http://www.ebook.edu.vn ˆN - D ´.C (8+4) - I.NH THU Chu.o.ng MA TRA I Ma trˆ a.n `om m × n a.n c˜ o m × n l` a mˆ o.t ba’ng sˆ o´ gˆ * Cho m, n nguyˆen du.o.ng Ta go.i ma trˆ sˆ o´ thu c d¯u o c viˆe´t th` anh m h` ang, n cˆ o.t c´ o da.ng nhu sau:  (ai,j )m×n a1,1 a =  2,1 am,1 a1,2 a2,2 am,2  a1,n a2,n   am,n d¯´ o c´ ac sˆ o´ thu c ai,j , i = 1, m, j = 1, n `an tu’ cu’ a ma trˆ a.n, chı’ sˆ o´ i chı’ h` ang v` a chı’ sˆ o´ j chı’ cˆ o.t cu’a a c´ ac phˆ d¯u.o c go.i l` `an tu’ ma trˆ phˆ a.n * Ma trˆ a.n c˜ o × n d¯u.o c go.i l` a ma trˆ a.n h` o m × d¯u.o c go.i l` a ma ang, ma trˆ a.n c˜ ´ trˆ a.n cˆ o.t, ma trˆ a.n c˜ o n × n d¯u o c go.i l` a ma trˆ a.n vuˆ ong cˆ a p n `om c´ `an tu’ * Trˆen ma trˆ a.n vuˆ ong cˆ a´p n, d¯u.o `.ng ch´eo gˆ ac phˆ ai,i , i = 1, n `om c´ `an tu’ o.ng ch´ eo ch´ınh, d¯u.o ad ¯u.` `.ng ch´eo gˆ ac phˆ d¯u.o c go.i l` ai,n+1−i , i = 1, n o.ng ch´ eo phu cu’a ma trˆ a.n ad ¯u.` d¯u.o c go.i l` ` ` ´ ` `eu b˘ ’ * Ma trˆ a.n vuˆ ong cˆ a p n c´ o c´ ac phˆ an tu n˘ a m ngo` d¯u.` o.ng ch´eo ch´ınh d¯ˆ a ng 0, ngh˜ıa l` a: ai,j = 0, ∀i = j a ma trˆ a.n ch´ eo d¯u.o c go.i l` * Ma trˆ a.n ch´eo c´ o ai,i = 1, i = 1, n a ma trˆ a.n d ¯o.n vi cˆ a´p n, k´ y hiˆe.u In d¯u.o c go.i l` * Ma trˆ a.n c˜ o m × n c´ o ai,j = 0, ∀i, j : i > j a ma trˆ a.n bˆ a.c thang d¯u.o c go.i l` ` `an tu’ d¯`ˆeu b˘ * Ma trˆ a.n c˜ o m × n c´ o c´ ac phˆ a ng d¯u.o c go.i l` a ma trˆ a.n khˆ ong, k´ y hiˆe.u 0m,n * Ta go.i ma trˆ a.n chuyˆ e’n vi  AT = (aj,i )n×m a1,1 a =  1,2 a1,n a2,1 a2,2 a2,n  am,1 am,2   am,n Typeset by AMS-TEX http://www.ebook.edu.vn cu’a ma trˆ a.n  A = (ai,j )m×n a1,1  a2,1 = am,1 a1,2 a2,2 am,2  a1,n a2,n   am,n ` ng c´ u A b˘ a ach chuyˆe’n h` ang th` anh cˆ o.t, cˆ o.t th` anh h` ang l` a ma trˆ a.n c´ o d¯u.o c t` ` ´ `an * Hai ma trˆ a.n c` ung c˜ o (ai,j )m×n v` a b˘ a ng nˆeu c´ ac phˆ a (bi,j )m×n d¯u o c go.i l` ` ng nhau: `eu b˘ u ng vi tr´ı d¯ˆ a tu’ o’ t` ai,j = bi,j , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n a mˆ o.t ma trˆ a.n c˜ o m × n, d¯´ o + Tˆ o’ng (hiˆe.u) cu’a hai ma trˆ a.n c` ung c˜ o m × n l` `an tu’ cu’a ma trˆ `an tu’ o’ vi tr´ı tu.o.ng u phˆ a.n tˆ o’ng (hiˆe.u) l` a tˆ o’ng (hiˆe.u) c´ ac phˆ ´.ng: (ci,j )m×n = (ai,j )m×n ± (bi,j )m×n v´ o.i ci,j = ai,j ± bi,j , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n o.ng cu’a sˆ o´ thu c α v´ o.i ma trˆ a.n c˜ o m × n l` a ma trˆ a.n c˜ o m × n, d¯´ o + T´ıch vˆ o hu.´ `an tu’ l` `an tu’ o’ vi tr´ı tu o ng u `au: mˆ o˜i phˆ a t´ıch cu’a α v´ o i phˆ ´ ng cu’a ma trˆ a.n ban d¯ˆ (ci,j )m×n = α.(ai,j )m×n v´ o.i ci,j = α.bi,j , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n o.ng c´ o t´ınh phˆ an bˆ o´ v´ o.i ph´ep cˆ o.ng c´ ac ma trˆ a.n: α.(A+ B) = α.A +α.B, + T´ıch vˆ o hu.´ ´ v´ o i ph´ep cˆ o.ng c´ ac hˆe sˆ o: (α + β).A = α.A + β.B, c´ o t´ınh kˆe´t ho p: α.(β · A) = (α.β) · A + T´ıch cu’a hai ma trˆ a.n A = (ai,j )m×n v` a B = (bj,k )n×q l` a ma trˆ a.n C = A × B = (ci,k )m×q , v´ o.i n ci,k = ai,j bj,k , ∀i = 1, m, ∀k = 1, q j=1 V´ı du  2     1.1 + 3.1 + 2.3     × −1 = 2.1 + 4.1 + 7.3 3.1 + 5.1 + 6.3    10 1.3 − 3.1 + 2.2 2.3 − 4.1 + 7.2  =  27 16  26 16 3.3 − 5.1 + 6.2 http://www.ebook.edu.vn an + Ph´ep nhˆ an hai ma trˆ a.n c´ o t´ınh kˆe´t ho p: A × (B × C) = (A × B) × C, t´ınh phˆ phˆ o´i d¯ˆ o´i v´ o i ph´ep cˆ o.ng: A × (B + C) = A × B + A × C; (A + B) × C = A × C + B × C Ngo` ra, nˆe´u A c´ o c˜ o m × n, th`ı A × In = Im × A = A - i.nh th´ II D u.c * Cho E = {1, 2, 3, , n} Ta go.i ho´ an vi cu’ a tˆ a.p E l` a mˆ o.t song a ´nh f : E → E, k´ y hiˆe.u n f: f (1) f (2) f (n) hay (f (1), f (2), , f (n)) (c´ o tˆ a´t ca’ n! ho´ an vi kh´ ac nhau) ´ V´ı du Cho E = {1, 2, 3} Anh xa f : E → E x´ ac d¯i.nh bo’.i: f(1) = 1, f (2) = 3, f (3) = l` a mˆ o.t ho´ an vi cu’a E, k´ y hiˆe.u l` a 3 ho˘ a.c (1, 3, 2) * Cho mˆ o.t ho´ an vi f (1) f: f(2) n f (n) ta th` anh lˆ a.p c´ ac c˘ a.p th´ u tu (f(i), f (j)), ∀i = j, o.t c˘ a.p (f (i), f (j)) d¯u.o c go.i l` a nghi.ch thˆ e´ nˆe´u s˜e c´ o Cn2 c˘ a.p th´ u tu nhu thˆe´; mˆ (i − j)(f(i) − f(j)) < Go.i N(f ) l` a sˆ o´ c´ ac nghi.ch thˆe´ cu’a ho´ an vi f (c´ o Cn2 c˘ a.p th´ u tu trˆen) V´ı du T`ım sˆ o´ nghi.ch thˆe´ cu’a ho´ an vi f : 3 5 http://www.ebook.edu.vn an vi n` ay, ta c´ o c´ ac c˘ a.p th´ u tu T` u ho´ (3, 2), (3, 1), (3, 5), (3, 4), (2, 1), (2, 5), (2, 4), (1, 5), (1, 4), (5, 4), d¯´ o ta c´ o c´ ac nghi.ch thˆe´: (3, 2), (3, 1), (2, 1), (5, 4), suy N(f ) = - i.nh th´ * Cho ma trˆ a.n (A)n,n D a mˆ o.t sˆ o´ thu c, k´ y hiˆe.u v` a x´ ac d¯i.nh nhu u.c cu’ a A l` sau: det(A) = (−1)N (f ) a1,f (1) a2,f (2) an,f (n) f ∈Sn `an tu’ {1, 2, , n} Nhu vˆ a.y, d¯i.nh d¯´ o Sn l` a tˆ a.p tˆ a´t ca’ n! ho` an vi cu’a n phˆ ´ ’ th´ u c cua ma trˆ a.n A l` a mˆ o.t sˆ o: ` ng tˆ + b˘ a o’ng d¯a.i sˆ o´ cu’a n! ha.ng tu’ da.ng a1,f (1) a2,f (2) an,f (n) `an tu’ ai,j m` a t´ıch cu’a n phˆ + mˆ o˜i ha.ng tu’ l` a mˆ o˜i h` ang, mˆ o˜i cˆ o.t pha’i c´ o mˆ o.t `an tu’ tham gia v` v` a chı’ mˆ o.t phˆ ao t´ıch d¯´ o + dˆ a´u cu’a mˆ o˜i ha.ng tu’ phu thuˆ o.c v` ao sˆ o´ nghi.ch thˆe´ cu’a ho´ an vi tu.o.ng u ´.ng * Ta go.i d ¯i.nh th´ u c cˆ a´p l` a gi´ a tri t´ınh d¯u o c t` u ba’ng h` ang, cˆ o.t nhu sau: a1,1 a2,1 a1,2 = a1,1 a2,2 − a2,1 a1,2 a2,2 a´p l` a gi´ a tri t´ınh d¯u.o c t` u ba’ng h` ang, cˆ o.t nhu sau: * Ta go.i d ¯i.nh th´ u.c cˆ a1,1 a2,1 a3,1 a1,2 a2,2 a3,2 a1,3 a2,3 = a1,1 a2,2 a3,3 + a2,1 a3,2 a1,3 + a3,1 a1,2 a2,3 a3,3 − a3,1 a2,2 a1,3 − a2,1 a1,2 a3,3 − a1,1 a3,2 a2,3 - ˆe’ t´ınh nhanh d¯i.nh th´ a´p 3, ta viˆe´t cˆ o.t th´ u nhˆ a´t v` a th´ u hai tiˆe´p theo v` ao bˆen + D u.c cˆ pha’i ba’ng n´ oi trˆen: a1,1 a1,2 a1,3 a1,1 a1,2 a2,1 a2,2 a2,3 a2,1 a2,2 a3,1 a3,2 a3,3 a3,1 a3,2 ` `an tu’ n˘ `an tu’ lˆ a´y dˆ a´u cˆ o.ng l` a t´ıch c´ ac phˆ a m trˆen c´ ac d¯u.o `.ng ch´eo song song th`ı phˆ ` m trˆen c´ `an tu’ lˆ `an tu’ n˘ v´ o i d¯u ` o ng ch´eo ch´ınh, ba phˆ a´y dˆ a´u tr` u l` a t´ıch c´ ac phˆ a ac d¯u ` o ng ch´eo song song v´ o i d¯u o ` ng ch´eo phu (quy t˘ a´c Serrhus) http://www.ebook.edu.vn a´p n l` a gi´ a tri t´ınh d¯u.o c t` u ba’ng: * Ta go.i d ¯i.nh th´ u.c cˆ a1,1 a2,1 an,1 a1,2 a2,2 an,2 a1,n a2,n = a1,1 D1 − a2,1 D2 + · · · + (−1)n+1 an,1 Dn an,n ` a´p n − thu d¯u.o c t` u ba’ng d¯˜ a cho b˘ a ng c´ ach bo’ cˆ o.t d¯´ o Dk l` a d¯i.nh th´ u.c cˆ th´ u nhˆ a´t v` a h` ang th´ u k, k = 1, n V´ı du 0 2 3 = 0 − 0 4 + − = 14 - i.nh th´ D u.c khˆ ong thay d¯ˆ o’i nˆe´u ta d¯ˆ o’i h` ang th` anh cˆ o.t -Di.nh th´ ’ ’ ˜ u c d¯ˆ o i dˆ a´u nˆe´u ta d¯ˆ o i chˆ o hai h` ang (ho˘ a.c hai cˆ o.t) v´ o.i - i.nh th´ ` D u c c´ o hai h` ang (ho˘ a.c hai cˆ o.t) ty’ lˆe v´ o i nhau th`ı b˘ a ng Th` u a sˆ o´ chung cu’a mˆ o.t h` ang hay cˆ o.t c´ o thˆe’ d¯u a ngo` dˆ a´u cu’a d¯i.nh th´ u.c - i.nh th´ `ong th` `an tu’ cu’a mˆ D u c khˆ ong thay d¯ˆ o’i nˆe´u ta d¯ˆ o i cˆ o.ng v` ao c´ ac phˆ o.t h` ang `an tu’ cu’a mˆ (hay mˆ o.t cˆ o.t) n` ao d¯´ o c´ ac phˆ o.t h` ang (hay mˆ o.t cˆ o.t) kh´ ac nhˆ an v´ o.i c` ung mˆ o.t sˆ o´ V´ı du Gia’i phu.o.ng tr`ınh: + + + + + 1 1 1−x 1 2−x 1 = n−x - i.nh th´ D u.c o’ vˆe´ tr´ cu’a phu.o.ng tr`ınh l` a d¯a th´ u.c bˆ a.c n nˆen c´ o khˆ ong qu´ a n nghiˆe.m kh´ ac Thay x = 0, x = 1, x = 2, , x = n − v` ao d¯i.nh th´ u.c, ta luˆ on c´ o hai ` ng 1, nˆen d¯i.nh th´ ` `an tu’ b˘ h` ang v´ o i c´ ac phˆ a u c b˘ a ng Vˆ a.y phu o ng tr`ınh c´ o n nghiˆe.m x = 0, x = 1, x = 2, , x = n − - i.nh th´ * D u.c cu’a ma trˆ a.n vuˆ ong A = (ai,j )n×n , k´ a´p n y hiˆe.u det(A) l` a d¯i.nh th´ u.c cˆ cu’a ba’ng a1,1 a1,2 a1,n a2,1 a2,2 a2,n an,1 an,2 an,n v` a c´ o t´ınh chˆ a´t: + det(αA) = αn det(A) + det(A × B) = det(A) det(B) III Ma trˆ a.n nghi.ch d ¯a’o http://www.ebook.edu.vn `on ta.i ma trˆ a ma trˆ a.n kha’ nghi.ch nˆe´u tˆ a.n A−1 * Ma trˆ a.n A = (ai,j )n×n d¯u.o c go.i l` cho: A × A−1 = A−1 × A = In a ma trˆ a.n nghi.ch d ¯a’ o cu’a A Khi d¯´ o, ma trˆ a.n A−1 d¯u.o c go.i l` + Ma trˆ a.n A kha’ nghi.ch v` a chı’ det A = * Cho A = (ai,j )m×n Mˆ a´p k (1 ≤ k ≤ n) cu’a A l` a mˆ o.t d¯i.nh o.t d ¯i.nh th´ u.c cˆ ` ng c´ th´ u c ta.o th` anh t` u ma trˆ a.n A b˘ a ach bo’ d¯i m − k h` ang v` a n − k cˆ o.t * Cho ma trˆ a.n vuˆ ong cˆ a´p n kha’ nghi.ch  a1,1 a A =  2,1 an,1 a1,2 a2,2 an,2  a1,n a2,n   an,n `an b` `an tu’ ai,j , l` Phˆ u d ¯a.i sˆ o´ cu’a phˆ a sˆ o´ Ai,j = (−1)i+j Di,j d¯´ o Di,j l` a d¯i.nh ` th´ u c cˆ a´p n − cu’a ba’ng thu d¯u o c t` u ma trˆ a.n A b˘ a ng c´ ach ga.ch bo’ h` ang th´ u i v` a cˆ o.t th´ u j + Cho A l` a ma trˆ a.n vuˆ ong kha’ nghi.ch cˆ a´p n v` a ∆ = det A = Khi d¯´ o ma trˆ a.n ´ ’ ’ ’ nghi.ch d¯ao cua A d¯u o c x´ ac d¯i.nh mˆ o.t c´ ach nhˆ a t bo i: T Ai,j ∆ A1,1 A2,1   A1,2 A2,2 = ∆  A1,n A2,n A−1 =  Dn,1 Dn,2    Dn,n V´ı du Ma trˆ a.n nghi.ch d¯a’o cu’a  A = 2 l` a: A−1  −1 1 1  1 −3 = −2  −2  v`ı: ∆ = det A = (1)(1)(2)+(2)(1)(1)+(1)(−1)(1)−(1)(1)(1)−(2)(−1)(2)−(1)(1)(1) = = http://www.ebook.edu.vn v` a: A1,1 = (−1)1+1 1 2 = 1; A1,2 = (−1)1+2 = −3; A1,3 = (−1)1+3 = 1; 2 1 A2,1 = (−1)2+1 −1 1 = 3; A2,2 = (−1)2+2 1 = 1; A2,3 = (−1)2+3 A3,1 = (−1)3+1 −1 1 = −2; A3,2 = (−1)3+2 1 = 1; A3,3 = (−1)3+3 −1 = −2 −1 =3 + T´ınh chˆ a´t: −1 A k − Cho A, B c` ung cˆ a´p v` a kha’ d¯a’o, th`ı: (A × B)−1 = B −1 × A−1 −1 − Cho A kha’ d¯a’o th`ı A−1 