SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “RÈN LUYỆN NĂNG LỰC KHÁI QUÁT HÓA, ĐẶC BIỆT HÓA VÀ TƢƠNG TỰ CHO HỌC SINH THƠNG QUA CÁC BÀI TỐN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC” 1 Lý chọn đề tài Khái quát hóa, đặc biệt hóa tương tự thao tác tư có vai trị quan trọng q trình dạy học tốn trường phổ thơng Khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự phương pháp giúp mị mẫm, dự đốn để tìm lời giải toán, mở rộng, đào sâu, hệ thống hố kiến thức góp phần quan trọng việc hình thành phẩm chất trí tuệ cho học sinh Tuy nhiên, khái quát hoá, đặc biệt hoá tương tự chưa rèn luyện mức dạy học trường phổ thông Bất đẳng thức vấn đề cổ điển toán học sơ cấp ngày phát triển, phần toán sơ cấp đẹp thú vị ln hút nhiều đối tượng bạn đọc quan tâm Điểm đặc biệt ấn tượng BĐT có nhiều tốn khó, chí khó làm cho học sinh phải e ngại Nó thực gây hứng thú học sinh u thích tốn học, đam mê sáng tạo, tìm tịi Mặt khác bất đẳng thức lại có khả to lớn việc rèn luyện lực khái quát hoá, đặc biệt hoá tương tự Vì lý đó, tơi chọn đề tài: “Rèn luyện lực khái quát hoá, đặc biệt hoá tương tự cho học sinh thơng qua tốn chứng minh bất đẳng thức ” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu vai trò khái quát hoá, đặc biệt hoá tương tự dạy học toán dạy học chứng minh bất đẳng thức - Đề xuất số biện pháp nhằm rèn luyện khái quát hoá, đặc biệt hoá tương tự cho học sinh Phƣơng pháp nghiên cứu Trong đề tài chủ yếu sử dụng phương pháp nghiên cứu sau: - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự, lý luận dạy học, sách giáo khoa, sách tham khảo, sách giáo viên, tạp chí giáo dục,… - Phương pháp điều tra - quan sát: Tìm hiểu khả khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự học sinh lớp 10 thông qua toán chứng minh bất đẳng thức Giả thuyết khoa học Nếu học sinh rèn luyện khái quát hoá, đặc biệt hoá tương tự dạy học chứng minh bất đẳng thức có khả khái quát hoá, đặc biệt hoá tương tự dạy học mơn tốn trường phổ thơng khắc phục thực trạng dạy học nước ta Bố cục đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, đề tài gồm chương: Chương Cơ sở lý luận thực tiễn Chương Vận dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá tương tự thơng qua tốn chứng minh bất đẳng thức Chương Thực nghiệm sư phạm CHƢƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Một số khái niệm 1.1.1 Khái quát hoá Theo G Pơlya, “Khái qt hóa chuyển từ việc nghiên cứu tập hợp đối tượng việc nghiên cứu tập lớn hơn, bao gồm tập hợp ban đầu” ( 1, tr.21 ) Trong “Phương pháp dạy học mơn Tốn”, tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy nêu rõ: “Khái quát hóa chuyển từ tập hợp đối tượng sang tập hợp lớn chứa tập hợp ban đầu cách nêu bật số đặc điểm chung phần tử tập hợp xuất phát” ( 3, tr.31 ) Những dạng khái qt hóa thường gặp mơn tốn biểu diễn theo sơ đồ sau: Khái quát hóa Khái quát hóa từ riêng lẻ đến tổng quát Khái quát hóa từ tổng quát đến tổng quát Khái quát hóa tới tổng quát biết Khái quát hóa tới tổng quát chưa biết Như có hai đường khái quát hóa: đường thứ sở so sánh trường hợp riêng lẻ, đường thứ hai không dựa so sánh mà dựa phân tích tượng hàng loạt tượng giống 1.1.2 Đặc biệt hóa Theo G Pơlya: “Đặc biệt hóa chuyển từ việc nghiên cứu tập hợp đối tượng cho sang việc nghiên cứu tập hợp nhỏ chứa tập hợp cho” ( 1,tr.22 ) Những dạng đặc biệt hóa thường gặp mơn tốn biểu diễn theo sơ đồ sau: Đặc biệt hóa Đặc biệt hóa từ tổng quát đến riêng lẻ Đặc biệt hóa từ riêng đến riêng Đặc biệt hóa tới riêng lẻ biết Đặc biệt hóa tới riêng lẻ chưa biết Chẳng hạn, đặc biệt hóa chuyển từ việc nghiên cứu đa giác sang việc nghiên