Đang tải... (xem toàn văn)
Giới hạn dãy số. Giới hạn hàm số, áp dụng VCB, VCL để tìm giới hạn hàm số. Hàm số liên tục. Các hàm sơ cấp. Đạo hàm, vi phân. Các ứng dụng. Công thức Taylor. Khảo sát hàm số. Nguyên hàm. Tích phân xác định. Áp dụng tích phân. Áp dụng tích phân. Tích phân suy rộng. Chuỗi dương. Chuỗi đan dấu. Hội tụ tuyệt đối, hội tụ có điều kiện. Chuỗi hàm. Chuỗi lũy thừa. Bán kính hội tụ. Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa. Chuỗi Fourier.
BÀI TẬP GIẢI TÍCH Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thừa Hợp Giải tích, tập I, II NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 2004 [2] Nguyễn Thủy Thanh, Hướng dẫn giải tập Giải tích toán học Tập I, II NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 1999 [3] Nguyễn Đình Trí, … Bài tập toán học cao cấp Tập II NXB Giáo dục, Hà Nội 1998 [4] Nguyễn Xuân Liêm Giải tích Tập I, II NXB Giáo dục, Hà Nội 1998 [5] Phạm Ngọc Thao, Bài tập giải tích NXB ĐH Quốc gia Hà Nội, 1998 [6] Lê Ngọc Lăng, Ôn thi học kỳ thi vào giai đoạn Tập I,II NXB Giáo dục Lịch học theo đề cương Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số, áp dụng VCB, VCL để tìm giới hạn hàm số Hàm số liên tục Các hàm sơ cấp Đạo hàm, vi phân Các ứng dụng Công thức Taylor Khảo sát hàm số Nguyên hàm Tích phân xác định Áp dụng tích phân Áp dụng tích phân Tích phân suy rộng Chuỗi dương 10 Chuỗi đan dấu Hội tụ tuyệt đối, hội tụ có điều kiện 11 Chuỗi hàm Chuỗi lũy thừa Bán kính hội tụ 12 Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa 13 Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa 14 Chuỗi Fourier Giới hạn dãy số thực - Định nghĩa dãy số thực - Dãy hội tụ phân kỳ Giới hạn - Giới hạn vô - Tính chất đại số tính chất thứ tự dãy hội tụ - Dãy bị chặn tồn giới hạn - Dãy con: cho (un),từ số hạng lập dãy với n1< n2 < < nk < unk gọi dãy (un) Chẳng hạn: (u2n) (u2n+1) dãy (un) Bài tập Bằng định nghĩa chứng minh a) lim n →∞ = 0, n b) lim n a = , an = ∞, a > 1, k > n →∞ n k n c) lim n →∞ n→∞ d) lim n n = =∞ n →∞ an = 0, a > n →∞ n ! log a n = 0, a > n →∞ n e) lim f) lim g) lim Sử dụng để tìm giới hạn dãy số + ( −3 ) ; d) un = 4n n n a) un = ; n +1 n +1 ; b) un = 4n + n2 c) un = ; 3n + e) un = n − n − ; f) un = n − n − n ; g) un = n ( n + a ) − n ; h) un = n + − n i) lim n1000 + n500 − 3n +1 + 2n + log n n →∞ n + 2.3n − log ( n + 1) 5n − 2.3n n →∞ 2.5n + 4.3n + n j) lim Dùng tính chất