SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “GIÚP HỌC SINH KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM THƢỜNG GẶP KHI TÍNH TÍCH PHÂN’’ PHẦN I: MỞ ĐẦU I ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài Giải tích toán học gọi đơn giản Giải tích Giải tích ngành toán học nghiên cứu khái niệm: giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân Phép toán giải tích "phép lấy giới hạn"; Các yếu tố nghiên cứu giải tích thường mang tính chất "động" tính chất "tĩnh" Đại số Chính mà phần lớn học sinh THPT lúng túng gặp khó khăn học Giải tích nói chung Nguyên hàm, Tích phân nói riêng Bên cạnh đó, đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm qua, toán liên quan đến tích phân thiếu toán không thuộc loại khó Tuy nhiên học sinh coi tích phân toán khó cần đến áp dụng linh hoạt định nghĩa, tính chất, phương pháp tính tích phân Trong thực tế nhiều học sinh tính tích phân cách máy móc là: Tìm nguyên hàm hàm số cần tính tích phân dùng công thức phương pháp đổi biến số phương pháp tích phân phần mà học sinh để ý đến nguyên hàm hàm số tìm có phải nguyên hàm hàm số đoạn lấy tích phân hay không? Phép đặt biến phương pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? Vì trình tính tích phân học sinh thường mắc phải sai lầm dẫn đến lời giải sai Qua thực tế giảng dạy ôn thi nhiều năm nhận thấy rõ yếu điểm học sinh Vì mạnh dạn đề xuất sáng kiến: ‘‘Giúp học sinh khắc phục số sai lầm thƣờng gặp tính tích phân’’ Phạm vi nghiên cứu Các dạng toán nguyên hàm, tích phân mà học sinh dễ mắc sai lầm trình tính toán chương III – Giải tích 12 Đối tƣợng nghiên cứu Học sinh lớp 12A1 12A6 ôn thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN thi HSG tỉnh Thanh Hóa Mục tiêu nghiên cứu Nhằm giúp học sinh khắc phục yếu điểm nêu từ đạt kết cao giải toán tích phân nói riêng đạt kết cao trình học tập kỳ thi nói chung II THỰC TRẠNG Khi học sinh học chương III “Nguyên hàm tích phân ứng dụng” thường gặp phải khó khăn sau: - Không nắm vững định nghĩa Nguyên hàm, Tích phân - Không nắm vững phương pháp đổi biến số - Không nắm vững phương pháp nguyên hàm (tích phân) phần III CÁC GIẢI PHÁP CỦA SÁNG KIẾN Để khắc phục khó khăn mà học sinh thường gặp phải, thực số giải pháp sau: - Đưa hệ thống lí thuyết, hệ thống phương pháp giải - Lựa chọn ví dụ, tập cụ thể Phân tích tỉ mỉ sai lầm học sinh thường mắc phải, vận dụng hoạt động lực tư kỹ vận dụng kiến thức học sinh để từ đưa lời giải toán - Thực nghiệm sư phạm PHẦN II: NỘI DUNG I CƠ SỞ KHOA HỌC Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) K F‟(x) = f(x) với x thuộc K Kí hiệu:  f ( x)dx  F ( x)  C Nhận xét: Khi bắt đầu học nguyên hàm em học sinh thường hay lúng túng hay bị nhầm với đạo hàm Để tránh bị nhầm em nên ý: “Để tính  f ( x)dx ta cần tìm hàm số cho đạo hàm f(x)” Tính chất: Các tính chất sau suy trực tiếp từ định nghĩa a) (  f ( x)dx)'  f ( x) b)  kf ( x)dx  k  f ( x)dx c)   f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx Tích phân Định nghĩa: Ta có công thức Niu tơn – Laipnitz b b  f (x)dx  