SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH HƢNG YÊN TRƢỜNG THPT YÊN MỸ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: “ĐI TÌM NGUỒN GỐC BÀI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG, ĐỊNH HƢỚNG CÁCH GIẢI VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH” Môn : Toán Nhóm tác giả : Nguyễn Cao Thời - Trƣờng THPT Yên Mỹ Vũ Văn Dũng - Trƣờng THPT Triệu Quang Phục Nguyễn Văn Phu Chức vụ - Trƣờng THPT Minh Châu : Giáo viên Năm học: 2015 - 2016 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “ĐI TÌM NGUỒN GỐC BÀI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG, ĐỊNH HƢỚNG CÁCH GIẢI VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH” A ĐẶT VẤN ĐỀ I – Lý chọn đề tài Bài toán hình học giải tích mặt phẳng toán thƣờng xuất kỳ thi, kỳ thi Đại học, THPT Quốc Gia Nó coi nhƣ điểm thứ đề thi, câu khó với nhiều đối tƣợng học sinh, học sinh có lực trung bình câu có tính phân loại học sinh Học sinh muốn đạt điểm tốt môn Toán cần phải biết cách vƣợt qua toán dạng Vì quan tâm đặc biệt học sinh thầy, cô dạy toán Các toán hình học giải tích phẳng thƣờng gắn liền với số tính chất hình học phẳng túy Việc khó khăn toán, cần phải sử dụng tính chất hình học nào, tính chất có phát biểu toán hay phải phán đoán tính chất có lợi cho toán chứng minh Một việc phải chuyển từ ngôn ngữ hình học phẳng sang ngôn ngữ hình giải tích phẳng cho thuận tiện dễ hiểu Để giúp thầy, cô có nhìn rõ đề thi đại học năm gần đây, dạy học ôn thi hiệu quả; để giúp em học sinh tiếp thu dạng toán dễ dàng Chúng mạnh dạn chọn đề tài: “Đi tìm nguồn gốc toán hình học giải tích mặt phẳng, định hƣớng cách giải phát triển lực tƣ sáng tạo cho học sinh” II – Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu khó khăn thuận lợi học sinh giải toán hình học giải tích phẳng, thông qua chuyên đề, trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp tìm tòi thân Đƣa số tính chất hình học thƣờng dùng, hệ thống tập áp dụng; khái quát hóa, đặc biệt hóa, tƣơng tự hóa từ số toán hình học phẳng sang toán hình học giải tích phẳng III – Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Giáo viên giảng dạy môn toán THPT - Học sinh khối 10 THPT - Học sinh khối 12 ôn thi kỳ thi THPT Quốc gia - Đội tuyển thi học sinh giỏi tỉnh khối 12 IV – Phƣơng pháp nghiên cứu - Trao đổi với đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực - Tìm kiếm tài liệu liên quan đến hình học phẳng, hình học giải tích phẳng; sáng kiến kinh nghiệm đồng nghiệp thuộc môn toán - Giảng dạy tiết tập, chuyên đề lớp 10A6, 10A1, 12A1 trƣờng THPT Yên Mỹ, Minh Châu, Triệu Quang Phục để thu thập thông tin - Họp nhóm biên soạn để tìm phƣơng án hợp lý B NỘI DUNG I - Thực trạng vấn đề trƣớc làm đề tài Huyện Yên Mỹ tỉnh Hƣng Yên có ba trƣờng THPT công lập THPT Yên Mỹ, THPT Minh Châu THPT Triệu Quang Phục Quá trình dạy học môn Toán trƣờng huyện dừng lại mức độ hội học, hội giảng trao đổi kinh nghiệm nội trƣờng mà chƣa có hoạt động mang tính liên trƣờng với Vì mà kinh nghiệm giảng dạy chƣa có nhìn toàn diện sâu sắc Nhiều thầy cô lúng túng việc lựa chọn phƣơng pháp giảng dạy hệ thống tập chƣa đƣợc phù hợp học sinh gặp nhiều khó khăn Đề tài tạo sân chơi hội để thầy cô dạy môn Toán ba trƣờng giao lƣu, học hỏi, trao đổi sáng kiến, kinh nghiệm biện pháp giảng dạy đề tài hình học giải tích phẳng cho có hiệu quả, giúp học sinh dễ tiếp thu kiến thức II – Kết đạt đƣợc áp dụng đề tài Sau áp dụng kết nghiên cứu đề tài qua khảo sát cho thấy đa phần thầy cô thấy có hiệu thực áp dụng dạy lớp Trong hai đề thi thử Đại học có 85% học sinh lớp 10 90% học sinh lớp 12 giải đƣợc toán hình học giải tích phẳng III – Khả ứng dụng triển khai kết - Đề tài làm tài liệu tham khảo giảng dạy cho thầy cô dạy môn Toán trƣờng THPT - Đề tài tài liệu tham khảo bổ ích cho em thi học sinh giỏi, khối 10 em học sinh