A ĐẶT VẤN ĐỀ Hình học không gian (HHKG) môn học tƣơng đối khó học sinh THPT nói chung học sinh lớp 11 nói riêng, học sinh có học lực trung bình trở xuống Những nội dung em học sinh lớp 11 thƣờng gặp khó khăn giải toán HHKG nội dung liên quan đến tính toán, chẳng hạn: tính tỉ số đoạn thẳng, tính độ dài đoạn thẳng, tính góc khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo nhau,…mà tác giả gọi “Các toán định lượng hình học không gian” Sau nhiều năm giảng dạy lớp mũi nhọn ôn thi HSG, ôn thi ĐH-CĐ, nhận thấy để có đƣợc kết tốt giảng dạy nội dung HHKG trƣờng THPT phải tạo tâm lý “thích học hình không gian” học sinh, học sinh lớp 11; phải tìm cách tiếp cận HHKG đơn giản, dễ hiễu có “thuật giải” rõ ràng để áp dụng cho nhiều tập, tránh trƣờng hợp vận dụng cách khác gây tâm lý hoang mang cho học sinh tiếp cận HHKG; phƣơng pháp giải phải gần gũi với nội dung đại số, phƣơng trình, hệ phƣơng trình – nội dung đƣợc học nhiều chƣơng trình THPT nói nội dung “sở trường”, điểm mạnh đại đa số học sinh Phƣơng pháp véc tơ đáp ứng đƣợc yêu cầu nói Tuy nhiên chƣơng trình SGK Hình học lớp 11 NC, phƣơng pháp véc tơ đƣợc đề cập hai Chƣơng III với thời lƣợng tiết so với nội dung đồ sộ phần HHKG Chính Phƣơng pháp véc tơ bị xem nhẹ, trang bị không đầy đủ, thiếu tính hệ thống làm cho học sinh vận dụng vào giải toán hình học Vì lí trên, chọn đề tài SKKN mang tên “Phát triển tƣ thuật giải, tƣ sáng tạo cho học sinh lớp 11 – THPT thông qua việc giải số toán định lƣợng hình học không gian phƣơng pháp véc tơ ” với mục đích trang bị cho học sinh kiến thức kỹ vận dụng phƣơng pháp véc tơ vào giải toán HHKG, hình thành cho học sinh phƣơng pháp tƣ thuật giải, tƣ sáng tạo, tạo tâm lý hứng thú học HHKG, góp phần nâng cao chất lƣợng dạy học HHKG trƣờng THPT nói chung nhƣ Trƣờng THPT Triệu Sơn nói riêng Đồng thời tác giả mong muốn đƣợc trao đổi ý tƣởng cách làm tới đồng nghiệp đơn vị hy vọng cách làm đƣợc tiếp tục bổ sung hoàn thiện B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CƠ SỞ LÍ LUẬN Cơ sở lý luận: Sử dụng phƣơng pháp véc tơ dạy học HHKG lớp 11 cần thiết sáng tạo lý sau: Thứ nhất: Phƣơng pháp véc tơ đƣợc đề cập Chƣơng III- SGK Hình học lớp 11 NC với thời lƣợng tiết, nhiên tập trung chủ yếu vào việc chứng minh đẳng thức véc tơ biễu diễn tuyến tính véc tơ theo véc tơ không đồng phẳng Rất nội dung vận dụng phƣơng pháp véc tơ vào “Các toán định lượng hình học không gian” Thứ hai: Rất nhiều toán HHKG lớp 11 giải phƣơng pháp hình học tổng hợp tƣơng đối phức tạp gây nhiều khó khăn cho học sinh, nhiên vận dụng phƣơng pháp véc tơ có lời giải gọn, đẹp, có tính đại số thuật giải, gây nhiều hứng thú cho học sinh Mục tiêu đề tài: Trên sở lý luận nhƣ trên, nêu số mục tiêu cần phải đạt nhƣ sau: a) Đối với tác giả đề tài Thứ nhất: Xây dựng đƣợc hệ thống thuật giải tổng quát cho toán định lƣợng HHKG lớp 11, cụ thể toán sử dụng điều kiện phƣơng hai véc tơ, điều kiện đồng phẳng ba véc tơ; tính góc khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo Thứ hai: Xây dựng đƣợc hệ thống tập minh họa lời giải phù hợp thể tính điển hình, tối ƣu phƣơng pháp véc tơ so với phƣơng pháp khác Các tập nêu phải đảm bảo yêu cầu bám sát nội dung thi HSG thi ĐH-CĐ Thứ ba: Xây dựng đƣợc hệ thống tập tƣơng tự có dẫn đáp số làm tƣ liệu phục vụ cho trình dạy học HHKG Các tập nêu phải đảm bảo yêu cầu bám sát nội dung thi HSG thi ĐH-CĐ b) Đối với học sinh triển khai áp dụng: Thứ nhất: Đƣợc trang bị đầy đủ, có tính hệ thống phƣơng pháp véc tơ thuật giải