SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: " VẬN DỤNG KỸ THUẬT ĐỘNG NÃO VÀO DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC NHẰM PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC, SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH" PHẦN I: GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình toán phổ thông, bất đẳng thức coi chuyên đề khó, không muốn nói khó Câu hỏi liên quan tới bất đẳng thức câu có độ khó cao đề thi tuyển sinh đại học, đề thi học sinh giỏi, thường dùng để phân loại học sinh khá, giỏi Từ trước tới có nhiều sách viết bất đẳng thức, có nhiều đề thi cấp có toán bất đẳng thức, toán bất đẳng thức dù có mặt đâu với tần suất gặp chúng đa số học sinh bỏ qua khó Chính mà việc dạy học bất đẳng thức việc dễ gần dành cho đối tượng học sinh khá, giỏi Song xét theo khía cạnh khác bất đẳng thức thực lại chuyên đề có tác dụng phát huy tính sáng tạo, tích cực tư học sinh, tạo hứng thú, say mê học môn toán Vì vậy, vận dụng phương pháp, kỹ thuật dạy học tích cực vào dạy học bất đẳng thức góp phần lớn cho thành công việc dạy học bất đẳng thức Trong số kỹ thuật dạy học tích cực áp dụng kỹ thuật động não coi có tác dụng hữu hiệu việc phát triển khả tư sáng tạo cho học sinh không trình học tập nghiên cứu, mà công việc sống sau họ Kỹ thuật động não phù hợp với việc dạy học bất đẳng thức, có tác dụng khơi nguồn sáng tạo cho học sinh Nhưng vận dụng cho phù hợp với mục tiêu học, nội dung chương trình, phân bổ thời gian, trình độ học sinh, vấn đề không đơn giản yêu cầu có đầu tư thích đáng Vì vậy, chọn đề tài “Vận dụng kỹ thuật động não vào dạy học bất đẳng thức nhằm phát huy tính tích cực, sáng tạo học sinh” làm đề tài nghiên cứu II PHẠM VI NGHIÊN CỨU Do điều kiện thời gian kinh nghiệm có hạn nên đề tài dừng việc vận dụng kỹ thuật động não vào dạy học bất đẳng thức III MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Đề xuất số biện pháp cụ thể dựa kinh nghiệm thân trình giảng dạy nhằm vận dụng có hiệu kỹ thuật động não vào dạy học bất đẳng thức IV GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Trong trình giảng dạy vận dụng kỹ thuật động não vào dạy học bất đẳng thức không đạt yêu cầu mặt kiến thức mà phát huy tính tích cực, sáng tạo học sinh, giúp học sinh tự tin, có hứng thú, niềm say mê để tiếp tục trau dồi toán bất đẳng thức V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Trong đề tài này, sử dụng phương pháp nghiên cứu sau: - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài như: Sách giáo khoa, tài liệu tâm lí, giáo dục, tài liệu phương pháp dạy học Toán, tài liệu bất đẳng thức, - Phương pháp điều tra quan sát: Tìm hiểu việc vận dụng kỹ thuật dạy học tích cực trường THPT Đông Sơn I - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tham dự buổi họp chuyên môn, trao đổi ý kiến với giáo viên tổ Toán trường THPT Đông Sơn I - Phương pháp thực nghiệm: Tiến hành thực nghiệm bao gồm dạy kiểm tra lớp 10A5 năm học 2007 – 2008, 10A10 năm học 2010 – 2011 10A5 năm học 2011 – 2012 trường THPT Đông Sơn PHẦN II: CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI I ĐỊNH HƯỚNG ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC Định hướng đổi phương pháp dạy học xác định Nghị Trung ương khóa VII (1 - 1993), Nghị Trung ương khóa VIII (12 - 1996), thể chế hóa Luật Giáo dục (12 - 1998), cụ thể hóa thị Bộ Giáo dục Đào tạo, đặc biệt thị số 15 (4 - 1999) Luật Giáo dục, điều 24.2, ghi: "Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh" Có thể nói cốt lõi đổi dạy học hướng tới hoạt động học tập chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động II PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC VÀ KỸ THUẬT DẠY HỌC TÍCH CỰC Phương pháp dạy học tích cực thuật ngữ rút gọn, dùng nhiều nước để phương pháp giáo dục, dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo người học Phương pháp dạy học tích cực hướng tới việc hoạt động hóa, tích cực hóa hoạt động nhận thức người học, nghĩa tập trung vào phát huy tính tích cực người học tập trung vào phát huy tính tích cực người dạy, nhiên để dạy học theo phương pháp tích cực giáo viên phải nỗ lực nhiều so với dạy theo phương pháp thụ động Ở cấp độ cao phương pháp dạy học, người ta nói tới đường hướng dạy học Ở cấp độ thấp phương pháp dạy học, người ta nói tới kỹ thuật dạy học Một phương pháp dạy học bao gồm nhiều kỹ thuật dạy học khác Chẳng hạn, hiểu cách đơn giản, để có dạy học phương pháp dạy học tích cực giáo viên phải phối hợp, vận dụng cách phù hợp nhiều kỹ thuật dạy học tích cực khác Trong trình đổi phương pháp dạy học việc sử dụng kỹ thuật dạy học tích cực có ý nghĩa đặc biệt việc phát huy tham gia tích cực có hiệu người học vào trình dạy học Do đó, áp dụng kỹ thuật dạy học có tác dụng kích thích tư duy, khả sáng tạo cộng tác làm việc người học Các kỹ thuật dạy học tích cực áp dụng rộng rãi mà kể đến là: động não, XYZ, bể cá, ổ bi, tia chớp, lần 3, Chúng áp dụng thuận lợi làm việc nhóm, song kết hợp thực hình thức dạy học toàn lớp nhằm phát huy tính tích cực người học Trong đó, kỹ thuật động não coi có tác dụng hữu hiệu việc phát triển khả tư sáng tạo cho học sinh không trình học tập nghiên cứu, mà công việc sống sau họ III ĐỘNG NÃO LÀ GÌ? Kỹ thuật động não Alex Osborn (Mỹ) đưa năm 1941, phát triển dựa kỹ thuật truyền thống từ Ấn Độ Động não (brainstoming), hay gọi công não / công não / tập kích não, kỹ thuật nhằm huy động tư tưởng mẻ, độc đáo chủ đề thành viên trình thảo luận xung quanh vấn đề, để từ rút giải pháp cho khả thi Các thành viên cổ vũ tham gia cách tích cực, không hạn chế ý tưởng nhằm tạo “cơn lốc” ý tưởng Tác giả đạt giải Noel hòa bình năm 1963 có câu nói tiếng: “Cách tốt để có ý tưởng tốt phải có thật nhiều ý tưởng” (The best way to get a good idea is to get a lot of ideas – Linus Carl Pauling) Thế ý tưởng tự nhiên mà có, phải đánh thức cách Nếu giáo viên biết sử dụng kỹ thuật động não lúc, chỗ giúp học sinh đánh thức trí tưởng tượng, sức sáng tạo ẩn sâu tiềm thức họ Do đó, người học phải có tâm trạng thật thoải mái, không bị gò ép để tất ý nghĩ, hình ảnh tuôn cách phóng khoáng ngẫu nhiên, chí có ý kiến bị cho ngớ ngẩn Điều quan trọng người học phải nghĩ nhiều ý tưởng tốt, lúc động não không quan tâm đánh giá tính tốt xấu, tính hữu dụng, ý tưởng Biết đâu có ý tưởng mà giáo viên bạn học cho ngớ ngẩn lại giúp họ có ý tưởng sáng tạo độc đáo mà chưa nghĩ tới IV QUY TẮC CỦA ĐỘNG NÃO Người khởi xướng kỹ thuật này, A Osborn, quan sát thấy người thường thuộc hai thiên hướng tư sáng tạo phê phán Nếu để nhóm người ngồi thường dẫn đến tranh luận kéo dài kết đạt không cao Do đó, động não dựa nguyên tắc quan trọng là: Tách trình phát sinh ý tưởng trình đánh giá ý tưởng thành hai giai đoạn riêng biệt Như vậy, điểm bật động não tránh đánh giá phê phán trình thu thập ý tưởng thành viên Đồng thời, khuyến khích số lượng ý tưởng, cho phép tưởng tượng liên tưởng V ĐĂC ĐIỂM VÀ YÊU CẦU - Kỹ thuật động não tiến hành hay nhiều người Số lượng người tham gia nhiều giúp cho việc tìm lời giải nhanh toàn diện nhờ vào nhiều góc nhìn khác trình độ, trình tự khác người tham gia - Dụng cụ: Tốt thể bảng viết cho thành viên đọc rõ tình trạng hoạt động động não Nếu tiến hành cá nhân hay vài người thay giấy viết Ngày nay, người ta tiến hành cách nối máy tính cá nhân vào