B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH BI CAO VN O HM LIE CA DềNG V LIấN THễNG Chuyờn ngnh: Hỡnh hc v Tụpụ Mó s: 62 46 01 05 TểM TT LUN N TIN S TON HC VINH - 2016 Lun ỏn c hon thnh ti Trng i hc Vinh Tp th hng dn khoa hc: PGS TS Nguyn Hu Quang PGS TS Kiu Phng Chi Phn bin 1: Phn bin 2: Phn bin 3: Lun ỏn s c bo v trc Hi ng chm lun ỏn cp Trng hp ti Trng i hc Vinh vo hi ngy thỏng nm Cú th tỡm hiu lun ỏn ti: Th vin Nguyn Thỳc Ho, Trng i hc Vinh Th Vin Quc gia Vit Nam M U Lý chn ti 1.1 Lý thuyt o hm Lie l mt nhng lnh vc nghiờn cu ca toỏn hc hin i, xut hin t nhng nm 30 ca th k trc cỏc cụng trỡnh nghiờn cu ca Slebodzinski, Dantzig, Schouten v Van Kampen õy l lnh vc ó v ang c s quan tõm ca rt nhiu nh toỏn hc v ngoi nc Phộp o hm Lie trờn a l mt cụng c hu hiu nghiờn cu v cỏc bi toỏn a cú th tớch cc tiu a phng, xỏc nh cỏc cong, xon ca a Riemann o hm Lie cú nhiu ng dng cỏc lnh vc khỏc ca toỏn hc nh tỡm nghim ca cỏc phng trỡnh vi phõn, h phng trỡnh tuyn tớnh, h ng lc, h Hamilton Ngoi ra, o hm Lie cng cú nhiu ng dng cỏc ngnh khoa hc khỏc nh: C hc lng t, khoa hc mỏy tớnh, sinh hc, kinh t, 1.2 Lý thuyt dũng l mt lý thuyt ca ngnh Hỡnh hc - Tụpụ T cui nhng nm 60 ca th k XX, cựng vi s hỡnh thnh v phỏt trin ca lý thuyt cỏc khụng gian phc hyperbolic, lý thuyt dũng ó cú nhng bc tin mnh m v c ng dng sõu sc gii tớch phc nhiu bin, hỡnh hc gii tớch, hỡnh hc i s, h ng lc Vic s dng lý thuyt dũng cỏc nghiờn cu v th tớch cc tiu ca kmt trờn a Riemann cú th tỡm thy cỏc cụng trỡnh nghiờn cu ca A T Fomenko, Havey, o Trng Thi, Lờ Hng Võn 1.3 Cỏc phộp o hm trờn a Riemann cú nhiu ng dng vic mụ t cỏc c trng hỡnh hc ca a ú Chớnh vỡ vy, m vic nghiờn cu nú ó v ang c nhiu nh toỏn hc v ngoi nc quan tõm Mc dự cho n ó cú nhiu kt qu quan trng nhng õy l c bn v mang tớnh thi s, thu hỳt ngy cng nhiu nh toỏn hc nghiờn cu vỡ tớnh thc tin v ng dng khoa hc k thut Nm 2010, Sultanov ó trỡnh by cỏc tớnh cht c bn ca cỏc o hm Lie v ng dng chỳng vo vic kho sỏt cỏc cong v xon trờn cỏc i s kt hp, giao hoỏn v cú n v Trong trng hp riờng, o hm Lie c s dng cỏc nghiờn cu v cỏc tớnh cht hỡnh hc trờn a Trong nhng nm gn õy, o hm Lie ó c nhiu nh toỏn hc quan tõm, chng hn: K Habermann, A Klein (2003); L Fatibene, M Francaviglia (2011); R P Singh, S D Singh (2010); A Ya Sultanov (2010); J D Pộrez (2014) Nhm thit lp khỏi nim o hm Lie cho dũng v liờn thụng trờn cỏc a tp, ng thi nghiờn cu cỏc tớnh cht v ng dng ca chỳng, chỳng tụi chn ti nghiờn cu cho lun ỏn ca mỡnh l: "o hm Lie ca dũng v liờn thụng" Mc ớch nghiờn cu Mc ớch ca lun ỏn l nghiờn cu v o hm Lie trờn cỏc a nh: o hm Lie ca dũng v dng suy rng, o hm Lie ca dng v dũng song bc, vi phõn ngoi liờn kt vi liờn thụng, o hm Lie ca cỏc liờn thụng nhm b sung mt s tớnh cht hỡnh hc trờn a Riemann, ng thi chỳng tụi cng ch mt s ng dng ca chỳng i tng nghiờn cu i tng nghiờn cu ca lun ỏn l o hm Lie ca dũng v dng suy rng, o hm Lie ca cỏc liờn thụng trờn a Riemann Phm vi nghiờn cu Lun ỏn nghiờn cu cỏc tớnh cht v o hm Lie ca dũng, o hm Lie ca phõn b, o hm Lie ca dng suy rng, o hm Lie ca dng v dũng song bc, vi phõn ngoi liờn kt vi liờn thụng, o hm Lie ca cỏc liờn thụng v ng dng ca chỳng Phng phỏp nghiờn cu Chỳng tụi s dng phng phỏp nghiờn cu lý thuyt ca hỡnh hc Riemann, lý thuyt dũng, gii tớch hm, lý thuyt liờn thụng v lý thuyt nhúm Lie quỏ trỡnh thc hin ti í ngha khoa hc v thc tin Lun ỏn ó t c mt s kt qu v o hm Lie trờn a Riemann nh: o hm Lie ca dũng, o hm Lie ca phõn b, o hm Lie ca dng suy rng, o hm Lie ca dng v dũng song bc, vi phõn ngoi liờn kt vi liờn thụng, o hm Lie ca liờn thụng phỏp dng nhm b sung mt s tớnh cht hỡnh hc trờn a ng thi, ỏp dng cỏc kt qu thu c vo vic chng minh nh lý chuyn, cụng thc ng luõn i vi dũng v tỡm iu kin a cc tiu Lun ỏn cú th lm ti liu tham kho cho cỏc sinh viờn, hc viờn cao hc v nghiờn cu sinh chuyờn ngnh Hỡnh hc - Tụpụ Tng quan v cu trỳc ca lun ỏn 7.1 Tng quan mt s liờn quan n lun ỏn a Riemann l khỏi nim c s ca toỏn hc hin i Khỏi nim ny xut hin vo na cui th k 19 Hỡnh hc trờn cỏc a ú cú nhiu ng dng cỏc lnh vc khỏc ca toỏn hc nh: Gii tớch, lý thuyt h ng lc v cỏc ngnh: Vt lý, cỏc ngnh khoa hc k thut Lý thuyt liờn thụng l mt nhng cụng c c bn ca hỡnh hc Riemann n nhng nm cui ca th k 20, cựng vi s phỏt trin ca tụpụ vi nhng cụng trỡnh ni ting ca Hausdorff, Poincarộ thỡ hỡnh hc trờn cỏc a ó phỏt trin mnh m v chớnh tụpụ ó tr thnh mt cụng c hu hiu vic xõy dng cỏc cu trỳc hỡnh hc, chng hn nh: cong, xon, o hm cỏc dng vi phõn trờn cỏc a v c bit l mụ t cỏc tớnh cht hỡnh hc quan trng trờn nhúm Lie compact S Lie l ngi u tiờn a khỏi nim o hm X[f ] ca hm s f theo trng vộct X trờn a kh vi v bõy gi gi l o hm Lie ca hm s theo trng vộct Nm 1920, ẫlie Cartan nh ngha mt cỏch t nhiờn toỏn t vi phõn LX ca cỏc dng vi phõn v chng minh c toỏn t vi phõn LX giao hoỏn vi vi phõn ngoi d c bit, ẫlie Cartan ó chng minh c cụng thc sau v gi l cụng thc Cartan LX = d iX + iX d, õy iX l tớch ca trng vộct X i vi dng vi phõn nski cng ó xut Nm 1931, cỏc cụng trỡnh nghiờn cu ca W Slebodzi hin toỏn t vi phõn LX ca trng tenx theo trng vộct X W Slebodzi