cứu đa giác Từ việc nghiên cứu đa giác ta lại đặc biệt hóa để nghiên cứu tam giác Đó đặc biệt hóa từ riêng đến riêng Đặc biệt hóa q trình từ chung đến riêng, q trình minh họa giải thích khái niệm, định lí trường hợp riêng lẻ, cụ thể Đặc biệt hóa thường sử dụng việc trình bày khái niệm, chứng minh định lí, tập…Trong tốn quỹ tích tìm điểm cố định đặc biệt hóa thường sử dụng để mị mẫm, dự đốn quỹ tích, dự đốn điểm cố định sở để tìm lời giải tốn 1.1.3 Tƣơng tự Theo G Pơlya: “Hai hệ tương tự chúng phù hợp với mối quan hệ xác định rõ ràng phận tương ứng” ( 1, tr.23 ) Kết luận dựa theo tương tự mơ tả sau: A có tính chất a, b, c B có tính chất a, b Thế B có tính chất c Người ta thường xét tương tự tốn học khía cạnh sau: - Hai phép chứng minh tương tự đường lối, phương pháp chứng minh giống - Hai hình tương tự chúng có nhiều tính chất giống hay vai trò chúng giống vấn đề đó, phần tử tương ứng chúng có quan hệ giống - Hai tính chất tương tự chúng biểu diễn yếu tố thuộc tính hai hình tương tự Tương tự nguồn gốc nhiều phát minh Bên cạnh giống khái quát hóa, tương tự thuộc suy luận có lý, cần lưu ý với học sinh kết luận rút từ tương tự dẫn đến kết luận sai Chẳng hạn, tam giác đường cao đồng quy trực tâm Nếu cho rằng, tương tự, tứ diện có đường cao đồng quy trực tâm sai, điều với tứ diện có cặp cạnh đối diện vng góc với mà thơi (gọi tứ diện trực tâm) 1.2 Một số kiến thức bất đẳng thức 1.2.1 Định nghĩa số tính chất bất đẳng thức  Định nghĩa: Giả sử a b hai số thực Các mệnh đề “ a  b ”, “ a  b ”, “ a  b ”, “ a  b ” gọi bất đẳng thức Cũng mệnh đề lôgic khác, bất đẳng thức sai Chứng minh bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức  Một số tính chất bất đẳng thức a  b  a  c  b  c  a  b  a+c  b+c Nếu c  a  b  ac  bc Nếu c  a  b  ac  bc  Từ ta có hệ sau: a  b c  d  a+c  b+d a+c  b  a  b-c a  b  c  d   ac  bd a  b  n  *  a n  bn a b0 a  b ab a b 1.2.2 Một số bất đẳng thức thƣờng gặp  Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối a1 - a - a - - a n  a1 +a +a + +a n  a1 + a + a + + a n  a i   Đặc biệt với n = ta có a - b  a+b  a + b ( với a, b )  Bất đẳng thức Cauchy Cho a1 , a , a , a n số thực không âm ta có: a1 +a +a + +a n n  a1.a a a n n Đẳng thức xảy a1 = a = a = = a n a+b  ab Đẳng thức xảy a = b Đặc biệt với n = ta có Với n = ta có a+b+c  abc Đẳng thức xảy a = b = c  Bất đẳng thức Bunhiacôpxki Với số thực a1 , a , a , a n b1 , b , b3 , b n ta có:  a1b1 +a 2b2 +a 3b3 + +a n bn    a12 +a 2 +a 32 + +a n  b12 +b 2 +b32 + +b n  Đẳng thức xảy a1 a a a = = = = n b1 b2 b3 bn (Nếu bi = coi a i = ) Với n = ta có  ax+by    a +b2  x +y2  Với n = ta có  ax+by+cz    a +b2 +c2  x +y2 +z   Bất đẳng thức Chebyshev a) Cho hai dãy đơn điệu tăng a1  a  a   a n b1  b  b3   b n ta có:  a1 +a +a + +a n  b1 +b2 +b3 + +bn   n  a1b1 +a 2b2 +a 3b3 + +a n bn   a1 = a = a = = a n b1 = b2 = b3 = = bn Đẳng thức xảy  b) Nếu a1  a  a   a n b1  b  b3   b n  a1 +a +a + +a n  b1 +b2 +b3 + +bn   n  a1b1 +a 2b2 +a 3b3 + +a n bn   a1 = a = a = = a n b1 = b2 = b3 = = bn Đẳng thức xảy   Bất đẳng thức Becnuli a) Cho n  * , a  -1, a  ta có: 1+a   1+na n b) Cho a  -1, r  , r  ta có: 1+a   1+ra r  Bất đẳng thức Jenxen Cho f  x  hàm số xác định, liên tục có đạo hàm cấp hai liên tục  a;b  ; x1 , x , x3 , , xn   a;b , α1 ,α ,α3 , ,αn >0 α1 +α +α3 + +α n = ta có: a) Nếu f '  x   với x  a;b  n  α f x  f  i  i   αi x i  i=1  i=1  b) Nếu f '  x   với x  a;b  n  α f x  f    i i   αi x i  i=1  i=1  n n 1.2.3 Một số phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức Phương pháp biến đổi tương đương Phương pháp sử dụng bất đẳng thức cổ điển Phương