chung mạng làm tiến hành việc động não Bằng cách người xa tham gia họ tận dụng mạnh công nghệ thông tin kho liệu, từ điển trực tuyến, máy truy tìm VI CÁC BƯỚC TIẾN HÀNH - Trong nhóm lựa chọn người điều phối thư ký để ghi lại ý tưởng (hai công việc người đảm nhiệm tiện) - Người điều phối dẫn nhập vào chủ đề làm cho thành viên hiểu rõ vấn đề cần thảo luận - Thiết lập “luật” cho buổi động não, thông thường bao gồm: + Người điều phối có nhiệm vụ điều khiển buổi làm việc + Không thành viên có quyền đòi hỏi hay cản trở, đánh giá, phê bình hay thêm bớt vào ý kiến, từ ngữ nêu ra, hay giải đáp thành viên khác + Cần xác định câu trả lời sai! + Tất câu trả lời, ý, cụm từ (ngoại trừ lặp lại) thu thập ghi lại (cách ghi tóm gọn chữ hay câu cho ý riêng rẽ) + Vạch định thời gian cho buổi làm việc ngưng hết - Bắt đầu động não: Người điều phối định hay lựa chọn thành viên chia sẻ ý kiến trả lời (hay ý niệm rời rạc) Người thư ký phải viết tất câu trả lời, công khai hóa cho người thấy (viết lên bảng chẳng hạn) Không cho phép ý kiến đánh giá hay bình luận câu trả lời chấm dứt buổi động não - Sau kết thúc động não, xem lại tất bắt đầu đánh giá câu trả lời Một số lưu ý chất lượng câu trả lời bao gồm: + Tìm câu ý trùng lặp hay tương tự để thu gọn lại + Góp câu trả lời có tương tự hay tương đồng nguyên tắc hay nguyên lí + Xóa bỏ ý kiến hoàn toàn không thích hợp + Sau cô lập danh sách ý kiến, thảo luận thêm câu trả lời chung VII ỨNG DỤNG Động não có ý nghĩa lớn đối công việc thuộc lĩnh vực cần sáng tạo ý tưởng việc nghiên cứu khoa học hay kinh doanh, Chẳng hạn: - Giải vấn đề - Nghiên cứu khoa học - Quảng cáo, phát triển sản phẩm - Xây dựng kế hoạch kinh doanh VIII CÁC ƯU ĐIỂM VÀ NHƯỢC ĐIỂM Có thể thấy ưu điểm bật kỹ thuật động não trước hết dễ thực hiện, không tốn Chỉ cần bút tờ giấy trắng, người tham gia viết tất ý tưởng có liên quan đến chủ đề nảy sinh đầu mà tính đến sai Hơn nữa, kỹ thuật động não tận dụng hiệu ứng cộng hưởng, huy động tối đa trí tuệ tập thể tạo hội cho tất thành viên tham gia Tuy nhiên, thấy ý kiến đưa lạc đề, tản mạn Do đó, nhiều thời gian việc lựa chọn ý kiến thích hợp Trong dạy học, có số học sinh “quá tích cực”, số khác lại thụ động IX VẬN DỤNG TRONG DẠY HỌC Đã từ lâu, việc đổi phương pháp dạy học phải lấy người học làm trung tâm, phải phát huy tối đa khả tự học, tự nghiên cứu người học Đặc biệt, học sinh phổ thông số đối tượng người học có nhiều tiềm năng, lực, sáng tạo, cần khai thác có hiệu Kỹ thuật động não áp dụng dạy học không giúp cho giáo viên đạt mục đích dạy học mà giúp phát triển khả sáng tạo học sinh, rèn luyện cho họ số kỹ cần thiết cho sống sau Kỹ thuật công não thực cách linh hoạt tùy thuộc vào nội dung tính chất học (học hay ôn tập, học lý thuyết hay học theo hướng ứng dụng, ), tùy thuộc vào mục đích giáo viên (coi trọng việc kiểm tra khả sáng tạo học sinh hay coi trọng việc giải vấn đề, ), tùy thuộc vào lực nhóm học sinh nhiều điều kiện ngoại cảnh khác Toán học số môn học có tác dụng phát triển tư sáng tạo cho học sinh, song lại khó áp dụng phương pháp kỹ thuật dạy học sinh động hay mang tính thực tiễn Tuy nhiên giáo viên sử dụng kỹ thuật công não để phát huy trí tưởng tượng khả sáng tạo học sinh mà lớp học không phần sôi động Để sử dụng kỹ thuật động não dạy học, giáo viên đưa toán vấn đề yêu cầu học sinh khai thác toán theo hướng khác nhau, để giải toán cách khác Các ý tưởng đưa dựa nguyên tắc sau: - Bỏ bớt làm yếu giả thiết toán - Tổng quát hóa toán - Đặc biệt hóa toán - Đặt toán theo hướng ngược lại - Xét toán cho với đối tượng khác - Tìm ứng dụng toán cho - Trong số ý kiến đưa ra, có ý kiến không hay thực được, có