CHƯƠNG II MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THỐNG KÊ MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THỐNG KÊ MỤC TIÊU 1.Hiểu biến ngẫu nhiên 2.Hiểu số khái niệm phân bố xác suất, kỳ vọng phương sai, phân bố xác suất kết hợp 3.Nhớ phân bố xác suất thường dùng MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THỐNG KÊ NỘI DUNG CHƯƠNG Biến ngẫu nhiên Phân bố xác suất Kỳ vọng phương sai Phân bố xác suất kết hợp Các biến ngẫu nhiên độc lập Một số phân bố xác suất thường dùng 2.1 BIẾN NGẪU NHIÊN Biến ngẫu nhiên biến mà giá trị xác định kết cục có phép thử với xác suất tương ứng Biến ngẫu nhiên rời rạc: bnn mà có số hữu hạn đếm số giá trị mà chấp nhận Biến ngẫu nhiên liên tục: bnn mà giá trị lấp đầy khoảng 2.2 PHÂN BỐ XÁC SUẤT Phân bố xác suất bnn rời rạc X, ký hiệu f(x) liệt kê giá trị mà nhận xác suất tương ứng gắn với chúng f(x)=P(X=x) Theo tiên đề xác suất 0≤f(x)≤1 ∑ f ( x) = x 2.2 PHÂN BỐ XÁC SUẤT  Phân bố xác suất biến ngẫu nhiên liên tục mô tả hàm mật độ xác suất, ký hiệu f(x), hàm định nghĩa thỏa mãn điều kiện sau: f ( x) ≥ b P(a ≤ X ≤ b) = ∫ f ( x )dx +∞ ∫ −∞ a f ( x) dx = 2.2 PHÂN BỐ XÁC SUẤT P ( a ≤ X ≤ b) = P ( a < X < b ) f(x) a b x 2.3 KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI  Kỳ vọng (E: expectation) hay giá trị trung bình biến ngẫu nhiên X, ký hiệu E(X), định nghĩa sau: μ=E(X)= ∑ xf ( x ) X – rời rạc ∫ xf ( x)dx X – liên tục x x •Trung bình mẫu (mean) bnn X giá trị trung bình kết thu mẫu quan sát mà có số quan sát chọn (thường ngẫu nhiên) n X = ∑Xi n i =1 2.3 KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI  Phương sai biến ngẫu nhiên thước đo độ trải rộng hay độ phân tán bnn xung quanh kỳ vọng σ σ = Var( X ) = E[ X − E ( X )] = E ( X − µ ) ∑ (x−µ) = f ( x) x ∫ (x−µ) x f ( x)dx X – rời rạc X – liên tục 2.3 KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI  Độ lệch chuẩn X bậc hai dương phương sai, ký hiệu σ= σ 2.3 KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI • • Tính chất E(a*X+b) = a*E(X)+b Hệ E(b) = b Tính chất 2 Var(a * X + b) = a *Var( X ) 2.4 PHÂN BỐ XÁC SUẤT KẾT HỢP  Phân bố xác suất kết hợp hai bnn X Y định nghĩa hàm thỏa mãn điều kiện sau: f ( x, y ) ≥ ∀( x, y ) P ( a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d ) = ∑ ∑ f ( x, y ) a ≤ x ≤b c ≤ y ≤ d X, Y – rời rạc b d ∑∑ f ( x, y) = x y ∫ ∫ f ( x, y)dydx = x y ∫ ∫ f ( x, y)dydx a c X, Y – liên tục 2.4 PHÂN BỐ XÁC SUẤT KẾT HỢP  Hiệp phương sai hai biến ngẫu nhiên Cov( X , Y ) = E[( X − E ( X )) *(Y − E (Y ))] =E[(X-µ )(Y − µ )] = ∫ ∫ ( x − µ )( y − µ )dydx x  y x y Hệ số tương quan p XY = Cov( X , Y ) σ σ X Y x y 2.4 PHÂN BỐ XÁC SUẤT KẾT HỢP  Với biến ngẫu nhiên có số tính chất sau: • Tính chất 3: E(X+Y) = E(X)+E(Y) • Tính chất 4: Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y) 2.5 CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP   Hai biến ngẫu nhiên X Y coi độc lập với xác suất để xảy kết cục gắn với biến ngẫu nhiên X không liên quan tới kết biến ngẫu nhiên Y ngược lại Đối với biến ngẫu nhiên độc lập có số tính chất sau: • Tính chất 5: E(X*Y) = E(X)*E(Y) • Tính chất 6: Cov(X, Y)=0 • Tính chất 7: Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) 