T TH THU T GI I TOÁN PH NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG TÀI LI U ÔN THI TRUNG H C PH THÔNG QU C GIA *** PH TH THU T Gi i toán NG TRÌNH VÔ T Tác gi : ĐOÀN TRÍ DŨNG HÀ N I, THÁNG NĂM TH THU T GI I TOÁN PH NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG CH Đ 1: K NĂNG C B N C N BI T TRONG QUÁ TRÌNH GI I TOÁN B NG MÁY TÍNH CASIO I K 1: K nâng lũy th a: Kỹ nâng lũy thừa quan trọng trình giải toán mà trình giải toán, ta th ờng gọi với tên quen thuộc nh bình ph ơng hai vế , lập ph ơng hai vế Học sinh cần nắm vững đẳng thức nâng lũy thừa nh sau:      a  b  a  b  2ab a  b  a  3a b  3ab  b a  b  c   a  b  c  ab  bc  ca  a  b  c   a  b  c  a  b  b  c  c  a  a  b  c   a  b  c  a  b  c ab  bc  ca   3abc 2 3 2 2 2 3 3 3 3 II K 2: Phân tích nhân t b n: bi u th c ch a m t d ng c Ví d 1: Phân tích nhân tử: x  x  Đặt x   t  x  t  Khi đó: x  x   t  2t    t  1 t  3 Do thay ng ợc t  x  ta đ ợc: x2 x3    x  1 BÀI T P T  x3 3 LUY N Bài 1: Phân tích nhân tử: 2x   x    Đáp án: x   x 1 2  Bài 2: Phân tích nhân tử: 2x   2x  Đáp án:   2x   2x    III K 3: Phân tích nhân t hai bi n không ch a căn: Ví d 2: Phân tích nhân tử: x2  2xy  y2  x  y (Tối đa bậc 2) Thay y  100 , biểu thức trở thành: x2  2xy  y2  x  y  x2  201x  10100 Bấm máy ph ơng trình bậc ta đ ợc nghiệm: x  100,x  101 T TH THU T GI I TOÁN PH NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG Do đó: x2  201x  10100   x  100  x  101 Vì 100  y,101  100   y  , vậy: x2  2xy  y2  x  y   x  y  x  y  1 Ví d 3: Phân tích nhân tử: x3  2x2 y  xy2  y2  xy  3x  3y Thay y  100 , biểu thức trở thành: x3  2x2 y  xy2  y2  xy  3x  3y  x3  200x2  10103x  10300 Sử dụng SOLVE ta đ ợc x  100  y Ta có hai cách xử lý sau: Cách 1: S d ng CALC: Thay x  1000, y  ta có: 100 x3  2x2 y  xy2  y2  xy  3x  3y  1000013.01 xy 1  10002  1000  3  x2  xy  y  100 100 Hay nói cách khác phân tích đa thức nhân tử ta đ ợc kết quả:  x3  2x2 y  xy2  y2  xy  3x  3y   x  y  x2  xy  y   Cách 2: S đ Hoorne: 200 10103 10300 x 100 103 100 x  200x  10103x  10300 Vậy  x2  100x  103 x  100 Hay x3  2x2 y  xy2  y2  xy  3x  3y   x  y  x2  xy  y    Chú ý: Ph ng pháp r t có ích cho toán v ch t ng giao đ th hàm s b c IV K : K tìm max/min c a phân s H ớng : Tìm max/min b ng TABLE Ví dụ ta muốn tìm max/min : x2 2 Với chức TABLE máy tính Casio ta đ ợc: đ TH max THU T GI I TOÁN PH x2 2  0.5  NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG Chú ý rằng: max A  a biểu thức  a  A   Do sau liên hợp:  Xuất  A   , ta tìm minA  Xuất  A  , ta tìm max A H ớng : S d ng đánh giá ớc l ng: c c  ớc l ợng theo số   b,c   a b b x1 x     ớc l ợng theo bậc cao 2 x  2x   x x x Chú ý: Lớn hay nhỏ để chắn ta sử dụng TABLE để kiểm tra, điều giúp khám phá giá trị min/max đặc biệt, chẳng hạn nh sau x2  x  x2  x x     x2  x   x x2  x  x2  x  x 1 Kiểm tra    TABLE với điều kiện có đ ợc 2   x x 1  x để kiểm tra cẩn thận nhóm biểu thức d ơng hay âm T TH THU T GI I TOÁN PH NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG CH Đ 2: T NG QUAN CÁC PH NG PHÁP GI I Các ph ơng pháp giải toán ph ơng trình T đặt ẩn ph : Đặt ẩn phụ Mục đích đ a ph ơng trình, bất ph ơng trình Vậy đặt đ ợc ẩn phụ? Quan sát hệ số, phát lặp lặp lại  Ví d 5: 25x2  18x     4x    x  1 2    5x     x      x 1  4x   x  1   4x   x  1  x 1  Thông th ờng đến