c˜ ung kha’ d¯a’o v` a A−1 =A − Cho A kha’ d¯a’o v` a k = 0, th`ı: (kA)−1 = `an I.4: Ha.ng cu’a ma trˆ Phˆ a.n y hiˆe.u r(A) l` a cˆ a´p cao nhˆ a´t cu’a c´ ac * Ta go.i ha.ng cu’ a ma trˆ a.n A = (ai,j )m×n , k´ d¯i.nh th´ u c kh´ ac cu’a A ’ + Ha.ng cua ma trˆ a.n 0m×n l` a a 0, ha.ng cu’a ma trˆ a.n A = (a) v´ o.i a = l` + Ha.ng cu’a ma trˆ a.n khˆ ong thay d¯ˆ o’i qua c´ ac ph´ ep biˆ e´n d ¯ˆ o’i so cˆ a´p sau d¯ˆ ay: ’ ˜ a Dˆ o i chˆ o hai h` ang ho˘ a.c hai cˆ o.t cho nhau; b Nhˆ an mˆ o.t h` ang (hay mˆ o.t cˆ o.t) v´ o.i mˆ o.t sˆ o´ kh´ ac 0; c Cˆ o.ng v` ao mˆ o.t h` ang (hay mˆ o.t cˆ o.t) v´ o i mˆ o.t h` ang (hay mˆ o.t cˆ o.t) kh´ ac nhˆ an v´ o.i mˆ o.t sˆ o´ - ˆe’ t`ım ha.ng cu’a ma trˆ D a.n Amtimesn , c´ ap sau: o thˆe’ d` ung c´ ac phu.o.ng ph´ + Phu o ng ph´ ap theo d ¯i.nh ngh˜ıa: t´ınh c´ ac d¯i.nh th´ u c t` u cˆ a´p tro’ lˆen Gia’ a.n c´ o d¯i.nh th´ u c cˆ a´p r kh´ ac 0, t´ınh tiˆe´p c´ ac d¯i.nh th´ u.c cˆ a´p r + 1, nˆe´u su’ ma trˆ ` ng th`ı kˆe´t luˆ tˆ a´t ca’ d¯`ˆeu b˘ a a.n ha.ng ma trˆ a.n l` a r, nˆe´u c´ o d¯i.nh th´ u c cˆ a´p r + kh´ ac th`ı t´ınh tiˆe´p c´ ac d¯.inh th´ u.c cˆ a´p r + 2, c´ u nhu thˆe´ d¯ˆe´n d¯i.nh th´ u.c cˆ a´p l´ o.n nhˆ a´t V´ı du T`ım ha.ng cu’a ma trˆ a.n   A = 3 9 1 = −4 = 0, v` a c´ ac d¯i.nh th´ u.c cˆ Ta c´ o d¯i.nh th´ u.c cˆ a´p 2: a´p 3: 2 suy r(A) = = 0; 1 2 = 0; = 0; 4 =0 http://www.ebook.edu.vn `e da.ng bˆ ap d` ung ph´ ep biˆ e´n d ¯ˆ o’i so cˆ a´p: biˆe´n d¯ˆ o’i ma trˆ a.n vˆ a.c + Phu.o.ng ph´ thang   b1,1 b1,2 b1,r b1,n b2,2 b2,r b2,n       B =  br,r br,n     0 0 v´ o.i bi,j = 0, ∀i > j hay i > r v` a bii = 0, i = 1, r th`ı r(A) = r(B) = r V´ı du T`ım ha.ng ma trˆ a.n   A= −2 −5  h2−2h1;h3+2h1;h4−h1  A −→  0 1 6 4  12   20 4    h4−h3;h2↔h3  −→   15 15 0 0  15   suy r(A) = + Ngo` ra, c´ o thˆe’ t`ım ma trˆ a.n nghi.ch d ¯a’ o qua c´ ac ph´ ep biˆ e´n d ¯ˆ o’i so cˆ a´p: lˆ a.p ma trˆ a.n khˆ o´i A|E (E c` ung c˜ o v´ o i A, thu c hiˆe.n c´ ac ph´ep biˆe´n d¯ˆ o’i so cˆ a´p CHI’ ˆ HANG, ` `e da. ng E|B th`ı B l` a nghi.ch d¯a’o cu’a A TREN nˆe´u d¯u.a d¯u.o c vˆ    −1 | 0 −1 | 0 h2−2h1,h3−h1  −1 | −2  V´ı du A|E =  1 |  −→ 1 | 0 | −1     −3 | −1 h2( ) −3 | −1 h1−h3,h2+h3  | −3 1  −→  | −3/5 1/5 1/5  −→  | −1 2 | −1 1 0 | 1/5 3/5 −2/5 h1+3h2,h3−2h2  | −3/5 1/5 1/5  thu d¯u.o c kˆe´t qua’ nhu c˜ u −→ 1 | 1/5 −2/5 3/5 ` TA ˆP BAI ac d¯i.nh th´ u.c sau chia hˆe´t cho 17: 1.1 Khˆ ong t´ınh, ch´ u.ng minh c´ 2 ; 20 55 ` 1.2 Ch´ u.ng minh c´ ac d¯˘ a’ng th´ u.c sau d¯ˆ ay (khˆ ong t´ınh d¯i.nh th´ u.c b˘ a ng d¯i.nh ngh˜ıa): http://www.ebook.edu.vn a b c 1.3 a c 1 x y z z2 y2 x z y = v´ o.i xyz = y z x z x2 x y z y x2 x yz y zx = (x − y)(y − z)(z − x) z xy 1 x y z = (x + y + z)(x − y)(y − z)(z − x) x3 y z T`ım x cho: x x+1 3 − x −x b x + x + =0 x+6 x+7 x + 3x − x x x x x d x 0 x 1 1 x 1 1 x 1 x x2 x2 x 2x 3x2 3x2 2x x −x a 2a 0 2a a x3 4x3 a x x 2a x a −x −x a a a ; a x 1 x x x x x x 1 x 1 1 ; x x3 ; 4x3 −x 0 ; a 2a x x x x x ; x http://www.ebook.edu.vn + x1 y1 + x2 y1 + xn y1 + x1 y2 + x2 y2 + xn y2   1.5 Cho A = 1 1.6 T`ım c´ ac ma trˆ a.n 1.7 Cho A = 1.8     v` aB= 2 −1 −2 a1 0 1 + x1 yn + x2 yn ; + xn yn n ; 10 −a2 a2 −a3 a3  −2  T`ım A2 , AB, A−1 −3 a a n ; cos x sin x − sin x cos x 0 an−1 0 −an + an n T`ım f (A) v´ o.i f (x) = x2 − 4x + 3, f (x) = x2 − 2x + 1    1 −2 a Cho A =   v` a B =   2 −1 T`ım A−1 , B −1 T`ım f (A), f(B) v´ o.i f(x) = x2 − x −     0 −5 3 0  −3  b T`ım ma trˆ a.n nghi.ch d¯a’o cu’a A =  B= ;  1 0 2 −1 0 1.9 ` a ng ma trˆ a.n khˆ ong a T`ım ma trˆ a.n vuˆ ong cˆ a´p hai c´ o b`ınh phu.o.ng b˘ ` b T`ım ma trˆ a.n vuˆ ong cˆ a´p hai c´ o b`ınh phu o ng b˘ a ng ma trˆ a.n d¯o n vi 1.10 T`ım ma trˆ a.n X cho: −2 −1 ×X = ; X× = ; −4       9 3 −1 1 −1 −3 −3  −4 ×X =  10 ;  =  ; X× 1 −2 −1 10 −1 −2 −3 2 ; = ×X × −1 −3 ; = ×X × 3  −1  1 −1  ; = X × 1 − −1 −2 0      5 2   × X +   =  −1 ; −2 2  http://www.ebook.edu.vn D = {(x, y) : ≤ x ≤ 2, 2a2 a2 ≤y≤ }, suy ra: x x 2a2 x S(D) = dxdy = a2 2a2 − x x dx dx = a2 x D 36 dx = a2 ln ac m˘ a.t V´ı du T´ınh thˆe’ t´ıch vˆ a.t thˆe’ V gi´ o.i ha.n bo’.i c´ x2 + y = 2, z = − x2 − y , z = V l` a h`ınh tru cong, m˘ a.t trˆen c´ o phu.o.ng tr`ınh z = − x2 − y , h`ınh chiˆe´u D cu’a V lˆen m˘ a.t ph˘ a’ng xOy l` a h`ınh tr` on x2 + y ≤ Vˆ a.y √ 2π V= (4 − x − y )dxdy = D (4 − r2 )rdr = 6π · + Cho S l` a m˘ a.t cong c´ o phu.o.ng tr`ınh z = f(x, y), d¯´ o f liˆen tu.c, c´ o d¯a.o h` am `en d¯´ riˆeng liˆen tu.c trˆen miˆ ong, bi chˆ a.n, d¯o d¯u o c, th`ı diˆe.n t´ıch m˘ a.t cong S l` a: + fx + fy dxdy S= D ` m m˘ `an m˘ `au x2 + y + z = a2 n˘ a a.t tru x2 + y = a2 V´ı du T´ınh diˆe.n t´ıch phˆ a.t cˆ `au th` M˘ a.t tru c˘ a´t m˘ a.t cˆ anh hai ma’nh d¯ˆ o´i x´ u.ng qua m˘ a.t ph˘ a’ng xOy, mˆ o˜i ` ng V´ ma’nh n` ay la.i d¯u o c c´ ac m˘ a.t ph˘ a’ng toa d¯ˆ o chia th` anh ma’nh b˘ a o.i z ≥ 0, ta a2 2 c´ o: z = a2 − x2 − y , suy + zx + zy = , nˆen a − x2 = y S=8 x2 +y2 ≤a2 ,x≥0,y≥0 2π a a2 − x2 − y dxdy = 8x ` TA ˆ P BAI 3.2.1 T´ınh x ln ydxdy D v´ o.i D l` a h`ınh ch˜ u nhˆ a.t: ≤ x ≤ 4, ≤ y ≤ e 3.2.2 T´ınh (cos2 x + sin2 y)dxdy D a dϕ0 · rdr √ = 4πa2 a2 − r2 http://www.ebook.edu.vn a h`ınh vuˆ ong: v´ o.i D l` π π ,0 ≤ y ≤ 4 0≤x≤ 3.2.3 T´ınh x2 I= (2x − y)dy dx x 3.2.4 T´ınh (x − y)dxdy D a h`ınh gi´ o.i ha.n bo’.i: v´ o.i D l` y = − x2 , y = 2x − 3.2.5 T´ınh (x + 2y)dxdy D a h`ınh gi´ o.i ha.n bo’.i c´ ac d¯u.` o.ng th˘ a’ ng: v´ o.i D l` y = x, y = 2x, x = 2, x = 3.2.6 T´ınh ex+sin y cos ydxdy D a h`ınh ch˜ u nhˆ a.t: v´ o.i D l` ≤ x ≤ π, ≤ y ≤ π 3.2.7 T´ınh (x2 + y )dxdy D `en gi´ a miˆ o.i ha.n bo’.i c´ ac d¯u.` o.ng v´ o.i D l` y = x, x = 0, y = 1, y = 3.2.8 T´ınh ln(x2 + y )dxdy D `en h`ınh v` a miˆ anh kh˘ an gi´ u.x hai d¯u.` o.ng tr` on v´ o.i D l` x2 + y = e2 v` a x2 + y = e4 37 http://www.ebook.edu.vn 3.2.9 T´ınh (x2 + y )dxdy D `en D gi´ o.i h` an bo’.i d¯u.` o.ng tr` on x2 + y = 2ax v´ o.i miˆ 3.2.10 T´ınh x3 ydxdy D `en gi´ a miˆ o.i ha.n bo’.i c´ ac d¯u.` o.ng v´ o.i D l` y = v` ay= 2ax − x2 3.2.11 T´ınh sin(x + y)dxdy D `en gi´ a miˆ o.i ha.n bo’.i c´ ac d¯u.` o.ng v´ o.i D l` y = 0, y = x, x + y = π 3.2.12 T´ınh x2 (y − x)dxdy D `en gi´ a miˆ o.i ha.n bo’.i c´ ac d¯u.` o.ng v´ o.i D l` x = y v` a y = x2 3.2.13 T´ınh f (x, y)dxdy D `en gi´ a miˆ o.i ha.n bo’.i d¯u.` o.ng v´ o.i D l` y2 x2 + = 1, a2 b2 o.i dˆ a´u t´ıch phˆ an c` on h` am du.´ c f (x, y) = 3.2.14 T´ınh r2 drdϕ D 1− x − yb2 a2 tdt 38 http://www.ebook.edu.vn 39 `en: a miˆ v´ o.i D l` a C´ ac d¯u ` o.ng tr` on r = a v` a r = 2a b Du ` o ng r = a sin 2ϕ 3.2.15 T´ınh r sin ϕdrdϕ D `en: a miˆ v´ o.i D l` π a Qua.t tr` on gi´ o.i ha.n bo’.i c´ ac d¯u.` o.ng r = a, ϕ = , ϕ = π π b Nu’.a d¯u.` o.ng tr` on r ≤ 2a cos ϕ, ≤ ϕ ≤ o.ng tr` on r = + cos ϕ v` a r = c Nu’.a d¯u.` ng cˆ ong th´ u.c d¯ˆ o’i biˆe´n toa d¯ˆ o cu c, t´ınh c´ ac t´ıch phˆ an: 3.2.16 Su’ du √ R2 −x2 R ln(1 + x2 + y )dy dx a 0 √ R b Rx−x2 √ − R2 − x2 − y dy dx Rx−x2 3.2.17 a T´ınh 2x dy dx ` b˘ a ng c´ ach d` ung c´ ac biˆe´n m´ o.i x x = u(1 − v) y = uv b T´ınh dxdy D ac d¯u.` o.ng nˆe´u D gi´ o.i ha.n bo’.i c´ xy = 1, xy = 2, y = x, y = 3x 3.2.18 T´ınh c´ ac t´ınh phˆ an ba l´ o.p sau: 2 x2 x y z y2 z2 i V gi´ i han bo’.i m˘ o a t dxdydz v´ o + + + + = a I = a2 a2 b2 c2 b2 c2 V o.i ha.n bo’.i c´ ac m˘ a.t x2 + y = z , z = (x2 + y )dxdydz, v´ o.i V d¯u.o c gi´ b I = V o.i ha.n bo’.i c´ ac m˘ a.t x2 + y = 2z, z = (x2 + y )dxdydz, v´ o.i V d¯u.o c gi´ c I = V http://www.ebook.edu.vn ` m g´ `an t´ a oc phˆ am th´ u nhˆ a´t, gi´ o.i ha.n xyzdxdydz, v´ o.i V n˘ 3.2.19 T´ınh I = V bo’.i c´ ac m˘ a.t sau, v´ o.i < a < b, < α < β, < m < n: z= 40 x2 + y x2 + y ,z = , xy = a2 , xy = b2 , y = αx, y = βx m n -ooOoo- http://www.ebook.edu.vn Chu.o.ng 41 ˆ INH VI PHAN PHU O NG TR` an cˆ a´p I Phu.o.ng tr`ınh vi phˆ Kh´ niˆ e.m chung * Ta go.i phu.o.ng tr`ınh vi phˆ an cˆ a´p l` a phu.o.ng tr`ınh c´ o da.ng F (x, y, y ) = (I) y = f (x, y) (Io ) ho˘ a.c d¯´ o x l` a biˆe´n sˆ o´, y l` a h` am cu’a x, v` a y l` a d¯a.o h` am cu’a y ´ ’ * Nˆeu c´ o h` am y = ψ(x) thoa m˜ an phu o ng tr`ınh (I) hay (Io ) th`ı y = ψ(x) d¯u.o c go.i l` a nghiˆ e.m cu’ a phu.o.ng tr`ınh (I) hay (Io ) * Nˆe´u c´ o h` am y = ψ(x, C) ho˘ a.c hˆe th´ u.c Φ(x, y, C) = tho’a m˜ an (I) hay (Io ) v´ o.i C `en n` `eu kiˆe.n d¯ˆ `au y(xo ) = yo v´ t` uy y ´ miˆ ao d¯´ o cu’a R, v` a v´ o i mˆ o˜i d¯iˆ o i (xo , yo ) `en x´ thuˆ o.c miˆ ac d¯i.nh cu’a phu o ng tr`ınh, chı’ c´ o nhˆ a´t gi´ a tri C = Co l` am cho ` ` y = ψ(x, Co ) hay Φ(x, y, Co ) = tho’a m˜ an d¯iˆeu kiˆe.n d¯ˆ au, th`ı y = ψ(x, C) ho˘ a.c Φ(x, y, C) = d¯u.o c go.i l` a nghiˆ e.m tˆ o’ng qu´ at cu’ a phu.o.ng tr`ınh (I) hay (Io ) * Nˆe´u y = ψ(x, C) hay Φ(x, y, C) = l` a nghiˆe.m tˆ o’ng qu´ at cu’a (I) hay (Io ), cho C = Co (gi´ a tri cu thˆe’ x´ ac d¯i.nh) th`ı y = ψ(x, Co ) hay Φ(x, y, Co ) = d¯u.o c go.i l` a nghiˆ e.m riˆ eng cu’ a (I) hay (Io ) Nˆe´u nghiˆe.m y = ψ(x) khˆ ong pha’i l` a nghiˆe.m riˆeng nhˆ a.n t` u nghiˆe.m tˆ o’ng qu´ at v´ o.i bˆ a´t k` y gi´ a tri C n` ao (kˆe’ ca’ C = ±∞) th`ı ta go.i n´ o l` a nghiˆ e.m k` y di cu’ a (I) hay (Io ) ` + (Di.nh l´ y tˆ on ta.i v` a nhˆ a´t nghiˆ e.m): Cho phu.o.ng tr`ınh (Io ) Nˆe´u f (x, y) `en n` `on ta.i ´ıt nhˆ liˆen tu.c miˆ ao d¯´ o ch´ u a d¯iˆe’m (xo , yo ) th`ı tˆ a´t mˆ o.t