nski ó chng minh c cụng thc toỏn t vi phõn LX ca tớch hai trng tenx v ng dng vo vic tỡm nghim ca phng trỡnh Hamilton chớnh tc Vi mi hm s H(p, q), p = (pà ), q = (q ), = 1, 2, , n, W Slebodzi nski nh ngha trng vộct XH = H H pà q q pà v ó chng minh c LXH A = 0; LXH B = 0; vi A = dq dpà , B = qà pà Nm 1932, D V Dantzig ó t tờn cho toỏn t vi phõn LX l o hm Lie mang tờn nh toỏn hc S Lie S dng o hm Lie, Dantzig thu c nhiu kt qu thỳ v, ú l khụng gian x nh nchiu c mụ t bi n + ta cong thun nht m cú th xem nh khụng gian (n + 1)chiu vi liờn thụng tuyn tớnh v ụng ó a nhng ng dng ca o hm Lie vo Vt lý K t ú, cỏc phộp bin dng ca ng cong, khụng gian v khụng gian cỏc phộp bin dng cng nh nhúm chuyn ng, chuyn ng affine, chuyn ng x nh, chuyn ng bo giỏc ó c quan tõm nghiờn cu bi nhiu nh toỏn hc ni ting nh: L Berwald, E Cartan, N Coburn, E T Davies, P Dienes, A Duschek, L P Eisenhart, F A Ficken, H A Hayden, V Hlavatý, E R van Kampen, M S Knebelman, T Levi Civita, J Levine, W Mayer, A J McConnel, A D Michal, H P Robertson, S Sasaki, J A Schouten, J L Synge, A H Taub, H C Wang v nhiu tỏc gi khỏc Nm 1948, J A Schouten v D J Struik ó phỏt trin thờm mt s tớnh cht v o hm Lie ca dng vi phõn v a mt s k thut tớnh o hm Lie i vi dng vi phõn trờn a Sau ú, nm 1957 K Yano l ngi gii thiu v lý thuyt o hm Lie v cỏc ng dng ca o hm Lie Vic nghiờn cu phộp o hm Lie cú nhiu ng dng vic mụ t cỏc c trng hỡnh hc ca a v c bit l ng dng lý thuyt h ng lc, lý thuyt truyn thụng, c hc lng t, ng lc hc Nm 1997, J.-H Kwon v Y J Suh ó nghiờn cu mt s tớnh cht v o hm Lie ca tenx trờn siờu mt thc kiu A khụng gian dng phc Nm 2002, B N Shapukov ó trỡnh by mt s kt qu v o hm Lie ca trng tenx trờn a Fiber Nm 2008, K Răobenack ó a thut toỏn cho phộp tớnh o hm Lie bc cao bng mỏy tớnh Nm 2010, cỏc tỏc gi L S Velimirovic, S M Mincic, M S Stankovic ó nghiờn cu v o hm Lie ca liờn thụng v o hm Lie ca tenx cong trờn khụng gian vi liờn thụng affine khụng i xng Cựng thi gian ny, A Ya Sultanov ó xõy dng khỏi nim o hm Lie trờn i s v nghiờn cu mt s tớnh cht v o hm Lie ca liờn thụng trờn i s, ng thi ng dng chỳng vo vic kho sỏt cỏc cong v xon trờn cỏc i s kt hp, giao hoỏn v cú n v Nm 2011, cụng trỡnh nghiờn cu ca L Fatibene v M Francaviglia ó trỡnh by mt s tớnh cht v o hm Lie ca tenx Lorentz v ng dng ca nú vo vic kho sỏt khụng gian Minkowski Nm 2012, trờn c s o hm Lie ca dng vi phõn, chỳng tụi ó xõy dng o hm Lie ca dũng trờn a Riemann v a mt s ng dng trờn nhúm Lie compact Nm 2014, J D Pộrez ó nghiờn cu o hm Lie trờn siờu mt thc khụng gian x nh phc Nm 2015, A D Nicola v I Yudin ó nghiờn cu mt s tớnh cht v o hm Lie trờn i s Lie Lior Falach v Reuven Segev ó phỏt biu v chng minh nh lý chuyn i vi dũng trờn a m o hm Lie ca dũng úng vai trũ quan trng 7.2 Cu trỳc lun ỏn Ni dung lun ỏn c trỡnh by chng Ngoi ra, lun ỏn cũn cú Li cam oan, Li cm n, Mc lc, M u, Kt lun v Kin ngh, Danh mc cụng trỡnh khoa hc ca nghiờn cu sinh liờn quan trc tip n lun ỏn v danh mc ti liu tham kho Chng c dnh gii thiu kin thc c s ca lun ỏn, bao gm mc Mc 1.1 trỡnh by cỏc kin thc c bn v kdng vi phõn trờn a Mc 1.2 gii thiu khỏi nim v mt s tớnh cht c bn v liờn thụng Levi-Civita, tenx cong v tenx xon trờn a Riemann nchiu Mc 1.3 trỡnh by nh ngha v cỏc tớnh cht c bn v o hm Lie ca hm s, o hm Lie ca trng vộct v o hm Lie ca kdng vi phõn trờn a Riemann Mc 1.4 trỡnh by cỏc khỏi nim v tớnh cht c bn v lý thuyt phõn b v lý thuyt dũng Chng trỡnh by cỏc ni dung nghiờn cu v o hm Lie ca dũng trờn a Riemann, bao gm mc Trong mc 2.1, chỳng tụi trỡnh by nh ngha v mt s tớnh cht v o hm Lie ca dũng v dng suy rng trờn a Riemann Trong mc 2.2, chỳng tụi trỡnh by mt s tớnh cht v o hm Lie ca dũng v dng suy rng trờn nhúm Lie Trong mc 2.3, chỳng tụi a mt s ng dng o hm Lie ca dũng vic chng minh nh lý chuyn, cụng thc ng luõn i vi dũng trờn a v tỡm iu kin a cc tiu Trong mc 2.4, chỳng tụi nghiờn cu mt s tớnh cht v o hm Lie ca dng v dũng song bc c bit, chỳng tụi tỡm iu kin ca trng vộct X o hm Lie ca dng song bc (p, p) cng l dng song bc (p, p) Vic nghiờn cu o hm Lie ca dng v dũng song bc nhm mc ớch nghiờn cu o hm Lie ca dũng dng lý thuyt a th v Cỏc kt qu ca chng ny ó c cụng b trờn 02 Lobachevskii Journal of Mathematics, Bulletin of Mathematical Analysis and Applications v gi ng 02 Journal of Nonlinear and Convex Analysis, Vietnam Journal of Mathematics Chng nhm trỡnh by mt s tớnh cht v o hm Lie ca liờn thụng phỏp dng, bao gm mc Trong mc 3.1, chỳng tụi nghiờn cu mt s tớnh cht v o hm Lie ca liờn thụng v vi phõn ngoi liờn kt vi liờn thụng Trong mc 3.2, chỳng tụi trỡnh by mt s tớnh cht v o hm Lie ca liờn thụng phỏp dng v o hm Lie ca tenx cong phỏp dng trờn a Riemann, t ú nghiờn cu cỏc tớnh cht v o hm Lie ca liờn thụng phỏp dng, o hm Lie ca tenx cong phỏp dng trờn a Riemann v ng dng ca nú trng hp a M l siờu mt Cỏc kt qu ca chng ny ó c cụng b trờn 03 J Nonlinear Sci Appl., Southeast Asian Bulletin of Mathematics v East-West Journal of Mathematics Chng KIN THC CHUN B thun li cho vic trỡnh by chng v chng 3, chng ny chỳng tụi trỡnh by mt s khỏi nim v tớnh cht c bn v kdng vi