thi THPT Quốc gia IV – Cơ sở lí luận Phƣơng pháp phát giải vấn đề Phƣơng pháp tƣơng tự hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa Một số kết hình học phẳng thƣờng dùng Tính chất Cho tứ giác ABCD nội tiếp đƣờng tròn tâm I, tiếp tuyến Cx C Khi BAC  BDC  BCx  BIC Tính chất Cho hình vuông ABCD, gọi M, N lần lƣợt trung điểm BC CD Khi AM  BN Tính chất Cho tam giác ABC nội tiếp đƣờng tròn tâm I Có trực tâm H, M trung điểm BC Khi AH  2IM Tính chất Cho tam giác ABC nội tiếp đƣờng tròn tâm I Gọi H, K lần lƣợt chân đƣờng cao kẻ từ B, C xuống cạnh AC, BC Khi IA  HK Tính chất Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi D giao điểm thứ hai đƣờng thẳng AH với đƣờng tròn ngoại tiếp ABC M giao điểm AH với BC Khi M trung điểm HD Tính chất Cho tam giác ABC có tâm đƣờng tròn nội tiếp J Gọi D giao điểm thứ hai đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC với đƣờng thẳng AJ I tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khi D tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác JBC ID  BC Tính chất Cho ABC có trực tâm H; E, D lần lƣợt hình chiếu vuông góc C, B lên cạnh AB AC Gọi P trung điểm AH, M trung điểm BC Khi PM  ED Tính chất Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi D, E, F lần lƣợt chân đƣờng cao kẻ từ A, B, C xuống cạnh BC, CA, AB Khi H tâm đƣờng tròn nội tiếp DEF Chú ý: Cần đặc biệt ý quan hệ vuông góc, nhau, quan hệ góc hình vuông, hình thoi tam giác đặc biệt Các công thức diện tích, khoảng cách, công thức tính góc, định lý sin, cosin tam giác… Một số toán Bài toán Lập phƣơng trình đƣờng thẳng Qua hai điểm phân biệt Qua điểm vuông góc với đƣờng thẳng cho trƣớc Qua điểm song song với đƣờng thẳng cho trƣớc Qua điểm tạo với đƣờng thẳng cho trƣớc góc không đổi Qua điểm cách điểm khoảng không đổi Là phân giác tạo hai đƣờng thẳng cắt Là phân giác góc tam giác cho trƣớc Bài toán Tìm điểm M thỏa mãn tính chất cho trƣớc A Đối xứng với điểm qua đƣờng thẳng d B Thuộc đƣờng cho cách điểm cố định khoảng không đổi I(a;b) c Δ M(ts) Thuộc hai đƣờng mà ta cần xác định hai phƣơng trình hai đƣờng d1 d d2 M M M I I1 I2 Điểm M thuộc đƣờng thẳng (∆) M với điểm I cho trƣớc tạo với (∆) góc không đổi I(a;b) α Δ M(ts) Bài toán Lập phƣơng trình đƣờng tròn u Qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng Biết tâm bán kính Biết tâm thuộc đƣờng thỏa mãn tính chất cho trƣớc Một số ý Về toán tìm điểm +) Điểm cần tìm có yếu tố thuận lợi +) Điểm cần tìm có thuộc đƣờng biết không +) Có thể tính đƣợc khoảng cách từ điểm đến điểm cố định đƣợc không +) Cần đặc biệt ý điểm cần tìm trọng tâm, trực tâm, tâm đƣờng tròn ngoại tiếp… +) Để tìm điểm A, tìm điểm B thuận lợi mà từ xác định đƣợc tọa độ điểm A Về mối liên hệ ba điểm Cho ba điểm A, B, C biết hai ba điểm Khi điểm có mối quan hệ sau: B B C A A +) Tạo thành mối quan hệ vuông góc C +) Tạo thành tam giác cân, A B α C +) Tạo thành góc xác định A B C +) Ba điểm thẳng hàng Về mối liên hệ hai điểm đƣờng thẳng Cho hai điểm A, B đƣờng thẳng d Khi chúng có mối quan hệ A sau: +) AB tạo với d góc xác định (B thuộc d) B α d A +) Đƣờng thẳng AB vuông góc với đƣờng thẳng d d B Các bƣớc tìm lời giải toán hình giải tích phẳng Bƣớc Từ giả thiết toán phát tính chất hình học mối liên hệ ràng buộc Bƣớc Đại số hóa điểm, đƣờng từ mối liên hệ hình học điểm, đƣờng toán để có phƣơng trình, hệ phƣơng trình Bƣớc Giải phƣơng trình, hệ phƣơng trình tìm tọa độ điểm hay phƣơng trình đƣờng Bƣớc Kết luận; đánh giá, tìm hƣớng phát triển PHẦN I TỪ MỘT BÀI TOÁN CƠ BẢN ĐẾN BÀI TOÁN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC (Nguyễn Cao Thời) Hình học Euclid (hình học phẳng) hình học đƣợc xây dựng hệ tiên đề, hình học giải tích phẳng cách biểu hình học Euclid ngôn ngữ đại số Từ toán hình học phẳng cách tọa độ hóa điểm, đƣờng thẳng khác ta có cách phát biểu toán khác mà không