2, S3 Gọi S diện tích tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ tỷ số S1 + S + S S B Mt vi vớ d Bi 1: Cho ng trũn (O; R), dõy BC c nh Tỡm v trớ ca A trờn cung ln BC tam giỏc ABC cú chu vi ln nht Hng dn: BC c nh nờn gúc CAB khụng i, di BC khụng i Chu vi tam giỏc ABC ch cũn ph thuc vo AB+AC Trờn tia i ca tia AB ly D cho AC = AD vy chu vi D ca tam giỏc ABC ph thuc vo di ca BD hn na gúc CDB cng khụng i hay BD l dõy ca cung cha gúc A A dng trờn BC Vy BD ln nht bng ng kớnh ca cung cha gúc A dng trờn BC A l im chớnh gia ca O cung ln BC C B Bi 2: Cho ng trũn (O; R) vi dõy AB c nh cho khong cỏch t O ti AB bng R Gi H l trung im ca A AB, tia HO ct ng trũn (O; R) ti C Trờn cung nh AB ly M tựy ý ( khỏc A, B) ng thng qua A v song song vi MB ct CM ti I Dy CM ct dõy Ab ti K a) So sỏnh gúc AIM vi gúc ACB b) Chng minh: 1 + = MA MB MK I O M K H C c) Gi R1, R2 ln lt l bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc MAK v tam giỏc MBK, hóy xỏc nh v trớ ca im M trờn cung nh AB tớch R1.R2 t giỏ tr ln nht B Hng dn: a) OH= R => Nhn xột quan h gia dõy v v s cung cng dõy ( S cung AB = 1200) GV Vũ Hà - THCS long xuyên Cực trị hình học Trang 28 T ú tỡm c quan h gia hai gúc AIM v ACB b) Thng chuyn v t s cỏc on thng ( Cn chng minh MK MK + = 1) MA MB Tỡm cỏch quy ng mu v trỏi bng cỏch ch cỏc tam giỏc ng dng? Tam giỏc cha hai cnh MK, MA ng dng vi tam giỏc no? tam giỏc cha hai cnh MK, MB ng dng vi tam giỏc no? (Tam giỏc MKA v tam giỏc MBC ng dng MK MB = , tam giỏc MKB v tam giỏc MA MC MK MA = MB MC MK MK MA + MB + = Vy MA MB MC MAC ng dng ú ta phi chng minh MA+MB = MC c) tỡm giỏ tr ln nhỏt ca tớch R1.R2, ta tỡm mi liờn h ca tng R1+R2 vi cỏc yu t khụng i ca bi toỏn ý hai tam giỏc AMK, BMK cú hai gúc AMK, BMK khụng i (= 600), tng hai cnh i din khụng i ( dựng cụng thc R = a ) sin A Li Gii s lc: a) Xột tam giỏc AOH cú CosO = OH = AOH = 600 OA AOB = 1200 s cung AB = 1200 ACB = 60 Tam giỏc ABC cú ng cao CH ng thi l trung tuyn Vy tam giỏc ABC u => ACB = 60 AI // MB => gúc AIM = gúc CMB = gúc CAB = 600 Vy gúc AIM = gúc ACB b) Tam giỏc AIM u ( cú hai gúc bng 600 ) => AM = MI AIC = AMB (c - g - c) CI = MB MK MB = MKA v MBC ng dng nờn MA MC MKB v MAC ng dng nờn B MK MA = MB MC MK MK MB MA MB + MA + = + = = hay MA MB MC MC MC 1 + = MA MB MK R c a Vy: O A b B : Trong tam giỏc ABC: a b c = = = 2R sin A sin B sin C D CM: GV Vũ Hà - THCS long xuyên C Cực trị hình học Trang 29 V ng kớnh BD => gúc A = gúc D Xột tam giỏc vuụng BCD BD = BC a a b c = = = 2R hay R = tng t ta cm c sin D sin A sin A sin B sin C c) p dng b ta c: AK AK AK = = sin M sin 60 BK BK BK = = Trong tam giỏc BKM: R = sin M sin 60 Trong tam giỏc AKM: R = p dng bt ng thc Cosi cho s khụng õm R1, R2 cú: R 1R R + R AK + BK 3R R = = = = hs du bng R1=R2 AK = BK M l 2 3 im chớnh gia ca cung AB R2 Vy R1R2 max = M l im chớnh gia ca cung AB Bi 3: Cho na ng trũn tõm O ng kớnh AB = 2R, ly C l trung im ca AO K hai tia Ax v By vuụng gúc