số dạng toán HHKG lớp 11 Thứ hai: Biết vận dụng thành thạo có sáng tạo phƣơng pháp véc tơ trình học tập môn HHKG, có tâm lý tự tin hứng thú giải tập HHKG Thứ ba: Hình thành phát triển tƣ thuật giải, tƣ sáng tạo Đối tƣợng nghiên cứu đề tài: Để có sở đánh giá hiệu việc áp dụng đề tài vào thực tế dạy học, chọn lớp theo ban KHTN Trƣờng THPT Triệu Sơn năm học 2012-2013, cụ thể: lớp đối chứng: 11G2, lớp thực nghiệm:11G7 Các lớp đƣợc chọn tham gia nghiên cứu cho đề tài có nhiều điểm tƣơng đồng tỉ lệ giới tính, kết ý thức học tập học sinh, đặc biệt lực học tập kết điểm kiểm tra môn Toán trƣớc tác động II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Thực trạng dạy học HHKG trƣờng THPT nói chung trƣờng THPT Triệu Sơn nói riêng thể số điểm sau: Thứ nhất: Đối với giáo viên, việc dạy HHKG thƣờng nhiều thời gian công sức, đồng thời nội dung HHKG đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi đại học, đề thi HSG thƣờng nội dung khó, có tính chất phân loại cao chiếm tỉ lệ từ 10%-15% số điểm toàn thi, có tâm lý “xem nhẹ” nội dung trình dạy học, ôn tập Thứ hai: Đối với học sinh, để học tốt môn HHKG cần phải nắm vững kiến thức hình học phẳng chƣơng trình THCS, đồng thời phải có tƣ trừu tƣợng, khả đoán nhận tốt Thực tế điều lại điểm yếu không học sinh THPT nói chung học sinh THPT Triệu Sơn nói riêng, kể học sinh giỏi, dẫn đến tâm lý “sợ” học HHKG, “ngại” học HHKG Thứ ba: Các tài liệu trình bày phƣơng pháp véc tơ hạn chế, chƣa có tính hệ thống, chuyên sâu hệ thống tập chƣa đa dạng gây nhiều khó khăn cho ngƣời dạy ngƣời học III GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Tƣ tƣởng chủ đạo để xác định giải pháp vận dụng quan điểm triết học câu nói Chủ tịch Hồ Chí Minh : “Dĩ bất biến, ứng vạn biến” Giải pháp thứ nhất: Xây dựng thuật giải – đối tƣợng “bất biến”: Thực chất quy trình, bƣớc thực cố định để tìm đáp số lớp toán có yêu cầu tƣơng tự Thông qua việc hình thành xây dựng thuật giải giúp cho học sinh phát triển tƣ thuật giải – loại hình tƣ quan trọng không toán học mà nhiều lĩnh vực khoa học khác Tạo tâm lý hứng thú, tự tin cho học sinh học môn HHKG Giải pháp thứ hai: Xây dựng tập minh họa thuật giải – đối tƣợng “vạn biến”: Chính lớp toán cụ thể với giả thiết thay đổi theo đặc trƣng Việc áp dụng thuật giải – tức “bất biến” vào để giải lớp toán với giả thiết khác – tức “vạn biến” giúp cho học sinh hình thành tƣ sáng tạo, linh hoạt tình cụ thể; tập luyện cho học sinh khả ứng biến vận dụng khéo léo tính chất, định lí véc tơ không gian vào để giải toán hình học IV BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN Thuật giải toán liên quan đến điều kiện phƣơng hai véc tơ, điều kiện đồng phẳng ba véc tơ a) Thuật giải: Ta có thuật giải tổng quát nhƣ sau: Bước 1: Chọn hệ ba véc tơ a , b , c không đồng phẳng Bước 2: Biểu diễn véc tơ theo a , b , c Bước 3: Sử dụng điều kiện phƣơng hai véc tơ, điều kiện đồng phẳng ba véc tơ để lập hệ phƣơng trình đại số b) Một số định lí véc tơ không gian: Định lí 1.1 Cho hai véc tơ a b ( a  ) Khi hai véc tơ a b phƣơng tồn số thực k cho b  k.a Định lí 1.2 Trong không gian, cho a b hai véc tơ không phƣơng véc tơ c Khi ba véc tơ a , b , c đồng phẳng tồn số thực m, n cho c  ma  nb Hơn số m, n Định lí 1.3 Trong không gian, cho ba véc tơ a , b , c không đồng phẳng Khi với véc tơ d tùy ý, tồn số thực m, n, p cho d  ma  nb  pc Hơn số m, n, p c) Bài tập minh họa: Bài 1.1 Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1 Gọi M N điểm lần lƣợt thuộc đƣờng thẳng AB1 