Phßng gi¸o dôc b×nh giang Kinh nghiÖm mét sè ph¬ng ph¸p t×m cùc trÞ M«n: To¸n Líp : 8, 9 ---------------- N¨m 2006 – 2007 Phòng giáo dục & Đào tạo Bình giang trờng t.h.c.s Hồng khê --------------------------- Kinh nghiệm một số phơng pháp tìm cực trị Môn: Toán Lớp : 8, 9 ---------------- Chủ biên : Nguyễn Văn Định đánh giá của nhà trờng (Nhận xét, xếp loại) Số phách Kinh nghiệm một số phơng pháp tìm cực trị Môn: Toán Lớp: 8, 9 ---------------- đánh giá của phòng giáo dục & đào tạo (Nhận xét, xếp loại) Tên tác giả : Đơn vị : Số phách phần I : đặt vấn đề I. cơ sở lý thuyết. Trong giảng dạy bộ môn toán, việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, biết cách khai thác kiến thức, áp dụng kiến thức giải đợc nhiều loại toán, nhiều dạng bài tập là hết sức quan trọng, bởi đó là một phơng tiện tốt giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển t duy hình thành kĩ năng kĩ xảo trong quá trình giải toán. Môn toán có nhiều dạng bài tập, trong đó dạng toán tìm cực trị (giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất) là những bài toán đi tìm cái lớn nhất, nhỏ nhất, rẻ nhất, đắt nhất, ngắn nhất, dài nhất . Qua những bài toán dẫn dắt học sinh có thói quen đi tìm một giải pháp tối u cho một công việc cụ thể trong cuộc sống thực tế. Điều đó cho thấy rằng toán cực trị là loại toán rất gần gũi với thực tế và có nhiều ứng dụng trong thực tế hàng ngày. Nó giúp học sinh rèn luyện nếp nghĩ khoa học, luôn mong muốn làm những công việc đạt hiệu quả cao nhất, tốt nhất. Vì vậy, nó góp phần không nhỏ vào việc phát triển trí tuệ, thúc đẩy niềm say mê học toán cho học sinh, đặc biệt là các em học sinh khá giỏi. Toán cực trị đợc đề cập nhiều trong các loại sách tham khảo, do vậy giáo viên rất khó khăn trong việc su tầm và tuyển chọn, và một vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để học sinh nắm đ ợc phơng pháp, t duy suy luận một cách có lô gíc khi giải toán cực trị ? Để góp phần vào việc giải quyết các vấn đề trên, bản thân là giáo viên thờng xuyên giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi môn toán lớp 8 và lớp 9, tôi mạnh dạn su tầm, tuyển chọn một số dạng bài toán cực trị và một số phơng pháp giải áp dụng cho từng dạng, hy vọng đem lại một phần thuận lợi cho giáo viên khi thực hiện chuyên đề này trong quá trình giảng dạy cho học sinh cấp trung học cơ sở nói chung và bồi dỡng học sinh giỏi lớp 8, lớp 9 nói riêng. II. những yêu cầu cần thiết. 