vi AB v cựng mt phớa vi na ng trũn im M di ng trờn na ng trũn ( M khỏc A, B) Mt ng thng vuụng gúc vi CM ti M ct Ax P, ct By Q Tỡm v trớ ca im M trờn na ng trũn t giỏc APQB cú din tớch nh nht Tỡm giỏ tr din tớch nh nht ú Phng hng: Hỡnh thang ABQP cú ng cao khụng i dú din tớch ca nú nh nht AP+BQ nh nht Ta i chng minh tớch AP BQ khụng i Mun vy ch AP v BQ l cnh khụng tng ng ca hai tam giỏc ng dng Gi ý: T giỏc APMC, BQMC ni tip => Hóy ch cỏc cp gúc bng ( liờn h gia cỏc gúc vi cỏc ng trũn) P M Q A Li gii s lc: T giỏc APMC ni tip => gúc PCA = gúc PMA Cú gúc AMB vuụng => gúc PMA + gúc BMQ = 900 T giỏc BQMC ni tip => gúc BMQ = gúc BCQ Cú gúc CAQ vuụng => gúc BCQ + gúc BQC = 900 Vy: gúc PCA = gúc BQC GV Vũ Hà - THCS long xuyên C O B Cực trị hình học Trang 30 Do ú tam giỏc APC v tam giỏc BCQ ng dng = AP BC = AP.BQ = AC.BC AC BQ R 3R 3R = = hs 2 p dng bt ng thc Cosi : AP + BQ 3R AP.BQ = = R du bng AP = BQ CM vuụng gúc vi AB 2 Hay S ABQP = AB( AP + BQ) = 2R 3R = 3R s cung AM = 600 Bi 4: Cho tam giỏc u ABC, E l mt im trờn cnh AC ( E khỏc A), K l trung im ca on AE ng thng EF i qua E v vuụng gúc vi ng thng AB ( F thuc AB) ct ng thng i qua C v vuụng gúc vi ng thng BC ti D Xỏc nh v trớ ca E cho on KD cú di nh nht Hng dn: C Khai thỏc Tam giỏc ABC u, tam giỏc AEF vuụng, K l D trung im AE, gúc DCB vuụng => im B, C, D, K, F cựng thuc mt ng trũn => KD l mt dõy cung E s cung DK khụng i Do ú: KD nh nht bỏn kớnh K nh nht Li gii so lc: Tam giỏc AEF vuụng ti F, gúc A = 60 0, FK l trung tuyn A B F ng vi cnh huyn => Tam giỏc AKF u => gúc FKC = 1200 Vy T giỏc BCKF ni tip T giỏc BCDF cú gúc F = gúc C = 900 Vy T giỏc BCDF ni tip hay im B, C, D, K, F cựng thuc mt ng trũn ng kớnh BD s cung DK = gúc DFK = 600 => KD = Vy KD = 1 DB CB du bng E trựng vi C 2 CB E C Bi 5: Cho tam giỏc ABC cõn B cú gúc ABC bng , O l trung im ca cnh AC, K l chõn ng vuụng gúc h t O xung cnh AB, () l ng trũn tõm O bỏn kớnh OK E l mt im thay i trờn cnh BA cho gúc AOE bng (20 < < 900) F l im trờn cnh BC cho EF tip xỳc vi () Tỡm AE + CF nh nht Gi ý: Tỡm giỏ tr nh nht ca tng, ta i chng minh tớch khụng i Nhn xột quan h ca hai tam giỏc AEO v OEF? GV Vũ Hà - THCS long xuyên Cực trị hình học Trang 31 (S dng tớnh cht tip tuyn, tng cỏc gúc ca t giỏc, tam giỏc) Li gii s lc: Trong tam giỏc OEF: B F E K A O C 1 EOF = 1800 OEF OFE = 1800 AEF CFE 2 Trong t giỏc AEFC: AEF + AFE = 360 - ( A + C) = 3600 - (1800 - ) =1800 + Vy: EOF = 900 - Tam giỏc ABC cõn => A = C = = 900 - (1800 - ) Vy: EOF = A = C => tam giỏc AEO v tam giỏc OEF ng dng, Tam giỏc OEF v tam giỏc COF ng dng Vy tam giỏc AEO v tam giỏc COF ng dng AE CO = AE.CF = AO.CO = hs AO CF ỏp dng bt ng thc Cosi: AE + CF AE.AF = AO.CO = hs du bng AE = CF tam giỏc OEF cõn ti O tam giỏc AEO cõn ti A AOE = 1 1 900 A = 900 (900 ) = 450 + 2 Vy AOE = 450 + thỡ AE + CF nh nht GV Vũ Hà - THCS long xuyên Cực trị hình học Trang 32 Bi 6: Cho hai ng trũn(O1; r1) v (O2; r2) ct ti hai im A v B Bit