A1C1 cho MN//BD1 Tính tỉ số AM AB1 Lời giải Bài 1.1 +) Chọn hệ véc tơ A b a  AB,b  AD,c  AA1   A N  yA C  y  a  b  a +) Đặt AM  xAB1  x a  c 1 c C B D Ta có MN  MA  AA1  A1N =  y  x  a  yb  1  x  c A1 (1) D1 M BD1  a  b  c N B1 C1 +) Vì MN//BD1 nên tồn số thực k cho MN  kBD1   ka  kb  kc (2)  y  x  k 1 AM   x  , y  ,k  Vậy So sánh (1) (2) ta có hệ  y  k  3 AB 1  x  k  Bài 1.2 Cho hình tứ diện ABCD Gọi M, N, P lần lƣợt điểm thuộc cạnh BC, BD, AC cho BC  4BM,BD  2BN,AC  3AP Mặt phẳng (MNP) AQ AD Lời giải Bài 1.2 cắt đƣờng thẳng AD Q Tính tỉ số +) Chọn hệ véc tơ a  AB,b  AC,c  AD  A  1 +) Ta có BM  BC  b  a , 4 1 1 AP  AC  b , BN  BD  c  a 2 3  c a  b N B +) Đặt AQ  xAD  xc Khi PQ  AQ  AP   b  xc Q P (1) D M C Mặt khác ba véc tơ PQ,PM,PN đồng phẳng nên tồn số thực m, n cho    PQ  mPM  nPN  m AP  AB  BM  n AP  AB  BN   1  3 =  m  n  a   m  n  b  nc   12  4 (2)  3 m   m  n   4   AQ 1 1  So sánh (1) (2) ta có hệ:  m  n   n  Vậy  AD 12 3   1   n  x x   Bài 1.3 Cho tứ diện ABCD có cạnh Gọi M, N lần lƣợt trung điểm BD AC Trên đƣờng thẳng AB lấy điểm P, đƣờng thẳng DN lấy điểm Q cho PQ//CM Tính độ dài PQ Lời giải Bài 1.3 +) Chọn hệ véc tơ a  AB,b  AC,c  AD Khi đó: a  b  c  A b Q a.b  b.c  c.a  a N +) Giả sử AP  xAB DQ  yDN c P C D Khi ta có M 1 CM  CA  AM  a  b  c 2 B  PQ  PA  AD  DQ   xAB  AD  y DA  AC  AD =  xa  yb  1  y  c  k k +) Do PQ//CM nên tồn số thực k cho PQ  kCM  a  kb  c 2 (1) (2) k   x   x      1  So sánh (1) (2) ta có hệ:  y  k   y  2  k   1  y  k    2 2   +) Khi PQ   a  b  c  PQ  PQ    a  b  c   3 3 3   Bài 1.4 Cho hình lập phƣơng ABCDA1B1C1D1 có cạnh Gọi I trung điểm AB O tâm mặt BCC1B1, M điểm cạnh AD cho AD  5AM , P trung điểm BB1 K điểm cho A1K  kA1C a) Tìm số k tỉ số CK biết đƣờng thẳng MK song song với mp (PDC1) CA1 b) Gọi E F lần lƣợt điểm thỏa mãn AE  mAP , CF  nCI cho O, E, F thẳng hàng Tìm số m, n độ dài EF Lời giải Bài 1.4 +) Chọn hệ véc tơ F a  BA,b  BB1 ,c  BC Khi đó: a  b  c  A a.b  b.c  c.a    cbk cba E  c b C D  1   kc  1  k  b   k   c (1) 5  +) Do MK//(PDC1) nên tồn số x, y cho: B M a) +) Ta có A1C  c  b  a MK  MA  AA1  A1K a I P O K B1 A1 D1 C1   MK  xPC1  yPD  x PB1  B1C1  y PB  BC  CD   b   b  x y  x    b  c   y    c  a   ya     b   x  y  c 2 2     (2) 17   x   k  y 25   11   So sánh (1) (2) ta có hệ 1  k   x  y    y  25   11   k   x  y k  25  Với k  11 CK CA1  A1K 14   1 k  25 CA1 CA1 25 b) Ta có OE  OB  BA  AE   OF  OC  CF    b  m 1 b  c  a  m   a   1  m  a  b c 2 2    (3)  n n 1  b  c  a  nc  a  b    n  c 2 2 2  Do O, E, F thẳng hàng nên có số thực k cho OE  kOF  nk k 1  a  b  k   n c 2 2  (4)  nk  1  m  n  2   k m 1    m  So sánh (3) (4) ta có hệ      1    k   n  k     2 1 14 2  Khi EF  OF  OE  a  b  c  EF= EF   a  b  c   3 3 3  d) Nhận xét: 1.1 Điểm mấu chốt toán sử dụng định lí biểu diễn tuyến tính véc tơ tùy ý không gian theo ba véc tơ không đồng phẳng (Định lí 1.3), từ dẫn đến việc giải hệ phƣơng trình ẩn Việc làm đƣợc lặp lại với giả thiết yêu cầu khác thể rõ tính thuật giải, tính ƣu điểm lớn phƣơng pháp véc tơ 1.2 Việc chọn hệ ba véc tơ không đồng phẳng (hệ sở) cách khéo léo để biễu diễn véc tơ khác theo chúng cách thuận lợi thể đƣợc tính sáng tạo trình vận dụng phƣơng pháp véc tơ vào giải toán hình học Thuật giải toán tính góc khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo Cho hai đƣờng thẳng chéo d1 d2 Giả sử d1 có véc tơ phƣơng u1 , qua A; d2 có véc tơ phƣơng u , qua B a) Thuật giải: Bước 1: Chọn hệ ba véc tơ a , b , c không đồng phẳng Cần chọn