phõn, liờn thụng, tenx cong v tenx xon trờn a Riemann nchiu; o hm Lie ca hm s, o hm Lie ca trng vộct v o hm Lie ca kdng vi phõn; cỏc tớnh cht c bn ca lý thuyt phõn b v lý thuyt dũng trờn a Riemann nchiu 1.1 Dng vi phõn trờn a Riemann Trong mc ny, chỳng tụi trỡnh by cỏc khỏi nim kdng vi phõn, tớch ngoi ca cỏc dng vi phõn, vi phõn ngoi v ỏnh x kộo lựi ca dng vi phõn trờn a Riemann M 1.2 Liờn thụng trờn a Riemann Trong mc ny, chỳng tụi trỡnh by cỏc khỏi nim liờn thụng tuyn tớnh, liờn thụng Levi-Civita, tenx cong v tenx xon trờn a Riemann M 1.3 o hm Lie ca dng vi phõn Trong mc ny, chỳng tụi trỡnh by cỏc khỏi nim nhúm mt tham s, tớch ca trng vộct i vi kdng vi phõn, o hm Lie ca hm s, o hm Lie ca trng vộct, o hm Lie ca kdng vi phõn v cỏc tớnh cht ca nú, cụng thc Cartan, trng vộct ph thuc thi gian, kdng vi phõn ph thuc thi gian, nh lý o hm Lie ph thuc thi gian th nht v th hai i vi dng vi phõn 1.4 Phõn b v dũng trờn a Riemann Trong mc ny, chỳng tụi trỡnh by mt s tớnh cht c bn ca phõn b, khỏi nim dũng trờn a tp, tớch ngoi ca dũng v dng, vi phõn ngoi ca dũng, ỏnh x tip xỳc, nh lý Stokes v cỏc phộp toỏn ca dũng trờn a tap Riemann Chng O HM LIE CA DềNG TRấN A TP Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by mt s tớnh cht v o hm Lie ca dũng v dng suy rng, o hm Lie ca dng v dũng song bc ng thi ng dng vo vic chng minh nh lý chuyn, cụng thc ng luõn i vi dũng trờn a v tỡm iu kin a cc tiu 2.1 o hm Lie ca dũng v dng suy rng Trong mc ny, chỳng tụi xõy dng nh ngha o hm Lie ca dũng v dng suy rng trờn a Riemann M T ú, chỳng tụi nghiờn cu mt s tớnh cht v o hm Lie ca dũng v dng suy rng c bit l cụng thc kiu Cartan i vi dũng v dng suy rng, nh lý o hm Lie ph thuc thi gian th nht v th hai i vi dũng x 2.1.1 nh ngha Gi s X B(M ) Anh ÊX : Dk (M ) Dk (M ) T ÊX T c gi l o hm Lie ca kdũng T theo trng vộct X trờn M , ú ÊX T c xỏc nh bi (ÊX T )() = T (LX ), nk (M ) c v LX l o hm Lie ca (n k)dng vi phõn theo trng vộct X Sau õy l vớ d v o hm Lie ca dũng trờn a 2.1.2 Vớ d Cho E l Borel ca Rn , X l trng vộct trờn Rn v dũng tớch phõn [E] c xỏc nh bi , nc (Rn ) [E]() = E Khi ú, o hm Lie ca [E] theo trng vộct X cho bi LX , nc (Rn ) (ÊX ([E]))() = E T nh ngha tớch ca trng vộct i vi kdng vi phõn, chỳng tụi xõy dng nh ngha tớch ca trng vộct i vi kdũng di õy x 2.1.3 nh ngha Gi s X B(M ) Anh iX : Dk (M ) Dk1 (M ) T iX T c gi l tớch ca trng vộct X i vi kdũng T, ú iX T c xỏc nh bi: (iX T )() = (1)k1 T (iX ), nk+1 (M ), c õy iX l tớch ca trng vộct X i vi (n k + 1)dng vi phõn 2.1.4 Mnh Gi s T Dk (M ), X B(M ), pc (M ) Khi ú iX (T ) = (iX T ) + (1)k T (iX ) Sau õy l cỏc tớnh cht v tớch ca trng vộct i vi dũng 2.1.5 Mnh Cho T, T Dk (M ); X, Y B(M ); F(M ), R Khi ú i) iX (T + T ) = iX T + iX T ; ii) iX+Y (T ) = iX T + iY T ; iii) iX (T ) = iX T ; iv) iX (T ) = iX T dng nh ngha v tớch ca trng vộct i vi dũng, vi phõn ngoi Ap ca dũng v cụng thc cụng thc Cartan i vi dng vi phõn, ta thu c cụng thc kiu Cartan i vi dũng sau õy 2.1.6 nh lý Gi s T Dk (M ), X B(M ) Khi ú ÊX T = d(iX T ) + iX (dT ) S dng cụng thc kiu Cartan i vi dũng ta thu c cỏc mnh sau 2.1.7 Mnh Cho T, T Dk (M ); X, Y B(M ); F(M ) Khi ú i) ÊX (T + T ) = ÊX T + ÊX T ; ii) ÊX+Y T = ÊX T + ÊY T ; iii) ÊX (T ) = ÊX T + T LX 2.1.8 Mnh Gi s T Dk (M ), X B(M ), pc (M ) Khi ú ÊX (T ) = (ÊX T ) + T (LX ) 2.1.9 Mnh Cho d l vi phõn ngoi ca kdũng v ÊX l o hm Lie ca kdũng trờn M Khi ú, ÊX d = d ÊX 2.1.10 Mnh Nu T Dk (M ) l kdũng úng (tng ng kdũng khp) thỡ ÊX T l kdũng úng (tng ng kdũng khp) Sau õy l nh lý v o hm Lie i vi dũng 2.1.11 nh lý Gi s X B(M ), T Dk (M ) v Ft l nhúm mt tham s sinh bi trng vộct X Khi ú d (Ft ) T = (Ft ) ÊX T, dt (2.1) õy (Ft ) l ỏnh x tip xỳc (push-forward) ca Ft Nu t = thỡ cụng thc (2.1) tr thnh ÊX T = d dt (Ft ) T (2.2) t=0 Bng vic s dng nh lý o hm Lie ph thuc thi gian th nht i vi dng vi phõn ta nhn c nh lý o hm Lie ph thuc thi gian th nht i vi dũng sau õy 2.1.12 nh lý Gi s T Dk (M ), Xt B(M ) l trng vộct ph thuc thi gian trờn M v Ft,s l nhúm mt tham s ph thuc thi gian sinh bi trng vộct Xt Khi ú d (F,s ) T = ÊXt (Ft,s ) T (2.3) d =t Trong trng hp = s thỡ cụng thc (2.3) tr thnh d d (F,s ) T = ÊXs (T ) (2.4) =s T nh ngha o hm Lie i vi dũng v nh lý o hm Lie ph thuc thi gian th hai i vi dng vi phõn ta chng minh c nh lý o hm Lie ph thuc thi gian th hai i vi dũng di õy 2.1.13 nh lý Gi s T Dk (M ), t nk (M ) l (n k)-dng vi phõn ph c thuc thi gian trờn M , Xt B(M ), l trng vộct ph thuc thi gian trờn M v Ft,s l nhúm mt tham s ph thuc thi gian sinh bi trng vộct Xt Khi ú d d (F,s ) T ( ) = (Ft,s ) T (t ) + ÊXt (Ft,s ) T (t ) , (2.5) =t t õy t = (t) = t c bit, nu = s thỡ cụng thc (2.5) tr thnh d d (F,s ) T ( ) = T (s ) + (ÊXs T ) (s ) (2.6) =s Bõy gi, chỳng tụi xột trng hp c bit dũng bc n (phõn b) Gi s U l m M , ký hiu D(U ) = Dn (U ) l khụng gian cỏc phõn b vi giỏ compact trờn U Gi s u D(U ) v X B(U ) Khi ú, ta cú o hm Lie ÊX u ca phõn b u c xỏc nh bi (ÊX u)() := u(LX ), Fc (U ), ú LX l o hm Lie ca hm s trờn U theo trng vộct X Sau õy l vớ d v o hm Lie ca phõn b 12 T õy tr i ta luụn gi thit G l nhúm Lie