b ớc cần phải định thực phép biến đổi đ a ẩn phụ Cộng, trừ, nhân, chia Nếu lựa chọn phép chia phải tri t tiêu biến   4x 2   4x   4x   2  1   5  3    x 1  x  x    x1    Th ờng học sinh hay nản b ớc định có ẩn ph hóa đ ợc hay không này, cần biến đổi biểu thức l c loài đ ợc ẩn phụ cần đặt, hệ số bất định hóa  4x  16    x 1 x1  x 1 4      4  Tới ta quy đồng đồng hệ số    16   16  Hay nói cách khác ta biến đổi ph ơng trình dạng   4x 2  4x  4x    4x     5 2 16      3     x 1  x   x     x 1    Đến toán xử lý đ ợc đơn giản nhiều Mời bạn đọc tiếp tục với hai toán áp dụng sau 3x2  4x  Áp d ng : x2  3x   x  x2  3x   x   Áp d ng : x3  x     x2  x3  2x   x3  x  TH THU T GI I TOÁN PH NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG Đặt ẩn phụ trở lên Mục đích để nhóm nhân tử sử dụng hàm đặc tr ng Bản chất hàm đặc tr ng phép đặt ẩn phụ, ta t li u có hàm đặc tr ng đ c hay không, ta nên chuyển t thành có th d n v hai ẩn ph đ ợc hay không? Ví d 6: x   2x3  3x2  23x  11  x2  4x  0 x2  2x   x2  4x  Tr ớc tiên học sinh cần biết rút gọn ph ơng trình dạng  x  1 x2  2x    x   x2  4x   2x3  3x2  23x  11  Tới đây, ta t xếp hai sang hai phía quan sát dễ dàng thấy hai ẩn phụ  x  1  x  1   2x3  3x2  23x  11    x  2  x 1 Tuy nhiên nh nói trên, khó khăn xử lý nhóm biểu thức lại, theo kinh nghiệm tôi, sử dụng ph ơng pháp hệ số bất định đồng hệ số 2x3  3x2  23x  11         x  1    x    x  1    x     x  1    x  3 2  Để tìm hệ số, việc phá vỡ biểu thức nhóm theo bậc biến x, ta thay giá trị x vào để tìm x  1  27  9  3  39    x   7  3    11      x   65  15  5  85    x   133  21    161 Tại ẩn mà cần ph ơng trình? Vì cần có ph ơng trình để kiểm tra đó! Không phải lúc đâu nhé, nên phải cẩn thận !  x  1  x  1    x  1   x  1   x  1    x   x     x    x    x :  x  1 x  2x   4x x    x  1 Vậy ta viết lại thành Áp d ng 2 (Trích đề Thi Thử Trung Tâm Diệu Hiền –Cần Th 6 Lần ) T TH THU T GI I TOÁN PH NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG T t o h ng đẳng th c: Đây phép biến đổi tay táo bạo nh ng lại giúp ích nhiều  Nếu xuất ab  Tạo  a  b   Nếu xuất ab  a  b   Tạo  a  b   Ví d 7: x2  x    x  1 x    x    Ph ơng trình  x2  2x    x  1 x   x    x    x   x    x   x   x  1    x   x  2x   x     x   1    x 1 x    1  3   3 x2  2  2  x  1   x  x  3 x  x  2x   x  2x  x   x3   x 1   x3 x 2 1 0  Ví d 8: 3x x  x  x   7x  12x  5x    3x x  x  x   7x  12x  5x     x3  x   3x x  x  x   8x  12x  6x    x x7    2x  1  x  x   2x   x   x      x  1  x   x3  3x2  2x     x  1 x2  4x    x     3  8x  9x2 Ví d 9:    x    x 3x  2x   Điều kiện xác định: x  Bất ph ơng trình cho t ơng đ ơng với:  2x  3  x   9x   2x  1 x 1 1 3x  2x  TH   2x  3  THU T GI I TOÁN PH   3x  x 1 1 x NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG 2x    Do x  Do BPT   2x   x    3x  2x 2x       x   x  1  Vì:  x   x    0;  x  2x    0;  x   x  1  , x    x   x     x  2x     x   x  1  2  x   x   x  2x   2 2 x   x   Vậy để BPT xảy  VT   x  2x   x  x    T tìm nhân t : A Tìm nhân t nghi m đ n h u t c b n: Liên h p b c Liên h p b c Liên h p b c 2 3 a b a  b3 a b ab ab ab ab a  ab  b2 a  ab  b2 1 Chú ý: a  ab  b2  a  b2   a  b   0, a, b 2 Giả sử ph ơng trình f  x   có nghiệm x  ph ơng trình x  , với x   x   x69 x3 Vậy sử dụng liên hợp: x     x6 3 x6 3 xuất nhân tử  x   rút làm nhân tử chung