TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG  MATLAB GIẢI TÍCH Đề tài Nhóm: L42 (XD11XD07) Giáo viên hướng dẫn: Cô Nguyễn Kiều Dung Họ tên Mã số sinh viên Nguyễn Tấn Cường (Nhóm trưởng) 81100470 Nguyễn Hữu Quang 81102718 Võ Thế Nguyên 81102322 Phạm Phù Sa 81102870 Phan Văn Tự 81104149 Ngô Đức Vũ 81104299 Lê Văn Bình 81100290 Nguyễn Văn Nể 81102177 CHI TIẾT PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC Câu 1: Phan Văn Tự Câu 2: Lê Văn Bình Câu 3: Nguyễn Tấn Cường + Võ Thế Nguyên Câu 4: Nguyễn Hữu Quang Câu 5: Nguyễn Văn Nể Câu 6: Phạm Phù Sa Câu 7: Ngô Đức Vũ Câu 1: Tính gần giá trị hàm nhiều biến Đề bài: Nhập hàm ( , ) Nhập điểm với ∆ , ∆ đủ nhỏ theo công thức: ( , )≈ ( , ( , ) Tính gần giá trị ( + ∆ , + ∆ ) ) + ( , )∆ + ( , )∆ ) + ( , )∆ + ( , )∆ Dựa vào công thức, Cơ sở lý thuyết – giải thuật: Giá trị gần ta cần tìm: + , ( , )≈ ( , : lấy số nguyên gần , Dùng hàm round(x), round(y) + ∆ = − , ∆ = − Câu 2: Tìm đạo hàm hàm ẩn Đề bài: Nhập hàm ( , ), tìm ( ), ′ ) biết = ( ) hàm ẩn xác định từ phương trình ( , ) = Vẽ đồ thị minh họa ý nghĩa hình học đạo hàm ( ) ( , ) nhập từ bàn phím Cơ sở lý thuyết: Hàm ( , ) = xác định hàm ẩn = ( ) cho ( , ( )) = với thuộc / ( ) = = − miền xác định Ta có = − , ( ) = ( ( ))′ / Giải thuật: Đạo hàm riêng theo hàm : diff(f, x) Đạo hàm hàm ẩn: D(F) Chú ý D(F) trả biểu thức có chứa D(x), D(y) Ở D(x) = Câu 3: cực trị có điều kiện Đề bài: Nhập hàm ( , ) Tìm cực trị hàm với điều kiện | | + | | = Vẽ hình minh họa cực trị có Cơ sở lý thuyết: Định nghĩa cực trị có điều kiện: ( , ) với điều kiện ( , ) = ∈ ( , )∩ Hàm ( , ) đạt cực đại chặt ∃ ( , ): ∀ , ≠ : ( )< ( ) thỏa điều kiện ràng buộc ( , ) = Định nghĩa tương tự với cực đại chặt, cực đại không chặt cực tiểu không chặt có điều kiện Điểm ( , ) gọi điểm kì dị đường cong ( , ) = ( ) = 0, ( )= Điều kiện cần cực trị có điều kiện: Điểm ( , ) thỏa điều kiện: ( , ) không điểm kì dị đường cong ( , ) = ( , ), ( , )và đạo hàm riêng cấp liên tục lân cận điểm ( , ) Hàm ( , ) với điều kiện ( , ) = đạt cực trị ( , ) Khi tồn cho: ( )+ ′ ( )=0 ( )+ ′ ( )=0 ( Số )=0 gọi nhân tử Lagrange Hàm = ( , )+ ( , ) gọi hàm Lagrange Điều kiện đủ cực trị có điều kiện: Giả sử ( , ), ( , ) khả vi liên tục đến cấp lân cận Trong lân cận ( , thỏa điều kiện định lý điều kiện cần ( ) > 0: Cực tiểu có điều kiện ( ) < 0: Cực đại có điều kiện ( ) không xác định dấu – không tồn cực trị Giải thuật: Với |x| + |y| = 1, ta có đoạn thẳng = − − 1, = + − 1, = − − − 1, = − + Tìm cực trị có điều kiện trên mỗi đoạn theo cơ sở lý thuyết Ở đỉnh hình: tìm lân cận biên đoạn −1 ) Câu 4: Tích phân kép + Đề bài: Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi: =2 , + =6 , ≥ √3 , ≥ Vẽ hình miền phẳng cho Xác định cận lấy tích phân Cơ sở lý thuyết: = ∬ Diện tích miền D tính công thức: Cách tính tích phân kép: Giả sử miền D xác định bởi: Thì =∬ ( , ) ≤ ≤ ( )≤ ≤ ( ) ∫ ( ) ( , ) = ∫ ( ) (tương tự đổi thứ tự lấy tích phân) Dùng tọa độ cực: Đặt: = = ( ) ( ) Miền D xác định tọa độ cực: Thì tích phân tính sau: = ∬ ≤ ( , ) ≤ ( ∈ [0, ]) ≤ ≤ = ∫ ∫ Giải thuật: Vẽ hình miền D, ta thấy có biên cung tròn =>> dùng tọa độ cực ( ( ), ( )) Câu 5: Tích phân bội Đề bài: Nhập hàm ( , , ) Tính tích phân bội 3: = ∭ ( , , ) với E vật thể giới hạn bởi: = + , = + + , + = Vẽ hình vật thể E hình chiếu E xuống , từ xác định lấy tích phân Cơ sở lý thuyết Tích phân bội với tọa độ trụ: = = ( ) ( ) = = Tích phân tính bằng: ∭ Ở đây, Ω nằm miền ( , , ) = ∭ ( ≥ 0, ≤ ≤ , − ∞ < Giải thuật: Vẽ hình vật thể E, từ xác định cận tính tích phân Đổi tọa độ trụ để tính tích phân Ω ( ), < + ∞ ( ), ) Câu 6: Tích phân đường Đề bài: Cho: ( , ) = ( , ) + 1, ( , ) = − Tìm hàm ( , ) + vừa tìm, tính = ∫ Với = cosh( ) − , từ 0, (0) = biểu thức tích phân toàn phần hàm ( , ) đến thỏa ( , ) + ( , ) Với L đường cong (ln 2, 1) Vẽ đường lấy tích phân L A, B Giải thuật: + Giải tìm : tích phân toàn phần không phụ thuộc đường đi, dựa vào tính chất ( , ) ( , ) = Ta có dược phương trình vi phân tuyến tính cấp 1: ’ = ( ) Phương trình có nghiệm: ( ) = Ở này, Hàm = , dùng matlab giải ∫ ( ) = ′ Suy ( )= = + Tính tích phân: = ∫ ( , ) +∫ ( , ) Câu 7: Tích phân mặt Đề bài: Tính tích phân: ∬ (2 + ) + (2 + ) + + = nằm hình trụ + pháp véctơ với mặt cong vẽ ( , , + (2 + ) = , phía hướng theo trục ) với S mặt phẳng Vẽ mặt cong , Cơ sở lý thuyết + giải thuật: 1.Mặt định hướng Nếu mặt S ta qui ước phía dương, phía lại âm mặt S gọi mặt định hướng Cách xác định pháp vector mặt định hướng Khi đứng lên phía dương mặt định hướng pháp véctơ từ chân lên đầu Ở này, góc tạo véctơ pháp tuyến có cos γ < Dùng hàm if để kiểm tra 2.Tích phân mặt loại ( , , ), ( , , ), ( , , ) xác định mặt định hướng Pháp véctơ đơn vị mặt S là: ⃗ = (cos , cos , cosγ), có độ dài đơn vị Tích phân mặt loại một: = ∬ (Pcos + Qcos loại hai P, Q, R mặt định hướng S, ký hiệu: + cosγ)dS được gọi tích phân mặt = + + Cách tính tích phân mặt loại 2: Vì tích phân mặt loại hai tích phân mặt loại nên ta sử dụng cách tính tích phân mặt loại Chuyển tích phân mặt loại bằngcách: Pháp véctơ đơn vị mặt S là: ⃗ = (cos , cos , cosγ) Tích phân mặt loại một: = ∬ (Pcos + Qcos + cosγ)dS Hay tích phân loại có dạng ∬ ( , , ) =∬ ( , , ( , )) ( ) + ( ) + với D hình chiếu S lên Oxy Code câu + Ví dụ reset(): f:= input("Nhap vao ham f(x, y):", f): [a, b]:= input("Nhap vao gia tri cua x, y:"): print(Unquoted, NoNL, "Ham f nhap vao la: f="): print(Typeset, f): c:= a - round(a): d:= b - round(b): f0:= subs(f, x= round(a), y= round(b)): fxy:= f0 + c*subs(diff(f, x), x= round(a), y= round(b))+ d*subs(diff(f, y), x= round(a), y= round(b)): print(Unquoted, "Tai x= ".a, "y= ".b, "f(x, y)~ " float(fxy)): print(Unquoted, "So voi gia tri thuc, f= " subs(f, x= a, y= b)):  Ham f nhap vao la: f= x2 + y3 Tai x= 1.02, y= 1.97, f(x, y)~ 2.946666667 So voi gia tri thuc, f= 2.947163552 Code câu 2: Tìm đạo hàm: reset(): f:= input("Nhap vao ham f(x, y)", f): yx:= -diff(f, x)/diff(f, y): yxx:= subs(D(yx), D(y)= yx, D(x) = 1): print(Unquoted, NoNL, "Ham F(x, y)= "): print(Typeset, f): print(Unquoted, NoNL, "y'(x)= "): print(Typeset, yx): print(Unquoted, NoNL, "y''(x)= "): print(Typeset, yxx): Ham F(x, y)= x2 + y2 - y'(x)= - x y y''(x)= x - 1 -  y3 y Vẽ hình: M:= input("Nhap toa cua