pháp sử dụng tam thức bậc hai Phương pháp quy nạp Phương pháp phản chứng Phương pháp lượng giác Phương pháp hình học Phương pháp hàm số Phương pháp làm trội 10 Phương pháp so sánh 11 Phương pháp dùng tính chất tỉ số 12 Phương pháp đổi biến số 1.3 Vai trị khái qt hóa, đặc biệt hóa tƣơng tự tốn học Trong tốn học, khái qt hóa, đặc biệt hóa, tương tự trở thành phương pháp suy nghĩ sáng tạo nguồn gốc nhiều phát minh toán học sơ cấp tốn học cao cấp Khái qt hóa, đặc biệt hóa, tương tự vận dụng để mị mẫm dự đốn kết tốn, tìm phương hướng giải tốn; để mở rộng, đào sâu hệ thống hóa kiến thức Trong lịch sử tốn học, có toán mà suốt hàng trăm năm hệ nhà tốn học giới với bao cơng sức giải số trường hợp đặc biệt Chẳng hạn toán tiếng: “Chứng minh phương trình x n +y n = z n khơng có nghiệm nguyên dương n  ”, gọi định lý Phec-ma nhà toán học Phec-ma đề từ kỉ 17 Lời giải có sau 300 năm, tốn thời gian trí tuệ hàng trăm nhà tốn học lớn khắp giới 1.4 Vai trò khái quát hóa, đặc biệt hóa tƣơng tự toán chứng minh bất đẳng thức Đối với nhà trường phổ thơng khái qt hóa, đặc biệt hóa, tương tự thâm nhập vào khâu trình dạy học Trong dạy học chứng minh BĐT, khái quát hóa, đặc biệt hóa tương tự đường giúp hình thành tri thức lí thuyết, phương pháp suy nghĩ giúp mò mẫm, dự đốn để tìm lời giải tốn, mở rộng đào sâu hệ thống hóa kiến thức 1.4.1 Khái quát hóa, đặc biệt hóa tƣơng tự đƣờng giúp hình thành tri thức lí thuyết Khái qt hóa, đặc biệt hóa, tương tự đường giúp hình thành tri thức lí thuyết định lí, tính chất, hệ thức,… 1.4.2 Khái quát hóa, đặc biệt hóa tƣơng tự phƣơng pháp suy nghĩ giúp mò mẫm, dự đốn để tìm lời giải tốn chứng minh bất đẳng thức Bài toán chứng minh BĐT tốn khơng có thuật tốn để giải, với tốn ta đặc biệt hóa để giải tốn trường hợp riêng thử xét toán tương tự đơn giản toán ban đầu lời giải dễ dàng Ta thử xét xem toán tương tự có giúp ích ta việc chứng minh tốn ban đầu hay khơng? Về phương pháp giải có tương tự khơng? Hay ta áp dụng kết tốn tương tự để giải tốn ban đầu khơng? 1.4.3 Khái qt hóa, đặc biệt hóa tƣơng tự phƣơng pháp suy nghĩ giúp mở rộng, đào sâu hệ thống hóa kiến thức Từ kiến thức tốn cho vận dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự để hình thành tri thức mới, đề xuất giải toán Trên sở đào sâu hiểu rõ khái niệm, định lí, góp phần mở rộng vốn kiến thức Từ tạo cho hiểu rõ chất quy luật kiện toán học, xác lập mối liên hệ thống tri thức mà tiếp nhận Ví dụ Gọi H trực tâm tam giác ABC A Ta có: B’ AH BH CH AA' BB' CC' + + = ' + ' + ' -3 = C’ A'H B'H C'H A H BH CH = H SABC SABC SABC + + -3 (1) SBHC SAHC SAHB Mặt khác B A’ C  SABC SABC SABC  SBHC SAHC SAHB  + + + +     Vì SBHC +SAHC +SAHB = SABC  SBHC SAHC SAHB  SABC SABC SABC   SABC SABC SABC + +  (2) SBHC SAHC SAHB Từ (1) (2) ta có: AH BH CH + +  (3) A 'H B'H C'H Dễ thấy hệ thức (3) AA' , BB' , CC' đường trung tuyến Hệ thức (3) liệu AA', BB' , CC' đường phân giác tam giác ABC ? Theo tính chất đường phân giác ta có: 10 ... dưỡng cho học sinh lực khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự Bản thân học sinh học cách vận dụng thao tác khái quát hóa, đặc biệt hóa tương tự để tìm lời giải bào tốn, sâu khai thác tốn Từ rèn luyện. .. hoá, tương tự học sinh lớp 10 thơng qua tốn chứng minh bất đẳng thức Giả thuyết khoa học Nếu học sinh rèn luyện khái quát hoá, đặc biệt hoá tương tự dạy học chứng minh bất đẳng thức có khả khái. .. trường phổ thông khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự thâm nhập vào khâu trình dạy học Trong dạy học chứng minh BĐT, khái quát hóa, đặc biệt hóa tương tự đường giúp hình thành tri thức lí thuyết,