có chứa thức Tuy nhiên, x  nên ta đánh giá x6   x x  x   x  3 x   Vậy sử dụng liên hợp: x  x   ta  x x6 x x6 rút đ ợc nhân tử  x   Nh v y b n chất c a ph ng pháp nhân liên hợp rút nhân tử chung để nghiệm c a ph ng trình Khi hai đ i l ợng a b có T TH THU T GI I TOÁN PH NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG giá trị nhau, ta sử d ng nhân liên hợp hai đ i l ợng Ph ng pháp nhân liên h p truy ng c d u c p đ 1:    Nếu ph ơng trình hay bất ph ơng trình có chứa  a đồng thời có đánh giá a  b sử dụng liên hợp:  a x   ta sử dụng liên hợp: Ví dụ: x1    x 1   x 1 x 1   Nếu ph ơng trình hay bất ph ơng trình có chứa  a đồng thời Ví dụ: Ph  a b ab a 3 a  b sử dụng liên hợp:  a b  a b  a  a  b2 a x   ta sử dụng liên hợp:  x5 2  x5 2  ng pháp nhân liên h p truy ng x   x  543 x  c d u c p đ 2: Giả sử toán chứa  x  ph ơng trình có nghiệm x  Khi ta đánh giá nh sau x    x   2x  x2   2x2  Do ta sử dụng ph ơng án liên hợp sau: x2  x   x  1 x    2x  x    x 1 x    2x  x   4x2  x  2x  x  2 x  1 x     x  1 x  2 x 1 x   x  1 4x  3 2x  x  x4  2x2  x  x  1 x  4x4  x  2x2  x     x  1  x  x2  3x  x  1 x    x  1  4x  4x2  4x   2x2  x  TH THU T GI I TOÁN PH NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG Việc lựa chọn liên hợp nghệ thuật ng ời sử dụng liên hợp trình làm cần phải nghệ sĩ, phải biết phối hợp điều kiện toán đ a ban đầu để từ định đâu liên hợp cần tìm Ví d 10:  x    3x   2x   x  3  x    3x   2x   x      2x   2x      3x    x   x    2x  x3    x  4        x   2x       3x 4 x   B T tìm nhân t nghi m vô t : Ví d 11: x3  x2  x    x   x    Phân tích Sử dụng TABLE SOLVE tìm đ ợc: x  3.302775638 Thay vào thức tìm nhân tử: x   2.302775638  x  H ớng d n cách s d ng TABLE SOLVE B ớc 1: Truy cập Mode (Table):  f  x   x3  x  x    x   x  Lựa chọn Start = 2 , End = 7, Step = 0.5 B ớc 2: Nhận bảng giá trị: Từ bảng giá trị ta nhận thấy hàm số có đổi dấu  3; 3.5  Nh ph ơng trình có nghiệm khoảng Vì ta sử dụng SOLVE với giá trị khởi đầu x  3.2   3; 3.5  để tìm nghiệm 10 T TH THU T GI I TOÁN PH NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG CH Đ : NH NG QUY T C KHAI THÁC ĐI U KI N Có nhiều ph ơng pháp dùng để khai thác điều kiện từ ph ơng trình t ởng chừng nh có điều kiện Ví d 24: Khai thác điều kiện từ: x2  x   x2   x2  x  Ta có: x2  x   x2   x2     x2  x     x  1 Mặt khác theo AM – GM ta có: x2   x   x2  x   x2   x    x 2 Vậy ta thu đ ợc   x  1 x  Ví d 25: Khai thác điều kiện tử: Ta có: x2  15  3x   x2  x2  15  x2  cho nên: x2  15  3x   x2   x2   x  Mặt khác, làm trội ta có x2  15  4x2  32  x2  Do 3x   x2   x2   3x   x2  Vì x  nên bình ph ơng hai vế ta đ ợc 9x2  12x   x2    17  17 x 4  17 Ép điều kiện chặt! x Ví d 26: Khai thác điều kiện từ: Vậy ta thu đ ợc 2x2   x2  x   x2   x2  4x  Vì: 2x2   x2  cho nên: x2  x   x2  4x   x  1 Chú ý: K c không phát hi n đ c m i quan h lớn h n lúc đ u, A  C, B  D ta có th x lý nh sau: A  B  C  D     A C, B D  Ví d 27: Khai thác điều kiện từ: x3  x2  x    x   x   29 TH THU T GI I TOÁN PH NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG 3   x   x   x  x  x   x  x  x   Ta có:   x  2 x  2   Vì bất ph ơng trình x3  x2  x   có nghiệm lẻ ph ơng trình bậc , nhiên ch ơng trình Trung học phổ thông, ta không nên sử dụng ph ơng pháp Cardano để xử lý ph ơng trình bậc ba Vậy làm để hóa