BT Bài tập Cơ học – Phần Lê Quang Nguyên nguyenquangle59@yahoo.com Hai vật khối lượng M m nối với rắn chiều dài l, khối lượng không đáng kể Chứng tỏ momen quán tính hệ trục thẳng góc với nhỏ trục qua khối tâm hai vật có giá trị: ‫ ݈ߤ = ܫ‬ଶ , với ߤ = ௠ெ ௠ାெ M m l Trả lời BT - m Trả lời BT - m M CM X a X x Ia nhỏ d = Vậy momen quán tính nhỏ ứng với trục qua khối tâm Chọn gốc O khối tâm ta có: mx1 + Mx2 = (1 ) Với: x1 − x = l ( 2) M x2 x1 d Xét hai trục song song vuông góc hình vẽ, định lý Steiner cho: Ia = ICM + Md CM X O Giải hệ (1) (2): M l M +m m x2 = − l M +m x1 = BT Trả lời BT - m M CM X O x x2 x1 Momen quán tính trục khối tâm: ICM = mx12 + Mx22 = mM l m+ M Trả lời BT - Để làm dựa ba ý sau: Đĩa đặc hệ gồm đĩa bị cắt phần cắt rời O = O + O Khối tâm hệ hai vật rắn xác định sau (suy từ định nghĩa khối tâm): ( m1 + m2 ) RCM = m1RCM + m2RCM Momen quán tính hệ hai vật rắn xác định sau: I = I1 + I2 Cho đĩa tròn bán kính R, khối lượng M Trên đĩa người ta cắt bỏ lỗ tròn bán kính R/4, có tâm nằm cách tâm đĩa khoảng R/2 Tìm theo M R: a) Tọa độ khối tâm phần lại b) Momen quán tính phần lại trục thẳng góc với đĩa qua tâm Trả lời BT - Khối tâm hệ hai vật rắn: Vị trí khối tâm vật ( m1 + m2 ) RCM = m1RCM + m2RCM Do đối xứng nên khối tâm trục x : ( m1 + m2 ) X CM = m1 X CM + m2 X CM CM2 CM O x = O x O + R/2 x Trả lời BT - Trả lời BT - • Đĩa đồng chất nên tỷ trọng không đổi: M m2 ⇒ m = M = π R2 π ( R )2 16 ( m1 + m2 ) X CM = m1 X CM + m2 X CM ⇒ X CM = − m2 R m1 CM2 CM O x O = x O + R/2 x • Khối lượng phần lại: 15 m1 = M − M = M 16 16 • Vậy: m R R X CM = − = − m1 30 Trả lời BT - Trả lời BT - Momen quán tính hệ vật rắn = tổng momen quán tính vật CM O = O + O R/2 O I= = + O I1 O + I2 ⇒ I1 = I − I2 Tất tính trục qua tâm O, vuông góc đĩa I = MR 2 I2 = m2R 32 R I2 = ICM + m2   2 ICM R = m2   4 2 Trả lời BT - • Vậy: I2 = M R = MR 32 16 512 247 I1 = MR − MR = MR 2 512 256 BT Ngoại lực lực ma sát tạo nên momen lực 24 N.m bánh xe quay Ngoại lực tác dụng 5s khoảng thời gian vận tốc góc tăng từ đến 10 rad/s Kế ngoại lực dừng tác dụng bánh xe dừng lại sau 50s Tìm: a) Momen quán tính bánh xe b) Momen lực ma sát c) Số vòng quay bánh xe từ đầu dừng lại Trả lời BT - Trả lời BT - • Khi có ngoại lực tác động: dω M: tổng momen lực I =M dt • Sau thời gian t = 5s bánh xe đạt vận tốc góc