Đang tải... (xem toàn văn)
Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết
BÀI TẬP XÁC SUẤT & THỐNG KÊ Ấn thứ hai NGUYỄN VĂN THÌN Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM LƯU HÀNH NỘI BỘ BÀI TẬP XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ c 2011, 2012 Nguyễn Văn Thìn Bản quyền thuộc tác giả Mọi tổ chức, cá nhân muốn sử dụng tác phẩm hình thức phải đồng ý chủ sở hữu quyền tác giả Ấn 9/2011 Ấn thứ hai 9/2012 Lời nói đầu Ngày xác suất thống kê toán trở thành khoa học có nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực khoa học kĩ thuật khác như: vật lí, thiên văn học, hóa học, sinh học, y học, tâm lí học, kinh tế học Vì mà môn học xác suất thống kê toán trở thành môn bắt buộc sở giảng dạy hầu hết trường đại học, cao đẳng cho sinh viên từ năm năm hai Mục đích tài liệu nhằm giúp bạn đọc thông qua việc giải tập (được trình bày nhiều ngữ cảnh, tình nhiều lĩnh vực khác nhau) hiểu chất khái niệm phương pháp xác suất thống kê, qua áp dụng chúng, sâu tìm hiểu phương pháp thích hợp cho tình cụ thể chuyên nghành mà bạn theo đuổi Tài liệu gồm có hai phần cộng thêm phần phụ lục: Phần I tập lí thuyết xác suất gồm khoảng 200 sưu tầm biên soạn gồm bốn chương: • Chương nói khái niệm tối thiểu lí thuyết tập hợp giải tích tổ hợp, nhằm chuẩn bị kiến thức để bạn đọc lĩnh hội giải tập sau dễ dàng • Chương dành cho tập khái niệm lí thuyết xác suất chẳng hạn không gian biến cố, xác suất cổ điển, xác suất hình học, xác suất có điều kiện, công thức xác suất đầy đủ, • Chương trình bày tập biến ngẫu nhiên hàm phân phối đặc trưng biến ngẫu nhiên kì vọng, phương sai, trung vị, • Chương trình bày tập biến ngẫu nhiên thông dụng biến ngẫu nhiên có phân phối Bernulli, phân phối Poison, phân phối đều, phân phối chuẩn Phần II tập thống kê toán học gồm khoảng 70 sưu tầm biên soạn bao gồm ba chương: • Chương dành cho tập lí thuyết mẫu, tính toán đặc trưng mẫu trung bình mẫu, phương sai mẫu, • Chương trình bày tập lí thuyết ước lượng, chủ yếu ước lượng khoảng cho trung bình, tỉ lệ tổng thể i ii • Chương nói đến tập lí thuyết kiểm định giả thuyết thống kê Trong chương có chia thành mục nhỏ theo chuyên đề để bạn rèn luyện chuyên sâu tập trung Tài liệu gồm tập để rèn luyện kĩ tính toán, rèn luyện tư phương pháp chứng minh giúp bạn đọc nắm vững vận dụng khái niệm xác suất thống kê Một số tập đánh dấu (*) tập khó, thử thách dành cho sinh viên giỏi nắm vững vận dụng sáng tạo kiến thức học lớp Trong tài liệu kèm tập thích, hướng dẫn, đáp án tùy theo mức độ khó dễ chúng Vì khả có hạn, chắn tài liệu có nhiều thiếu sót, mong nhận đóng góp ý kiến bạn đọc để ấn hoàn thiện Tp Hồ Chí Minh, Mùa hè, 2012 Nguyễn Văn Thìn Mục lục Lời nói đầu i Tập hợp - Giải tích tổ hợp 1.1 Tập hợp 1.2 Giải tích tổ hợp Biến cố xác suất 10 2.1 Biến cố 10 2.2 Xác suất cổ điển 12 2.3 Xác suất hình học 14 2.4 Các công thức tính xác suất 14 2.5 Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes 19 Biến ngẫu nhiên hàm phân phối 24 Một số phân phối xác suất thông dụng 36 4.1 Phân phối Bernoulli, nhị thức 36 4.2 Phân phối Poisson 41 4.3 Phân phối chuẩn 43 Lí thuyết mẫu 46 Ước lượng tham số thống kê 49 6.1 Ước lượng trung bình tổng thể 49 6.2 Ước lượng tỉ lệ tổng thể 52 6.3 Tổng hợp 53 Kiểm định giả thuyết thống kê 7.1 54 So sánh kì vọng với số cho trước iii 54 MỤC LỤC iv 7.2 So sánh hai kì vọng 57 7.3 So sánh tỉ lệ với số cho trước 60 7.4 So sánh hai tỉ lệ 61 A Các bảng phân phối 63 Chương Tập hợp - Giải tích tổ hợp 1.1 Tập hợp Bài 1.1 (*) Cho dãy tập hợp A1 , A2 , , An , Chứng minh luôn tồn dãy tập hợp B1 , B2 , , Bn , , cho: (a) Các Bi đôi rời nhau; (b) ∞ i=1 Ai = ∞ k=1 Bk Hướng dẫn Hãy bắt đầu với hai trường hợp dễ n = n = Chú thích ∞ i=1 Ai = {x|∃n, x ∈ An } Bài tập cách xây dựng họ tập rời từ họ tập Bài 1.2 Chứng minh