Giáo án Đại Số 10 ******************************************************************************************************** Chơng IiI: Bất đẳng thức Và Bất PHƯƠNG TRìNH 1. Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức I. Mục tiêu: 1.Về kiến thức : - Hiểu khái niệm bất đẳng thức. - Nắm vững các tính chất của bất đẳng thức. - Nắm đợc các bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối. - Nắm vững bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai số không âm. - Nắm đợc bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của ba số không âm. 2.Về kỹ năng: - Chứng minh đợc một số BĐT đơn giản bằng cách áp dụng các bất đẳng thức nêu trong bài học. - Biết cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số hoặc một biểu thức chứa biến. II. Chuẩn bị của GV và HS: 1. GV: - Bài tập 2. HS: - Ôn lại khái niệm bất đẳng thức và một số tính chất của bất đẳng thức ở các lớp dới. III. Tiến trình bài học: 1. Tổ chức lớp - ổn định tổ chức lớp và kiểm tra sĩ số 2. Tiến trình bài mới A. Phân phối thời l ợng Tiết 1: Ôn tập và bổ sung tính chất của bất đẳng thức. Tiết 2: BĐT về giá trị tuyệt đối và Bất đẳng thức giữa TB cộng và TB nhân (đối với hai số không âm). Tiết 3: Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (đối với ba số không âm). B. Nội dung bài học 1. Ôn tập và bổ sung tính chất của bất đẳng thức Định nghĩa Cho hai số thực a và b Các mệnh đề " ";" ";" ";" "a b a b a b a b > < đợc gọi là những bất đẳng thức. Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Câu hỏi 1 Trong các MĐ sau, mệnh đề nào đúng? 1 ) 3, 25 4 ) 5 4 ) 2 3 4 a b c< > Câu hỏi 2 Chọn dấu thích hợp (=, <, >) để khi điền vào ô vuông ta đợc một mệnh đề đúng. 2 2 4 2 ) 2 2 3 ) 3 3 ) 3 2 2 (1 2) ) 1 0 a b c d a+ + + Với a là một số đã cho. GV: Các mệnh đề trên đợc gọi là các bất đẳng thức. Câu hỏi 3 Hãy nêu khái niệm bất đẳng thức? Có phải bất Gợi ý trả lời câu hỏi 1 a) đúng b) sai c) đúng Gợi ý trả lời câu hỏi 2 a) < b) > c) = d) > Gợi ý trả lời câu hỏi 3 1 Giáo án Đại Số 10 ******************************************************************************************************** đẳng thức luôn luôn đúng hay không? Các mệnh đề " ";" ";" ";" "a b a b a b a b > < đợc gọi là những bất đẳng thức. Một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai Tính chất của bất đẳng thức - Tính chất bắc cầu - Tính chất cộng hai vế của BĐT với cùng một biểu thức số - Tính chất nhân hai vế của BĐT với cùng một biểu thức dơng (âm) 3) Bất đẳng thức với các phép toán QT1: Phép cộng QT2: Phép nhân QT3: Phép nâng lên luỹ thừa QT4: Phép khai căn Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Câu hỏi 1 Tính chất 1 gọi là cộng hai bất đẳng thức cùng chiều. Trừ hai bất đẳng thức cùng chiều có đúng không? Cho ví dụ? Câu hỏi 2 Hãy nêu VD áp dụng một trong các t/c trên. Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Không đúng, HS có thể lấy nhiều ví dụ khác nhau Ví dụ 2 > 3 và 5 > 1 nhng 2 5 < 3 1 Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Đây là câu hỏi mở . HS có thể ra nhiều phơng án. Các ví dụ Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Câu hỏi 1 Ví dụ 1: Không dùng bảng số hoặc máy tính, hãy so sánh hai số 2 3+ và 3 Câu hỏi 2 Chứng minh rằng 2 1 0x x + > Câu hỏi 3 Chứng minh rằng nửa chu vi của một tam giác lớn hơn độ dài mỗi cạnh của tam giác đó. Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Giả sử 2 3 3+ . Do hai vế của BĐT đều dơng bình phơng hai vế . Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Phân tích 2 2 2 2 1 1 3 1 3 1 2. ( ) 0 2 2 4 2 4 x x x x x + = + + = + > Gợi ý trả lời câu hỏi 3 2 a b c p a b c a + + = > + > (luôn đúng) C. Hớng dẫn bài tập về nhà Học lại bài. Làm bài tập 1, 3, 4, 5, 6, 7(SGK-109, 110) 2 * 3 3 ; ; ; 0; 0 ; 0; ; 0 ; . n n a b c d a c b d a c b a b c a b c d ac bd a b n a b a b a b a b a b > > + > + + > > > > > > > > > > > Ơ Giáo án Đại Số 10 ************************************************************************************************** ****** Chứng minh bất đẳng thức - Phơng pháp biến đổi tơng đơng Bài 1: Cho , ,a b c là ba cạnh của tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 ) ; ; ) ( )( )( ) 8 ) 2( ) ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) a p a p b p c abc b p a p b p c c a b c ab bc ca c a b c b c a c a b a b c > > > + + < + + + + < < < Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số thực , ,a b c . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ) 3 2( ) ) ( ) ) ( ) 3( ) a a b c ab bc ca b a b c a b c c a b c d e a b c d e d a b c a b c + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Bài 3: a) Chứng minh rằng, nếu 0; 0a b > > thì 1 1 4 a b a b + + b) Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 2.( ) p a p b p c a b c + + + + ( , ,a b c là ba cạnh của tam giác, p là nửa chu vi) Bài 4: a) Chứng minh rằng với 1ab thì 2 2 1 1 2 1 1 1 ab a b + + + + b) Cho 1a b c chứng minh rằng 3 3 3 1 1 1 3 1 1 1 1a b c abc + + + + + + Bài 5: a) Chứng minh rằng với bốn số thực , , ,a b c d ta có 2 2 2 2 2 ( ) ( )( )ab cd a c b d+ + + Đẳng thức xảy ra khi ad bc = .(BĐT Bunhiacôpxki cho 4 số) b) Tơng tự hãy nêu BĐT Bunhiacôpxki cho 6 số, cho 2n số) Bài 6: Chứng minh rằng với ,a b R thì 2 2 4 4 3 3 5 5 4 4 ) 0 ) ) ( , ) a a ab b b a b a b ab c a b a b ab a b R + + + + + + + Bài 7: Chứng minh rằng 3 Gi¸o ¸n §¹i Sè 10 ************************************************************************************************** ****** 2 2 1 1 3; 3 1 x x x R x x + + ≤ ≤ ∀ ∈ − + 4 Giáo án Đại Số 10 ******************************************************************************************************** 2. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Câu hỏi 1 Nêu định nghĩa giá trị tuyệt đối? Câu hỏi 2 So sánh các số ; ;a a a .?x a< (với 0a > ) .?x a> (với 0a > ) Câu hỏi 3 Chứng minh BĐT ( , )a b a b a b R+ + Sử dụng BĐT vừa chứng minh và đẳng thức ( )a a b b= + + để chứng minh BĐT a b a b + . Chứng minh ( , )a b a b a b R + Gợi ý trả lời câu hỏi 1 ; 0 ; 0 a a a a a = Gợi ý trả lời câu hỏi 2 ;a a a a R x a a x a< < < (với 0a > ) x a x a x a < > > (với 0a > ) Gợi ý trả lời câu hỏi 3 1)Chứng minh ( , )a b a b a b R+ + Thật vậy 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 a b a b a b a ab b a ab b a ab b ab ab + + + + + + + + + 2) Ta có ( )a a b b a b b a b b= + + + + = + + Do đó a b a b + . 3. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (BĐT CôSi) a) Đối với hai số không âm Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Câu hỏi 1 Hãy phát biểu định lý trên thành lời? Chú ý hai số phải không âm Câu hỏi 2 Hãy chứng minh bđt CôSi Câu hỏi 3 Cho H 4.1: ;AH a BH b= = Hãy tính đoạn ;OD HC theo &a b .Từ đó suy ra BĐT giữa TB cộng và TB nhân. Câu hỏi 4 Chứng minh rằng: , , 0 6. a b c a b b c c b c a a > + + + + + Hệ quả: SGK-107 Gợi ý trả lời câu hỏi 1 TB cộng của hai số không âm lớn hơn hoặc bằng TB nhân của chúng. Dờu = hai số đó bằng nhau. Gợi ý trả lời câu hỏi 2 SGK- 107 Gợi ý trả lời câu hỏi 3 ; 2 a b OD HC ab + = = . Vì OD HC nên 2 a b ab + (CM bằng PP hình học). Gợi ý trả lời câu hỏi 4 ( ) ( ) ( ) 2 . 