F(x ) a  F(b)  F(a) a Tính chất Tính chất 1: Tính chất 2: b a a b  f (x)dx    f (x)dx b b a a  kf (x)dx  k  f (x)dx với k  R Tính chất 3: Tính chất 4: b b b a a a  f (x)  g(x)  dx   f (x)dx   g(x)dx c b c a a b  f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx Ngoài dựa nguyên tắc trình nhận thức người từ: „„Cái sai đến gần đến đúng‟‟, nguyên tắc dạy học đặc điểm trình nhận thức học sinh II CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN Việc tính nguyên hàm hàm trình ngược lại đạo hàm Do mà đưa phương pháp có tính đường lối Nó dẫn dắt từ đạo hàm hàm hợp đạo hàm hai hàm Đó phương pháp: - Sử dụng nguyên hàm - Phương pháp đổi biến số - Phương pháp tính Tích phân phần III NỘI DUNG CỤ THỂ Một số sai lầm học sinh tính tích phân Tính tích phân việc sử dụng nguyên hàm Bằng việc sử dụng nguyên hàm hàm số sơ cấp xác định nguyên hàm từ tính giá trị tích phân * Bảng nguyên hàm hàm số sơ cấp thƣờng gặp   x dx  x 1  C (   -1)  1  x dx  ln x  C   (ax  b) dx  1 (ax  b)1  C (   -1) a  1  ax  b dx  a ln ax  b  C x x e dx  e C  ax  b ax  b e dx  e C  a ax  a dx  ln a  C a  cos x.dx  sin x  C cos(ax  b)dx  sin(ax  b)  C  a  sin x.dx   cos x  C  sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C  cos2 x dx  tan x  C  cos x  sin x mx  n a mx  n dx  C m ln a  sin dx   cot x  C 2 1 dx  tan(ax  b)  C (ax  b) a 1 dx   cot x  C (ax  b) a * Bài tập minh họa dx Bài tập 1: Tính tích phân sau: I =  (x  4) Sai lầm thƣờng gặp: Nhiều học sinh thường mắc sai lầm sau: dx I=  (x  4) = d ( x  4)  ( x  4) =- 3( x  4)3 =- 65 192 Nguyên nhân sai lầm: Hàm số y = không xác định x = 40;5 ( x  4) suy hàm số không liên tục 0;5 nên không sử dụng công thức Newtơn – Leibnitz cách giải Lời giải đúng: Hàm số y = không xác định x = 0;5 suy hàm số ( x  4) không liên tục 0;5 tích phân không tồn Bài tập 2.(Đề thi HSG tỉnh Thanh hóa năm 2006-2007)  s in2nx dx ,  n N * Tìm a cho I 2006 , I 2007 , I 2008 theo thứ tự a  2cos x Cho tích phân I n   lập thành cấp số cộng Sai lầm thƣờng gặp: Nhiều học sinh thường mắc sai lầm sau:  s in2.2008 x  s in2.2006 x dx a  2cos x Ta có: I 2008  I 2006    s in4014 x  a  cos x  a  2s in4014 x cos x  dx    dx a  2cos x a  2cos x 0     s in 2.2007 x cos 4014 x    s in 4014 xdx  a  dx   aI 2007 a  2cos x 4014 0  aI 2007 Thoả mãn yêu cầu toán a  Nguyên nhân sai lầm: Vì hàm số f(x) = s in2nx không liên tục a = 0;  a  2cos x nên tích phân không tồn Lời giải đúng: Điều kiện tồn I n : Phương trình a  cos x  vô nghiệm 0;   a 1  a  2 Khi đặt t    x Ta có dx  dt, sin 2nx  sin  2nt    sin 2nt , cos x  cos 2t đổi cận ta   sin 2nt sin 2nt sin 2nx In   dt    dt    dx   I n a  cos t a  cos t a  cos x  0  I n  ,  n N * Suy ra: Thoả mãn yêu cầu toán a  Chú ý học sinh: b Khi tính  f ( x)dx cần ý xem hàm số y = f(x) có liên tục a; b không? có a áp dụng phương pháp học để tính tích phân cho không kết luận tích phân không tồn * Một số tập tƣơng tự: Tính tích phân sau: 1/ I1 = dx 2 (x  1) 2  x  x3e x dx 4/ I4 =  x3 1 3/ I3 = 2/ I2 =  x( x  1) dx 0 cos4 xdx Chú ý: Trong dạng toán