làm thay đổi tính chất toán ban đầu (bài toán gốc) Từ toán gốc ta sáng tác nhiều toán hình giải tích phẳng khác Vậy nên, muốn nghiên cứu toán hình giải tích phẳng cách triệt để có tính phát triển việc tìm toán cội nguồn vô cần thiết Xuất phát từ toán: “Cho hình vuông ABCD Gọi M N lần lƣợt trung điểm BC CD Khi AN  DM ” Bằng cách tọa độ hóa điểm M cho phƣơng trình đƣờng thẳng AN Ta có toán sau: “Cho hình vuông ABCD Gọi M N lần lƣợt trung điểm BC DC Biết điểm M(2; 3) đƣờng thẳng AN có phƣơng trình x - 2y + =0 Tìm tọa độ điểm A” Trong toán xét điểm N vị trí N’, thay DM thành PM giữ cố định AM; vẽ đƣờng tròn đƣờng kính AM Bằng trực giác ta thấy AN '  PM giao điểm H AN’ PM nằm BD Bằng công cụ vectơ hay tọa độ ta chứng minh nhận định Ta có kết sau: “Cho hình vuông ABCD Gọi N điểm cạnh DC NC = 2DN, P điểm cạnh AD cho PA = 5PD, H giao điểm AN PM Khi tam giác AHM vuông cân H thuộc BD thỏa mãn HB = 3HD” Đến cách cho biết tọa độ số điểm cho số đƣờng thẳng có phƣơng trình hợp lý, ta có nhiều toán vấn đề, hai toán hai đề thi Đại học năm 2012 năm 2014 Bài toán (ĐH_A_2012) Cho hình vuông ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC, N điểm cạnh CD cho CN = 2ND Giả sử M  ;  AN có  2 11 phƣơng trình 2x - y - = Tìm tọa độ điểm A Có hƣớng để tìm tọa độ điểm A Hƣớng “Tìm độ lớn góc M H” (cách 1) A B Hƣớng “Tìm độ lớn góc M H” (cách 2) M H Hƣớng “Tính M kh ng s d ng yếu tố góc” (cách 1) P D C N Hƣớng “Tính M kh ng s d ng yếu tố góc” (cách 2) Nhận xét: Nếu toán thay cho tọa độ điểm M, mà thay cho tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AM Thì toán mức độ sâu Thay cho phƣơng trình đƣờng thẳng AN ta cho tọa độ điểm H, từ ta có đề thi Đại học khối A năm 2014 Bài toán (ĐH_A_2014) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M trung điểm đoạn BC H điểm thuộc đoạn DB cho HB = 3DH Viết phƣơng trình đƣờng thẳng AD, biết M(1; 2) H(2; -1) A A B B ? M M H P H P D N C D C N Hƣớng “Tìm trung điểm I c a đoạn thẳng D” Hƣớng “Tìm hai điểm ph n biệt tr n đƣờng D” Hƣớng “Tìm điểm tr n D góc gi a D với đƣờng thẳng cố định (HM) kh ng đ i” Để ý góc AMP  45o góc đặc biệt, nên khai thác theo hƣớng “số đo góc tâm hai lần số đo góc nội tiếp chắn cung” ta có toán sau: Bài toán Cho hình vuông ABCD Gọi M trung điểm BC, H điểm thuộc đƣờng chéo BD cho BH = 3HD, MH cắt cạnh AD P Giả sử điểm I(-1; 2) tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác AMP, đƣờng thẳng AD có phƣơng trình 2x - y - = Tìm tọa độ điểm A ĐS: A(1; -4) Xét toán gốc dƣới góc nhìn khác B F E H G A M 10 Từ (1),(2),(3) suy tứ giác B’MLC’ hình chữ nhật nên nội tiếp đƣờng tròn đƣờng kính LB’ hay đƣờng kính C’M KH đƣờng tròn (C) E, F chân đƣờng cao kẻ từ B C nên BE  EB '; CF  C ' F Hay LEB '  C ' FM  900  E, F  (C ) Chứng minh tƣơng tự MKC '  900  K  (C ) Chứng minh tƣơng tự tứ giác A’C’KM hình chữ nhật nên điểm A’, C’, K, M thuộc đƣờng tròn (C) Mà KDA '  900  D  (C) Vậy điểm A’, B’, C’, D,E,F,K,L,M thuộc đƣờng tròn (C).Gọi D điểm đối xứng A qua I Khi tứ giác BHCD hình bình hành  HB  HC  HD  HA  HB  HC  HA  HD  2HI GA  GH  GB  GH  GC  GH  2(GI  GH )  GH  2GI (ĐPCM) Nh n xét: Từ t nh chất ta xâ dựng toán sau Bài toán 5.1 Trong mặt phẳng Oxy cho ABC không vuông đƣờng thẳng (d) có phƣơng trình 2x+y-2=0 Giả sử D(4;1), E(2;-1), N(1;2) theo thứ tự chân đƣờng cao kẻ từ A, chân đƣờng cao kẻ từ B trung điểm cạnh AB Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết trung điểm M BC thuộc đƣờng thẳng (d) xM  HD +Phƣơng trình đƣờng tròn Ơle x2  y  x  y   (C)   M ( ;1) +Điểm M  (d ) & M  (C )  {M }  d  (C )    M ( ;1)( L)  + Viết phƣơng trình đƣờng thẳng BC qua D M : y=1 t  2  B(2;1) + B  BC  B(t;1) AEB vuông E suy BN=NE ;  t   B(4;1)  D (L) +M, N lần lƣợt trung điểm BC AB suy C(3;1),A(4;3) Bài toán 5.2 Trong mặt phẳng Oxy cho có phƣơng trình đƣờng thẳng AB, AC lần lƣợt 3x-y+8=0 