ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ TRÀ MY GIẢM BẬC CỦA MÔ HÌNH PHỤ THUỘC THAM SỐ DỰA TRÊN KHÔNG GIAN CON KRYLOV SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ TRÀ MY GIẢM BẬC CỦA MÔ HÌNH PHỤ THUỘC THAM SỐ DỰA TRÊN KHÔNG GIAN CON KRYLOV SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN THANH SƠN Thái Nguyên - 2016 i Mục lục Lời cảm ơn iii Danh sách ký hiệu Mở đầu Hệ điều khiển giảm bậc sử dụng không gian Krylov 1.1 Sơ lược hệ điều khiển 1.1.1 Khái niệm mở đầu 1.1.2 Công thức nghiệm 1.1.3 Biểu diễn miền thời gian 1.1.4 Biểu diễn miền tần số, hàm truyền 1.1.5 Moment hàm truyền 10 1.2 1.3 Không gian Krylov 10 1.2.1 Định nghĩa 10 1.2.2 Tính chất 11 1.2.3 Xây dựng sở - Thuật toán Arnoldi 11 Phương pháp không gian Krylov 12 1.3.1 Ý tưởng 12 1.3.2 Giảm bậc thông qua phép chiếu 13 1.3.3 Định lí Grimme 15 ii Giảm bậc mô hình phụ thuộc tham số dựa không gian Krylov suy rộng 2.1 2.2 Giảm bậc dựa không gian Krylov suy rộng 18 2.1.1 Ý tưởng 18 2.1.2 Định lý mở rộng 24 Một số phiên cải biên 26 2.2.1 Phương pháp Arnoldi hướng 26 2.2.2 Thống kê phương pháp khác 30 Ví dụ số Kết luận 18 33 37 iii Lời cảm ơn Trước tiên, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Thanh Sơn - Giảng viên khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, người thầy hướng dẫn, bảo tận tình cho suốt trình hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy, cô tham gia giảng dạy trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Thầy cô nhiệt tình giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành khóa học trường Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới tất bạn bè, đồng nghiệp người thân động viên, giúp đỡ suốt trình học tập hoàn thành luận văn Thái Nguyên, ngày 28 tháng 05 năm 2016 Học viên Lê Thị Trà My Danh sách ký hiệu • R+ tập số thực dương • Rn×r tập ma trận thực cỡ n × r • Lq (R+ , Rm ) không gian hàm khả tích bậc q từ R+ vào Rm • AT ma trận chuyển vị ma trận A •I ma trận đơn vị • span{a1 , a2 , , aj } không gian sinh véctơ a1 , a2 , , aj • colsp(A) không gian sinh véctơ cột ma trận A • x(t) ˙ đạo hàm x theo biến t • Re(λ) phần thực số phức λ • Λ(A) tập giá trị riêng ma trận A Mở đầu Lý chọn đề tài Mô số cho hệ điều khiển bước thiếu hoạt động nghiên cứu chế tạo thiết bị công nghệ cao Do yêu cầu cao tính xác, hệ điều khiển thường có bậc lớn mà gây khó khăn cho việc mô thời gian mô lâu đòi hỏi nhớ lớn Do đó, ta cần xấp xỉ mô hình mô hình có bậc nhỏ Công việc gọi giảm bậc mô hình Đã có nhiều phương pháp giảm bậc mô hình trội lên phương pháp: Chặt cân bằng, Phân tích trực giao Không gian Krylov Tuy nhiên, phương pháp không áp dụng cho mô hình phụ thuộc tham số, vốn xuất nhiều tham số môi trường, tính chất vật liệu hay cấu trúc hình học Nếu áp dụng cách trực tiếp phương pháp kể