ý kiến tìm cách giải độc đáo mở toán hay hơn, có ý nghĩa PHẦN III: NỘI DUNG ĐỀ TÀI I THỰC HÀNH GIẢNG DẠY Cách thức áp dụng kỹ thuật động não: Giáo viên nêu toán bất đẳng thức sách giáo khoa sách tham khảo (trong tự chọn, bồi dưỡng, ) Sau tùy thuộc vào đặc điểm toán, giáo viên yêu cầu học sinh thực hay số yêu cầu sau - Yêu cầu 1: Chứng minh bất đẳng thức nhiều cách khác - Yêu cầu 2: Mở rộng bất đẳng thức cho - Yêu cầu 3: Chứng minh bác bỏ bất đẳng thức mở rộng (Thông thường, với yêu cầu giáo viên giao cho học sinh nhà làm, trình bày vào để tiết sau mang đến lớp kiểm tra.) - Yêu cầu 4: Tìm ứng dụng bất đẳng thức cho (Giao cho học sinh nhà làm trình bày vào để tiết sau mang đến lớp kiểm tra.) Với yêu cầu này, đầu học sinh chưa tìm chưa nghĩ nhiều nên giáo viên bổ sung thêm số ứng dụng khác yêu cầu học sinh tiếp tục chứng minh - Yêu cầu 5: Dưới ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Bài tập 5, trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao: Chứng minh rằng: Nếu a > b > 1   (1) a b ab a, Yêu cầu 1: Chứng minh bất đẳng thức (1) nhiều cách khác Kết quả: Cách 1: (1)  ab   (a  b)  4ab  (a  b)  (*) ab ab (*) suy (1) Cách 2: (a  b)   (a  b)  4ab   (a  b)  4ab   ab  ab ab 1   a b ab Cách 3: Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có 1 1 1 1  ab     (đpcm)   ( a  b )  a b ab a b a b Cách 4: Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có 1   1 1 a b     (đpcm)   ( a  b )   a b ab b a b  a  b, Yêu cầu 2: Mở rộng bất đẳng thức (1) Kết quả: 1.1 1    với a, b, c > a b c abc 1.2 1 n2 , với a1 , a2 , , an  0,     a1 a2 an a1  a2   an c, Yêu cầu 3: (Giao cho học sinh nhà thực hiện) Chứng minh bất đẳng thức trên, tìm ứng dụng bất đẳng thức (1) (1.1) Kết quả: 1.3 1  1 1    2    với a, b, c ba cạnh tam giác, p nửa p a p b p c a b c chu vi tam giác 1.4 1 1 1      với a, b, c > 4a 4b 4c 2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b 1.5 1 với a, b >   8ab (a  b) 4a  4b 1.6 1 1 1      với a, b, c ba cạnh tam giác abc abc abc a b c 1.7 ac bd ca bd     với a, b, c, d > ab bc cd d a 1.8 1 1 1 1       4     với a, b, c, d > a b c d  2a  b  c 2b  c  d 2c  d  a 2d  a  b  1.9 1 1     với a, b, c, d > ab bc cd d a abcd 1.10 1 1 1 1     4(    ) với a, b, c, d > a b c d 3a  b 3b  c 3c  d 3d  a 1.11 1 1 1      , với a, b, c > a  3b b  3c c  3a a  2b  c a  b  2c 2a  b  c 1.12 1    với a, b, c > 2a  b 2b  c 2c  a a  b  c 1.13 1    với a, b, c > 2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b 4(a  b  c) 1.14 1 1 1    3(   ) với a, b, c > a b c 2a  b 2b  c 2c  a 1.15 a b c    với a, b, c > bc ca ab 2 10 1.16  2 ( ) với a, b, c > 4 2 2 2 a b c a b b c c a a b c 1.17 1    với a, b, c  0, a + b + c  1 a 1 b 1 c 1.18 1    , với a, b, c > 0, a + b + c  a  2bc b  2ca c  2ab 1.19 1 13    , với x thoả mãn  x  x  x  10 13  x 2 Ví dụ 2: Bài tập 6, trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao Chứng minh rằng: Nếu a  b  a3 + b3  a2b + ab2 (2) a, Yêu cầu 1: Chứng minh (2) nhiều cách khác Kết quả: Cách 1: Ta có: a3 + b3  a2b + ab2  a3 + b3 - a2b + ab2   a2(a - b) – b2(a - b)   (a - b)(a2 – b2)   (a - b)(a - b)(a - b)   (a - b)2(a + b)  (*) Bất đẳng thức (*) với a, b nên (2) với a  dấu xảy a = b a = b = b  0, Cách 2: Ta có: a3 + b3  a2b + ab2  (a + b)(a2 – ab + b2)  ab(a+b)  (a + b)(a2– ab + b2 - ab)   (a - b)2(a + b)  (luôn đúng) Cách 3: Ta có: a3 + b3  a2b + ab2  a(a2 - b2) – b(a2 – b2)   (a2 - b2)(a - b)   (a - b)2(a + b)  Đây bất đẳng thức Cách 4: Ta xét trường hợp sau: +) Nếu a = bất đẳng thức cho trở thành b3  (Luôn b  ) +) Nếu a > đặt b = t.a, t  Thay vào bất đẳng thức cho ta được: a3 + t3a3  ta3 + t2a3  + t3  