1. Đối với giáo viên. - Su tầm tài liệu, đọc, nghiên cứu để hệ thống hoá kiến thức, hệ thống các dạng bài tập về cực trị. - Tìm hiểu sâu về các bài toán cực trị trong nội dung chơng trình toán ở bậc trung học cơ sở. - Xây dựng đợc cơ sở lý thuyết để giải các bài toán cực trị. - Tuyển chọn, phân loại đợc các dạng bài tập cơ bản và nêu lên các ph- ơng pháp chính giải từng dạng bài tập cực trị. - Dự đoán đợc một số sai sót của học sinh có thể mắc phải và nêu đợc những điểm cần chú ý khi giải các bài toán cực trị. 2. Đối với học sinh. - Hiểu đợc bản chất của khái niệm cực trị và nắm đợc các bớc giải của bài toán cực trị. - Có kĩ năng nhận dạng đợc từng loại toán cực trị, vận dụng linh hoạt và sáng tạo các phơng pháp giải toán cực trị vào từng bài tập cụ thể từ đơn giản đến phức tạp. - Thấy đợc những ứng dụng của toán cực trị trong thực tế. Phần II : Nội dung A. Một số dạng toán cực trị trong đại số. I. Định nghĩa và chú ý. 1. Cho biểu thức f(x). - Giá trị M đợc gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f(x) nếu thoả mãn hai điều kiện : + Với mọi x để f(x) xác định thì f(x) M (M là hằng số) (1) + Tồn tại x 0 sao cho f(x 0 ) = M (2) - Giá trị m đợc gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x) nếu thoả mãn hai điều kiện : + Với mọi x để f(x) xác định thì f(x) m (m là hằng số) (1) + Tồn tại x 0 sao cho f(x 0 ) = m (2) 2. Kí hiệu : GTLN của hàm f là M = max f(x) GTLN của hàm f là m = min f(x) 3. Tổng quát chung : Đối với biểu thức chứa nhiều biến ta cũng có định nghĩa tơng tự. 4. Các bớc tìm cực trị : Từ các định nghĩa trên, thông thờng, để tìm GTLN hoặc GTNN ta tiến hành theo 3 bớc nh sau : - Bớc 1 : Xác lập bất đẳng thức dạng : f(x) M hoặc f(x) m với M, m là các hằng số. - Bớc 2 : Xét xem dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? - Bớc 3 : Kết luận max hoặc min theo yêu cầu. 5. Chú ý : Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1) thì cha thể nói gì về cực trị của một biểu thức. Chẳng hạn, xét biểu thức (x 1) 2 + (x 3) 2 . Mặc dù ta có A 0, nhng cha thể kết luận đợc minA, vì không tồn tại giá trị nào của x để A = 0. II. Các kiến thức thờng dùng. 1. x 2 0 x Dấu = xảy ra x = 0 Mở rộng : [f(x)] 2n 0 , x R , n Z. Khi đó ta có [f(x)] 2n + M M ; -[f (x)] 2n + m m. Dấu = xảy ra f(x) = 0 2. a/ x 0 Dấu = xảy ra x = 0 b/ x + y x + y Dấu = xảy ra x, y cùng dấu c/ x - y x - y Dấu = xảy ra x, y cùng dấu vàx >y 3. a/ a 2 + b 2 2ab , a, b. Dấu = xảy ra a = b b/ 2 a b b a + a > 0, b > 0. Dấu = xảy ra a = b 4. Bất đẳng thức Cô-si a/ Cho 2 số không âm a và b ta có : ab 2 ba + . Dấu = xảy ra a = b b/ Cho 3 số không âm a, b và c, ta có : 3 abc 3 cba ++ . Dấu = xảy ra a = b = c. c/ Tổng quát : Cho n số không âm a 1 , a 2 , . , a n , ta có : n a .aa n21 +++ n n21 a a.a . Dấu = xảy ra a 1 = a 2 = .= a n 5. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki a/ Cho hai cặp số a, b và x, y ta có : (ax + by) 2 (a 2 + b 2 ) (x 2 + y 2 ). Dấu = xảy ra ay = bx b/ Tổng quát : Cho 2n số a 1 , a 2 , , a n , b 1 , b 2 , , b n , ta có : (a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n ) 2 ( a 1 2 + a 2 2 + + a n 2 ) ( b 1 2 + b 2 2 + . b n 2 ) Dấu = xảy ra n n 2 2 1 1 b a b a b a == III. Một số phơng pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 1. Phơng pháp nhóm so sánh. Để tiến hành giải bài toán tìm GTLN, GTNN ta có thể dùng các phép biến đổi đại số để nhóm các số hạng và đa bất đẳng thức ban đầu về các dạng sau : p = A 2 + k k, p = -B 2 + l l, p = A 2 + B 2 + m m, p = A.B 2 + n n với A 0, p = A.B k.l với A k > 0, B l > 0. Tất nhiên là dấu đẳng thức phải xảy ra trong miền xác định của các biến số. Ngoài ra, đôi khi ta sử dụng các tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số. Chẳng hạn : M N, a > 1 a M a N ; M N, 0 < a < 1 a M a N ; A B > 0, > 0 A B ; A B > 0, < 0 A B . Lu ý rằng nếu ta sử dụng nhiều bất đẳng thức so sánh thì dấu = xảy ra phải mang tính đồng thời ở các đẳng thức đó. Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức : 1/ A = x 4 + 4x 2 3; 2/ B = x 4 + 2x 3 + 3x 2 + 2x + 1; 3/ C = (x 1) 2 + (x 2 1) 4 + (x 3 1) 6 . Giải : 1/ Vì x 4 , x 2 0 nên A 0 + 0 3 A -3. Dấu = xảy ra x = 0 Vậy minA = -3 khi x = 0 Cách khác : Ta có A = x 2 (x 2 + 4) 3 3. Dấu = xảy ra x 2 (x 2 + 4) = 0 x = 0 Vậy minA = -3 khi x = 0 2/ Ta có B = (x 2 + x + 1) 2 = 16 9 4 3 2 1 x 2 2 + + Vì 4 3 4 3 2 1 x 2 + + , dấu = xảy ra khi x = 2 1 . Nên minB = 16 9 x = 2 1 . 3/ Dễ thấy C 0. Dấu = xảy ra (x1) 2 = (x 2 1) 4 = (x 3 1) 6 = 0 x = 1 Vậy minC = 0, khi x = 1. Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = - x 2 + 2x + 6 Giải : Ta có B = - x 2 + 2x + 6 = -(x 2 2x) + 6 = -( x 1) 2 + 7 Vì -( x 1) 2 0 , x -( x 1) 2 + 7 7. Dấu = xảy ra khi x = 1 Vậy max B = 7 x = 1 2. Phơng pháp dùng bất đẳng thức. Cũng giống nh khi sử dụng các bất đẳng thức khác, có khi ta phải tiến hành việc tách, nhóm, thêm, bớt, chia nhân các số hạng để đa về dạng có thể áp dụng trực tiếp. Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức : 1/ A = x 2 x1 ; 2/ B = x 1x ; 3/ C = xyz 3zxy2yzx1xyz ++ . Giải : 1/ Điều kiện 0 x 1. áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm ta đợc : A = x ( ) 2 1 2 x1x x1xx1 22 222 = + = Dấu = xảy ra x 2 = 1 x 2 x 2 = 2 1 x = 2 1 . Vậy max A = 2 1 2/ Điều kiện x 1, ta có B = ( ) 2 1 x 2 1x1 x 1x1 x 1x = + = Dấu = xảy ra 1 = x 1 x =2. Vậy max B = 2 1 3/ Điều kiện x 1, y 2, z 3, ta có : C = z 3z y 2y x 1x + + = z )3z(3 . 3 1 y )2y(2 . 2 1 x )1x(1 + + z2 3z3 . 3 1 y2 2y2 . 2 1 x2 1x1 + + + + + = 32 1 22 1 2 1 ++ Dấu = xảy ra 1 = x 1 ; 2 = y 2 ; 3 = z 3 x = 2, y = 4, z = 6. Vậy max C = ++ 3 1 2 1 1 2 1 x = 2, y = 4, z = 6 IV. Những dạng toán thờng gặp. Dạng 1 : Cực trị của đa thức dạng tam thức bậc hai. 1. Kiến thức cần thiết. Giả sử cho đa thức f(x) xác định trên R. Sử dụng phơng pháp nhóm so sánh Đa f(x) về dạng : f(x) = k [ ] 2 )x(g (k là hằng số) a/ Nếu f(x) = k + [ ] 2 )x(g thì min f(x) = k g(x) = 0 b/ Nếu f(x) = k [ ] 2 )x(g thì max f(x) = k g(x) = 0 Hoặc có thể sử dụng phơng pháp dùng bất đẳng thức. 2. Một số ví dụ. Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x 2 x + 1 Giải : Ta có A = x 2 x + 1 = x 2 2x. 2 1 + 4 1 + 4 3 = 2 2 1 x + 4 3 Vì 2 2 1 x 0 x nên 2 2 1 x + 4 3 4 3 Dấu = xảy ra 0 2 1 x = 2 1 x = Vậy min A = 2 1 x = 2 1 Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = - x 2 + 4x + 5 Giải : Ta có B = -x 2 + 4x + 5 = 9 (x 2) 2 Vì - (x - 2 ) 2 0 x nên 9 (x - 2 ) 9 Dấu = xảy ra x 2 = 0 x = 2 Vậy max B = 9 x = 2 Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : D = (x + 1) 2 + (x + 3) 2 Giải : Ta có D = 2(x + 2 ) 2 + 2 2 x Vì: 2(x + 2 ) 2 0 x 2(x + 2 ) 2 + 2 2. Dấu "=" xảy ra x = -2. Vậy min D = 2 x = -2 3. Một số nhận xét. a/ Cho tam thức bậc hai : P = ax 2 + bx + c (a 0) Ta có P = ax 2 +bx + c = a(x 2 + a b x) + c (do a 0) = a (x + a2 b ) 2 + c - a4 b 2 = a (x + a2 b ) 2 + a4 bac4 2 Đặt a4 bac4 2 = k Do (x + a2 b ) 2 0 nên - Nếu a > 0 thì a.(x + a2 b ) 2 0 do đó P k [...]... thì ta đa đợc về dạng hàm cha dấu giá trị tuyệt đối - Có trờng hợp ta không thể tìm trực tiếp cực trị của một biểu thức mà đi tìm cực trị của bình phơng biểu thức đó cần lu ý biểu thức đó phải dơng 4 Một số bài tập 1) Tìm GTLN C = x 1 + 5 x và D = 2x 1 + 5 3x 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của E = 22 + 4x x 2 - 3 + 2x x 2 Dạng 5 : Cực trị có điều kiện Loại toán cực trị có điều kiện rất đa dạng và phong... các số không âm và : xy + yz + xz =1 Tìm giá trị bé nhất của biểu thức : A = x2 + y2 + z2 2) Cho x, y là 2 số thoả mãn đẳng thức : 2x 2 + 1 y2 + =4 x2 4 Tìm giá trị của x , y để tích xy đạt giá trị bé nhất x + a + b + c = 1 3) Cho a , b , c , x thoả mãn hệ phơng trình : 2 2 2 2 x + a + b + c = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x V sáng tạo bài toán cực trị Trong quá trình giảng dạy, việc... bài toán tìm cực trị của phân thức về bài toán tìm cực trị của đa thức 2 Một số ví dụ 7x 8 Ví dụ 7 : Tìm x N để 2x 3 đạt giá trị lớn nhất Giải : Đặt A = 7x 8 2x 3 2A = 14 x 16 2x 3 = 7(2 x 3) + 5 5 =7+ 2x 3 2x 3 Nhận thấy A lớn nhất 2A lớn nhất 5 2x 3 lớn nhất 2x 3 là số dơng nhỏ nhất Mà x N nên 2x 3 dơng nhỏ nhất bằng 1 x = 2 Vậy max(2A) = 12 maxA = 6 x = 2 7 x Ví dụ 8 : Tìm x Z... a > 0 : Parabol quay bề lõm lên phía trên hàm số có cực tiểu + Khi a < 0: Parapol quay bề lõm xuống dới hàm số có cực đại - Từ đó ta đi đến kết luận : Mỗi tam thức bậc hai đều có một cực trị (hoặc giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất) 4 Một số bài tập Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các biểu thức sau : a/ -3x2 + 2x 45 b/ 5x2 8x 1 Dạng 2 : Cực trị của hàm đa thức nhiều biến 1 Kiến thức cần thiết... đợc bài toán về dạng của ví dụ 5 4 Một số bài tập 4.1 Tìm giá trị của x ; y để