ω = 10 rad/s, ta có: • Khi ngoại lực dừng tác động, momen lực ma sát M’: dω M’: momen lực ma sát I = M′ dt • Sau thời gian t’ = 50s, vận tốc góc giảm từ ω = 10 rad/s xuống 0, ta có: ω t I ∫ dω = M ∫ dt ⇒I=M ⇒ Iω = Mt t = 24 = 12 kg.m2 ω 10 t′ I ∫ dω = M ′∫ dt M’ < 0: momen lực ω ma sát cản lại ω 10 ⇒ M′ = −I = −12 = −2,4 N m chuyển động t′ 50 quay ⇒ −Iω = M ′t ′ Trả lời BT - Trả lời BT - • Số vòng quay = tổng số vòng quay hai giai đoạn: N = Na + N b • Trong giai đoạn đầu ta có: 24 ω0 = 0, α = = rad s , t = 5s 12 • Gia tốc góc α không đổi nên độ dịch chuyển góc có biểu thức: M ∆θ = ω0t + 12 α t α= I ∆θ 25 = = 3,98 2π 2π • Tương tự, giai đoạn sau ta có: 2,4 ω0 = 10 rad s , α = − = −0,2 rad s , t = 50s 12 250 N = 43,8 vòng ⇒ Nb = = 39,8 2π ௧ ௧ න ݀߱ = ߙ න ݀‫)ݐ(߱ → ݐ‬ ଴ ఏ ଴ ௧ න ݀ߠ = න ߱ ‫)ݐ(ߠ → ݐ݀ ݐ‬ ఏబ ଴ ⇒ Na = BT Một đĩa tròn khối lượng M, bán kính R quay tự quanh trục nằm ngang qua điểm vành đĩa Từ vị trí ban đầu (hình vẽ) đĩa thả không vận tốc đầu Tìm vận tốc khối tâm đĩa quay đến vị trí thấp Trả lời BT - y • Vì ma sát nên bảo toàn: ∆E = ∆ ( K + U g ) = ∆K = K = Iω • Thế trọng trường đĩa: U g = MgyCM ∆U g = Mg∆yCM = −mgR R X CM Thế trọng trường vật rắn: Ug = mgyCM Trả lời BT - • Do đó: ∆E = 12 Iω − mgR = • Định lý Steiner: I = ICM + mR = mR2 g ⇒ω =2 3R BT y O Một hình trụ đồng chất bán kính R, khối lượng M quay quanh trục Một dây khối lượng m, chiều dài l lớp quanh hình trụ, phần lại buông thõng có chiều dài x Tìm gia tốc góc hình trụ theo x R X CM vCM • Vận tốc khối tâm: vCM = ωR = x gR Trả lời BT - Gọi m2 khối lượng phần dây cuốn, momen quán tính (hình trụ + dây cuốn) trục quay: 1 I = MR + m2R = ( M + 2m2 ) R 2 Định luật cho chuyển động quay hệ: Iα = TR 2T ⇒α = ( M + 2m2 ) R (1 ) Trả lời BT - R + T Gọi m1 khối lượng phần dây buông, định luật cho khối tâm phần là: m1a = m1 g − T ⇒ T = m1 ( g − a ) = m1 ( g − α R ) ( 2) + T CM Từ (1) (2): α= 2m1 g ( M + 2m) R Với: m1 = m x l m1g BT Trả lời BT - Cho hệ hình vẽ, momen quán tính ròng rọc I, bán kính hai vành ròng rọc R R/2, khối lượng hai vật treo m1 m2 a) Tìm điều kiện để vật m1 xuống b) Khi m1 xuống, tìm gia tốc góc ròng rọc sức dây Giả sử m1 xuống, ĐL cho m1 trục y cho ta: m1a1 = m1 g − T1 + (1 ) T1 cho m2 trục y’: m2a2 = T2 − m2 g m2 m1 ( 2) T2 T1 cho ròng rọc quay: R Iα = T1 − RT2 T2 y’ y ( 3) m2g m1g