hệ thức sau tương đương A B tập hợp Ω: A ∪ B = Ω, A ⊂ B, B ⊂ A Hướng dẫn Hãy chứng minh A ∪ B = Ω ⇒ A ⊂ B ⇒ B ⊂ A ⇒ A ∪ B = Ω Bài 1.3 Khẳng định sau có hay không: "nếu A, B, C tập tập Ω cho A ⊂ B ∪ C B ⊂ A ∪ C B = ∅" ? Bài 1.4 Chứng minh A, B, C tập hợp tập hợp Ω, cho A ∩ B ⊂ C A ∪ C ⊂ B, A ∩ C = ∅ Bài 1.5 Tìm biểu thức đơn giản biểu thức sau: (a) (A ∪ B)(A ∪ C) (b) (A ∪ B)(A ∪ B) 1.1 TẬP HỢP (c) (A ∪ B)(A ∪ B)(A ∪ B) (d) (A ∪ B)(A ∪ B)(A ∪ B) (e) (A ∪ B)(B ∪ C) Bài 1.6 Hệ thức hệ thức sau Nếu chứng minh, sai cho ví dụ minh họa (a) A ∪ B ∪ C = A ∪ (B \ AB) ∪ (C \ AC) (b) A ∪ B = (A \ AB) ∪ B (c) (A ∪ B) \ A = B (d) (A ∪ B) \ C = A ∪ (B \ C) (e) ABC = AB(C ∪ B) (f) AB ∪ BC ∪ CA ⊃ ABC (g) (AB ∪ BC ∪ CA) ⊂ (A ∪ B ∪ C) (h) ABC ⊂ A ∪ B (i) A ∪ BC = AC ∪ BC (j) A ∪ BC = C \ (C(A ∪ B)) Chú thích Đôi đơn giản tiện lợi người ta viết AB thay cho A ∩ B, A + B thay cho A ∪ B A Ac thay cho A Chữ c nhỏ Ac viết tắt từ "complement" (phần bù) tiếng Anh Bài 1.7 Chứng minh rằng: (a) A ∪ B ∪ A ∪ B = A (b) (A ∪ B)AB = AB ∪ BA Bài 1.8 Chứng minh (a) Nếu A ∪ B = AB A = B (b) A ∪ BC ⊃ (A ∪ B)C (c) Nếu A1 ⊂ A, B1 ⊂ B A ∩ B = ∅ A1 ∩ B1 = ∅ Bài 1.9 Hệ thức hệ thức sau đúng? Đối với hệ thức sai, điều kiện để hệ thức (a) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (b) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (c) (A ∪ B) ∩ C = A ∪ (B ∩ C) 1.1 TẬP HỢP (d) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C) Bài 1.10 Cho A, B, C tập Ω Đặt A (a) B A=A (b) A ∅=A (c) A A=∅ (d) A Ω=A (e) A B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) (f) (A B) B = (A \ B) ∪ (B \ A) Chứng minh: B C=A (B C) Chú thích Phép toán gọi hiệu đối xứng Hiệu đối xứng hai tập hợp A B, kí hiệu A tập hợp gồm phần tử thuộc A thuộc B, không đồng thời thuộc A B B, Bài 1.11 Cho A, B, C tập Ω Chứng minh: (a) ((A ∩ B) ∪ (C ∩ D)) = (A ∪ B ) ∩ (C ∪ D ) (b) (A ∪ B) ∩ (A ∪ B ) ∩ (A ∪ B) ∩ (A ∪ B ) = ∅ (c) A \ B = A ∩ (A (d) A ∪ B = (A (e) (A ∩ B ) (f) A (h) A (A ∩ B) (B ∩ A ) = A B D⇒A C=B B=C (g) A ∩ (B B) B) C) = (A ∩ B) B = (A C) (C D (A ∩ C) B) Bài 1.12 (*) Cho A ⊂ Ω Định nghĩa, IA , hàm (the indicator function, hay người ta gọi hàm đặc trưng - the characteristic function) A sau: IA : Ω → [0, 1] với IA (x) := x ∈ A x ∈ A (a) Cho A, B tập Ω Chứng minh A = B IA = IB (b) Chứng minh hệ thức sau i IΩ = 1; I∅ = ii IA∩B = IA IB 1.2 GIẢI TÍCH TỔ HỢP iii IA∪B = IA + IB − IA IB iv IA = − IA v IA B ≡ IA + IB (mod 2) vi IA\B = IA (1 − IB ) (c) Bằng cách sử dụng hệ thức liên quan đến hàm câu b, chứng minh hệ thức liên quan đến tập hợp 1.11 Chú thích Cho số nguyên dương n, hai số nguyên a, b gọi đồng dư theo mô-đun n chúng có số dư chia cho n (tức a − b chia hết cho n) Kí hiệu a ≡ b (mod n) Ví dụ: ≡ (mod 2) Bài 1.13 (*) Cho Ω tập hợp giả sử R tập khác rỗng tập Ω Ta nói R vành tập Ω (A ∈ R B ∈ R) ⇒ (A ∪ B ∈ R A \ B ∈ R) (a) Giả sử R vành tập Ω Chứng minh ∅ ∈ R (b) Cho ví dụ vành R tập Ω cho Ω ∈ / R (c) Gọi R tập tập Ω Chứng minh R vành (A ∈ R B ∈ R) ⇒ (A ∩ B ∈ R A B ∈ R) (d) Cho S tập tập Ω Giả sử (A ∈ S B ∈ S) ⇒ (A ∩ B ∈ S A \ B ∈ S) Chứng minh S không thiết vành tập Ω (e) Chứng minh giao hai vành tập Ω vành tập Ω Hướng dẫn Trong câu (c), sử dụng kết câu (c) (d) 1.11 1.2 Giải tích tổ hợp Bài 1.14 Nếu người có đôi vớ khác đôi giày khác Có cách kết hợp vớ giày? Đáp án 24 Bài 1.15 Một lớp có 40 học sinh Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ban cán lớp gồm người: lớp trưởng, lớp phó, thủ quỹ Hỏi giáo viên chủ nhiệm có cách chọn ban cán lớp? Đáp án 59280 Bài 1.16 Một lô hàng có 50 sản phẩm 6.2 ƯỚC LƯỢNG TỈ LỆ TỔNG THỂ 6.2 52 Ước lượng tỉ lệ tổng thể Bài 6.13 Trước bầu cử, người ta vấn ngẫu nhiên 2000 cử tri thấy có 1380 người ủng hộ ứng cử viên K Với độ tin cậy 95%, hỏi ứng cử viên thu tối thiểu phần trăm phiếu bầu? Đáp án 66.97% Bài 6.14 Một loại bệnh có tỷ lệ tử vong 0.01 Muốn chứng tỏ loại thuốc có hiệu nghiệm (nghĩa hạ thấp tỷ lệ tử vong nhỏ 0.005) độ tin cậy 0.95 phải thử thuốc người? Đáp án 1522 Bài 6.15 Để ước lượng xác suất mắc bệnh gan với độ tin cậy 90% sai số không vượt 2% cần phải khám người, biết tỷ lệ mắc bệnh gan thực nghiệm cho 0,9 Đáp án 613 Bài 6.16 Giả sử quan sát 100 người thấy có 20 người bị bệnh sốt xuất huyết Hãy ước lượng tỷ lệ bệnh sốt xuất huyết độ tin cậy 97% Nếu muốn sai số ước lượng không 3% độ tin cậy 95% phải quan sát người? Đáp án (0.1132, 0.2868); 683 Bài 6.17 Một loại thuốc đem điều trị cho 50 người bị bệnh B, kết có 40 người khỏi bệnh (a) Ước lượng tỷ lệ khỏi bệnh p dùng thuốc điều trị với độ tin cậy 0.95 0.99 (b) Nếu muốn sai số ước lượng không 0.02 độ tin cậy 0.95 phải quan sát trường hợp? Đáp án (a) (0.69, 0.91); (0.65, 0.946) (b) 1537 Bài 6.18 Ta muốn ước lượng tỷ lệ viên thuốc bị sức mẻ p lô thuốc lớn (a) Nếu muốn sai số ước lượng không 0.01 với độ tin cậy 0.95 phải quan sát viên? (b) Quan sát ngẫu nhiên 200 viên, thấy có 18 viên bị sứt mẻ Hãy ước lượng p độ tin cậy 0.95 (c) Khi đó, muốn sai số ước lượng không 0.01 với độ tin cậy 0.95 phải quan sát viên? Đáp án (a) 9604 (b) (0.051, 0.13) (c) 3147 6.3 TỔNG HỢP 53 Bài 6.19 Muốn biết ao có cá, người ta bắt lên 2000 con, đánh dấu xong lại thả xuống hồ Sau thời gian, người ta bắt lên 500 thấy có 20 cá có đánh dấu lần bắt trước Dựa vào kết ước lượng số cá có hồ với độ tin cậy 95% Đáp án (34965.03, 877719.3) Bài 6.20 Để dự đoán số lượng chim thường nghỉ vườn nhà mình, người chủ bắt 89 con, đem đeo khoen cho chúng thả Sau thời gian, ông bắt ngẫu nhiên 120 thấy có có đeo khoen Hãy dự đoán số chim giúp ông chủ vườn độ tin cậy 99% Đáp án (785.1688, 27396.59) 6.3 Tổng hợp Bài 6.21 Cân thử 100 cam, ta có số liệu sau: Khối lượng (g) Số 32 33 34 15 35 26 36 28 37 38 39 40 (a) Hãy ước lượng khối lượng trung bình cam độ tin cậy 95% (b) Cam có khối lượng 34 g coi cam loại Tìm khoảng ước lượng cho tỷ lệ loại với độ tin cậy 90% Đáp án (a) (35.539, 36.241) (b) (0.014, 0.086) Bài 6.22 Đem cân số trái vừa thu hoạch, ta kết sau: X (gam) Số trái 200-210 12 210-220 17 220-230 20 230-240 18 240-250 15 (a) Tìm khoảng ước lượng trọng lượng trung bình µ trái với độ tin cậy 0.95 0.99 (b) Nếu muốn sai số ước lượng không ε = gam độ tin cậy 99% phải quan sát trái? (c) Trái có khối lượng X ≥ 230 gam xếp vào loại A Hãy tìm khoảng ước lượng cho tỷ lệ p trái loại A độ tin cậy 0.95 0.99 Nếu muốn sai số ước lượng không 0.04 độ tin cậy 0.99 phải quan sát trường hợp? Đáp án (a) (222.98, 228.72); (222.08, 229.63) (b) 293 (c) (0.2963, 0.5085); (0.2627,0.5421); 1001 Chương Kiểm định giả thuyết thống kê 7.1 So sánh kì vọng với số cho trước Bài 7.1 Giám đốc xí nghiệp cho biết lương trung bình công nhân thuộc xí nghiệp 380 ngàn đ/tháng Chọn ngẫu nhiên 36 công nhân thấy lương trung bình 350 ngàn đ/tháng, với độ lệch chuẩn s = 40 Lời báo cáo giám đốc có tin cậy không, với mức có ý nghĩa α = 5% Hướng dẫn Ta cần kiểm định giả thuyết H0 : µ = 380 H1 : µ = 380 Đây trường hợp n = 36 ≥ 30 σ chưa biết, nên ta dùng √ n(x − µ) z = s √ 36(350 − 380) = 40 = −4.5 Ta thấy |z| > z1− α2 = z0.975 = 1.96 Do ta bác bỏ giả thuyết H0 Nghĩa lời báo cáo giám đốc không đáng tin cậy Bài 7.2 Trong thập niên 80, trọng lượng trung bình niên 48 kg Nay để xác định lại trọng lượng ấy, người ta chọn ngẫu nhiên 100 niên đo trọng lượng trung bình 50 kg phương sai mẫu s2 = (10 kg)2 Thử xem trọng lượng niên phải có thay đổi, với mức có ý nghĩa 1%? Đáp án z = Trọng lượng niên không thay đổi so với trước Bài 7.3 Một cửa hàng thực phẩm nhận thấy thời gian vừa qua trung bình khách hàng mua 25 ngàn đồng thực phẩm ngày Nay cửa hàng chọn ngẫu nhiên 15 khách hàng thấy trung bình khách hàng mua 24 ngàn đồng ngày phương sai mẫu s2 = (2 ngàn đồng)2 Với mức ý nghĩa 5%, kiểm định xem có phải sức mua khách hàng thực giảm sút hay không Biết sức mua khách hàng có phân phối chuẩn Đáp án t = −1.9365 Sức mua khách hàng thực giảm sút 54 7.1 SO SÁNH KÌ VỌNG VỚI MỘT SỐ CHO TRƯỚC 55 Bài 7.4 Đối với người Việt Nam, lượng huyết sắc tố trung bình 138.3 g/l Khám cho 80 công nhân nhà máy có tiếp xúc hoá chất, thấy huyết sắc tố trung bình x = 120 g/l; s = 15 g/l Từ kết trên, kết luận lượng huyết sắc tố trung bình công nhân nhà máy hoá chất thấp mức chung hay không? Kết luận với α = 0.05 Đáp án z = −10.912 Lượng huyết tố trung bình công nhân nhà máy thấp mức chung Bài 7.5 Trong điều kiện chăn nuôi bình thường, lượng sữa trung bình bò 14 kg/ngày Nghi ngờ điều kiện chăn nuôi làm cho lượng sữa giảm xuống, người ta điều tra ngẫu nhiên 25 tính lượng sữa trung bình ngày 12.5 độ lệch chuẩn s = 2.5 Với mức ý nghĩa α = 0.05 kết luận điều nghi ngờ nói Giả thiết lượng sữa bò biến ngẫu nhiên chuẩn Đáp án t = −3 Điều kiện chăn nuôi làm cho lượng sữa giảm xuống Bài 7.6 Tiền lương trung bình công nhân trước 400 ngàn đ/tháng Để xét xem tiền lương so với mức trước nào, người ta điều tra 100 công nhân tính x = 404.8 ngàn đ/tháng s = 20 ngàn đ/tháng Với α = 1% (a) Nếu lập giả thiết phía giả thiết phía kết kiểm định nào? (b) Giống câu a, với x = 406 ngàn đ/tháng s = 20 ngàn đ/tháng Bài 7.7 Một máy đóng gói sản phẩm có khối lượng kg Nghi ngờ máy hoạt động không bình thường, người ta chọn mẫu ngẫu nhiên gồm 100 sản phẩm thấy sau: Khối lượng Số gói 0.95 0.97 31 0.99 40 1.01 15 1.03 1.05 Với mức ý nghĩa 0.05, kết luận nghi ngờ Đáp án z = −6.9204 Máy hoạt động không bình thường Bài 7.8 Trọng lượng trung bình xuất chuồng trại chăn nuôi trước 3.3 kg/con Năm người ta sử dụng loại thức ăn mới, cân thử 15 xuất chuồng ta số liệu sau: 3.25, 2.50, 4.00, 3.75, 3.80, 3.90, 4.02, 3.60, 3.80, 3.20, 3.82, 3.40, 3.75, 4.00, 3.50 Giả thiết trọng lượng gà đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn (a) Với mức ý nghĩa α = 0.05 Hãy cho kết luận tác dụng loại thức ăn này? (b) Nếu trại chăn nuôi báo cáo trọng lượng trung bình xuất chuồng 3.5 kg/con có chấp nhận không? (α = 0.05) Đáp án (a) t = 3.0534 Thức ăn làm thay đổi trọng lượng gà (b) t = 1.1409 Trại chăn nuôi báo cáo trọng lượng trung bình xuất chuồng chấp nhận 7.1 SO SÁNH KÌ VỌNG VỚI MỘT SỐ CHO TRƯỚC 56 Bài 7.9 Đo cholesterol (đơn vị mg%) cho nhóm người, ta ghi nhận lại Chol Số người 150 –160 160 - 170 170 - 180 11 180 - 190 190 - 200 200 - 210 Cho độ cholesterol tuân theo phân phối chuẩn (a) Tính trung bình mẫu x phương sai mẫu s2 (b) Tìm khoảng ước lượng cho trung bình cholesterol dân số độ tin cậy 0.95 (c) Có tài liệu cho biết lượng cholesterol trung bình µ0 = 175 mg% Giá trị có phù hợp với mẫu quan sát không? (kết luận với α = 0.05) Đáp án (a) 173.2759; 143.3498 (b) (168.7226, 177.8292) (c) t = −0.7755 Giá trị mẫu phù hợp với tài liệu Bài 7.10 Quan sát số hoa hồng bán ngày cửa hàng bán hoa sau thời gian, người ta ghi số liệu sau: Số hoa hồng (đoá) Số ngày 12 13 15 16 17 18 19 Giả thiết số hoa bán ngày có phân phối chuẩn (a) Tìm trung bình mẫu x, phương sai mẫu s2 (b) Sau tính toán, ông chủ cửa hàng nói trung bình ngày không bán 15 hoa chẳng đóng cửa Dựa vào số liệu trên, anh (chị) kết luận giúp ông chủ cửa hàng xem có nên tiếp tục bán hay không mức ý nghĩa α = 0.05 (c) Giả sử ngày bán từ 13 đến 17 hồng ngày “bình thường” Hãy ước lượng tỉ lệ ngày bình thường cửa hàng độ tin cậy 90% Đáp án (a) 15.4; 3.5 (b) t = 1.069 Ông chủ cửa hàng nên tiếp tục bán (c) (0.6191, 0.9009) Bài 7.11 Một xí nghiệp đúc số lớn sản phẩm thép với số khuyết tật trung bình sản phẩm Người ta cải tiến cách sản xuất kiểm tra 36 sản phẩm Kết sau: Số khuyết tật sản phẩm Số sản phẩm tương ứng 7 6 Giả sử số khuyết tật