compact nchiu v l o Haar trờn G, à(G) = Vi mi T Dk (G), ta t ((Lx ) T )()dx, nk (G) c (FG T ) () = G Vi mi dng suy rng k (G) ta t (FG ) (T ) = (Lx )(T )dx, T Dnk (G) G 2.2.5 Mnh Gi s T l kdũng trờn G Khi ú i) FG T l kdũng bt bin trỏi trờn G; ii) Núi riờng, nu T l kdũng bt bin trỏi trờn G thỡ FG T = T 2.2.6 Mnh Gi s X l trng vộct bt bin trỏi trờn G Khi ú i) ÊX FG = FG ÊX ; ii) LX FG = FG LX ; ú ÊX v LX ln lt l o hm Lie ca dũng v dng suy rng 2.2.7 nh lý Cho dT l (k + 1)dũng bt bin trỏi trờn G, X B(G) Khi ú, ÊX (FG T ) ÊX T v (Lx ) T T u l cỏc dũng úng, vi mi x G Mnh sau suy trc tip t nh lý Stockes v cụng thc kiu Cartan i vi dũng 2.2.8 Mnh Gi s G l nhúm Lie compact cú biờn G khỏc rng, X B(G) v T l (n 1)dũng trờn G Khi ú ÊX (dT ) = G iX dT G S dng nh lý 2.2.7, Mnh 2.1.9 v nh lý Stokes i vi dũng ta thu c mnh sau 2.2.9 Mnh Gi s G l nhúm Lie compact cú biờn G khỏc rng, X B(G) v dT l ndũng bt bin trỏi trờn G Khi ú, ÊX (dT ) = 2.3 Mt s ng dng ca o hm Lie ca dũng nh lý chuyn Reynolds cú nhiu ng dng vt lý nh: C hc lng t, ng lc hc nh lý chuyn Reynolds tng quỏt i vi dng vi phõn trờn a M c cho bi cụng thc sau d dt t = Ft (V ) (t + LX t ) , Ft (V ) ú t l kdng vi phõn ph thuc thi gian trờn a M, Ft l nhúm mt tham s a phng sinh bi trng vộct X v V l a kchiu ca M 13 o hm Lie ca dng vi phõn trờn a M cú vai trũ quan trng nh lý chuyn Reynolds i vi dng vi phõn Nm 2014, Lior Falach v Reuven Segev ó chng minh cụng thc chuyn nh lý chuyn i vi dũng m o hm Lie ÊX T ca dũng úng vai trũ quan trng Mt iu thỳ v l toỏn t chuyn R (t) (T ) chớnh l o hm Lie ÊXt ((t ) T ) ca kdũng (t ) T Gi s B, M l hai a Riemann, vi dimB < dimM v I R l cỏc b chn, [a, b] I Ta ký hiu Emb(B, M ) l hp cỏc phộp nhỳng t B vo M x kh vi m : I Emb(B, M ), t m(t) gi l mt chuyn ng (motion) Anh 2.3.1 nh ngha Chuyn ng m sinh ỏnh x :I ìB M (, x) (, x) = m( )(x) Ta thng ký hiu : B M, x (x) = (, x) = m( )(x) Hin nhiờn, chuyn ng m sinh ỏnh x ng luõn : [a, b] ì B M ca a v b Gi s Km B l compact ca B cho vi bt k x / Km v vi mi t, t I ta cú (t, x) = (t , x) (2.7) Do ú, vi x / Km v t I ta cú t (x) = (2.8) Vi mi t I no ú, ta ký hiu B = t (B) v Km = t (Km ) Vi mi t I, t = m(t) Emb(B, M ), tn ti ỏnh x ngc t : Im(t ) = B B cho t t = idB vi idB l ỏnh x ng nht Xột trng vộct vt : B T M, vt = t t , (2.9) cho vt (x) = 0, vi mi x B \Km Trng vộct vt c m rng mt cỏch t nhiờn n trng vộct Xt : M T M c xỏc nh bi Xt (x) = vt (x), 0, xB, xB (2.10) Do ú, Xt l trng vộct kh vi v trit tiờu trờn M \Km Vỡ vy, X : I ì M T M l trng vộct ph thuc thi gian c nh ngha trờn M (Falach, 2014) Vi s, t I, ta xột ỏnh x Fs,t : M M c xỏc nh bi Fs,t (x) = Do ú s t (x), x B , x, xB (2.11) Fs,t (x) = Xs (Fs,t (x)) , Ft,t (x) = x (2.12) s Vy ỏnh x Fs,t l nhúm mt tham s c sinh bi trng vộct ph thuc thi gian Xt v vi mi s, t I, ta cú s = Fs,t t Bng cỏch s dng nh lý o hm Lie ph thuc thi gian th hai i vi dũng ta chng minh c nh lý chuyn i vi dũng sau õy 14 2.3.2 nh lý (nh lý chuyn i vi dũng) Gi s T Dk (B) l kdũng trờn a B cú giỏ compact v t nk (M ) l (n k)dng ph thuc thi gian c Khi ú d (( ) T ) ( ) = ((t ) T ) (t ) + (ÊXt ((t ) T )) (t ) , (2.13) d =t õy Xt l trng vộct ph thuc thi gian xỏc nh cụng thc (2.10), t l t ỏnh x nh ngha 2.3.1 v s dng ký hiu t = t T cụng thc kiu Cartan v nh lý o hm Lie ph thuc thi gian th nht i vi dũng, ta thu c nh lý sau õy 2.3.3 nh lý Gi s T Dk (B) l kdũng trờn a B cú giỏ compact Khi ú, toỏn t chuyn c xỏc nh bi cụng thc R (t) (T ) = d d ( ) T, (2.14) =t õy Xt l trng vộct ph thuc thi gian xỏc nh cụng thc (2.10) v t l ỏnh x nh ngha 2.3.1 p dng nh lý 2.3.3, ta d dng chng minh c cụng thc ng luõn i vi dũng sau õy 2.3.4 H qu Gi s T Dk (B) l kdũng trờn a B cú giỏ compact Khi ú, cụng thc ng luõn i vi dũng c xỏc nh bi b (b ) T (a ) T = ÊXt ((t ) T ) dt, (2.15) a õy Xt l trng vộct ph thuc thi gian xỏc nh cụng thc (2.10) v t l ỏnh x nh ngha 2.3.1 2.3.5 nh lý Cho P l a nh hng, compact cú biờn pchiu ca a Riemann B Gi s X l trng vộct phỏp dng trờn P , Ft l nhúm mt tham s a phng m rng lờn B sinh bi trng vộct X, l dng th tớch trờn Ft (P ) v TP dũng tớch phõn bc trờn P Khi ú d Vol (Ft (P )) = ÊX TFt (P ) dt () (2.16) c bit, nu t = thỡ cụng thc (2.16) tr thnh (ÊX TP )() = d dt õy s dng ký hiu: Vol (Ft (P )) = t=0 Vol(Ft (P )), (2.17) Ft (P ) 2.3.6 H qu Cho P l a nh hng, compact cú biờn pchiu ca a Riemann B Gi s X l trng vộct phỏp dng trờn P , Ft l nhúm mt tham s a phng m rng lờn B sinh bi trng vộct X v TP dũng tớch phõn bc trờn P Khi ú, nu ÊX TP = thỡ P l a cc tiu 15 2.4 o hm Lie ca dng v dũng song bc Trong mc ny, chỳng tụi nghiờn cu mt s tớnh cht v o hm Lie ca dng v dũng song bc trờn a phc c bit, chỳng tụi tỡm iu kin ca trng vộct X o hm Lie ca dng song bc (p, p) cng l dng song bc (p, p), t ú chỳng tụi nh ngha o hm Lie ca dũng song bc Gi s M c l a phc n-chiu v (U, {z1 , z2 , , zn }), zj = xj + iyj , j = 1, n l h ta a phng trờn m U M c Ký hiu (p,q) (M c , C) l khụng gian cỏc dng vi phõn song bc (p, q) trờn M c Bng cỏch tớnh toỏn trc tip, chỳng tụi thu c cụng thc tớnh o hm Lie ca dng vi phõn song bc (1, 1) sau õy n 2.4.1 nh lý Gi s = jk dzj dz k (1,1) (M c , C) v X = (X1 , X2 , , Xn ) j,k=1 l trng vộct trn trờn M Khi ú n X [jk ] dzj dz k + jk dXj dz k dX k dzj LX = (2.18) j,k=1 T nh lý 2.4.1, ta thu c h qu sau 2.4.2 H qu Gi s X = (X1 , X2 , , Xn ) l trng vộct chnh hỡnh trờn M c v n = jk dzj dz k (1,1) (M c , C) Khi ú, LX (1,1) (M c , C) v LX c j,k=1 xỏc nh bi cụng thc sau n n LX jk dzj d zk + LX = j,k=1 l=1 Xj dzl d zk jk zl n jk l=1 k X d zl dzj zl Trong trng hp X l trng vộct chnh hỡnh trờn M c thỡ o hm Lie ca dng vi phõn song bc (1, 1) cng l dng vi phõn song bc (1, 1) Bõy gi, s dng phng phỏp quy np toỏn hc ta chng minh c o hm Lie ca dng vi phõn song bc (p, p) cng l dng vi phõn song bc (p, p) trng hp X l trng vộct chnh hỡnh trờn M c 2.4.3 nh lý Nu X = (X1 , X2 , , Xn ) l trng vộct chnh hỡnh trờn M c v = JK dzJ dz K (p,p) (M c , C) l dng vi phõn song bc (p, p) trờn M c thỡ |J|=|K|=p LX (p,p) (M c , C) Cỏc vớ d sau õy nhm minh cho nh lý 2.4.3 2.4.4 Vớ d Cho M c = C2 , = z12 dz1 dz , X = (z1 , z2 ) Khi ú LX = 4z12 dz1 dz (1,1) (C2 , C) 2.4.5 Vớ d Cho M c = C2 , = z1 z2 dz2 dz , X = (z , z ) Chỳ ý rng, X khụng dng nh lý 2.4.1, ta d dng tớnh toỏn phi l trng vộct chnh hỡnh trờn C2 Ap 2 c LX = |z1 | + |z2 | dz2 d z2 + z1 z2 d z1 d z2 z1 z2 dz1 dz2 / (1,1) (C2 , C) 16 2.4.6 H qu Gi s X = (X1 , X2 , , Xn ) l trng vộct chnh hỡnh v b chn trờn M c ; = n jk dzj dz k (1,1) (M c , C) l dng vi phõn song bc (1, 1) trờn j,k=1 c M Khi ú n X[jk ]dzj d zk LX = (2.19) j,k=1 2.4.7 Nhn xột Gi s X l trng vộct chnh hỡnh trờn M c i) Nu f O(M c ) thỡ LX f O(M c ); ii) Nu phol (M c ) thỡ LX phol (M c ) 2.4.8 Nhn xột Nu u C (M c , C) thỡ n c LX dd u = 2i j,k=1 (LX u) dzj d zk zj zk (2.20) Sau õy l nh ngha o hm Lie ca dũng song bc x 2.4.9 nh ngha Cho X l trng vộct chnh hỡnh trờn M c Anh ÊX : D(p,p) (M c , C) D(p,p) (M c , C) T ÊX T c gi l o hm Lie ca dũng song bc (p, p) theo trng vộct X, ú ÊX T c xỏc nh bi (ÊX T )() = T (LX ), (np,np) (M c , C) v LX l o hm Lie ca dng song bc (n p, n p) theo trng vộct X Sau õy l vớ d v o hm Lie ca dũng song bc 2.4.10 Vớ d Cho M c = Cn v U l m ca Cn Gi s l (p, p)dng vi phõn song bc trờn U vi cỏc h s kh tớch a phng Khi ú, xỏc nh mt (p, p)dũng T trờn U cho bi , (np,np) (Cn , C) T () = U Do ú, o hm Lie ca (p, p)dũng song bc T theo trng vộct chnh hỡnh X c xỏc nh bi LX , (np,np) (Cn , C) (ÊX T ) () = U 2.4.11 Mnh Gi s T, T D(p,p) (M c , C), F(M c ) v X, Y l cỏc trng vộct chnh hỡnh trờn M c Khi ú i) ÊX (T + T ) = ÊX T + ÊX T ; ii) ÊX+Y T = ÊX T + ÊY T 17 Kt lun chng Trong chng ny, chỳng tụi thu c nhng kt qu sau: Xõy dng cụng thc kiu Cartan i vi dũng v dng suy rng (nh lý 2.1.6, nh lý 2.1.28), t ú chng minh mt s tớnh cht v o hm Lie ca dũng v dng suy rng (Mnh 2.1.7, Mnh 2.1.8, Mnh 2.1.10, Mnh 2.1.29, Mnh 2.1.30) a cụng thc tớnh o hm Lie ca phõn b (nh lý 2.1.15), chng minh s hi t ca dóy o hm Lie theo ngha phõn b (nh lý 2.1.17, nh lý 2.1.19) Phỏt biu nh lý o hm Lie ph thuc thi gian th nht v th hai i vi dũng (nh lý 2.1.12, nh lý 2.1.13) a nh lý 2.2.2, nh lý 2.2.4, nh lý 2.2.7 v Mnh 2.2.9 v o hm Lie ca dũng v dng suy rng bt bin trỏi trờn G Ch ng dng o hm Lie ca dũng trờn a vic chng minh nh lý chuyn i vi dũng (nh lý 2.3.2, nh lý 2.3.3) v chng minh cụng thc ng luõn i vi dũng trờn a (H qu 2.3.4) Mụ t o hm Lie ca dũng tớch phõn trờn a (nh lý 2.3.5) v tỡm iu kin a cc tiu (H qu 2.3.6) a nh lý 2.4.1, H qu 2.4.2, nh lý 2.4.3 khng nh o hm Lie ca dng song bc (p, p) cng l dng song bc (p, p) trng hp X l trng vộct chnh hỡnh a cỏc Vớ d 2.4.4 v Vớ d 2.4.5 nhm minh cho nh lý 2.4.3 Trờn c s ú chỳng tụi xõy dng nh ngha o hm Lie ca dũng song bc (p, p) trờn a phc M c Cỏc kt qu trờn ó c vit thnh cỏc bi: K P Chi, N H Quang and B C Van (2012), The Lie derivative of currents on Lie group, Lobachevskii Journal of Mathematics, 33(1), 10 - 21 Bui Cao Van (2016), On the Lie derivative of forms of bidegre, Bulletin of Mathematical Analysis and Applications (to appear) B C Van (2016), Some note on the Lie derivative of currents of bidegree, Journal of Nonlinear and Convex Analysis, Submitted K P Chi, N H Quang and B C Van (2016), Some properties on the Lie derivative of currents and its applications, Vietnam Journal of Mathematics, Submitted 18 Chng O HM LIE CA LIấN THễNG PHP DNG Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by mt s tớnh cht v o hm Lie ca liờn thụng, vi phõn ngoi liờn kt vi liờn thụng, o hm Lie ca liờn thụng phỏp dng v tenx cong phỏp dng trờn a M ca a Riemann M Bc u chỳng tụi thu c mt s kt qu trng hp M l siờu mt M 3.1 o hm Lie ca liờn thụng v vi phõn ngoi liờn kt Trong mc ny, chỳng tụi trỡnh by mt s tớnh cht v vi phõn ngoi liờn kt d vi liờn thụng tuyn tớnh trờn a Riemann M v mi quan h gia o hm Lie LX v vi phõn ngoi liờn kt d Trc ht, ta nh li kdng vi phõn kh vi trờn M vi giỏ tr trờn B(M ) l kdng tuyn tớnh, phn xng : B(M ) ì B(M ) ì ã ã ã ì B(M ) B(M ) Ta ký hiu khụng gian kdng vi phõn vi giỏ tr trờn B(M ) l k (M, B(M )) 3.1.1 nh lý Gi s k (M, B(M )) v X B(M ) Khi ú LX = d (iX ) + iX (d) (3.1) Cụng thc (3.1) gi l cụng thc kiu Cartan ca dng vi phõn vi giỏ tr trờn