Trả lời BT - ோ ଶ Dây không trượt: ܽଵ = ߙ , ܽଶ = ߙܴ Suy hệ phương trình: m1a1 = m1 g − T1 2m2a1 = T2 − m2 g I 2 a1 = T1 − T2 R Nhân phương trình đầu với ½ cộng theo vế: a1 = g m1 − 2m2 m1 + 4m2 + I R Điều kiện để m1 xuống: a1 > ⇔ m1 > 2m2 Có a1 ⇒ gia toቷ c gó c α sức căng T1, T2 BT Một khối lượng M = kg, chiều dài L = m quay mặt phẳng thẳng đứng quanh trục khối tâm với vận tốc góc ω = 20 vòng/phút Một vật nhỏ cao-su khối lượng m = 0,1 kg bay ngang dính vào đầu thanh vị trí thẳng đứng Để đứng yên sau va chạm, vật m phải có vận tốc bao nhiêu? Trả lời BT - Ngay trước sau va chạm, ngoại lực có phương qua trục nên Mz = Suy momen động lượng Lz hệ bảo toàn: L − mv + Iω = Chất điểm Hệ đứng yên sau Trả lời BT - Do đó: v = N CM Với: I = Mg + mg v 2Iω mL Momen động chất điểm trục z: Lz = ±lp − chuyển động ngược chiều quay dương l: khoảng cách từ ‫݌‬Ԧ tới trục ML2 12 ⇒ v = 3,5 m s Trục quay z ⊥ mp hình vẽ Ngay trước va chạm + l Thanh rắn quay ‫݌‬Ԧ BT Trả lời BT - Người ta tác dụng lực nằm ngang không đổi F lên ống hình trụ đặc đồng chất khối lượng M, bán kính R (hình vẽ) Nếu ống trụ lăn không trượt mặt ngang, chứng tỏ: a) Gia tốc khối tâm ống trụ là: ܽ = ଶி ଷெ b) Hệ số ma sát nhỏ để khối trụ không ி trượt là: ߤ = ଷெ௚ F ĐL cho khối tâm trục x: MaCM = F − f ( 2) Lăn không trượt: aCM = α R (3) N (1 ) ĐL cho chuyển động quay quanh trục khối tâm: Iα = Rf + F f x mg ma sát nghỉ f lực tạo momen quay, lực lại qua trục quay nên có momen không Trả lời BT - Kết hợp (1)-(3) : MaCM = F − f   aCM  I R2 = f Giải hệ ta có: F aCM = 1+c M c f= F 1+c Trả lời BT - Kết cho vật lăn, với ܿ = ‫ ܫ‬⁄‫ ܴܯ‬ଶ Với ống hình trụ đặc ܿ = 1/2, đó: aCM = 2F 3M f= F Để vật lăn không trượt ma sát nghỉ không vượt giá trị cực đại μN: f ≤ µN ⇔ ⇒ µ ≥3 F ≤ µmg F mg Hệ số ma sát nhỏ để vật không trượt: ଷி ߤ݉݅݊ = ௠௚ BT Một ống hình vành tròn khối lượng M, bán kính R quấn chung quanh, đầu lại giữ cố định (hình vẽ) Thả cho vành tròn rơi, tìm gia tốc góc sức căng dây Lưu ý: nhẹ nên bỏ qua momen quán tính phần quanh ống Trả lời BT - ĐL cho khối tâm trục y: MaCM = Mg − T (1 ) ĐL cho chuyển động quay quanh trục khối tâm: Iα = RT ( 2) Dây không trượt: aCM = α R (3) + T Mg y BT 10 Trả lời BT - Kết hợp (1)-(3) : MaCM = Mg − T   aCM I =T  R2 Giải hệ ta có: g 1+c c T= Mg 1+c aCM = Kết cho ống hình dạng khác nhau, với