có toán khó Các bạn thường phải áp dụng phương pháp hệ số bất đinh để làm Xét dạng sau b Tính tích phân I   P( x) dx với P(x) Q(x) đa thức x Q( x) a  Nếu bậc P(x) lớn bậc Q(x) dùng phép chia đa thức  Nếu bậc P(x) nhỏ bậc Q(x) xét trường hợp: + Khi Q(x) có nghiệm đơn 1 , , , n đặt An A1 A2 P( x)     Q( x) x  1 x   x  n + Khi Q( x)   x     x  px  q  ,   p  4q  đặt P( x) A Bx  C   Q( x) x   x  px  q + Khi Q( x)   x    x    với    đặt P( x) A B C    Q( x) x   x    x   2 Khi ta phải thiết lập hệ phương trình để tìm A, B, C, A1, A2,…,An thay vào tích phân để tính cách đơn giản Tính tích phân phƣơng pháp đổi biến số:  f (u)du Trong nhiều trường hợp cách thuận lợi ta coi u Giả sử ta cần phải tìm hàm liên tục có đạo hàm theo biến x Như việc tìm đưa việc tìm  f (u( x))u '( x)dx  f (u)du cách đơn giản Bài tập Tính tích phân I    x dx Sai lầm thƣờng gặp: Đặt x = sint  dx = costdt I   cos2t t sin 2t 1  sin t cos t.dt   cos t.dt  dt  (  )   sin 2 4 0 1 2 Nguyên nhân sai lầm: học sinh đổi biến không đổi cận Lời giải đúng: Đặt x = sint suy dx = cost.dt Đổi cận: x   t  0;x   t    0     cos2t t sin 2t  dt  (  )  2 4  I    sin t cos t.dt   cos 2t.dt    dx Bài tập 2: Tính tích phân: I =   sin x x Sai lầm thƣờng gặp: Đặt t = tan  dx 2dt =  sin x (1  t )   dx I=  =  sin x tan dx = 2dt2 ; 1 t t 1 =  2(t  1) 2 d(t+1) = 2 x tan   2 = tan  1 - 1 t2 =  sin x (1  t ) +c tan   không xác định nên tích phân không tồn Nguyên nhân sai lầm: Đặt t = tan , với x  0;   x =  tan x x nghĩa Lời giải đúng:   dx dx    cos x   2  I=  =  sin x x  d   x  2 4   tg    0 x  2 4 cos    2 4  = tg      tg  2   * Chú ý học sinh: Đối với phương pháp đổi biến số đặt t = u(x) u(x) phải hàm số liên tục có đạo hàm a; b * Một số tập tương tự: Tính tích phân sau:  dx 1/ I1 =  sin x  dx 2/ I2 =   cos x 10 Bài tập 3: Tính tích phân: I =  x  12 x  36 dx Sai lầm thƣờng gặp:  I= x  12 x  36 dx  x  6 = dx    x   d  x     x  6 2   18  16 Nguyên nhân sai lầm:  x  6 Phép biến đổi  x  với x 0;8 không tương đương Lời giải đúng:  I= x  12 x  36 dx =   x  6 =- 0 dx   x  d  x        x    d  x      x   d  x    x  6   x  6 2  18   20 * Chú ý học sinh: 2n  f x 2 n  f x  b I =  n  f x 2 n a n  1, n  N  b   f x dx ta phải xét dấu hàm số f(x) a; b dùng tính chất tích phân a tách I thành tổng phần không chứa dấu giá trị tuyệt đối tính Một số tập tương tự: 100 1/ I1 =   cos2 x dx ; 2/ I2 =  x3  x  x dx 11  3/ I3 =     x   2 x   4/ I4 =  dx tg x  cot g x  dx  1 Bài tập 4: Tính I = x 2 dx  4x  Sai lầm thƣờng gặp: 1 I= d  x  2   x  2 2 1  arctan  x   1 2  arctan  arctan1   Nguyên nhân sai lầm : Đáp số toán không sai Nhưng khái niệm hàm ngược không đưa vào chương trình THPT Lời giải đúng: Đặt x + = tant  dx  1  tan t  dt Đổi cận : với x = -2 t = 0;  Khi I =  1  tan t  dt tan t  với x = -1 t =     dt  t  0   * Chú ý học sinh: Các khái niệm arcsinx, arctanx không trình bày sách giáo khoa Học sinh đọc thấy số tập áp dụng khái niệm sách tham khảo, sách viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000) Từ năm 2000 đến khái niệm sách giáo