trên, trước tiên ta cần phải cố định giá trị tham số Nhưng điều có nghĩa là, hệ giảm bậc sinh xấp xỉ hệ ban đầu lân cận nhỏ giá trị tham số chọn Yêu cầu đặt hệ giảm bậc phải xấp xỉ hệ ban đầu toàn miền tham số Đó chủ đề luận văn Tuy nhiên, không định trình bày hết phương pháp khuôn khổ luận văn Thay vào đó, tập trung vào trình bày phương pháp dựa khái niệm không gian Krylov suy rộng Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Xây dựng phương pháp không gian Krylov suy rộng cho giảm bậc mô hình phụ thuộc tham số; áp dụng phương pháp cho ví dụ thực tế Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu sở lý thuyết hệ phụ thuộc tham số, phương pháp không gian Krylov suy rộng Phương pháp nghiên cứu • Sử dụng phép biến đổi đại số tuyến tính, kết đại số tuyến tính giải tích • Sử dụng tài liệu liên quan đến phương pháp giảm bậc bao gồm: báo khoa học, sách chuyên khảo luận án thuật toán Arnoldi, phương pháp không gian Krylov, phương pháp không gian Krylov suy rộng Sử dụng liệu công nhận cộng đồng nhà khoa học nghiên cứu lý thuyết giảm bậc để làm ví dụ minh họa cho phương pháp Bố cục luận văn Ngoài phần mở đầu phần kết luận, luận văn gồm ba chương: Chương Hệ điều khiển giảm bậc sử dụng không gian Krylov - Giới thiệu sơ lược hệ điều khiển - Xây dựng sở thuật toán Arnoldi - Trình bày phương pháp không gian Krylov Chương Giảm bậc mô hình phụ thuộc tham số dựa không gian Krylov suy rộng - Trình bày phương pháp giảm bậc mô hình sử dụng không gian Krylov suy rộng - Trình bày số phương pháp cải biên như: Phương pháp Arnoldi hướng số phương pháp khác Chương Ví dụ số Trình bày ví dụ số với liệu lấy từ mô hình thiết bị vi điệnnhiệt thực MATLAB Thái Nguyên, ngày 28 tháng 05 năm 2016 Học viên Lê Thị Trà My Chương Hệ điều khiển giảm bậc sử dụng không gian Krylov 1.1 1.1.1 Sơ lược hệ điều khiển Khái niệm mở đầu Hệ điều khiển hệ mà trạng thái số thành phần xác định thành phần thời điểm mà thành phần khác khứ Hệ điều khiển xuất thường xuyên vật lý, sinh học, kinh tế, khí vận chuyển, Đối tượng luận văn hệ điều khiển tuyến tính, ô-tô-nôm, thời gian liên tục có dạng sau: x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t) + Du(t), t ∈ (0, +∞) biến thời gian x(t) ∈ RN véctơ trạng thái u(t) ∈ Rm hàm điều khiển thông tin đầu vào y(t) ∈ Rl thông tin cần quan sát từ trạng thái x(t) (1.1) 24 với ≤ i ≤ n ≤ J Định lý sau định lý mở rộng Định lý Grimme Chương 2.1.2 Định lý mở rộng Định lí 2.1 Nếu V, Z ∈ RN ×r thỏa mãn KJB (A−1 A0 , A−1 A1 , A−1 B) ⊆ colsp{V }, KJC (A−T AT0 , A−T AT1 , A−T C T ) ⊆ colsp{Z} Z T AV không kì dị, ˆ in (Aˆ−1 Aˆ0 , Aˆ−1 Aˆ1 )Aˆ−1 B ˆ Cfin (A−1 A0 , A−1 A1 )A−1 B = Cf (2.10) với ≤ i ≤ n ≤ JB + JC + Chứng minh Trường hợp n = 0, sử dụng kết Bổ đề 2.4 ta điều cần chứng minh Với n ≤ JB + JC + 1, ta tìm ≤ iB ≤ JB ≤ iC ≤ JC cho