a , b , c khéo léo để tính giá trị a , b , c , a.b , b.c , c.a Bước 2: Biểu diễn véc tơ u1 u theo a , b , c * Để tính góc d1 d2 ta tiếp tục thực theo hai bước sau: Bước 3: Tính giá trị u1 , u ,u1.u   Bước 4: Sử dụng công thức tính góc: cos  d1 ,d   cos u1 , u  u1.u u1 u * Để tính khoảng d1 d2 ta thực theo hai bước sau: Bước 5: Gọi EF đoạn vuông góc chung d1 d2 ( E  d1,F  d2 ) Giả sử AE  x.u1 ,BF  y.u Biểu diễn véc tơ EF theo a , b , c (phụ thuộc vào x, y) EF.u1  Bước 6: Giải hệ phƣơng trình đại số  để tìm nghiệm (x;y) EF.u   Suy có biểu diễn EF  .a  .b  .c (các số , ,  biết thông qua x,y) Từ tìm đƣợc độ dài: d  d1 ,d   EF  EF   .a  .b  .c  b) Bài tập minh họa: Bài 2.1 Cho hình chóp SABCD có đáy hình thoi tâm O, có độ dài đƣờng chéo AC  4a, BD  2a , SO  2a SO  (ABCD) Gọi M trung điểm cạnh SC Tính góc khoảng cách hai đƣờng thẳng SA BM Lời giải Bài 2.1 +) Chọn hệ véc tơ S a  CA,b  DB,c  OS E D a M F c C a.b  b.c  c.a  +) Ta có SA  a  c , O b A BM  Khi đó: a  4a, b  2a, c  2a B     1 1 1  BS  BC    b  c   a  b   a  b  c 2 2  2 1  +) Tính cos SA,BM  : SA  SA   a  c   a  c  3a , 2  2 1  2  BM  BM    a  b  c   a  b  c  2a 2  16 4  1  2 1  SA.BM   a  c .  a  b  c    a  c  6a 2  2    Suy ra: cos SA,BM   cos SA,BM  SA.BM SA.BM   SA,BM   300 +) Tính khoảng cách d SA,BM  : Gọi EF đoạn vuông góc chung SA BM ( E  SA,F  BM ) Giả sử EA  x.SA, BF  y.BM Khi ta có: x y 1 1 y y  EF  EA  AB  BF      a     b    x  c  2 2 2 2   x y   y   y    EF.SA       a     b    x  c   a  c    6x  3y  (1)       2    x y   y   y    1  EF.BM       a     b    x  c    a  b  c    6x  4y  (2)    2      2  Giải hệ phƣơng trình (1) (2) ta đƣợc x  , y  Do đó: 10    y x   y   JI.DE     x.a     b     c   a  b     x  y   8  2   2    Giải hệ phƣơng trình (1) (2) ta đƣợc x  (2) , y  Do đó: 17 17 4 4  17  JI   a  b  c  d  A1F,DE  =JI=   a  b  c   17 17 17 17 17  17  17 Bài 2.3 Cho tứ diện ABCD có cạnh AB  5, AC  4, AD  góc BAC  600 , CAD  900 , DAB  1200 Gọi M N điểm lần lƣợt cạnh AB CD cho AM  2MB, DN  2NC Tính côsin góc hai đƣờng thẳng MN AC khoảng cách chúng Lời giải Bài 2.3 +) Chọn hệ véc tơ A a  AB,b  AC,c  AD c a Khi đó: a  5, b  4, c  b M 15 a.b  10, b.c  0, c.a   F E +) Ta có MN  MA  AD  DN B D 2  a b c 3 +) Tính cos  MN,AC  : N   MN.AC    a  b  c .b  3   C 2  123  MN  MN    a  b  c   3     Suy cos  MN,AC   cos MN,AC  MN.AC MN.AC  123 41 +) Tính khoảng cách d  MN,AC : Gọi EF đoạn vuông góc chung MN AC ( E  MN, F  AC ) Giả sử ME  x.MN, AF  y.AC Khi ta có: 2   x 2 EF  EM  MA  AF   x   a   y  x  b  c 3   3 12  2    x   2  41 25 EF.MN    x   a   y  x  b  c    a  b  c     x  4y   (1) 3  3      3   2   x  20 EF.AC    x   a   y  x  b  c  b   4x  16y  3     Giải hệ phƣơng trình (1) (2) ta đƣợc x  EF   (2) 15 35 Do đó: ,y  19 57 5 5 57 a  b  c  d  MN,AC  =EF=  a  b  c  57 57 57 57 57 57 57 Bài 2.4 Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1 có độ dài cạnh a góc BAD  DAA1  A1AB  600 Gọi M, N lần lƣợt trung điểm AA1 CD Tính côsin góc hai đƣờng thẳng MN, B1C khoảng cách chúng Lời giải Bài 2.4 B1 +) Chọn hệ véc tơ A1 a  AA1 ,b  AB,c  AD Khi đó: a  b  c  a M C1 a D1 F b B C A c E +) Ta có B1C  a  c 1 MN   a  b  c 2 D N a2 a.b  b.c  c.a      +) Tính cos  MN,B1C  : MN.B1C    a  b  c  a  c  a ,   2 a   , B1C  B1C  MN  MN    a  b  c   2     Do cos  MN,B1C   cos MN,B1C  MN.B1C MN.B1C   a  c  a 10 +) Tính khoảng cách d  MN,B1C : Gọi EF đoạn vuông góc chung MN B1C ( E  MN,F  B1C ) Giả sử ME  x.MN, B1F  y.B1C Khi ta có: 13 1  x x EF  EM  MA1  A1B1  