thứ tự tìm giới hạn dãy số: sin n − cos3 n a) un = ; n b) un ( −1) = n n c) un = n + sin n ; ; Dùng tính chất bị chặn dãy đơn điệu chứng tỏ dãy sau có giới hạn: a) un = + 1 + + ; n b) un = 1 + + n! 2! Khảo sát hội tụ dãy π a) un = sin n + , n e) un = + b) un = cos n π c) un = cos n , π ( −1) + n n , n + ( −1) d) un = n 1 + + + n Khảo sát hội tụ tìm giới hạn (nếu tồn tại) dãy truy hồi sau: a) un = un −1 d) un = + 1; u1 = ; 1⎛ ⎞ ⎜ un −1 + ⎟ , u1 = 2⎝ un −1 ⎠ b) un = + un −1 ; u1 = un2−1 ; u1 = ; c) un = + 2 e) un = a a a a (n dấu căn); f) un = a + a + a + a (n dấu căn) Bài tập ví dụ: Nguyễn Đình Trí: 19,24 (tr 47-48), Nguyễn Thủy Thanh: tr 27-56 Giới hạn hàm số - Giới hạn hàm số: f(x) đủ gần L x đủ gần a - Giới hạn vô cùng: f(x) đủ lớn x đủ gần a - Giới hạn vô cùng: f(x) đủ gần L x đủ lớn n - Giới hạn trái phải - Vô bé vô lớn (khi x tiến đến a) vô bé (lớn) cấp, cấp cao, cấp thấp, tương đương - Các vô bé đáng nhớ x tiến đến 0: x2 x3 x2 x3 + o ( x ) ;sin x = x − + o ( x ) ;cos x = − + o ( x ) ; tan x = x + + o ( x ) ; 3 x x x sinh ( x ) = x + + o ( x ) ;cosh x = + + o ( x ) ; x = x − + o ( x3 ) ; m ( m − 1) x m ln (1 + x ) = x − x + o ( x2 ) + o ( x ) ; (1 + x ) = + mx + 2 ex = + x + Bài tập Tính giới hạn (x b) lim x + x + + x n − n a) lim , x →1 x −1 d) lim x →+∞ g) lim x →a j) lim x →0 m e) lim x →0 h) lim x →0 cos x − cos x , sin x ⎛ 2x − x +1 ⎞ m) lim ⎜ ⎟ x →∞ x + x + ⎝ ⎠ 2 1+ α x − n 1+ β x , x x →4 x −2 , x − 5x + ⎛ x −1 ⎞ n) lim ⎜ ⎟ x →∞ x + ⎝ ⎠ x →+∞ f) lim 1+ α x n 1+ β x −1 , x i) lim − cos x cos x cos x , − cos x x →0 x →+∞ ( x+ x+ x x +1 c) lim x →0 l) lim , m + tan x − + sin x , x3 k) lim x2 1− x − a n ) − na n −1 ( x − a ) ( x − a) x →a x+3 x+4 x , 2x +1 sin x − sin a x−a n ) x3 + x − − x , x3 −1 x +1 Tính giới hạn a) lim x − x , x →0 αx e) lim x →0 x →0 x→ π , d) lim ⎡⎣sin ln ( x + 1) − sin ln x ⎤⎦ , π x →∞ n ⎛ ⎞ h) lim ⎜ x + x + x − x ⎟ , x →∞ ⎝ ⎠ tan x x→ tan x (1 + mx ) − (1 + nx ) , f) lim x →0 x2 βx e −e , sin α x − sin β x l) lim ( tan x ) c) lim ( sin x ) b) lim x cos x , m j) lim (1 + x x →0 n) lim x →∞ x →∞ x →0 x2 ⎛ x+2 ⎞ i) lim ⎜ ⎟ , x →∞ x − ⎝ ⎠ m) lim x ⎡⎣ln ( x + 1) − ln x ⎤⎦ , g) lim x x − 1+ x 1− 1− 1+ ln ( + e3 x ) ln ( + e x ) , ) 2 cot an x ⎛ + tan x ⎞ sin x , k) lim ⎜ ⎟ x →0 + sin x ⎝ ⎠ o) lim ( x + e x ) 1/ x x →0 , ⎛ 3π ⎞ p) lim ⎜ − x ⎟ tan x , 3π x→ ⎝ ⎠ q) lim ( sin xcotg3x ) , r) lim x →π x →±∞ ( x + x − x3 − x ) Tính giới hạn sin x , a) lim x → tan x d) lim x →∞ x →0 e x − e3 x + ln (1 + x ) cos x − x →0 f) lim b) lim ( ln (1 − x ) sin x − tan x + e x − c) lim cos 3x − ( ln (1 + x )) sin x x →0 cos x − e3 x + ln (1 − x ) , e) lim x →0 − x − − x + + x3 − e2 x ) , cos x cos x cos x cos x − x →0 x2 tan x − x3 + x + − x + 3x + , g) lim Bài tập ví dụ: Nguyễn Đình Trí: 3-8 (tr 106), Nguyễn Thủy Thanh: tr 56-86 Hàm liên tục, hàm sơ cấp - Liên tục, liên tục bên trái bên phải - Các hàm sơ cấp: Hàm luỹ thừa, Hàm mũ số a, Hàm lôgarit số a, Các hàm số lượng giác (Đã học phổ thông), Các hàm số lượng giác ngược, Các hàm hypebôlic thuận - Liên hệ hàm lượng giác hàm hypebolic: gọi i số ảo đơn vị ch x = cos ( ix ) , sh x = −i sin ( ix ) từ ta suy công thức hàm hypebolic từ hàm lượng giác - Hàm hữu tỉ tối giản phân thức có dạng: A ( x − a) k , (x Bx + C + px + q ) k Trong k số nguyên dương, a,p,q,A,B,C số thực p2-4q 0) n →∞ n p +1 n c) lim d) lim n →∞ ⎞ n! 3⎛ n n n + + + e) lim ⎜1 + ⎟ ⎟ n →∞ n ⎜ + + + − n n n n n ( ) ⎝ ⎠ Bài tập ví dụ: Nguyễn Đình Trí: 1-3 (tr 207-209), Nguyễn Thủy Thanh: tr 205-292,293-330 Ứng dụng tích phân Tính diện tích hình phẳng b - Biên có dạng y=f(x) S = ∫ f ( x ) dx a t2 - Biên dạng tham số x=x(t), y=y(t) S = ∫ y ( t ) x ′ ( t ) dt t1 - Biên dạng cực r=r(ϕ) S = ϕ2 ∫ϕ r (ϕ ) dϕ Tính độ dài đường cong: b - Biên có dạng y=f(x) l = ∫ + f ′2 ( x )dx a t2 - Biên dạng tham số x=x(t), y=y(t) l = ∫ x′2 ( t ) + y′2 ( t )dt t1 - Biên dạng cực r=r(ϕ) l = ϕ2 ∫ ϕ r (ϕ ) + r ′ (ϕ ) d ϕ Tính thể tích vật tròn xoay xoay quanh Ox 10 b - Biên có dạng y=f(x) V = π ∫ f ( x ) dx a t2 - Biên dạng tham số x=x(t), y=y(t) V = π ∫ y ( t ) dt t1 Tính diện tích mặt tròn xoay xoay quanh Ox b - Biên có dạng y=f(x) S = 2π ∫ f ( x ) + f ′2 ( x )dx a t2 - Biên dạng tham số x=x(t), y=y(t) S = 2π ∫ y ( t ) x′2 ( t ) + y′2 ( t )dt t1 Bài tập 35 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường a) y = x − x , x + y = ; b) y = x , y = 2, x = c) y = x ( a − x ) ; x3 d) y = , x = 2a 2a − x e) x = 3t , y = 3t − t ; f) x = 2t − t , y = 2t − t ; a − b2 a − b2 g) x = cos t , y = sin t a b i) r = a cos 2ϕ ; h) x = a ( cos t − cos 2t ) , y = a ( 2sin t − sin 2t ) k) r = a cos 5ϕ j) r + ϕ = ; 36 Tính độ dài đường cong giới hạn đường a) y = ln cos x, 0≤ x≤a< π b) x = 2 y − ln y, c) x = a ( cos t + t sin t ) , y = a ( sin t − t cos t ) d) r = 1≤ y ≤ e p π , ϕ < + cos ϕ 37 