Tác giả: Nguyễn Thị Thu MỤC LỤC Tiêu mục Mục lục Trang 1 Lời giới thiệu Tên sáng kiến 3 Tác giả sáng kiến Chủ đầu tư sáng kiến Lính vực áp dụng sáng kiến Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử Mô tả chất sáng kiến 7.1.Nội dung sáng kiến 7.1.1 Hệ thống kiến thức sử dụng sáng kiến 7.1.2 Các dạng tập 7.1.2.1 Các dạng toán tổ hợp Dạng Sắp xếp chữ số Dạng toán 1.1 Đếm số tự nhiên với điều kiện đơn giản Dạng toán 1.2 Đếm số tự nhiên có điều kiện liên quan đến tổng 11 chữ số Dạng toán1.3: Đếm số tự nhiên có điều kiện phải có mặt chữ số 14 Dạng toán1.4 Đếm số tự nhiên với điều kiện có chữ số lặp lại 16 Dạng 1.5 Đếm số tự nhiên với điều kiện chữ số đứng cạnh 20 Bài tập tổng hợp đếm số: 22 Dạng Bốc đồ vật, phân chia 26 Dạng Sắp xếp theo hàng, đường tròn 32 Dạng Bài toán có yếu tố hình học 33 7.1.2.2 Các dạng toán xác suất 41 Định hướng tư – rèn luyện kỹ giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG, THPT QG Tác giả: Nguyễn Thị Thu Dạng 1: Mô tả không gian mẫu, xác định biến cố phép thử 41 Dạng 2: Tính xác suất biến cố 42 2.1 Một số toán tìm xác suất dựa vào việc mô tả không gian mẫu 42 biến cố 2.2 Sử dụng tổ hợp để giải toán xác suất 45 7.2 Về khả áp dụng sáng kiến: 55 Những thông tin cần bảo mật (nếu có): 55 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: 55 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng 55 sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử (nếu có) theo nội dung sau: 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng 55 sáng kiến theo ý kiến tác giả: 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng 56 sáng kiến theo ý kiến tổ chức, cá nhân: 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp 56 dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Định hướng tư – rèn luyện kỹ giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG, THPT QG Tác giả: Nguyễn Thị Thu BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN: ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY – RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN TỔ HỢP – XÁC SUẤT THI HSG, THPTQG Lời giới thiệu: Các toán tổ hợp - xác suất, nhị thức Newton nội dung nhà trường phổ thông Nó thường xuất kỳ kiểm tra, kỳ thi học kỳ, thi HSG thi THPT QG Đây nội dung có liên hệ thực tiễn cao, nhiều toán gắn với đời sống thực tế Nhìn chung, phương pháp chung để giải toán tổ hợp - xác suất cụ thể mà có số phương pháp thường dùng để giải để xây dựng toán Tài liệu tham khảo đầy đủ dạng tập không nhiều, nằm rải rác nhiều tài liệu khác chưa hệ thống thành phương pháp giải Vì vậy, mà không học sinh cảm thấy lúng túng trước tập tổ hợp - xác suất Hàng năm đề thi học sinh giỏi cấp THPT, thi THPT QG có xuất toán liên quan đến tổ hợp xác suất, có toán gây không khó khăn cho thí sinh Thậm chí, nhiều thí sinh phải bỏ hẳn câu Vì vậy, từ kinh nghiệm thân năm luyện thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi tìm tòi, tham khảo tổng hợp tài liệu Toán hệ thống lại đưa hướng giải thông qua chuyên đề: “Định hướng tư – rèn luyện kỹ giải toán Tổ hợp – Xác suất thi HSG THPTQG” với mong muốn giúp đỡ em học sinh nắm bắt cách giải dạng toán nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học trường THPT Đồng Đậu Tên sáng kiến: ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY – RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN TỔ HỢP – XÁC SUẤT THI HSG, THPTQG Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Nguyễn Thị Thu - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Đồng Đậu - Số điện thoại: 0983973826 E_mail: Nguyenthugvtoan@gmail.com Chủ đầu tư tạo sáng kiến : Nguyễn Thị Thu Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục THPT Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử, (ghi ngày sớm hơn): 12/10/2015 Mô tả chất sáng kiến: Định hướng tư – rèn luyện kỹ giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG, THPT QG Tác giả: Nguyễn Thị Thu 7.1 Nội dung sáng kiến: 7.1.1 Hệ thống kiến thức sử dụng SKKN 7.1.1.1 Hai quy tắc đếm: 7.1.1.1.2 Quy tắc cộng: Giả sử công việc thực theo phương án A B Có n cách thực theo phương án A, m cách thực theo phương án B Khi công việc thực theo m+n cách Tổng quát: Giả công việc thực theo k phương án A1 , A2 , , Ak Trong đó: + Phương án A1 có n1 cách thực + Phương án A2 có n2 cách thực ………………………………… + Phương án Ak có nk cách thực Khi số cách thực công việc : ( n1 + n2 + + nk ) cách 7.1.1.1.3 Quy tắc nhân: Giải sử công việc hoàn thành hai công đoạn liên tiếp Ở công đoạn có m cách thực Ứng với cách thực công đoạn có n cách thực công đoạn Khi có m.n cách hoàn thành công việc Tổng quát: Một công việc A thực qua k công đoạn A1 , A2 , , Ak , liên tiếp Trong đó: + Công đoạn A1 có n1 cách thực + Công đoạn A2 có n2 cách thực + Công đoạn A3 có n3 cách thực ………………………………… + Công đoạn Ak có nk cách thực Khi số cách thực công việc A : ( n1.n2 n3 nk ) cách Chú ý: Sự khác biệt bẳn hai quy tắc cộng nhân chỗ: Quy tắc cộng công việc có công đoạn, quy tắc