M"): hsg:= subs (yx,[x= M[1], y= M[2]]): plot(f= 0, y - M[2]= hsg*(x- M[1]), (plot::Point2d(M, Title= "M (".M[1].",".M[2].")", TitlePosition = [M[1] + 0.15, M[2] + 0.15], TitleAlignment = Left))): print(Unquoted, "Y nghia hinh hoc cua y'(x) tai M" " la he so goc cua tiep tuyen tai M") y M (1,3^(1/2)) -5 -4 -3 -2 -1 -1 x -2 -3 -4 -5 Y nghia hinh hoc cua y'(x) tai M la he so goc cua tiep tuyen tai M Code câu + Ví Dụ Minh họa điều kiện cực trị: plot(abs(x) + abs(y) = 1, x= -2 2) y -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 x -1 -2 Tìm cực trị đoạn thẳng: reset(): f:= input("Nhap vao ham f(x, y)", f): print(Unquoted, NoNL, "Ham f nhap vao la "): print(Typeset, f): dk[1]:= x - y -1: dk[2]:= x + y -1: dk[3]:= - x + y -1: dk[4]:= - x - y -1: m:= 0: for i from to L[i]:= f + lamda*dk[i]: dLx[i]:= diff(L[i], x): dLxx[i]:= diff(dLx[i], x): dLy[i]:= diff(L[i], y): dLxy[i]:= diff(dLx[i], y): dLlamda[i]:= diff(L[i], lamda): dLyy[i]:= diff(dLy[i], y): stop[i]:= solve ([dLx[i]= 0, dLy[i]= 0, dLlamda[i]]= 0, [x, y, lamda], Real, IgnoreSpecialCases): for j from to nops(stop[i]) if is(length(type(stop[i]))= 1) then DD:= stop[i][j]: if is(subs(abs(x) + abs(y),DD)=1 and subs(abs(x),DD) 0) and (c= 100) then m:= m+ 1: CTtext[m]:= "Cuc tieu": CTpoint[m]:= dinh[i][1], dinh[i][2], dinh[i][3]: print(Unquoted, "Cuc tieu x = ".dinh[i][1]." y= ".dinh[i][2]): else if (a < 0) and (c= 100) then m:= m+ 1: CTtext[m]:= "Cuc dai": CTpoint[m]:= dinh[i][1], dinh[i][2], dinh[i][3]: print(Unquoted, "Cuc dai x = ".dinh[i][1]." y= ".dinh[i][2]): else print(Unquoted, "Khong la cuc tri x = ".dinh[i][1]." y= ".dinh[i][2]): m:= m+ 1: CTtext[m]:= "Khong la cuc tri": CTpoint[m]:= dinh[i][1], dinh[i][2], dinh[i][3]: end_if: end_if: end_for: if m= then print(Unquoted, "Ham nhap vao khong co cuc tri voi dieu kien da cho"): end_if Khong la cuc tri x = y= Khong la cuc tri x = y= Khong la cuc tri x = -1 y= Khong la cuc tri x = y= -1 Vẽ hình pointext:= (): for j from to m pointext:= pointext, plot::Point3d([CTpoint[j]], Title= CTtext[j]): end_for: graphf:=plot::Function3d(piecewise([(abs(x) + abs(y)) > , f]), x = -1.1 1.1 , y = -1.1 1.1, Color= RGB::Green.[0.001]): dieukien:= piecewise([(abs(x) + abs(y)) < , f]): plot(dieukien, graphf, pointext , #3D, x= -1.1 1.1, y=-1.1 1.1, z= ): Code câu Vẽ hình miền phẳng: reset(): a:= x^2 + y^2 - 2*y: b:= x^2 + y^2 - 6*y: c:= 3^(1/2)*x: M:= solve(subs(a, y= c), x): N:= solve(subs(b, y= c), x): A:= solve(a, y): B:= solve(b, y): f:= piecewise([N[1] ... (1,3^(1/2)) -5 -4 -3 -2 -1 -1 x -2 -3 -4 -5 Y nghia hinh hoc cua y'(x) tai M la he so goc cua tiep tuyen tai M Code câu + Ví Dụ Minh họa điều kiện cực trị: plot(abs(x) + abs(y) = 1, x= -2 2) y -2 .0 -1 .5... 0,b =0, c=y, x= 0, x= -4 4, y= -1 7): print(Unquoted, "Mien D gioi han boi: "): print(Typeset, a= 0, b= 0, y>= c, x>= 0): y -5 -4 -3 -2 -1 x2 + y2 - y = 0, x2 + y2 - y = 0, x -1 Mien D gioi han... la x4 - x + y2 + y4 Cuc dai x = 1/2, y = -1 /2 ung voi lamda = -1 /2 Cuc tieu x = 1/2, y = 1/2 ung voi lamda = 3/2 Cuc dai x = -1 /2, y = 1/2 ung voi lamda = -1 /2 Cuc tieu x = -1 /2, y = -1 /2 ung