n = jB + jC + Từ (2.6) ta có Cfin (A−1 A0 , A−1 A1 )A−1 B jC +1 +1 jB fjjCC+1−α (A−1 A0 , A−1 A1 )fi−j (A−1 A0 , A−1 A1 )A−1 B C −1+α =C α=0 jC +1 fjjCC−α (A−1 A0 , A−1 A1 )A−1 A1 + fjjCC+1−α (A−1 A0 , A−1 A1 )A−1 A0 =C α=0 jB fi−j (A−1 A0 , A−1 A1 )A−1 B C −1+α jC +1 CA−1 fjC −α jC (A−1 A0 , A−1 A1 )A1 = α=0 jB + CA−1 fjjCC+1−α (A−1 A0 , A−1 A1 )A0 fi−j (A−1 A0 , A−1 A1 )A−1 B C −1+α 25 Áp dụng Bổ đề 2.5 Bổ đề 2.4 cho biểu thức ta Cfin (A−1 A0 , A−1 A1 )A−1 B jC +1 Cˆ Aˆ−1 fjjCC−α (Aˆ−1 Aˆ0 , Aˆ−1 Aˆ1 )Z T A1 + Cˆ Aˆ−1 = α=0 jB ˆ fjjCC+1−α (Aˆ−1 Aˆ0 , Aˆ−1 Aˆ1 )Z T A0 V fi−j (Aˆ−1 Aˆ0 , Aˆ−1 Aˆ1 )Aˆ−1 B C −1+α jC +1 Aˆ−1 fjjCC−α (Aˆ−1 Aˆ0 , Aˆ−1 Aˆ1 )Aˆ1 + Aˆ−1 fjjCC+1−α (Aˆ−1 Aˆ0 , Aˆ−1 Aˆ1 )Aˆ0 =Cˆ α=0 jB ˆ fi−j (Aˆ−1 Aˆ0 , Aˆ−1 Aˆ1 )Aˆ−1 B C −1+α jC +1 fjjCC−α (Aˆ−1 Aˆ0 , Aˆ−1 Aˆ1 )Aˆ−1 Aˆ1 + fjjCC+1−α (Aˆ−1 Aˆ0 , Aˆ−1 Aˆ1 )Aˆ0 =Cˆ α=0 jB ˆ fi−j (Aˆ−1 Aˆ0 , Aˆ−1 Aˆ1 )Aˆ−1 B C −1+α jC +1 jB fjjCC+1−α (Aˆ−1 Aˆ0 , Aˆ−1 Aˆ1 )fi−j (Aˆ−1 Aˆ0 , Aˆ−1 Aˆ1 )A−1 B C −1+α =Cˆ α=0 ˆ in (Aˆ−1 Aˆ0 , Aˆ−1 Aˆ1 )Aˆ−1 B ˆ =Cf Chú ý mở rộng hàm truyền (ρ0 , , ρk ) thay điểm (0, , 0), H(p0 , , pk ) (2.3) viết sau: k k H(p0 , , pk ) =C − (A − (pi − ρi )Ai ρi Aj ) + j=0 i=0 k =−C I − k k j=0 −1 ρj A j j=0 ρj Aj )−1 Ai (pi − ρi )(A − i=0 A− −1 B B 26 k −1 =−C A− ρj Aj B j=0 k k A− −C −1 ρj A j k j=0 i=0 thay A A − k −1 Ai A − ρj Aj B(pi − ρi ) + j=0 ρj Aj , pi pi − ρi phần lại tổng j=0 2.2 2.2.1 Một số phiên cải biên Phương pháp Arnoldi hướng Xét ma trận vế trái hệ (2.1) phụ thuộc tham số k E+ (2.11) pi Ei i=1 Hệ thường phát sinh tình mạng kết nối tham số hệ khí vi điện tử Trong trường hợp phụ thuộc vào tham số, hàm truyền H(s, p) =C s(E + pEp ) − (A − pAp ) −1 B =C − (A − pAp ) I − s(A − pAp )−1 (E + pEp ) −1 = − C I − s(A − pAp )−1 (E + pEp ) ∞ −1 B (A − pAp )−1 B (2.12) i (A − pAp )−1 (E + pEp ) (A − pAp )−1 Bsi =−C i=0 Với có mặt Ep , ta làm theo phương pháp tiếp cận làm tăng nhanh số chiều Vj Ma trận chiếu V có × (2 × 10) × ((2 × 10)k+1 − 1)/((2 × 10) − 1) cột Từ (2.11), cách để tránh tình xác định xác tham số q = sp hàm truyền với tham số độc lập H(s, p, q) = C(−A + sE + qEp + pAp )−1 B 27 Điều dẫn đến tình phức tạp mở rộng đa tham số Tuy nhiên, phương pháp đa tham số áp dụng, muốn thực với phương pháp kiểu Arnoldi Ta viết lại hàm truyền (2.11) H(s, p) =C(−(A − Ap ) + s(E + pEp ))−1 B ∞ ∞ Mji sj pi , = i=0 j=0 moment Mji = −Cµij , µij gọi phép truy toán hai hướng Aµij = Eµij−1 + Ap µi−1 + Ep µi−1 j j−1 , (2.13) với µ00 = A−1 B µij = với số âm i, j Nếu ta muốn khớp (n + 1) × (k + 1) moment Mji , ≤ i ≤ n, ≤ j ≤ k, phép chiếu bên, ta phải xây dựng ma trận V cho colsp{V } = span{Mji , ≤ i ≤ n, ≤ j ≤ k} (2.14) Khi đó, cấu trúc V ổn định Với hệ SISO, ta gọi phương pháp Arnoldi hai hướng kết nối vĩ mô tham số sau: Trước tiên, ta xếp lại tập véctơ µij sau:   0 µ µ µk    1   µ0 µ1 µk       .   