x+y-4=0 Đƣờng tròn qua trung điểm đoạn 60 thẳng HA,HB,HC có phƣơng trình là: x  ( y  )2  25 , H trực tâm tam giác ABC Tìm tọa độ điểm H biết xC  HD + A  AB  AC  A(1;5) + Gọi E,B’ lần lƣợt chân đƣờng cao kẻ từ B trung điểm AC  B '(2; 2), E ( ; )  C (5; 1) (L)  2 EB '  AC  (C )    B'( ; ), E (2; 2)  C (4;0)  2 + Đƣờng thẳng BH qua E vuông góc với AC có PT x-y=0 + Đƣờng thẳng CH qua C vuông góc với AB có PT x+3y-4=0 Điểm H  BH  CH  H (1;1) Bài toán 5.3 Trong mặt phẳng Oxy cho ABC có đỉnh B(-1 ;4) Gọi D, E(-1;2), N 2 lần lƣợt chân đƣờng cao kẻ từ A,B trung điểm AB Biết I ( ; ) tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác DEN Tìm tọa độ đỉnh C tam giác Bài toán 5.4 Trong mặt phẳng Oxy cho ABC nội tiếp đƣờng tròn (C): ( x  2)2  ( y  2)2  25 , đƣờng thẳng qua A vuông góc với BC cắt đƣờng tròn (C) điểm thứ hai E(1;-2) khác A Tìm tọa độ đỉnh tam giác biết trọng 16 tâm G (1; ) Bài toán 5.5 Trong mặt phẳng Oxy cho ABC có tâm đƣờng tròn ngoại tiếp ( ; ) , trực tâm H ( ; ) trung điểm cạnh BC M(1;1) Xác định tọa độ 3 3 đỉnh tam giác ABC Bài toán 5.6 Trong mặt phẳng Oxy cho ABC có trọng tâm G(1;1) Phƣơng trình đƣờng tròn qua trung điểm đoạn AB,BC chân đƣờng cao hạ từ B xuống AC có phƣơng trình x2  ( y  1)2  Viết phƣơng trình đƣờng tròn ngoại tiếp ABC 61 Bài toán gốc Cho tam giác ABC cân A Gọi I tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, D trung điểm cạnh AB, E G lần lƣợt trọng tâm tam giác ACD ABC CMR I trực tâm tam giác DEG HD Gọi M, N lần lƣợt trung điểm AC AD Khi theo tính chất trọng tâm tam giác ta có CG CE    GE / / DN Hay GE//AB mà ID  AB  ID  GE CD CN (1) Mặt khác ABC cân A nên AI  BC mà DM đƣờng trung bình ABC  DM / / BC AI  DM hay GI  DM (2) Từ (1) (2) suy I trực tâm tam giác DGE Từ toán ta xây dựng toán nhƣ sau: Chọn tam giác giả sử A(4;5), B(-5;2), C(1; -4) Khi ta tìm đƣợc điểm M   ;  Tâm đƣờng tròn ngoại tiếp I ( ; ), trọng tâm tam giác ACD 4  2 3 K ( ; ) ta có toán sau: 2 Bài toán 6.1 Trong mặt phẳng Oxy cho ABC cân A; M trung điểm đoạn 3 2 AB Biết I ( ; ) tâm đƣờng tròn ngoại tiếp G(0;1), K ( ; ) lần lƣợt 4 trọng tâm tam giác ACM Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC HD 1  3  GI  ( ; )  KM  ( x  ; y  )  4 2  Giả sử M(x;y)   GM  ( x; y  1)  KI  ( ;  )   4 GI KM   x  y     M ( ; ) Ta có  2   KI GM  5 x  y  A N Lại có MC  3MG  C (1; 4) K D P I G(0;1) B 62 C Mặt khác K trọng tâm tam giác ACM suy A(4;5) M trung điểm AB suy B(-5;2) Bài toán 6.2 Trong mặt phẳng Oxy cho ABC cân A; M trung điểm đoạn 3 2 AB Biết I ( ; ) tâm đƣờng tròn ngoại tiếp K ( ; ) trọng tâm tam 4 giác ACM Các đƣờng thẳng AB, CM lần lƣợt qua điểm E(-2;3), F(0;1) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết hoành độ điểm M âm HD + PT đƣờng thẳng CM qua F vuông góc với KI là: 5x+y-1=0 + M thuộc CM nên M(m;1-5m) +  m  (L) IM ME     m    M ( ; )  2 A N + PT đƣờng thẳng AB qua M E là: x-3y+11=0 K D + Goi P trung điểm AC theo P I tính chất trọng tâm tam giác ta có : G E(-2;3) MP  MK  P( ; ) 2 F(0;1) B C + Ta có A  AB  A(2a 11; a); C  CM  C(c;1  5c) + P trung điểm AC  a  5, c  ta đƣợc A(4 ;5), C(1 ;-4) Chọn tam giác giả sử A(7;5), B(-1;1), C(3;-3) Khi ta tìm đƣợc 11 điểm D(3;3) Tâm đƣờng tròn ngoại tiếp I ( ; ), trọng tâm tam giác ACD 3 13 E ( ; ) ta có toán sau: 3 Bài toán 6.3 Trong mặt phẳng Oxy cho ABC cân A; D trung điểm đoạn 11 3 13 ; ) lần lƣợt tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác 3 AB Biết I ( ; ), E ( 63 ABC, trọng tâm tam giác ADC; điểm M (3; 1), N (3;0) lần lƣợt thuộc đƣờng thẳng DC, AB Tìm tọa độ đỉnh tam giác biết A có tung độ dƣơng HD PT đƣờng thẳng CG: x-3=0; D,G thuộc đƣờng thẳng CG  D(3;3)  D(3; y1 ); G (3; y2 ); DN  DI    D(3;  )  * Với D(3;3) suy PT đƣờng thẳng AB: x-2y+3=0 AI qua I vuông góc với DE nên có PT x-y-2=0 Điểm {A}  AB  AI  A(7;5)  B(1;1) + Đƣờng thẳng BC qua B vuông