SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI TRƢỜNG THPT SỐ BÁT XÁT  ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: PHÁT HIỆN VÀ KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN CỦA HỌC SINH THPT Họ tên: Chức vụ: Chuyên môn: Đơn vị: NGUYỄN DUY LONG Phó Hiệu trƣởng Toán học Trƣờng THPT số Bát Xát Bát Xát, tháng năm 2014 Phát khắc phục số sai lầm giải toán học sinh THPT MỤC LỤC NỘI DUNG TRANG ĐẶT VẤN ĐỀ 2 NỘI DUNG ĐỀ TÀI 2.1 CỞ SỞ LÝ LUẬN 2.1.1 Yêu cầu lời giải toán 2.1.2 Các tìm lời giải 2.1.3 Kiểm tra lời giải 2.2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ 2.2.1 Sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng 2.2.2 Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt 2.2.3 Sai lầm nắm khái niệm Toán học 2.2.4 Sai lầm liên quan đến sử dụng định lý 11 2.2.5 Sai lầm liên quan đến thao tác tư 12 2.2.6 Sai lầm liên quan đến nhận thức tương ứng 14 2.2.7 Sai lầm liên quan đến chủ nghĩa hình thức 15 2.2.8 Sai lầm liên quan đến chuyển đổi toán 16 2.2.9 Sai lầm liên quan đến suy luận 19 2.3 CÁC GIẢI PHÁP 20 2.3.1 Quan điểm 20 2.3.2 Quan điểm 21 2.3.3 Quan điểm 21 2.4 HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI 22 KẾT LUẬN 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO 25 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Duy Long Phát khắc phục số sai lầm giải toán học sinh THPT ĐẶT VẤN ĐỀ Hiện nay, thực tế sống nói chung toán học nói riêng đòi hỏi tốc độ độ xác cao Trong toán học, muốn giải toán trước hết phải có nhận định đắn toán Tuy nhiên, thực tiễn cho thấy lực giải toán học sinh hạn chế học sinh mắc nhiều sai lầm Có nhiều nguyên nhân dẫn tới tình trạng này, phải kể đến việc học sinh không chịu khó đào sâu suy nghĩ thầy cô giáo kịp thời phát khắc phục nhận định sai lầm cho học sinh Vì điều nên học sinh nhiều gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm Từ phân tích đây, với kinh nghiệm 10 năm giảng dạy trường THPT số Bát Xát, nghiên cứu đề tài: “Phát khắc phục số sai lầm giải toán học sinh THPT” nhằm giúp em học sinh nhà trường khắc phục sai lầm mình, đặc biệt em học sinh chuẩn bị thi tốt nghiệp, Cao đẳng-Đại học năm 2014 Tôi xin chân thành cảm ơn cộng tác giúp đỡ thầy cô giáo nhà trường, đặc biệt thầy cô nhóm Toán thời gian nghiên cứu tiến hành áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Dù thân tác giả cố gắng việc tham khảo lượng lớn kiến thức từ tài liệu cũ chắn đề tài nghiên cứu không tránh khỏi thiếu sót kinh nghiệm kiến thức hạn chế Tác giả mong nhận góp ý quý báu quý đồng nghiệp Bát Xát, tháng năm 2014 Tác giả Nguyễn Duy Long Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Duy Long Phát khắc phục số sai lầm giải toán học sinh THPT NỘI DUNG ĐỀ TÀI CƠ SỞ LÝ LUẬN Mỗi loại toán có cách giải khác nhau, đường tìm đến kết hầu hết phải đảm bảo điều sau: 2.1.1 Yêu cầu lời giải toán: - Kết xác - Lập luận lôgíc có xác Ngoài ra, toán có nhiều cách giải phải nêu cách giải ngắn gọn, trình bày hợp lý dễ hiểu 2.1.2 Các tìm lời giải: - Bài toán thuộc dạng biết - Giả thiết kết luận toán - Các kiến thức kiến thức liên quan để giải toán 2.1.3 Kiểm tra lời giải - Sau có lời giải, phải tiến hành kiểm đáp án, lời giải Sau tìm hướng khác giải toán so sánh với lời giải vừa tìm tính xác, tính ngắn gọn dễ hiểu 2.2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Với thời gian giảng dạy 10 năm trường THPT số Bát Xát, thấy có nhiều sai lầm học sinh phổ biến từ khóa đến khóa khác Cụ thể sau: 2.2.1 Sai lầm liên quan đến phân chia trƣờng hợp riêng Học sinh thường gặp khó khăn sai lầm sau giải toán có liên quan đến việc phân chia trường hợp 2.2.1.1 Không nắm vững chất tham số, không hiểu nghĩa cụm từ “giải biện luận”, lẫn lộn “biện luận theo m” “tìm m” Khi giải biện luận phương trình (bất phương trình) có tham số m, nhiều học sinh quy tìm m để phương trình (bất phương trình) có nghiệm Ví dụ 1: Giải biện luận phương trình: x   x  m Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Duy Long Phát khắc phục số sai lầm giải toán học sinh THPT Sai lầm: Có học sinh giải sau: với x  nghiệm phương trình x  m  1; với x < nghiệm phương trình x  m 1 Lời bình: Học sinh dù nắm khái niệm giá trị tuyệt đối chưa ý thức rằng, tham số xem số biết chưa rõ cụ thể bao nhiêu, không m – lớn 1; m 1 nhỏ Ví dụ 2: Giải biện luận bất phương trình: m(x – m + 3)  m(x - 2) + Sai lầm: Bất phương trình  mx - m2 + 3m  mx - 2m +6  m2 – 5m +    m  Vậy nghiệm bất phương trình là:  m  Lời bình: Thực  m  điều kiện để bất phương trình có nghiệm nghiệm bất phương trình Khi m nằm [2; 3] bất phương trình vô nghiệm ta phải đề cập đến trường hợp khâu biện luận 2.2.1.2 Không ý thức suy biến tham số, áp dụng thuật giải cách máy móc vào trường hợp không thuộc hệ thống Ví dụ 3: Giải biện luận bất phương trình: x  3x  2a  x  2ax  Sai lầm: Có học sinh giải sau: bất phương trình tương đương với: x2 – 3x + 2a  x2 + 2ax +  x(2a + 3)  2a -5  x  2a  2a  Lời bình: Với cách giải cho thấy học sinh chưa nắm vững khái niệm giá trị tuyệt đối, mặt khác chưa nắm vững điều kiện để thực phép biến đổi tương đương bất phương trình 2.2.1.3 Nắm không xác điều kiện để thực phép biến đổi tương đương Ví dụ 4: Tìm m cho phương trình sau có nghiệm nhất: lg(x2 + 2mx) - lg(x - 1) = (1) Sai lầm: (1)  lg(x2 + 2mx) = lg(x - 1)  x2 + 2mx = x – (2) Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Duy Long Phát khắc phục số sai lầm giải toán học sinh THPT  x2 + x(2m - 1) + = Phương trình có nghiệm  =  m   m  Lời bình: Thực phương trình (1) cho tương đương với phương  x  2mx  trình: x + 2mx = x – (2) với điều kiện  , hay nói gọn là, x    phương trình (1) tương đương với phương trình (2) với điều kiện x > Do phải nói: phương trình x2 + x(2m - 1) + = có    nghiệm x > 1, từ chuyển xét hai trường hợp:  b  2a     học sinh lại nói: phương trình x2 + x(2m - 1) + = có  x2   x1 nghiệm 2.2.1.4 Không biết tìm tiêu chí làm sở cho phân chia Ví dụ 5: Giải biện luận theo tham số a bất phương trình: x  a  x  2a  x  3a (1) Sai lầm: Gặp toán này, học sinh nên phân chia tham số a thành trường hợp Nhiều học sinh ngỡ số: a, 2a, 3a dĩ nhiên 3a lớn nhất, điều kiện bất phương trình x > 3a biến đổi: (1)  x  a  x  2a  x  3a  4a  x   x  2a  x  3a  3a  x  4a 3a  x  4a    a  a 62 3x  12ax  8a  x  6      Lời bình: TH 1: Nếu a = 0, bất phương trình (1) vô nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Duy Long Phát khắc phục số sai lầm giải toán học sinh THPT TH 2: Nếu a > 0, điều kiện x x  3a, bất phương trình tương đương với 4a - x >  x  2a  x  3a  3a  x  4a (2)   2 3x  12ax  8a  (2), a > nên  3a  x  a(6  3) TH 3: Nếu a < 0, điều kiện x x ≥ a, (1) tương đương với 4a – x >2  x  2a  x  3a  Vì a < x ≥ a nên 4a  x  3a  (a  x)  , bất phương trình vô nghiệm Việc phân chia trường hợp a = 0; a < 0; a > phần quan trọng vào việc tìm điều kiện chung để thay cho điều kiện: x  a ; x  2a ; x  3a Phần sau đề tài trở lại vấn đề 2.2.1.5 Do hiểu sai yêu cầu toán nên phân chia thiếu trường hợp Ví dụ 6: Tìm m cho phương trình: x2  (2m  1) x  m2  có nghiệm thỏa mãn x > Sai lầm: Có nhiều học sinh lập luận: yêu cầu toán tương đương với phương trình có nghiệm kép lớn  m        S    m   Không tồn m Lại có học sinh lập luận rằng: phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện nghiệm lớn 3: af (3)   x1 ≤ < x   S   m   điều kiện cần tìm   Lời bình: Theo kiểu thứ học sinh phiên dịch sai yêu cầu toán, với cụm từ “chỉ có nghiệm lớn 3”, học sinh đồng với “có hai nghiệm lớn 3” Theo kiểu thứ học sinh gộp hai trường hợp Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Duy Long Phát khắc phục số sai lầm giải toán học sinh THPT x1   x2  x1  x2 thành trường hợp x1   x2 Tuy nhiên viết điều kiện bỏ sót trường hợp x1  S   x2 Ngoài sai lầm thì, phân chia trường hợp riêng, học sinh mắc nhiều sai lầm khác, chẳng hạn, trình phân chia bỏ sót trường hợp; phân chia trồng chéo; trùng lặp mắc phải sai lầm biến đổi tính toán 2.2.2 Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt Học sinh thường mắc phải kiểu sai lầm ngôn ngữ phổ biến sau: 2.2.2.1 Sai lầm cú pháp ngữ nghĩa Không học sinh cho rằng: a2  a ; m a n a  m n a ;  a b    a  b 2  a  b; logc  a.b   logc a.logcb ; (-x)n = - xn (không cần ý tới n chẵn, n lẻ); 1  cos 2 x f ( x)  ; cos x = , f ( x) 1 Có tượng học sinh biến đổi chưa nắm kiến thức cách thực thụ Ví dụ 7: Nhiều công thức phát biểu cách “vần” “lim tổng tổng lim; lim tích tích lim; đạo hàm tích tích đạo hàm; tích hàm số đồng biến hàm đồng biến”; “cos đối, sin bù, phụ chéo” học sinh nắm kiến thức theo kiểu hành văn không hiểu chất Toán học Ví dụ 8: Dấu “=” có nhiều hình thái sử dụng đồng nhất, toàn đẳng, thay đổi, hành động cần tiến hành, Trong trường hợp nói riêng ta nói tới dấu “=” nguyên hàm Vì mang phong cách “vần” nên học sinh dễ nhớ  f ( x)dx   g ( x)dx    f ( x)  g ( x)dx , Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Duy Long Phát khắc phục số sai lầm giải toán học sinh THPT học sinh hiểu chất dấu “=” Trong hoàn cảnh học sinh nắm cú pháp cách hình thức không hiểu ngữ nghĩa học sinh không hiểu I = + I ? Chẳng hạn, tính Đặt u = dx dx  x.ln x , có học sinh giải sau: Kí hiệu I =  x.ln x dx dx ; v = lnx  dv   du  ln x x(ln x) x Theo công thức nguyên hàm phần I =  udv  uv   vdu ta có I=  1  ln x   ln x.  dx , suy I = 1+ I (?)  