Tính thể tích vật thể giới hạn mặt cong x2 y cx a) + = 1, z = , z = 0, a b a a , b, c > b) x + y + z = a , x + y = a , a > c) z = b ( a − x ) , x + y = ax, a, b > 38 Tính thể tích vật thể tròn xoay a) y + x − = quay quanh Oy b) xy = 4, y = 0, x = 1, x = quay quanh Ox c) y = x , y = quay quanh x=-2 d) y = x − x , y = quay quanh Ox, Oy x ⎛x⎞ e) y = b ⎜ ⎟ , y = b quay quanh Ox, Oy a ⎝a⎠ 39 Tính diện tích mặt tròn xoay a) y − x = 0, ≤ x ≤ a quay quanh Ox b) y = tan x, ≤ x ≤ 11 π quay quanh Ox ⎧⎪ x = a ( t − sin t ) c) ⎨ , ⎪⎩ y = a (1 − cos t ) ≤ t ≤ 2π quay quanh Oy Bài tập ví dụ: Nguyễn Đình Trí: 4-5 (tr 281-282), 7,9 (tr 282-283), 15-20 (tr 284-285), Nguyễn Thủy Thanh: tr 356-391 Tích phân suy rộng ∞ ∫ f ( x ) dx Tiêu chuẩn so sánh tương đương với - Tích phân suy rộng với cận vô hạn (loại 1): a hàm số dương - Tích phân suy rộng với hàm dấu tích phân có cực điểm (loại 2) Thường so sánh với tích b phân ∫ ( b − x )α dx a Bài tập 40 Tính tích phân suy rộng ∞ ∫ xe x dx x dx a) −∞ d) ∫ ∞ b) ∫ cos xdx −∞ 4− x dx e) ∫ f) ∫ x (1 − x ) ∫ c) (x dx + 1) dx ( x − 1) 41 Xét tính hội tụ tích phân ∞ ∞ x dx a) ∫ x − x2 + b) ∫ a ln (1 + x ) dx e) ∫ xn ∞ π dx j) ∫ k sin x x +1 ∫ dx h) ∫ x e − cos x 1 l) ∫ x ln dx x p d) ∫ x m arctan x dx, ( n ≥ ) f) ∫ + xn dx p sin x cos q x arctan x dx xn dx c) ∫ ln x ∞ π /2 k) x ∞ dx q m) ∫ x − x4 i) ∫ dx e x −1 dx 42 Xét tính hội tụ tích phân ∞ xm dx, a) ∫ + xn ∞ d) ∫ ln x x x −1 ( n ≥ 0, m, n ∈ N ) ∞ b) ∫ x e λ −β x dx, ( a, λ , β > ) a ∞ dx − 4sin x dx x3 + x e) ∫ 43 Xét tính hội tụ hội tụ tuyệt đối tích phân ∞ sin x dx a) ∫ x ∞ b) ∫ x p sin ( x q ) dx, ( q ≠ ) 12 ∞ c) ∫ xdx e2 x − Bài tập ví dụ: Nguyễn Đình Trí: 21,22 (tr 285), Nguyễn Thủy Thanh: tr 331-355 Chuỗi dương ∞ - Kí hiệu chuỗi số ∑a k k =1 Số thực ak gọi số hạng thứ k chuỗi Gọi tổng riêng thứ n chuỗi n S n = ∑ Nếu lim S n = S (hữu hạn) nói chuỗi hội tụ có tổng S n →∞ i =1 - Tiêu chuẩn so sánh an +1 = D Nếu D>1 chuỗi phân kì, D1 chuỗi phân kì, C1 phân kỳ trường hợp lại n =1 Bài tập 44 Tính tổng chuỗi có số hạng tổng quát sau: a) an = ( 2n − 1)( 2n + 1) b) an = n +n c) an = 2n − 3n f) an = 5n 4−n e) an = n ( n + 1)( n + ) g) an 2n + n ( n + 1) ( −1) = 2 d) an = ( −1) n +1 n −1 h) an = n −1 2n + n ( n + 1) 2n − 2n 45 Bằng tiêu chuẩn so sánh tiêu chuẩn tương đương, xét hội tụ chuỗi có số hạng tổng quát sau a) an = sin n n n 1 e) an = tan n n i) an = cos ( 2π / n ) n3 − b) an = + cos nπ n2 f) an = n − n +1 j) an = c) an = tan π 3n d) an = n+2 ( n − 1) n3 − ⎡ + cos ( nπ / ) ⎤⎦ n + ( −1) g) an = ⎣ h) an = 2n n +5 ln n + n5 + n 13 n 46 Xét hội tụ chuỗi có số hạng tổng quát sau n sin n a) an = n +n n +1 e) an = arctan n3 + c) an = 2 n sin n cos n n b) an = n n f) an = 1 d) an = sin n n n2 1⎞ ⎛ ⎜2+ ⎟ n⎠ ⎝ n 47 Bằng tiêu chuẩn tích phân, xét hội tụ chuỗi có số hạng tổng quát sau a) an = n ln ( n − 1) b) an = ( n − 1) ln ( n + ) c) an = n ( n + 3) ln n d) an = en − (e n + 1) 48 Xét hội tụ chuỗi có số hạng tổng quát sau 3n + b) an = n + 2n a) an = n + − n f) an = n !sin π g) an = − cos n n2 ⎛n+2⎞ j) an = ⎜ ⎟ n ⎝ n +1 ⎠ k) an = ln n c) an = / n π n ln ( 2n + 1) n 2n + ln n h) an = n + ( −1) d) an = n tan e) an = n n − ln n i) an = n ( n − 1) ln n ⎛ nα + ⎞ l) an = ln ⎜ α ⎟ ⎝ n ⎠ 49 Xét hội tụ chuỗi có số hạng tổng quát sau b) an = a) an = n + n − n d) an = n ( n + 2) k) an = ⎞ ⎛ c) an = ln ⎜ + tan ⎟ n ⎠ ⎝ + cos n e) an = ,α > nα n + 3ln n ⎛ n ⎞ g) an = ⎜ ⎟ ⎝ n +1⎠ 2n + n 3n + n3 + n2 h) an = n + ( −1) ⎛ n +1 ⎞ l) an = ⎜ ⎟ ⎝ 2n − ⎠ an n2 + f) an = n n i) an = n n ln n ⎛ 1 ⎞ − ⎜1+ + ⎟ ⎝ n n ⎠ n2 2n + n 1⎞ ⎛ m) an = ⎜ arctan ⎟ n⎠ ⎝ j) an = n n) an = ln ( n !) n! n ln n ( ln n ) n Bài tập ví dụ: Nguyễn Đình Trí: 1-2 (tr 336-337) Chuỗi đan dấu, hội tụ tuyệt đối - Chuỗi số có dạng ∞ ∑ ( −1) k =1 k +1 ak ∞ ∑ ( −1) k k =1 ak với ak>0 gọi chuỗi đan dấu - Định lí Leibnitz: Dãy an đơn điệu giảm lim an = chuỗi đan dấu hội tụ tổng S có tính n →∞ chất sau: S≤a1 |Rn|= ∞ ∑ ( −1) k = n +1 k +1 ak ≤ an +1 14 Bài tập 50 Xét hội tụ, hội tụ tuyệt đối chuỗi có số hạng tổng quát sau đây: 1 ⎞ ⎛ − sin a) an = ( −1) ⎜ tan ⎟ n n⎠ ⎝ n ⎞ ⎛ b) an = ⎜1 − ⎟ ⎝ ln n ⎠ n ( −1) ( n + 1) = n −1 d) an e) an = n +n+2 + ( −1) n 1+ n n g) an = j) an ( −1) = n n −1 p+ n ( −1) n c) an = sin π n + ) ⎛1 ⎞ f) an = sin π ⎜ + n ⎟ ⎝n ⎠ n − ln n ( −1) n2 n ( ln n ) n h) an = ( −n ( −1) n ( −1) + nα n i) an = ⎛ ( −1)n ⎞ k) an = ln ⎜1 + p ⎟ ⎜ n ⎟⎠ ⎝ l) an = ( −1) n n −1 n + 100 n Bài tập ví dụ: Nguyễn Đình Trí: (tr 337) Chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa ∞ - Cho dãy hàm thực f n ( x ) , x ∈ ( a, b ) , gọi f1 ( x ) + f ( x ) + f n ( x ) + = ∑ f k ( x ) chuỗi hàm k =1 xác định (a,b) Điểm x0 ∈ ( a, b ) điểm hội tụ chuỗi hàm chuỗi số ∞ ∑ f ( x ) hội tụ k =1 n Tập điểm hội tụ chuỗi hàm gọi miền hội tụ chuỗi hàm - Để tìm miền hội tụ chuỗi hàm, ta