B(M ) x 3.1.2 nh ngha Cho X B(M ) v l liờn thụng tuyn tớnh trờn M Anh LX : B(M ) ì B(M ) B(M ) (Y, Z) (LX )(Y, Z) = LX (Y Z) LX Y Z Y (LX Z) c gi l o hm Lie ca liờn thụng tuyn tớnh theo trng vộct X 3.1.3 nh lý Gi s (M, B(M )) v X B(M ) Khi ú LX (d ) d (LX ) (Y, Z) = (LX ) (Y, (Z)) (LX ) (Z, (Y )) , vi mi Y, Z B(M ) 3.1.4 H qu Nu X l trng vộct affine-Killing trờn M thỡ LX giao hoỏn c vi d , ngha l: LX (d ) = d (LX ) , vi mi (M, B(M )) 3.1.5 Mnh Gi s X, Y, Z B(M ); (M, B(M )) Khi ú (LX (Y )) (Z) (Y (LX )) (Z) = (LX Y ) ((Z)) ([[X, Y ] , Z]) 3.1.6 Mnh Gi s l liờn thụng i xng trờn M v X l trng vộct song song trờn M Khi ú X (LX ) = LX (X ) , vi mi k (M, B(M )) 19 3.1.7 Mnh Cho X, Y, Z B(M ) v l liờn thụng i xng trờn M Khi ú (LX ) (Y, Z) = 2Y,Z X + R(X, Y, Z), (3.2) õy 2X,Y Z l o hm hip bin cp hai ca trng vộct Z theo cỏc trng vộct X, Y 3.1.8 Chỳ ý Gi s l liờn thụng i xng trờn M i) Nu X l trng vộct affine-Killing trờn M thỡ ta cú R(X, Y, Z) = 2Z,Y X, vi mi Y, Z B(M ); ii) Nu X l trng vộct song song trờn M thỡ ta cú R(X, Y, Z) = (LX )(Y, Z), vi mi Y, Z B(M ) Gi s D l liờn thụng chớnh tc trờn Rn Tp hp tt c cỏc phộp o hm ca trng vộct trờn khụng gian Rn c ký hiu bi D = {DX |X B(Rn )} Ta cú DX+Y = DX + DY , vi mi X, Y B(Rn ) v DX = DX , vi mi R Nh vy D l mt khụng gian vộct thc Ta t [DX , DY ] = DX DY DY DX , vi mi X, Y B(Rn ) Khi ú, D l i s Lie vi phộp toỏn Lie [DX , DY ] = D[X,Y ] , X, Y B(Rn ) 3.1.9 Nhn xột Nu X l trng vộct song song trờn Rn thỡ ta cú LX DY = D[X,Y ] , vi mi DY D Bõy gi ta xột ỏnh x co th hai CY2 theo trng vộct Y B(M ) ca liờn thụng tuyn tớnh c xỏc nh bi CY2 (X) = X Y, vi mi X, Y B(M ) (3.3) 3.1.10 Mnh Gi s X, Y, Z B(M ) v F(M ) Khi ú i) CY2 (X + Z) = CY2 (X) + CY2 (Z) ; ii) CY2 (X) = CY2 (X) ; iii) CY2 ([X, Z]) = X CY2 (Z) Z CY2 (X) R(X, Y, Z) 3.1.11 Mnh Gi s X, Y, Z B(M ) Khi ú d CY2 (X, Z) = R(X, Z, Y ) d (3.4) c bit, M = Rn v l liờn thụng tuyn tớnh chớnh tc trờn Rn , ta cú CY2 = 3.1.12 nh lý Gi s liờn thụng i xng, X l trng vộct song song trờn M v (M, B(M )) Khi ú X = d (iX ) + iX (d ) (3.5) 20 Gi s : M M l vi phụi v t l nhúm mt tham s sinh bi trng vộct X Khi ú, t tR l nhúm mt tham s sinh bi trng vộct Y = X T ú, suy (s ) X = X, s R 3.1.13 nh lý Gi s k (M, B(M )), X B(M ) v t l nhúm mt tham s sinh bi trng vộct X Khi ú, ta cú X (t ) = t (X ) (3.6) 3.2 o hm Lie ca liờn thụng phỏp dng Trong mc ny, chỳng tụi a nh ngha o hm Lie ca liờn thụng phỏp dng v o hm Lie ca tenx cong phỏp dng trờn a Riemann, t ú nghiờn cu cỏc tớnh cht v o hm Lie ca liờn thụng phỏp dng v ca tenx cong phỏp dng trờn a Riemann M Gi s (M, g) l a n-chiu ca a Riemann m-chiu M , g Ta ký hiu , tng ng l liờn thụng Levi-Civita ca M , M v l liờn thụng phỏp dng Ta thng ký hiu tớch vụ hng , (hoc ã) thay cho mờtric g v g Vi mi p M , khụng gian tip xỳc Tp M c phõn tớch thnh tng trc tip Tp M = Tp M Np M , ú Np M := (Tp M ) l phn bự trc giao ca Tp M khụng gian Tp M , ký hiu N(M ) = Np M Ký hiu B(M ), B(M ) l khụng pM gian cỏc trng vộct kh vi trờn M , M tng ng v N(M ) l khụng gian cỏc trng vộct phỏp dng kh vi trờn M x hN : B(M ) B(M ) c xỏc nh bi 3.2.1 nh ngha Cho N N(M ) Anh hN (X) = X N , X B(M ) c gi l ỏnh x Weingarten x 3.2.2 nh ngha Anh X hN : B(M ) B(M ) Y (X hN )(Y ) = X (hN (Y )) hN (X Y ) c gi l o hm ca ỏnh x Weingarten hN theo mt trng vộct X x 3.2.3 nh ngha Anh h N : B(M ) N(M ) X h N (X) = X N c gi l ỏnh x Weingarten phỏp dng trờn M 3.2.4 Nhn xột Gi s N, K N(M ) Khi ú i) h N (X + Y ) = hN (X) + hN (Y ) , X, Y B(M ); ii) h N (X) = hN (X) , X B(M ), F(M ); iii) h N +K = hN + hK v hN = hN vi mi F(M ) (3.7) 21 x 3.2.5 nh ngha Cho X B(M ) v l liờn thụng phỏp dng trờn M Anh L X : B(M ) ì N(M ) N(M ) (Y, N ) (L X )(Y, N ) = LX (Y N ) [X,Y ] N Y (LX N ) c gi l o hm Lie ca liờn thụng phỏp dng theo trng vộct X, 3.2.6 Mnh Gi s X, Y B(M ) Khi ú L [X,Y ] = LX (LY ) LY (LX ) (3.8) 3.2.7 nh ngha Gi s X B(M ) v R l tenx cong phỏp dng ca a x M Anh L X R : B(M ) ì B(M ) ì N(M ) N(M ) (Y, Z, N ) (L X R )(Y, Z, N ) c gi l o hm Lie ca tenx cong phỏp dng R theo trng vộct X trờn M, ú (L X R )(Y, Z, N ) c xỏc nh bi (L X R )(Y, Z, N ) = LX (R (Y, Z, N )) R (LX Y, Z, N ) R (Y, LX Z, N ) R (Y, Z, L X N ) (3.9) p dng nh ngha o hm Lie ca tenx cong phỏp dng trng hp M l siờu mt ta thu c mnh sau 3.2.8 Mnh Nu M l siờu mt M v N l trng vộct phỏp dng n v trờn M thỡ ta cú (3.10) (L X R )(Y, Z, N ) = R (Y, Z, LX N ), vi mi X, Y, Z B(M ) nh lý sau mụ t cụng thc o hm Lie ca tenx cong phỏp dng R v o hm Lie ca liờn thụng phỏp dng theo trng vộct X trờn a M 3.2.9 nh lý o hm Lie ca tenx cong phỏp dng R v o hm Lie ca liờn thụng phỏp dng theo trng vộct trờn a M tha ng thc sau (L ([Y, Z], N ) + L (Y, X R )(Y, Z, N ) = LX X Z N ) L (Z, (Y, N )) X Y N ) + Y ((LX )(Z, N )) Z ( LX vi mi X, Y, Z B(M ), vi mi N N(M ) x 3.2.10 nh ngha Gi s X B(M ) v N N(M ) Anh L X hN : B(M ) N(M ) Y L X hN (Y ) = LX (hN (Y )) hN ([X, Y ]) c gi l o hm Lie ca ỏnh x Weingarten phỏp dng h N theo trng vộct X 22 3.2.11 Mnh Gi s X B(M ) v N N(M ) Khi ú i) L X hN (Y ) = LX (Y N ) [X,Y ] N, vi mi Y B(M ); ii) L (Y, N ) = L X X hN (Y ) hL N (Y ) , vi mi Y B(M ); X iii) L X Y h N (Z) = L X (h )(Y h N (Z) ) L X Y Z N Y [X,Z] N + Y [X,Z] N, vi mi Y, Z B(M ) 3.2.12 nh lý Gi s X, Y B(M ), N N(M ) Khi ú R(X, Y, N ) = R (X, Y, N ) X hN (Y ) + Y hN (X) hY N (X) + hX N (Y ) Bõy gi, ta xột trng hp M l siờu mt M v N l trng vộct phỏp dng n v trờn M Khi ú, liờn thụng phỏp dng ca siờu mt M l liờn thụng phng Do ú, t nh lý 3.2.12 ta d dng chng minh c h qu sau 3.2.13 H qu Nu M l siờu mt M v N l trng vộct phỏp dng n v trờn M thỡ ta cú R(X, Y, N ) = Y hN (X) X hN (Y ), (3.11) vi mi X, Y B(M ) Mnh sau cho phộp ta tớnh o hm Lie ca tenx cong R trờn M 3.2.14 Mnh Gi s M l siờu mt M v N l trng vộct phỏp dng n v trờn M Khi ú LX R (Y, Z, N ) = LX Z hN (Y ) LX Y hN (Z)+ + [X,Y ] hN (Z) [X,Z] hN (Y ) R(Y, Z, L X N ), vi mi X, Y, Z B(M ) T nh lý 3.2.12 ta thu c nh lý sau 3.2.15 nh lý Gi s X, Y B(M ) v N, K N(M ) Khi ú R(X, Y, N, K) = R (X, Y, N, K) hK X, hN Y + hK Y, hN X (3.12) H qu sau cho phộp ta tớnh tenx cong ca M thụng qua ỏnh x Weingarten trờn siờu mt 3.2.16 H qu Nu M l siờu mt M v N l trng vộct phỏp dng n v trờn M Khi ú R(X, Y, N, K) = hK Y, hN X hK X, hN Y , vi mi X, Y B(M ), K N(M ) (3.13) 23 3.2.17 nh ngha Gi s : B(M ) N(M ) l mt ng cu mụun o hm liờn kt vi ca , ký hiu d v c xỏc nh bi (d ) (X, Y ) = X (Y ) Y (X) ([X, Y ]) , X, Y, Z B(M ) 3.2.18 Mnh Cho : B(M ) N(M ) l mt ng cu mụun Khi ú, ỏnh x d : B(M ) ì B(M ) N(M ) l song tuyn tớnh, phn xng T H qu 3.2.8 ta thu c nhh lý 3.2.19 sau õy 3.2.19 nh lý Gi s M l siờu mt M v N l trng vộct phỏp dng n v trờn M Khi ú L (Y, Z, N ) = d h XR L N (Y, Z) , (3.14) X vi mi X, Y, Z B(M ) Kt lun chng Trong chng ny, chỳng tụi thu c nhng kt qu sau a mt s tớnh cht v o hm Lie ca liờn thụng v vi phõn ngoi liờn kt vi liờn thụng trờn a Riemann (nh lý 3.1.3, Mnh 3.1.7, Mnh 3.1.11, nh lý 3.1.12) a nh lý 3.2.9, H qu 3.2.8, nh lý 3.2.12, H qu 3.2.13, Mnh 3.2.14, nh lý 3.2.15, H qu 3.2.16, t ú nghiờn cu cỏc tớnh cht v o hm Lie ca liờn thụng phỏp dng, o hm Lie ca tenx cong phỏp dng trờn a Riemann v ng dng ca nú trng hp a M l siờu mt Cỏc kt qu ny c ng trờn cỏc bi bỏo: N H Quang and B C Van (2016), Some properties of the Lie derivative and the conjugate derivative d with the connection, Southeast Asian Bulletin of Mathematics (to appear) B C Van and T T K Ha (2015), Some properties on the Lie derivative of linear connections on Rn , East-West Journal of Mathematics, 17(2), 113 - 124 B C Van (2016), The Lie derivative of normal connections, J Nonlinear Sci Appl., 9(2016), 4247 - 4256 24 KT LUN CHUNG V KIN NGH I Kt lun chung Lun ỏn nghiờn cu v o hm Lie ca dũng v dng suy rng, o hm Lie ca phõn b, o hm Lie ca dng v dũng song bc, o hm Lie ca liờn thụng v vi phõn ngoi liờn kt, o hm Lie ca liờn thụng phỏp dng ng thi ng dng cỏc kt qu thu c vo vic chng minh nh lý chuyn, cụng thc ng luõn i vi dũng trờn a v tỡm iu kin a cc tiu Cỏc kt qu chớnh ca lun ỏn l: 1) Thit lp khỏi nim o hm Lie ca dũng v dng suy rng T ú phỏt biu cụng thc kiu Cartan v mt s tớnh cht v o hm Lie ca dũng v dng suy rng a cụng thc tớnh o hm Lie ca phõn b, chng minh s hi t ca dóy o hm Lie theo ngha phõn b Phỏt biu nh lý o hm Lie ph thuc thi gian th nht v th hai i vi dũng 2) a mt s tớnh cht v o hm Lie ca dũng v dng suy rng trờn nhúm Lie compact 3) Ch ng dng ca o hm Lie ca dũng trờn a vic chng minh nh lý chuyn, cụng thc ng luõn i vi dũng trờn a v tỡm iu kin a cc tiu 4) a cỏc nh lý khng nh o hm Lie ca dng vi phõn song bc (p, p) cng l dng vi phõn song bc (p, p) trng hp X l trng vộct chnh hỡnh 5) Phỏt biu mt s tớnh cht v o hm Lie ca liờn thụng v vi phõn ngoi liờn kt vi liờn thụng trờn a Riemann 6) Thit lp v phỏt biu mt s tớnh cht v o hm Lie ca liờn thụng phỏp dng, o hm Lie ca tenx cong phỏp dng trờn a Riemann II Kin ngh Trong thi gian ti chỳng tụi mong mun tip tc nghiờn cu cỏc sau: 1) Nghiờn cu o hm Lie ca dũng dng, o hm Lie ca hm a iu hũa di v ng dng vo lý thuyt a th v 2) Nghiờn cu o hm Lie trờn siờu mt khụng gian x nh phc 3) Nghiờn cu o hm Lie trờn i s Banach v trờn gi i s Lie 25 DANH MC CễNG TRèNH CA NGHIấN CU SINH LIấN QUAN TRC TIP N LUN N K P Chi, N H Quang and B C Van (2012), The Lie derivative of currents on Lie group, Lobachevskii Journal of Mathematics, 33(1), 10 - 21 B C Van and T T K Ha (2015), Some properties on the Lie derivative of linear connections on Rn , East-West Journal of Mathematics, 17(2), 113 - 124 B C Van (2016), The Lie derivative of normal connections, J Nonlinear Sci Appl., 9(2016), 4247 - 4256 (SCIE) B C Van and N H Quang (2016), Some properties of the Lie derivative and the conjugate derivative d with the connection, Southeast Asian Bulletin of Mathematics (to appear) Bui Cao Van (2016), On the Lie derivative of forms of bidegre, Bulletin of Mathematical Analysis and Applications, to appear (ESCI) B C Van (2016), Some note on the Lie derivative of currents of bidegree, Journal of Nonlinear and Convex Analysis, Submitted K P Chi, N H Quang and B C Van (2016), Some properties on the Lie derivative of currents and its applications, Vietnam Journal of Mathematics, Submitted Cỏc kt qu ni dung ca lun ỏn cng ó c bỏo cỏo ti: Seminar ca T Hỡnh hc thuc Khoa S phm Toỏn, Trng i hc Vinh Cỏc Hi ngh NCS ca Trng i hc Vinh (2012 - 2016) Hi ngh i s - Hỡnh hc - Tụpụ, Thỏi Nguyờn, 3-5/11/2011 Hi ngh Toỏn hc Min Trung - Tõy Nguyờn ln th nht, Quy Nhn, 12-14/8/2015 [...]