PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2016 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 / 21 NỘI DUNG PHÉP BIẾN ĐỔI L APLACE NGƯỢC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI L APLACE NGƯỢC BÀI TẬP TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 / 21 Phép biến đổi Laplace ngược Định nghĩa ĐỊNH NGHĨA 1.1 Nếu phép biến đổi Laplace L{f (t)} = F(s) f (t) gọi biến đổi Laplace ngược F(s) ta viết f (t) = L−1 {F(s)} VÍ DỤ 1.1 Ta có L{e−3t } = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 1 nên L−1 = e−3t s+3 s+3 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 / 21 Tính chất phép biến đổi Laplace ngược Tuyến tính ĐỊNH LÝ 2.1 Nếu f1(t) f2(t) biến đổi Laplace ngược F1(s) F2(s), c1, c2 số L−1{c1F1(s) + c2F2(s)} = c1f1(t) + c2f2(t) (1) VÍ DỤ 2.1 Tính L−1 3s − + s − s + 16 s + Đáp số 4e2t − cos 4t + 5/2 · sin 2t TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 / 21 Tính chất phép biến đổi Laplace ngược Tính chất dời thứ (dời theo s) ĐỊNH LÝ 2.2 Nếu L{f (t)} = F(s) L−1{F(s + a)} = e−at f (t) (2) L−1{F(s)} = e−at L−1{F(s − a)} (3) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 / 21 Tính chất phép biến đổi Laplace ngược Tính chất dời thứ (dời theo s) VÍ DỤ 2.2 Tính s2 − 2s + Đáp số et sin 2t 6s − L−1 s − 4s + 20 Đáp số e2t (6 cos 4t + sin 4t) L−1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 / 21 Tính chất phép biến đổi Laplace ngược Tính chất dời thứ (dời theo t) ĐỊNH LÝ 2.3 Nếu L{f (t)} = F(s) L−1{e−as F(s)} = f (t − a)u(t − a) (4) VÍ DỤ 2.3 π e−πs/3 π Đáp số sin(t − )u(t − ) Tìm L 3 s2 + −s −2s ) −1 2(e − e Tìm L Đáp số 2[e−(t−1) − (s + 1)(s + 2) −2(t−1) e ]u(t − 1) − 2[e−(t−2) − e−2(t−2) ]u(t − 2) −1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 / 21 Tính chất phép biến đổi Laplace ngược Tính chất đổi thang đo ĐỊNH LÝ 2.4 Nếu L{f (t)} = F(s) a L−1{F(as)} = · f t , (a > 0) a (5) VÍ DỤ 2.4 2s 4s2 + 16 Đáp số cos 2t Tìm L−1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 / 21 Tính chất phép biến đổi Laplace ngược Biến đổi Laplace ngược đạo hàm ĐỊNH LÝ 2.5 Nếu L{f (t)} = F(s) L−1{F (n)(s)} = (−1)nt nL−1{F(s)} (6) hay −1 L {F(s)} = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) L−1{F (n)(s)} (7) (−1)n t n PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 / 21 Tính chất phép biến đổi Laplace ngược Biến đổi Laplace ngược đạo hàm VÍ DỤ 2.5 sinh t s+1 Đáp số t s−1 2[u(t) − cos t] ln + Đáp số s t L−1 ln L−1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 10 / 21 Tính chất phép biến đổi Laplace ngược Biến đổi Laplace ngược tích phân ĐỊNH LÝ 2.6 Nếu L{f (t)} = F(s) L−1    ∞ F(x)dx   =  s f (t) t (8) hay −1 L {F(s)} = t L TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ∞ −1 F(x)dx (9) s PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 11 / 21 Tính chất phép biến đổi Laplace ngược Biến đổi Laplace ngược tích phân VÍ DỤ 2.6 Tìm L−1 s Đáp số t sinh t (s2 − 1)2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 12 / 21 Tính chất phép biến đổi Laplace ngược Nhân cho sn ĐỊNH LÝ 2.7 Nếu F(0) = L{f (t)} = F(s) L−1{sF(s)} = f (t) = d −1 L {F(s)} dt (10) hay L−1{G(s)} = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) d −1 G(s) L dt s PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC (11) TP HCM — 2016 13 / 21 Tính chất phép biến đổi Laplace ngược Nhân cho sn ĐỊNH LÝ 2.8 Nếu f (0) = f (0) = = f (n−1)(0) −1 n L {s F(s)} = f (n) dn −1 (t) = n L {F(s)} dt (12) hay dn −1 G(s) L {G(s)} = n L dt sn −1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC (13) TP HCM — 2016 14 / 21 Tính chất phép biến đổi Laplace ngược Nhân cho sn VÍ DỤ 2.7 Tìm L−1 s Đáp số cos 2t s2 + TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 15 / 21 Tính chất phép biến đổi Laplace ngược Chia cho sn ĐỊNH LÝ 2.9 Nếu L{f (t)} = F(s) L−1 F(s) = s t f (x)dx (14) L−1{sG(s)}dx (15) hay t −1 L {G(s)} = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 16 / 21 Tính chất phép biến đổi Laplace ngược Chia cho sn VÍ DỤ 2.8 Tìm L−1 Tìm L−1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) − cos 2t Đáp số s(s2 + 4) t2 Đáp số + cos t − s3 (s2 + 1) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 17 / 21 Tính chất phép biến đổi Laplace