nhân công việc cần thực từ công đoạn liên tiếp trở lên 7.1.1.2 Hoán vị chỉnh hợp tổ hợp: 7.1.1.2.1 Hoán vị: Định hướng tư – rèn luyện kỹ giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG, THPT QG Tác giả: Nguyễn Thị Thu • Định nghĩa: Mỗi kết xếp thứ tự n phẩn tử tập hợp A gọi hoán vị n phần tử • Số hoán vị n phần tử kí hiệu Pn = n ! = n ( n − 1) 2.1 7.1.1.2.2 Chỉnh hợp: • Định nghĩa: Mỗi kết việc lấy k phần tử từ n phần tử tập A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử cho • Số chỉnh hợp chập k n phần tử: Ank = n ( n − 1) ( n − k + 1) = n! ≤ k ≤ n, k , n ∈ ¥ ( n − k)! , 7.1.1.2.3 Tổ hợp: • Định nghĩa: Giả sử tập A có n phần tử ( n ≥ 1) Mỗi tập gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho n! k • Số tổ hợp chập k n ( ≤ k ≤ n, k , n ∈ ¥ ) : Cn = k ! ( n − k ) ! Chú ý: - Dấu hiệu nhận biết đặc trưng Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp: +) Hoán vị dùng khi: có phần tử mang tất xếp +) Chỉnh hợp dùng khi: Mang số phần tử có xếp +) Tổ hợp dùng khi: Mang số phần tử có đi, xếp - Nhiều toán cần vận dụng hai quy tắc đếm kết hợp với quy tắc hoán vị chỉnh hợp, tổ hợp 7.1.1.3 Phép thử biến cố - xác suất của biến cố 7.1.1.3.1 Phép thử: Là một thí nghiệm hay một hành động mà ta không đoán trước được kết quả của nó mặc dù ta đã biết tập hợp tất cả các kết quả của phép thử đó -Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy của phép thử được gọi là không gian mẫu Kí hiệu Ω - Số kết phép thử kí hiệu n ( Ω ) 7.1.1.3.2 Biến cố là một tập của không gian mẫu - Biến cố không thể chính là tập rỗng Định hướng tư – rèn luyện kỹ giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG, THPT QG Tác giả: Nguyễn Thị Thu - Biến cố chắc chắn là không gian mẫu 7.1.1.4 Các phép toán các biến cố: + Biến cố đối của biến cố A kí hiệu là A +Hợp của hai biến cố A và B kí hiệu là A ∪ B +Giao của hai biên cố A và B kí hiệu là A ∩ B = A.B + Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu A ∩ B = ∅ Chú ý: Hai biến cố đối xung khắc với nhau, điều ngược lại không 7.1.1.5.Tính chất của xác suất: + P ( ∅ ) = 0; P ( Ω ) = + ≤ P ( A ) ≤ 1, ∀A +Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) +)Nếu A và B không xung khắc thì P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) + P ( A) = − P ( A ) 7.1.1.6 Biến cố độc lập, công thức nhân xác suất +) Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu sự xảy của biến cố này không ảnh hướng đến xác suất xảy của biến cố +) A và B là hai biến cố độc lập và chỉ P ( A.B ) = P ( A ) P ( B ) 7.1.2 Các dạng tập 7.1.2.1 Các dạng tập tổ hợp Dạng Sắp xếp chữ số Chú ý: Trường hợp có chữ số trường hợp chữ số Vận dụng linh hoạt quy tắc cộng, nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Có nhiều toán cần phải kết hợp quy tắc Dạng toán 1.1 Đếm số tự nhiên với điều kiện đơn giản Bài Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, Lập số tự nhiên gồm chữ số cho: a/ Các chữ số khác nhau; Định hướng tư – rèn luyện kỹ giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG, THPT QG Tác giả: Nguyễn Thị Thu b/ Chữ số số 3; c/ Các chữ số khác không tận HD: Để lập số tự nhiên có chữ số abcde ta thực động tác liên tiếp chon a, b, c, d, e từ chữ số toán cho a/ Vì chữ số khác nên số tự nhiên có chữ số tạo thành từ chữ số chỉnh hợp chập Vậy có A 57 = 2520 b/ Do chữ số đầu 3, nên ta thực động tác liên tiếp chọn b, c, d, e từ chữ số cho Theo quy tắc nhân có = 2401 c/ Do chữ số khác không tận nên e có cách chọn ta chon chữ số chữ số lại vào vị trí lại nên có A 64 cách Vậy có A 64 =2160 Bài Từ bảy chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, thành lập số tự nhiên chẵn có chữ số khác HD: Gọi số tự nhiên có chữ số abcde Để lập số tự nhiên có chữ số ta thực động tác chon liên tiếp a, b, c, d, e từ chữ số cho Do số chẵn chữ số khác nên e 0, 2, 4, Và a khác nên ta có trường hợp TH1: e Khi ta chọn số từ số vào vị trí ứng với a, b, c, d Nên có A 64 (số) TH2: e khác Như e có cách chọn ( 2,4,6) Sau chọn a, có cách Ta chọn chữ số từ chữ số lại vào vị trí b, c, d nên có A 35 Vậy có 3.5 A 35 =900 Theo quy tắc cộng có A 64 +900=1260 Bài Lập số tự nhiên có chữ số đôi khác nhau, không chia hết cho 10 từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, HD: Gọi số tự nhiên có chữ số abcd Do gồm chữ số khác không chia hết cho 10 nên d khác Vậy d có cách chọn, a có cách chọn, có A 62 cách b, c Vậy có 7.6 A 62 (số) Bài Cho chữ số 2, 3, 5, 6, 7, Hỏi từ chữ số cho, lập số tự nhiên đôi khác Định hướng tư – rèn luyện kỹ giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG, THPT QG Tác giả: Nguyễn Thị Thu a/ gồm chữ số ? ; b/ gồm chữ số nhỏ 400 ? ; c/ gồm chữ số chẵn ? d/ gồm chữ số chia hết cho ? HD: Gọi số tự nhiên có chữ số abc a/ Có A 36 ; b/ Do số có chữ số khác nhỏ 400 nên a Vậy có cách chọn a, sau có A 52 cách chọn b c Vậy có A 52 (số) c/ Do số có chữ số khác số chẵn nên c Vậy c có cách chọn tương tự có A 52 cách chọn a b Nên có A 52 (số) d/ Do số có chữ số khác chia hết