nghiˆe.m `on y = ψ(x) cho yo = ψ(xo ) v` a nˆe´u fy (x, y) liˆen tu.c ta.i (xo , yo ) th`ı y = ψ(x) tˆ ´ ta.i nhˆ a t an cˆ a´p C´ ac loa.i phu.o.ng tr`ınh vi phˆ o´ phˆ an ly 2.1 Phu o ng tr`ınh biˆe´n sˆ dy `e da.ng f1 (y)dy = L` a phu o ng tr`ınh m` th`ı c´ o thˆe’ biˆe´n d¯ˆ o’i vˆ a nˆe´u thay y = dx a´y t´ıch phˆ an bˆ a´t d¯i.nh vˆe´ th`ı gia’i d¯u.o c phu.o.ng tr`ınh f2 (x)dx Lˆ V´ı du Gia’i phu.o.ng tr`ınh: ydy = (x2 + 1)dx a cho: Lˆ a´y t´ıch phˆ an hai vˆe´ cu’a phu.o.ng tr`ınh d¯˜ x C y = +x+ ⇔ y = x3 + 2x + C ydy = (x2 + 1)dx ⇔ 3 V´ı du Gia’i phu o ng tr`ınh: (y − x2 y)dy + (xy + x)dx = 0.tag1 Ta c´ o: (1)⇔ y(x2 − 1)dy = x(y + 1)dx (2) http://www.ebook.edu.vn 42 + Nˆe´u x2 − ≡ ⇔ x ≡ ±1 th`ı dx = 0, nˆen (2) tho’a m˜ an Vˆ a.y x = ±1 l` a nghiˆe.m cu’a (1) x y + Nˆe´u x2 − ≡ ⇔ x ≡ ±1: (2)⇔ dy == dx Lˆ a´y t´ıch phˆ an vˆe´: y +1 x −1 ydy = +1 y2 xdx 1 ⇔ ln |y + 1| = ln |x2 − 1| + ln |C| x −1 2 ⇔ y + = C(x2 − 1) (∀C = 0) Vˆ a.y (1) c´ o nghiˆe.m: V´ı du Gia’i phu.o.ng tr`ınh: y + = C(x2 − 1), ∀C = x = ±1 y = 3x2 y (1) dy = 3x2 y ⇔ dy = 3x2 ydx Ta c´ o: (1)⇔ dx an Vˆ a.y y = l` a nghiˆe.m cu’a (1) + Nˆe´u y ≡ th`ı y = 0, nˆen (2) tho’a m˜ dy = 3x2 dx Lˆ + Nˆe´u y ≡ 0: (2)⇔ a´y t´ıch phˆ an vˆe´: y (2) ln |y| = x3 + ln |C| ⇔ ln |y| = ln |Cex | ⇔ y = Cex , ∀C = uy y ´) Vˆ a.y (1) c´ o nghiˆe.m: y = Cex (v´ o.i C t` an d¯˘ a’ng cˆ a´p cˆ a´p 2.2 Phu o ng tr`ınh vi phˆ L` a phu o ng tr`ınh c´ o da.ng y = f (x, y) v´ o.i f (λx, λy) = f (x, y), ∀λ = -˘ `e phu.o.ng tr`ınh c´ D a.t y = ux, ta c´ o: u x + u = y = f (x, y) = g(u), ta d¯u.a vˆ o biˆe´n sˆ o´ phˆ an ly u x = g(u) − u V´ı du Gia’i phu.o.ng tr`ınh: x+y (1) y = x−y -˘ D a.t y = ux ⇒ y = u x + u, ta c´ o: 1−u x + ux 1+u dx ⇔ux= −u ⇔ (1)⇔ u x + u = du = x − ux 1−u 1+u x Lˆ a´y t´ıch phˆ an vˆe´: du − 1+u ln |1 + u2| ln |Cx2| 2udu ln |C| ⇔ arctg u − = = ln |x| + + u2 2 Vˆ a.y (1) c´ o nghiˆe.m: 2Arctg y = ln |C(x2 + y )|, ∀C = x V´ı du Gia’i phu.o.ng tr`ınh: y = y2 −2 x2 -˘ D a.t y = ux ⇒ y = u x + u, ta c´ o: (1)⇔ u x + u = u − ⇔ u x = u2 − u − (1) (2) http://www.ebook.edu.vn u = −1 + Nˆe´u u2 − u − ≡ ⇔ 43 an, vˆ a.y th`ı u = 0, (2) tho’a m˜ u=2 y = −x y = 2x l` a c´ ac nghiˆe.m cu’a (1) u = −1 + Nˆe´u u2 − u − ≡ ⇔ u2 u =2 o.i: th`ı (2) tu.o.ng d¯u.o.ng v´ dx u−2 u−2 du = ⇒ ln + ln C ⇔ ln = Cx3 −u−2 x u−1 u+1 ⇔ y−2x = Cx (y+x), ∀C = Suy c´ ac nghiˆe.m cu’a (1) l` a: y − 2x = Cx3 (y + x) y = −x uy y ´ v´ o.i C t` an tuyˆe´n t´ınh cˆ a´p 2.3 Phu o ng tr`ınh vi phˆ L` a phu o ng tr`ınh c´ o da.ng y + p(x)y = q(x) d¯´ o p(x), q(x) l` a c´ ac h` am liˆen tu.c trˆen [a, b] C´ ach gia’i thu c hiˆe.n qua c´ ac bu.o ´.c: `an nhˆ − Gia’i phu o ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh thuˆ a´t (q(x) = 0), ta c´ o: y ≡ ho˘ a.c dy = −p(x)dx ⇒ y = Ce− p(x)dx, vˆ a.y nghiˆe.m l` a: y = Ce− p(x)dx y ` ng `an nhˆ ong thuˆ a´t (q(x) = 0) b˘ a − T`ım nghiˆe.m riˆeng y ∗ cu’a phu.o.ng tr`ınh khˆ ∗ − p(x)dx c´ ach d¯˘ a.t y = C(x).u(x) v´ o i u(x) = e , suy y ∗ = e− p(x)dx q(x)e p(x)dx dx `an nhˆ ong thuˆ a´t da.ng y = y + y ∗ − lˆ a.p nghiˆe.m tˆ o’ng qu´ at cu’a phu.o.ng tr`ınh khˆ V´ı du Gia’i phu.o.ng tr`ınh: y − 2xy = x `an nhˆ a´t y − 2xy = 0, ta c´ + Gia’i phu.o.ng tr`ınh thuˆ o nghiˆe.m: dy = 2xdx ⇒ ln y = x2 + ln C ⇒ y = Cex y = ho˘ a.c y `an nhˆ ong thuˆ a´t l` a: + Nghiˆe.m riˆeng cu’a phu.o.ng tr`ınh khˆ y ∗ = ex 2 x.e−x dx = ex − e−x =− Vˆ a.y (1) c´ o nghiˆe.m tˆ o’ng qu´ at: y = y + y ∗ = Cex − v´ o i C t` uy y ´ V´ı du Gia’i phu.o.ng tr`ınh: y + 2xy = xe−x `an nhˆ a´t y + 2xy = 0, ta c´ + Gia’i phu.o.ng tr`ınh thuˆ o nghiˆe.m: dy = −2xdx ⇒ ln y = −x2 + ln C ⇒ y = Ce−x y = ho˘ a.c y http://www.ebook.edu.vn 44 `an nhˆ ong thuˆ a´t l` a: + Nghiˆe.m riˆeng cu’a phu.o.ng tr`ınh khˆ ∗ −x2 y =e −x2 x.e x2 −x2 e dx = e x2 e−x xdx = 2 x2 e−x v´ o.i C t` uy y ´ Vˆ a.y (1) c´ o nghiˆe.m tˆ o’ng qu´ at l` a: y = y + y ∗ = Ce−x + 2.4 Phu.o.ng tr`ınh Bernoulli L` a phu.o.ng tr`ınh c´ o da.ng y + p(x)y = q(x).y α y 1−α - ˆe’ gia’i, gia’ thiˆe´t y ≡ 0, chia vˆe´ cho y α , rˆ `oi d¯˘ (l` a h` am theo x, z ≡ 0), a.t z = D 1−α gia’i phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh cˆ a´p theo z V´ı du Gia’i phu o ng tr`ınh: y + 2xy = 2x3 y an nˆen y = l` a nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh + Nˆe´u y ≡ th`ı y = 0: (1) tho’a m˜ -˘ + Nˆe´u y ≡ (1)⇒ y y −3 + 2xy −2 = 2x3 D a.t z = − y −2 (l` a h` am theo x, z ≡ 0), −3 anh z − 4xz = 2x3 (3) th`ı: z = y y , phu o ng tr`ınh tro’ th` `an nhˆ Gia’i (3) Phu o ng tr`ınh thuˆ a´t: z − 4xz = ⇒ dz = 4xdx ⇒ z = Ce2x z v` a nghiˆe.m riˆeng z ∗ = e2x 2 2x3 e−2x dx = e2x − x2 + 2 e−2x Vˆ a.y (3) c´ o nghiˆe.m