ngược Tích chập ĐỊNH LÝ 2.10 Nếu L−1{F(s)} = f (t) L−1{G(s)} = g(t) t −1 f (x)g(t − x)dx L {F(s)G(s)} = (16) VÍ DỤ 2.9 Tìm L−1 Đáp số e2t − et (s − 1)(s − 2) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 18 / 21 Bài tập GHW #6 BÀI TẬP 3.1 Tìm biến đổi Laplace ngược hàm sau 3s − 12 s2 + 2s − s2 − s5 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) s (s + 1)5 3s + 4s2 + 12s + PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 19 / 21 Bài tập GHW #6 BÀI TẬP 3.2 Tìm biến đổi Laplace ngược hàm sau e−2s s2 s+2 ln s+1 s(s + 1)3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) (s − 1)5 (s + 2) (s + 1)(s2 + 1) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 20 / 21 Bài tập CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý THEO DÕI TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 21 / 21 [...]... biến đổi Laplace ngược Biến đổi Laplace ngược của tích phân ĐỊNH LÝ 2.6 Nếu L{f (t)} = F(s) thì L−1    ∞ F(x)dx   =  s f (t) t (8) hay −1 L {F(s)} = t L TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ∞ −1 F(x)dx (9) s PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 11 / 21 Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược Biến đổi Laplace ngược của tích phân VÍ DỤ 2.6 Tìm L−1 1 s Đáp số t sinh t 2 (s2 − 1)2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM)... {F(s)} dt (12) hay dn −1 G(s) L {G(s)} = n L dt sn −1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC (13) TP HCM — 2016 14 / 21 Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược Nhân cho sn VÍ DỤ 2.7 Tìm L−1 s Đáp số cos 2t s2 + 4 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 15 / 21 Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược Chia cho sn ĐỊNH LÝ 2.9 Nếu L{f (t)} = F(s) thì L−1 F(s)... 0 hay t −1 L {G(s)} = 0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 16 / 21 Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược Chia cho sn VÍ DỤ 2.8 1 Tìm L−1 2 Tìm L−1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 1 − cos 2t 1 Đáp số 4 s(s2 + 4) t2 1 Đáp số + cos t − 1 2 s3 (s2 + 1) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 17 / 21 Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược Tích chập ĐỊNH LÝ 2.10 Nếu... e2t − et (s − 1)(s − 2) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 18 / 21 Bài tập GHW #6 BÀI TẬP 3.1 Tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm sau 1 2 3 3s − 12 s2 + 8 2s − 5 s2 − 9 1 s5 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 4 5 s (s + 1)5 3s + 2 4s2 + 12s + 9 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 19 / 21 Bài tập GHW #6 BÀI TẬP 3.2 Tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm sau 1 2 3 e−2s... TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 12 / 21 Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược Nhân cho sn ĐỊNH LÝ 2.7 Nếu F(0) = 0 và L{f (t)} = F(s) thì L−1{sF(s)} = f (t) = d −1 L {F(s)} dt (10) hay L−1{G(s)} = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) d −1 G(s) L dt s PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC (11) TP HCM — 2016 13 / 21 Tính chất của phép biến đổi Laplace ngược Nhân cho sn ĐỊNH LÝ 2.8 Nếu... #6 BÀI TẬP 3.2 Tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm sau 1 2 3 e−2s s2 s+2 ln s+1 1 s(s + 1)3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 4 5 1 (s − 1)5 (s + 2) 1 (s + 1)(s2 + 1) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 20 / 21 Bài tập CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý THEO DÕI TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 21 / 21 ... Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 / 21 Phép biến đổi Laplace ngược Định nghĩa ĐỊNH NGHĨA 1.1 Nếu phép biến đổi Laplace L{f (t)} = F(s) f (t) gọi biến đổi Laplace ngược... Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 1 nên L−1 = e−3t s+3 s+3 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 / 21 Tính chất phép biến đổi Laplace ngược Tuyến tính ĐỊNH LÝ 2.1 Nếu f1(t) f2(t) biến đổi Laplace ngược... + 16 Đáp số cos 2t Tìm L−1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC TP HCM — 2016 / 21 Tính chất phép biến đổi Laplace ngược Biến đổi Laplace ngược đạo hàm ĐỊNH LÝ 2.5 Nếu L{f (t)}