2 . 2 . 6 a b b c c a a b b c c a c a b c c a a b b a c b a b c a c b a b c c a a b c b c a a b c b + + + + + = + + + + + = + + + + + + + b) Đối với ba số không âm 4 ( , )a b a b a b a b R + + (*) 0; 0 2 . 2 a b a b ab + Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b = 3 0; 0; 0 3 3 a b c a b c abc + + Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c = = Giáo án Đại Số 10 ******************************************************************************************************** 2. Đại cơng về bất phơng trình I. Mục tiêu: - Hiểu khái niệm bất phơng trình, hai bất phơng trình tơng đơng. - Nắm đợc các phép biến đổi tơng đơng các bất phơng trình. - Nêu đợc điều kiện xác định của một bất phơng trình đã cho. - Biết cách xét xem hai bất phơng trình cho trớc có tơng đơng với nhau hay không. III. Tiến trình bài học: 1. Khái niệmbất ph ơng trình một ẩn +) Định nghĩa: (SGK-113) +) Chú ý: Trong thực hành, ta không cần viết rõ tập xác định D của BPT mà chỉ cần nêu điều kiện để x D. (Điều kiện của phơng trình) Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh CH 1 Định nghĩa phơng trình một ẩn? Nghiệm của phơng trình? CH 2: Câu hỏi tơng tự cho BPT một ẩn? Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Sách giáo khoa trang 66 HS nhớ lại kiến thức cũ trả lời. Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Định nghĩa tơng tự (SGK-113) Biểu diễn tập nghiệm của mỗi bất phơng trình sau, kí hiệu khoảng hoặc đoạn: ) 0,5 2; ) 1a x b x > Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Câu hỏi 1 Giải các bất phơng trình Chú ý khi chia cho số âm phải đổi dấu của BPT. Câu hỏi 2 Biểu diễn tập nghiệm bằng các k/h khoảng hoặc đoạn GV: Tập nghiệm của BPT có nhiều dạng khác nhau. Gợi ý trả lời câu hỏi 1 ) 4; ) 1 1a x b x< Gợi ý trả lời câu hỏi 2 [ ] ) ( ; 4); ) 1;1 .a S b S= = 2. Bất ph ơng trình t ơng đ ơng : +) Định nghĩa: (SGK-114) 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x< < Các khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao? 2 ) 2> 2 0 )( 1) 1 1 1 a x x x x b x x + > Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Câu hỏi 1 Điều kiện của các bất phơng trình thứ nhất? Câu hỏi 2 Các khẳng định đúng hay sai? Vì sao? Chỉ ra một giá trị của x mà là nghiệm của bpt thứ hai nh- ng không là nghiệm của bpt thứ nhất. Gợi ý trả lời câu hỏi 1 ) 2; ) 1a x b x Gợi ý trả lời câu hỏi 2 a) Sai, vì 1 là nghiệm của bpt thứ hai nhng không là nghiệm của bpt thứ nhất. b) Sai, tơng tự lấy giá trị 0. +) Chú ý: Nói Hai bất phơng trình tơng đơng đơng trên D Với điều kiện D, hai bất phơng trình là tơng đơng với nhau. 3. Biến đổi t ơng đ ơng các bất ph ơng trình : a) Định lí: (SGK-115) b) Ví dụ: 5 H1 H2 Gi¸o ¸n §¹i Sè 10 ******************************************************************************************************** C. H íng dÉn c«ng viÖc vÒ nhµ :  Xem l¹i bµi  Lµm bµi 21, 22, 23, 24(SGK-116) 6 Giáo án Đại Số 10 ******************************************************************************************************** 3. Bất phơng trình và hệ bất phơng trình một ẩn. I. Mục tiêu: 1.Về kiến thức : - Hiểu khái niệm bất phơng trình bậc nhất một ẩn 2.Về kỹ năng: - Biết cách giải và biện luận bất phơng trình dạng 0ax b+ < . - Có kỹ năng thành thạo trong việc biểu diễn tập nghiệm của BPT bậc nhất một ẩn trên trục số và giải và