... (2016), The Lie derivative of normal connections, J Nonlinear Sci Appl., 9(2016), 4247 - 4256 24 KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ I Kết luận chung Luận án nghiên cứu về đạo hàm Lie của dòng và dạng suy rộng, đạo hàm Lie của phân bố, đạo hàm Lie của dạng và dòng song bậc, đạo hàm Lie của liên thông và vi phân ngoài liên kết, đạo hàm Lie của liên thông pháp dạng Đồng thời ứng dụng các kết quả thu được vào việc... tính chất về đạo hàm Lie của liên thông và vi phân ngoài liên kết với liên thông trên đa tạp Riemann 6) Thiết lập và phát biểu một số tính chất về đạo hàm Lie của liên thông pháp dạng, đạo hàm Lie của tenxơ cong pháp dạng trên đa tạp con Riemann II Kiến nghị Trong thời gian tới chúng tôi mong muốn tiếp tục nghiên cứu các vấn đề sau: 1) Nghiên cứu đạo hàm Lie của dòng dương, đạo hàm Lie của hàm đa điều... đối với dòng trên đa tạp và tìm điều kiện để đa tạp con cực tiểu Các kết quả chính của luận án là: 1) Thiết lập khái niệm đạo hàm Lie của dòng và dạng suy rộng Từ đó phát biểu công thức kiểu Cartan và một số tính chất về đạo hàm Lie của dòng và dạng suy rộng Đưa ra công thức tính đạo hàm Lie của phân bố, chứng minh sự hội tụ của dãy đạo hàm Lie theo nghĩa phân bố Phát biểu định lý đạo hàm Lie phụ thuộc... Ωk (M, B(M )), X ∈ B(M ) và ϕt là nhóm một tham số sinh bởi trường véctơ X Khi đó, ta có ∇X (ϕ∗t ω) = ϕ∗t (∇X ω) (3.6) 3.2 Đạo hàm Lie của liên thông pháp dạng Trong mục này, chúng tôi đưa ra định nghĩa đạo hàm Lie của liên thông pháp dạng và đạo hàm Lie của tenxơ cong pháp dạng trên đa tạp con Riemann, từ đó nghiên cứu các tính chất về đạo hàm Lie của liên thông pháp dạng và của tenxơ cong pháp dạng... kết với liên thông, đạo hàm Lie của liên thông pháp dạng và tenxơ cong pháp dạng trên đa tạp con M của đa tạp Riemann M Bước đầu chúng tôi thu được một số kết quả trong trường hợp M là siêu mặt trong M 3.1 Đạo hàm Lie của liên thông và vi phân ngoài liên kết Trong mục này, chúng tôi trình bày một số tính chất về vi phân ngoài liên kết d∇ với liên thông tuyến tính ∇ trên đa tạp Riemann M và mối quan... phụ thuộc thời gian thứ nhất và thứ hai đối với dòng 2) Đưa ra một số tính chất về đạo hàm Lie của dòng và dạng suy rộng trên nhóm Lie compact 3) Chỉ ra ứng dụng của đạo hàm Lie của dòng trên đa tạp trong việc chứng minh định lý vận chuyển, công thức đồng luân đối với dòng trên đa tạp và tìm điều kiện để đa tạp con cực tiểu 4) Đưa ra các định lý để khẳng định đạo hàm Lie của dạng vi phân song bậc (p,... 2.1.30) Đưa ra công thức tính đạo hàm Lie của phân bố (Định lý 2.1.15), chứng minh sự hội tụ của dãy đạo hàm Lie theo nghĩa phân bố (Định lý 2.1.17, Định lý 2.1.19) Phát biểu Định lý đạo hàm Lie phụ thuộc thời gian thứ nhất và thứ hai đối với dòng (Định lý 2.1.12, Định lý 2.1.13) • Đưa ra Định lý 2.2.2, Định lý 2.2.4, Định lý 2.2.7 và Mệnh đề 2.2.9 về đạo hàm Lie của dòng và dạng suy rộng bất biến trái... T ) ∧ ω + T ∧ (LX ω) 2.2 Đạo hàm Lie của dòng trên nhóm Lie Trong mục này, chúng tôi trình bày một số tính chất về đạo hàm Lie của dòng và dạng suy rộng trên nhóm Lie n−chiều G 2.2.1 Bổ đề Giả sử X là trường véctơ bất biến trái trên G Khi đó i) iX ◦ L∗a = L∗a ◦ iX ; ii) LX ◦ L∗a = L∗a ◦ LX ; trong đó LX là đạo hàm Lie của dạng vi phân theo trường véctơ X và iX là tích trong của trường véctơ X đối với... hàm Lie của liên thông và vi phân ngoài liên kết với liên thông trên đa tạp Riemann (Định lý 3.1.3, Mệnh đề 3.1.7, Mệnh đề 3.1.11, Định lý 3.1.12) • Đưa ra Định lý 3.2.9, Hệ quả 3.2.8, Định lý 3.2.12, Hệ quả 3.2.13, Mệnh đề 3.2.14, Định lý 3.2.15, Hệ quả 3.2.16, từ đó nghiên cứu các tính chất về đạo hàm Lie của liên thông pháp dạng, đạo hàm Lie của tenxơ cong pháp dạng trên đa tạp con Riemann và ứng... dụng đạo hàm Lie của dòng trên đa tạp trong việc chứng minh Định lý vận chuyển đối với dòng (Định lý 2.3.2, Định lý 2.3.3) và chứng minh công thức đồng luân đối với dòng trên đa tạp (Hệ quả 2.3.4) Mô tả đạo hàm Lie của dòng tích phân trên đa tạp con (Định lý 2.3.5) và tìm điều kiện để đa tạp con cực tiểu (Hệ quả 2.3.6) • Đưa ra Định lý 2.4.1, Hệ quả 2.4.2, Định lý 2.4.3 để khẳng định đạo hàm Lie của ... nghiên cứu luận án đạo hàm Lie dòng dạng suy rộng, đạo hàm Lie liên thông đa tạp Riemann Phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu tính chất đạo hàm Lie dòng, đạo hàm Lie phân bố, đạo hàm Lie dạng... Mục đích luận án nghiên cứu đạo hàm Lie đa tạp như: Đạo hàm Lie dòng dạng suy rộng, đạo hàm Lie dạng dòng song bậc, vi phân liên kết với liên thông, đạo hàm Lie liên thông nhằm bổ sung số tính... 3.2 Đạo hàm Lie liên thông pháp dạng Trong mục này, đưa định nghĩa đạo hàm Lie liên thông pháp dạng đạo hàm Lie tenxơ cong pháp dạng đa tạp Riemann, từ nghiên cứu tính chất đạo hàm Lie liên thông