khoa nên học sinh không áp dụng phương pháp b Vì gặp tích phân dạng a a dx ta thường dùng phương pháp đổi biến số đặt t  x2 = atanx t = acotx 12 b  a a2  x2 dx đặt x = asint x = acost * Một số tập tương tự: x  16 dx x 1/ I =  2x  2x  0 x  dx 2/ I = x3 Bài tập 4: Tính: I =  1 x2 3 3/ I =  x dx  x8 dx Sai lầm thƣờng gặp: Đặt x= sint, dx = costdt I= x3 sin t dx   dt cos t 1 x2  Đổi cận: với x = t = với x= 4 t = arcsin ? Nguyên nhân sai lầm: Khi gặp tích phân hàm số có chứa 1 x2 thường đặt x = sint tích phân gặp khó khăn đổi cận cụ thể với x = không tìm xác t = ? Lời giải đúng: Đặt t =  x  dt x = 1 x2 dx  tdt  xdx Đổi cận: với x = t = 1; với x = I = 15 = x3 1 x2 15 15 t = 15 dx 1  t tdt  1  t dt   t  t     t   1  15 15 15  33 15        192 192   13 * Chú ý học sinh: Khi gặp tích phân hàm số có chứa a  x thường đặt x = asint gặp tích phân hàm số có chứa a2 + x2 đặt x = atant cần ý đến cận tích phân cận giá trị lượng giác góc đặc biệt làm theo phương pháp không phải nghĩ đến phương pháp khác * Một số tập tương tự: 1/ I =  x3 1 x2 2/ J =  dx Bài tập 5: Tính I = x x2 1 x2 1  dx 1  x Sai lầm thƣờng mắc: I = Đặt t = x+ dx   1   x   x 1  1   dx x x    x2 x  1 1    dt  1  dx x x   Đổi cận với x = -1 t = -2; với x=1 t=2 2 I =  dt =  ( 2  t 2 2 2 ln t t t  2 t = Nguyên nhân sai lầm: )dt = 2 (ln t  -ln t  ) 2  2 2   ln(3  2) ln  ln   = 2   2 2   1 x2 x 1  1 x4  x2 x2 sai  1;1 chứa x = nên chia tử mẫu cho x = Nhưng từ sai lầm bạn thấy x = không thuộc tập xác định cách làm thật tuyệt vời Lời giải đúng: 14 x2  x2  Viết = ( x  1)  x  x4 Khi I = = ax  b cx  d  x2  2x  x2  2x  = 1 2x  2x       x  x  x  x  1 x2  x 1 x2 1 = ln dx  2 x2  x 1 1  x 1 1  ln 2 2 = ln(3  2) * Chú ý học sinh: Khi tính tích phân cần chia tử mẫu hàm số cho x cần để ý đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = * Một số tập tương tự: 1) 1   x2   x2   x2  1  x2  f ( x )      J  K ) (Viết: dx    0 x4  x4   x4    x 1 x 1  2) x sin x 0  cos2 x dx 3)  (đặt x =  - t)  x2 dx x4 (đặt t = a  x dx (đặt x = acost) (a > 0) a  x dx (đặt x = atant) (a > 0) x ) a 4)  a 5)    sin x 0 cos x dx 6) (đặt t = 1+sin2x ) PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Từ đẳng thức: (uv)‟= uv‟+u‟v 15 Ta có:  uv ' dx  uv   u ' vdx công thức tính tích phân phần b Để tính tích phân I   f ( x)dx ta thực bước sau: a Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu dạng b b a a I   f (x)dx   f1 (x).f (x)dx '   u = f1 (x) du  f1 (x)dx Bước 2: Đặt   v   f (x)dx dv = f (x)dx   b Bước 3: Khi I  uv a   u , vdx b a Chú ý: Khi sử dụng phương pháp tích phân phần để tính tích phân, cần tuân thủ theo nguyên tắc sau : Lựa chọn phép đặt dv cho v xác định cách dễ dàng b Tích phân  vu ' dx xác định cách dễ dàng so với I a Chúng ta cần nhớ dạng sau : Dạng 1: I =  x lnx dx Khi cần đặt u = lnx Dạng 2: I   p( x)e x dx với P đa thức Khi ta đặt u = p(x) Dạng 3: I   p( x)sin  xdx (hoặc I   p( x)cos xdx ) Với P(x) đa thức ta đặt u=P(x) 16 Dạng 4: I   eax cos xdx (hoặc I   eax sin  xdx ) Khi đặt u = cosax (hoặc u= sinax) Bài tập 1: Tính I =  cot xdx Sai lầm thƣờng mắc: I   cot xdx   cos x dx sin x  cos x   dx u  du  Đặt   sinx sin x  dv  cos xdx  v  sinx I  sinx.cos x sinx   dx   I   1??? sinx sin x Phân tích sai lầm: Học sinh viết chung số c cho phép tính nguyên hàm Lời giải đúng: I   cot xdx   d  sinx  cos x dx    ln sinx  c sin x sinx Bài tập 2: Tính tích phân I   xe x dx u  x u '    x x  v'  e v  e Sai lầm thƣờng mắc:  I   xe x Đặt     e dx  2e   e  x x  2e2  e2   e2  Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh hiểu sai chất công thức lấy tích phân phần u  x du  dx   x x dv  e dx v  e Lời giải đúng: Đặt  17  I   xe x    e dx  2e   e  x x  2e  e   e  1 Bài tập 3: Tính tích phân I   xe x dx * Sai lầm thƣờng mắc: 1 x2  1  e  I   xe dx   xdx. e dx   e  x       2  e  2e 0 x 1 x * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh tự “sáng tạo” quy tắc nguyên hàm tích thay sử dụng công thức tích phân phần * Lời giải đúng: I    xe x    e x dx  1  e  x  e  1 e * Cách khắc phục: Yêu cầu em học thuộc tính chất nguyên hàm tích phân Giúp em tổng quát hoá dạng toán sử dụng phương pháp tích phân phần Chú ý: Thực tế cho thấy toán tích phân mà chứa hàm ln, sin, cos, hàm mũ Thì cần nên nghĩ đến phương pháp tích phân phần gặp khó khăn Có toán mà cần phải sử dụng tích phân phần nhiều lần Chú ý toán sau  Bài tập 4: Tính I =  e x cos3xdx du  2e x dx u  e2 x  Đặt   sin 3x dv  cos3xdx  v     2 2x e  x sin 3x   e sin 3x dx=   I  e I1  0 3  18 Đặt Tính: I1  I1   e du  2e2 x dx u  e2 x    cos3x dv  sin 3xdx  v    2x   cos3x  2x   I sin 3x dx   e x  e cos3x dx   3  0 Do đó: I   e 21 e     I     I 33 9  3e  I 13 Nhƣ vậy: Tích phân bạn không biến đổi theo hướng gặp nhiều khó khăn Cách làm áp dụng tích phân mà gồm hai hàm đạo hàm có tính chất lặp lặp lại * Một số tập tương tự: xe x a) I1 =  dx (1  x ) b) I2 =  c) I3 =  xcosx sin xdx  ln( x  1) 1 x2 dx  /4 d) I   x(1  sin x)dx 19 PHẦN III: KẾT QUẢ Kết nghiên cứu Tích phân loại toán đa phần có phương pháp tính cụ thể nên dễ hiểu, đơn giản, dễ trình bày, dễ dàng tính toán, thực phép toán đơn giản Giúp học sinh cảm thấy hứng thú giải toán tích phân Vì vậy, nghiên cứu, phân tích số sai lầm học sinh tính tích phân có ý nghĩa lớn trình dạy áp dụng sáng kiến giúp học sinh nhìn thấy nhhững điểm yếu hiểu biết chưa thật thấu đáo vấn đề, từ phát huy học sinh tư độc lập, lực suy nghĩ tích cực, chủ động, củng cố trau thêm kiến thức tính tích phân Từ làm chủ kiến thức, đạt kết cao trình học tập thi tuyển vào trường Đại học, cao đẳng, THCN thi HSG cấp tỉnh Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy nhận thấy kết đạt khả quan nhiều Cụ thể thực nghiệm sư phạm tiến hành hai lớp có trình độ tương đương Sau dạy thực nghiệm, cho học sinh làm kiểm tra sau: Bài tập: Tính tích phân sau  1) I1 =  x(1  cos x) dx (Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2009) e 2) I2 =   3ln x ln x dx x (Đề thi ĐH khối B năm 2004)  3) I3 = sin x dx (Đề thi HSG Thanh Hóa 2010-2011) cos x)3  (sin x  Số liệu thống kê kết đƣợc thể qua bảng sau đây: 20 Bảng: Kết kiểm tra