góc với AI nên có PT x+y=0 Điểm {C}  BC  CD  C (3; 3) * Với D(3;  ) làm tƣơng tự nhƣ ta đƣợc 107 125 A( ; ) 27 (loại) + CG  2GD  C +E trọng tâm tam giác ADC suy A +D trung điểm AB suy A BT tƣơng tự Bài toán 6.4 Trong mặt phẳng Oxy cho ABC cân A có C(1;-4) ; M trung 4 3 2 điểm đoạn AB Biết I ( ; ) tâm đƣờng tròn ngoại tiếp ABC K ( ; ) trọng tâm tam giác ACM Tìm tọa độ đỉnh tam giác biết xA  Bài toán 6.5 Trong mặt phẳng Oxy cho ABC cân A có C(2;-3) ; M trung 3 3 điểm đoạn AB Biết I ( ;  ) tâm đƣờng tròn ngoại tiếp ABC K ( ; ) trọng tâm tam giác ACM Tìm tọa độ đỉnh tam giác biết A không trùng với gốc tọa độ Bài toán 6.6 Trong mặt phẳng Oxy cho ABC cân A có M trung điểm đoạn 3 3 AB Biết I ( ; ) tâm đƣờng tròn ngoại tiếp ABC G(3;0), K ( ; ) lần lƣợt 64 trọng tâm tam giác ABC tam giác ACM Tìm tọa độ đỉnh tam giác biết A không trùng với gốc tọa độ Bài toán 6.7 Trong mặt phẳng Oxy cho ABC cân A có M trung điểm đoạn 8 3 10 3 AB Biết I ( ; ) tâm đƣờng tròn ngoại tiếp ABC K ( ; ) trọng tâm tam giác ACM Các đƣờng thẳng AB, CM lần lƣợt qua điểm E(0;3), F(2;0) Tìm tọa độ đỉnh tam giác biết A có tung độ dƣơng Bài toán 6.8 Trong mặt phẳng Oxy cho ABC cân A; M trung điểm đoạn 3 AB Biết E ( ; ) trọng tâm tam giác ACM Phƣơng trình đƣờng thẳng CM y-3=0, đƣờng thẳng AB qua điểm D(  ; 4) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết điểm M có tung độ dƣơng tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm đƣờng thẳng 2x-y+4=0 Bài toán 6.9 Trong mặt phẳng Oxy cho ABC cân A; M trung điểm đoạn 11 AB Biết E ( ;  ) trọng tâm tam giác ADM Phƣơng trình đƣờng thẳng CM 5x-7y-20=0, đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm nằm đƣờng thẳng 2x+4y+7=0 bán kính R  Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết A C có tọa độ nguyên Bài toán gốc Cho ABC có trực tâm H; E, D lần lƣợt hình chiếu vuông góc C, B lên cạnh AB AC Gọi P trung điểm AH, M trung điểm BC Chứng minh PM  ED HD Tứ giác AEHD nội tiếp đƣờng tròn (C) đƣờng kính AH tâm P Tứ giác BEDC nội tiếp đƣờng tròn (C’) 65 đƣờng kính BC tâm M Ta có (C)  (C)  {E,D}  PM  ED Bài toán 7.1 Trong mặt phẳng Oxy cho ABC có A(-2;-1), trực tâm H(2;1) Gọi D,E lần lƣợt chân đƣờng cao hạ từ đỉnh B,C Biết đƣờng thẳng DE có PT: 3x+y-5=0, điểm Q(1;5) thuộc đƣờng thẳng BC Lập phƣơng trình đƣờng tròn ngoại tiếp ABC HD Theo KQ toán gốc PM  ED : 3x  y    PM : x  y  m  P trung điểm AH P  O(0;0) P  PM  m   (PM ) : x  y  Đƣờng thẳng AC qua Q vuông góc với AH có Phƣơng trình 2x+y-7=0 + Điểm M giao điểm PM BC  M (3;1) + Gọi I tâm đƣờng tròn ngoại tiếp ABC  IM  AH  I (1;0), R  IA  10 + PT đƣờng tròn (C): ( x 1)2  y  10 Bài toán 7.2 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(-2;-1), trực tâm H(2;1) BC  Gọi B’, C’ lầ lƣợt chân đƣờng cao kẻ từ đỉnh B,C Lập phƣơng trình đƣờng thẳng BC, biết trung điểm M cạnh BC nằm đƣờng thẳng có phƣơng trình x-2y-1=0, tung độ M dƣơng đƣờng thẳng B’C’ qua điểm N(3;-4) HD + Do M  đƣờng thẳng x-2y-1=0 nên M(2m+1;m) với m  + VÌ B’, C’ nhìn BC dƣới góc vuông nên tứ giác BCC’B’ nội tiếp đƣờng tròn (M;BM) với MB  BC  +Đƣờng tròn ngoại tiếp tứ giác BCC’B’ có PT: ( x  2m 1)2  ( y  m)2  (C) + Gọi I trung điểm AH  I  O(0;0) +Đƣờng tròn ngoại tiếp tứ giác AC’HB’ có PT: x2  y  (C’) + Do (C)  (C ')  {B ', C '}  PT (B'C'): x  y  ( x  2m 1)2  ( y  m)  66  ( B ' C ') : 2(2m+1)x+2my-5m2  4m 1   m  1(t / m)  m  1( L) + Điểm N(-3;4)  B ' C '  6(2m  1)  4m  5m2  4m      M (3;1) Đƣờng thẳng BC qua M vuông góc với AH có PT: 2x+y-7=0 Bài toán 7.3 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có B(4;3), C(1;4) Gọi H, B1 , C1 lần lƣợt trực tâm , chân đƣờng cao hạ từ đỉnh B,C tam giác ABC Trung điểm AH nằm đƣờng thẳng (d): x-y=0 Tìm tọa độ đỉnh A biết B1 , C1 nằm đƣờng thẳng (d’): x+2y-7=0 Bài toán gốc Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi D, E, F lần