c có cách chọn Và có A 52 cách chọn a b Nên có A 52 (số) Bài Cho 10 chữ số 0, 1, 2, …, 7, 8, Có số tự nhiên lẻ có chữ số khác nhỏ 600000 xây dựng từ chữ số HD: Gọi số tự nhiên có chữ số abcdef Theo giả thiết số tự nhiên có chữ số khác nhau, lẻ nhỏ 600000 nên a thuộc { 1, 2, 3, 4, 5}, f thuộc tập {1;3;5;7;9} Th1: f thuộc {1, 3, 5}, f có cách chọn, a có cách chọn, có A84 cách chọn b, c, d, e Nên có 3.4 A84 số Th2: f thuộc {7; 9}, f có cách chọn, a có cách chọn, có A84 cách chọn b, c, d, e Nên có 2.5 A84 số Theo quy tắc cộng có 3.4 A84 +2.5 A84 (số) Bài Có số tự nhiên gồm chữ số khác ≤ 46800 Giải: Gọi số tự nhiên có chữ số abcde Theo giả thiết a ∈ { 1; 2;3; 4} Th1 Nếu a ∈ { 1; 2;3} , có cách chọn a, chọn b, c, d, e có A 94 cách Khi có A 94 (số) Th2: Nếu a Khi b ∈ { 0;1; 2;3;5;6} Nếu b ∈ { 0;1; 2;3;5} , b có cách chọn, có A83 cách chọn c, d, e Vậy có A83 (số) Định hướng tư – rèn luyện kỹ giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG, THPT QG Tác giả: Nguyễn Thị Thu Nếu b c ∈ { 0;1; 2;3;5;7} tức c có cách chọn, tương ứng có A 72 cách chọn d, e Vậy có A 72 (số) Vậy theo quy tắc cộng có A 94 +5 A83 +6 A 72 =11004 (số) Bài tập tự giải: Bài Với số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; Lập số tự nhiên lẻ có chữ số Giải: Gọi số tự nhiên có chữ số a1a a Do số lẻ nên a có cách chọn, a1 có cách chọn Mỗi chữ số lại có 10 cách chọn Nên có 9.5.10.10.10.10.10=4500000 (số) Bài Với chữ số 0;1;2;3;6;9 lập số tự nhiên chia hết cho có chữ số khác Giải: Gọi số tự nhiên có chữ số abcde Do yêu cầu toán a, b, c, d, e thuộc vào sau: {1,2,3,6,9}; {0,1,2,6,9}; {0,1,2,3,9}; {0,1,2,3,6} Nên có 5!+ 3.4.4! (số) Bài Có số tự nhiên chẵn có chữ số khác tạo thành từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, Đ/s: 3.A 52 Bài Có số tự nhiên có ba chữ số khác tạo thành từ chữ số 1,2, 3,4,5,6 mà số nhỏ 345 Đ/s: 2.A 52 + 2.4 + Bài Với chữ số 1,2, …,9 Lập số tự nhiên có ba chữ số khác không lớn 789 Đ/s: Xét trường hợp a thuộc tập {1,2,3,4,5,6} trường hợp a Bài Có số tự nhiên lập từ chữ số 2, 4, 6,8 nêu a/ số nằm từ 200 đến 600 b/ số gồm chữ số khác c/ số gồm chữ số Đ/s: a/ 32; b/ A 34 ; c/ 43 Định hướng tư – rèn luyện kỹ giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG, THPT QG Tác giả: Nguyễn Thị Thu Bài Từ chữ số 0, 1, 2, …, Lập số tự nhiên có chữ số đó: a/ chữ số khác có mặt chữ số 1; b/ chữ số c/ chữ số khác nhau; d/ chữ số khác số chẵn; e/ chữ số khác số lẻ Đ/s: Xét TH a=1 a khác b/ Theo quy tắc nhân có 7.83 c/ áp dụng chỉnh hợp 7.A37 d/ Xét trường hợp d=0 d khác Kq: A 37 + 3.6.A 62 e/ áp dụng chỉnh hợp có 4.6.A 62 Bài Từ chữ số 1, 2, ,9 Lập số tự nhiên có chữ số khác nhau, có số mà chữ số đứng Đ/ s: Áp dụng quy tắc nhân 9!− 8! Bài Từ chữ số 4, 5, 6, lập số tự nhiên có chữ số phân biệt HD: Xét trường hợp: Số tự nhiên có hai chữ số, chữ số, chữ số A 24 + A 34 + A 44 Bài 10 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác HD: Xét trường hợp chữ số cuối số chữ số cuối khác A 54 + 2.4.A34 Bài 11 Lập số tự nhiên có chữ số khác chia hết cho HD: Xét trường hợp chữ cuối chữ số cuối A 94 + 8.A83 Bài 12 Từ chữ số 1, 2, , Lập số tự nhiên gồm chữ số khác cho số đầu số lẻ, hai chữ số sau số chắn Đ/s: 4.3.2.3 Bài 13 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, lập số tự nhiên gồm chữ số khác biết số lớn 3000 Định hướng tư – rèn luyện kỹ giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG, THPT QG 10 Tác giả: Nguyễn Thị Thu Khi lấy hai bi ta có các khả xảy là: Ω = { ( X ; X ) ; ( X ; X ) ; ( X ; X ) ; ( D1 ; D2 ) ; ( X ; D1 ) ; ( X ; D2 ) ; ( X ; D1 ) ; ( X ; D2 ) ; ( X ; D1 ) ; ( X ; D2 ) } Bài Gieo ba đồng xu cân đối đồng chất Tìm không gian mẫu của phép thử Giải: Khi gieo ba đồng xu ta được không gian mẫu là: Ω = { SSS ; NNN ; SSN ; SNS ; NSS ; NNS ; NSN ; SNN } Bài Một hộp đựng thẻ đánh số 1,2,3 ,9 Rút ngẫu nhiên hai thẻ nhân số ghi hai thẻ với a/ Mô tả không gian mẫu b/ Xác định biến cố: A” Tích nhận số lẻ”; B” Tích nhận số chẵn” Dạng 2: Tính xác suất biến cố Phương pháp: Để tính xác suất biến cố ta thực bước sau: Bước 1: Tìm không gian mẫu ( chủ yếu lực lượng không gian mẫu) tức tìm tập kết xảy phép thử (Thông thương ta áp dụng tổ hợp, có số toán ta dựa vào việc mô tả không gian mẫu) Bước Tìm số khả thuận lợi cho biến cố xảy Bước Áp dụng công thức xác suất cổ điển Chú ý: i) Ở định nghĩa cổ điển xác suất nhấn mạnh đến tính đồng khả tính hữu hạn không gian mẫu ii) Chúng ta vận dụng mối quan hệ biến cố để tính xác suất 2.1 Một số toán tìm xác suất dựa vào việc mô tả không gian mẫu biến cố Bài Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn 50 a/ Mô tả không gian mẫu b/ Gọi A là biến cố số được chọn là số nguyên tố Hãy liệt kê các kết quả thuận lợi cho A c/ Tính xác suất của A d/ Tính xác suất để chọn được số nhỏ Định hướng tư – rèn luyện kỹ giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG, THPT QG 42 Tác giả: Nguyễn Thị Thu Giải: Chọn ngẫu nhiên số nguyên dương không lớn 50 có 50 cách chọn Không