giải đ ợc bất ph ơng trình trên? Chú ý bất ph ơng trình x3  x2  x   có nghiệm lẻ nh sau x  2.34025083 Do khẳng định chắn ta có x  Vậy để đ ợc x  ? Ta sử dụng xét f  X   X  X  X Bấm CALC ta đ ợc kết Nh ph ơng trình x3  x2  x   đ ợc nghiệm Thật vậy, ta có: x3  x2  x   x3  x2  x       x   x2  x    x  Do cách đánh giá ta có đ ợc điều kiện quan trọng cần tìm Mặt khác, theo bất đẳng thức AM – GM, ta có:  x  4 x    x   x  22   x3  x2  x    x   x  22   2x3  3x2  9x  22   2x3  3x2  9x  44    x   2x2  5x  11   x  Vậy  x  !  30  T TH CH Đ THU T GI I TOÁN PH NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG :B Đ C A HÀM S LOGARIT TRONG CH NG MINH VÔ NGHI M B đ : Chứng minh với x  lnx  x  Ch ng minh: Xét hàm số f  x   ln x  x  với x  1 x 1   với x  Vậy f  x  hàm số nghịch x x biến liên tục x  Do f  x   f 1  Hay nói cách khác, Ta có: f '  x   với x  lnx  x  TQ: loga x  x  1, x  1,a  e Dành cho bạn đọc tự chứng minh B đ th hai: ex  x  1, x  Dành cho bạn đọc tự chứng minh   Ví d 28: x3    x  1 x2  x    x  1 ln x2  Ta dễ x  x  1 dàng nhóm đ ợc nhân   x  1   x   ln  x  1  x Áp dụng bổ đề  tử x2  x   ln x2  Xét: x2  x   x2 2  x  x  Vô nghiệm  x2  x   x     x  x   x  2x  x  1  Vậy x  1 Ví d 29: x x    x  x   Ta có: x x    x  x   x    x 1   x   x     x   ln x  x   ln x   x   ln x  x  ln x x4    x  5   0  x 1  x     Ta có: x  lnx   lnx Theo bổ đề , x  BÀI T P ÁP D NG: Giải ph ơng trình sau x2  x   xln x  Giải ph ơng trình sau x2  x   x    x   ln  x  1 31 TH Ph THU T GI I TOÁN PH NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG CH Đ : K NĂNG ÉP TÍCH ng pháp ép tích c n:  Ví d 30: x3  4x2  x  3x2  2x  x1 Phân tích: Sử dụng máy tính ta đ ợc hai nghiệm đơn x  0, x  t  x   1, t  x   Gi i: Đặt t  x  ph ơng trình trở thành t  1    t  t2         t2   2     t2   t   Không cần phải phá cho khổ, phá dễ sai Chia đa thức vế trái cho  t  1 t   ta đ ợc   đ ợc x  4x  x   3x  2x  x    x   1 x     x   x    Ph ơng trình  t  1t   t  t  t   Thay ng ợc t  x  ta 2 Rút gọn    x 1 1 x        x   x2  x   x    Ví d 31: x4  6x3  3x2  13x  12  3x3  3x2  6x   x3 Phân tích: Có nghiệm kép x  2  t  x   nghiệm vô tỷ x  2.302775638 Thay vào ta đ ợc x   2.302775638  x Do đặt t  x  ta đ ợc t   t  t  t     Vậy ph ơng trình có nghiệm kép t  có nhân tử t  t  Gi i: Đặt t  x  , ph ơng trình trở thành t          t   t   13 t   12       Chia vế trái cho  t  1  t  t  3 ta có ph ơng trình trở thành t  1 t  t  3t  6t  t  9      t2   t2   t2    t    2 2 Thay ng ợc t  x  ph ơng trình trở thành  x4  6x3  3x2  13x  12  3x3  3x2  6x  32  x3 T TH    THU T GI I TOÁN PH  x   1  x  NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG 2  x   x   x     x    x   x          BÀI T P ÁP D NG T  Bài 1: x2  10x  21 Đáp án:   x2 2   Đáp án:     x  1 Đáp án: x   x  Bài 3: x2  8x LUY N x   5x2  21x  28 Bài 2: x3  2x2  2x    x  x2  x     x2 3 x3 x2 0 x   x3  x2  x     x   x2  x   2x   x2  8x 2x     1  2x    2x   Ép tích hi n đ i: Ví d 32:  2x   x    x  5 x   x2  5x   4x   Phân tích: Đặt t  x  Sử dụng máy tính Casio ta thu đ ợc hai nghiệm đơn x  1, x  1 ta có hai nghiệm đơn t  t  Gi i: Đặt t  x  Ph ơng trình trở thành  t     t  t  3 2   Rút gọn  2t  4t  2t  t  4t   t   4t t   t     t   Vì có nghiệm t  t   xấu xí quá, biểu thức lại chứa nhân tử t  1 Thật vậy, ph ơng trình  2t t  1  