tˆ o’ng qu´ at: z = z +z ∗ = Ce2x −  1 = −2Ce2x + x2 +  y2 , v´ uy y ´ o.i C t` y=0 = x2 + x2 + , nˆen (1) c´ o nghiˆe.m ` TA ˆ P BAI `e biˆe´n sˆ an sau (da ng d¯u.a vˆ o´ phˆ an ly): 4.1.1 Gia’ i c´ ac phu.o.ng tr`ınh vi phˆ x − y x + y −sin = 0; y = 2x+y +4; (xy −x)dx+(y +x2 y)dy = 0; y +sin 2 √ 2x 5y y = y − x + 1; dy = 0; y = ex+y −1; xy = ey −1; dx+ + 2x2 y2 + (1 + e2x )y dy = ex dx (biˆe´t y(0) = 0); y = ey−4x (biˆe´t y(1) = 1) an sau (da ng d¯˘ a’ ng cˆ a´p cˆ a´p 1): 4.1.2 Gia’ i c´ ac phu.o.ng tr`ınh vi phˆ y y y y 2xy xy = y ln ; y = y = − 2; y = ex + ; ; x x x x − y2 y y y x √ + ln ; y = + ; (x2 +2xy)dx+xydy = 0; xy = y− xy; y = x x x y http://www.ebook.edu.vn 45 y π y y y + cos2 ; x3 y = y(x2 + y ); y = + sin (biˆe´t y(1) = ); x x x x π y2 y y y = + (biˆe´t y(−1) = 1); xy − y = xtg (biˆe´t y(1) = ); x x x y y (biˆe´t y(−1) = 1); y = + x x an sau (da ng tuyˆe´n t´ınh cˆ a´p 1): 4.1.3 Gia’ i c´ ac phu.o.ng tr`ınh vi phˆ y y + 2y = 4x; = x; (1 + x2 )y − 2xy = (1 + x2 )2 ; xy − 1+x xy + y = x2 cos x; y + 2xy = xe−x ; y cos x + y sin x = 1; 2 x x 2x y = x ln x; y − y = 4x2 ; xy −xy = (1+x )e ; y +e y = e ; y− x ln x x y y + xy = 3x; y + = 3x ; y + 2y = cos x; y − 2y = sin x; x (x + 1)xy − y = x(x + 1) (biˆe´t y(1) = 0) xy + y = ex (biˆe´t y(1) = 0); y = an cˆ a´p II Phu.o.ng tr`ınh vi phˆ Kh´ niˆ e.m chung an cˆ a´p l` a phu.o.ng tr`ınh c´ o da.ng * Ta go.i phu.o.ng tr`ınh vi phˆ F (y , y , y, x) = (II) y = f (y , y, x) (IIo ) hay d¯´ o y l` a h` am sˆ o´ theo biˆe´n x, c` on y , y l` a d¯a.o h` am cˆ a´p 1,2 cu’a y, v` a nghiˆ e.m cu’ a phu o ng tr`ınh l` a h` am y = ψ(x) hay Φ(x, y) = tho’a m˜ an phu.o.ng tr`ınh d¯´ o * H` am y = ψ(x, C1 , C2 ) ho˘ a.c Φ(x, y, C1 , C2 ) = tho’a m˜ an phu o ng tr`ınh (II) hay ` ng sˆ `eu (IIo ) v´ o˜i d¯iˆ o.i C1 , C2 l` a h˘ a o´ t` uy y ´ tˆ a.p n` ao d¯´ o cu’a R, v` a v´ o.i mˆ kiˆe.n y(xo ) = yo v` a´t c˘ a.p sˆ o´ C10 , C20 cho y = a y (xo ) = yo ta t`ım d¯u o c nhˆ ψ(x, C10 , C20 ) hay Φ(x, y, C10 , C20 ) = tho’a (II) hay (IIo ) d¯u.o c go.i l` a nghiˆ e.m ¯´ o tˆ o’ng qu´ at cu’ a c´ ac phu o ng tr`ınh d ´ * Nˆeu y = ψ(y, C1 , C2 ) hay Φ(x, y, C1 , C2 ) = l` a nghiˆe.m tˆ o’ng qu´ at cu’a (II) hay (IIo ), cho C1 = C01 , C2 = C02 v´ o i C01, C02 l` a hai sˆ o´ x´ ac d¯i.nh cu thˆe’ th`ı y = ψ(x, C01 , C02 ) hay Φ(x, y, C01 , C02 ) = d¯u.o c go.i l` a nghiˆ e.m riˆ eng cu’ a phu.o.ng tr`ınh d ¯´ o - i.nh l´ `on ta.i v` + (D y tˆ a nhˆ a´t nghiˆ e.m): Trong phu.o.ng tr`ınh (IIo ), nˆe´u h` am ’ ` ` f (y , y, x) liˆen tu.c miˆen n` ao d¯o ´ ch´ u a d¯iˆe m (yo , yo , xo ) th`ı tˆ on ta.i mˆ o.t nghiˆe.m y = y(x) cu’ a (IIo ) cho y + o = y(xo ), yo = y (xo ) v` a nˆe´u fy fy c˜ ung liˆen tu.c `en ch´ miˆ u.a d¯iˆe’m (yo , yo , xo ) th`ı nghiˆe.m ˆ a´y l` a nhˆ a´t an cˆ a´p thu.` o.ng g˘ a.p C´ ac loa.i phu.o.ng tr`ınh vi phˆ an cˆ a´p gia’m cˆ a´p d¯u o c 2.1 Phu o ng tr`ınh vi phˆ + Phu o ng tr`ınh c´ o da.ng y = f (x) (thiˆe´u y, y ) `an C´ ach gia’i: t´ıch phˆ an lˆ V´ı du Gia’i phu.o.ng tr`ınh: y = x + http://www.ebook.edu.vn 46 x2 + x + C1 , suy ra: x2 x3 x2 + x + C1 dx = + + C1 x + C2 v´ y= o.i C1 , C2 t` uy y ´ o da.ng y = f (y , x) (thiˆe´u y) + Phu.o.ng tr`ınh c´ C´ ach gia’i: d¯˘ a.t y = z (h` am theo x) ⇒ y = z Nˆen: z = f(z, x) l` a phu.o.ng tr`ınh cˆ a´p cu’a z theo x, gia’i nghiˆe.m tˆ o’ng qu´ at z = ψ(x, C1 ), thay z = y , ta c´ o: ’ ` ’ y = ψ(x, C1 ) gia’i nghiˆe.m tˆ o ng tr` ınh ban d ¯ˆ a u o ng qu´ at cua phu V´ı du Gia’i phu o ng tr`ınh: y = y + x Ta c´ o: y = (x + 1)dx = -˘ -a D a.t y = z (h` am theo x) ⇒ y = z , suy z − z = x D ˆy l` a phu.o.ng tr`ınh vi phˆ an tuyˆe´n t´ınh cˆ a´p cu’a h` am z theo x v´ o.i p(x) = −1, q(x) = x nˆen c´ o nghiˆe.m: z= q(x)e p(x)dx dx + C1 e− p(x)dx = xe−x dx + C1 ex = C1 ex − (x + 1) o: y = C1 ex − (x + 1) ⇒ y = C1 ex − Thay z = y , ta c´ x2 − x + C2 v´ o.i C1, C2 t` uy y ´ o da.ng y = f (y, y ) (thiˆe´u x) + Phu.o.ng tr`ınh c´ C´ ach gia’i: d¯˘ a.t y = z (h` am theo y), d¯a.o h` am theo x, ta c´ o: y = zy · y = z · z, nˆen: z · z = f(y, z) `oi gia’i Gia’i phu.o.ng tr`ınh cˆ a´p cu’a z theo biˆe´n y, ta c´ o: z = ψ(y, C1 ), thay z = y rˆ ’ tiˆe´p phu o ng tr`ınh y = ψ(y, C1 ) ta c´ a cho o nghiˆe.m tˆ o ng qu´ at cu’a phu o ng tr`ınh d¯˜ V´ı du Gia’i phu o ng tr`ınh: (1 − y)y + 2(y )2 = (1) dz -˘ ), ta c´ o: o.i z = D a.t y = z (theo y) ⇒ y = z y = z z (v´ dy (1 − y)z z + 2z = (2) an nˆen z ≡ l` a nghiˆe.m cu’a (2)⇒ y = ⇒ y = C1 + Nˆe´u z ≡ ⇒ z = 0: (2) tho’a m˜ (v´ o i C1 t` uy y ´) l` a nghiˆe.m cu’a (1) ´ + Nˆeu − y ≡ ⇔ y ≡ ⇒ y = 0: (1) tho’a m˜ `.ng an nˆen y = l` a nghiˆe.m (1) (tru.o ho p riˆeng cu’a nghiˆe.m