cụ thể sau: Điểm Số Lớp 10 lƣợng TN (12A6) 0 10 13 ĐC (12A1) 0 15 10 45 48 Lớp TN có 97,8% điểm từ trung bình trở lên, có 68,9% giỏi Có em đạt điểm tuyệt đối Lớp ĐC có 81,3% điểm trung bình trở lên, có 33,3% điểm giỏi, HS đạt điểm tuyệt đối Kết kiểm tra cho thấy kết lớp thực nghiệm cao lớp đối chứng đạt giỏi Một nguyên nhân phủ định lớp thực nghiệm HS thường xuyên thực phương pháp (như sử dụng trên) cách thức tìm tòi lời giải toán… Như vậy, bước đầu đề tài khắc phục khó khăn sai lầm học sinh thường mắc phải giải tập tích phân qua đề thi tốt nghiệp đề thi đại học, cao đẳng năm trước toán liên quan; đề tài góp phần nâng cao chất lượng học tập học sinh đem lại hiệu rõ rệt Trong thời gian tới, đề tài tiếp tục áp dụng vào thực tiễn giảng dạy nhà trường mong đạt hiệu tốt đẹp đạt trình thực nghiệm 21 Kiến nghị, đề xuất: Vì toán có nhiều cách giải, nên trình học tập giải toán ta cố gắng suy nghĩ tìm tòi nhiều cách giải cho toán, lựa chọn phương pháp mà tâm đắc cho toán Từ tiết kiệm thời gian làm đặc biệt tránh sai sót đáng tiếc Vì vậy, học giáo viên dạy nên cố gắng vận dụng linh hoạt phương pháp giải để học sinh học tập giải tập cách tốt nhằm nâng cao chất lượng dạy học Trên quan điểm cá nhân việc giảng dạy phần tích phân để chuẩn bị cho kì thi tới Trong trình biên soạn chắn nhiều thiếu sót, mong Thầy cô em học sinh đóng góp ý kiến để đề tài hoàn thiện áp dụng rộng rãi 22 [...]... là loại toán đa phần có phương pháp tính khá cụ thể nên dễ hiểu, đơn giản, dễ trình bày, dễ dàng trong tính toán, thực hiện các phép toán đơn giản Giúp học sinh cảm thấy hứng thú khi giải các bài toán tích phân Vì vậy, nghiên cứu, phân tích một số sai lầm của học sinh khi tính tích phân có ý nghĩa rất lớn trong quá trình dạy vì khi áp dụng sáng kiến này sẽ giúp học sinh nhìn thấy được nhhững điểm yếu... với học sinh: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa a 2  x 2 thì thường đặt x = asint hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa a2 + x2 thì đặt x = atant nhưng cần chú ý đến cận của tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì mới làm được theo phương pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đến phương pháp khác * Một số bài tập tương tự: 7 1/ I =  0 2 x3 1 x2 2/ J =  dx 1 Bài tập 5: Tính. .. 3: Tính tích phân I   xe x dx 0 * Sai lầm thƣờng mắc: 1 1 x2 1  1  e  1 I   xe dx   xdx. e dx   e  x     1   0 2 0 2  e  2e 0 0 0 1 x 1 1 x * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh tự sáng tạo” ra quy tắc nguyên hàm của một tích thay vì sử dụng công thức tích phân từng phần * Lời giải đúng: I    xe x    e x dx  1  e  x 0  e  2 0 1 1 0 1 e 2 * Cách khắc phục: ... phục: Yêu cầu các em học thuộc các tính chất của nguyên hàm và tích phân Giúp các em tổng quát hoá các dạng toán sử dụng phương pháp tích phân từng phần Chú ý: Thực tế cho thấy nếu những bài toán tích phân mà chứa các hàm như ln, sin, cos, hàm mũ Thì chúng ta cần nên nghĩ ngay đến phương pháp tích phân từng phần nếu như gặp khó khăn Có những bài toán mà chúng ta cần phải sử