TS Trần Văn Hoài Quan hệ (Relation) Quan hệ (relation) 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Giới hạn hàm Không thể biểu diễn kiểu liên hệ dạng phần tử miền xác định ứng với nhiều phần tử miền giá trị ➠ Quan hệ doanh nghiệp số điện thoại ➠ Quan hệ doanh nghiệp doanh nghiệp ➠ Quan hệ ngôn ngữ lập trình ứng dụng Cưới Phụ nữ Đàn ông Quan hệ (relation) ➠ Quan hệ số tự nhiên ước số chúng ➠ 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Định nghĩa quan hệ Cho A, B tập hợp Quan hệ hai (binary relation) từ A đến B R ⊆A×B Một số ký hiệu ☞ a R b để (a, b) ∈ R ☞ a R b để (a, b) ∈ R Tổng quát ta có quan hệ n (n-ary relation) Quan hệ (relation) 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Quan hệ học thi môn toán rời rạc Ví dụ: Tập sinh viên S = {a, b, c} tập nội dung môn toán rời rạc D = {l, c, s, g} Quan hệ R biểu diễn sau mô tả việc học sinh viên trước thi l a c R l c s g a x b s c x x x b g c x x x x D S Quan hệ (relation) 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Quan hệ tập (1) Ví dụ: Cho tập A = {1, 5, 3, 6} Các cặp thuộc quan hệ R = {(a, b)|a chia hết b} R l x x x x x x x x Có quan hệ tập hữu hạn A, với |A| = n? Quan hệ (relation) 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Quan hệ tập (2) Ví dụ: Cho quan hệ: R1 = {(a, b)|a ≤ b} R2 = {(a, b)|a > b} R3 = {(a, b)|a = b ∨ a = −b} Những cặp sau thuộc quan hệ nào: (1, 1), (4, 1), (2, 3), (10, −1), (1, −1) ? Quan hệ (relation) 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Các tính chất quan hệ Phản xạ x R x, ∀x ∈ D (Reflexive) Đối xứng x R y → y R x, ∀x, y ∈ D (Symmetric) Phản đối xứng (x R y ∧ y R x) → x = y, ∀x, y ∈ D (Antisymmetric) Bắc cầu (x R y ∧ y R z) → x R z, ∀x, y, z ∈ D (Transitive) Quan hệ (relation) 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Ví dụ tính chất quan hệ (1) Ví dụ: Quan hệ "chia hết" + có tính chất: ➠ Phản xạ ➠ Không đối xứng ➠ Phản đối xứng ➠ Bắc cầu Quan hệ (relation) 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Ví dụ tính chất quan hệ (2) Ví dụ: Nêu tính chất quan hệ đây: ➳ R1 = {(a, b)|a ≤ b} ➳ R2 = {(a, b)|a > b} ➳ R3 = {(a, b)|a = b ∨ a = −b} ➳ "get married" tập người Quan hệ (relation) 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Tổ hợp quan hệ Quan hệ xây dựng khái niệm tập hợp ⇒ thực phép toán tập hợp quan hệ Ví dụ: Cho R3 = {(a, b)|a > b} R4 = {(a, b)|a = b} tập số nguyên Khi R3 ∪ R4 = {(a, b)|a ≥ b} R3 ∩ R4 = ∅ Ví dụ: Cho A tập sinh viên, B tập môn học, R1 = {(a, b)|a học b}, R2 = {(a, b)|a cần b để tốt nghiệp } Tìm quan hệ R1 ∪ R2 , R1 ∩ R2 , R1 − R2 , R2 − R1 Quan hệ (relation) 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Tạo bao đóng bắc cầu Tìm bao đóng bắc cầu tương đương xác định cặp đỉnh đồ thị biểu diễn nối đường (path) Quan hệ liên thông R∗ gồm cặp (a, b) cho có đường a b n R R ∗ = ∪∞ n=1 Quan hệ (relation) 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Tạo bao đóng bắc cầu (tt) d a e b c Quan hệ (relation) 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Tạo bao đóng bắc cầu (tt) Thuật toán Warshall [1960] dựa định lý Nếu MR biểu diễn ma trận quan hệ R tập n phần tử bao đóng bắc cầu R [2] [n] MR ∗ = MR ∨ MR ∨ MR Trong R∗ quan hệ liên thông bao đóng bắc cầu R Ví dụ: Xét tập bang S Mỹ, quan hệ R S gồm cặp (a, b) cho bang a bang b có biên giới Quan hệ Rn nghĩa ? Quan hệ R∗ nghĩa ? Quan hệ (relation) 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Sự phân lớp (1) Ví dụ: Xét tập sinh viên đăng ký môn học A Giờ đăng ký: • A-G: 8h-11h • H-N: 11h-14h • O-Z: 14h-17h Xây dựng quan hệ R = {(a, b)|a, b ∈ A ∧ a, b khối chữ } Rõ ràng ➠ Phản xạ ➠ Chia A thành khối ➠ Đối xứng ➠ Chỉ cần quan tâm sinh viên thuộc khối ➠ Bắc cầu Quan hệ (relation) 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Sự phân lớp (2) Ví dụ: Xét tập số nguyên quan hệ “đồng dư theo môđun 4” R = {(a, b)|a, b ∈ Quan hệ R chia Quan hệ (relation) ∧ (a − b ≡ (mod 4))} thành lớp 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Quan hệ tương đương Quan hệ tập A gọi tương đương phản xạ, đối xứng, bắc cầu Ví dụ: Xét quan hệ tập số nguyên R = {(a, b)|a = b ∨ a = −b} Quan hệ R tương đương Ví dụ: Xét quan hệ tập số thực R = {(a, b)|a − b ∈ } Quan hệ R có tương đương không ? Quan hệ (relation) 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Lớp tương đương Ví dụ: An, Bình lớp thuộc quan hệ “thuộc khối đăng ký” Ví dụ: 0, 4, lớp thuộc quan hệ “đồng dư môđun 4” Cho R quan hệ tương đương A, tập tất phần tử có quan hệ với a ∈ A gọi lớp tương đương Quan hệ (relation) 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Lớp tương đương phân hoạch (1) Cho quan hệ tương đương R tập A Các mệnh đề sau tương đương ☞aRb ☞ [a] = [b] (ký hiệu [a] = {(a, c)|c ∈ A}) ☞ [a] ∩ [b] = ∅ Quan hệ (relation) 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Sự phân hoạch Cho quan hệ R tương đương A Ta có ☞ Các lớp tương đương R lập nên phân hoạch A ☞ Với phân hoạch, tồn quan hệ tương đương R tương ứng Quan hệ (relation) Phụ nữ Đàn ông Con người Quan hệ "cùng giới tính" 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Ví dụ: Quan hệ đồng dư môđun [0]4 = { , −4, 0, 4, } [1]4 = { , −3, 1, 5, } [2]4 = { , −2, 2, 6, } [3]4 = { , −1, 3, 7, } Quan hệ (relation) 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Thứ tự phận ☞ So sánh từ danh sách, từ điển, ☞ So sánh xếp dự án (x phải hoàn thành trước y) ☞ So sánh số Quan hệ R S gọi thứ tự phận (partial order) phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu Ký hiệu tập hợp thứ tự phận (partially ordered set - poset) (S, R) (S, ) Ví dụ: ➳ ( , ≥) poset ➳ Cho tập hợp S, ta có (P (S), ⊆) poset Quan hệ (relation) 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Thứ tự toàn Ví dụ: Xét poset ( +, |) 3|9 nghĩa 3, so sánh |7 hay |5 nghĩa so sánh ⇒ thứ tự phận có cặp so sánh Nếu (S, ) poset phần tử so sánh gọi thứ tự toàn thứ tự tuyến tính (total order linear order) Một poset gọi chain Ví dụ: (Z, ≤) thứ tự toàn Quan hệ (relation) 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Cực đại, cực tiểu ☞ a ∈ S cực đại (maximal) poset (S, ) không tồn b ∈ S cho a ≺ b (nghĩa a b a = b) ☞ a ∈ S cực tiểu (minimal) poset (S, ) không tồn b ∈ S cho b ≺ a Ví dụ: Những phần tử cực đại, cực tiểu poset ({2, 4, 5, 10, 12, 20, 25}, |} ? Quan hệ (relation) 12 20 10 maximal 25 minimal 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Tối đại, tối thiểu Chặn trên, chặn ☞ a tối đại (greatest element) poset (S, ) b a, ∀b ∈ S ☞ a tối thiểu (least element) poset (S, ) a b, ∀b ∈ S ☞ Cho A ⊆ S u gọi chặn (upper bound) A a u, ∀a ∈ A ☞ Cho A ⊆ S l gọi chặn (lower bound) A l Quan hệ (relation) a, ∀a ∈ A 2008-2009 TS Trần Văn Hoài Ví dụ chặn trên, chặn Ví dụ: Cho S tập hợp Poset (P (S), ⊆) có tối đại S tối thiểu ∅ 40 Ví dụ: ☞ Tập A chặn trên, chặn ☞ Tập B có chặn 20, 40 chặn 12 20 10 B A Quan hệ (relation) 25 2008-2009 ... nghĩa ? Quan hệ (relation) 200 8-2 009 TS Trần Văn Hoài Sự phân lớp (1) Ví dụ: Xét tập sinh viên đăng ký môn học A Giờ đăng ký: • A-G: 8h-11h • H-N: 11h-14h • O-Z: 14h-17h Xây dựng quan hệ R = {(a,... (relation) 200 8-2 009 TS Trần Văn Hoài Ví dụ tính chất quan hệ (1) Ví dụ: Quan hệ "chia hết" + có tính chất: ➠ Phản xạ ➠ Không đối xứng ➠ Phản đối xứng ➠ Bắc cầu Quan hệ (relation) 200 8-2 009 TS Trần... 1), (3, 2), (4, 1)} Quan hệ (relation) 200 8-2 009 TS Trần Văn Hoài Ý nghĩa bao đóng quan hệ Cần Thơ Hồ Chí Minh Đà Nẵng Vinh Hà Nội Quan hệ (relation) 200 8-2 009 TS Trần Văn Hoài Bao đóng quan hệ