ln x x (ln x )   Đã có vô lí, lẽ dấu “=” hoàn cảnh hai tập hợp: I tập hợp hàm, mà I + tập hợp hàm Hơn với cách giải không đến kết Trong thực tế dạy học, ta bắt gặp tượng, toán tìm nguyên hàm với hai cách giải khác cho kết khác nhau, nên dẫn đến hoài nghi hai kết Khi hai người chọn hai kết F(x) + C G(x) + C, G(x) F(x) mang hình thức khác chúng sai khác số Điều hay gặp hàm lượng giác ngược Có nhiều học sinh “nắm được” cú pháp cách hình thức không hẳn hiểu ngữ nghĩa kí hiệu toán học 2.2.2.2 Lẫn lộn đối tượng định nghĩa đối tượng dùng để đối tượng Ví dụ 9: Học sinh thường hay nói “Tổ hợp chập k n Cnk ”, hoặc, “Chỉnh hợp chập k n Ank ”; “mặt phẳng (P) Ax + By + Cz + D = 0” 2.2.2.3 Áp đặt tính chất liên quan đến khái niệm cho khái niệm khác có từ gần giống Ví dụ 10: Học sinh nghĩ: “Tổng hai hàm số lẻ hàm số chẵn” bắt chước tính chất “Tổng hai số lẻ số chẵn”, xuất phát từ tính chất số nguyên không chẵn lẻ, nên nghĩ chẳng có hàm vừa không chẵn, vừa không lẻ Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Duy Long Phát khắc phục số sai lầm giải toán học sinh THPT 2.2.2.4 Lạm dụng thuật ngữ kí hiệu Toán học để thay số từ ngôn ngữ tự nhiên Ví dụ 11: a Đa thức có hệ số bậc < (đa thức có hệ số bậc ba âm) b Giá trị hàm số f(x) x = - = (f(- 2) = 3) c  ngày  ngày (một ngày ngày) 2.2.2.5 Ảnh hưởng thói quen ngôn ngữ không đắn Ví dụ 12: Không ý tới dấu x nên học sinh viết cho x  x ; học sinh 36   Ở lớp học sinh biết số a > có hai bậc hai đọc căn, dùng dấu phải quan niệm bậc hai số học, nghĩa giá trị dương hai giá trị Đáng lẽ ra, viết dấu căn, giáo viên đọc cách đầy đủ bậc hai số học 36 Tuy nhiên theo thói quen giáo viên thường nói vắn tắt 16 2.2.2.6 Đồng ngôn ngữ có nội dung gần giống Ví dụ 13: Lẫn lộn cụm từ “điểm cực trị” ; “cực trị” “giá trị cực trị”, dễ sai lầm giải Toán chẳng hạn, toán: Tìm a, b để cực trị hàm số y = 5 a x  ax  x  b số dương x0   điểm cực trị Học sinh dễ mắc mớ rằng, cực trị số dương lại thêm giả thiết điểm cực trị mang giá trị âm, phải đề không đúng? 2.2.3 Sai lầm nắm khái niệm Toán học Thực tiễn sư phạm cho thấy trình vận dụng khái niệm, việc không nắm vững nội hàm ngoại diên khái niệm dẫn tới học sinh hiểu không trọn vẹn, chí hiểu sai lệch chất khái niệm Mặt khác, nhiều khái niệm Toán học mở rộng thu hẹp khái niệm trước đó, việc không nắm hiểu không khái niệm có liên quan làm học sinh không hiểu, biểu tượng khái niệm Sai lầm khái niệm Toán học (đặc biệt khái niệm ban đầu có tính chất tảng) dẫn đến hệ tất yếu học toán Vì nói “mất gốc” học sinh kiến thức Toán học trước hết coi “mất gốc” Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Duy Long Phát khắc phục số sai lầm giải toán học sinh THPT minh hai nguyên hàm nhau, tức phải theo nguyên tắc chứng minh hai tập hợp Do không nắm vững khái niệm đường cong mặt phẳng tọa độ đồ thị hàm số nên học sinh xem parabol hình học giải tích có phương trình y = x đồ thị hàm số ngược hàm số y = x , tìm tiếp tuyến đường cong đường tròn có phương trình  x  a    y  b   R không 2 xét trường hợp tiếp tuyến vuông góc với Ox x = a  R mà xét tiếp tuyến có dạng y = ax + b đồ thị hàm số nên thiếu trường hợp Ta biết đồ thị hàm số đường cong mặt phẳng tọa độ không hẳn đường cong mặt phẳng tọa độ đồ thị hàm số Căn vào định nghĩa hàm số ta có: mặt phẳng tọa độ đường cong (C) đồ thị hàm số y = f(x) với x0 thuộc tập xác định hàm số đường thẳng x = x0 song song với Oy cắt (C) điểm Nắm khái niệm hàm số; khái niệm giới hạn hàm số cách hình thức nên không học sinh cho kí hiệu f(x) kí hiệu tích hai đại lượng fx, xem     ; 0.  