ଶ ܿ = ‫ ܫ‬⁄‫ܴܯ‬ Một cầu nhỏ khối lượng m, bán kính r lăn không trượt máng trượt (hình vẽ) Tìm giá trị cực tiểu h để cầu di chuyển hết đường trượt Với vành tròn c = 1: aCM = g h R T = Mg Trả lời BT 10 - • Định luật cho khối tâm phương pháp tuyến A cho ta: v 2A m = mg + N A R −r • Để vật không bị rơi khỏi máng trượt A ta phải có: N A ≥ • Suy ra: (1) v 2A ≥ g ( R − r ) Lưu ý: để hết đường trượt cần vật không rơi khỏi đỉnh vòng lượn tròn Trả lời BT 10 - S h − 2(R − r) CM ܰA m݃Ԧ ‫ݑ‬n Định lý động cho vật lăn: KA − KS = Wmg h 2(R − r) K A = 12 mv 2A + 12 Iω Đường khối tâm ( = 12 mv 2A + 12 I ( v A r ) = 12 mv 2A + I mr 2 Khối tâm chuyển động đường tròn bán kính R – r A )= c mv 2A (1 + c ) = mg h − 2( R − r )  v 2A = 10 g  h − 2( R − r )   (2) Quả cầu: c = 2/5 BT 11 Trả lời BT 10 - Một hình trụ đặc đồng chất có bán kính R = 15 cm lăn mặt phẳng nằm ngang với vận tốc v0, lăn xuống mặt nghiêng hợp với phương ngang góc θ = 30° Tìm giá trị cực đại v0 để hình trụ không bị nẩy lăn từ mặt ngang qua mặt nghiêng Từ (1) (2): h − 2( R − r ) ≥ (R − r ) 10 ⇒ h ≥ 2,7R hmin = 2,7R Trả lời BT 11 - Trả lời BT 11 - v0 CM v0 v R Định luật cho khối tâm hình trụ phương pháp tuyến, đầu mặt nghiêng (hình vẽ): N h v θ θ mg h = R(1 – cosθ) v2 m = mg cosθ − N R  v2  ⇒ N = m  g cosθ −  R  Để hình trụ không bị nẩy qua mặt nghiêng phải có N ≥ 0, suy ra: v ≤ Rg cosθ (1 ) Trả lời BT 11 - BT 12 Một hình trụ đồng chất khối lượng m, bán kính R quay với vận tốc ω0 đặt (không có vận tốc ban đầu) xuống mặt phẳng nằm ngang Tìm vận tốc hình trụ bắt đầu lăn không trượt mặt ngang Định lý động cho hình trụ lăn: K − K = mgh = mgR (1 − cosθ ) 1 K = Iω + mv = mv 2 4 ⇒ v = v02 + Rg (1 − cosθ ) Từ (1) (2): v02 ≤ Rg (7cosθ − ) 3 K = mv02 ( 2) v0max = m s Trả lời BT 12 - Ma sát trượt làm ω giảm dần từ giá trị ban đầu ω0, lại làm v khối tâm tăng dần từ 0, đến v = ωR vật bắt đầu lăn không trượt DL cho CM trục x ݀‫ݒ‬ ݉ = ߤ݉݃ (1) ݀‫ݐ‬ → ‫( ݐ݃ߤ = ݒ‬2) với μ hệ số ma sát trượt Trả lời BT 12 - DL cho chuyển động quay quanh trục: ω ω0 + ω v fms x v ‫ܫ‬ ݀߱ = −ߤܴ݉݃ (3) ݀‫ݐ‬ I = mR2/2 → ߱ = ߱଴ − ߤ݃ ‫( ݐ‬4) ܴ fms x Trả lời BT 12 - Tìm thời gian quãng đường vật lăn không trượt? ‫( ݐ݃ߤ = ݒ‬2) ߤ݃ ‫( ݐ‬4) ܴ Khi v = ωR vật bắt đầu lăn không trượt Dùng v ω từ (2) (4) ta được: ߤ݃‫߱ = ݐ‬଴ ܴ − 2ߤ݃‫ݐ‬ ↔ 3ߤ݃‫ = ݐ‬3‫߱ = ݒ‬଴ ܴ → ‫߱ = ݒ‬଴ ܴ⁄3 ߱ = ߱଴ − Trả lời BT 12 – mở rộng • Thay ‫߱ = ݒ‬଴ ܴ⁄3 vào (2) suy ra: t= ω0R 3µ g • Ta có: dx v= = µ gt dt s t → ∫ dx = µ g ∫ tdt 0 2 µ g µ g  ω0R  (ω0R ) = s= t = 2  3µ g  18µ g • Trả lời : b) BT 12 – mở rộng (ω R ) ωR b) t = ; s = 3µ g 18µ g 12(ω0R ) 5ω R d) t = ; s = 7µ g 49µ g (ω R ) ωR a) t = ; s = 2µ g 8µ g (ω R ) ωR c) t = ; s = 3µ g 8µ g 2 BT 13 Một cầu ban đầu trượt không lăn với tốc độ v0 mặt nằm ngang Hệ số ma sát cầu bề mặt ߤ Khi cầu bắt đầu lăn không trượt, tốc độ bao nhiêu? Tìm thời gian chuyển động quãng đường đó? v0 fms x BT 14 Hướng dẫn BT 13 Ma sát trượt làm v khối tâm giảm dần từ giá trị ban đầu v0, lại làm ω tăng dần từ 0, đến v = ωR vật bắt đầu fms lăn không trượt ω v x 2‫ݒ‬଴ 12‫ݒ‬଴ଶ ‫ݒ = ݒ‬଴ ; ‫= ݐ‬ ;‫= ݏ‬ 7݃ߤ 49݃ߤ Ân có khối lượng 80 kg Bích có khối lượng nhỏ dạo chơi hồ canô khối lượng 30 kg Khi ca-nô đứng yên mặt hồ yên tĩnh họ đổi chỗ cho nhau, chỗ cách m đối xứng qua tâm ca-nô Ca-nô dịch chuyển 40 cm so với trụ bến thuyền họ đổi chỗ Tìm khối lượng Bích Trả lời BT 14 - Trả lời BT 14 - Bỏ qua lực cản nước, tổng ngoại lực tác dụng lên hệ không Lúc đầu hệ đứng yên nên khối tâm hệ tiếp tục đứng yên Khối tâm O không di chuyển nên sau đổi chỗ khoảng cách từ A, B khối tâm C ca-nô tới O phải không thay đổi A C 1,5m 1,5m B O Trước đổi chỗ → x xC ← Sau đổi chỗ xC B’ C’ A’ A C 1,5m 1,5m B O Trước đổi chỗ → x xC ← Sau đổi chỗ xC B’ A’ C’ Chọn O gốc tọa độ trục x hướng sang phải hình vẽ ta có: 2‫ݔ‬஼ = 0,4 → ‫ݔ‬஼ = 0,2 ‫ݔ‬஺ = ‫ݔ‬஼ − 1,5 = −1,3 ‫ݔ‬஻ = ‫ݔ‬஼ + 1,5 = 1,7 Trả lời BT 14 - Vị trí khối tâm hệ: ݉஺ ‫ݔ‬஺ + ݉஻ ‫ݔ‬஻ + ݉஼ ‫ݔ‬஼ 0= ݉஺ + ݉஻ + ݉஼ → 80 × −1,3 + 1,7݉஻ + 30 × 0,2 = Suy ra: ݉஻ = 80 × 1.3 − 30 × 0.2 = 57,6݇݃ 1.7 [...]... với phương ngang một góc θ = 30° Tìm giá trị cực đại của v0 để hình trụ không bị nẩy khi lăn từ mặt ngang qua mặt nghiêng Từ (1) và (2): h − 2( R − r ) ≥ 7 (R − r ) 10 ⇒ h ≥ 2,7R hmin = 2,7R Trả lời BT 11 - 1 Trả lời BT 11 - 2 v0 CM v0 v R Định luật 2 cho khối tâm hình trụ trên phương pháp tuyến, ở đầu mặt nghiêng (hình vẽ): N h v θ θ mg h = R(1 – cosθ) v2 m = mg cosθ − N R  v2  ⇒ N = m  g cosθ − ... trục x hướng sang phải như trên hình vẽ ta có: 2‫ݔ‬஼ = 0,4 → ‫ݔ‬஼ = 0,2 ‫ݔ‬஺ = ‫ݔ‬஼ − 1,5 = −1,3 ‫ݔ‬஻ = ‫ݔ‬஼ + 1,5 = 1 ,7 Trả lời BT 14 - 3 Vị trí khối tâm hệ: ݉஺ ‫ݔ‬஺ + ݉஻ ‫ݔ‬஻ + ݉஼ ‫ݔ‬஼ 0= ݉஺ + ݉஻ + ݉஼ → 