các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất : a/ -x2 + 2xy 4y2 + 2x + 10y + 5 b/ -5x2 5y2 + 8x 6y 1 4.2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : x2 + 2y2 2xy 4y + 5 4.3 Tìm cặp (x ; y) để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất : x2 + 26y2 10xy + 14 76y + 56 Dạng 3 : Cực trị của hàm phân thức đại số 1 Kiến thức cần thiết + Để... = 2 là nghiệm của phơng trình VI một số sai sót thờng gặp khi giải bài toán cực trị Trong quá trình giải toán tìm cực trị đại số, học sinh thờng mắc sai lầm ở một số trờng hợp sau : Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của D = (x + 1)2 + (x + 3)2 Học sinh có thể mắc sai lầm ở chỗ là : Vội vàng kết luận : (x + 1)2 0, (x + 3)2 0 D 0 Từ đó min D = 0 Điều này không thể xảy ra, vì không tồn tại giá trị của... trình (1) ta đợc : Nghiệm x = 1 min A = x y +2 2 (*) 2; y = -1 (1) 2 =3 x y Lời giải bài toán trên là sai bởi vì biến đổi đến (*) : B 2 + đã vội vàng 2 x y kết luận cực trị, trong khi đó 2 + không phải là hằng số mà còn phụ 2 thuộc vào biến x, y B Một số dạng toán cực trị trong hình học I Những kiến thức cơ bản 1 Lý thuyết chung  Toán cực trị trong hình học phẳng là dạng toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN)... Chẳng hạn ở ví dụ 8, ta đã đa bài toán cực trị diện tích về bài toán cực trị đoạn thẳng Ngoài việc sử dụng các bất đẳng thức Cô-si hay Bu-nhi-a-kôp-xki, giáo viên cần phải hớng dẫn học sinh sử dụng một số bất đẳng thức phụ khác trong quá trình thực hiện ở một số bài toán cụ thể nh đã trình bày ở dạng IV III sáng tạo bài toán cực trị  Cũng nh sự sáng tạo bài toán cực trị đại số, việc khai thác kiến thức,... trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một đại lợng hình học biến thiên y (độ dài của một đoạn thẳng, tổng độ dài của hai hay nhiều đoạn thẳng, chu vi của một hình, diện tích của một hình ) sao cho : y1 y y2 trong đó y1, y2 là các giá trị cố định không đổi của y Để giải bài toán cực trị hình học thông thờng ta tiến hành theo hai bớc : - Tìm đợc các giá trị cố định y1, y2 thoả mãn :... đợc định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số hay 1 biểu thức và linh hoạt vận dụng các tính chất của trị tuyệt đối trong quá trình giải - Các ví dụ 13, 14 trong phần lời giải của cách 2 và các ví dụ 15, 16 ta đã sử dụng tính chất : "Hai số đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, từ đó vận dụng bất đẳng thức 1b để tìm ra lời giải bài toán một cách nhanh chóng - Với một bài toán cực trị có thể tồn tại . thể đa bài toán tìm cực trị của phân thức về bài toán tìm cực trị của đa thức. 2. Một số ví dụ. Ví dụ 7 : Tìm x N để 3x2 8x7 đạt giá trị lớn nhất. Giải. đợc về dạng hàm cha dấu giá trị tuyệt đối. - Có trờng hợp ta không thể tìm trực tiếp cực trị của một biểu thức mà đi tìm cực trị của bình phơng biểu thức