y = C1 ) + Nˆe´u y ≡ C1 ⇔ z ≡ 0: dz 2dy dz = −2z ⇒ = ⇒ ln |z| = ln |y − 1| + ln |C1 | (2)⇒ (1 − y) dy z y −1 dy = C1 x + C2 = C1 dx ⇒ − Suy ra: z = y = C1 (y − 1)2 ⇒ (y − 1) y−1  + 1; C1 = 0, C2 t` uy y ´ y=− C1x + C2 Vˆ a.y (1) c´ o nghiˆe.m:  y = C1, C1 t` uy y ´ ` an tuyˆ e´n t´ınh cˆ a´p v´ o.i hˆ e sˆ o´ h˘ a ng 2.2 Phu o ng tr`ınh vi phˆ http://www.ebook.edu.vn 47 -ˆ ` o da.ng y + py + qy = f (x) d¯´ o´i L` a phu.o.ng tr`ınh c´ o p, q l` a h˘ a ng sˆ o´ thu c * D `an nhˆ v´ o i phu o ng tr`ınh thuˆ a´t (f (x) = 0): Gia’i phu o ng tr`ınh d¯˘ a.c tru.ng: k + pk + q = (DT) + Nˆe´u (DT) c´ o nghiˆe.m thu c phˆ an biˆe.t k1 , k2 th`ı nghiˆe.m tˆ o’ng qu´ at cu’a phu.o.ng `an nhˆ tr`ınh thuˆ a´t l` a: y = C1 ek1 x + C2ek2 x `an o’ng qu´ at cu’a phu.o.ng tr`ınh thuˆ + Nˆe´u (DT) c´ o nghiˆe.m k´ep k1 = k2 th`ı nghiˆe.m tˆ ´ nhˆ a t l` a: y = (C1 + C2 x)ek1 x o’ng qu´ at cu’a + Nˆe´u (DT) c´ o nghiˆe.m ph´ u.c k1 = α + βi, k2 = α − βi th`ı nghiˆe.m tˆ `an nhˆ phu o ng tr`ınh thuˆ a´t l` a: y = eαx (C1 cos βx + C2 sin βx) -ˆ `an nhˆ ong thuˆ a´t y + py + qy = f (x) (vˆe´ pha’ i c´ *D o´i v´ o.i phu.o.ng tr`ınh khˆ o da.ng d¯˘ a.c biˆe.t): `an nhˆ Bu.´ o.c 1: Gia’i phu.o.ng tr`ınh thuˆ a´t tu.o.ng u ´.ng, t`ım nghiˆe.m tˆ o’ng qu´ at du.´ o.i da.ng: y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) `an nhˆ Bu.´ o.c 2: T`ım nghiˆe.m riˆeng y ∗ cu’a phu.o.ng tr`ınh khˆ ong thuˆ a´t d¯ˆe’ suy nghiˆe.m ∗ y =y+y a.c n): + Nˆe´u f(x) c´ o da.ng Pn (x)eax (Pn (x) l` a d¯a th´ u.c bˆ − Nˆe´u a khˆ ong pha’i l` a nghiˆe.m cu’a (DT) th`ı y ∗ c´ o da.ng: y ∗ = (an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + ao )eax − Nˆe´u a l` a nghiˆe.m d¯o.n cu’a (DT) th`ı y ∗ c´ o da.ng: y ∗ = x(an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + ao )eax − Nˆe´u a l` a nghiˆe.m k´ep cu’a (DT) th`ı y ∗ c´ o da.ng: y ∗ = x2 (an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + ao )eax + Nˆe´u f(x) c´ o da.ng eax [Pn (x) cos bx + Qm (x) sin bx]: (Pn (x), Qm (x) l` a c´ ac d¯a th´ u.c bˆ a.c n, m), d¯˘ a.t h = max{m, n}: − Nˆe´u a + bi khˆ ong pha’i l` a nghiˆe.m cu’a (DT) th`ı y ∗ c´ o da.ng: y ∗ = (ah xh + · · · + a1 x + ao ) cos bx + (bh xh + · · · + b1 x + bo ) sin bx eax − Nˆe´u a + bi l` a nghiˆe.m cu’a (DT) th`ı y ∗ c´ o da.ng: y ∗ = x (ah xh + · · · + a1 x + ao ) cos bx + (bh xh + · · · + b1 x + bo ) sin bx eax - ˆe’ x´ ung phu.o.ng ph´ ap hˆe sˆ o´ bˆ a´t d¯i.nh: t´ınh y ∗ , y ∗ D ac d¯.inh c´ ac sˆ o´ , bi o’ trˆen, ta d` `an nhˆ `ong nhˆ `oi thay y ∗ , y ∗ , y ∗ v` ong thuˆ a´t, d¯ˆ a´t hai vˆe´ v` a gia’i hˆe rˆ ao phu.o.ng tr`ınh khˆ phu o ng tr`ınh theo , bi http://www.ebook.edu.vn 48 `ong chˆ `an lu.o t l` a nghiˆe.m riˆeng cu’ a + Nguyˆ en l´ y chˆ a´t nghiˆ e.m: Nˆe´u y1 (x), y2 (x) lˆ c´ ac phu o ng tr`ınh y + p(x).y + q(x).y = f1 (x) v` a y + p(x).y + q(x).y = f2 (x) th`ı y1 (x) + y2 (x) l` a nghiˆe.m riˆeng cu’ a y + p(x).y + q(x).y = f1 (x) + f2 (x) V´ı du Gia’i phu o ng tr`ınh: y − 2y − 3y = e4x (1) a.c tru.ng k − 2k − = c´ o nghiˆe.m Phu.o.ng tr`ınh d¯˘ k1 = −1 nˆen phu.o.ng tr`ınh k2 = `an nhˆ thuˆ a´t: y − 2y − 3y = c´ o nghiˆe.m y = C1 e−x + C2 e3x , C1 , C2 t` uy y ´ ax Vˆe´ pha’i (1) c´ o da.ng Pn (x)e v´ o i n = 0, a = = k1 , k2 nˆen nghiˆe.m riˆeng c´ o da.ng ∗ 4x y = 4a e o Thay v` ao (1), ta c´ o: y ∗ = ao e4x , suy ra: ∗ y = 16ao e4x 16ao e4x − 8ao e4x − 3ao e4x = e4x ⇒ ao = , suy ra: 4x ∗ −x 3x y = y + y = C1 e + C2 e + e , ∀C1, C2 ’ V´ı du Giai phu o ng tr`ınh: y − 2y + y = 6xex (2) a.c tru.ng k − 2k + = c´ Phu.o.ng tr`ınh d¯˘ o nghiˆe.m k´ep k1 = k2 = nˆen phu.o.ng `an nhˆ tr`ınh thuˆ a´t: y − 2y + y = c´ o nghiˆe.m y = (C1 x + C2)ex , C1, C2 t` uy y ´ ax Vˆe´ pha’i (2) c´ o da.ng Pn (x)e v´ o i n = 1, a = = k1 = k2 nˆen nghiˆe.m riˆeng c´ o da.ng ∗ x y = [a x + (3a + a )x + 2a x]e 1 o o y ∗ = x2 (a1 x + ao )ex , suy ra: ∗ y = [a1 x + (6a1 + ao )x + (6a1 + 4ao )x + 2ao ]ex a1 = 6a1 = ⇒ ⇒ y ∗ = x3 ex nˆen (2) c´ o nghiˆe.m: Thay v` ao (2), ta c´ o: 2ao = ao = y = y + y ∗ = (C1 x + C2 )ex + x3 ex = (C1 x + C2 + x3 )ex , ∀C1 , C2 V´ı du Gia’i p[hu.o.ng tr`ınh: y + y = 4xex (3) `an a.c tru.ng k + = c´ Phu.o.ng tr`ınh d¯˘ o nghiˆe.m k = ±i nˆen phu.o.ng tr`ınh thuˆ 0x nhˆ a´t: y + y = c´ o nghiˆe.m y = e (C1 sin x + C2 cos x) = C1 sin x + C2 cos x, C1 , C2 t` uy y ´ Vˆe´ pha’i (3) c´ o da.ng Pn (x)eax v´ o.i n = 1, a = = k1 , k2 nˆen nghiˆe.m riˆeng c´ o da.ng: ∗ x y = (a x + a + a )e 1 o y ∗ = (a1 x + ao )ex , suy ra: y∗ = (a1 x + 2a1 + ao )ex - `ˆ ong nhˆ a´t vˆe´: Thay v` ao (3), ta c´ o: 2a1 x + 2a1 + 2ao = 4x D a1 = a1 =2 ⇒ ⇒ y ∗ = (2x − 2)ex nˆen (2) c´ o nghiˆe.m: a1 + ao = ao = −2 