B1F    y   a  1   b   y  x  c 2  2 2  x 1  x  EF.B1C     y   a  1   b   y  x  c  a  c   x  y   (1) 2  2 4      x 1  x  1  EF.MN     y   a  1   b   y  x  c    a  b  c    x  y  (2) 2  2 4    2 Giải hệ phƣơng trình (1) (2) ta đƣợc x  17 31 ,y  Do đó: 11 22 5  a 22  EF   a  b  c  d  MN,B1C   EF=   a  b  c   22 22 22 22 22  22  22 c) Nhận xét: 2.1 Rất khó sử dụng phƣơng pháp hình học tổng hợp phƣơng pháp tọa độ để giải Bài 2.3 Bài 2.4 giả thiết toán không yếu tố trực giao Tuy nhiên trình bày lời giải theo phƣơng pháp véc tơ thấy rõ “thuật giải” thay đổi so với hai trƣớc Rõ ràng việc sử dụng phƣơng pháp véc tơ để giải Bài 2.3 Bài 2.4 lựa chọn tối ƣu sáng tạo Trong dạy học, giáo viên thay đổi giả thiết số đo góc tam diện đỉnh A độ dài cạnh hình hộp, chẳng hạn Bài 2.4 ta điều chỉnh giả thiết : BAD  600 , DAA1  900 ,A1AB  1200 , AB  a , AD  2a , AA1  3a để có thêm nhiều nội dung luyện tập cho học sinh 2.2 Có thể kết luận: với thuật giải nhƣ tính đƣợc góc khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo tùy ý không gian (với điều kiện chọn đƣợc hệ véc tơ sở a , b , c tính đƣợc giá trị a , b , c , a.b , b.c , c.a ) Đây điểm mạnh phƣơng pháp véc tơ so với phƣơng pháp khác Các tập tƣơng tự Bài 3.1 Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1 Gọi I J điểm lần lƣợt thuộc đƣờng thẳng B1D AC cho IJ//BC1 Tính tỉ số ID (Đáp số : ) IB1 14 Bài 3.2 Cho hình lập phƣơng ABCDA1B1C1D1 cạnh Trên đƣờng thẳng BC1 lấy điểm M cho véc tơ D1M,DA1,AB1 đồng phẳng Hãy tính tỉ số BM diện tích tam giác MAB1 ( Đáp số: MC1 19 ) Bài 3.3 Cho hình lập phƣơng ABCDA1B1C1D1 cạnh Trên cạnh BC DD1 lấy điểm M N cho BM  DN  x   x  1 Chứng minh MN vuông góc với AC1 Tìm x để độ dài MN ngắn (Đáp số: x  MNmin= ) Bài 3.4 Cho hình chóp SABC có đáy tam giác với AB  2a , SC  (ABC) SC  2a Gọi M, N lần lƣợt trung điểm BC, AB Tính góc khoảng cách hai đƣờng thẳng SM CN.( Đáp số: 450 3a ) Bài 3.5 Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang vuông A B, cạnh bên SA vuông góc với đáy SA  a 3,AB  a,BC  2a Biết góc SD mặt phẳng (ABCD) 300 Gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách 30a ) 10 Bài 3.6 Cho hình chóp SABCD có đáy hình vuông với AB  2a , SA  a , SM CD ( Đáp số: SB  a , mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N lần lƣợt trung điểm AB, BC Tính góc khoảng cách hai đƣờng thẳng SM DN (Hƣớng dẫn:Kẻ đƣờng cao SH  SAB SH  (ABCD) SH  3a 3a Chọn hệ véc tơ: a  AB,b  AD,c  HS Đáp số: 450 ) Bài 3.7 Cho hình hộp đứng ABCDA1B1C1D1 có đáy hình thoi cạnh a, góc BAD   với cos  Gọi M điểm thỏa mãn DM  kDA N trung điểm A1B1 Tìm k để C1M  D1N Khi tính góc khoảng cách MN BC (Đáp số : k   , cos  41 112 ,d  MN, BC   a ) 263 129 15 V KIỂM NGHIỆM THỰC TẾ Phƣơng pháp kiểm nghiệm: Để đánh giá hiệu đề tài, tiến hành kiểm nghiệm theo bƣớc sau: Bước 1: Đánh giá so sánh lực học tập lớp đối chứng lớp thực nghiệm trƣớc tác động Bước 2: Thực việc tác động lớp đối chứng lớp thực nghiệm Cụ thể nhƣ sau: * Với lớp đối chứng 11G2: Trong thời gian từ 01/3/2013 đến 15/4/2013, tổ chức dạy buổi (bằng tiết) nội dung: tính tỉ số đoạn thẳng, độ dài đoạn thẳng, tính góc khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo không gian theo phƣơng pháp hình học tổng hợp Trong buổi có buổi dạy lý thuyết ví dụ minh họa, tiết thảo luận tập (mỗi dạng tập) * Với lớp thực nghiệm 11G7: Cũng thời gian từ 01/3/2013 đến 15/4/2013 tiến hành dạy buổi lý thuyết ví dụ minh họa phƣơng pháp véc tơ, buổi thảo luận tập với nội dung: tính tỉ số đoạn thẳng, độ dài đoạn thẳng, tính góc khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo không gian Các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết nêu Phần III SKKN, tập thảo luận tập đƣợc nêu SKKN Bước 3: Đánh giá so sánh kết lớp đối chứng lớp thực nghiệm sau tác động Kết kiểm nghiệm: a) Trước tác động: Tôi lấy kết điểm kiểm tra viết môn Toán (90 phút) tổ chuyên môn đề dùng khảo sát chất lƣợng học kì I, đƣợc tổ chức kiểm tra tập trung cho toàn khối, tổ chuyên môn chấm theo đáp án xây dựng: Bảng 1: Bảng thống kê kết kiểm tra trước tác động Lớp Số Lớp đối chứng 45 Lớp thực nghiệm 44 Điểm 0–2 10 sl 10 16 % 2.2 6.6 15.6 2.2 sl 2 % 4.5 4.5 18.2 2.3 22.2 35.6 15.6 17 18.2 38.7 13.6 16 Bảng 2: Bảng so sánh kết kiểm tra trước tác động Nội dung so sánh Lớp đối chứng Lớp thực nghiệm Điểm trung bình 6.38 6.32 Chênh lệch điểm trung bình 0.06 Nhƣ thông tin Bảng Bảng chứng minh rằng, chênh lệch điểm trung bình lớp thực nghiệm lớp đối chứng trƣớc tác động không đáng kể, hai lớp đƣợc coi tƣơng đƣơng không cần thực phép kiểm chứng T-Test để kiểm chứng chênh lệch điểm số trung bình nhóm trƣớc tác động b) Sau tác động: Tôi lấy kết điểm kiểm tra viết môn hình học không gian (với thời gian làm 90 phút), tổ trƣởng chuyên môn đề Lớp đối chứng lớp thực nghiệm đƣợc kiểm tra vào thời gian, đề Để đảm bảo tính khách quan, việc coi chấm kiểm tra hoàn toàn giáo viên tổ chuyên môn thực Bảng 3: Bảng thống kê kết kiểm tra sau tác động Lớp Số Lớp đối chứng 45 Lớp thực nghiệm 44 Điểm 0-2 10 sl 14 10 0 % 4.4 0 sl 0 % 0 4.5 9.1 13.3 15.6 31.2 22.2 13.3 12 11 27.3 24.9 20.5 11.4 2.3 Bảng 4: Bảng so sánh kết kiểm tra sau tác động Nội dung so sánh Lớp đối chứng Lớp thực nghiệm Điểm trung bình 5.2 6.9 Độ lệch chuẩn 1.97 2.68 Chênh lệch giá trị trung 0.86 bình chuẩn (SMD) Từ Bảng Bảng cho thấy, sau tác động chêch lệch điểm trung bình lớp thực nghiệm lớp đối chứng có ý nghĩa, tức chênh lệch kết điểm trung bình lớp thực nghiệm cao điểm trung bình lớp đối chứng ngẫu nhiên mà kết tác động Kết kiểm tra sau tác động lớp thực nghiệm 11G7 điểm trung bình = 6.9 kết 17 kiểm tra lớp đối chứng 11G2 điểm trung bình = 5.2 Độ chênh lệch điểm số hai lớp 1.7 Điều cho thấy điểm trung bình lớp đối chứng lớp thực nghiệm có khác biệt rõ rệt, lớp đƣợc tác động có điểm trung bình cao lớp đối chứng Theo bảng tiêu chí Cohen tính chênh lệch giá trị trung bình chuẩn (SMD): Trung bìnhthực nghiệm - Trung bình đối chứng SMD = Độ lệch chuẩnđối chứng Từ công thức ta có: SMD = 0.86 Kết SMD nằm khoảng từ 0.80 đến 1.00 cho thấy mức độ ảnh hƣởng phƣơng pháp véc tơ đến kết học tập môn HHKG lớp 11 lớp thực nghiệm Trƣờng trung học phổ thông Triệu Sơn lớn 18 C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT I KẾT LUẬN Việc sử dụng Phƣơng pháp véc tơ vào giải số toán định lƣợng HHKG lớp 11 Trƣờng THPT Triệu Sơn hình thành phát triển cho học sinh lớp 11 khả tƣ thuật giải, tƣ sáng tạo trình học tập môn Toán nói chung môn HHKG nói riêng; tạo đƣợc hứng thú nâng cao đƣợc kết học tập môn HHKG; góp phần không nhỏ việc nâng cao chất lƣợng thi HSG, thi ĐH-CĐ nhà trƣờng Các tập minh họa tập tƣơng tự đƣợc nêu đề tài hoàn toàn tác giả “chế biến” từ toán HHKG số đề thi HSG tỉnh, đề thi tuyển sinh ĐH-CĐ, đề khảo sát kiến thức thi ĐH-CĐ trƣờng THPT toàn quốc năm gần Lời giải đáp số đƣợc kiểm nghiệm dạy thực tế Trƣờng THPT Triệu Sơn lớp 11E1(năm học 2010-2011) lớp thực nghiệm 11G7 năm học vừa qua, đảm bảo tính xác, khoa học Đây tƣ liệu tốt để phục vụ cho trình dạy học HHKG