gian mẫu là: Ω = { 1, 2,3, 49,50} tức n ( Ω ) = 50 b/ Các số nguyên dương từ đến 50 có số nguyên tố 2,3,5, 7,11,13,17,19, 23, 29,31,37, 41, 47 Vậy A = { 2,3,5, 7,11,13,17,19, 23, 29,31,37, 41, 47} , tức số khả thuận lợi cho A xảy là: n ( A ) = 14 c/ P ( A ) = 14 = 50 25 d/ Gọi B là biến cố “số được chọn nhỏ 4” Thì B = {1,2,3} Suy P ( B) = 50 Bài Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ Tính xác suất để: a/ Số được chọn là số nguyên tố b/ Số được chọn chia hết cho 2 Giải: P ( A ) = = ;b/ P ( B ) = = Bài Dạnh sách lớp của Hường được đánh số từ đến 30 Hường đứng thứ 12 Chọn ngẫu nhiên một bạn lớp/, a/ Tính xác suất để Hương được chọn b/ Tính xác suất để Hường không được chọn c/ Tính xác suất để một bạn có số thứ tự nhỏ số thứ tự của Hương được chọn Giải: a/ 29 11 b/ ; c/ 30 30 30 Bài Gieo hai súc sắc cân đối a/ Mô tả không gian mẫu b/ Gọi A là biến cố Tổng số chấm xuất hiện mặt của hai súc sắc nhỏ hoặc bằng Liệt kê các kết quả thuận lợi cho A Tính P(A) c/ Hỏi với hai biến cố B:” Có ít nhất một mặt chấm xuất hiện”, C:” Có đúng một mặt chấm xuất hiện” Giải: a/ Ω = { ( 1;1) ; ( 1; ) ; ; ( 1, ) ; ( 2,1) ; ( 2, ) ( 6, ) } Định hướng tư – rèn luyện kỹ giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG, THPT QG 43 Tác giả: Nguyễn Thị Thu b/ Các kết quả thuận lợi cho A xảy là: ( 1,1) ; ( 1, ) ; ( 1,3) ; ( 1, ) ; ( 1,5 ) ; ( 1, ) ; ( 2,1) ; ( 2, ) ; ( 2,3 ) ; ( 2, ) ; ( 2,5 ) ; A=  ( 3,1) ; ( 3, ) ; ( 3,3) ; ( 3, ) ; ( 4,1) ; ( 4, ) ; ( 4,3 ) ; ( 5,1) ; ( 5, ) ; ( 6,1)  Suy P ( A ) = 21 = 36 12 c/ Các kết quả thuận lợi cho B xảy là: B = { ( 1, ) ; ( 2, ) ; ( 3, ) ; ( 4, ) ; ( 5, ) ; ( 6, ) ; ( 6,1) ; ( 6, ) ; ( 6,3 ) ; ( 6, ) ; ( 6,5 ) } Suy P ( B ) = 11 36 Các kết quả thuận lợi cho C xảy là C = { ( 1, ) ; ( 2, ) ; ( 3, ) ; ( 4, ) ; ( 5, ) ; ( 6,1) ; ( 6, ) ; ( 6,3 ) ; ( 6, ) ; ( 6,5 ) } Suy P ( C ) = 10 36 Bài Gieo hai xúc sắc cân đối đồng chất và quan sát số chấm xuất hiện mặt hai xúc sắc đó Tìm xác suất để: a/ Tổng số chấm xuất hiện hai xúc sắc là b/ Số chấm xuất hiện hai súc sắc là c/ Tích số chấm xuất hiện hai súc sắc là chắn, lẻ Giải: Khi gieo hai súc sắc cân đối đồng chất số khả sảy là 36 Gọi A là biến cố có tổng số chấm xuất hiện hai súc sắc là Khi đó số khả thuận lợi cho A xảy là: { ( 2;6 ) ; ( 3;5 ) ; ( 4; ) ; ( 5;3) ; ( 6; ) } tức nA = Vậy P ( A ) = 36 b/ Gọi B là biến cố số chấm xuất hiện hai súc sắc là Khi đó các khả thuận lợi cho A xảy là: { ( 1;1) ; ( 2; ) ; ( 4; ) ; ( 3;3) ; ( 6;6 ) ; ( 5;5 ) } , tức nB = Vậy P ( B ) = c/ Goi D là biến cố tích số chấm xuất hiện hai súc sắc là lẻ Định hướng tư – rèn luyện kỹ giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG, THPT QG 44 Tác giả: Nguyễn Thị Thu Số khả thuận lợi cho D xảy là: { ( 1;1) ; ( 1;3) ; ( 1;5 ) ; ( 3;5 ) ; ( 3;3 ) ; ( 5;5 ) } tức nD = Suy P ( D ) = Gọi C là biến cố tích số chấm xuất hiện hai súc sắc là số chẵn Suy số khả thuận lợi cho C xảy là nC = 36 − nD = 30 Vậy xác suất để C xảy là: P ( C ) = 2.2 Sử dụng tổ hợp để giải toán xác suất Bài HSG 11 Vĩnh Phúc 2014-2015 Gọi M tập tất số tự nhiên có sáu chữ số đôi khác có dạng a1a2 a3a4 a5a6 Chọn ngẫu nhiên số từ tập M Tính xác suất để số chọn số chẵn, đồng thời thỏa mãn a1 > a2 > a3 > a4 > a5 > a6 Giải: Gọi A biến cố : “ Số chọn số chẵn” Để giải toán ta tìm số phần tử không gian mẫu số khả thuận lợi cho A xảy Để tìm sử dụng tổ hợp Số phần tử không gian mẫu hay số phần tử tập M số tự nhiên có sáu chữ số đôi khác Số số có chữ số đôi khác là: A106 − A95 = A95 Để tìm số khả thuận lợi cho A xảy ra: Trước tiên ta thấy số lấy từ 10 chữ số tự nhiên 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, có cách thứ tự nhỏ dần Hơn số chọn cần đảm bảo điều kiện số chẵn nên có Th sau: TH1: a6 = a1a2 a3a4 a5 có C95 cách chọn TH2: a6 = a1a2 a3a4 a5 có C75 cách chọn TH3: a6 = a1a2 a3a4 a5 có C55 cách chọn n ( A ) = C95 + C75 + C55 = 148 n ( A) 148 37 Vậy P ( A ) = n Ω = A5 = 34020 ( ) Bài Một túi đựng quả cầu đỏ và quả cầu xanh Chọn ngẫu nhiên quả cầu Tính xác suất để quả cầu đó có cả hai màu Giải: Chọn quả cầu từ túi có 10 quả có số khả là: C104 Định hướng tư – rèn luyện kỹ giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG, THPT QG 45 Tác giả: Nguyễn Thị Thu 4 Số cách chọn quả có cả hai màu là: C10 − ( C4 + C6 ) Vậy xác suất để lấy được quả có cả hai màu là: C104 − ( C44 + C64 ) C104 Bài Một tổ có bạn nam bạn nữ xếp thành hàng dọc Tính xác suất để em nữ A B đứng cạnh nhau, em nữ lại không đứng cạnh không đứng cạnh A B Giải: Xếp em vào hàng dọc có số cách xếp là: 9! (cách) Để xếp bạn thỏa mãn theo yêu ta làm sau: Ta coi hai bạn A B đứng cạnh vị trí x Bước Xếp bạn nam vào hàng dọc có 5! Cách xếp Bước 2: Xem bạn nam vách ngăn, bạn nam có vị trí thêm vị trí đầu cuối hàng Như có vị trí xếp x vào Chọn vị trí vị trí lại xếp bạn nữ lại nên có A52 bạn nữ vị trí x có 2! Các xếp Vậy theo quy tắc nhân có: 5!.6 A52 2!=28800 cách Gọi T biến cố: “ bạn xếp có bạn nữ A B đứng cạnh nhau, hai bạn nữ lại không đứng cạnh không đứng cạnh A B” Số khả thuận lợi cho T xảy là: 28800 Vậy xác suất để T xảy là: P ( T ) = 28800 = 9! 