ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 CHƯƠNG III DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Tính chất chia hết tổng:  Nếu tất số hạng tổng chia hết cho số tổng chia hết cho số  Nếu có số hạng tổng không chia hết cho mộ t số, số hạng khác chia hết cho số tổng không chia hết cho số Tính chất luỹ thừa với số mũ nguyên dương: a, b  Q, m, n  Z+, ta có: a0 = a1 = a (a ) = a m n m.n am.an = am + n (ab) = a b n n n Tính chất bất đẳng thức:  a < b  a + c < b + c;  Với c > a < b  ac < bc;  Với n  Z+ a < b  a2n + < b2n + 1; a  b  a + c < b + d; c  d   Với a > a < b  a < b ; NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 am = am – n n a a n an ( )  n (b ≠ 0) b b  Với c > a < b  ac > bc;  Với n  Z+ < a < b  a2n < b2n; 0  a  b   ac < bd; 0  c  d  a < b  a < b , a  R SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC I– PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC: Bước Kiểm tra mệnh đề với n = Bước Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k  (gọi giả thiết quy nạp), chứng minh với n = k + * Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề với số tự nhiên n  p (p số tự nhiên) thì: Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề với n = p Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k  p phải chứng minh với n = k + LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) mệnh đề với giá trị ngun dương n, ta thực sau:  Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n =  Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số ngun dương n = k tuỳ ý (k  1), chứng minh mệnh đề với n = k + Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) với với số ngun dương n  p thì: + Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề với n = p; + Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề với số ngun dương n = k  p phải chứng minh mệnh đề với n = k + NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §2 DÃY SỐ I– ĐỊNH NGHĨA: Đònh nghóa dãy số: Mỗi hàm số u xác đònh tập số nguyên dương N * gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) Kí hiệu: u: N*  R n  u(n) Người ta thường viết dãy số dạng khai triển : u1, u2, u3,…, un,…, un = u(n) viết tắt (un), gọi u1 số hạng đầu, un số hạng thứ n số hạng tổng quát dãy số Đònh nghóa dãy số hữu hạn: Mỗi hàm số u xác đònh tập M={1, 2, 3, …, m} với m N* gọi dãy số hữu hạn Dạng khai triển u1, u2, u3,…, um, u1 số hạng đầu, um số hạng cuối II– CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ: Dãy số cho công thức số hạng tổng quát : Dãy số cho phương pháp mô tả: Dãy số cho phương pháp truy hồi: III– BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA DÃY SỐ: Ví dụ: Các số hạng dãy số cho công thức u n= n 1 n biễu diễn trục số sau: 4 u4 u3 2 u2 u1 u(n) IV– DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN: Dãy số tăng, dãy số giảm:  Dãy số (un) gọi dãy số tăng ta có un+1 > un với n  N*  Dãy số (un) gọi dãy số giảm ta có un+1 < un với n  N* * Chú ý: Không phải dãy số tăng giảm Chẳng hạn, dãy số (un) với un =  3n , tức dãy số: -3, 9, -27, 81,… không tăng không giảm NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Dãy số bò chặn:  Dãy số (un) gọi bò chặn tồn số M cho un  M, n  N*  Dãy số (un) gọi bò chặn tồn số m cho un  m, n  N*  Dãy số (un) gọi bò chặn vừa bò chặn vừa bò chặn dưới, tức tồn số m, M cho m  un  M , n  N* LÝ THUYẾT & BÀI TẬP Dãy số u: * n u(n) Dạng khai triển: (un) = u1, u2, …, un, … Dãy số tăng, dãy số giảm  (un) dãy số tăng  un+1 > un với  n  N*  un+1 – un > với nN* un1  (un) dãy số giảm  un+1 < un với n  N*  un+1 – un< với  n  N*  Dãy số bị chặn  (un) dãy số bị chặn  (un) dãy số bị chặn  (un) dãy số bị chặn NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 un  với un1 un n  N* ( un > 0)  với n N* (un > 0)  M  R: un  M, n  N*  m  R: un  m, n  N*  m, M  R: m  un  M, n  N* SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §3 CẤP SỐ CỘNG I– ĐỊNH NGHĨA:  Cấp số cộng dãy số (hữu hạn vô hạn), kể từ số hạng thứ hai, số hạng số hạng đứng trước cộng với số không đổi d  Số d gọi công sai cấp số cộng  Nếu (un) cấp số cộng với công sai d , ta có công thức truy hồi: un+1= un + d với n  N*  Đặc biệt d = cấp số cộng dãy số không đổi (tất số hạng nhau) II– SỐ HẠNG TỔNG QUÁT: Đònh lí: Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 công sai d số hạng tổng quát un xác đònh công thức: un = u1 + (n – 1)d với n  III– TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG: Đònh lí: Trong cấp số cộng, số hạng (trừ số hạng đầu cuối) trung bình cộng hai số hạng đứng kề với nó, nghóa uk = uk 1  uk 1 với k  2 IV– TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG: Đònh lí: Cho cấp số cộng (un) Đặt Sn = u1 + u2 + u3 +…+ un Khi đó: Sn = n(u1  un ) * Chú ý: Vì un = u1 + (n – 1)d nên công thức viết: Sn = nu1 + NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 n(n  1) d SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §4 CẤP SỐ NHÂN I– ĐỊNH NGHĨA:  Cấp số nhân dãy số (hữu hạn vô hạn), kể từ số hạng thứ hai, số hạng tích số hạng đứng trước vớ i số không đổi q  Số q gọi công bội cấp số nhân  Nếu (un) cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: un 1  un q với n  N* * Đặc biệt: Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u1, 0, 0,…,0,… Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u1, u1, u1,…, u1,… Khi u1 = với q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0,…, 0,… II– SỐ HẠNG TỔNG QUÁT: Đònh lí: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 công bội q số hạng tổng quát un xác đònh công thức: un  u1.q n 1 với n  III– TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ NHÂN: Đònh lí: Trong cấp số nhân, bình phương số hạng (trừ số hạng đầu cuối) tích hai số hạng đứng kề với nó, nghóa là: uk2  uk 1.uk 1 (hay uk  uk 1.uk 1 ) với k  IV– TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN: Đònh lí: Cho cấp số nhân (un) với công bội q  Đặt Sn  u1  u2   un Khi đó: Sn  u1 (1  q n ) 1 q  Chú ý: Nếu q = cấp số nhân u1, u1, u1,…, u1,… Khi Sn = n.u1 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ... dụ: Các số hạng dãy số cho công thức u n= n 1 n biễu diễn trục số sau: 4 u4 u3 2 u2 u1 u(n) IV– DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN: Dãy số tăng, dãy số giảm:  Dãy số (un) gọi dãy số tăng... số hạng đầu, um số hạng cuối II– CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ: Dãy số cho công thức số hạng tổng quát : Dãy số cho phương pháp mô tả: Dãy số cho phương pháp truy hồi: III– BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA DÃY SỐ:... un+1 > un với n  N*  Dãy số (un) gọi dãy số giảm ta có un+1 < un với n  N* * Chú ý: Không phải dãy số tăng giảm Chẳng hạn, dãy số (un) với un =  3n , tức dãy số: -3 , 9, -2 7, 81,… không tăng