n n n µ0 µ1 µk (2.15) Ký hiệu Ri ma trận đủ hạng sinh không gian sinh i hàng (2.15), i−1 i−1 colsp{Ri } = span{µi−1 , µ1 , , µk } 28 Ma trận V cấu trúc thêm Ri colsp{Vi } =colsp{Vi−1 Ri }, i = 1, , n + 1, V0 =[ V0 = [ (2.16) ], ] ma trận rỗng Ta thấy R1 xây dựng trực tiếp chương trình Arnoldi tiêu chuẩn từ không gian Krylov tiêu chuẩn Kk+1 (A−1 E, A−1 B) Với i = 2, , n + 1, ta có     µ [i−1]  j−1    µ[j]   [i] µj−1  = µ[j]    ∈ RiN ,       i−1   µj−1 µi−1 j−1 A[i−1] A[i] = ∗ , E[i] = E[i−1] ∗ (2.17) [0] Ap A [0] Ep E Ký hiệu [0]∗ nghĩa kích cỡ ma trận không thay đổi cho phù hợp theo kích cỡ ma trận ban đầu Theo cách ký hiệu A[1] = A, E[1] = E (2.14) viết sau [i] [i] A[i] µ[j] = E[i−1] µ[j−1] , j = 2, , k + Ta có [i] [i] [i] colsp{W[i] } := span{µ[1] , , µ[k+1] } = Kk+1 A−1 [i] E[i] , µ[1] Tuy nhiên, ta không cần toàn W[i] cần tất kiện liên quan đến {µ0i−1 , , µki−1 } Nếu ta phân tích W[i] sau:   W W[i] =  [i]  W[i]2 , 29 W[i]1 bao gồm (i − 1)N hàng W[i] W[i]2 bao gồm N hàng cuối Từ (2.16) ta có colsp{W[i]2 } = span{Ri } Ta phải cập nhật ma trận trực giao theo cột Vi (2.15) Từ phương pháp Arnoldi hai hướng kết nối vĩ mô tham số bao gồm chương trình chuẩn Arnoldi phương pháp trực giao Gram-Schmidt, việc tính toán trở nên dễ dàng Nó cho thấy hệ giảm cấu trúc phương pháp Arnoldi hai hướng kết nối vĩ mô tham số khớp tất moment Mji , ≤ i ≤ n, ≤ j ≤ k Một cách tiếp cận đáng ý khác dựa tính toán trực tiếp moment miền tần số Cách tiếp cận đề xuất cho lưới mạng tuyến tính Trường hợp tổng quát biểu diễn sau: Y (s, p)X(s, p) = b, (2.18) Y (s, p) = −A(p) + sE(p) ∈ RN ×N , b ∈ RN đặc trưng cho kích thích mạng Ký hiệu Mis Mip moment X s p (s, p) = (0, p0 ) tương ứng Ta có: p s A(p0 )Mi−1 =E(p0 )Mi−1 , −A(p0 )M0s =b, i A(p0 )Mip (2.19) =− j=1 ∂i p A(p)|p=p0 Mi−j j ∂p , j! −A(p0 )M0p =b Ý tưởng phương pháp khớp moment chiếu ma trận V cấu trúc cho colsp{V } = span{M0s , , Mns , M0p , , Mkp } (2.20) 30 Sau phép chiếu hệ (2.17), trở thành ˆ ˆ ˆ s) = ˆb, sE(p) − A(p) X(p, (2.21) ˆ ˆ T A(p)V, ˆb = V T b Các moment M0s , , Mns , đó, E(p) = V T E(p)V, AV M0p , , Mkp hệ gốc (2.17) khớp tưng ứng hệ giảm (2.20) (2.19) thỏa mãn Các moment đưa xác (2.19) bỏ qua moment khác gọi moment túy 2.2.2 Thống kê phương pháp khác Xét hệ thống phụ thuộc tham số p: E x(t) ˙ = (A − pAp )x(t) + Bu(t), x(0) = 0, (2.22) y(t) = Cx(t) Hàm truyền là: H(s, p) = C sE − (A − pAp ) −1 B Mặt trái phương pháp khớp điểm đa tham số tham số tần số s tham số p xử lý khác Bởi vậy, ta không xét H(s, p) hàm hai biến độc lập khai triển Trước tiên, ta khai triển H(s, p) hàm biến đặt hệ số khác Rõ ràng, tham số chọn trường hợp khác tần số s thuộc miền moment khớp điểm Theo ta có H(s, p) =C sE − (A − pAp ) −1 B −1 = − C I − s(A − pAp )−1 E ∞ i (A − pAp )−1 B (A − pAp )−1 E (A − pAp )−1 Bsi =−C i=0 31 Khi moment H(s, p) phụ thuộc vào p, người ta khớp chúng với không gian Krylov Tuy nhiên, để khớp moment theo hướng xấp xỉ, ta thực khớp điểm gọi moment Ta kí hiệu i Mi = (A − pAp )−1 E (A − pAp )−1 B, i = 1, 2, Xét M0 =(A − pAp )−1 B = A(I − pA−1 Ap ) −1 B ∞ (A−1 Ap )j A−1 Bpj , = j=0 ma trận (A−1 Ap )j A−1 B gọi moment Một quan sát rằng, khai triển M0 giống cấu trúc khai triển hàm truyền hệ thời gian bất biến tuyến tính liên tục Vì vậy, ta sử dụng phương pháp không gian Krylov để khớp moment (A−1 Ap )j A−1 B Ta xác định colsp{V0 } = Ki0 (A−1 Ap , A−1 B) với phép lặp xấp xỉ M0 khớp điểm moment thứ i0 M1 , M1 =(A − pAp )−1 E(A − pAp )−1 B ∞ = ∞ −1 j1 −1 (A−1 Ap )j0 A−1 Bpj1 pj0 (A Ap ) A E j1 =0 jo =o Theo định nghĩa M1 chứa thông tin M0 Ta phải xây dựng V1 Chú ý ta đủ kiện M0 nên xấp xỉ V1 thông qua V0 Vì vậy, ta xác định B1 := EV0 32 xác định không gian colsp{V1 } := Ki1 (A−1 Ap , A−1 B1 ), tương tự, ta có colsp{V2 } := Ki2 (A−1 Ap , A−1 B2 ) Giả sử rằng, bước k ma trận chiếu cần giảm V , cho colsp{V } = colsp{V0 , V1 , , Vk } Hệ giảm xác định phép chiếu bên là: ˆ Eˆ xˆ˙ (t) = Aˆ − pAˆp )x(t) + Bu(t), x(0) = 0, yˆ(t) = Cˆ xˆ(t) (2.23) ˆ = V T B, Cˆ = CV đó, Eˆ = V T AV, Aˆ = V T AV, Aˆp = V T Ap V, B Định lí sau cho thấy hệ (2.22) hệ giảm hệ (2.21) Định lí 2.2 Các moment i0 , i1 , , ik M0 , M1 , , Mk tương ứng hệ gốc (2.21) khớp điểm số lượng tương ứng hàm truyền hệ giảm (2.22) Một vài điểm lưu ý Đầu tiên, ưu điểm phương pháp không gian Krylov kỹ thuật chọn kích thước không gian Vj , j = 0, , k Nó xác định thực nghiệm, ví dụ chọn sở tốt để xấp xỉ moment Mj , j = 0, , k Thứ hai, từ Vj , ta xác định cỡ Bj+1 cấu trúc Vj+1 lặp lại liên tục Cỡ ma trận chiếu V tính tổng cỡ ma trận Vj , tăng lên nhanh chóng với j Ví dụ, tổng hệ lớn MIMO với đầu vào cần xử lý giả sử không xảy trình giảm phát trình giảm hệ Ta khớp 10 moment cho tất Mj Thì Vj có 3×10j cột ta nhận hệ giảm có bậc × 10 × (10k+1 − 1)/(10 − 1) 33 Chương Ví dụ số Trong thực tế, sản xuất chip nhiệt nhỏ, kỹ sư điều kiện môi trường nơi chip nhiệt nhỏ sử dụng Do vậy, yêu cầu quan trọng cho hệ điều khiển chip nhiệt nhỏ phải có điều kiện biên độc lập Tức mô hình phải áp dụng cho nhiều loại điều kiện biên khác Trong phần này, ta xét ví dụ chung thiết bị nhiệt với nguồn nhiệt lượng nhiệt sinh tiêu biến qua thiết bị môi trường xung quanh Về mặt toán học, rời rạc không gian phương trình truyền nhiệt trao đổi nhiệt với điều kiện biên đối lưu nhiệt [6] mô tả E T˙ (t) = A − htop Atop − hbottom Abottom − hside Aside T (t) + Bu(t), y(t) = CT (t), (3.1) E, A ma trận thưa đối xứng, tương ứng mô tả dung lượng nhiệt độ dẫn nhiệt B véctơ tải mô tả vị trí nguồn nhiệt 34 C ma trận đầu mô tả vị trí điểm muốn đo nhiệt độ Atop , Abottom , Aside ma trận đường chéo có cách rời rạc hóa điều kiện biên đối lưu nhiệt phía trên, phía bên cạnh tương ứng với hệ số màng htop , hbottom , hside T véctơ nhiệt Hệ (3.1) có bậc 4257 Các hệ số màng htop , hbottom , hside mô tả trao đổi nhiệt cho mặt phân cách phía trên, phía dưới, bên cạnh thay đổi theo thay đổi môi trường xung quanh chip htop , hbottom , hside coi tham số mô hình Như hệ điều khiển (3.1) hệ điều khiển phụ thuộc tham số htop , hbottom , hside Tuy nhiên, Chương ta xét hệ điều khiển phụ thuộc tham số Vì ta cố định hai tham số htop = 1000, hbottom = 500 hside dao động từ đến 109 Sai số xấp xỉ cho phép 0, 05 Tuy nhiên để đơn giản trình tính toán, ta xét sai số miền (s, p) = [1, 1000] × [1, 2000] ta lấy hàng thứ ma trận C mô hình thực tế Điều có nghĩa ta quan tâm đến nhiệt độ điểm Điểm nội suy s0 = 100, p0 = 1000 Trong ví dụ này, ta không chọn điểm nội suy s0 = 0, p0 = điểm (s0 , p0 ) không thuộc miền cho phép tham số Chọn tổng cộng 12000 điểm để tính sai số tuyệt đối ˆ i , pj ) H(si , pj ) − H(s Sai số tương đối tính ˆ i , pj ) H(si , pj ) − H(s H(si , pj ) (i, j) = [1, 120] × [1, 100] 35 Ta thực giảm bậc hệ điều khiển (3.1) từ bậc N = 4257 xuống bậc 21, trình giảm bậc thực MATLAB sau: + Bước 1: Các ma trận E, A, Atop , Abottom , Aside , B, C đọc lệnh mmread.mat từ file down từ trang chủ + Bước 2: Tạo hàm projmat để xây dựng không gian Krylov suy rộng bậc xây dựng ma trận chiếu V, Z với điểm nội suy s0 = 100, p0 = 1000 Ta thu ma trận chiếu có 21 cột: + Bước 3: Thực giảm bậc hệ điều khiển từ bậc N = 4257 xuống bậc 21 với điểm nội suy s0 = 100, p0 = 1000 + Bước 4: Minh họa kết sai số tuyệt đối Hình 3.1 sai số tương đối Hình 3.2 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 1000 2000 1500 500 1000 500 frequency 0 parameter Hình 3.1: Sai số tuyệt đối hai hàm truyền 36 0.02 0.015 0.01 0.005 1000 2000 1500 500 1000 500 frequency 0 parameter Hình 3.2: Sai số tương đối hai hàm truyền Nhận xét Trong ví dụ hệ ban đầu với bậc N = 4257 giảm xuống bậc 21 phương pháp giảm bậc cho hệ phụ thuộc tham số dựa không gian Krylov suy rộng có sai số tuyệt đối hai hàm truyền 0, 02 (Hình 3.1) Sai số tương đối 0, 016 (Hình 3.2) Ta thấy rằng, sai số xấp xỉ cho phép 0, 05 đó, sai số tương đối 0, 016 Như phương pháp giảm bậc cho hệ phụ thuộc tham số dựa không gian Krylov suy rộng cho xấp xỉ tốt 37 Kết luận Luận văn "Giảm bậc mô hình phụ thuộc tham số dựa không gian Krylov suy rộng" đạt kết sau: Trình bày sơ lược hệ điều khiển ý nghĩa việc xây dựng sở - Thuật toán Arnoldi Trình bày chi tiết phương pháp không gian Krylov để giảm bậc hệ điều khiển thông qua phép chiếu Trình bày chi tiết phương pháp giảm bậc mô hình phụ thuộc tham số dựa không gian Krylov suy rộng Áp dụng kết trình bày vào mô hình thiết bị nhiệt 38 Tài liệu