rng r = cm; r2 = cm; AB = cm v hai im O 1, O2 hai phỏi ca ng thng AB Xột ng thng (d) i qua A, ct (O1; r1) v (O2; r2) lm lt ti cỏc im M v N cho A nm on MN Tip tuyn ca (O1; r1) ti M v tip tuyn ca (O2; r2) ti N ct ti im E a) Chng minh t giỏc EMBN l t giỏc ni tip b) Tớnh O1O2 b) Tỡm giỏ tr ln nht ca 2EM + EN Hng dn: a) s dng quan h gia gúc ni tip, gúc to bi tip tuyn v dõy cung vi s o cung, lu ý quan h v s o cung ca hai dng trũn c) Vn õy l vai trũ khụng i xng ca ME v EN Cn tỡm mt s tng ng: 2.EM vi 1.EN Ta li thy hai bỏn kớnh ca ng trũn cng cú s tng ng ú Ta i tỡm nhng tam giỏc ng dng chuyn i s tng ng y Li gii s lc: a ) ABN = ANE; ABM = AME => MBN = EMN + ENM = 180 MEN Vậy MBN + MEN = 180 => Tứ giác EMBN nội tiếp b) O1O2 = ( + 15 ) N E A O1 O2 B M x BN AO = = ( Vỡ R1=1 cm, R2 = cm) => BN = 2BM BM AO1 EM AN = EM = MB.AN ( Vỡ AB = cm) EMB v NAB ng dng MB AB c) O1O A; MNB ng dng => Tng t ta cng ch EN = NB.AM Vy 2.EM + EN = 2.MB.AN + NB.AM = MB AN + 2.MB.AM = 2.MB.(AM + AN) = 2MB.MN Li cú MBN v O1AO2 ng dng theo t s MN MB = O1O r1 2MB.MN 2.2r1 2O1O = ( + 15 ) = + 15 du bng MB = 2r1 hay M i xng vi B qua O1 ( ) GV Vũ Hà - THCS long xuyên Vy: A Cực trị hình học Trang 33 N Bi 7: Cho tam giỏc u ABC ni tip ng H trũn O v D l im nm trờn cung BC khụng B C cha im A Xỏc nh v trớ ca D cho DA + DB + DC ln nht K Hng dn: Tng t bi 2.Ta chng minh c DA = DB + DC M Bi 8: Cho hai ng trũn (O) v (O') ct ti A v B cho hai tõm O v O' nm v hai phớa khỏc i vi ng thng AB ng thng (d) quay quanh B ct cỏc ng trũn (O) v (O') ln lt ti C v D ( C khỏc A, B v D khỏc A, B) Xỏc nh v trớ ca (d) cho an thng CD cú di ln nht Bi ny quỏ d, bn cú th t lm Bi 9: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A ni tip ng trũn (O) M l im nm trờn cung BC khụng cha im A Gi N, H, K ln lt l hỡnh chiu ca M trờn AB, BC, CA Tỡm giỏ tr nh nht ca BC AB AC + + MH MN MK Gi ý: Hóy tỡm cỏch rỳt gn biu thc: BC AB AC + + bng cỏch chuyn cỏc t s trờn thnh cỏc t s cú cựng mu MH MN MK Li gii s lc: Nhn thy: Nu K nm ngoi AC thỡ N nm AB AB BN AN = + MN MN MN AC AK CK = MK MK MK BN CK = MN MK AK BH = Tam giỏc MAK v tam giỏc MBH ng dng MK MH AN CH = Tam giỏc MAN v tam giỏc MCH ng dng MN HM BC AB AC BC CH BH BC + + = + + =2 Vy: MH MN MK MH MH MH MH BC AB AC + + Vy nh nht MH ln nht MH = R M l im chớnh gia ca MH MN MK Tam giỏc MCK v tam giỏc MBN ng dng => cung BC C Mt vi vớ d t gii GV Vũ Hà - THCS long xuyên Cực trị hình học Trang 34 Bi 11: Cho ng trũn (O; R) ng kớnh AB, im M di ng trờn ng trũn cho MA MB Trong tam giỏc AMB k ng cao MH Gi r1, r2, r3 theo th t l bỏn kớnh cỏc ng trũn ni tip cỏc tam giỏc AMB, AMH v BMH Hóy xỏc nh v trớ ca M tng: r1+r2+r3 t giỏ tr ln nht Bi 12: Cho tam giỏc ABC cú gúc A = 30 0, AB = c, AC = b, M l trung im ca BC Mt ng thng (d) quay xung quanh trng tõm G ca tam giỏc ABC cho (d) ct on AB ti P v (d) ct on AC ti Q a) t AP = x, hóy tỡm hp cỏc giỏ tr ca x b) Tớnh giỏ tr ca biu thc AB AC + AP AQ c) Hóy tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca din tớch tam giỏc APQ theo b, c Bi 13: cho na ng trũn tõm O ng kớnh AB = 2R v M l mt im thuc na ng trũn ( khỏc A v B) Tip tuyn ca (O) ti M ct tip tuyn ti A v B ca ng trũn (O) ln lt ti cỏc im C v D Tớnh giỏ tr nh nht ca tng din tớch hai tam giỏc ACM v BDM Bi 14: Cho ng trũn (O) v dõy BC c nh Gi A l im di ng trờn cung ln BC ca ng trũn (O), (A khỏc B v C) Tia phõn giỏc ca gúc ACB ct ng trũn (O) ti D khỏc C, ly I thuc on CD cho DI = DB ng thng BI ct ng trũn (O) ti im K khỏc B a) Chng minh tam giỏc KAC cõn b) Xỏc nh v trớ ca A di on AI l ln nht Bi 15: Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn ni tip ng trũn (O; R) im M lu ng trờn cung nh BC T M k cỏc ng thng MH, MK ln lt vuụng gúc vi AB, AC ( H thuc ng thng AB, K thuc ng thng AC) Tỡm v trớ ca M di on HK ln nht Bi 16: Cho hai ng trũn (O1, R1) v (O2; R2) tip xỳc ngoi vi ti A ng thng (d) i qua A ct ng trũn (O 1, R1) ti M v ct ng trũn (O 2; R2) ti N ( cỏc im M, N khỏc A) Xỏc nh v trớ ca ng thng (d) di on thng MN ln nht Bi 17: ng trũn tõm O cú dõy AB c nh v I l im chớnh gia ca cung ln AB Ly im M bt kỡ trờn cung ln AB, dng tia Ax vuụng gúc vi ng thng MI ti H v ct BM ti C a) Chng minh cỏc tam giỏc AIB v AMC l cỏc tam giỏc cõn b) Khi M di ng trờn cung ln AB chng minh rng im C di ng trờn mt cung trũn c nh c) Xỏc nh v trớ ca im M chu vi tam giỏc AMC t giỏ tr ln nht Bi 18: Cho tam giỏc nhn ABC im D di ng trờn cnh BC Gi O 1, O2 ln lt l tõm ng trũn ngoi tip cỏc tam giỏc ABD, ACD tng ng GV Vũ Hà - THCS long xuyên Cực trị hình học Trang 35 a) Chng minh rng ng trũn ngoi tip tam giỏc AO 1O2 luụn i qua mt im c nh khỏc A b) Gi O l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC v I l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc AO1O2 Hóy xỏc nh v trớ ca D trờn BC cho IO nh nht Bi 19: Chi na ng trũn ng kớnh AB = 2R Gi C l im tựy ý trờn na ng trũn, D l hỡnh chiu vuụng gúc ca C trờn AB Tia phõn giỏc ca ACD ct ng trũn ng kớnh AC ti im th hai l E, ct tia phõn giỏc gúc ABC ti H a) Chng minh AE // BH b) Tia phõn giỏc gúc CAB ct ng trũn ng kớnh AC ti im th hai l F, ct CE ti I Tớnh din tớch tam giỏc FID trng hp tam giỏc ú l u c) Trờn on BH ly K cho HK = HD, gi J l giao ca AF v BH Xỏc nh v trớ ca C tng khong cỏch t cỏc im I, J, K n ng thng AB t giỏ tr ln nht Bi 20: Cho ng trũn tõm O, bỏn kớnh R v dõy BC [...]... +BB) N Gi M, N ln lt l trung im ca AB v AB M O Suy ra : m = 4MN do ú: m ln nht MN ln nht A m nh nht MN nh nht D a) MN MO m ln nht MO d//AB A D b)k MH OB Chng minh MN MH MN nh h.29 nht N H dBD hoc d AC Bi 2 : Cho ABC vuụng cõn ti A cỏc im D,E theo th t di chuyn trờn cỏc cnh AB ,AC sao cho BD = AE Xỏc nh v trớ cỏc im D,E sao cho : a) DE cú di nh nht b) T giỏc BDEC cú din tớch ln nht B Hng ... nht D a) MN MO m ln nht MO d//AB A D b)k MH OB Chng minh MN MH MN nh h.29 nht N H dBD hoc d AC Bi : Cho ABC vuụng cõn ti A cỏc im D,E theo th t di chuyn trờn cỏc cnh AB ,AC cho BD =