63 Bài Có bạn nam bạn nữ xếp vào ghế xếp thành dãy đối diện Tính xác suất cho nam nữ ngồi đối diện Giải: Xếp người vào ghế có số cách xếp là: 8! Để xếp nam nữ ngồi đối diện ta sau: Xếp bạn nam vào vị trí có cách xếp Sau đó, chọn bạn nữ xếp vào ghết đối diện có cách chọn Định hướng tư – rèn luyện kỹ giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG, THPT QG 46 Tác giả: Nguyễn Thị Thu Sau đó, với ghế trống lại làm tương tự, tức chọn vị trí để xếp bạn nam có cách, chọn bạn nữ bạn nữ lại vào vị trí đối diện có cách Vậy có: 8.4.6.3.4.2.2.1 Gọi A biến cố: “ bạn ngồi vào ghế xếp thành dãy đối diện cho nam nữ ngồi đối diện nhau” Số khả thuận lợi cho A xảy là: n ( A ) = 8.4.6.3.4.2.2.1 Vậy xác suất để A xảy là: 35 Bài Chọn ngẫu nhiên số 50 số tự nhiên liên tiếp từ đến 50 Tính xác suất biến cố A “Trong số có số bội 5” Giải: Chọn số 50 số có số cách chọn là: C503 Trong 50 số tự nhiên liên tiếp từ đến 50 có 10 số tự nhiên bội 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50 Số khả thuận lợi cho A xảy cách lấy số tự nhiên có số bội số không bội nên có số cách lấy là: C401 C102 Suy xác suất đế A xảy là: P ( A ) = C40 C192 C503 Bài S tập số tự nhiên có chữ số phân biệt chọn từ chữ số E = {1, 2,3, 4,5, 6, 7} Chọn ngẫu nhiên số từ S Tính xác suất để số chọn lớn 2014 Giải: Trước tiên ta tìm số phần tử S số số có chữ số phân biệt lập từ E Mỗi số tự nhiên gồm chữ số phân biệt chỉnh hợp chập Vậy có A74 (số) Chọn ngẫu nhiên số từ S có A74 cách chọn Gọi A biến cố:” Số lấy lớn hớn 2014” Gọi số có chữ số abcd Theo giả thiết rõ ràng a ∈ {2,3, 4,5, 6, 7}, b, c, d ∈ E Suy a có cách, sau chọn chữ số chữ số lại nên có A63 Vậy có 6.A63 Định hướng tư – rèn luyện kỹ giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG, THPT QG 47 Tác giả: Nguyễn Thị Thu Số khả thuận lợi cho A xảy số số có chữ số phân biệt lập từ E lớn 2014 n ( A) Tức n ( A ) = A6 Xác suất để A xảy là: P ( A ) = n Ω = ( ) Bài Đề minh họa thi THPT QG 2015 Hai thí sinh A và B tham gia một buổi thi vấn đáp Cán bộ hỏi mỗi thí sinh một bộ câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác đựng 10 phong bi thi dán kín, có hình thức giống hệt nhau, mỗi phong bì đựng câu hỏi, thí sinh chọn phong bì số đó để xác định câu hỏi của mình Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi dành cho các thí sinh là nhau, tính xác suất để câu hỏi A chọn và câu hỏi B chọn là giống Giải: A chọn câu hỏi bộ 10 câu hỏi nên có số cách chọn là C103 Tương tự B cũng có C103 Như vậy A và B mỗi người chọn câu hỏi nên có số khả chọn là ( C103 ) Khi A chọn câu hỏi thì có C103 Khi đó B chọn giống A thì chỉ có cách nhất Vậy A và B có bộ câu hỏi giống thì có C103 khả Vậy xác suất để A và B có bộ câu hỏi giống là: C 10 Bài Đề thi THPT QG 2015 Trong đợt ứng phó dịch MÉ-CoV, sở y tế thành phố đã chọn ngẫu nhiên đội phòng chống động đội của trung tâm y tế dự phòng thành phố và 20 đội của các trung tâm sở để kiểm tra công tác chuẩn bị Tính xác suất để có ít nhất đội của các trung tâm y tế sở được chọn Giải: Chọn đội 25 đội có số cách chọn là C253 Số cách chọn đội mà đó có ít nhất đội của các trung tâm y tế sở là: C202 C51 + C20 Vậy xác suất để có ít nhất đội của các trung tâm y tế sở được chọn là: C202 C51 + C20 C25 Bài ĐH-2014A Một hộp đựng 16 thẻ được đánh số từ đến 16 Chọn ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để thẻ được chọn đều là số chẵn Giải: Chọn thẻ từ 16 thẻ có số cách chọn là: C164 Chọn thẻ đều là số chẵn có số cách chọn là C84 Nên xác suất chọn được thẻ đều là số chẵn là: Định hướng tư – rèn luyện kỹ giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG, THPT QG 48 Tác giả: Nguyễn Thị Thu Bài 10 ĐH-2014B Để kiểm tra chất lượng sản phẩm của một công ty sữa, người ta gửi đến bộ phận kiểm tra5 hộp sữa cam, hộp sữa dâu, hộp sữa nho Bộ phận kiểm tra chọn ngẫu nhiên hộp để kiểm nghiệm Tính xác suất để có cả ba loại Giải: Lấy ngẫu nhiên hộp từ 12 hộp có C123 cách Để sản phẩm lấy có cả ba loại sản phẩm thì có số cách lấy là: C51.C41 C31 C51.C41 C31 Vậy xác suất để lấy hộp sữa có cả ba loại là: C123 Bài 11 ĐH-2013A Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có chữ số phân biệt được lập từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7 Xác định số phần tử của S Chọn ngẫu nhiên số từ S Tính xác suất để số được chọn là số chẵn Giải: số phẩn tử của S chính là số các số tự nhiên có chữ số khác lập từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7 nên có A73 Số các số tự nhiên có chữ số phân biệt lập từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7 là số chẵn là: 3.A62 Suy xác suất lấy được một chữ số là chữ số chẵn từ S là 3.A62 A73 Bài 12 ĐH-2013B Có hai hộp chứa bi Hộp thứ nhất chứa bi đỏ và bi trắng Hộp thứ hai chứa bi đỏ và bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp bi Tính xác suất để hai bi lấy có cùng màu Giải: Cách Số cách lấy bi, hộp bi