Nội dung Khối tâm Định luật Newton cho hệ chất điểm Momen động lượng Hệ chất điểm Lê Quang Nguyên www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen nguyenquangle59@yahoo.com 1b Khối tâm 1a Chuyển động hệ chất điểm • Ví dụ 1: thước • Ví dụ 2: vận động viên vượt rào • Trong ví dụ : thước, vận động viên vượt rào… • Có vị trí chuyển động theo định luật Newton: khối tâm hệ rCM = Chuyển động mỏ lết CM: center of mass ( m1r1 + m2r2 + + mN rN ) M Khối lượng hệ rCM = ∑ miri M i Câu hỏi Khối tâm vành tròn? Bài tập Một hệ gồm ba chất điểm có vị trí hình vẽ, với m1 = m2 = 1,0 kg m3 = 2,0 kg Hãy tìm khối tâm hệ rCM = m1r1 + m2r2 + m3r3 m1 + m2 + m3 Câu hỏi Một gậy bóng chày cưa vị trí khối tâm làm hai phần hình vẽ Phần có khối lượng lớn hơn? (a) Phần bên phải (b) Phần bên trái (c) Hai phần (d) Không xác định X CM Trả lời tập ‫ݎ‬Ԧଷ ‫ݎ‬Ԧଵ ‫ݎ‬Ԧଶ xCM = m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 m1 + m2 + m3 yCM = m1 y1 + m2 y2 + m3 y3 m1 + m2 + m3 xCM = + + 2× = = 0,75( m ) 1+1+2 yCM = × + × + 2× = = 1,0( m ) 1+1+2 ൈ ‫ݎ‬Ԧ஼ெ Bài tập Trả lời tập Hãy chứng tỏ khối tâm có khối lượng M chiều dài L nằm trung điểm Giả sử khối lượng đơn vị dài số Trả lời tập (tt) L xCM L λ= M L • Tích phân cho ta: L L x  = 2L   • Vật đối xứng: khối tâm trùng với tâm đối xứng xCM = x dx Bài tập • Suy ra: λ = ∫ xdx = ∫ xdx M0 L0 • Chọn trục x theo chiều dài Đoạn vi phân dx vị trí x có • khối lượng dm = λdx • λ khối lượng đơn vị dài • Khối tâm có tọa độ cho bởi: xCM = ∫ xdm M Xét không đồng nhất, có khối lượng đơn vị dài thay đổi theo vị trí x: λ = αx, α số Tìm vị trí khối tâm theo chiều dài L Trả lời tập • Làm tương tự tập ta có: L xCM L • Khối lượng xác định bởi: M = ∫ dm = ∫ λdx α = ∫ xλdx = ∫ x 2dx M0 M0 • Thay biểu thức λ ta có: • Tích phân cho ta: xCM Trả lời tập (tt) L α L α L2 M = α ∫ xdx =  x  = 2 α α L3 L x  = = 3M   3M • Do đó: xCM 2a Động lượng hệ chất điểm rCM = ∑ mi ri M i dr dr ⇒ CM = ∑ mi i dt M i dt vận tốc khối tâm vCM = i 2b Định luật cho hệ 1 = ∑ mi vi ⇒ aCM = ∑ mi M i M i MaCM = m1a1 + m2a2 + + mN aN = F1 + F2 + + FN vận tốc chất điểm thứ i ∑ mivi M i MvCM = ∑ mi vi = Psystem vCM α L3 = = L 3M tổng ngoại lực tác động lên hệ MaCM = Ftot Psystem = MvCM dPsystem dt = Ftot MaCM = M dvCM d ( MvCM ) = dt dt 2b Định luật cho hệ (tt) Ftot = aCM = Psystem = const Khối tâm đứng yên hay chuyển động thẳng Câu hỏi Hai vận động viên trượt băng đứng mặt băng không ma sát, nắm hai đầu nhẹ nằm ngang Sau họ dùng tay kéo để di chuyển lại gần Khối tâm họ chuyển động nào? Động lượng hệ bảo toàn Nếu Ftot,x = động lượng hệ bảo toàn phương x Câu hỏi Bài tập Hai vận động viên trượt băng đứng mặt băng không ma sát, nắm hai đầu nhẹ nằm ngang Sau họ dùng tay kéo để di chuyển lại gần Họ gặp đâu? Hai xe trượt đệm khí đến va chạm hoàn toàn đàn hồi (a) Tìm vận tốc chúng sau va chạm (b) Tìm vận tốc khối tâm hệ hai xe trước sau va chạm v = m/s v = m/s Trả lời tập 5(a) Trả lời tập 5(b) ‫ܨ‬௧௢௧, ௫ = → ܲ௫ = ܿ‫ݐݏ݊݋‬ • Động lượng x bảo toàn: m1v = m1v1 x + m2v2 x ⇒ = v1 + 0,7v2 • Va chạm hoàn toàn đàn hồi ⇔ động bảo toàn: m1v = 12 m1v12 + 12 m2v22 ⇒ = v12 + 0,7v22 v1 = 0,18 m s ‫ܨ‬௧௢௧, ௫ = → ‫ݒ‬஼ெ, ௫ = ܿ‫ݐݏ݊݋‬ MvCM ,x = Px • Trước va chạm: Px = ⇒ vCM ,x = 1,7 = 0,59 m s • Sau va chạm vận tốc khối tâm không thay đổi v2 = 1,18 m s • Minh họa Bài tập Trả lời tập Một banh bi-da có vận tốc m/s va chạm với trái banh đứng yên khối lượng Sau có vận tốc 4,33 m/s lệch góc 30° so với phương ban đầu Va chạm hoàn toàn đàn hồi, tìm vận tốc trái banh thứ hai sau va chạm • Vì va chạm hoàn toàn đàn hồi nên động hệ bảo toàn: ⇒ v2 = v − v12 mv 2 = mv12 + mv22 v2 = 52 − 4,332 = 2,5 m s v1 v1 v v θ θ v2 v2 3a Momen động lượng chất điểm Bài tập – mở rộng L =r ×p v1 θ v2 L L = rp sinϕ kg.m2/s • ⏊ mặt phẳng (‫ݎ‬Ԧ, ‫݌‬Ԧ) • chiều: quy tắc bàn tay phải • đặc trưng cho chuyển động quay v y r x φ p Trả lời tập Bài tập Một chất điểm chuyển động mặt phẳng xy đường tròn bán kính r tâm O Tìm độ lớn chiều momen động chất điểm tâm O, vận tốc chất điểm v z • Momen động chất điểm gốc O Tìm góc lệch trái banh thứ hai sau va chạm y ‫ݒ‬Ԧ ‫ݎ‬Ԧ O m x z • L ⏊ mặt phẳng xy hướng theo chiều dương trục z • Trong chuyển động tròn động lượng vuông góc với vectơ vị trí, ta có: L = rp sinϕ = rp = rmv L y r x φ p 3b Momen lực Bài tập z • Momen lực F gốc O τ τ = rF sinϕ τ = r ×F N.m • ⏊ mặt phẳng (‫ݎ‬Ԧ, ‫ܨ‬Ԧ ) • chiều: quy tắc bàn tay phải • đặc trưng cho chuyển động quay Trả lời tập x θ y r x F φ Một lắc gồm vật khối lượng m chuyển động quỹ đạo tròn nằm ngang Trong suốt chuyển động dây treo chiều dài l hợp góc không đổi θ với phương thẳng đứng Tìm momen trọng lực điểm treo O 3c Định lý momen động O τ r×F = r× r O dp dt r r× dp d dr = (r × p) − × p dt dt dt dr × p = v × mv = dt mg r ×F = θ τ = rmg sinθ = lmg sinθ τ = mg dL dt d (r × p) dt Momen ngoại lực Hệ chất điểm τ tot = dLsystem dt 3c Định lý momen động (tt) • Minh họa: bánh xe quay, quay • Khi tổng momen ngoại lực không momen động hệ bảo toàn  ... chất điểm Bài tập – mở rộng L =r ×p v1 θ v2 L L = rp sinϕ kg.m2/s • ⏊ mặt phẳng (‫ݎ‬Ԧ, ‫݌‬Ԧ) • chiều: quy tắc bàn tay phải • đặc trưng cho chuyển động quay v y r x φ p Trả lời tập Bài tập Một chất... 0,59 m s • Sau va chạm vận tốc khối tâm không thay đổi v2 = 1,18 m s • Minh họa Bài tập Trả lời tập Một banh bi-da có vận tốc m/s va chạm với trái banh đứng yên khối lượng Sau có vận tốc 4,33... lời tập ‫ݎ‬Ԧଷ ‫ݎ‬Ԧଵ ‫ݎ‬Ԧଶ xCM = m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 m1 + m2 + m3 yCM = m1 y1 + m2 y2 + m3 y3 m1 + m2 + m3 xCM = + + 2× = = 0,75( m ) 1+1+2 yCM = × + × + 2× = = 1,0( m ) 1+1+2 ൈ ‫ݎ‬Ԧ஼ெ Bài tập