dùng tiêu chuẩn hội tụ chuỗi - Một chuỗi hàm có dạng ∞ ∑ a ( x − a) i =0 i i gọi chuỗi luỹ thừa, số gọi hệ số chuỗi luỹ thừa - Đối với chuỗi luỹ thừa có a=0 tồn số R≥0 để chuỗi hội tụ tuyệt đối khoảng (-R,R) phân kì khoảng lại Số thoả mãn điều kiện gọi bán kính hội tụ chuỗi - Qui tắc tìm bán kính hội tụ: lim n →∞ an +1 = ρ lim n an = ρ R=1/ρ Cần phải xét riêng n →∞ an đầu mút x=R x=-R - Tổng chuỗi lũy thừa tìm phương pháp tích phân đạo hàm liên tiếp để đưa khử hết hệ số số hạng, từ đưa chuỗi lũy thừa Bài tập 51 Sử dụng định lý Leibnitz với chuỗi đan dấu tiêu chuẩn Weierstrass để chứng minh hội tụ chuỗi hàm sau miền tương ứng 15 ( −1) ∞ a) ∑ n =1 n x2n + n ∞ ; ( −∞, ∞ ) ∞ ∞ n =1 n =1 sin nx n4 + x4 8n3 − 12 ; [ 0,1] ∞ x ; 0, ∞ ) [ n =1 + n x nx ; −∞, ∞ ) ( n =1 + n x h) ∑ i) ∑ ∞ ⎛ x2 ⎞ k) ∑ ln ⎜ + ⎟; ( −1,1) n =1 ⎝ n ln n ⎠ ; ( −∞, ∞ ) ∞ ⎡ 1⎤ f) ∑ x n ; ⎢ 0, ⎥ ⎣ 2⎦ n =1 ; ( −∞, ∞ ) n n =1 e ( x + 1) ∞ xn n n =1 e) ∑ ; ( −∞, ∞ ) x + n2 ∞ j) ∑ c) ∑ ( −1) ∞ cos nx ; ( −∞, ∞ ) n2 n =1 d) ∑ g) ∑ ∞ xn ; [ 0,1] b) ∑ ( −1) 6n − n =1 n ∞ 2x ; ( −∞, ∞ ) x + n3 l) ∑ arctan n =1 52 Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa 3n + ( −2 ) b) ∑ n n =1 ∞ ∞ xn a) ∑ p n =1 n ∞ e) ∑ n =1 n! αn ( x + 1) f) ∑ x , (α > 1) (3 + ( −1) ) ∞ xn h) ∑ n n n =1 + i) ∑ n =1 ∞ ⎛ 1⎞ d) ∑ ⎜1 + ⎟ x n n⎠ n =1 ⎝ n n n n =1 ∞ ∞ c) ∑ α n x n , ( < α < 1) n n =1 ∞ n n ∞ xn ( n !) j) ∑ x ⎛ a n bn ⎞ n g) ∑ ⎜ + ⎟ x , ( a > 0, b > ) n ⎠ n =1 ⎝ n ∞ n ( x + 2) n2 nn n =1 53 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm tổng quát ∞ n ∞ ∞ ⎛ 1− x ⎞ a) ∑ ⎜ ⎟ n = 2n + ⎝ + x ⎠ x f) ∑ nx n =1 + 1 π b) ∑ n sin n n =1 x ∞ ∞ ⎛ 1⎞ c) ∑ ⎜1 + ⎟ n⎠ n =1 ⎝ ∞ ⎞ ⎛ g) ∑ ⎜ x n + n n ⎟ x ⎠ n=0 ⎝ h) ∑ ( x + 5) n =1 − n2 e − nx n −1 ∞ j) ∑ n =1 ( x + n )( x + n + 1) ∞ xn e) , (α ≥ ) ∑ n n n =1 α + n n =1 ln x i) ∑ ( −1) n 4n n −1 n=0 n2 + ⎛ x − ⎞ k) ∑ ( −1) ⎜ ⎟ n + n +1⎝ x + ⎠ n =1 ∞ ∞ ∞ d) ∑ n n x2n 4n ( 2n − 1) ∞ l) ∑ 3n x n tan n =1 3x n 54 Tìm tổng chuỗi hàm ∞ a) ∑ ( −1) n=0 ∞ e) ∑ nx n −1 (−x) b) ∑ n =1 n ( n + 1) ∞ ⎛ ⎞ n −1 ⎜1 + ⎟ x ⎝ n⎠ ∞ d) ∑ ( −1) n −1 n =1 ∞ ∞ xn f) ∑ n =1 n n =1 ∞ ⎞ ⎛ c) ∑ ⎜1 + n +1 ⎟ x n ⎠ n =1 ⎝ x 2n+2 g) ∑ n = ( n + 1)( n + ) ∞ n n h) ∑ ( n + 1)( n + ) x n n =1 55 Tìm tổng chuỗi hàm ∞ a) ∑ ( 2n − 1) x n + n=0 ∞ e) ∑ ( 4n + 9n + ) x n =1 ∞ b) ∑ ( 2n − n ) x n +1 n =1 n +1 ∞ c) ∑ ( −1) n =1 ∞ f) ∑ ( n + n + ) x n + n =1 16 n +1 x n +1 n ( n + 1) x n −3 n =1 