là: C71 C61 = 42 Số cách lấy bi màu, hộp bi là: C41 C21 + C31C41 = 20 Suy xác suất lấy bi màu là: 10 21 Cách 2: Gọi A1 ; A2 biến cố lấy bi màu đỏ từ hộp 1, Suy A1 ; A2 biến cố lấy bi màu xanh từ hộp 1,2 Ta dễ có: P ( A1 ) = ; P ( A2 ) = ; P ( A1 ) = ; P ( A2 ) = 3 Gọi X biến cố lấy bi màu Thì X = ( A1 ∩ A2 ) ∪ ( A1 ∩ A2 ) suy 10 P( X ) = + = 7 21 Định hướng tư – rèn luyện kỹ giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG, THPT QG 49 Tác giả: Nguyễn Thị Thu Bài 13 Một hộp đựng thẻ đánh số từ đến Hỏi phải rút thẻ để xác suất có thẻ ghi số chia hết cho phải lớn HD: Gọi k số thẻ rút ≤ k ≤ , k số tự nhiên Gọi A biến cố rút k thẻ thẻ có ghi số chia hết cho Rút k thẻ có số cách rút C9k Nếu k=1 Khi P ( A ) = < không thỏa mãn yêu cầu toán Nếu k ≥ Khi số kết thuận lợi cho A xảy là: Th1: Trong k thẻ rút có thẻ ghi số chia hết cho k-1 thẻ có số ghi thẻ không chia hết cho Vậy có số cách rút là: C21 C7k −1 Th2 Trong k thẻ rút có thẻ ghi số chia hết cho lại k-2 thẻ có số ghi thẻ không chia hết cho Vậy soc số cách rút là: C22C7k −2 k −1 k −2 Suy n ( A ) = C2C7 + C2 C7 C21C7k −1 + C22C7k −2 > ⇔ ≤ k ≤ k=6 Vậy P ( A ) = C9k Bài 14 Có học sinh nam, học sinh nữ thầy giáo xếp ngẫu nhiên vào vòng tròn Tính xác suất để thầy giáo xếp hai học sinh nữ HD: Xếp 5+8+1=14 người vào vòng tròn có 13! Cách xếp Gọi A biến cố: xếp 14 người thành vòng tròn mà thấy giáo đứng hai học sinh nữ Để tìm số khả thuận lợi cho A xảy ta làm sau: Bước Ta cố định thầy giáo Bước Chọn lấy hai học sinh nữ để xếp cạnh thầy giáo có A82 cách Bước Xếp 11 người lại vào 11 vị trí lại có 11! Cách Vậy n ( A ) = A8 11! Suy P ( A ) = 14 39 Định hướng tư – rèn luyện kỹ giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG, THPT QG 50 Tác giả: Nguyễn Thị Thu Bài tập tự giải: Bài Tính xác suất để gieo súc sắc lần độc lập, không lần xuất có số chấm số chẵn Bài Một tổ có 10 nam nữ Chọn ngẫu nhiên hai người tính xác suất cho hai người nữ Bài Một bình có chứa 16 viên bi, với viên bi trắng, viên bi đen viên bi đỏ.Lấy ngẫu nhiên ba viên bi Tính xác suất để lấy ba viên bi đỏ Bài Gieo hai súc sắt ngẫu nhiên, Tính xác suất để xuất hai mặt có số chấm không giống Bài Trong hộp đựng viên bi dó có viên bi màu đỏ viên bi màu xanh Lấy ngẫu nhiên bi Tính xác suất biến cố sau : a) A : ” Cả hai viên bi màu “ b) B : “ Hai viên bi khác màu “ Bài Có 100 bìa hình vuông đánh số từ đến 100 Ta lấy ngẫu nhiên bìa Tìm xác suất để lấy được: a/ Một bìa có số không chứa chữ số b/ Một bìa có số chia hết cho hoặc Bài Một hộp đựng thẻ đánh số 1, 2, 3, …, Rút ngẫu nhiên hai thẻ hộp a Lấy hai chữ số hai thẻ nhập lại theo thứ tự ta số tự nhiên, hỏi có cách rút để số tự nhiên chia hết cho b Tính xác suất để rút hai thẻ cho có thẻ có số thứ tự lớn Tính xác suất để rút hai thẻ cho tổng hai số hai thẻ số chẵn Bài Có hành khách không quen biết Mỗi người chọn lên toa tàu khác Tìm xác suất để có hai người lên toa tàu người lên toa tàu khác Bài ĐH-2012B Một lớp có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ Giáo viên gọi học sinh lên bảng làm bài Tính xác suất để học sinh được chọn có cả nam và nữ Định hướng tư – rèn luyện kỹ giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG, THPT QG 51 Tác giả: Nguyễn Thị Thu G: Đ/s: C254 − ( C154 + C104 ) C254 Bài 10 Một hộp đựng bi đỏ, bi vàng bi xanh Lấy ngẫu nhiên bi Tính xác suất lấy số bi đỏ lớn số bi vàng G: Đ/s: 10 33 Bài 11 Một bình đựng bi xanh bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để bi màu G: Lấy bi từ hộp 14 bi có C144 Số cách lấy bi cùng màu là C84 + C64 C84 + C64 Suy xác suất để lấy được bi cùng màu là : C144 Bài 12 Một bình đựng 10 bi xanh bi đỏ có kích thước khác Lấy ngẫu nhiên bi không bỏ lại vào bình Tính xác suất để lấy bi màu xanh bi màu đỏ G: Lấy bi từ hộp có C185 Lấy bi đó có bi xanh và bi đỏ có số cách lấy là: C102 C83 Vậy xác suất lấy bi thỏa mãn yêu cầu bài toán là: C102 C83 C185 Bài 13 Trong một nhóm có 20 học sinh, đó có 10 học sinh thích học môn toán, 12 học sinh thích học môn lý và học sinh thích học cả hai môn toán và lý Gọi ngẫu nhiên học sinh Tìm xác suất để: a/ Học sinh được chọn thích ít nhất một hai môn toán hoặc lý b/ Học sinh đó không thích môn nao hai môn đó Đ/s: a/ 0,75; b/ 0,25 Bài 14 Một hộp đựng bi đỏ và bi xanh hoàn toàn giống về hình thức Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi Tìm xác suất của các biến cố sau: a/ Lấy được đúng bi đỏ b/ lấy được ít nhất một bi đỏ c/ Lấy được ít nhất mỗi màu bi d/ Lấy được các bi cùng màu Định hướng tư – rèn luyện kỹ giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG, THPT QG 52 Tác giả: Nguyễn Thị Thu Đ/s: a/ 29 ; b/ ; c/ ; d/ 10 30 5 Bài 15 Một lớp có 20 học sinh nữ, đó có bạn Mai và 16 bạn học sinh nam đó có bạn Thắng a/ Chia lớp thành tổ, mỗi tổ có bạn Tìm xác suất để số học sinh nam và nữ ở các tổ là b/ Chọn một ban cán sự gồm em học sinh để có ít nhất nam và nữ 1/ Tìm xác suất để chọn được ban cán sự mà có Mai và Thắng 2/ Tìm xác suất để chọn được ban cán