trƣờng THPT, góp phần làm phong phú thêm kho tƣ liệu đổi phƣơng pháp dạy học môn Toán trƣờng phổ thông II ĐỀ XUẤT Trên cách thực học sinh lớp 11 trƣờng THPT Triệu Sơn năm học vừa qua Rất mong vấn đề đƣợc xem xét, mở rộng để áp dụng cho nhiều đối tƣợng học sinh, giúp em có thêm tự tin hứng thú học môn toán nói chung môn HHKG nói riêng XÁC NHẬN Thanh Hóa, ngày 30 tháng 05 năm 2013 CỦA THỦ TRƢỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung ngƣời khác Ngƣời viết TRỊNH QUỐC PHƢỢNG 19 PHỤ LỤC PHỤ LỤC 1: Đề kiểm tra lớp đối chứng lớp thực nghiệm trƣớc tác động SỞ GD&ĐT THANH HÓA TRƢỜNG THPT TRIỆU SƠN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn: TOÁN - Lớp 11 Thời gian làm bài: 90 phút MA TRẬN ĐỀ Nội dung Nhận biết Phƣơng trình lƣợng giác 1.5 Tổ hợp xác suất 1.5 Phép dời hình phép đồng dạng 1.5 Quan hệ song song không gian Bài toán tổng hợp lƣợng giác Tổng 4.5 Thông hiểu 1.0 1 Vận dụng Tổng 2.5 2.5 1.5 1 1.5 1 2.5 1 3.5 2.0 10 PHẦN ĐỀ KIỂM TRA I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC HỌC SINH (7.0 ĐIỂM) Câu (1.5 đ) Giải phƣơng trình 2sin x  sin x  Câu (1.5 đ) Một tổ có 12 học sinh có học sinh nam học sinh nữ Chọn ngẫu nhiên học sinh tập văn nghệ Tính xác suất để học sinh đƣợc chọn có học sinh nam học sinh nữ 2 Câu (1.5 đ) Cho đƣờng tròn  C  có phƣơng trình  x  1   y    Hãy viết phƣơng trình ảnh đƣờng tròn  C  qua phép tịnh tiến theo véc tơ v   2;1 Câu (2.5 đ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 1, cạnh bên Gọi M, N, P theo thứ tự trung điểm cạnh AB, AD, SC a) Tìm giao tuyến mặt phẳng (MNP) với mặt hình chóp b) Mặt phẳng (MNP) cắt hình chóp theo thiết diện Hãy tính diện tích thiết diện 20 II PHẦN RIÊNG CHO TỪNG ĐỐI TƢỢNG HỌC SINH (3.0 ĐIỂM) A Phần dành cho lớp học theo Chƣơng trình Nâng cao Câu 5.a (1.0 đ) Giải phƣơng trình (cos x  sin x)  cos x  sin x Câu 6.a (1.0 đ) Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Niu- n  2 tơn  x   , biết n số tự nhiên thỏa mãn: x   Cn0  Cn1  Cn2   Cnn  1024 Câu 7.a (1.0 đ) Cho số thực x, y thay đổi thỏa mãn: x  y  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P   x  xy   xy  y B Phần dành cho lớp học theo Chƣơng trình Chuẩn Câu 5.b (1.0 đ) Giải phƣơng trình 2sin x  3sin x   Câu 6.b (1.0 đ) Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Niu- tơn  x3   x   Câu 7.b (1.0 đ) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  2sin x  cos x  Hết -PHỤ LỤC 2: Đề kiểm tra lớp đối chứng lớp thực nghiệm sau tác động SỞ GD&ĐT THANH HÓA TRƢỜNG THPT TRIỆU SƠN ĐỀ KIỂM TRA MÔN HHKG LỚP 11NC NĂM HỌC 2012 – 2013 Thời gian làm bài: 90 phút Câu ( 2.0 đ) Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1 Hãy tìm điểm I đƣờng chéo B1D, điểm J đƣờng chéo AC cho IJ//BC1 Câu 2(6.0 đ) Cho hình lập phƣơng ABCDA1B1C1D1 có cạnh a a) Chứng minh A1B  B1D Tính khoảng cách hai đƣờng thẳng A1B B1D b) Gọi M, N, K lần lƣợt trung điểm BB1, CD, A1D1 Tính góc khoảng cách hai đƣờng thẳng MK C1N Câu ( 2.0 đ) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang cân với AB//CD, AB  2CD  4a, BC  a 10 ( a  ) Biết hai mặt phẳng (SAC), (SBD) 21 vuông góc với mặt phẳng (ABCD) mặt phẳng (SAB) tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 600 Tính khoảng cách hai đƣờng thẳng SD, BC theo a Hết -PHỤ LỤC 3: Bảng điểm lớp đối chứng 11G2 STT Họ tên Lê Thị Phƣơng Anh Trịnh Thị Phƣơng Anh Lê Việt Anh Phạm Thị Quỳnh Anh Trịnh Thị Mai Anh Lê Chung Anh Nguyễn Hoàng Ngọc Ánh Nguyễn Thanh Bình Lƣơng Đỗ Tuấn Bình 10 Quách Văn Chƣơng 11 Hoàng Thị