80 × −1,3 + 1 ,7 ஻ + 30 × 0,2 = 0 Suy ra: ݉஻ = 80 × 1.3 − 30 × 0.2 = 57, 6݇݃ 1 .7 ... làm ω tăng dần từ 0, đến khi v = ωR thì vật bắt đầu fms lăn không trượt ω v x 5 2‫ݒ‬଴ 12‫ݒ‬଴ଶ ‫ݒ = ݒ‬଴ ; ‫= ݐ‬ ;‫= ݏ‬ 7 7݃ߤ 49݃ߤ Ân có khối lượng 80 kg và Bích có khối lượng nhỏ hơn dạo chơi trên hồ trong một chiếc canô khối lượng 30 kg Khi ca-nô đứng yên trên mặt hồ yên tĩnh họ đổi chỗ cho nhau, các chỗ này cách nhau 3 m và đối xứng qua tâm ca-nô Ca-nô dịch chuyển 40 cm so với trụ bến thuyền khi họ đổi... ngang Định lý động năng cho hình trụ lăn: K − K 0 = mgh = mgR (1 − cosθ ) 1 1 3 K = Iω 2 + mv 2 = mv 2 2 2 4 4 ⇒ v 2 = v02 + Rg (1 − cosθ ) 3 Từ (1) và (2): v02 ≤ Rg (7cosθ − 4 ) 3 3 K 0 = mv02 4 ( 2) v0max = 1 m s Trả lời BT 12 - 1 Ma sát trượt làm ω giảm dần từ giá trị ban đầu ω0, nhưng lại làm v của khối tâm tăng dần từ 0, đến khi v = ωR thì vật bắt đầu lăn không trượt DL 2 cho CM trên trục x ݀‫ݒ‬... DL 2 cho CM trên trục x ݀‫ݒ‬ ݉ = ߤ݉݃ (1) ݀‫ݐ‬ → ‫( ݐ݃ߤ = ݒ‬2) với μ là hệ số ma sát trượt Trả lời BT 12 - 2 DL 2 cho chuyển động quay quanh trục: ω ω0 + ω v fms x v ‫ܫ‬ ݀߱ = −ߤܴ݉݃ (3) ݀‫ݐ‬ trong đó I = mR2/2 → ߱ = ߱଴ − 2 ߤ݃ ‫( ݐ‬4) ܴ fms x Trả lời BT 12 - 3 Tìm thời gian và quãng đường đi cho đến khi vật lăn không trượt? ‫( ݐ݃ߤ = ݒ‬2) ߤ݃ ‫( ݐ‬4) ܴ Khi v = ωR thì vật bắt đầu lăn không trượt Dùng v và... 3µ g 18µ g 2 12(ω0R ) 5ω R d) t = 0 ; s = 7 g 49µ g (ω R ) ωR a) t = 0 ; s = 0 2µ g 8µ g (ω R ) ωR c) t = 0 ; s = 0 3µ g 8µ g 2 2 BT 13 Một quả cầu ban đầu trượt không lăn với tốc độ v0 trên mặt nằm ngang Hệ số ma sát giữa quả cầu và bề mặt là ߤ Khi quả cầu bắt đầu lăn không trượt, tốc độ của nó bằng bao nhiêu? Tìm thời gian chuyển động và quãng đường đi được cho đến khi đó? v0 fms x BT 14 Hướng dẫn ... gia tốc góc ròng rọc sức dây Giả sử m1 xuống, ĐL cho m1 trục y cho ta: m1a1 = m1 g − T1 + (1 ) T1 cho m2 trục y’: m2a2 = T2 − m2 g m2 m1 ( 2) T2 T1 cho ròng rọc quay: R Iα = T1 − RT2 T2 y’ y ( 3)... ‫ݔ‬஼ + 1,5 = 1 ,7 Trả lời BT 14 - Vị trí khối tâm hệ: ݉஺ ‫ݔ‬஺ + ݉஻ ‫ݔ‬஻ + ݉஼ ‫ݔ‬஼ 0= ݉஺ + ݉஻ + ݉஼ → 80 × −1,3 + 1 ,7 ஻ + 30 × 0,2 = Suy ra: ݉஻ = 80 × 1.3 − 30 × 0.2 = 57, 6݇݃ 1 .7 ... mặt nghiêng Từ (1) (2): h − 2( R − r ) ≥ (R − r ) 10 ⇒ h ≥ 2,7R hmin = 2,7R Trả lời BT 11 - Trả lời BT 11 - v0 CM v0 v R Định luật cho khối tâm hình trụ phương pháp tuyến, đầu mặt nghiêng (hình