sự mà Mai và Thắng không chịu làm việc chung C20 C164 C155 C124 C105 C84C55C44 C191 C152 + C192 C151 Đ/s: a) ; b) 1/ ; 2/ C369 C27 C189 C99 C20C16 + C20 C162 C191 C153 + C192 C152 + C192 C153 + C193 C152 C202 C163 + C20 C162 Bài 16 Một bình đựng 16 viên bi với bi trắng, bi đen bi đỏ a) Lấy ngẫu nhiên viên bị Tính xác suất để: 1/ Lấy ba bi đỏ; 2/ Không lấy viên bi đỏ nào; 3/ Lấy ba màu b) Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để: 1/ Lấy viên bi trắng; 2/ Lấy viên bi trắng c)Lấy ngẫu nhiên 10 viên bi Tính xác suất để lấy viên bi trắng; bi đen bi đỏ Đ/s: a) 1/ C33 C133 C71C61C31 C71 C93 C72 C92 C75C63C32 ; 2/ ; 3/ ;b).1/ ; 2/ ;c).1/ C163 C163 C163 C164 C164 C1610 Bài 17 Tính xác suất gieo xúc xắc lần độc lập, không lần xuất măt có số chấm số chấm chẵn Bài 18 Một hộp đựng bi đỏ, bi trắng, bi vàng, Chọn bi từ hộp Tính xác suất lấy bi đủ màu Đ/s: 43 91 Bài 19 Cho tập E = {1, 2,3, 4,5} Gọi M tập số tự nhiên có chữ số, chữ số đôi khác thuộc E Lấy ngẫu nhiên số từ M Tính xác suất để tổng chữ số số 10 Định hướng tư – rèn luyện kỹ giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG, THPT QG 53 Tác giả: Nguyễn Thị Thu Đ/s: 25 Bài 20 Gọi M tập số tự nhiên có chữ số khác lập từ chữ số 0,1,2,6,7,8,9 Lấy ngẫu nhiên số từ tập M, tính xác suất để số chẵn lớn 5000 Đ/s: 18 Bài 21 Cho tập A gồm tất số tự nhiên có chữ số mà chữ số khác Tính xác suất lấy ngẫu nhiên số từ A mà số có mặt ba chữ số khác Đ/s: C52 A83 94 Bài 22 Có học sinh nam học sinh nữ xếp vào hàng dọc Tính xác suất để hai học sinh nam đứng cạnh Đ/s: 7! A85 12! Bài 23 Có 10 học sinh nam học sinh nữ thầy giáo xếp thành vòng tròn Tính xác suất để thầy giáo xếp hai học sinh nam Đ/s: Bài 24 Cho tập E = { 1, 2,3, 4,5} Viết lên bảng ngẫu nhiên hai số tự nhiên, mối số gồm chữ số đôi khác từ tập E Tính xác suất để có số có mặt chữ số Đ/s: 12 25 Bài 25 Một tổ có học sinh nam học sinh nữ, có tổ trưởng học sinh nữ Cần chọn từ tổ học sinh Tính xác suất để học sinh chọn ó học sinh nam tổ trưởng Đ/s : Bài 26 Phải gieo lần súc sắc để xác suất có lần xuất mặt lớn hay 0,9? Bài 27 Trong hộp có bi trắng bi đỏ,lấy lần viên không trả lại,hãy tính: a)Xác suất để viên bi lấy lần thứ hai màu đỏ biết viên bi lấy lần thứ màu đỏ Định hướng tư – rèn luyện kỹ giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG, THPT QG 54 Tác giả: Nguyễn Thị Thu b)Xác suất để viên bi lấy lần thứ hai màu đỏ biết viên bi lấy lần thứ màu trắng Bài 28 Một bình đựng bi xanh bi đỏ khác màu sắc,lấy ngẫu nhiên bi,rồi lấy bi nữa.Tính xác suất biến cố “lấy lần thứ hai bi xanh” Bài 29 Một súc sắc cân đối, đồng chất gieo lần Gọi X số lần xuất mặt chấm Hãy tính xác suất để có hai lần xuất mặt chấm Bài 30 Một lô hàng gồm sản phẩm có sản phẩm giả Người ta lấy sản phẩm kiểm tra gặp phế phẩm dừng Tính xác suất dừng lại lần kiểm tra thứ 1;2;3;4 Bài 31 Có hai hộp bút: hộp I có bút đỏ 10 bút xanh; hộp II có bút đỏ bút xanh Chọn ngẫu nhiên từ hộp bút Tính xác suất để có bút xanh bút đỏ Bài 32 Biết xác suất để học sinh thi đậu lần thi thứ nhất, thứ hai 0,9 0,6 Tính xác suất để học sinh thi đậu kì thi, biết học sinh phép thi tối đa lần Bài 33 Trong thùng có 30 bi: 20 bi trắng 10 bi đen Lấy liên tiếp bi bi lấy hoàn lại trước lấy bi bi trộn lại Hỏi xác suất để bi lấy có bi trắng 7.2 Về khả áp dụng sáng kiến: Sáng kiến kinh nghiệm: “Đinh hướng tư – Rèn luyện kỹ giải toán Tổ hợp – Xác suất thi HSG, THPTQG” áp dụng vào giảng dạy chuyên đê, ôn thi HSG ôn thi THPT QG hàng năm Những thông tin cần bảo mật (nếu có): Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Để áp dụng sáng kiến học sinh cần nghiêm túc học tập, vận dụng giảng làm tập giáo viên yêu cầu 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử (nếu có) theo nội dung sau: 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: Định hướng tư – rèn luyện kỹ giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG, THPT QG 55 Tác giả: Nguyễn Thị Thu Học sinh hứng thú với môn học tự tin với môn học Thấy toán học gắn liền với đời sống học toán thân em đem kiến thức toán học vào giải toán thực tế đời sống 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức, cá nhân: Học sinh có định hướng tư làm toán đặc biệt toán tổ hợp, xác suất 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Số Tên tổ chức/cá TT nhân Địa Phạm vi/Lĩnh vực Nguyễn Thị Thu Trường THPT Đồng Đậu Dạy học lớp 11, 12 Trần Thị Hương Trường THPT Đồng Đậu Dạy lớp 12 Nguyễn Chí Công Trường THPT Đồng Đậu Dạy học lớp 11, 12 Nguyễn Thế Hưng Trường THPT Đồng Đậu Dạy học lớp 11, 12 Trần Thị Hiền Trường THPT Đồng Đậu Dạy học lớp 11, 12 Nguyễn Thị Minh Trường THPT Đồng Đậu Chúc Dạy học lớp 11, 12 Đỗ Thị Lan Hương Trường THPT Đồng Đậu Dạy học lớp 11, 12 Trần Thị Loan Trường THPT Đồng Đậu Dạy học lớp 12 Nguyễn Thị Huyên Trường THPT Đồng Đậu Dạy học lớp 12 áp dụng sáng kiến ., ngày tháng năm ., ngày tháng năm Thủ trưởng đơn vị/ Tác giả sáng kiến Chính quyền địa phương (Ký, ghi rõ họ tên) (Ký tên, đóng dấu) Định hướng tư – rèn luyện kỹ giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG, THPT QG 56 [...]