Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Bài tập chương Hàm số Dãy Dẫn nhập Trong tập đây, làm quen với kiến thức liên quan đến hàm số, loại ánh xạ, dãy số, hệ thức truy hồi đệ quy Sinh viên cần ôn lại lý thuyết chương trước làm tập bên Bài tập mẫu Câu Hãy dò theo Giải thuật tính giai thừa giảng đầu vào n = Lời giải Đầu tiên, ta sử dụng bước đệ quy để viết 4! = · 3! Sau sử dụng bước đệ quy nhiều lần để viết 3! = · 2!, 2! = · 1!, 1! = · 0! Đưa giá trị 0! = vào, ngược lại bước, ta thấy 1! = · = 2! = · 1! = 3! = · 2! = · = 6, 4! = · 3! = · = 24 ✷ Câu Tại f hàm từ R đến R a) f (x) = 1/x? √ b) f (x) = x? c) f (x) = ± (x2 + 1)? Lời giải Vì tồn giá trị x = giá trị tương ứng miền giá trị R Vì tồn giá trị x < miền xác định giá trị tương ứng miền giá trị R Giáo trình Toán Rời Rạc Trang 1/16 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Vì tồn giá trị x ∈ R có hai kết khác miền giá trị R ✷ Câu Xác định xem hàm từ tập {a, b, c, d} vào có phải đơn ánh hay không a) f (a) = b, f (b) = a, f (c) = c, f (d) = d b) f (a) = b, f (b) = b, f (c) = d, f (d) = c c) f (a) = d, f (b) = b, f (c) = c, f (d) = d Lời giải a) Đơn ánh b) Không c) Không ✷ Câu Hàm Câu toàn ánh? Lời giải a) Toàn ánh b) Không c) Không ✷ Câu Hàm Câu song ánh? Lời giải a) Song ánh b) Không c) Không Giáo trình Toán Rời Rạc Trang 2/16 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính ✷ Câu Tìm miền xác định range hàm sau a) hàm chuyển cặp số nguyên dương thành số nguyên cặp số b) hàm chuyển số nguyên dương thành chữ số lớn số Lời giải a) Miền xác định: Z+ × Z+ Range: Z+ b) Miền xác định: Z+ Range = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ✷ Câu Tìm hàm ngược f (x) = x3 + Lời giải f −1 (x) = ✷ f (x) − Câu Tìm giá trị sau a) 1.1 c) −0.1 b) 1.1 d) −0.1 Lời giải a) 1.1 = c) −0.1 = −1 b) 1.1 = d) −0.1 = ✷ Câu Tìm số hạng a8 dãy {an } an Giáo trình Toán Rời Rạc Trang 3/16 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính a) 2n−1 c) + (−1)n b) d) −(−2)n Lời giải a) 28−1 = 27 c) + (−1)8 = b) d) −(−2)8 = −28 ✷ Bài tập cần giải Câu 10 Xác định xem f có phải hàm từ Z đến R không, a) f (n) = ±n √ b) f (n) = n2 + c) f (x) = 1/(n2 − 4) Lời giải a) Không f từ Z đến Z × Z b) Đúng c) Không f có miền xác định Z − {±2} ✷ Câu 11 Tìm miền xác định range hàm sau a) hàm chuyển chuỗi bit thành số số trừ số số chuỗi b) hàm chuyển số nguyên dương thành số nguyên lớn không lớn bậc hai số nguyên c) hàm chuyển chuỗi bit thành chuỗi số dài chuỗi Giáo trình Toán Rời Rạc Trang 4/16 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Lời giải a) Miền xác định: {x | x : bit string} Range: Z b) Miền xác định: Z+ Range: Z+ c) Miền xác định: {x | x: bit string} Range: {x | x : bit string} ✷ Câu 12 Cho S = {−1, 0, 2, 4, 7} Tìm f (S) a) f (x) = c) f (x) = x/5 b) f (x) = 2x + d) f (x) = (x2 + 1)/3 Lời giải a) f (S) = {1} b) f (S) = {−1, 1, 5, 9, 15} c) f (S) = {0, 1, 2} d) f (S) = {0, 1, 5, 16} ✷ Câu 13 Xác định xem hàm từ Z đến Z đây, hàm đơn ánh a) f (n) = n − c) f (n) = n3 b) f (n) = n2 + d) f (n) = n/2 Lời giải a) Đơn ánh b) Không c) Đơn ánh d) Không Giáo trình Toán Rời Rạc Trang 5/16 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính ✷ Câu 14 Hàm Câu 13 toàn ánh? Lời giải a) Toàn ánh b) Không c) Không d) Toàn ánh ✷ Câu 15 Xác định hàm f : Z × Z → Z có phải toàn ánh hay không a) f (m, n) = m + n b) f (m, n) = m2 + n2 c) f (m, n) = m d) f (m, n) = |n| e) f (m, n) = m − n Lời giải a) Toàn ánh b) Không c) Toàn ánh d) Không e) Toàn ánh ✷ Câu 16 Trong hàm sau đây, hàm song ánh từ R đến R Giáo trình Toán Rời Rạc Trang 6/16 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính a) f (x) = −3x + c) f (x) = (x + 1)/(x + 2) b) f (x) = −3x2 + d) f (x) = x5 + Lời giải a) Song ánh b) Không c) Song ánh d) Song ánh ✷ Câu 17 Chứng minh hàm f (x) = ax + b từ R vào R khả nghịch, a b số, với a = 0, tìm hàm ngược f Lời giải ∀x∀y(ax + b = ay + b → x = y) => f đơn ánh ∀y∃(x = y−b a ) : f (x) = y => f toàn ánh Do f song ánh, hay f khả nghịch Hàm ngược: f −1 (x) = x−b a ✷ Câu 18 Tìm f ◦ g g ◦ f , f (x) = x2 + g(x) = x + 2, hàm từ R vào R Lời giải • f ◦ g = (x + 2)2 + • g ◦ f = (x2 + 1) + ✷ Câu 19 Tìm f + g f g với hàm f g cho Câu 18 Lời giải • f + g = x2 + x + • f g = (x2 + 1)(x + 1) Giáo trình Toán Rời Rạc Trang 7/16 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính ✷ Câu 20 Tìm giá trị sau a) 2.99 c) b) −2.99 d) + 2 + + Lời giải a) c) b) -2 d) ✷ Câu 21 Hãy nhận dạng quy luật dãy số nguyên sau, sau tìm ba số hạng dãy a) 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, b) 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 8, c) 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, d) 15, 8, 1, −6, −13, −20, −27, Lời giải a) Quy luật: Đầu tiên số xuất lần, sau số xuất lần Số lần xuất số lần sau số lần xuất dãy số liền trước (cách dãy số 0) cộng thêm lần Tương tự với số Ba số hạng tiếp theo: 1, 1, b) Quy luật: Bắt đầu từ 1, số liền sau số hạng cuối có dãy xuất hai lần theo quy luật: số chẵn xuất hai lần, số lẻ xuất lần Ba số hạng tiếp theo: 9, 10, 10 c) Quy luật: Số hạng sau lớn gấp đôi số hạng trước, số Ba số hạng tiếp theo: 384, 768, 1536 d) Quy luật: Số hạng sau nhỏ số hạng trước đơn vị, số 15 Ba số hạng tiếp theo: -34, -41, -48 Giáo trình Toán Rời Rạc Trang 8/16 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính ✷ Câu 22 Tìm giá trị tổng sau a) (k + 1) (2 · 3j + · 2j ) d) j=0 k=1 j+1 b) (2 j −2 ) (i − j) e) j=0 i=1 j=1 3 · 2j c) j=0 f) j i=1 j=0 Lời giải a) 20 d) 39 − + 3(29 − 1) b) 29 − e) c) 3(29 − 1) f) ✷ Câu 23 Tìm sáu số hạng dãy định nghĩa công thức truy hồi điều kiện đầu sau a) an = −2an−1 , a0 = −1 b) an = an−1 − an−2 , a0 = 2, a1 = −1 c) an = 4a2n−1 , a0 = d) an = nan−1 + a2n−2 , a0 = 1, a1 = e) an = an−1 + an−3 , a0 = 1, a1 = 2, a2 = Lời giải a) -1, 2, -4, 8, -16, 32 Giáo trình Toán Rời Rạc Trang 9/16 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính b) 2, -1, -3, -2, 1, c) 1, 4, 64, 16884, 1073741284, 4.61169E+18 d) 1, 1, 3, 10, 49, 345 e) 1, 2, 0, 1, 3, ✷ Câu 24 Tìm f (1), f (2), f (3) f (4) f (n) định nghĩa cách đệ quy với f (0) = n = 0, 1, 2, a) f (n + 1) = f (n) + b) f (n + 1) = 3f (n) c) f (n + 1) = 2f (n) d) f (n + 1) = f (n)2 + f (n) + Lời giải a) f (1) = 3, f (2) = 5, f (3) = 7, f (4) = b) f (1) = 3, f (2) = 9, f (3) = 27, f (4) = 81 c) f (1) = 2, f (2) = 4, f (3) = 16, f (4) = 65536 d) f (1) = 3, f (2) = 13, f (3) = 183, f (4) = 33673 ✷ Câu 25 Hãy dò theo Giải thuật tính giai thừa giảng đầu vào n = Thực tương tự Bài tập mẫu tìm 4! Lời giải Đầu tiên, ta sử dụng bước đệ quy để viết 5! = · 4! Sau sử dụng bước đệ quy nhiều lần để viết 4! = · 3!, 3! = · 2!, 2! = · 1!, 1! = · 0! Đưa giá trị 0! = vào, ngược lại bước, ta thấy 1! = · = 2! = · 1! = 3! = · 2! = · = Giáo trình Toán Rời Rạc Trang 10/16 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính 4! = · 3! = · = 24 5! = · 4! = · = 120 ✷ Câu 26 Hãy viết giải thuật đệ quy để tính nx n số nguyên dương x số nguyên, sử dụng phép cộng Lời giải procedure nT imeX(n: nonnegative integer, x: integer) if n = then return else return x + nT imeX(n − 1, x) {output is nx} ✷ Bài tập nâng cao Câu 27 Cho mô tả hàm sau Trả lời giải thích cho câu hỏi sau: • Thông tin cung cấp có đủ để xác định hàm số không? • Có thể xác định hàm đơn ánh? toàn ánh? song ánh? a) f : {>, ) = 3, f (,