biện luận hệ bất phơng trình bậc nhất một ẩn. - Tiếp tục củng cố kỹ năng xác định hợp và giao của các khoảng, đoạn, nửa khoảng đã cho. Trọng tâm: Giải và biện luận bất phơng trình bậc nhất một ẩn chứa tham số. II. Chuẩn bị của GV và HS: 1. GV: 2. HS: - Ôn lại giải và biện luận phơng trình bậc nhất một ẩn chứa tham số - Ôn lại các kỹ năng XĐ hợp giao của các khoảng, đoạn, nửa khoảng đã cho càng thành thạo càng tốt. III. Tiến trình bài học: A. Phân phối thời l ợng Tiết 1: Mục Giải và biện luận bất phơng trình dạng 0ax b+ < . Tiết 2: Mục Giải hệ bất phơng trình bậc nhất một ẩn. B. Kiểm tra bài cũ Giải và biện luận phơng trình sau: 2 1 .mx x m+ = + Kết luận C. Nội dung bài mới: GV yêu cầu HS làm H1 Cho bất phơng trình ( 1)mx m m + a) Giải bất phơng trình với 2m = b) Giải bất phơng trình với 2m = Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Câu hỏi 1 Thay 2m = vào bất phơng trình rồi giải bất phơng trình. Hãy kết luận về tập nghiệm. Câu hỏi 2 Thay 2m = vào bất phơng trình rồi giải bất phơng trình. Hãy kết luận về tập nghiệm. Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Bất phơng trình có dạng: 2 6 3x x Tập nghiệm của bất phơng trình là: ( ;3]S = Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Bất phơng trình có dạng 2 2( 2 1) 2 1x x + + Tập nghiệm của bất phơng trình là: [1 2; ).S = + GV: Chú ý khi chia hai vế của bất phơng trình cho cùng một số âm thì phải đổi chiều của bất phơng trình. Nếu a và b là những biểu thức chứa tham số thì tập nghiệm của bất phơng trình phụ thuộc vào tham số đó. 7 * 1m Tập nghiệm cuả (2) là { } 1S m= + * 1m = Tập nghiệm cuả (2) là S R= Giáo án Đại Số 10 ******************************************************************************************************** Việc tìm tập nghiệm của một bất phơng trình tuỳ theo các giá trị của tham số gọi là giải và biện luận bất phơng trình đó. 1. Giải và biện luận bất phơng trình dạng 0ax b+ < . a.Bảng tóm tắt Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Câu hỏi 1 Khi chia hai vế của BPT cho cùng một số âm thì phải đổi chiều của BPT. Điều này dẫn đến khi giải và biện luận ta phải xét mấy t/h của a? Câu hỏi 2 Trong mỗi trờng hợp hãy kết luận về tập nghiệm của bất phơng trình. Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Xét 3 trờng hợp 0; 0; 0a a a< > = Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Xem bảng tóm tắt b. Ví dụ: GV: Yêu cầu HS thay dấu " "= trong phần kiểm tra bài cũ bằng dấu " "< . VD1: Hãy giải và biện luận bất phơng trình: 2 1 .mx x m+ < + Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Câu hỏi 1 Thay dấu bằng trong phơng trình bằng dấu <. Câu hỏi 2 Trong mỗi trờng hợp hãy kết luận về tập nghiệm của bất phơng trình. Câu hỏi 3 Từ kết quả trên, hãy suy ra tập nghiệm của bất phơng trình 2 1 .mx x m+ + Gợi ý CH1: Chú ý trong trờng hợp 1m khi chia hai vế cho 1m thì ta phải chia hai t/h 1m > và 1m < . Đó là sự khác nhau giữa giải và biện luận pt và bpt. Gợi ý CH 2; * 1m = Tập nghiệm cuả bpt là S R= * 1m > Tập nghiệm cuả bpt là ( ) ; 1S m= + * 1m < Tập nghiệm cuả bpt là ( ) 1;S m= + + Gợi ý CH3: * 1m = Tập nghiệm cuả bpt là S R = * 1m > Tập nghiệm cuả bpt là ( ] ; 1S m= + * 1m < Tập nghiệm cuả bpt là [ ) 1;S m= + + D. Củng cố: Giải và biện luận các bất phơng trình sau: 1) 2 4 3 2) ( ) 0 3) ( 1) 2mx x m m x m x m x + > + Gợi ý: 1 4 3 1 4 3 1 1) * : ; ; * : ; ; * : . 