2.6 CÁC PHÂN BỐ XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP Phân bố chuẩn  Biến ngẫu nhiên X gọi có phân bố chuẩn với kỳ vọng μ phương sai σ , ký hiệu X : N (µ,,σ ) hàm mật độ xác suất có dạng 2   ( x − µ )  f ( x) = exp  − 2   σ 2πσ   Với exp( A) = e A 2.6 CÁC PHÂN BỐ XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP Phân bố chuẩn Y Đường cong phân bố chuẩn d μ X : N ( µ ,σ ) => U = X X −µ : N (0,1) σ 2.6 CÁC PHÂN BỐ XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP Phân bố chuẩn •Tính chất 8: Nếu X 1, X 2, X X n biến ngẫu nhiên độc lập có phân bố chuẩn, X : N (µ ,σ ) i i i X = ∑ i =1 k i X i : (∑ k i µ ,∑ k i σ i ) n 2 i ∃k i # •Tính chất 9: Với X biến ngẫu nhiên với kỳ vọng μ phương sai, trung bình mẫu n X= n ∑X i =1 i •Sẽ trở nên xấp xỉ phân bố chuẩn với kỳ vọng μ phương sai quy mô mẫu n -> ∞ σ n 2.6 CÁC PHÂN BỐ XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP Phân bố χ - Biến ngẫu nhiên liên tục χ gọi phân phối theo quy luật Chi bình phương với n bậc tự hàm mật độ xác suất có dạng x≤0 f(x) = n e Γ( ) n ∞ Với Γ( x) = ∫ t x −1 x e *x −t dt n −1 x>0 Là hàm Gamma 2.6 CÁC PHÂN BỐ XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP Phân bố χ f( χ ) E ( χ ) = n, Var( χ ) = 2n Đường cong phân bố χ 2 χ •Tính chất 10: Nếu X 1, X 2, X X n biến ngẫu nhiên độc lập có phân bố chuẩn hóa N(0,1) n ∑X i =1 i : χ ( n) 2.6 CÁC PHÂN BỐ XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP Phân bố T - Biến ngẫu nhiên liên tục T gọi phân phối theo quy luật Student với n bậc tự hàm mật độ xác suất có dạng: n n − Γ( )   f (t ) = 1 + t  n −  n − 1  Π (n − 1)Γ( ) ∀t Trong Γ ( x ) hàm Gamma 2.6 CÁC PHÂN BỐ XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP Phân bố T f(t) N(0,1) E(T)=0 Var(T ) = n n−2 Đường cong phân bố T T(n) T •Tính chất 11: Nếu X Z biến ngẫu nhiên độc lập X ~ N(0,1), Z~ χ X : T (n) Thì Z n ( n) 2.6 CÁC PHÂN BỐ XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP Phân bố F - Biến ngẫu nhiên liên tục F gọi phân phối theo quy luật Fisher với n1 n2 bậc tự hàm mật độ xác suất có dạng: x≤0 f(x)= x C* n 1− n 2 (n + n x ) ( x>0 n1+ n ) n n +n n Γ( )*n *n C= Γ( n ) * Γ( n ) 1 Với 2 2 2 2.6 CÁC PHÂN BỐ XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP f Phân bố F E(F ) = n n −1 2 f Var( F ) = n (n Đường cong phân bố F 2n 2(n1 + n − 2) − 2) (n − 4) F  Tính chất 12: Nếu X Z biến ngẫu nhiên độc lập có phân bố χ (n) với độ tự tương ứng n1 n2, X n Z n : F (n1, n 2) ... phương sai hai biến ngẫu nhiên Cov( X , Y ) = E[( X − E ( X )) *(Y − E (Y ))] =E[(X-µ )(Y − µ )] = ∫ ∫ ( x − µ )( y − µ )dydx x  y x y Hệ số tương quan p XY = Cov( X , Y ) σ σ X Y x y 2.4 PHÂN... E(X+Y) = E(X)+E(Y) • Tính chất 4: Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y) 2.5 CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP   Hai biến ngẫu nhiên X Y coi độc lập với xác suất để xảy kết cục gắn với biến ngẫu nhiên... với biến ngẫu nhiên độc lập có số tính chất sau: • Tính chất 5: E(X*Y) = E(X)*E(Y) • Tính chất 6: Cov(X, Y)=0 • Tính chất 7: Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) 2.6 CÁC PHÂN BỐ XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP Phân bố chuẩn