... 15 Một tập thể nhà khoa học gồm 2 nhà to n học và 10 nhà vật lý Hỏi có bao nhiêu cách thành lập từ tập thể đó một phái đoàn gồm 8 người trong đó có ít nhất một nhà to n học HD: Số cách lập thỏa mãn yêu cầu bài to n là: C128 − C108 Bài 16 Có 5 nhà to n học nam, 3 nhà to n học nữ và 4 nhà vật lí nam Lập một đoàn công tác 5 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà to n học và nhà vật lí Hỏi có bao nhiêu... ta có 2 ( A6 A8 − A5 A7 ) số Vậy số các chữ số có 7 chữ số thỏa mãn yêu cầu bài to n là 2.6 A85 + 7 A62 A74 2 ( A61 A85 − A51 A74 ) Bài 3 Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau trong đó nhất thi t phải có các số 1, 2, 3 và chúng đứng cạnh nhau Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải to n Tô hợp - Xác suất thi HSG, THPT QG 21 Tác giả: Nguyễn Thị Thu HD: 1,2,3 đứng cạnh nhau ta coi là 1... a1a2 a3a4 a5 mà tổng các chữ số là một số chẵn Vậy có tất cả: 9.103.5 = 45.103 số Dạng to n1.3: Đếm các số tự nhiên có điều ki n phải có mặt chữ số nào đó Bài 1 Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho nhất thi t phải có mặt chữ số 5 Giải: Do số tự nhiên nhất thi t phải có mặt chữ số 5 nên ta chọn 1 vị trí trong 4 vị trí để sắp số 5 Có 4 cách chọn... năng giải to n Tô hợp - Xác suất thi HSG, THPT QG 15 Tác giả: Nguyễn Thị Thu Có 6 cách chọn chữ số sắp vào vị trí đầu tiên, sau đó có 5 cách chọn vị trí sắp chữ số 4, còn lại chọn 4 chữ số từ 6 chữ số còn lại sắp vào 4 vị trí còn lại có A64 Vậy có 6.5.A64 Theo quy tắc cộng có A75 + 6.5 A64 (số) Bài 7 Với các chữ số 0,1,2 , 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau trong đó nhất thi t phải... =279999720 Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải to n Tô hợp - Xác suất thi HSG, THPT QG 22 Tác giả: Nguyễn Thị Thu Bài 2 Xét dãy có 7 chữ số là các số tự nhiên từ 0 đến 9 thỏa mãn các đk sau: Chữ số thứ 3 là số chẵn, Chữ số cuối cùng là số không chia hết cho 5, ba chữ số thứ 2,4,6 đôi một khác nhau Giải: Giả sử dãy 7 chữ số là a1a2 a3a4 a5a6 a7 Theo giả thi t a3 ∈ { 0; 2; 4;6;8} , a7 ∈ { 1, 2,3, 4,... lẻ là: 288 Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải to n Tô hợp - Xác suất thi HSG, THPT QG 23 Tác giả: Nguyễn Thị Thu Vậy số các số có 6 chữ số khác nhau là số chẵn từ các chữ số bài cho là: 600288=312 Bài 4 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau xếp theo thứ tự tăng dần Giải: Gọi số tự nhiên có 7 chữ số là a1a2 a3a4 a5 a6 a7 , theo giả thi t Bài 5 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác... không có quả màu đỏ nào: C33 Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải to n Tô hợp - Xác suất thi HSG, THPT QG 28 Tác giả: Nguyễn Thị Thu TH2: Có 1 quả màu đỏ: C17 C32 TH3: Có 2 quả màu đỏ: C72 C13 Vậy theo quy tắc cộng ta có số cách lấy thỏa mãn ycbt là: C33 + C17 C32 + C72 C13 d/ Số cách lấy 3 quả cầu thỏa mãn yêu cầu bài to n là: C103 − C33 Bài 6: Một lớp có 20 học sinh nữ trong đó có bạn Mai... các số có 5 chữ số khác nhau từ các chữ số bài cho trong đó nhất thi t có mặt 2 chữ số 2 và 7 là: A75 − 2 ( A65 − A55 ) − A55 Cách 2 Chọn 2 vị trí trong 5 vị trí sắp 2 chữ số 2 và 7 có A52 cách Sau đó chọn 3 chữ số trong 5 chữ số còn lại sắp vào 3 vị trí còn lại nên có A53 cách Suy ra có A52 A53 Dạng to n1.4 Đếm các số tự nhiên với điều ki n có chữ số lặp lại Bài 1 Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 lập được... nhật cũng tạo ra từ 2n điểm đó Tìm n Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải to n Tô hợp - Xác suất thi HSG, THPT QG 34 Tác giả: Nguyễn Thị Thu Giải: Số tam giác tạo thành từ 2n điểm đó là: C32n Số hình chữ nhật tạo được bằng việc chọn 2 điểm trong n điểm của đa giác ở nửa đường tròn nó nội tiếp Nên có C2n Theo giả thi t ta có C32n = 20Cn2 ⇒ n = 8 Bài 5 HSG 11 Vĩnh Phúc 2009-2010 Trong mặt phẳng... 1 ở ô đầu tiên Khi đó ta cần chọn 2 vị trí trong 7 vị trí còn lại để sắp chữ số 1 có C72 cách Sau đó sắp 5 chữ số còn lại vào 5 vị trí có 5! Cách Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải to n Tô hợp - Xác suất thi HSG, THPT QG 16 Tác giả: Nguyễn Thị Thu Suy ra có C72 5! TH2 Ô đầu tiên khác 1 Khi đó có 4 cách chọn chữ số sắp vào vị trí ô đầu tiên Sau đó có C73 cách chọn vị trí để sắp chữ số 1 Sau ... sáng ki n lần đầu (nếu có): Định hướng tư – rèn luyện kỹ giải to n Tô hợp - Xác suất thi HSG, THPT QG Tác giả: Nguyễn Thị Thu BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KI N: ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY. .. GIẢI TO N TỔ HỢP – XÁC SUẤT THI HSG, THPTQG Lời giới thi u: Các to n tổ hợp - xác suất, nhị thức Newton nội dung nhà trường phổ thông Nó thường xuất kỳ ki m tra, kỳ thi học kỳ, thi HSG thi THPT... Các điều ki n cần thi t để áp dụng sáng ki n: 55 10 Đánh giá lợi ích thu dự ki n thu áp dụng 55 sáng ki n theo ý ki n tác giả theo ý ki n tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng ki n lần đầu, kể