tham khảo [1] Antoulas A C (2005), Approximation of large scale dynamical systems Advances in Design and Control DC-06, SIAM, Philadelphia [2] Feng L Rudnyi E B., Korvink J G (2005), "Preserving the film coefficients as a parameter in the compact thermal model for fast electrothermal simulation" IEEE T Comput Aid D 24(12), 1838-1847 [3] Grimme E J (1997), Krylov Projection Methoads for Model Reduction.University of Jllinois, Urbana-Champaign [4] Li Y T., Bai Z., Su Y., and Zeng X (2008), "Model order reduction of parameterized interconnect network via a two-directional Arnoldi process" IEEE T Comput Aid D 27(9), 1571-1582 [5] Son N.T (2012), Interpolation based parametric model order reduction PhD Dissertation, University of Bremen [6] Rudnyi E B., Korvink J G., (2004), Boundary Condition Independent Thermal Model (38865), https://portal.uni-freiburg.de/imteksimulation /downloads/benchmark/Thermal [...]... V T AV, V T b, cV ) một bên Hệ giảm thu được là Σ 18 Chương 2 Giảm bậc của mô hình phụ thuộc tham số dựa trên không gian con Krylov suy rộng Trong chương này, ta dựa trên không gian con Krylov suy rộng để giảm bậc cho hệ thống phụ thuộc tham số Ý tưởng cơ bản để giảm bậc cho hệ điều khiển phụ thuộc tham số là ta coi các tham số khác cùng với tần số như là những tham số có vai trò như nhau Sau đó, sử... các moment Cuối cùng, để tạo ra hệ giảm bằng phép chiếu sao cho nó có cùng một số moment nào đó của hệ ban đầu, ta dựa vào phương pháp đã trình bày ở cuối Chương 1 Không gian chiếu ở đây không còn là không gian con Krylov tiêu chuẩn nữa Ta sẽ xây dựng nó ngay sau đây 2.1 2.1.1 Giảm bậc dựa trên không gian con Krylov suy rộng Ý tưởng Xét hệ điều khiển phụ thuộc tham số cho bởi hệ phương trình k E x(t)... có kết quả đầu tiên của phương pháp khớp moment đa tham số Trước khi đi vào kết quả chính, ta định nghĩa không gian con Krylov suy rộng như sau Cho hệ điều khiển phụ thuộc tham số, hai ma trận φ1 , φ2 và một ma trận Λ đủ hạng Không gian con Krylov suy rộng KJ (φ1 , φ2 , Λ) được xác định như sau 22 Định nghĩa 2.1 Định nghĩa không gian con Krylov suy rộng J n KJ (φ1 , φ2 , Λ) :=colsp{ fin (φ1 , φ2 )Λ}... được gọi là tham số Markov 1.2 1.2.1 Không gian con Krylov Định nghĩa Định nghĩa 1.3 Cho ma trận vuông A ∈ RN ×N và véctơ b ∈ RN Ký hiệu colsp của một ma trận là không gian con sinh bởi các cột của ma trận đó 11 n- không gian con Krylov Kn (A, b) là không gian con sinh bởi các véctơ {b, Ab, A2 b, , An−1 b}, tức là Kn (A, b) := colsp([b 1.2.2 Ab A2 b An−1 b]) Tính chất Không gian Krylov Kn (A,... xây dựng hệ giảm bậc sao cho một số hệ số đầu trong khai triển của hàm truyền giảm bậc tại một điểm cho trước trùng với hệ số tương ứng của hàm truyền ban đầu Phụ thuộc vào chọn điểm khai triển mà bài toán giảm bậc được đặt tên