Chương Hàm nhiều biến - Tích phân bội §1 Tích phân bội hai (tích phân kép) §2 Tích phân bội ba §3 Ứng dụng tích phân bội ………………………… §1 TÍCH PHÂN BỘI HAI 1.1 Bài toán mở đầu (thể tích khối trụ cong) • Xét hàm số z f (x , y ) liên tục, không âm mặt trụ có đường sinh song song với Oz , đáy miền phẳng đóng D mpOxy Chương Hàm nhiều biến - Tích phân bội • Để tính thể tích khối trụ, ta chia miền D thành n phần không dẫm lên Si , i 1; n Diện tích phần ký hiệu Si Khi đó, khối trụ cong chia thành n khối trụ nhỏ Trong phần Si ta lấy điểm M i (xi ; yi ) tùy ý thể tích V khối trụ là: n V i • Gọi di f (xi ; yi ) Si max d(A, B ) A, B Si đường kính n Si Ta có: V lim max di i f (xi ; yi ) Si Chương Hàm nhiều biến - Tích phân bội 1.2 Tích phân bội hai a) Định nghĩa • Cho hàm số f (x , y ) xác định miền D đóng bị chặn mặt phẳng Oxy Chia miền D cách tùy ý thành n phần không dẫm lên nhau, diện tích phần Si , i 1; n Lấy n điểm tùy ý M i (xi ; yi ) Si , i 1; n Khi đó, n In i f (xi ; yi ) Si gọi tổng tích phân f (x , y ) D (ứng với phân hoạch chọn Mi ) Si điểm Chương Hàm nhiều biến - Tích phân bội n • Nếu giới hạn I lim max di i f (xi , yi ) Si tồn hữu hạn, không phụ thuộc vào phân hoạch Si cách chọn điểm Mi số thực I gọi tích phân bội hai hàm số f (x , y ) miền D Ký hiệu là: I f (x , y )dS D • Chia miền D đường thẳng song song với Ox , Oy ta Si xi yi hay dS dxdy Vậy I f (x , y )dS D f (x , y )dxdy D Chương Hàm nhiều biến - Tích phân bội f (x, y )dxdy , ta nói hàm số • Nếu tồn tích phân D f (x , y ) khả tích miền D ; f (x , y ) hàm dấu tích phân; x y biến tích phân Nhận xét  S (D ) dxdy (diện tích miền D ) D  Nếu f (x, y ) , liên tục D thể tích hình trụ có đường sinh song song với Oz , hai đáy giới hạn f (x , y )dxdy mặt z , z f (x , y ) V D Chương Hàm nhiều biến - Tích phân bội b) Định lý Hàm f (x , y ) liên tục miền D đóng bị chặn khả tích D 1.3 Tính chất tích phân bội hai Giả thiết tích phân tồn f (x, y )dxdy • Tính chất • Tính chất [ f (x , y ) D D g(x , y )]dxdy fdxdy D D kf (x , y )dxdy D f (u, v )dudv k f (x , y )dxdy, k D gdxdy ; D Chương Hàm nhiều biến - Tích phân bội • Tính chất Nếu chia miền D thành D1, D2 đường cong có diện tích thì: f (x , y )dxdy D f (x , y )dxdy D1 f (x , y )dxdy D2 Chương Hàm nhiều biến - Tích phân bội 1.4 PHƯƠNG PHÁP TÍNH 1.4.1 Đưa tích phân lặp a) Định lý (Fubini) Giả sử tích phân I f (x , y )dxdy tồn tại, D D {(x , y ) : a x b, y1(x ) y y2 (x )}, y2 (x ) với x f (x , y )dy tồn [a; b ] cố định, y1 (x ) y2 (x ) b Khi đó: I dx a f (x , y )dy y1 (x ) Chương Hàm nhiều biến - Tích phân bội Tương tự, miền D là: D {(x, y ) : x1(y ) x I dy c x1 (y ) b D d dx a d} f (x , y )dx Chú ý 1) Nếu miền D hình chữ nhật, D {(x, y ) : a x b, c y d } f (x , y )dxdy y x (y ) d x 2(y ), c [a; b ] [c; d ] thì: d b f (x , y )dy = dy c c f (x , y )dx a Chương Hàm nhiều biến - Tích phân bội 2) Nếu D {(x, y ) : a x b, y1(x ) f (x, y ) u(x ).v(y ) thì: D 3) Nếu D u(x )dx a {(x , y ) : x1(y ) f (x, y ) v(y )dy y1 (x ) x x (y ), c y d} u(x ).v(y ) thì: x (y ) d f (x , y )dxdy D y2(x )} y2 (x ) b f (x , y )dxdy y v(y )dy c u(x )dx x1 (y ) 4) Nếu D miền phức tạp ta chia D thành miền đơn giản Chương Hàm nhiều biến - Tích phân bội VD Tính thể tích vật thể V giới hạn 2 y 2y nằm phần hình trụ x hình cầu x y z ứng với z Giải Chiếu miền V lên mpOxy ta Dxy có biên đường tròn (C ) : x Đặt x r cos , y y 2y r sin V Miền Dxy trở thành Dr : , r sin Chương Hàm nhiều biến - Tích phân bội Phương trình mặt cầu là: x2 y2 z2 z r2 r rdr sin Vậy V zdxdy Dxy d 0 Chương Hàm nhiều biến - Tích phân bội VD Tính thể tích V vật thể giới hạn mặt: x y z , x y 2 z Giải Chiếu V xuống Oxy ta miền Dxy nằm đường tròn (C1 ) : x y nằm (C ) : x y x Đặt y z ta có: (C ) : r r cos r sin z 2, (C ) : r 2, Chương Hàm nhiều biến - Tích phân bội x2 y2 Vr z z z r2 , r 2 Vậy V rd drdz Vr rdr 2 d (4r r )dr Hình 10 4 r2 d z z 2, dz r Chương Hàm nhiều biến - Tích phân bội 3.2 Giá trị trung bình hàm miền đóng  Giá trị trung bình hàm f (x , y ) miền D đóng bị chặn là: f S (D ) f (x , y )dxdy D  Giá trị trung bình hàm f (x, y, z ) miền đóng bị chặn là: f f (x , y, z )dxdydz V( ) Chương Hàm nhiều biến - Tích phân bội VD Tính giá trị trung bình f (x, y ) x cos xy hình chữ nhật D : x , y Giải Ta có: f S (D ) xdx cos xydy VD Tính giá trị trung bình f (x, y, z ) xyz hình lập phương [0; 2] [0; 2] [0; 2] Giải Ta có: f V( ) 2 xdx ydy zdz Chương Hàm nhiều biến - Tích phân bội 3.3 Khối lượng m vật thể  Xét phẳng chiếm miền D (đóng bị chặn) có khối lượng riêng (mật độ khối lượng hay tỉ khối) điểm M (x, y ) D hàm (x, y ) liên tục D Khi đó, khối lượng phẳng là: m (x, y )dxdy D  Xét vật thể chiếm miền V (đóng bị chặn) có khối lượng riêng hàm (x, y, z ) liên tục V Khi đó, khối lượng vật thể là: m (x , y, z )dxdydz V Chương Hàm nhiều biến - Tích phân bội VD Tính khối lượng phẳng chiếm miền D giới hạn x y , x y Biết tỉ khối phẳng hàm (x, y ) xy Giải Ta có: m xydxdy D Chuyển sang tọa độ cực, ta được: m 2 sin d r dr Chương Hàm nhiều biến - Tích phân bội VD Tính khối lượng vật thể chiếm miền V giới hạn mặt: z x y , x y mặt phẳng tọa độ Biết khối lượng riêng hàm (x, y, z ) x Giải Ta có: m xdxdydz V Miền V {0 x 1, xdx x, x y x Vậy m y dy dz z x y } Chương Hàm nhiều biến - Tích phân bội 3.4 Trọng tâm vật thể  Tọa độ trọng tâm G phẳng D có khối lượng riêng (x, y ) liên tục D là: 1 xG x (x, y )dxdy, yG y (x, y )dxdy m D m D  Tương tự, tọa độ trọng tâm G vật thể V là: x (x , y, z )dxdyz, xG m V y (x , y, z )dxdyz , yG m V z (x , y, z )dxdyz zG m V Chương Hàm nhiều biến - Tích phân bội VD Tìm tọa độ trọng tâm hình phẳng D giới hạn x 0, y 0, x y Biết (x, y ) 2x y Giải Ta có: D {0 x 1, • xG (2x y )dxdy D m (2x xy )dxdy D 1 x dx dx (2x xy )dy x }, suy ra: (2x x m y y )dy Chương Hàm nhiều biến - Tích phân bội • yG m (2xy y )dxdy D 1 x dx (2xy y )dy Vậy tọa độ trọng tâm G 1 ; 6 Chương Hàm nhiều biến - Tích phân bội VD Tìm tọa độ trọng tâm vật thể đồng chất V 2 2 y x y giới hạn z , z x Giải Vật thể đồng chất nên (x, y, z ) • Ta có: m k dxdydz m k kV V xG k m V xdxdyz V Mặt V z x Hình chiếu V xuống Oxy x xdxdyz V 2 y z y Chương Hàm nhiều biến - Tích phân bội Chuyển sang tọa độ trụ, ta được: V dxdydz V xG • Tương tự, yG d rdr V 2 r2 0 r2 cos d r dr ydxdyz V dz dz 0 Chương Hàm nhiều biến - Tích phân bội • zG V zdxdyz V d r2 rdr zdz Vậy tọa độ trọng tâm G 0; 0; ……………………………………………………………………………… [...]... y D x a, 0 y 2a 2 2a Vậy I a dy 0 f (x , y )dx y 2 Chương 3 Hàm nhiều biến - Tích phân bội 2 VD 2 Tính tích phân I 6xy dxdy D Trong đó, D [0; 2] [ 1; 1] Giải Ta có: 2 I 1 3y 2dy 2xdx 0 x2 1 2 0 y3 1 1 8  Chương 3 Hàm nhiều biến - Tích phân bội VD 3 Tính tích phân I Trong đó, D (2x {y D x 0 (1 2 y 2 2y )dy y )dxdy y, 1 4 3 2 y 0}  Chương 3 Hàm nhiều biến - Tích phân bội ydxdy , trong đó miền... 2y 2 18 2 Chương 3 Hàm nhiều biến - Tích phân bội b) Đổi thứ tự lấy tích phân I dx a f (x , y )dy y1 (x ) x 2 (y ) d y2 (x ) b I dy c f (x , y )dx x1 (y ) Chương 3 Hàm nhiều biến - Tích phân bội VD 6 Đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân sau: 2y 3 I dy 1 Giải Ta có D 0 x f (x , y )dx 0 2y, 1 Chiếu miền D lên Ox thì D D1 D2 Ta có: D1 0 D2 2 x 2, 1 x x 6, 2 y y 3 , 3 y 3 Chương 3 Hàm nhiều... parapol: 2 2 y x , 2y x , x 2 y , 3x 2 y 2 2 Giải Từ y x , 2y x , x y 2, 3x y2 ta suy ra: x2 y x2 1, y y2 2, x y2 1, x 3  Chương 3 Hàm nhiều biến - Tích phân bội 2 2 x ,v y Đặt u y x Duv u 1 2, 1 v 3 Khi đó: J 1 (u, v ) (x , y ) 1 ux uy vx vy 1 2x y y2 x Vậy S (Dxy ) dxdy Dxy J dudv Duv x 2 2 1 3 y2 2y x 1 S (Duv ) 3 2 3 Chương 3 Hàm nhiều biến - Tích phân bội b) Đổi biến trong tọa độ cực Trong mpOxy... 2 y2 2 dy 1 f (x , y )dx 0 Chương 3 Hàm nhiều biến - Tích phân bội VD 8 Đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân sau: x 1 I dx 0 Giải Ta có D D1 D2 0 1 3 f (x , y )dy x2 9 D1 dx 1 D2 , x x2 1, 9 y x x x2 3, 9 y 1 1 f (x , y )dy x2 9 Chương 3 Hàm nhiều biến - Tích phân bội Chiếu miền D lên Oy ta được: D y x 3 y, 0 dy 0 1 3 y 1 Vậy I y f (x , y )dx y Chương 3 Hàm nhiều biến - Tích phân bội 1.4.2... 