sản phẩm có phân phối chuẩn (a) Hãy ước lượng số khuyết tật trung bình sản phẩm sau cải tiến, với độ tin cậy 90% (b) Hãy cho kết luận hiệu việc cải tiến sản xuất mức ý nghĩa 0.05 Đáp án (a) (2.1333, 3.1445) (b) z = −1.1785 Cải tiến không hiệu 7.2 SO SÁNH HAI KÌ VỌNG 57 Bài 7.12 Đánh giá tác dụng chế độ ăn bồi dưỡng mà dấu hiệu quan sát số hồng cầu Người ta đếm số hồng cầu 20 người trước sau ăn bồi dưỡng: xi yi xi yi 32 40 38 32 40 45 45 54 38 42 43 58 42 50 36 30 41 52 50 60 35 43 38 35 36 48 42 50 47 45 41 48 50 55 45 40 30 34 44 50 Với mức ý nghĩa α = 0.05, kết luận tác dụng chế độ ăn bồi dưỡng này? Đáp án t = 3.0386 Chế độ ăn bồi dưỡng làm thay đổi hồng cầu Hướng dẫn Đặt Z = Y − X để số lượng hồng cầu thay đổi sau ăn bồi dưỡng Bài 7.13 Giả sử ta muốn xác định xem hiệu chế độ ăn kiêng việc giảm trọng lượng 20 người béo thực chế độ ăn kiêng Trọng lượng người trước ăn kiêng (X kg) sau ăn kiêng (Y kg) cho sau: X Y X Y 80 75 63 62 78 77 72 71 85 80 89 83 70 70 76 72 90 84 77 82 78 74 71 71 92 85 83 79 88 82 78 76 75 80 82 83 75 65 90 81 Kiểm tra xem chế độ ăn kiêng có tác dụng làm thay đổi trọng lượng hay không (α = 0.05) Đáp án t = −3.3002 Chế độ ăn kiêng có tác dụng làm thay đổi trọng lượng 7.2 So sánh hai kì vọng Bài 7.14 Một nhà phát triển sản phẩm quan tâm đến việc giảm thời gian khô sơn Vì hai công thức sơn đem thử nghiệm Công thức công thức có thành phần chuẩn công thức có thêm thành phần làm khô cho làm giảm thời gian khô sơn Từ thí nghiệm người ta thấy σ1 = σ2 = phút 10 đồ vật sơn với công thức 10 đồ vật khác sơn với công thức Thời gian khô trung bình mẫu x1 = 121 phút x2 = 112 phút Nhà phát triển sản phẩm rút kết luận ảnh hưởng thành phần làm khô mới? Với mức ý nghĩa 5% Hướng dẫn Ta cần kiểm định giả thuyết H0 : µ1 = µ2 H1 : µ1 > µ2 Ta tính z = = x1 − x2 σ1 n1 σ2 n2 121 − 112 82 10 = + + 82 10 2.5156 Ta thấy z > z1−α = z0.95 = 1.65 Do đó, ta bác bỏ giả thuyết H0 nghĩa thành phần làm khô làm giảm thời gian khô 7.2 SO SÁNH HAI KÌ VỌNG 58 Bài 7.15 Tốc độ cháy hai loại chất nổ lỏng dùng làm nhiên liệu tàu vũ trụ nghiên cứu Người ta biết độ lệch chuẩn tốc độ cháy hai loại nhiên liệu cm/s Hai mẫu ngẫu nhiên kích thước n1 = 20 n2 = 20 thử nghiệm; trung bình mẫu tốc độ cháy x1 = 18 cm/s x2 = 24 cm/s Với mức ý nghĩa α = 0.05 kiểm định giả thuyết hai loại chất nổ lỏng có tốc độ đốt cháy Đáp án z = −6.3246 Hai loại chất nổ lỏng có tốc độ đốt cháy khác Bài 7.16 Theo dõi giá cổ phiếu công ty A B vòng 31 ngày người ta tính giá trị sau Công ty A Công ty B x 37.58 38.24 s 1.50 2.20 Giả thiết giá cổ phiếu hai công ty A B hai biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn Hãy cho biết ý nghĩa kì vọng biến ngẫu nhiên nói trên? Hãy cho biết có khác biệt thực giá cổ phiếu trung bình hai công ty A B không? Với mức ý nghĩa α = 5% Đáp án t = −1.3801 Giá cổ phiếu trung bình hai công ty A B Bài 7.17 Hàm lượng đường máu công nhân sau làm việc với máy siêu cao tần đo hai thời điểm trước sau làm việc Ta có kết sau: Trước: Sau: n1 = 50 n2 = 40 x = 60 mg% y = 52 mg% sx = sy = 9.2 Với mức ý nghĩa α = 0.05, khẳng định hàm lượng đường máu sau làm việc giảm hay không? Đáp án t = 4.6851 Hàm lượng đường máu sau làm việc giảm Bài 7.18 Trồng giống lúa hai ruộng bón hai loại phân khác Đến ngày thu hoạch ta có kết sau: • Thửa thứ lấy mẫu 1000 lúa thấy số hạt trung bình x = 70 hạt sx = 10 • Thửa thứ hai lấy mẫu 500 thấy số hạt trung bình y = 72 hạt sy = 20 Hỏi khác X Y ngẫu nhiên hay chất, với α = 0.05? Đáp án t = −2.5824 Sự khác X Y chất Bài 7.19 Để so sánh trọng lượng trung bình trẻ sơ sinh thành thị nông thôn, người ta thử cân trọng lượng 10000 cháu thu kết sau đây: 7.2 SO SÁNH HAI KÌ VỌNG Vùng Nông thôn Thành thị 59 Số cháu cân 8000 2000 Trọng lượng trung bình 3.0 kg 3.2 kg Độ lệch chuẩn mẫu 0.3 kg 0.2 kg