khác nhau như sau: - Thực hóa từng phần (Partial realization): hợp hóa các số hạng của khai triển quanh ∞ - Xấp xỉ Padé (Padé approximation): hợp hóa các số hạng của khai triển... tham số Hệ cho bởi công thức (2.1) thường xảy ra khi rời rạc hóa các phương trình vi phân từng phần loại parabolic với tham số là các điều kiện biên hoặc hệ số của đạo hàm bậc nhất của ẩn hàm Hàm truyền của (2.1) phụ thuộc trên cả miền tần số và tham số được cho bởi k H(p1 , , pk , s) = C sE − (A − −1 pi Ai ) B (2.2) i=1 Từ (2.2), ta thấy rằng sE và pi Ai giữ vai trò như nhau, nghĩa là tập các tham. .. V Chú ý: Ma trận D không bị ảnh hưởng trong quá trình hạ bậc nên từ nay ta giả sử D = 0 Sau đây, chúng tôi sẽ trình bày tóm lược phương pháp không gian con Krylov để giảm bậc của hệ thông qua phép chiếu qua một vài kết quả chính Trước tiên là định lí về hợp hóa tham số Markov Định lí 1.1 Cho hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian bậc N có dạng x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t), giả sử... end for 8: 1.3 1.3.1 Phương pháp không gian con Krylov Ý tưởng Ta thấy rằng hàm truyền của một hệ điều khiển chính là đại lượng đại diện cho hệ điều khiển đó trong miền tần số Vì vậy, một xu hướng giảm bậc là tìm một hệ có bậc nhỏ hơn và có hàm truyền xấp xỉ hàm truyền của hệ gốc Điều này có thể thực hiện thông qua việc hợp hóa một số hệ số đầu trong khai triển Laurent của hàm truyền gốc tại một điểm... I)−T , C T ), cho nội suy hữu tỉ Trong thực tế, ta thường chọn s là iω với ω ∈ R+ là tần số nào đó Theo đó, Hω trở thành hệ số khuếch đại Định lí trên đã nêu ra một phương pháp hiệu quả để tìm xấp xỉ của hàm truyền đối với hệ bậc cao trong miền tần số Tuy nhiên, xấp xỉ trên chỉ tìm được quanh điểm s0 , nếu khoảng rộng hơn s0 thì định lý trên không còn đúng Để khắc phục tình trạng trên, người ta phải... B(pi − ρi ) + j=0 ρj Aj , pi bởi pi − ρi trong phần còn lại của tổng j=0 2.2 2.2.1 Một số phiên bản cải biên Phương pháp Arnoldi 2 hướng Xét ma trận vế trái của hệ (2.1) phụ thuộc tham số k E+ (2.11) pi Ei i=1 Hệ này thường phát sinh trong tình huống mạng kết nối tham số hoặc hệ cơ khí vi điện tử Trong trường hợp chỉ phụ thuộc vào một tham số, hàm truyền là H(s, p) =C s(E + pEp ) − (A − pAp ) −1 B ... suy rộng Trong chương này, ta dựa không gian Krylov suy rộng để giảm bậc cho hệ thống phụ thuộc tham số Ý tưởng để giảm bậc cho hệ điều khiển phụ thuộc tham số ta coi tham số khác với tần số tham. .. thuộc tham số dựa không gian Krylov suy rộng 2.1 2.2 Giảm bậc dựa không gian Krylov suy rộng 18 2.1.1 Ý tưởng 18 2.1.2 Định lý mở rộng 24 Một số. .. HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ TRÀ MY GIẢM BẬC CỦA MÔ HÌNH PHỤ THUỘC THAM SỐ DỰA TRÊN KHÔNG GIAN CON KRYLOV SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG