PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BÀI TOÁN CAUCHY Tìm nghiệm phương trình hoặc: F(x, y, y’, y”) = (1) y” = f(x, y, y’) (2) thỏa điều kiện ban đầu : y(x0) = y0 y’(x0) = y1 Lưu ý: nghiệm tổng quát ptvp cấp có số tự do, cần điều kiện để tìm số Ví dụ Tìm nghiệm toán: y” = x2 (1) y(0) = 1, y’(0) = -2 (2) x (3) (1) ⇔ y ' = + C1 x ⇔y= + C1x + C2 (4) 12 (2), (3) ⇒ C1 = -2 (2), (4) ⇒ C2 = Vậy nghiệm toán là: x y= − 2x + 12 MỘT SỐ PTVP CẤP GIẢM CẤP ĐƯỢC LOẠI 1: pt không chứa y : F(x, y’, y”) = Cách làm: đặt p = y’ → đưa ptvp cấp theo p, x LOẠI 2: pt không chứa x: F(y,y’,y”) = Cách làm: đặt p = y’ → đưa pt cấp theo hàm p biến y LOẠI 3: F thỏa F(x,ty,ty’,ty”) = tnF(x,y,y’,y”) Cách làm: đặt y’ = yz → đưa pt theo x, z Ví dụ 1/ y" = y ' Pt trở thành: Với p ≠ Pt không chứa y, đặt y ' = p p' = p ( p ' = p '( x )) dp = dx ⇔ p = x + C1 p ⇔ y ' = ( x + C1 ) ⇔ y = ( x + C1 ) + C2 p = ⇔ y’ = ⇔ y = C 2 / (1 + y ) yy " = ( y − 1)( y ') Pt không chứa x Đặt y’ = p (xem y biến) dy ' dy ' dy dp y" = = × = × p = p '× p, ( p'=p'(y)) dx dy dx dy Pt trở thành: 2 (1 + y ) yp ' p = ( y − 1) p 2  2y dp y −1 1 ⇒ = dy =  − ÷dy 2 p y (1 + y ) y 1 + y ⇒ py = C1 (1 + y ) ⇒ py = C1 (1 + y ) ⇒ y ' y = C1 (1 + y ) ydy ⇒ = C1dx 1+ y ⇒ ln(1 + y ) = C1x + C2 x2yy” – (y – xy’)2 = x2 ty ty” – (ty – x ty’)2 = t2[x2yy” – (y – xy’)2 Đặt y’ = yz ⇒ y” = y’z + yz’ = yz2 + yz’ Pt trở thành: 2 x y ( yz + yz ') = ( y − xyz) 2 ⇒ x ( z + z ') = (1 − xz) ⇒ x z '+ xz = 2 (Tuyến tính ) x z '+ xz = 1 C1 ⇒z= + x x y ' C1 ⇒ = + y x x ⇒ y = C2 C1 − xe x PTVP TUYẾN TÍNH CẤP y” + p(x)y’ + q(x)y = f(x) y” + p(x)y’ + q(x)y = (1) p(x), q(x), f(x) liên tục Phương trình Cấu trúc nghiệm pt không nhất: y = y + yr • y0 nghiệm tổng quát pt nhất, • yr nghiệm riêng pt không • Định dạng yr • Nếu α+i β không nghiệm pt đặc trưng yr =eαx [Rs(x)cosβx + Ts(x)sin βx ] • Nếu α+i β nghiệm bội p pt đặc trưng (p = 1, 2) yr =xp eαx [Rs(x)cosβx + Ts(x)sin βx ] Các đa thức Rs, Ts xác định thay yr vào pt không VÍ DỤ (1) y” + y = x2 + x f(x) α = 0, β = 0, s = ⇒ yr = Ax2 + Bx + C Ptđt: k2 + = ⇔ k = ± i y0 = C1cos x + C2sin x ⇒ α + iβ = 0: không nghiệm ptđt ⇒ y’r = 2Ax + B, yr” = 2A Thay yr vào (1): 2A + Ax2 + Bx + C = x2 + x, ∀x 2A + Ax2 + Bx + C = x2 + x, ∀x ⇔ A = 1, B = 1, 2A + C = ⇔ A = 1, B = 1, C = −2 yr = x2 + x – ⇒ y = y0 + yr = C1cos x + C2sin x + x2 + x – (2) y” + y’ = x – Ptđt: k2+k=0 ⇔ k = 0, k =–1 f(x) y0 = C1e0x + C2e–x α = 0, β = 0, s = α + iβ = 0: nghiệm đơn ptđt ( p =1) ⇒ yr = x1 (Ax + B) = Ax2 + Bx ⇒ y’r = 2Ax + B, yr” = 2A Thay yr vào (2): 2A + 2Ax + B = x – , ∀x 2A + 2Ax + B = x – , ∀x ⇔ A = ½, B = – y r = x − 3x Nghiệm TQ (2): y = C1 + C2e −x + x − 3x (3) y” – y = xsinx Ptđt: k2 – = ⇔ k = ± y0 = C1ex + C2e–x f(x) = xsinx ⇒ α = 0, β = 1, s = ⇒ α + iβ = i: không nghiệm ptđt yr = (Ax + B)cosx + (Cx + D)sinx y’r = (Cx + A + D)cosx – (Ax + B – C)sinx yr” = – (Ax + B – 2C )cosx – ( Cx + 2A + D)sinx Thay yr vào (3): (– 2Ax – 2B + 2C) cosx + (– 2Cx – 2A + 2D)sinx = xsinx ⇔ ⇔ – 2Ax – 2B + 2C = – 2Cx – 2A + 2D = x A = 0, B = C ⇔ C = -1/2, A = D 1 y r = − cos x − x sin x 2 A = 0, B = -1/2 C = -1/2, D = Nghiệm TQ (3): x y = y + y r = C1e + C2e −x 1 − cos x − x sin x 2 (4) y” + 4y’ + 4y = e – 2x + sinx Ptđt: k2 + 4k + = ⇔ k = – (bội p =2) f(x) = e – 2x + sinx f1(x) = e – 2x y r = x Ae dạng đặc biệt α1 = −2, β1 = 0, s1 = −2 x Thay yr1 vào pt: y” + 4y’ + 4y = f1(x) = e – 2x ⇒A = ½ −2 x ⇒ yr1 = x e f2(x) = sinx (k = -2) α =, β = 1, s = y r = B cos x + C sin x Thay yr2 vào pt: y” + 4y’ + 4y = f2(x) = sinx ⇒ B = – 4/7 , C = –3/7 ⇒ yr −4 = cos x − sin x 7 y r = y r + y r ( Nguyên lý chồng chất nghiệm) PHƯƠNG TRÌNH EURLER (a, b, p, q (ax + b) y” + p(ax + b)y’ + qy = f(x) số) Đổi biến : t = ln|ax + b| ⇔ ax + b =± et ( dy dy dt dy a dy −t y'= = = = ±ae dx dt dx dt ax + b dt dy ' dy ' dt d  − t dy  dt y"= = =  ±ae ÷ dx dt dx dt  dt  dx  −2t d y dy  =a e  − ÷ dt   dt ) (  −2t d y dy  y ′′ = a e  − ÷ dt   dt ) dy −t y'= ±ae , dt Thay vào pt ban đầu:  2t −2t d y dy  t −t dy e a e  − ÷+ p ±e ±ae + qy = F (t ) dt  dt  dt ( )( 2d y ) dy a + (ap − a ) + qy = F (t ) dt dt Tuyến tính hệ số Ví dụ (2x + 1)2y”–2(2x + 1)y’–12y = 0, miền 2x+1> Đặt : 2x + = et hay t = ln(2x + 1) dy dy dt dy dy −t y'= = = = e = y t′e −t dx dt dx dt x + dt dy ' dy ' dt d  −t dy  dt y"= = =  2e ÷ dx dt dx dt  dt  dx  d y dy  −2t −2t = 4e  − ÷ = 4e ( y t′′ − y t′ ) dt   dt −t y ' = y t′e , y ′′ = 4e −2t ( y t′′ − y t′ ) (2x + 1)2y”–2(2x + 1)y’–12y = 0, 2x + = et Pt trở thành: 2t e 4e −2t t −t ′′ ′ ( y t − y t ) − 2e 2e y t′ − 12y = ⇔ 4y t′′ − 8y t′ − 12 y = ⇔ y t′′ − 2y t′ − 3y = C1 ⇔ y = C1e + C2e ⇔ y = + C2 (2 x + 1)3 2x + −t 3t Giải pt: x2y” + xy’ – y = lnx.sin(lnx) (x > 0) Đặt: t = lnx hay x = et dy −t −t ′ ′ y = e = yte , dt  −2t d y dy  −2 t ′′ y =e  − ÷ = e ( y t′′ − y t′ ) dt   dt Thay vào pt: 2t −2t e e ( y t′′ − y t′ ) + e e y t′ − y = t sin t t −t 2t −2t e e t −t ′′ ′ ( y t − y t ) + e e y t′ − y = t sin t ⇔ y t′′ − y = t sin t 1 ⇔ y = C1e + C2e − cos t − t sin t 2 t −t C2 1 ⇔ y = C1x + − cos(ln x ) − ln x sin(ln x ) x 2 ... Cx + 2A + D)sinx Thay yr vào (3): (– 2Ax – 2B + 2C) cosx + (– 2Cx – 2A + 2D)sinx = xsinx ⇔ ⇔ – 2Ax – 2B + 2C = – 2Cx – 2A + 2D = x A = 0, B = C ⇔ C = -1 /2, A = D 1 y r = − cos x − x sin x 2 A... Tìm nghiệm toán: y” = x2 (1) y(0) = 1, y’(0) = -2 (2) x (3) (1) ⇔ y ' = + C1 x ⇔y= + C1x + C2 (4) 12 (2) , (3) ⇒ C1 = -2 (2) , (4) ⇒ C2 = Vậy nghiệm toán là: x y= − 2x + 12 MỘT SỐ PTVP CẤP GIẢM... C2sin x ⇒ α + iβ = 0: không nghiệm ptđt ⇒ y’r = 2Ax + B, yr” = 2A Thay yr vào (1): 2A + Ax2 + Bx + C = x2 + x, ∀x 2A + Ax2 + Bx + C = x2 + x, ∀x ⇔ A = 1, B = 1, 2A + C = ⇔ A = 1, B = 1, C = −2