t  1t  3   t  1  2t  2t   t   t    t2   Bấm máy tính phần ngoặc có nghiệm t    t     t2    nhân tử cần tìm Do ph ơng trình     t  1  t    t      t       t   2 t   2  t  Do   t  1   t    t      t    t        Nhớ 2 2 2 33 TH   t  1     THU T GI I TOÁN PH  NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG  t   2 t   t   Thay ng ợc t  x  ta có:  x   1  x  1    x      x3 2   x    x   1    x  x 1  Phân tích sâu h n: Thật kỹ ép tích mà sài tay hiệu    x   x     Nhớ với nghiệm   x  1  x      x   1 x3 2 nhân tử cần nhóm Tuy nhiên phải khéo léo nhóm đ ợc Ta có:  2x   x    x  5 x   x2  5x   4x    x   x  x    x   x    x  1 x   x      x   x    2x          x     x  1 x   2x      x   2  x   1 x   x      x  1  x     x   1 x   x      x   1 x   1 x   1 x    x   x   1  x   2x   x    x  1  x3 2 0 Ví d 33:  x  3 x2  x   x3   x   x   Bài toán có t 2   t nghiệm đơn x  Đặt t  x  , ta có:    t   t2    t  t2  t        t  3t   t  t    t  1 t    Dễ mất, đặt ng ợc t  x  ta có:   x 1 1     t2    t  t2     x2  x    t  3t     x 1   Ép tích b ng tay:  x  3 x2  x   x3   x   x     x   x2  x     x   x2  x   34    x  x2  x   x2  x   x   x    x 1 1 x2  x     x     x  2  T TH NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG   x   1 x  x   1    x   1 x   1  x  x   1   x   1  x  x   1    x   1  x  x   1  x       x  2  THU T GI I TOÁN PH x2  x    2 2 Ví d 34: x2  22   x  1 x    x  1 x2  2x   Sử dụng máy tính có nghiệm x   ta có: t  5t  2t  21  t  2t Chú ý với x  t2   541 21 t   2.1  t   2.9   2.1   t 100 10 Vậy có chứa nhân tử   541 Đặt t  x  Khi 100 5  t     t  Khi ta tách       t  5t  2t  21  t  2t   t   t  2t  t  t     5  t   t    t        t  t   t  t   t  2t  t  t    t   t  2t  Thay ng ợc t  x  ta đ ợc kết    x 1  x   x x 1  x    541 100  x   2.1, x   2.9  x   x   Ép tích b ng tay: Vì x  Do có nhân tử   x 1  x   Đến rõ nh ban ngày x2  22   x  1 x    x  1 x2  2x    21   x  1 x    x  1 x  x    x  1 x  1    21   x  1 x    x  1 x    x  1 x   x    21  10 x    x  1 x   x   x      21   x  1 x    x  1 x  Ép đến bị thiếu  x   x 1   x 1   x  để ép tiếp nên tách bớt  x  1   x   1 ra: 35 TH THU T GI I TOÁN PH NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG  21  x   x  x   x   x x  Cái phần x  đè thêm 5    x   x 1   x  vào ép nhân tử  x 1  x    x   x  x 1 5 x   x x    x   x 1   Chịu khó trời th ơng mềnh! Đến xử nốt 5  x x    x 1  x    x     x   x 1   x   x 1     x 1  x   x x 1  x    BÀI T P ÁP D NG Bài 1: Giải ph ơng trình: 5x   x   x2   Đặt t  x  , ph ơng trình trở thành 5t   5t  t t          3t   t   t   3t   t   3t     3t   t   2t   t      3t   t  t  8t  6t    t2   2    x 1  x 1 1  x 1  x 1 1  Bài 2: Giải ph ơng trình: 4x    x2   x  Đặt t   x , ph ơng trình trở thành     4t  4t   2t  t   2t t    t  2t  2t      t  t    2t t    t  t    t   3t      1 x  1 x 1  t     t2   t2   1 x  1 x 1  Bài 3: Giải ph ơng trình: 5x  15   x  12  x  15  x2  Đặt t   x , ph ơng trình trở thành 5t  20  6t  15t  12   t   10t  40  12t  15t  12  2  t  36 T TH THU T GI I TOÁN PH NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG     15t  12   t  2  t    5t      15t  12   t  2  t    t  2  t t  2  t     t  2  t  5t  10  t  15t  12     t  2  t   t  5t      15t  12  t  2  t  25t  40  2 2 2   2   1 x  1 x 1 x  1 x   Bài 4: Giải ph ơng trình: 3x  10   x   x  4  