Dịu 12 Hà Thị Dung 13 Trần Thị Duyên 14 Hà Nguyễn Phƣơng Giang 15 Lê Xuân Giang 16 Hoàng Thị Hoa 17 Bùi Thị Huê 18 Ngô Thanh Lâm 19 Lê Thị Lê 20 Nguyễn Thị Lệ 21 Phan Ngọc Linh 22 Trịnh Nguyệt Minh 23 Nguyễn Thị Nga 24 Tạ Thị Nga 25 Bùi Đình Ngọc 26 Bùi Xuân Nguyên 27 Nguyễn Đình Nguyên 28 Lê Thị Yến Nhi 29 Lê Thị Nhung 30 Vi Thị Oanh 31 Trịnh Văn Oánh 32 Bùi Minh Phƣơng Điểm trƣớc tác động 7 7 7 5 7 Điểm sau tác động 5 7 3 5 3 5 4 6 22 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 Trần Văn Phƣơng Nguyễn Văn Quyền Bùi Trịnh Thảo Hà Thị Thảo Lê MinhThảo Lê Sỹ Thuỷ Đỗ Thị Huyền Trang Nguyễn Thu Trang Trần Thị Kiều Trang Nguyễn Thị Trinh Nguyễn Thị Vân Trịnh Thị Vân Lê Bá Yến 7 8 7 5 6 6 PHỤ LỤC 4: Bảng điểm lớp thực nghiệm 11G7 STT Họ tên Ngô Thị Vân Anh Nguyễn Thị Hƣơng Anh Trịnh Quỳnh Anh Nguyễn Hoàng Anh Nguyễn Việt Anh Phùng Đình Anh Lê Thanh Bình Lê Thị Minh Châu Lê Đình Duẩn 10 Hoàng Công Đô 11 Hà Huy Đông 12 Lê Đình Điệp 13 Vũ Văn Đức 14 Hà Văn Giang 15 Nguyễn Nhật Hà 16 Lê Thị Hải 17 Nguyễn Văn Hải 18 Phạm Thanh Hải 19 Vũ Thanh Hiếu 20 Hà Thanh Hƣng 21 Trần Văn Khải 22 Đoàn Văn Kiên Điểm trƣớc tác động 7 7 8 7 7 Điểm sau tác động 8 8 9 7 23 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 Lê Thị Lệ Đặng Thị Linh Hà Thị Linh Nguyễn Thị Linh Lê Thị Hà Mi Phan Thị Mỹ Hà Thị Na Nguyễn Thị Bảo Nhi Lê Thị Nhung Hoàng Linh Phƣơng Hà Đăng Quang Nguyễn Văn Hoàng Sơn Lại Thanh Thảo Lê Thị Thảo Lê Đình Thế Hà Văn Tuân Đinh Ngọc Tùng Lê Huy Tùng Lƣơng Sơn Tùng Lê Văn Trung Hà Xuân Trung Nguyễn Anh Văn 6 7 7 6 8 6 7 6 10 24 MỤC LỤC Trang A ĐẶT VẤN ĐỀ B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CƠ SỞ LÍ LUẬN Cơ sở lí luận 2 Mục tiêu đề tài Đối tƣợng nghiên cứu đề tài II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ III GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Giải pháp thứ Giải pháp thứ hai IV BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN Thuật giải toán liên quan đến điều kiện phƣơng hai véc tơ, điều kiện đồng phẳng ba véc tơ Thuật giải toán tính góc khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo Các tập tƣơng tự V KIỂM NGHIỆM THỰC TẾ 14 16 Phƣơng pháp kiểm nghiệm 16 Kết kiểm nghiệm 16 C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 19 I KẾT LUẬN 19 II ĐỀ XUẤT 19 PHỤ LỤC 20 25 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRIỆU SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT TRIỂN TƢ DUY THUẬT GIẢI, TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH LỚP 11 – THPT THÔNG QUA VIỆC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐỊNH LƢỢNG TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƢƠNG PHÁP VÉC TƠ Ngƣời thực hiện: Trịnh Quốc Phƣợng Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn: Toán THANH HOÁ, NĂM 2013 26 ... KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT TRIỂN TƢ DUY THUẬT GIẢI, TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH LỚP 11 – THPT THÔNG QUA VIỆC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐỊNH LƢỢNG TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƢƠNG PHÁP VÉC TƠ Ngƣời... dụng Phƣơng pháp véc tơ vào giải số toán định lƣợng HHKG lớp 11 Trƣờng THPT Triệu Sơn hình thành phát triển cho học sinh lớp 11 khả tƣ thuật giải, tƣ sáng tạo trình học tập môn Toán nói chung môn... Định lí 1.2 Trong không gian, cho a b hai véc tơ không phƣơng véc tơ c Khi ba véc tơ a , b , c đồng phẳng tồn số thực m, n cho c  ma  nb Hơn số m, n Định lí 1.3 Trong không gian, cho ba véc