t + t2  (t + 1)(t2 - t + 1)  t(t + 1) 11  (t +1)(t2 – t +1 - t) )   (t +1)(t - 1)2  Đây bất đẳng thức Cách 5: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm a3 ab2, b3 a2b ta có: a3 + ab2  a ab = 2a2b; b3 + a2b  b a b = 2ab2 Cộng theo vế bất đẳng thức ta có bất đẳng thức cần chứng minh Cách 6: Ta xét trường hợp: +) Nếu a = b = bất đẳng thức a2 b2 +) Nếu a > b > ta chia vế bất đẳng thức cho ab > ta được: + = b a a + b Khi áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương a2 b2 a2 b, a, Ta được: + b a b b2 a2 b2 b2 +a  b = 2a, a = 2b; b a a Cộng theo vế hai bất đẳng thức ta bất đẳng thức cần chứng minh Cách 7: Ta áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm a3, a3 b3; b3, b3 a3; Ta có: a3 + a3 + b3  3a2b; b3 + b3 + a3  3ab2 Cộng theo vế bất đẳng thức ta bất đẳng thức cần chứng minh Cách 8: Ta biến đổi vế trái BĐT cho, sau VT(2) = a3 + b3 = (a + b )(a2 + b2 - ab), mà áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm a2 b2 Ta có: a2 + b2  2ab Do VT(2) = (a + b)(a2 + b2 - ab)  (a + b)(2ab - ab) = (a + b)ab = a2b + ab2 = VP(1) Vậy bất đẳng thức chứng minh 12 b, Yêu cầu 2: Mở rộng bất đẳng thức (2) Kết quả: 2.1 a  b  a3 b  ab3 , với a, b 2.2 an 1  bn 1  an b  abn , với a, b > 2.3 a3  b3  c3  a2b  b2c  c2a , với a, b, c > 2.4 a13  a23   am3  a12 a2  a22 a3   am2 a1 , với a1 , a2 , ,am  0, 2.5 an 1  bn 1  cn 1  an b  bnc  cn a , với a, b, c > 0, n  N, n  a1n 1  a2n 1  a3n 1   amn 1  a1n a2  a2n a3   amn a1 , m, n  N; m, n  2.6 với a1 , a2 , ,am  0, c, Yêu cầu 3: (Về nhà) Chứng minh bất đẳng thức Yêu cầu d, Yêu cầu 4: Tìm ứng dụng bất đẳng thức (2) Kết 2.7 a  b3 b3  c c  a    a  b  c, với a, b, c > 2ab 2bc 2ca 2.8 a b3 c3    ab  bc  ca, với a, b, c > b c a 2.9 1 1    , với a, b, c > a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc 2.10 a3 b3 c3 abc    , với a, b, c > a  ab  b b  bc  c c  ca  a 2.11 5b  a 5c  b 5a  c    a  b  c , với a, b, c > ab  3b bc  3c ca  3a 2.12 19b  a 19c  b 19a  c    3(a  b  c) , với a, b, c > ab  5b bc  5c ca  5a 2.13 29a  b 29b  c 29c  a    4(a  b  c) , với a, b, c > ab  6a bc  6b ca  6c 41a  b 41b  c 41c  a    5(a  b  c) , với a, b, c > 2.14 ab  7a bc  7b ca  7c 13 3a  7b 3b  7c 3c  7a 2.15    3(a  b  c )  (ab  bc  ca ) , với a, b, c > 2a  3b 2b  3c 2c  3a 4a  5b  3a 2b  10ab 4b  5c  3b c  10bc 4c  5a  3c a  10a c   3a  b 3b  c 3c  a 2  5(a  b  c )  (ab  bc  ca), với a, b, c > 2.16 Ví dụ (Áp dụng dạy tự chọn, bồi dưỡng) a b c a b2 c2 Cho a, b, c > Chứng minh      b c a b c a (3) a, Yêu cầu 1: Chứng minh (3) nhiều cách khác Kết Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: a2 a a3 a b2 b b3 b c2 c c3 c 3  1 3  ;  1 3  ;  1 3  b b c c c a a a b b c a Cộng vế với ba bất đẳng thức ta a2 b2 c2 a b c a2 b2 c2 a b c a b c        3         2    (2) b c a b c a b c a b c a b c a Mặt khác ta có: a b c abc    33 3 b c a bca b2 c2 a b c a b c a Do từ (2) ta có  2          c a b c a b c a b a b c a2 b2 c2       b c a b c a Đẳng thức xảy a = b = c Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có: 2  a2 b2 c2  b c   a2 b2 c2  2 a b c a                      c a   b c a  b c a b b c a    14 2 a b c      nên  a  b  c    a  b  c  a  b  c  b c a c a   b c a   b c a  b Do  a b c a2 b2 c2      b c a b2 c2 a2 Đẳng thức xảy a = b = c b, Yêu cầu 2: Mở rộng bất đẳng thức (3) Kết 3.1 an a12 a22 an2 a1 a2        với a1, a2 , an > 0, n  N, n  a a3 a1 a22 a32 a1 3.2 a b c a3 b3 c3      , với a, b, c > 0, b c a b3 c3 a 3.3 a n b n c n a n 1 b n 1 c n 1  n  n  n 1  n 1  n 1 , với a, b, c > 0, n N* n b c a b c a 3.4 an bn cn am bm cm  n  n  m  m  m , với a, b, c > 0; n, m  N * , n  m n b c a b c a 3.5 akn a1n 1 a2n 1 akn 1 a1n a2n     n  n 1  n 1    n 1 , với a1 , a2 , ak > 0, k  a2n a3n a1 a2 a3 a1 3.6 akn a1m a2m akm a1n a2n     n  m  m    m với a1 , a2 , ak > 0, m, n, k  N * , n  m , k  a2n a3n a1 a2 a3 a1 c, Yêu cầu 3: (Về nhà) Chứng minh bất đẳng thức Yêu cầu II KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ Đề kiểm tra 20 phút Câu (5 điểm): Chứng minh bất đẳng thức sau: a2  b2  a  b   a,    (1), với a, b  R 15 a3  b3  a  b   b,  , với a, b >   Câu (5 điểm): Hãy mở rộng bất đẳng thức (1) Đáp án đề kiểm tra Câu Điể m Nội dung a2  b2  a  b  2 2    2(a  b )  (a  b)  (a  b)  (2)   1a (2) suy (1) Dấu xảy a  b 1b 2,0 1,0 a3  b3  a  b  3  Cách 1:   4(a  b )  (a  b)   0,5  a3 + b3  a2b + ab2  a3 + b3 - a2b + ab2  0,5 a  (a-b) – b2(a - b)   (a - b)(a2 – b2)  0,5 (a - b)2(a + b)  (4) suy (3) Dấu xảy a  b 0,5 Cách 2: áp dụng BĐT (1) ta có a2  b2  a  b  a2  b2 a  b a b       2      1,0 a  b  a 2b  ab 16 Câu Điể m Nội dung +) Tương tự cách ta có a 2b  ab  a  b3 a  b3  a  b3 a  b3 a b  Do  (đpcm)     1,0 Dấu xảy a  b Bình luận: Cách dài chứng minh bất đẳng thức 1b, nhiên để chứng minh bất đẳng thức mở rộng với số mũ lớn cách hữu hiệu a3  b3  a  b    (câu 1b)   a b a b   , với a, b  R   4 2,0 n an  bn  a  b    , với a, b > 0, n  N, n  2   a2  b2  c2  a  b  c    , với a, b, c  R 3   a3  b3  c3  a  b  c    , với a, b , c > 3   2,0 n an  bn  cn  a  b  c    với a, b, c > 0, n  N, n  3   a1n  a2n   amn  a1  a2   am    m m   với a1 , a2 , , am n > 0, m, n  N ; m, n  2,0 17 Kết kiểm tra +) Năm học 2007 – 2008: Lớp thực nghiệm 10A5, lớp đối chứng 10A4 (Giỏi: Từ 8,0 đến 10; Khá: Từ 6,5 đến 7,9; TB: Từ 5,0 đến 6,4; Yếu: nhỏ 5,0) Điểm TBM kì I Lớp 10A5 10A4 Khá Kết kiểm tra Sĩ số Giỏi TB Yếu Giỏi Khá TB Yếu S L % S L % S L % S L % S L % S L % S L % S L 53 7 1 0 5 0 50 3 0 2 1 2 0 % +) Năm học 2010 – 2011: Lớp thực nghiệm 10A10, lớp đối chứng 10A9 (Giỏi: Từ 8,0 đến 10; Khá: Từ 6,5 đến 7,9; TB: Từ 5,0 đến 6,4; Yếu: nhỏ 5,0) Điểm TBM kì I Lớp 10A10 10A9 Sĩ số Giỏi Khá Kết kiểm tra TB Yếu Giỏi S L % S L % S L % S L % S L 49 0 48 7 0 Khá TB Yếu % S L % S L % S L % 9 9 0 6 3 0 +) Năm học 2011 – 2012: Lớp thực nghiệm 10A5, lớp đối chứng 10A6 18 (Giỏi: Từ 8,0 đến 10; Khá: Từ 6,5 đến 7,9; TB: Từ 5,0 đến 6,4; Yếu: nhỏ 5,0) Điểm TBM kì I Lớp 10A5 10A6 Sĩ số Giỏi Khá Kết kiểm tra TB Yếu Giỏi S L % S L % S L % S L % S L 51 4 0 50 5 2 4 0 Khá TB Yếu % S L % S L % S L % 4 0 2 0 Phân tích kết kiểm tra đánh giá - Việc chọn hai lớp có lực học tương đương tương đối nên kết thu có chênh lệch định Do chất lượng học sinh lớp học, khóa học không hoàn toàn giống nên kết thu cao thấp khác - Do bất đẳng thức phần khó nên điểm kiểm tra phần thường thấp điểm trung bình môn học kì Qua kiểm tra cho thấy lớp đối chứng có điểm kiểm tra thấp nhiều so với điểm trung bình môn học kì Còn lớp thực nghiệm điểm kiểm tra gần bằng, có lớp kết cao III MỘT SỐ ĐỀ XUẤT NHẰM VẬN DỤNG CÓ HIỆU QUẢ KỸ THUẬT ĐỘNG NÃO TRONG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC Đối tượng vận dụng Bất đẳng thức nội dung khó nên mục tiêu kiến thức lớp phải khác Những ví dụ thường áp dụng có hiệu cho lớp có nhiều học sinh giỏi Đối với lớp học yếu cần hoàn thành mục tiêu học đề nỗ lực giáo viên học sinh Thời gian vận dụng 19 Theo khung phân phối chương trình Bộ giáo dục đào tạo, thời gian dạy khóa cho phần bất đẳng thức ít, gần mang tính giới thiệu bất đẳng thức Vì để học sinh nắm vững kiến thức sở phát huy tính tích cực, sáng tạo giáo viên cần phải tiếp tục dạy tiết học bồi dưỡng giao tập nhà Trong ba ví dụ áp dụng nêu trên, có yêu cầu học sinh làm lớp, yêu cầu nên giao cho học sinh thực nhà yêu cầu đòi hỏi phải có thời gian để suy nghĩ, tìm tòi Công tác chuẩn bị, thực đánh giá học sinh giáo viên - Giáo viên cần phải chuẩn bị nhiều phương án trả lời Sau nhận xét, đánh giá, tổng hợp phương án mà học sinh đưa ra, giáo viên nên bổ sung phương án mà học sinh thiếu, tích lũy, ghi nhận phương án hay, độc đáo mà học sinh đưa - Việc tổng hợp trình bày lời giải phương án mà học sinh đưa nói chung khó trình bày hết bảng Vì vậy, giáo viên nên trình bày giấy photocopy phát đến học sinh, xem tài liệu tham khảo - Đối với học sinh giỏi, giáo viên giao cho toán bất đẳng thức yêu cầu học sinh khai thác trình bày dạng báo cáo khoa học, yêu cầu học sinh tổng hợp lại toán mà giáo viên giao lớp Bài viết photocopy phát cho học sinh khác làm tài liệu tham khảo - Trong trình thực yêu cầu giáo viên, nhiều học sinh chép lẫn nhau, không nộp Vì vậy, giáo viên cần phải có biện pháp nhắc nhở phù hợp để giảm thiểu trường hợp Đây vấn đề chung dạy học học sinh không tự giác phương pháp, kĩ thuật dạy học tích cực không tác dụng - Các yêu cầu giáo viên đưa phải có nhiều mức khó dễ khác để học sinh tham gia vào học phù hợp với lực có hội thử sức với yêu cầu cao Chẳng hạn, ví dụ nêu việc mở rộng vài bất đẳng thức điều mà học sinh trung bình hoàn toàn làm Song để chứng minh bất đẳng thức mở rộng có học sinh giỏi thực 20 PHẦN IV: KẾT LUẬN Sử dụng phương pháp, kỹ thuật dạy học tích cực dạy học yêu cầu đổi phương pháp dạy học Tuy nhiên vận dụng nội dung, học, đối tượng học sinh cụ thể điều không đơn giản Để việc vận dụng có hiệu đòi hỏi phải có chuẩn bị chu đáo, tìm tòi tích lũy kinh nghiệm giáo viên Đề tài nghiên cứu thực nghiệm khóa học sinh sau khóa lại có điều chỉnh cho phù hợp Trước hết, đề tài phân tích sở lý luận vấn đề làm tảng cho việc vận dụng cụ thể dạy học Đề tài nêu lên cách thức vận dụng kỹ thuật động não vào dạy học bất đẳng thức minh họa việc vận dụng ví dụ cụ thể, kiểm tra cụ thể Đồng thời, thông qua thực tế vận dụng kỹ thuật dạy học, số đề xuất đưa Vì việc áp dụng kỹ thuật đòi hỏi phải có thời gian dành cho học sinh nên việc vận dụng thực số dạy định, điển hình ba ví dụ nêu Đề tài áp dụng dạy học chuyên đề khác như: phương trình lượng giác, toán tổ hợp – xác suất, hình học không gian, Mặc dù đề tài có điều chỉnh cho phù hợp với đối tượng học sinh khác nhau, nhìn chung đáp ứng được mục tiêu ban đầu, “phát huy tính tích cực, sáng tạo học sinh” 21 [...]... trung bình môn học kì 1 Còn các lớp thực nghiệm thì điểm kiểm tra gần bằng, có lớp kết quả còn cao hơn III MỘT SỐ ĐỀ XUẤT NHẰM VẬN DỤNG CÓ HIỆU QUẢ KỸ THUẬT ĐỘNG NÃO TRONG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC 1 Đối tượng vận dụng Bất đẳng thức là một nội dung khó nên mục tiêu kiến thức của mỗi lớp cũng phải khác nhau Những ví dụ trên thường chỉ có thể áp dụng có hiệu quả cho những lớp có nhiều học sinh khá giỏi Đối... lớp học yếu hơn thì chỉ cần hoàn thành được như mục tiêu của bài học đã đề ra cũng đã một sự nỗ lực của cả giáo viên và học sinh 2 Thời gian vận dụng 19 Theo khung phân phối chương trình của Bộ giáo dục và đào tạo, thời gian dạy chính khóa cho phần bất đẳng thức là rất ít, và gần như chỉ mang tính giới thiệu về bất đẳng thức Vì vậy để học sinh có thể nắm vững được kiến thức và trên cơ sở đó phát huy. .. việc vận dụng có hiệu quả đòi hỏi phải có sự chuẩn bị chu đáo, sự tìm tòi và tích lũy kinh nghiệm của mỗi giáo viên Đề tài nghiên cứu này đã được thực nghiệm trên 3 khóa học sinh và sau mỗi khóa lại có sự điều chỉnh cho phù hợp hơn Trước hết, đề tài đã phân tích cơ sở lý luận của vấn đề làm nền tảng cho việc vận dụng cụ thể trong dạy học Đề tài cũng đã nêu lên