dụng tích phân từng phần nhiều... với học sinh: Các khái niệm arcsinx, arctanx không trình bày trong sách giáo khoa Học sinh có thể đọc thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách tham khảo, vì các sách này viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000) Từ năm 2000 đến nay do các khái niệm này không có trong sách giáo khoa nên học sinh không được áp dụng phương pháp này nữa b Vì vậy khi gặp tích phân dạng a a 2 1 dx ta thường. .. là bài đạt khá và giỏi Một nguyên nhân không thể phủ định là lớp thực nghiệm HS thường xuyên được thực hiện phương pháp (như đã sử dụng ở trên) và cách thức tìm tòi lời giải của bài toán… Như vậy, bước đầu đề tài đã khắc phục được cơ bản những khó khăn và những sai lầm của học sinh thường mắc phải khi giải các bài tập về tích phân qua đề thi tốt nghiệp cũng như các đề thi đại học, cao đẳng của các năm... là một đa thức và khi đó ta đặt u=P(x) 16 Dạng 4: I   eax cos xdx (hoặc I   eax sin  xdx ) Khi đó đặt u = cosax (hoặc u= sinax) Bài tập 1: Tính I =  cot xdx Sai lầm thƣờng mắc: I   cot xdx   cos x dx sin x 1  cos x   dx u  du  Đặt   sinx sin 2 x  dv  cos xdx  v  sinx I  1 sinx.cos x sinx   dx  1  I  0  1??? sinx sin 2 x Phân tích sai lầm: Học sinh viết chung hằng số. .. hằng số c cho mọi phép tính nguyên hàm Lời giải đúng: I   cot xdx   d  sinx  cos x dx    ln sinx  c sin x sinx 2 Bài tập 2: Tính tích phân I   xe x dx 0 u  x u '  1   x x  v'  e v  e Sai lầm thƣờng mắc:  I   xe x Đặt  2    e dx  2e   e  2 0 x 2 0 x 2 0  2e2  e2  1  e2  1 Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh hiểu sai bản chất công thức lấy tích phân từng phần u ... b a Chú ý: Khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân, chúng ta cần tuân thủ theo các nguyên tắc sau : 1 Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng b 2 Tích phân  vu ' dx được xác định một cách dễ dàng hơn so với I a 3 Chúng ta cần nhớ các dạng cơ bản sau : Dạng 1: I =  x lnx dx Khi đó cần đặt u = lnx Dạng 2: I   p( x)e x dx với P là một đa thức Khi đó ta... vậy: Tích phân trên nếu các bạn không biến đổi theo hướng trên thì gặp nhiều khó khăn Cách làm như trên áp dụng đối với một tích phân mà nó gồm hai hàm khi đạo hàm có tính chất lặp đi lặp lại * Một số bài tập tương tự: 1 xe x a) I1 =  dx 2 (1  x ) 0 b) I2 =  2 c) I3 =  xcosx sin xdx 2 0 1  ln( x  1) 1 x2 dx 3  /4 d) I 4   x(1  sin 2 x)dx 0 19 PHẦN III: KẾT QUẢ 1 Kết quả nghiên cứu Tích phân ... trình tính tích phân học sinh thường mắc phải sai lầm dẫn đến lời giải sai Qua thực tế giảng dạy ôn thi nhiều năm nhận thấy rõ yếu điểm học sinh Vì mạnh dạn đề xuất sáng kiến: ‘ Giúp học sinh khắc. .. khắc phục số sai lầm thƣờng gặp tính tích phân ’ Phạm vi nghiên cứu Các dạng toán nguyên hàm, tích phân mà học sinh dễ mắc sai lầm trình tính toán chương III – Giải tích 12 Đối tƣợng nghiên cứu Học. .. pháp đổi biến số - Phương pháp tính Tích phân phần III NỘI DUNG CỤ THỂ Một số sai lầm học sinh tính tích phân Tính tích phân việc sử dụng nguyên hàm Bằng việc sử dụng nguyên hàm hàm số sơ cấp xác