2 2 1 2 2 1 2 m m m S m S m S R m m > = + < = = = ữ 8 0 * 0 : ; * 0: ; * 0 : ) 0: ) 0 : ax b ax b b b a S a S a a a b S b S R + < < > = > = + ữ ữ = + = + < = Gi¸o ¸n §¹i Sè 10 ******************************************************************************************************** [ ) ( ] 2) * 0: ; ; * 0 : ; ; * 0 : . m S m m S m m S R > = +∞ < = −∞ = = 2 3) * 1: ; ; 1 2 * 1: ; ; 1 * 1: . m m S m m m S m m S +   > = +∞  ÷ −   +   < = −∞  ÷ −   = = ∅ E. Híng dÉn vÒ nhµ:  Lµm bµi tËp: 25, 26(SGK-121); 4.34, 4.35(SBT-10) 9 [...]... bài toán 2 ta thừa nhận rằng biểu thức T ( x; y ) = 4 x + 3 y có giá trị nhỏ nhất và giá trị ấy đạt đợc tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD (xem thêm bài đọc thêm trang 133) 12 y x =10 2x+y=14 10 9 8 y=9 D C 6 6 44 18 A B 2 2 2x+5y=30 O 5 5 x 10 7 10 15 20 Giáo án Đại Số 10 ******************************************************************************************************** Hoạt động của giáo. .. c = 9 x + 7,5 y 0 x 600 0 y 500 b) 400 x + y 100 0 Miền nghiệm là miền đa giác ABCDEF (kể cả biên) 1 x y 3x 2 12 1200 y 10 x+y=400 100 0 y=3x x=600 1 y= x 2 8 800 6 600 y=500 F A 4 400 300 2 200 -5 -500 O E D C B 100 400 500 600 5 x+y =100 0 10 1000 x 15 c) Số tiền c đạt nhỏ nhất tại điểm A (100 ;300) nên phơng án tốt nhất là dùng 100 đơn vị vitamin A và 300 đơn vị vitamin B mỗi ngày Chi... y 2 O -2 5 -5 10 x O -2 22 5 10 Giáo án Đại Số 10 ******************************************************************************************************** 4 y y 2 2 O -5 O -5 5 x a -2 10 10 a -2 -4 -4 5 -6 -6 -8 2) Cho tam thức bậc hai f ( x) = ax 2 + bx + c (a 0) Hãy mô tả vị trí đồ thị của hàm số trong các trờng hợp sau: y y y 6 4 2 4 6 4 6 2 2 O 5 10 x 15 O 5 x 10 15 O -2 5 x 10 15 -2 -2 f... 50 (SBT- 110) 17 Giáo án Đại Số 10 ******************************************************************************************************** 3 Một ví dụ áp dụng vào bài toán kinh tế: GV: Vấn đề tìm nghiệm của hệ bất phơng trình bậc nhất có liên quan chặt chẽ đến Quy hoạch tuyến tính Đó là một ngành toán học có nhiều ứng dụng trong đời sống và kinh tế Sau đây là một ví dụ đơn giản Hoạt động của giáo viên... khi nào? +) 2 +) Phát biểu lại y/c bài toán? Giải bài toán? 2 x 3 0 Ví dụ 1: Giải hệ bất phơng trình: 3 x + 5 0 x +1 > 0 10 Giáo án Đại Số 10 ****************************************************************************************************** * VD2: Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình sau có nghiệm? x + 2m 0 x + 1 > 0 (3) (4) Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Câu hỏi... cung cấp không quá 10 tấn loại I và không quá 9 tấn loại II Gợi ý trả lời câu hỏi 1 0 x 10 0 y9 (I) 2 x + y 14 2 x + 5 y 30 Tổng số tiền mua nguyên liệu: T ( x; y ) = 4 x + 3 y (triệu đồng) Bài toán đã cho trở thành tìm các số x và y thoả mãn hệ (I) để sao cho T có GTNN Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Bài toán 1: Xác định tập hợp (S) các điểm có toạ độ (x; y) thoả mãn hệ (I) Bài toán 2: Trong tất... 0; x R m = 2 : f ( x) = 6 x + 4 0 x 27 2 3 Giáo án Đại Số 10 ******************************************************************************************************** Không thoả mãn đk đề bài m2 a . bài Làm bài tập: 27, 29, 30(SGK-121); [4.36, 4.39, 4.40(SBT -107 , 108 )] 11 Giáo án Đại Số 10 *******************************************************************************************************. +) B B= khi nào? 2x - 5 = 5- 2x khi nào? +) Phát biểu lại y/c bài toán? Giải bài toán? Gợi ý trả lời câu hỏi 1 0 ( + 3 2 ] - [ - 5 3 -1 1 2 3 3 1; 2