cách thức vận dụng kỹ thuật động não vào dạy. .. điều mà một học sinh trung bình hoàn toàn làm được Song để có thể chứng minh được các bất đẳng thức mở rộng thì chỉ có các học sinh khá giỏi mới có thể thực hiện được 20 PHẦN IV: KẾT LUẬN Sử dụng các phương pháp, kỹ thuật dạy học tích cực trong dạy học là một yêu cầu trong đổi mới phương pháp dạy học Tuy nhiên vận dụng như thế nào đối với từng nội dung, từng bài học, từng đối tượng học sinh cụ thể... bất đẳng thức trên ta có bất đẳng thức cần chứng minh Cách 6: Ta xét các trường hợp: +) Nếu a = 0 hoặc b = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng a2 b2 +) Nếu a > 0 và b > 0 thì ta chia cả 2 vế của bất đẳng thức cho ab > 0 ta được: + = b a a + b Khi đó áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương là a2 b2 a2 và b, và a, Ta được: + b a b b2 a2 b2 b2 +a  2 b = 2a, a = 2b; b a a Cộng theo từng vế hai bất đẳng thức. .. vận dụng kỹ thuật động não vào dạy học bất đẳng thức cũng như minh họa việc vận dụng bằng những ví dụ cụ thể, bài kiểm tra cụ thể Đồng thời, thông qua thực tế vận dụng kỹ thuật này trong dạy học, một số đề xuất cũng đã được đưa ra Vì việc áp dụng kỹ thuật này đòi hỏi phải có thời gian dành cho học sinh nên việc vận dụng chỉ có thể thực hiện được trong một số giờ dạy nhất định, điển hình là ba ví dụ... chung trong dạy học vì nếu học sinh không tự giác thì các phương pháp, kĩ thuật dạy học tích cực sẽ không còn tác dụng - Các yêu cầu của giáo viên đưa ra phải có nhiều mức khó dễ khác nhau để học sinh nào cũng có thể tham gia vào bài học phù hợp với năng lực của mình và có cơ hội thử sức với những yêu cầu cao hơn Chẳng hạn, trong các ví dụ đã nêu ở trên thì việc mở rộng được một vài bất đẳng thức là điều... vế hai bất đẳng thức ta được bất đẳng thức cần chứng minh Cách 7: Ta áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số không âm a3, a3 và b3; b3, b3 và a3; Ta có: a3 + a3 + b3  3a2b; b3 + b3 + a3  3ab2 Cộng theo từng vế 2 bất đẳng thức ta được bất đẳng thức cần chứng minh Cách 8: Ta biến đổi vế trái của BĐT đã cho, như sau VT(2) = a3 + b3 = (a + b )(a2 + b2 - ab), mà áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm... nêu ở trên Đề tài này cũng có thể được áp dụng khi dạy học các chuyên đề khác như: phương trình lượng giác, các bài toán tổ hợp – xác suất, hình học không gian, Mặc dù có thể đề tài còn có sự điều chỉnh cho phù hợp với những đối tượng học sinh khác nhau, nhưng nhìn chung nó đã đáp ứng được được mục tiêu ban đầu, đó là phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh 21 ... Đối với những học sinh giỏi, giáo viên có thể giao cho một bài toán về bất đẳng thức và yêu cầu học sinh đó khai thác và trình bày dưới dạng một báo cáo khoa học, hoặc yêu cầu học sinh tổng hợp lại chính bài toán mà giáo viên đã giao trên lớp Bài viết này có thể được photocopy và phát cho các học sinh khác làm tài liệu tham khảo - Trong quá trình thực hiện yêu cầu của giáo viên, nhiều học sinh có thể ... học bất đẳng thức IV GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Trong trình giảng dạy vận dụng kỹ thuật động não vào dạy học bất đẳng thức không đạt yêu cầu mặt kiến thức mà phát huy tính tích cực, sáng tạo học sinh, ... pháp, kỹ thuật dạy học tích cực vào dạy học bất đẳng thức góp phần lớn cho thành công việc dạy học bất đẳng thức Trong số kỹ thuật dạy học tích cực áp dụng kỹ thuật động não coi có tác dụng hữu... vận dụng kỹ thuật động não vào dạy học bất đẳng thức III MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Đề xuất số biện pháp cụ thể dựa kinh nghiệm thân trình giảng dạy nhằm vận dụng có hiệu kỹ thuật động não vào dạy học