y = y + y ∗ = (C1 sin x + C2 cos x) + (2x − 2)ex , ∀C1 , C2 V´ı du Gia’i phu.o.ng tr`ınh: y − y = 2ex − x2 (4) `an a.c tru.ng k − = c´ Phu.o.ng tr`ınh d¯˘ o nghiˆe.m k = ±1 nˆen phu.o.ng tr`ınh thuˆ x −x nhˆ a´t: y − y = c´ o nghiˆe.m y = C1 e + C2 e , C1 , C2 t` uy y ´ http://www.ebook.edu.vn 49 `ong chˆ Theo nguyˆen l´ y chˆ a´t nghiˆe.m, nghiˆe.m riˆeng cu’a (4) l` a tˆ o’ng hai nghiˆe.m riˆeng x y − y = 2e (4a) cu’a hai phu.o.ng tr`ınh sau: (4b) y − y = −x ax Vˆe´ pha’i (4a) c´ o da.ng Pn (x)e v´ o i n = 0, a = = k1 nˆen nghiˆe.m riˆeng c´ o da.ng: ∗ x y = (a x + a )e o o y1∗ = x(ao )ex = ao xex , suy ra: y1∗ = (ao x + 2ao )ex Thay v` ao (4a), ta c´ o: (ao x + 2ao − ao x)ex = 2ex ⇒ ao = 1, nˆen y1∗ = xex Vˆe´ pha’i (4b) c´ o da.ng Pn (x)eax v´ o.i n = 2, a = = k1 , k2 nˆennghiˆe.m riˆeng c´ o da.ng:  a2 = y2∗ = 2a2 x + a1 (4b)  ∗ y2 = a2 x + a1 x + ao , suy ra: ⇒ a1 = ⇒ y2∗ = x2 + ∗  y2 = 2a2  ao = ∗ ∗ ∗ x Suy nghiˆe.m riˆeng cu’a (4) l` a: y = y1 + y2 = xe + x + v` a nghiˆe.m tˆ o’ng qu´ at: y = y + y ∗ = C1 ex + C2 e−x + xex + x2 + 2, ∀C1 , C2 ` TA ˆ P BAI an cˆ a´p sau (da.ng gia’ m cˆ a´p): 4.2.1 Gia’ i c´ ac phu.o.ng tr`ınh vi phˆ y x2 y = y ; xy = y ; xy = y ln ; y y = 1; y (ex + 1) + y = 0; x 2 (x ln x)y − y = 0; x2 y + 3xy = 0; + y = 2yy ; yy − y = ` ng): an cˆ a´p sau (da.ng tuyˆe´n t´ınh v´ o.i hˆe sˆ o´ h˘ a 4.2.2 Gia’ i c´ ac phu.o.ng tr`ınh vi phˆ x 2x y −2y +y = e ; y −5y +6y = e ; y −2y +2y = 2x ; y +y −2y = xex ; y − 3y + 2y = ex (2x + 3); y − y − x; y − 6y + 5y = 3ex + 5x2 ; y − 5y = 3x + sin 5x; y + y = sin x cos 3x; y − 2y − 3y = − 4ex -ooOoo- http://www.ebook.edu.vn 50 T` liˆ e.u tham kha’o Tiˆ e´ng Viˆ e.t -` - a.i `eu biˆe´n sˆ a 2002 Gi´ ao tr`ınh H` am nhiˆ o´ Trung tˆ an D ao ta.o T` u Xa, D Lu o ng H` ho.c Huˆe´ - a.i ho.c Huˆe´ Lˆe Tu Hy’ 1974 Gi´ ao tr`ınh Gia’i t´ıch, Viˆe.n D Lˆe Viˆe´t Ngu , Phan v˘ an Danh 2000 To´ an ho.c cao cˆ a´p (chuyˆen ng` anh Sinh, Y, Nˆ ong Lˆ am) NXB Gi´ ao du.c `an Gia’i t´ıch) Trung Th´ Xuˆ an Tiˆen, D˘ a.ng Ngo.c Du.c 2002 To´ an cao cˆ a´p (phˆ -` - a.i ho.c Huˆe´ tˆ am D ao ta.o T` u Xa, D - a.i ho.c ˜ Nguyˆen D`ınh Tr´ı v` a cˆ o.ng su 1983 To´ an ho.c cao cˆ a´p Tˆ a.p I,II,III NXB D v` a THCN Tiˆ e´ng Anh P.E Danko, A.G Popov 1996 B` tˆ a.p To´ an cao cˆ a´p (ba’n di.ch) NXB Gi´ ao du.c G.Dorofeev, M.Potapov, N.Rozov 1976 Elementary mathematics Mir Publisher - a.i ho.c v` Liasko 1979 Gia’i t´ıch to´ an ho.c (ba’n di.ch) Tˆ a.p I NXB D a THCN [...]...  1  0   0  0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 | | | b1,1 b2, 1 b3,1 b1,2 b2, 2 b3,2 b1,3 b2, 3 b3,3 1 | bn,1 bn,2 bn,3  b1,n b2, n   b3,n  = (E|B)  bn,n http://www.ebook.edu.vn o.i hˆe.: u ´.ng v´  x1     x2         x3 20 + b1,1 xn+1 + b1,2 xn+2 + b1,3 xn+3 + · · · + b1,n x2n + b2, 1 xn+1 + b2, 2 xn+2 + b2, 3 xn+3 + · · · + b2, n x2n =0 =0 + b3,1 xn+1 + b3,2 xn+2 + b3,3 xn+3 + · ·... c´ o thˆe’ d¯u.o c viˆe´t du.´ o.i da.ng ma trˆ a.n AX = B trong d¯´ o:       a1,1 a1,2 a1,n x1 b1 a2,2 a + 2, n  a A =  2,1 X =  x2 ; B =  b2  hay ; xn bm am,1 am,2 am,n   a1,1 a1,2 a1,n b1 a2,2 a + 2, n b2  a o.i da.ng ma trˆ a.n mo’ rˆ o.ng: A =  2,1 o ha.ng du.´ , khi d¯´ am,1 am,2 am,n bm a ha.ng cu’ a hˆ e phu.o.ng tr`ınh (1) r(A) cu’a A d¯u.o... ho` an to` an tu.o.ng tu nhu t´ıch phˆ an hai l´ o.p 2 C´ ach t´ınh t´ıch phˆ an ba l´ o.p `en lˆ + Nˆe´u miˆ a´y t´ıch phˆ an l` a mˆ o.t h`ınh hˆ o.p V = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × [a3 , b3 ], http://www.ebook.edu.vn 33 th`ı: b1 b2 b3 f(x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dz a1 V a2 dy dx a3 xyzdxdydz v´ o.i V = [0, 1] × [2, 4] × [5, 8] V´ı du T´ınh I = V 1 I= 4 xdx · 8 ydy · 0 2 zdz = 5 x2 2 1 · 0 y2 2 4 ·... ngh˜ıa o.ng tr`ınh tuyˆ e´n t´ınh m phu.o.ng tr`ınh n ˆ a’n l` a hˆe c´ o da.ng * Ta go.i hˆ e phu. a x + a x + · · · + a x = b 1,1 1 1,2 2 1,n n 1     (1)  a2,1 x1 + a2,2 x2 + · · · + a2,n xn = b2    am,1 x1 + am,2 x2 + · · · + am,n xn = bm a.c ph´ u.c), x1 , x2 , , xn l` a c´ ac hˆe sˆ o´ (thu c ho˘ a c´ ac trong d¯´ o ai,j , bi (i = 1, m, j = 1, n) l` ’ a c´ o nghiˆ e.m (hay tu ... d¯u.a d¯u.o c ma trˆ a.n vˆ      0 0 0 | | | b1,1 b2, 1 b3,1 b1,2 b2, 2 b3,2 b1,3 b2, 3 b3,3 | bn,1 bn,2 bn,3  b1,n b2, n   b3,n  = (E|B)  bn,n http://www.ebook.edu.vn o.i hˆe.:...     x3 20 + b1,1 xn+1 + b1,2 xn+2 + b1,3 xn+3 + · · · + b1,n x2n + b2, 1 xn+1 + b2, 2 xn+2 + b2, 3 xn+3 + · · · + b2, n x2n =0 =0 + b3,1 xn+1 + b3,2 xn+2 + b3,3 xn+3 + · · · + b3,n x2n =0 xn... a´p: biˆe´n d¯ˆ o’i ma trˆ a.n vˆ a.c + Phu.o.ng ph´ thang   b1,1 b1,2 b1,r b1,n b2, 2 b2, r b2, n       B =  br,r br,n     0 0 v´ o.i bi,j = 0, ∀i > j