0; 1  2.2.4 Sai lầm liên quan đến sử dụng định lí Cấu trúc thông thường định lí có dạng A  B A giả thiết định lí, B kết luận định lí Sai lầm phổ biến học định lí xem thường ngôn ngữ điều kiện giả thiết A nên suy kết luận sai lầm: A suy B; A suy B; sử dụng định lí tương tự chưa Không nắm vững kết luận B nên sử dụng B mà không nhớ A; có B suy có A; có A suy B, mà trọng tới phương pháp giải Toán Do trình áp dụng vào giải Toán học sinh hay áp dụng thiếu điều kiện sử dụng không xác; sử dụng định lí định nghĩa Đặc biệt định lí học sinh bị “mất gốc” không hiểu chất nên sử dụng định lí không hiểu rõ phạm vi sử dụng định lí Sáng kiến kinh nghiệm 11 Nguyễn Duy Long Phát khắc phục số sai lầm giải toán học sinh THPT Ví dụ 15: Tính tích phân I = dx   x  1 2 Sai lầm: I = dx 2  x  12  d ( x  1)   x  1 - 2 Lời bình: Ta thấy hàm số y  gián đoạn x = -1   2; 2  x  1 nên không sử dụng công thức Niutơn – Lepnít để tính tích phân Giả thiết công thức Niutơn – Lapnít hàm số y = f(x) liên tục [a; b] nên cách giải thiếu việc kiểm tra điều kiện áp dụng định lí Thực tích phân không tồn 1  2  n  1  Ví dụ 16: Tìm giới hạn: I = lim sin  sin   sin n  n n n n  sin Sai lầm: Ta có lim n  n  n  , , lim n   n  1 2 sin n n  0, , lim  n  n n sin Nên I = + + + = Lời bình: Định lí giới hạn tổng, hiệu, tích, thương dãy phát biểu cho số hữu hạn dãy, dãy phải có giới hạn, học sinh áp dụng cho tổng vô hạn 1  2  n  1  , Lời giải là: Đặt An  sin  sin   sin n n n n  ta có: 2nAn sin   = n    2   n  1  2sin sin  2sin sin   2sin sin  2n n 2n n 2n n     3   3 5   2n  3  cos  2n  1  =  = cos  cos   cos  cos    cos 2n 2n   2n 2n  2n 2n    = 2sin  n  1 2n Sáng kiến kinh nghiệm 12 Nguyễn Duy Long Phát khắc phục số sai lầm giải toán học sinh THPT Nên  n  1  2sin 2n  lim A  lim 2n sin  n  1   1.sin   , An  n n  n    sin  2n   2n.sin 2n 2n lời giải sai học sinh 2.2.5 Sai lầm liên quan đến thao tác tƣ Ví dụ 16: Chứng minh bất đẳng thức: a  b2  c  d  e2  a b  c  d  e  (1) với a, b, c, d, e R Xin nêu hai cách giải cho toán trước hết mục đích tìm cho nhiều lời giải, mà với cách giải gợi lên phương hướng tổng quát hóa toán: Cách 1: Ta có a  b2  c  d  e2  a b  c  d  e   2 2 a  a  a  a     b +  c    d    e  2  2  2   2 Cách 2: Xét hiệu f(a) = a  a  b  c  d  e   b2  c  d  e2 tam thức bậc hai a có    b  c  d  e    b2  c  d  e2  Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta được:   , từ suy đpcm Học sinh tổng quát hóa toán từ cách giải sau: Do a số cố định nên mở rộng cho n số hạng ta được: a  a12  a22   an2  a  a1  a2   an  với a, a1 , a2 , an  R Lời bình: Với cách giải tương tự Xét hiệu: f(a) = a  a12  a22   an2  a  a1  a2   an  = a  a  a1  a2   an   a12  a22   an2 Đây tam thức bậc hai a Muốn tam thức không âm     a1  a2   an    a12  a22   an2   (1) Theo Bất đẳng thức Bunhiacôpxki thì: (1)  12  12   12  a12  a22   an2    a1  a2   an   n  a12  a22   an2    a1  a2   an  Sáng kiến kinh nghiệm 13 Nguyễn Duy Long Phát khắc phục số sai lầm giải toán học sinh THPT  n  a12  a22   an2    a1  a2   an   Nếu n    a1  a2   an    a12  a22   an2    a  a2   an   n  a12  a22   an2    (1) thỏa mãn ai Nhưng với n > 4, chọn a1  a2   an    n2  4n  nên tồn giá trị a làm cho giá trị tam thức f(a) âm, cụ thể ta lấy a n n2 n n n f(a) = f     n     n   (vì n > 4) nên bất 2 2 đẳng thức tổng quát hóa không Vậy toán tổng quát nào? Ta trở lại với cách giải vế trái có a   lặp lại bốn lần cộng lại a Nhưng số hạng vế trái nhiều 2 hay phân tích không nữa, tăng số hạng lên n số  a  cần phải có n lần   có tổng a , với cách viết tương tự ta  n 2  a   a   a   a1     a2   …   an   được:   n   n   n  Vậy bất đẳng thức tổng quát là: a  a12  a22   an2  a  a1  a2   an  n 2.2.6 Sai lầm liên quan đến nhận thức tƣơng ứng Khi làm toán có liên quan đến tư hàm, học sinh hay sai lầm việc phát hiện, thiết lập tương ứng đối tượng tham gia toán, đặc biệt bật toán hàm số, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có chứa tham số, cần đặt ẩn phụ Ví dụ 17: Tìm m điều kiện để phương trình sau có nghiệm: x 1   x   x  13  x   m (1) Sai lầm: Bài toán có nhiều hướng giải, nhiên chọn ẩn phụ: Sáng kiến kinh nghiệm 14 Nguyễn Duy Long Phát khắc phục số sai lầm giải toán học sinh THPT t= x    x với x  1; 3 , toán trở thành: tìm m để phương trình t  2t  2m   có nghiệm Vì cần phải đặt điều kiện cho ẩn phụ Học sinh lí giải sau: +) Do t tổng hai bậc hai nên t ≥ x  +) Do  thay vào t ta có: x  t   t   +) Do t  , áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta t  nên điều kiện t t   0; 2 Lời bình: Với ba phương án điều kiện ẩn phụ trên, học sinh có sai lầm không nhận thấy tương ứng ẩn t ẩn x Lẽ điều kiện t t  2; 2 2.2.7 Sai lầm liên quan đến “chủ nghĩa hình thức” Ví dụ 18: Tìm m để hàm số y  x3   m  1 x   2m  3 x  đồng biến với x > Sai lầm: Bài toán trở thành tìm m để : y ,  f ( x)  3x  x  m  1  2m   với x > Ta có ,  m2  4m  10  với m nên tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 Vậy y,   x   ; x1    x2 ;    , mặt khác theo giả thiết 3 f (3)   x > có f(x)  nên ta suy x1  x2    S   Lời bình: Thực tiễn dạy học cho thấy: học sinh không nắm lược đồ giải dạng toán trên, giáo viên không làm rõ lí vị trí tương đối x1; x1;  ;  này, khác, dù có giáo viên làm mẫu số đến lượt học sinh, cần thay đổi chút thôi, ví lúc làm mẫu 3;     3;    họ gặp sai lầm! Vì họ sai lầm? đơn giản họ nghĩ rằng: Với 3;    Sáng kiến kinh nghiệm 15 Nguyễn Duy Long Phát khắc phục số sai lầm giải toán học sinh THPT x1 < x2  , với  3;    không dấu “=” nữa, phải bỏ dấu “=” x1 < x2  để thành x1 < x2 < (!?) Thực ra, nắm vững kiến thức tập hợp lôgíc, thông thạo cách biểu diễn tập nghiệm trục số, học sinh dễ nhận thức rằng: trường hợp bây giờ, ta có  ; x1    x2 ;    chứa  3;    , biểu diễn trục số: x1 x2 ta có x1 < x2  (bởi, cho dù x2 =  x2 ;    chứa  3;    ) Lẽ giải toán sau: Ta có ,  m2  4m  10 , ta thấy ,  m  R f(x) có hai nghiệm phân biệt, kí hiệu hai nghiệm x1, x2 với x1 < x2 Theo Định lí thuận f(x)  tương đương với x  ; x1    x2 ;    , mặt khác theo giả thiết x  có f(x)  0, x  3;    x  ; x1    x2 ;    Bằng minh họa trục số, ta suy x1 < x2  3 x1 x2 3 f (3)  15   S  m    2.2.8 Sai lầm liên quan đến chuyển đổi toán 2.2.8.1 Do đặt điều kiện ẩn phụ Khi đặt ẩn phụ thường lãng quên đặt điều kiện ẩn phụ, cho rằng, phương trình f(x) = có nghiệm phương trình g(t) = có nghiệm, g(t) biểu thức thu từ f(x) thông qua phép đặt ẩn phụ t   ( x) Nói cách khác, phương trình xuất phát có dạng f[g(x)] học sinh thường đặt t = g(x) để đưa phương trình f(t) = 0, quan niệm rằng, phương trình f[g(x)] = có nghiệm f(t) = có nghiệm Ví dụ 19: Tìm m để phương trình: 4x 2 x2  m.2x 2 x3  3m   vô 2 nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm 16 Nguyễn Duy Long Phát khắc phục số sai lầm giải toán học sinh THPT Sai lầm: Đặt t = x 2 x2 Yêu cầu toán trở thành tìm m để phương trình : f(t)= t  2mt  3m   (*) vô nghiệm   ,    m  Lời bình: Học sinh không đặt điều kiện cho ẩn phụ t dẫn đến xét thiếu trường hợp Điều kiện t t  nên toán trở thành tìm m để (*) nghiệm thỏa mãn t  TH 1: ,    m    ,   TH 2: f(t) có nghiệm t1 ≤ t2 <  a f (2)   m  S  2 2 Vậy với m < phương trình vô nghiệm Khi đặt ẩn phụ, có đặt điều kiện, điều kiện hẹp rộng không sát, đặt ẩn phụ t =  ( x) để đưa phương trình ẩn t, nhiên học sinh đưa điều kiện cần t, điều kiện cần đủ 2.2.8.2 Do không nắm vững phép biến đổi tương đương Ví dụ 20: Giải bất phương trình  x  3x  x  3x   Sai lầm: Bất phương trình tương đương với:  x  2 x  3x    x   x    2  x    x  3x   x   x   Lời bình: Phép biến đổi bỏ sót nghiệm x = Bất phương trình cho tương đương với: x   x   x  x  x  x     2 x   x    x  x  x  x     Sáng kiến kinh nghiệm 17 Nguyễn Duy Long Phát khắc phục số sai lầm giải toán học sinh THPT Trong dạy học biến đổi phương trình, học sinh hay sai lầm lũy thừa hai vế biểu thức có chứa bậc chẵn, dường bậc lẻ điều phải bàn thêm Nhưng thực tế không Xét ví dụ sau: 2.2.8.3 Sai lầm chuyển đổi sai đối tượng toán học Ví dụ 21: Tìm giá trị nhỏ hàm số f(x) = x  x   x  3x  x R Sai lầm: f(x) = 2  1  3 3 1    x    x   2      2 1 3  1 ;  ; M (x; 0) Trong hệ trục tọa độ 0xy, xét điểm A  ; , B  2 2    f(x) = MA + MB Theo bất đẳng thức tam giác MA + MB ≥ AB, mà AB =   Nên minf(x) =  1  1 Lời bình: Sai lầm chuyển đổi từ toán đại số sang hình học, học 1 3 sinh không ý thức vị trí tồn M Nên chọn điểm A  ; , B 2    1 ;  hai điểm phía so với trục hoành Đoạn thẳng AB không cắt  2  trục x ' Ox chứa 0x nên bất đẳng thức MA + MB ≥ AB không xẩy không tồn điểm M  x cho: M0A + M0B = AB Để tránh sai lầm chuyển đổi toán sang sử dụng công cụ tọa độ cần phải lưu ý: Trong mặt phẳng cho hai điểm A, B đường thẳng d qua M Khi đó: Nếu A, B phía so với d MA + MB đạt giá trị nhỏ M giao điểm AB1 với đường thẳng d, B1 điểm đối xứng với B qua d, MA + MB = AB1 Nếu A, B khác phía so với đường thẳng d MA + MB đạt giá trị nhỏ M giao điểm AB với d Sáng kiến kinh nghiệm 18 Nguyễn Duy Long Phát khắc phục số sai lầm giải toán học sinh THPT 1 3  1 Bài toán phải giải là: chọn A  ; ;   C (x; 0),  ; B 2 2    2  1  3 ta có f(x) = MA + MB ≥ AB1, AB1          2 2     nên f(x)  , dấu xẩy x =  2.2.9 Những sai lầm liên quan đến suy luận Suy luận hình thức tư Suy luận trình suy nghĩ để rút mệnh đề từ nhiều mệnh đề cho Một suy luận thường có cấu trúc logic A  B , A tiền đề, B kết luận Cấu trúc logic phản ánh cách thức rút kết luận tức cách lập luận Học sinh thiếu kiến thức logic, sử dụng mệnh đề sai ngộ nhận mệnh đề đúng, đánh tráo luận đề mắc sai lầm suy luận Sai lầm suy luận giải Toán có kiểu sai lầm sau: 2.2.9.1 Sai lầm luận Sai lầm thuộc loại trực giác: dựa vào mệnh đề sai ngộ nhận, mệnh đề chưa chứng minh đúng, dựa vào mệnh đề tương đương với mệnh đề cần chứng minh Ví dụ 22 : Tìm m để f(x) =  m  1 x   m  1 x  3m   x a  Sai lầm: Để f(x) ≥ x   ,  m    Lời bình: Kết cách ngẫu nhiên Về nguyên tắc ta phải xét riêng trường hợp hệ số bậc Chỉ khác ta dùng mệnh đề 2.2.9.2 Sai lầm luận đề Sai lầm chủ yếu đánh tráo luận đề, thay mệnh đề cần chứng minh mệnh đề không tương đương Ví dụ 23: Tìm m để phương trình 25 x  2.5 x 1   2m  (1) có nghiệm Sai lầm: Đặt x  t  Phương trình có nghiệm (1)  f (t )  t  4t   2m  (2) có nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm 19 Nguyễn Duy Long Phát khắc phục số sai lầm giải toán học sinh THPT   ,  2m    t >   t1  t2   P   2m     m  điều kiện cần tìm 2 S    Cũng nhiều học sinh lập luận phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) t2 – 4t + – 2m = có nghiệm  ,   2m   m   Nguyên nhân dẫn đến sai lầm chuyển đổi toán sang toán không tương đương Như vậy, qua số ví dụ, làm sáng tỏ nhiều kiểu sai lầm học sinh Trung học phổ thông giải Toán Đại số Giải tích, đồng thời phân tích nguyên nhân dẫn tới sai lầm 2.3 CÁC GIẢI PHÁP Một số ví dụ đưa lời bình, cách khắc phục cho nhận định sai lầm học sinh giải toán Các sai lầm không xảy học sinh yếu hay trung bình mà học sinh thi học sinh giỏi mắc phải Do đó, để khắc phục nhận định sai lầm cách có hệ thống, đưa hệ thống quan điểm sau: 2.3.1 Quan điểm 1: Trong trình truyền thụ tri thức rèn luyện kĩ toán học, cần trang bị đầy đủ, xác kiến thức Toán học, đồng thời dự đoán trƣớc khả xày sai lầm học sinh Với quan điểm trước hết, thân nhà giáo cần phải nâng cao ý thức tự bồi dưỡng chuyên môn, thường xuyên trao đổi, học hỏi đồng nghiệp rèn luyện phương pháp dạy học tích cực Trong giảng dạy, giáo viên cần lường trước khả xảy nhận định sai lầm học sinh Nếu dự đoán sai lầm chắn giáo viên chuẩn bị giảng để đề phòng trước sai lầm cho học sinh Sự chủ động đề phòng sai lầm xuất bao giời mang tính tích cực sửa chữa sau Những sai lầm học sinh khái niệm toán học mang dấu ấn khó phai công chỉnh lại cho xác Giáo viên cần nêu thí dụ để thuyết phục không dừng lại việc nhắc nhở Các thí dụ, mà đặc biệt phản thí dụ tạo ấn tượng học sinh Sáng kiến kinh nghiệm 20 Nguyễn Duy Long Phát khắc phục số sai lầm giải toán học sinh THPT Ví dụ: x x   x x0 x0 x = -x x < ( x = x = - x) Điều chứng tỏ x < điều kiện đủ điều kiện cần để tránh sai lầm cho học sinh 2.3.2 Quan điểm 2: Chú ý tới yêu cầu: tính giáo dục, tính kịp thời, tính xác trình phát sửa chữa sai lầm cho học sinh Đây khâu đòi hỏi giáo viên phải kết hợp tắc kịp thời, tính xác tính giáo dục với tích cực hoá học sinh để vận dụng hiểu biết việc kiểm tra lời giải nhằm tìm sai lầm, phân tích nguyên nhân sửa chữa lời giải Quy trình giai đoạn giáo viên theo dõi thấy sai lầm  giáo viên gợi ý để học sinh tìm sai lầm  học sinh tự tìm sai lầm  giáo viên gợi ý chỉnh lời giải  học sinh thể lời giải  giáo viên tổng kết nhấn mạnh sai lầm bị mắc Nhiều sai lầm học sinh tinh vi, có giáo viên không phát kịp thời Trường hợp phát kịp thời đòi hỏi giáo viên phải có thái độ đối xử khéo léo sư phạm để tăng hiệu giáo dục Tuỳ theo mức độ sai lầm mà giáo viên định sử dụng biện pháp sư phạm thích hợp Có giáo viên cần đưa lời giải để học sinh tự đối chiếu tìm sai lầm lời giải sai, gợi ý để học sinh nhận sai lầm Có giáo viên chủ động đưa lời giải sai để học sinh nhận dạng dấu hiệu tìm sai lầm Có giáo viên đưa nhiều lời giải khác để học sinh phân biệt sai lời giải, sử dụng phương pháp trắc nghiệm toàn lớp để học sinh phải suy nghĩ có ý kiến Ngược lại, giai đoạn giáo viên không kịp thời phân tích sửa chữa sai lầm học sinh giải toán sai lầm ngày trầm trọng, giáo viên không hoàn thành nhiệm vụ dạy học, học sinh sút kết 2.3.3 Quan điểm 3: Giáo viên kiến tạo tình dễ dẫn tới sai lầm để học sinh đƣợc thử thách với sai lầm Sáng kiến kinh nghiệm 21 Nguyễn Duy Long Phát khắc phục số sai lầm giải toán học sinh THPT “Vấp ngã lần lần sau vấp ngã, không ngã chỗ cũ nữa” Với quan điểm này, giáo viên nên chuẩn bị sẵn số phương án “bẫy” học sinh x  mx   3m2  1 x  3 để hàm số có điểm cực trị x1 , x2 cho x1 x2   x1  x2   Ví dụ 24: Cho hàm số y   C  Tìm m (Đề thi Đại học khối D năm 2012) Bài toán giải sau: y '  x  2mx   3m2  1 ; y '   x  2mx   3m2  1  (*) Một số học sinh mắc sai lầm: x1 , x2 nghiệm phương trình (*)  x1  x2  m x x   m  Áp dụng định lý Viet ta có:  Thay vào biểu thức x1 x2   x1  x2   ta tìm m  m  Chiếc bẫy gài khéo câu hỏi ghép: Tìm m để hàm số có điểm cực trị x1 , x2 cho x1 x2   x1  x2   dễ dẫn học sinh ý vào biểu thức cuối Dạng phổ biến đề thi đại học, kể chuyển sang chủ đề Tiếp tuyến đồ thị, Sự tương giao hai đồ thị Với này, để hướng học sinh quay trở lại mạch làm đúng, ta cần lưu ý: Hàm số có điểm cực trị phân biệt phương trình (*) có nghiệm  m   13 phân biệt x1 , x2   '    m    13 Với điều kiện này, rõ ràng giá trị m=0 bị loại Đáp án cuối toán m 2.4 HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI Tôi nghiên cứu áp dụng cá phương pháp trình dạy học: Ôn thi tốt nghiệp, ôn đại học, ôn thi học sinh giỏi Đối với học sinh, đa số em nhận sai lầm không mắc phải sai lầm tương tự lần sau Đối với đồng nghiệp, trao đổi, rút kinh nghiệm nhằm áp Sáng kiến kinh nghiệm 22 Nguyễn Duy Long Phát khắc phục số sai lầm giải toán học sinh THPT dụng phương pháp tiếp tục tìm tòi mảng kiến thức dễ gây nhận định sai lầm cho học sinh Từ khó khăn sai lầm học sinh giảm nhiều đặc biệt hình thành cho học sinh “phong cách” tư khác trước nhiều Học sinh bắt đầu ham thích dạng toán mà trước họ “ngại” - gặp phải thiếu sót sai lầm đứng trước dạng Tôi làm phép so sánh thời gian giải toán hai nhóm đối tượng có mức độ nhận thức nhau, nhóm có phát khắc phục nhận đinh sai lầm nhóm chưa khắc phục Kết sau: Phát khắc phục nhận định sai lầm Học sinh lớp Thời gian cho học sinh từ trước làm Đã tiến hành 12A2 12 phút Chưa tiến hành 12A3 phút Ngoài ra, điểm trung bình kiểm tra toán hai nhóm đối tượng khác Cụ thể: Phát khắc phục nhận định sai lầm cho Học sinh lớp Điểm trung học sinh từ trước bình Đã tiến hành 12A2 9,5 Chưa tiến hành 12A3 6,0 Qua nhận thấy phát khắc phục tốt nhận định sai lầm học sinh giải toán chất lượng môn nâng cao tạo hứng thú với môn toán cho học sinh Sáng kiến kinh nghiệm 23 Nguyễn Duy Long Phát khắc phục số sai lầm giải toán học sinh THPT KẾT LUẬN Sai lầm điều tránh khỏi sống! Trong toán học vậy, ta chủ quan nhìn nhận toán chưa cung cấp đủ kiến thức cần thiết điều dễ xảy Điều quan trọng ta phải biết cách hạn chế khắc phục sai xót Việc nghiên cứu đề tài vừa giúp có thêm kinh nghiệm giảng dạy, đồng thời triển khai giúp nhiều học sinh tự tin hứng thú với môn Toán Đó mong muốn người thầy đáp ứng yêu cầu xã hội Sáng kiến kinh nghiệm 24 Nguyễn Duy Long Hình Phát khắc phục số sai lầm giải toán học sinh THPT TÀI LIỆU THAM KHẢO Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, Trần Văn Vuông, 2006 Đại số 10–Nâng cao NXB Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Huy Đoan, Phạm Thị Bạch Ngọc, Đoàn Quỳnh, Đặng Hùng Thắng, Lưu Xuân Tình, 2006 Bài tập Đại số 10–Nâng cao NXB Giáo dục, Hà Nội Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, 2006 Giải tích 12-Nâng cao NXB Giáo dục, Hà Nội Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên, 2006 Sách giáo viên Đại số Giải tích 11 NXB Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang, 2002 Sai lầm phổ biến giải Toán Nxb Giáo dục, Hà Nội Sáng kiến kinh nghiệm 25 Nguyễn Duy Long [...]