x2  Đặt t   x Khi ph ơng trình trở   thành: t   10  3t   t  4t  t     3t  3t  16   4t    t     2t   t   t  5t  16        2t   t   t  t   t   t     t2  t   t   2t  3   t   t  t     t   t2  t  2 2   2x 2 2x 2x  2x 3 0 Bài 5: Giải ph ơng trình: x2  x    x  x Đặt t  x  Khi đó: x2  x    x  x  t  t  t    t    t     t  t  2t   t    t           t  t2  t   t    t2   2t      2t  t  t   t    t  t   t   t   t    t t  t  1  t    t    t    t    t   t  t  1       t   t    t  t  1  t     t2 2 2 2 2 37 TH  THU T GI I TOÁN PH   NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG   t    t2 t3   t2  t   t2   x 1  x x x 1 x  x   x  Bài 6: Giải bất ph ơng trình: x    x  x2  8x  18 Đặt t  x   0;  , ta biến đổi bất ph ơng trình trở thành             t   t  t   t   18  t  2t  t    t         t  2t    t   t    t  1  t  1   t   t       2  t   t 2  t   t t  1   t   t  2 1    t   t   t   t  t  1    2            1  x    1   2 x3  5x  2 x3  5x 2        x     x2  8x  15      x  x    1        x     Bài 7: Giải ph ơng trình:   x   x   x2  x2  x  Đặt t   x   t  Ta có:    x   x   x2  x2  x     t   t2  t  t2  t2   t2    t  1  t  2t  6t  t    t   t  1  2t  7t  t  3   t   t  1   2t  7t  t      2t  2t  3 t  t  1   t    t   t  1    t    t  t    t   t  t  1   t    t  t  1    t    t    t    t   t  t  1  t        t    t   t  t    t  t  1  t    t    t2 2 2 2 2 2 38 2 2 2 T TH    THU T GI I TOÁN PH        NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG    t    t  t  2t  t  t  t  t    t      t    t  t t    t  1  t  t    t      t    t  2t  t   t    t  1  t   t   t    t              Chú ý 2t  t    t    t t    t Do t    t2  t    t    t2    x 1   t  t    t  t   t   t  1   t  t      t  4t   2t  3t   t    x   x    x    x   x   2x    t2  x  1 Bài 8: Giải ph ơng trình:   x   x2    x2  x   x2   Đặt t  x  , ph ơng trình trở thành t  2t   t  t    t   t  t  2t  2t  2t    2t   t   t  1  1  2t    2t   t   t  1   t   t  1 t   t  1   t  2t  4  t   t  2t  t  t  2t   2 2 2  t  2t  t   t    x2  x   x     t2   t    x 1  x 1 1  Bài 9: Giải ph ơng trình: 3x   2x2  5x    x2    x  5 2x   Đặt t  x  Khi ph ơng trình trở thành  2t  3t   t  2t    2t  2t  4t     t  2t    4t  8t  8t  t  2t  2   2t   2t   2t     2t   2t   39 TH  2t         THU T GI I TOÁN PH  NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG   2t   2t  2t   2t   t  2t     2t   2t  1 3t   2t 2t    2t   2t  1   2t    2t 2t   t   2t   t   2t   2t  1    2t   2t   2t   2t   2t 2t   2t   t  2t      2 2 2 2 2 2x   x    2x   x     Bài 10: Giải ph ơng trình: 3x2  3x   x2    x   x2   x 0 Đặt t  x Khi ph ơng trình trở thành  t  3t  3t  4t   t       t2     3t  6t   t  t   t          t   t2  t   t2   t4  t   t2       t   t2  t4  t   t2     x 2 x3 3   x  x   x2   Bài 11: Giải ph ơng trình: x    x   x   x2  Đặt t   x Khi ph ơng trình trở thành t   t   t  3t  t   t  t    3t  1  t       3t  1  t   t    t   t  t   t     t   t    3t  1   t   t      t   t  2t     3t  1 t   t  2t   2   2     t2  1 x  1 x 1 x  1 x 1  Bài 12: Giải ph ơng trình: 3x2  3x    x2   x    x2   x  Đặt t  x Khi ph ơng trình trở thành  3t  3t   t  40    t2   t4  t  T TH THU T GI I TOÁN PH   t  3t  3t  4t   t   NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG t2    t     t   t   t   t     t   t   t    t   t      t   t   t  t   t      t    t    