lƣợt chân đƣờng cao kẻ từ A, B, C xuống cạnh BC, CA, AB Chứng minh H tâm đƣờng tròn nội tiếp DEF HD Ta có tứ giác AEHF nội tiếp đƣờng tròn đƣờng kính AH  FAH  FEH (1) (góc nội tiếp chắn cung FH ) Tứ giác DHEC nội tiếp đƣờng tròn đƣờng kính CH  DEH  DCH (2) (góc nội tiếp chắn cung DH ) Tứ giác AFDC nội tiếp đƣờng tròn đƣờng kính AC  FAH  DCH (3) (góc nội tiếp chắn cung D ) Từ (1), (2), (3) suy DEH  FEH hay EH đƣờng phân giác góc DEF (4) Chứng minh tƣơng tự HD đƣờng phân giác góc EDF (5) Từ (4) (5) suy H tâm đƣơng tròn nội tiếp tam giác DEF (đpcm) Từ toán ta xâ dựng toán Bài toán 8.1 Trong mặt phẳng Oxy cho ABC có M(2;-1), N(2;2), P(-2;2) tƣơng ứng chân đƣờng cao kẻ từ A, B, C tam giác Xác định tọa độ đỉnh tam giác 67 Bài toán 8.2 Trong mặt phẳng Oxy cho ABC có ba góc nhọn Gọi M(-1;-2), N(2;2), P(-1;2) tƣơng ứng chân đƣờng cao kẻ từ A, B, C tam giác Viết phƣơng trình cạnh tam giác Bài toán 8.3 Trong mặt phẳng Oxy cho ABC có M(11;-7), N(23;9), P(-1;2) tƣơng ứng chân đƣờng cao kẻ từ A, B, C tam giác Xác định tọa độ đỉnh tam giác Bài toán 8.4 Trong mặt phẳng Oxy cho ABC có M(2;6), N(-3;-4), P(5;0) tƣơng ứng chân đƣờng cao kẻ từ A, B, C tam giác Xác định tọa độ đỉnh tam giác C KẾT LUẬN - Trong dạy học giải tập toán nói chung dạy học giải tập toán hình học giải tích mặt phẳng nói riêng, việc giải toán theo nhiều cách khác gây hứng thú cho học sinh mà tạo tìm tòi, tƣ duy, sáng tạo hiểu vấn đề cách sâu sắc - Trong đề tài hình giải tích phẳng dừng lại việc giải toán biết phần mà gốc gác vấn đề Nếu tìm đƣợc cội nguồn toán, cách giải toán cách sâu sắc, ngành, mà từ ta xây dựng đƣợc nhiều toán khác phong phú đa dạng, nghĩa đến đƣợc nhiều vấn đề - Đề tài giúp Giáo viên định hƣớng em học sinh từ toán gốc đó, yêu cầu em chứng minh tính chất toán Từ gợi ý em sử dụng phƣơng pháp đặc biệt hóa, tƣơng tự hóa để tọa độ hóa điểm, sáng tác toán hình giải tích phẳng Điều giúp em học sinh hình thành phát triển lực chung lực chuyên biệt nhƣ lực tƣ duy, lực sáng tạo, … 68 - Trong đề tài hệ thống số tính chất hình học phẳng túy hay sử dụng, để từ có hệ thống tập tƣơng ứng, - Để tiếp tục phát triển đề tài, tiếp tục xây dựng dựa mối quan hệ điểm, điểm đƣờng thẳng, đƣờng tròn, … - Đề tài vận dụng để dạy học tập hình giải tích mặt phẳng cho học sinh thuộc khối 10 THPT, ôn tập cho HSG khối 11 THPT, ôn tập cho học sinh thi vào trƣờng ĐH nhƣ làm tài liệu giảng dạy cho giáo viên toán khối THPT - Đề tài phát triển xây dựng thành hệ thống toán hình giải tích mặt phẳng giải đƣợc nhờ chất hình phẳng - Đề tài chƣa thực sâu sắc trình độ hạn chế Trong trình biên soạn với lƣợng kiến thức tƣơng đối nhiều, tránh khỏi sai sót Nhóm biên soạn mong góp ý xây dựng kịp thời quý thầy, cô để đề tài đƣợc hoàn thiện Xin chân thành cảm n quý thầy cô! Yên Mỹ, ngày 26 tháng năm 2015 Nhóm biên soạn Nguyễn Cao Thời Vũ Văn Dũng Nguyễn Văn Phu 69 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc BÁO CÁO YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN CẤP TỈNH HOẶC CƠ SỞ I Thông tin chung: Họ tên tác giả sáng kiến : Nguyễn Cao Thời Ngày, tháng, năm sinh: 06/ 01/ 1981 Đơn vị công tác: Trƣờng THPT Yên Mỹ Trình độ chuyên môn, nghiệp vụ: Thạc sĩ toán Quyền hạn, nhiệm vụ đƣợc giao: Giáo viên Các đồng tác giả : Nguyễn Văn Phu Trƣờng THPT Minh Châu Vũ Văn Dũng Trƣờng THPT Triệu Quang Phục Đề nghị xét, công nhận sáng kiến: Cấp tỉnh Tên đề tài SKKN, lĩnh vực áp dụng: “Đi tìm nguồn gốc toán hình học giải tích m t phẳng, định hƣớng cách giải phát triển lực tƣ sáng tạo cho học sinh” II Báo cáo mô tả sáng kiến bao gồm: Tình trạng sáng kiến biết: Sáng kiến kinh nghiệm đƣợc viết năm 2015 – 2016 Đang đƣợc áp dụng giảng dạy trƣờng THPT Triệu Quang Phục, Trƣờng THPT Yên Mỹ, Trƣờng THPT Minh Châu với lớp chọn đội tuyển học sinh giỏi 70 Nội dung sáng kiến đề nghị công nhận: Mục đích sáng