... đó 2.3 CÁC GIẢI PHÁP Một số ví dụ trên đã đưa ra lời bình, cũng chính là các cách khắc phục cho những nhận định sai lầm của học sinh trong giải toán Các sai lầm trên không chỉ xảy ra đối với những học sinh yếu hay trung bình mà ngay cả những học sinh thi học sinh giỏi đôi khi cũng mắc phải Do đó, để khắc phục được những nhận định sai lầm này một cách có hệ thống, chúng tôi đã đưa ra hệ thống quan điểm... định sử dụng các biện pháp sư phạm thích hợp Có khi giáo viên cần đưa ra lời giải đúng để học sinh tự đối chiếu và tìm ra sai lầm của lời giải sai, đây cũng là một gợi ý để học sinh nhận ra sai lầm Có khi giáo viên chủ động đưa ra lời giải sai để học sinh nhận dạng các dấu hiệu tìm ra sai lầm Có khi giáo viên đưa ra nhiều lời giải khác nhau để học sinh phân biệt sự đúng sai của lời giải, có thể sử dụng... sau: 2.3.1 Quan điểm 1: Trong quá trình truyền thụ tri thức và rèn luyện kĩ năng toán học, cần trang bị đầy đủ, chính xác các kiến thức Toán học, đồng thời dự đoán trƣớc các khả năng xày ra sai lầm của học sinh Với quan điểm này thì trước hết, bản thân mỗi nhà giáo cần phải nâng cao ý thức tự bồi dưỡng chuyên môn, thường xuyên trao đổi, học hỏi đồng nghiệp và rèn luyện các phương pháp dạy học tích cực... lầm cho học sinh 2.3.2 Quan điểm 2: Chú ý tới các yêu cầu: tính giáo dục, tính kịp thời, tính chính xác trong quá trình phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh Đây là khâu đòi hỏi giáo viên phải kết hợp được sự tắc kịp thời, tính chính xác và tính giáo dục cùng với sự tích cực hoá của học sinh để vận dụng các hiểu biết về việc kiểm tra lời giải nhằm tìm ra sai lầm, phân tích nguyên nhân và sửa chữa... toàn lớp để mọi học sinh đều phải suy nghĩ và có ý kiến Ngược lại, nếu giai đoạn này giáo viên không kịp thời phân tích và sửa chữa sai lầm của học sinh khi giải toán thì các sai lầm sẽ ngày càng trầm trọng, giáo viên không hoàn thành nhiệm vụ dạy học, học sinh sẽ sút kém về kết quả 2.3.3 Quan điểm 3: Giáo viên kiến tạo các tình huống dễ dẫn tới sai lầm để học sinh đƣợc thử thách với những sai lầm đó... trình dạy học: Ôn thi tốt nghiệp, ôn đại học, ôn thi học sinh giỏi Đối với học sinh, đa số các em nhận ra sai lầm của mình và không mắc phải sai lầm tương tự trong các lần sau Đối với đồng nghiệp, chúng tôi cùng trao đổi, rút kinh nghiệm nhằm áp Sáng kiến kinh nghiệm 22 Nguyễn Duy Long Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT dụng phương pháp và tiếp tục tìm tòi những mảng...  1  x  1 học sinh không thừa nhận kết quả trên là nghiệm, do lâu nay học sinh nghĩ rằng nghiệm của phương trình là các giá trị rời rạc, đơn lẻ mà không phải là một khoảng, một đoạn Học sinh không hiểu khái niệm nguyên hàm, dẫn tới việc chứng minh hệ thức giữa các nguyên hàm bằng cách chứng minh “đạo hàm hai vế bằng nhau” Lẽ ra phải hiểu rằng nguyên hàm của hàm số f(x) là một tập hợp các hàm F(x)... kiến thức dễ gây nhận định sai lầm cho học sinh Từ đó những khó khăn và sai lầm của học sinh được chỉ ra trên đây đã giảm đi rất nhiều và đặc biệt là đã hình thành được cho học sinh một “phong cách” tư duy khác trước rất nhiều Học sinh đã bắt đầu ham thích những dạng toán mà trước đây họ rất “ngại” - bởi vì luôn gặp phải những thiếu sót và sai lầm khi đứng trước các dạng đó Tôi đã làm một phép so sánh... Trong giảng dạy, giáo viên cần lường trước các khả năng xảy ra nhận định sai lầm của học sinh Nếu dự đoán được các sai lầm trên thì chắc chắn giáo viên sẽ chuẩn bị bài giảng của mình để đề phòng trước sai lầm cho học sinh Sự chủ động đề phòng sai lầm xuất hiện bao giời cũng mang tính tích cực hơn là sửa chữa sau này Những sai lầm của học sinh về khái niệm toán học mang dấu ấn khó phai và rất mất công... ánh cách thức rút ra kết luận tức là cách lập luận Học sinh thiếu kiến thức về logic, sử dụng mệnh đề sai hoặc ngộ nhận là mệnh đề đúng, đánh tráo luận đề sẽ mắc sai lầm trong suy luận Sai lầm trong suy luận khi giải Toán có các kiểu sai lầm sau: 2.2.9.1 Sai lầm về luận cứ Sai lầm thuộc loại này là do trực giác: dựa vào các mệnh đề sai do ngộ nhận, hoặc mệnh đề chưa được chứng minh là đúng, hoặc dựa vào ... dấu x nên học sinh viết cho x  x ; học sinh 36   Ở lớp học sinh biết số a > có hai bậc hai đọc căn, dùng dấu phải quan niệm bậc hai số học, nghĩa giá trị dương hai giá trị Đáng lẽ ra, viết... tích nguyên nhân dẫn tới sai lầm 2.3 CÁC GIẢI PHÁP Một số ví dụ đưa lời bình, cách khắc phục cho nhận định sai lầm học sinh giải toán Các sai lầm không xảy học sinh yếu hay trung bình mà học sinh. .. toán học sinh THPT dụng phương pháp tiếp tục tìm tòi mảng kiến thức dễ gây nhận định sai lầm cho học sinh Từ khó khăn sai lầm học sinh giảm nhiều đặc biệt hình thành cho học sinh “phong cách”