t  t   t   3t  6t   2   x 2 x3 3 2   x  x   x2   Bài 13: Giải ph ơng trình: x2  x    x    x2   x    x   x    x  Đặt t   x Khi ph ơng trình trở thành    t   2t  1  t   t  t  4t  4t   2t  2t  t  1  t   t  t  1  4t t  1   2t t  1  t  1  t    t  1  t  4t   2t  1  t     t  1  5t  2t   2t  1  2t   t      t  1  t  5t     2t  1  2t   t     t  1  t  2t   t  2t   t    2t  1  2t   t   t  1  2t   t  t  2t   t    2t  1   t  t  4t  4t  2t  t 3 2 2 2 2 2 2 2  2      t  1  t  2   t  1  t 2   t  1  t 2  1 x 1 1 x  1 x  t  t  1   2t   2t  t    2t   t  2t  t    t     2t  t   t     t  1 2t   t   2  2 1 x  1 x  0 41 TH THU T GI I TOÁN PH NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG Bài 14: Giải ph ơng trình: x x3  3x  x2   x   x  Đặt t  x Khi ph ơng trình trở thành t t  3t  t   t   t   t t   t   t  t     t  t   t  t    t  1  t   t   t  1  t   t    t   t  t   t    t3     4  4  t2    t4   t t3  t   t4   x2   x   x  1  x  x2    Bài 15: Giải ph ơng trình:   x2  x   x  x   x   2x   x2   3x  Đặt ẩn phụ t  2x  Khi ph ơng trình trở thành   4t  2t  8t  32t  4t  30  t  2t  4t     6t  10    20t  32t  12  t  2t  4t  4t   6t  10        10t  16t   t  2t  4t  4t   6t  10      4t   6t  10 4t   6t  10  t    2t  4t  4t   6t  10     4t       6t  10  6t  10  t  2t  12t     4t   6t  10 4t   6t  10  t  2t  4t     2 2  3x   1   2x   3x   3x   12 2x   4x2   42 2x    x   3x   x   T TH THU T GI I TOÁN PH CH NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG Đ 7: BÀI T P T LUY N  1  1    x2  2x      x  2x    x  x (3x2  11) x2   3.x  8x  11 3.x  4 x3  x2  8x   x3  20  2(x  1) x3 x1  x 9x x  (x  6) x    2x x   x 1 9x2  14x  25   2x   ( x   1)(2x  4) x 3x   2x  3x  3x   3x  10 x  x   3x  x2 2(x  1)2  x  20 (3   2x)2 10 11 6x2 ( 2x   1)2  2x  x   6  x2  3x   x2 3x  x2    1 1 12  x    x   x    x  x 2 2   13 2x    4x2   2x  x 14 x4  2x3  2x2  2x   (x3  x)  x2 x 15 x3  (1  x2 )3  x  2x2 43 [...]... nh sau 16 T TH THU T GI I TOÁN PH NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG  Với lựa chọn Start = 0.5, End = 9.5, Step = 0.5, TABLE sẽ chỉ hiển thị đ ợc các giá trị hoành độ hữu tỷ, còn các giá trị hoành độ vô tỷ không hiển thị đ ợc  Nghiệm vô tỷ thì khi nhìn vào TABLE ta phải thấy hàm số có sự đổi dấu từ âm sang d ơng nh ng điều này không hề xuất hiện bởi nghiệm kép vô tỷ này sẽ khiến hàm số không thể đổi... GI I TOÁN PH NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG T duy gi i toán b ng ẩn ph không hoàn toàn: Đây là một dạng ph ơng pháp giải quyết các ph ơng trình có dạng A B  C bằng cách nhóm về nhân tử mà không cần quan tâm đến nghiệm của ph ơng trình Các b ơc làm nh sau B ớc : Đặt t  B điều kiện t  0 Xét ph ơng trình tổng quát có dạng t 2  At  C  B  0 B ớc : Gán cho x  100 khi đó ta đ ợc ph ơng trình. .. THU T GI I TOÁN PH NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG 3 2 3 2   x  4  x  2  x  x  x  5  x  x  x  5  0 Ta có:   x  2 x  2   Vì bất ph ơng trình x3  x2  x  5  0 chỉ có nghiệm lẻ của ph ơng trình bậc , tuy nhiên trong ch ơng trình Trung học phổ thông, ta không nên sử dụng ph ơng pháp Cardano để xử lý ph ơng trình bậc ba này Vậy làm thế nào để hóa giải đ ợc bất ph ơng trình trên?... kép f "  x   0 Chú ý: Các bài toán nghi m b i ph n lớn là nghi m kép Gi i bài toán nghi m b i h u t nh th nào? Cách 1: Nhân