Với mức ý nghĩa α = 0.05 coi trọng lượng trung bình trẻ sơ sinh thành thị cao nông thôn hay không? (Giả thiết trọng lượng trẻ sơ sinh biến ngẫu nhiên chuẩn) Đáp án t = −28.2885 Trọng lượng trung bình trẻ sơ sinh thành thị cao nông thôn Bài 7.20 Để so sánh lực học toán vật lý học sinh, người ta kiểm tra ngẫu nhiên em hai toán vật lý Kết cho bảng (X điểm toán, Y điểm lý): X Y 15 15 20 22 16 14 22 25 24 19 18 20 20 24 14 16 Giả sử X Y có phân phối chuẩn Hãy so sánh điểm trung bình X Y , mức ý nghĩa 5% Đáp án t = −0.3913 Điểm trung bình X Y Bài 7.21 Hai máy sử dụng để rót nước vào bình Người ta lấy mẫu ngẫu nhiên 10 bình máy thứ 10 bình máy thứ hai kết sau: Máy Máy 16.03 16.02 16.01 16.03 16.04 15.97 15.96 16.04 16.05 15.96 15.98 16.02 16.05 16.01 16.02 16.01 16.02 15.99 15.99 16.00 Với mức ý nghĩa α = 0.05 nói hai máy rót nước vào bình không? Đáp án t = 0.7986 Hai máy rót nước vào bình Bài 7.22 Để nghiên cứu ảnh hưởng loại thuốc, người ta cho 10 bệnh nhân uống thuốc Lần khác họ cho bệnh nhân uống thuốc thuốc giả Kết thí nghiệm thu sau: Bệnh nhân Số ngủ có thuốc Số ngủ với thuốc giả 6.1 5.2 7.0 7.9 8.2 3.9 7.6 4.7 6.5 5.3 8.4 5.4 6.9 4.2 6.7 6.1 7.4 3.8 10 5.8 6.3 Giả sử số ngủ bệnh nhân tuân theo phân phối chuẩn Với mức ý nghĩa 5%, kết luận ảnh hưởng loại thuốc Đáp án t = 3.7134 Loại thuốc ảnh hưởng đến số ngủ bệnh nhân Bài 7.23 Quan sát sức nặng bé trai (X) bé gái (Y) lúc sơ sinh (đơn vị gam), ta có kết Trọng lượng Số bé trai Số bé gái 3000-3200 3200-3400 10 3400-3600 10 3600-3800 10 3800-4000 7.3 SO SÁNH TỈ LỆ VỚI MỘT SỐ CHO TRƯỚC 60 (a) Tính x, y, s2x , s2y (b) So sánh kì vọng µX , µY (kết luận với α = 5%) (c) Nhập hai mẫu lại Tính trung bình độ lệch chuẩn mẫu nhập Dùng mẫu nhập để ước lượng sức nặng trung bình trẻ sơ sinh độ tin cậy 95% Đáp án (a) 3588; 3450; 40266.67; 37407.41 (b) t = 2.5476 Trọng lượng bé trai bé gái lúc sơ sinh khác (c) 3515.094; 206.9896; (3459.367, 3570.821) 7.3 So sánh tỉ lệ với số cho trước Bài 7.24 Một máy sản xuất tự động với tỷ lệ phẩm 98% Sau thời gian hoạt động, người ta nghi ngờ tỷ lệ bị giảm Kiểm tra ngẫu nhiên 500 sản phẩm thấy có 28 phế phẩm, với α = 0.05 kiểm tra xem chất lượng làm việc máy có trước hay không? Hướng dẫn Gọi p tỉ lệ phẩm máy sản xuất tự động sau thời gian hoạt động Ta cần kiểm định giả thuyết H0 : p = 0.98 H1 : p < 0.98 Ta có n = 500, f = 500 − 28 = 0.944, nf = 472 ≥ n(1 − f ) = 28 ≥ 500 Do đó, ta dùng z = = = √ n(f − p) √ pq √ 500(0.944 − 0.98) √ 0.98 × 0.02 −5.7499 Ta thấy z < zα = z0.05 = −z0.95 = −1.65 Do ta bác bỏ giả thuyết H0 Nghĩa chất lượng làm việc máy không tốt trước Bài 7.25 Trong vùng dân cư có 18 bé trai 28 bé gái mắc bệnh B Hỏi tỷ lệ nhiễm bệnh bé trai bé gái có không? (kết luận với α = 0.05 giả sử số lượng bé trai bé gái vùng tương đương nhau, nhiều) Đáp án z = −1.4745 Tỉ lệ mắc bệnh bé trai bé gái Bài 7.26 Đo huyết sắc tố cho 50 công nhân nông trường thấy có 60% mức 110 g/l Số liệu chung khu vực 30% mức 110 g/l Với mức ý nghĩa α = 0.05, kết luận công nhân nông trường có tỷ lệ huyết sắc tố 110 g/l cao mức chung hay không? Đáp án z = 4.6291 Công nhân nông trường có tỷ lệ huyết sắc tố 110 g/l cao mức chung Bài 7.27 Theo nguồn tin tỉ lệ hộ dân thích xem dân ca Tivi 80% Thăm dò 36 hộ dân thấy có 25 hộ thích xem dân ca Với mức có ý nghĩa 5% Kiểm định xem nguồn tin có đáng tin cậy không? 