kiến: Giúp giáo viên em học sinh có nhìn tổng quát toán hình học tọa độ mặt phẳng bắt nguồn từ toán gốc Những điểm khác biệt: Giúp cho giáo viên em học sinh thấy đƣợc từ toán gốc đến đề thi Bộ GD ĐT tự nhiên , điểm sáng kiến chia làm ba phần Phần 1: Xuất phát từ toán gốc dẫn đến đề thi Bộ GD ĐT Phần 2: Sử dụng tính chất đẹp hình học phẳng để giải toán Phần 3: Từ toán gốc phát triển thành lớp toán giúp ngƣời đọc phát triển lực tƣ sáng tạo Khả áp dụng sáng kiến: Sáng kiến kinh nghiệm: “Đi tìm nguồn gốc toán hình học giải tích m t phẳng, định hƣớng cách giải phát triển lực tƣ sáng tạo cho học sinh” Đƣợc áp dụng cho giáo viên, học sinh lớp 10, 12, ôn thi THPT Quốc Gia Phạm vi áp dụng sáng kiến: Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng hệ thống trƣờng THPT đặc biệt cho giáo viên, lớp chất lƣợng cao đội tuyển học sinh giỏi ôn thi THPT Quốc Gia Hiệu quả, lợi ích thu đƣợc: Khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: “Đi tìm nguồn gốc toán hình học giải tích m t phẳng, định hƣớng cách giải phát triển lực tƣ sáng tạo cho học sinh” giáo viên học sinh đƣợc trang bị nhiều hƣớng khác làm toán Đồng thời từ toán phát triển thành nhiều toán khác Những ngƣời tham gia tổ chức áp dụng sáng kiến lần đầu: Giáo viên dạy khối 10 khối 12 ôn thi THPT Quốc gia ba trƣờng: Trƣờng THPT Triệu Quang Phục, Trƣờng THPT Yên Mỹ, Trƣờng THPT Minh Châu Tôi cam đoan nội dung báo cáo Nếu có gian dối không thật báo cáo, xin chịu hoàn toàn trách nhiệm theo quy định pháp luật Thủ trƣởng đơn vị xác nhận, đề nghị (Ký, đóng dấu) Yên Mỹ,ngày tháng năm 2016 Ngƣời báo cáo yêu cầu công nhận sáng kiến Nguyễn Cao Thời 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đề thi chọn HSG Tỉnh Hƣng Yên năm 2015 - Sở GD&ĐT Hƣng Yên Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2011 đến năm 2015 - Bộ GD&ĐT Đề thi thử ĐH môn toán năm 2015 trƣờng THPT - Internet Hình học 10 (SGK) - Trần ăn Hạo Phƣơng pháp dạy học môn Toán - Ngu ễn Bá Kim Một số tài liệu hình học phẳng khác - Internet Toán nâng cao Hình Học 10 - Phạm Mạnh Hà 72 MỤC LỤC Trang A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý chọn đề tài…………………………………………………… II Mục đích nghiên cứu……………………………………………… III Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu………………………………… IV Phƣơng pháp nghiên cứu…………………………………………… B NỘI DUNG I Thực trạng vấn đề trƣớc làm đề tài……………………………… II Kết đạt đƣợc áp dụng đề tài………………………………… III Khả ứng dụng triển khai kết quả………………………… IV Cơ sở lí luận……………………………………………………… PHẦN I Từ toán c đến toán đề thi Đại học PHẦN II Từ số t nh chất hình học ph ng đến toán hình học giải t ch 23 m t ph ng 73 PHẦN III Xâ dựng mở rộng số toán hình học giải t ch m t ph ng từ 49 số toán hình học ph ng t C KẾT LUẬN 68 XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƢỜNG THPT YÊN MỸ Tổng điểm:…………… Xếp loại:……………………… TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CHỦ TỊCH- HIỆU TRƢỞNG NGUYỄN NGỌC LUÂN 74 [...]... và D Từ giả thiết của bài toán ta có thể vẽ thêm hình để đƣợc hình vuông AMND Khi đó bài toán sẽ có nhiều hƣớng giải và nhiều cách phát biểu khác của bài toán B H A E C I D Nếu khai thác bài toán gốc theo hƣớng sau đây 12 Ta có bài toán trong đề thi HSG tỉnh Hƣng Yên Năm 2015 Bài toán 6 (HSG tỉnh Hƣng Yên 2015) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi I, K lần lƣợt là trung đi m của AD và. .. H n n bài toán có thể phát biểu theo cách khác Cho hình vuông ABCD Gọi M là trung đi m của cạnh BC, N là đi m trên cạnh CD sao cho CN = 2ND Gọi H là giao đi m của AN và BD Giả sử M  ;  và  2 2 11 1 5  H  ; 2  Tìm tọa độ đi m A” 2  Bài toán 2 (ĐH_A_2014) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đi m M là trung đi m của đoạn AB và N là đi m thuộc đoạn AC sao cho AN... BC; đi m M thuộc cạnh 3 5 CD sao cho MD  MC ; G là trọng tâm của tam giác BKD