liên h p: Tổng quát: Nếu x  x0 là nghiệm bội kép hữu tỷ và ph ơng trình có chứa căn thức n A , khi đó ta đặt ax  b  n A 13 TH THU T GI I TOÁN PH NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG ax  b  n A  x  0  0 Ta tìm các hệ số a, b bằng cách giải hệ sau  d n A a  x  x0 dx... lợi thế khi gặp bài toán Lợi thế khi gặp bài toán từ căn thức trở lên bất ph ơng trình Nh c Bất lợi khi giải bất ph ơng Bất lợi khi gặp bài toán đi m trình vì phải xử lý điều có nhiều căn thức kiện mẫu số Cần thử lại nghiệm sau khi giải xong ph ơng trình C T duy nhân t nghi m b i h u t : Ví d 12: x2  x  1  2x  1  0 Ph ng pháp nh n di n b ng SOLVE và d/dx: B ớc 1: Bấm ph ơng trình trên máy tính... sau x2  x  1  xln x  1 2 Giải ph ơng trình sau x2  x  1  x  1   x  2  ln  x  1 31 TH 1 Ph THU T GI I TOÁN PH NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG CH Đ : K NĂNG ÉP TÍCH ng pháp ép tích c đi n:  Ví d 30: x3  4x2  x  3x2  2x  x1 Phân tích: Sử dụng máy tính ta đ ợc hai nghiệm đơn x  0, x  3 khi đó t  x  1  1, t  x  1  2 Gi i: Đặt t  x  1 khi đó ph ơng trình trở thành t 2  1 3... chức năng TABLE để tìm   0 và  nguyên sao cho f     có giá trị hữu tỷ Xét công c TABLE (mode 7) cho: F( X )  101 2  4X  223  1009X  Với các giá trị:  START = 9 X 9 8 7 F(X) 19 TH THU T GI I TOÁN PH NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG  END = 9  STEP = 1 Khi đó ta tìm giá trị X sao cho F(X) nhận giá trị hữu tỷ và đồng thời X là giá trị khác 0 Dựa vào bảng giá trị TABLE nh trên, ta... mãn là nghiệm của ph ơng trình Áp d ng: x2  15  3x  2  x2  8  ln x   Áp d ng: log 2 2  x  3  2x Áp d ng: x3  x  2x  2  2 x  3  9 e  x  3  x   ln    ln 2 x 1 x7  x2  x3  10x2  2x  8  4x 2 4  21 TH THU T GI I TOÁN PH NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG Đ 3: T NG H P CÁC K NĂNG C B N X LÝ H U QU C A LIÊN H P VÀ NHÓM NHÂN T 1 K năng : Th rút t ph ng trình ban đ u: Nguyên... x < bất ph ơng trình luôn đúng x2  2x  5   x  3 2 4x  4  Ng ợc lại thì quy đồng  (Đúng) x 3  x 3    Ví d 20: x4  3x3 x 3 1    x2  1  x2  5x  6  x  2     Ph ơng trình  x4  3x3  2 x2  1  x  2   x2  1  x  2     x2  1  x  2   3 2 0   x  2   x  3x  2x  2    x 2 2     24  x2 2  T TH THU T GI I TOÁN PH  NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG...  18x  9  H ớng đi  x1  3  5x  1  4   x  1 x  1  5x  1  4  Sử dụng AM – GM để đánh giá vô nghiệm Ta chứng minh Vế phải < A, khi đó Vế trái < A và chuyển  thành bất ph ơng trình Vế trái – A < và chứng tỏ bất ph ơng trình này vô nghiệm Thông th ờng để bất ph ơng trình này có thể vô nghiệm, ta  cần biến đổi Vế phải < A sao cho b c c a bi u th c A ph i nh h n hoặc b ng b c c a V trái ... I TOÁN PH NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG CH Đ 1: K NĂNG C B N C N BI T TRONG QUÁ TRÌNH GI I TOÁN B NG MÁY TÍNH CASIO I K 1: K nâng lũy th a: Kỹ nâng lũy thừa quan trọng trình giải toán mà trình. .. T GI I TOÁN PH NG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG CH Đ 2: T NG QUAN CÁC PH NG PHÁP GI I Các ph ơng pháp giải toán ph ơng trình T đặt ẩn ph : Đặt ẩn phụ Mục đích đ a ph ơng trình, bất ph ơng trình. .. gặp toán Lợi gặp toán từ thức trở lên bất ph ơng trình Nh c Bất lợi giải bất ph ơng Bất lợi gặp toán m trình phải xử lý điều có nhiều thức kiện mẫu số Cần thử lại nghiệm sau giải xong ph ơng trình