2 x Chương 3 Hàm nhiều biến - Tích phân bội x 2 2 Vậy I dx x2 1 1 2 ydy 2 (x 1 2 4x 4 4 x )dx 36 5 Chương 3 Hàm nhiều biến - Tích phân bội VD 5 Tính tích phân I ydxdy , trong đó miền D D giới hạn bởi các đường y Giải Tung độ giao điểm: 2 y y 4 y 2, y 2 Miền D y2 2 4 x y 4, 2 y 4 x 4, y 2 2x Chương 3 Hàm nhiều biến - Tích phân bội y 4 4 Vậy I ydy dx y2 2 2 4 2 y y 4 2 4 y 8 y dy 2 4 3 y 3 2y 2... x y 1, x y 3, x y 2, x y 5 u Giải Đặt v Ta có miền D Jacobien J x x y y Dxy (x , y ) (u, v ) u x v 2 Duv {1 xu yu xv yv ,y u v 2 u 3, 2 1 1 2 2 1 1 2 2 v 5} 1 2 Chương 3 Hàm nhiều biến - Tích phân bội Vậy I (x y )(x y )dxdy Dxy 1 2 Duv 3 5 udu 1 uv J dudv vdv 2 21 Chương 3 Hàm nhiều biến - Tích phân bội VD 10 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 4 parapol: 2 2 y x , 2y x , x 2 y , 3x 2 y 2... Vậy I 3 dx 0 6 f (x , y )dy 1 3 dx 2 f (x , y )dy x 2 Chương 3 Hàm nhiều biến - Tích phân bội VD 7 Đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân sau: 2 x2 1 I dx f (x , y )dy x 0 Giải Ta có miền D : 0 x 1, x y 2 x 2 Chiếu miền D lên Oy thì D D1 D2 , trong đó: D1 D2 = 0 x 0 x y, 0 2 y 2 y ,1 1 , y 2 Chương 3 Hàm nhiều biến - Tích phân bội y 1 Vậy I dy 0 f (x , y )dx 0 2 y2 2 dy 1 f (x , y )dx 0 Chương. .. Chương 3 Hàm nhiều biến - Tích phân bội VD 1 Cho I f (x , y )dxdy Xác định cận tích phân D lặp với miền D giới hạn bởi y 0, y Giải Tọa độ giao điểm của y 2x, x • Trường hợp 1 Chiếu miền D lên Ox (hình a) ta được: 0 x a Xét về chiều cao thì D được giới hạn bởi Ox và y 2x nên D {0 x a, 0 y 2x } a Vậy I 2x dx 0 f (x , y )dy 0 2x, x a 0 a là A(a; 2a )  Chương 3 Hàm nhiều biến - Tích... định bởi: Dxy {(x , y ) : x x (u, v ), y y(u, v ), (u, v ) Duv }  Chương 3 Hàm nhiều biến - Tích phân bội Nếu hàm f (x , y ) khả tích trên Dxy và Jacobien J (x , y ) (u, v ) xu yu f (x, y )dxdy thì xv yv 0 trong Duv f (x (u, v ), y(u, v )) J dudv Dxy Duv Chú ý J (x , y ) (u, v ) xu yu xv yv 1 (u, v ) (x , y ) 1 ux uy vx vy Chương 3 Hàm nhiều biến - Tích phân bội VD 9 Tính tích phân I (x 2 2 y )dxdy... tiếp xúc với miền D và Ox,OA , Ox,OB Khi đó: M D OM1 OM Ox , OM OM 2 Chương 3 Hàm nhiều biến - Tích phân bội x Đặt y r cos r sin với r OM , Khi đó, miền D trở thành: Dr {(r , ) : r1( ) Ta có J (x , y ) (r, ) xr yr r x y Ox, OM r2 ( ), cos sin } r sin r cos r Vậy: r2 ( ) f (x , y )dxdy Dxy d f (r cos , r sin ).rdr r1 ( ) Chương 3 Hàm nhiều biến - Tích phân bội Chú ý 1) Đổi biến trong tọa độ cực thường ... [0; 2] [ 1; 1] Giải Ta có: I 3y 2dy 2xdx x2 y3 1  Chương Hàm nhiều biến - Tích phân bội VD Tính tích phân I Trong đó, D (2x {y D x (1 y 2y )dy y )dxdy y, y 0}  Chương Hàm nhiều biến - Tích... giao điểm: x x x x Suy miền D là: x 2, x y x x 2, y x Chương Hàm nhiều biến - Tích phân bội x 2 Vậy I dx x2 1 ydy (x 4x 4 x )dx 36 Chương Hàm nhiều biến - Tích phân bội VD Tính tích phân... x2 D1 dx D2 , x x2 1, y x x x2 3, y f (x , y )dy x2 Chương Hàm nhiều biến - Tích phân bội Chiếu miền D lên Oy ta được: D y x y, dy y Vậy I y f (x , y )dx y Chương Hàm nhiều biến - Tích phân