7.4 SO SÁNH HAI TỈ LỆ 61 Đáp án z = −1.584 Nguồn tin đáng tin cậy Bài 7.28 Một máy sản suất tự động, lúc đầu tỷ lệ sản phẩm loại A 20% Sau áp dụng phương pháp cải tiến sản xuất mới, người ta lấy 40 mẫu, mẫu gồm 10 sản phẩm đề kiểm tra Kết kiểm tra cho bảng sau: Số sản phẩm loại A mẫu Số mẫu 2 4 10 10 Với mức ý nghĩa 5% Hãy cho kết luận phương pháp sản suất Đáp án z = 16.875 Phương pháp cải tiến sản xuất thay đổi tỉ lệ sản phẩm loại A Bài 7.29 Tỷ lệ phế phẩm nhà máy trước 5% Năm nhà máy áp dụng biện pháp kỹ thuật Để nghiên cứu tác dụng biện pháp kỹ thuật mới, người ta lấy mẫu gồm 800 sản phẩm để kiểm tra thấy có 24 phế phẩm (a) Với α = 0.01 Hãy cho kết luận biện pháp kỹ thuật này? (b) Nếu nhà máy báo cáo tỷ lệ phế phẩm sau áp dụng biện pháp kỹ thuật 2% có chấp nhận không? (α = 0.01) Đáp án (a) z = −2.5955 Biện pháp kĩ thuật làm thay đổi tỉ lệ phế phẩm (b) z = 2.0203 Nhà máy báo cáo tỷ lệ phế phẩm chấp nhận 7.4 So sánh hai tỉ lệ Bài 7.30 Trong 90 người dùng DDT để ngừa bệnh da có 10 người nhiễm bệnh; 100 người không dùng DDT có 26 người mắc bệnh Hỏi DDT có tác dụng ngừa bệnh da không? (kết luận với α = 0.05) Hướng dẫn Gọi p1 : tỉ lệ người mắc bệnh dùng DDT p2 : tỉ lệ người mắc bệnh không dùng DDT Ta cần kiểm định giả thuyết H : p1 = p2 H1 : p1 < p2 Ta có n1 = 90 ≥ 30 n2 = f1 = f2 = pˆ = 100 ≥ 30 10 = 0.1111 90 26 = 0.26 100 n1 f1 + n2 f2 n1 + n2 10 + 26 = 0.1895 90 + 100 = 7.4 SO SÁNH HAI TỈ LỆ 62 Ta tính z = f1 − f2 pˆqˆ n1 + n2 0.1111 − 0.26 = 0.1895(1 − 0.1895) = 90 + 100 −2.6149 Ta thấy z < zα = z0.05 = −z0.95 = −1.65 Do ta bác bỏ giả thuyết H0 Nghĩa DDT có tác dụng ngừa bệnh da Bài 7.31 Người ta điều tra 250 người xã A thấy có 140 nữ điều tra 160 người xã B thấy có 80 nữ Hãy so sánh tỉ lệ nữ hai xã với mức ý nghĩa 5% Đáp án z = 1.1885 Tỉ lệ nữ hai xã Bài 7.32 Áp dụng hai phương pháp gieo hạt Theo phương pháp A gieo 180 hạt có 150 hạt nảy mầm; theo phương pháp B gieo 256 hạt thấy có 160 hạt nảy mầm Hãy so sánh hiệu hai phương pháp với mức ý nghĩa α = 5% Đáp án z = 4.7241 Hiệu hai phương pháp khác mức ý nghĩa 5% Bài 7.33 Theo dõi trọng lượng số trẻ sơ sinh số nhà hộ sinh thành phố nông thôn, người ta thấy số 150 trẻ sơ sinh thành phố có 100 cháu nặng 3000 gam, 200 trẻ sơ sinh nông thôn có 98 cháu nặng 3000 gam Từ kết so sánh tỉ lệ trẻ sơ sinh có trọng lượng 3000 gam thành phố nông thôn với mức ý nghĩa 5% Đáp án z = 3.3005 Tỉ lệ trẻ sơ sinh có trọng lượng 3000 gam thành phố nông thôn khác mức ý nghĩa 5% Phụ lục A Các bảng phân phối 63 64 z − 12u Φ(z) = P(Z < z) = ⌠ e du ⌡−∞ 2π Φ(z) z Bảng A.1: Phân phối chuẩn tắc 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00 −3.4 −3.3 −3.2 −3.1 −3.0 0.0002 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0005 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0007 0.0007 0.0007 0.0007 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 0.0009 0.0009 0.0009 0.0010 0.0010 0.0010 0.0011 0.0011 0.0011 0.0012 0.0012 0.0013 0.0013 0.0013 −2.9 −2.8 −2.7 −2.6 −2.5 −2.4 −2.3 −2.2 −2.1 −2.0 0.0014 0.0014 0.0015 0.0015 0.0016 0.0016 0.0017 0.0018 0.0018 0.0019 0.0019 0.0020 0.0021 0.0021 0.0022 0.0023 0.0023 0.0024 0.0025 0.0026 0.0026 0.0027 0.0028 0.0029 0.0030 0.0031 0.0032 0.0033 0.0034 0.0035 0.0036 0.0037 0.0038 0.0039 0.0040 0.0041 0.0043 0.0044 0.0045 0.0047 0.0048 0.0049 0.0051 0.0052 0.0054 0.0055 0.0057 0.0059 0.0060 0.0062 0.0064 0.0066 0.0068 0.0069 0.0071 0.0073 0.0075 0.0078 0.0080 0.0082 0.0084 0.0087 0.0089 0.0091 0.0094 0.0096 0.0099 0.0102 0.0104 0.0107 0.0110 0.0113 0.0116 0.0119 0.0122 0.0125 0.0129 0.0132 0.0136 0.0139 0.0143 0.0146 0.0150 0.0154 0.0158 0.0162 0.0166 0.0170 0.0174 0.0179 0.0183 0.0188 0.0192 0.0197 0.0202 0.0207 0.0212 0.0217 0.0222 0.0228 −1.9 −1.8 −1.7 −1.6 −1.5 −1.4 −1.3 −1.2 −1.1 −1.0 0.0233 0.0239 0.0244 0.0250 0.0256 0.0262 0.0268 0.0274 0.0281 0.0287 0.0294 0.0301 0.0307 0.0314 0.0322 0.0329 0.0336 0.0344 0.0351 0.0359 0.0367 0.0375 0.0384 0.0392 0.0401 0.0409 0.0418 0.0427 0.0436 0.0446 0.0455 0.0465 0.0475 0.0485 0.0495 0.0505 0.0516 0.0526 0.0537 0.0548 0.0559 0.0571 0.0582 0.0594 0.0606 0.0618 0.0630 0.0643 0.0655 0.0668 0.0681 0.0694 0.0708 0.0721 0.0735 0.0749 0.0764 0.0778 0.0793 0.0808 0.0823 0.0838 0.0853 0.0869 0.0885 0.0901 