4n − ∞ d) ∑ ⎛ 1⎞ ⎜1 − ⎟ n ⎝ n⎠ x Bài tập ví dụ: Nguyễn Đình Trí: 8-9 (tr 338-339) Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa - Giả sử hàm số f(x) khả vi vô hạn lân cận điểm x0 Chuỗi luỹ thừa có dạng f ′ ( x0 ) f ( ) ( x0 ) n f ( x0 ) + ( x − x0 ) + + ( x − x0 ) + n! 1! n gọi chuỗi Taylor f(x) lân cận điểm x0 Nếu x0=0 gọi chuỗi McLaurin Một số chuỗi Taylor : −1) x n +1 ( ; sin x = ∑ n = ( n + 1) ! ∞ ∞ ln (1 + x ) = ∑ ( −1) n =1 n −1 xn n −1) x n ( ; cos x = ∑ ( 2n ) ! n =0 n ∞ xn e =∑ ; n =0 n ! x ∞ α (α − 1) (α − n + 1) x n n =1 n! (1 + x ) = + ∑ α , −1 < x ≤ ; n ∞ , −1 < x < - Trên thực tế tính đạo hàm cấp cao khó nên dùng phép tính đạo hàm tích phân để đưa hàm cần khai triển hàm dễ khai triển Ngoài ra, hàm phân thức hữu tỷ phân tích thành phân thức đơn giản, sau khai triển dựa vào tổng cấp số nhân lùi vô hạn Bài tập 56 Khai triển thành chuỗi lũy thừa tìm miền hội tụ: a) f ( x ) = ch x b) f ( x ) = e) f ( x ) = arcsin x f) f ( x ) = ln x + + x (1 − x ) ( h) f ( x ) = ln ( x + x + ) i) f ( x ) = d) f ( x ) = c) f ( x ) = sin x ) x + x4 1 − x2 g) f ( x ) = 1 + x + x2 j) f ( x ) = x3 + x − x k) f ( x ) = + x x +1 57 Khai triển thành chuỗi lũy thừa theo (x-1) hàm: a) f ( x ) = 1/ x b) f ( x ) = ln x 58 Khai triển thành chuỗi lũy thừa theo (x+4) hàm f ( x ) = x + 3x + 2 Bài tập ví dụ: Nguyễn Đình Trí: 10-11,13-15 (tr 339) Chuỗi Fourier - Cho hàm số f(x) khả tích [-π,π], chuỗi lượng giác có dạng 17 a0 ∞ + ∑ an cos nx + bn sin nx n =1 a0 = π π ∫ f ( x ) dx, a n −π = π π ∫ f ( x ) cos nxdx, b n −π = π π ∫ f ( x ) sin nxdx , gọi chuỗi −π Fourier hàm số f(x), số tính theo công thức gọi hệ số Fourier hàm số f(x) - Định lí Dirichlet: Nếu f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2π, đơn điệu khúc bị chặn [-π,π] chuỗi Fourier hàm số f(x) hội tụ - Đối với hàm tuần hoàn bất kỳ, đổi biến để trở hàm tuần hoàn có chu kỳ 2π - Đối với hàm số f(x) (không tuần hoàn) muốn khai triển Fourier, ta xây dựng hàm F(x) tuần hoàn trùng với f(x) khoảng cho, sau khai triển F(x) Rõ ràng có nhiều cách xây dựng hàm F(x) có nhiều chuỗi Fourier biểu diễn f(x) Nếu hàm F(x) xây dựng hàm chẵn ta có chuỗi Fourier cosin, hàm lẻ có chuỗi Fourier sin Bài tập: 59 Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f(x) lẻ, tuần hoàn với chu kỳ 2π f(x)=π-x với 0e x[...]... x≠-n -1 1 1 + ln (1 + x ) , x < 1 1+ x x b) − 1 ln (1 + x ) + 1, x < 1 1+ x 22 f)x≥0 g) -1