Biết phƣơng trình đƣờng thẳng IM: 3x - y - 11 = 0 và tọa độ đi m G  1;   Viết phƣơng trình đƣờng chéo 3  10 BD của hình vuông ABCD Tóm lại: Đối với một bài toán hình giải tích phẳng, ta có đƣợc bài toán gốc ban đầu là ta đã biết đƣợc cội nguồn của vấn đề, để từ đó đƣa ra các hƣớng giải cho bài toán và có thể phát triển. .. TÍNH CHẤT HÌNH HỌC PHẲNG ĐẾN CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH PHẲNG (Vũ Văn Dũng) I - Một số bài toán tìm đi m Bài toán1 (Tính chất góc ở tâm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A Gọi M là trung đi m của đoạn BC, G là trọng tâm tam giác ABM, D(7; -2) là đi m nằm trên đoạn MC sao cho GA = GD Tìm tọa độ đỉnh A của tam giác ABC, biết đỉnh A có hoành độ nhỏ hơn 4 và phƣơng... triển bài toán thành các bài toán khác đa dạng và phong phú hơn; nắm đƣợc bản chất cốt lõi của vấn đề một cách sâu sắc Sau đ y là lời giải chi tiết theo nhiều cách c a một số đề thi Đại học 13 Bài toán 1 (ĐH_A_2012) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho hình vuông ABCD Gọi M là trung đi m của cạnh BC, N là đi m trên cạnh CD sao cho CN = 2ND Giả sử M  ;  và AN có phƣơng trình 2x - y - 3 = 0 Tìm tọa độ đi m... D A M C Ta có bài toán sau: Bài toán Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABEM có G là trung đi m của EM H và D là hình chiếu vuông góc của A và E lên BG Gọi C là đi m đối xứng của A qua M; K là hình chiếu vuông góc của C lên đƣờng thẳng AD Giả sử H(-5; -5), K(9; -3) và trung đi m của đoạn thẳng AC thuộc đƣờng thẳng có phƣơng trình d: x – y + 10 = 0 Tìm tọa độ đi m A Trong khi đó đề... trung đi m của AE và A thuộc đƣờng C M K H D A M C tròn tâm H bán kính HK Bài toán có thể phát biểu theo cách khác: Cho tam giác AEC, H, K lần lượt là chân đường cao hạ từ C và A lên các cạnh AE và CE Gọi D là trực tâm của tam giác AEC, B là đi m đối xứng của D qua cạnh AE và góc BAC = 90o Giả sử H(-5; -5), K(9; -3) và M(0; 10) là trung đi m của AC Tìm tọa độ đi m A” 18 Bài toán 4 (ĐH_B_2013) Trong. .. 3  M  3;1 Bài toán 6 (HSG tỉnh Hƣng Yên 2015) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi I, K lần lƣợt là trung đi m của AD và BC; đi m M thuộc cạnh 3 5 CD sao cho MD  MC ; G là trọng tâm của tam giác BKD Biết phƣơng trình đƣờng thẳng IM: 3x - y - 11 = 0 và tọa độ đi m G  1;   10   Viết phƣơng trình đƣờng chéo 3 BD của hình vuông ABCD Bài toán 7 (ĐH_B_2011) Cho tam giác ABC... tọa độ Ox , cho hình vuông ABCD có đi m M là trung đi m của đoạn AB và N là đi m thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC iết phư ng trình đường th ng CD, biết rằng M(1; 2 và đường th ng DN có phư ng trình x - 3y - 5 = 0” Bài toán 3 (THPT QG_2015) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh BC; D là đi m đối xứng của B qua H; K là hình chiếu... 4  20 20  3 3 51 3 Bài toán 17 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD Gọi E là trung 3 6 11 2 đi m AD, H  ;  là hình chiếu vuông góc của B lên CE và M  ;  là trung 5 5  5 5  đi m BH Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết đi m A có hoành độ âm HD Gọi F là đi m đối xứng của E qua A suy ra F A E D tứ giác BCEF là hình bình hành  H 35 tứ giác BHEF là hình thang vuông  AM ...SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: ĐI TÌM NGUỒN GỐC BÀI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG, ĐỊNH HƢỚNG CÁCH GIẢI VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH A ĐẶT VẤN... tài: Đi tìm nguồn gốc toán hình học giải tích mặt phẳng, định hƣớng cách giải phát triển lực tƣ sáng tạo cho học sinh II – Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu khó khăn thuận lợi học sinh giải toán hình. .. Cao Thời) Hình học Euclid (hình học phẳng) hình học đƣợc xây dựng hệ tiên đề, hình học giải tích phẳng cách biểu hình học Euclid ngôn ngữ đại số Từ toán hình học phẳng cách tọa độ hóa đi m, đƣờng