0.0918 0.0934 0.0951 0.0968 0.0985 0.1003 0.1020 0.1038 0.1056 0.1075 0.1093 0.1112 0.1131 0.1151 0.1170 0.1190 0.1210 0.1230 0.1251 0.1271 0.1292 0.1314 0.1335 0.1357 0.1379 0.1401 0.1423 0.1446 0.1469 0.1492 0.1515 0.1539 0.1562 0.1587 −0.9 −0.8 −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 −0.0 0.1611 0.1635 0.1660 0.1685 0.1711 0.1736 0.1762 0.1788 0.1814 0.1841 0.1867 0.1894 0.1922 0.1949 0.1977 0.2005 0.2033 0.2061 0.2090 0.2119 0.2148 0.2177 0.2206 0.2236 0.2266 0.2296 0.2327 0.2358 0.2389 0.2420 0.2451 0.2483 0.2514 0.2546 0.2578 0.2611 0.2643 0.2676 0.2709 0.2743 0.2776 0.2810 0.2843 0.2877 0.2912 0.2946 0.2981 0.3015 0.3050 0.3085 0.3121 0.3156 0.3192 0.3228 0.3264 0.3300 0.3336 0.3372 0.3409 0.3446 0.3483 0.3520 0.3557 0.3594 0.3632 0.3669 0.3707 0.3745 0.3783 0.3821 0.3859 0.3897 0.3936 0.3974 0.4013 0.4052 0.4090 0.4129 0.4168 0.4207 0.4247 0.4286 0.4325 0.4364 0.4404 0.4443 0.4483 0.4522 0.4562 0.4602 0.4641 0.4681 0.4721 0.4761 0.4801 0.4840 0.4880 0.4920 0.4960 0.5000 z ∗ Với z ≤ −3.50, xác suất nhỏ 0.0002 65 z − 12u Φ(z) = P(Z < z) = ⌠ e du ⌡−∞ 2π Φ(z) z Bảng A.2: Phân phối chuẩn tắc (tt) 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 ∗ Với z ≥ 3.50, xác suất lớn 0.9998 z 66 q tvq Bảng A.3: Phân vị tvq phân phối Student q ❍❍ ❍ ❍ 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 ❍❍ v 0.60 0.75 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995 0.9995 0.3249 0.2887 0.2767 0.2707 0.2672 0.2648 0.2632 0.2619 0.2610 0.2602 0.2596 0.2590 0.2586 0.2582 0.2579 0.2576 0.2573 0.2571 0.2569 0.2567 0.2566 0.2564 0.2563 0.2562 0.2561 0.2560 0.2559 0.2558 0.2557 0.2556 0.2550 0.2545 0.2539 1.0000 0.8165 0.7649 0.7407 0.7267 0.7176 0.7111 0.7064 0.7027 0.6998 0.6974 0.6955 0.6938 0.6924 0.6912 0.6901 0.6892 0.6884 0.6876 0.6870 0.6864 0.6858 0.6853 0.6848 0.6844 0.6840 0.6837 0.6834 0.6830 0.6828 0.6807 0.6786 0.6765 3.0777 1.8856 1.6377 1.5332 1.4759 1.4398 1.4149 1.3968 1.3830 1.3722 1.3634 1.3562 1.3502 1.3450 1.3406 1.3368 1.3334 1.3304 1.3277 1.3253 1.3232 1.3212 1.3195 1.3178 1.3163 1.3150 1.3137 1.3125 1.3114 1.3104 1.3031 1.2958 1.2886 6.3138 2.9200 2.3534 2.1318 2.0150 1.9432 1.8946 1.8595 1.8331 1.8125 1.7959 1.7823 1.7709 1.7613 1.7531 1.7459 1.7396 1.7341 1.7291 1.7247 1.7207 1.7171 1.7139 1.7109 1.7081 1.7056 1.7033 1.7011 1.6991 1.6973 1.6839 1.6706 1.6577 12.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1314 2.1199 2.1098 2.1009 2.0930 2.0860 2.0796 2.0739 2.0687 2.0639 2.0595 2.0555 2.0518 2.0484 2.0452 2.0423 2.0211 2.0003 1.9799 31.8205 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.5835 2.5669 2.5524 2.5395 2.5280 2.5176 2.5083 2.4999 2.4922 2.4851 2.4786 2.4727 2.4671 2.4620 2.4573 2.4233 2.3901 2.3578 63.6567 9.9248 5.8409 4.6041 4.0321 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208 2.8982 2.8784 2.8609 2.8453 2.8314 2.8188 2.8073 2.7969 2.7874 2.7787 2.7707 2.7633 2.7564 2.7500 2.7045 2.6603 2.6174 636.6192 31.5991 12.9240 8.6103 6.8688 5.9588 5.4079 5.0413 4.7809 4.5869 4.4370 4.3178 4.2208 4.1405 4.0728 4.0150 3.9651 3.9216 3.8834 3.8495 3.8193 3.7921 3.7676 3.7454 3.7251 3.7066 3.6896 3.6739 3.6594 3.6460 3.5510 3.4602 3.3735 ... Chương dành cho tập khái niệm lí thuyết xác suất chẳng hạn không gian biến cố, xác suất cổ điển, xác suất hình học, xác suất có điều kiện, công thức xác suất đầy đủ, • Chương trình bày tập biến ngẫu... Ω tập hợp giả sử R tập khác rỗng tập Ω Ta nói R vành tập Ω (A ∈ R B ∈ R) ⇒ (A ∪ B ∈ R A B ∈ R) (a) Giả sử R vành tập Ω Chứng minh ∅ ∈ R (b) Cho ví dụ vành R tập Ω cho Ω ∈ / R (c) Gọi R tập tập... liên tiếp Tìm xác suất để xuất lần hai mặt có nốt Đáp án − 35 n 36 2.3 XÁC SUẤT HÌNH HỌC 2.3 14 Xác suất hình học Bài 2.21 Một sắt thẳng bẻ thành ba khúc cách ngẫu nhiên Tìm xác suất để ba khúc