Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực Chương 2: TĨNH HỌC LƯU CHẤT 2.1 Khái niêm : Tĩnh học lưu chất: - Lưu chất trạng thái cân bằng: (i) cân tuyệt đối: hệ tọa độ gắn liền với mặt đất; (ii) Cân tương đối: hệ tọa độ gắn liền với vật chuyển động - Không có thành phần ứng suất tiếp → áp lực thủy tĩnh tác dụng vuông góc với thành rắn mặt phân chia VN - Ta xét khối thể tích lưu chất nằm mặt kiểm tra kín → áp dụng định luật Newton II : “Tổng lực moment ngọai lực tác dụng vào khối thể tích lưu chất cân không” → tìm phương trình vi phân cân → tích phân ta đạt phương trình cân lưu chất 2.2 Áp suất thủy tĩnh : G 2.2.1 Định nghĩa : EN Xét mặt phẳng phân cách môi trường chất lỏng thành rắn, áp suất thủy tĩnh p điểm M mặt giới hạn áp lực pháp tuyến chất lưu tác dụng lên đơn vị diện tích bao quanh điểm đó, diện tích tiến tới không EC r r ΔF p tb = ΔA H Áp suất trung bình: D AT Áp suất điểm: r r ΔF p M = lim ΔA→0 M ∈ΔA ΔA ( 1) (2.2) Áp suất thủy tĩnh phụ thuộc vào không gian: p = f [M(x,y,z)] 2.2.2 Tính chất : Áp suất thủy tỉnh tác dụng thẳng góc với diện tích chịu lực & hướng vào bên trong, áp suất tuyệt đối áp suất dư dương Trị số áp suất thủy tĩnh điểm không phụ thuộc vào hướng đặt diện tích chịu lực Tham khảo chứng minh tính chất mục 1.14 công thức (1.21), với p = σn 2.2.3 Áp suất tuyệt đối – áp suất dư – áp suất chân không : Áp suất tuyệt đối áp suất định giá trị sở áp suất chân không tuyệt đối : p tuyệt = ⇔ áp suất điều kiện chân không tuyệt đối Đặt pa gốc áp suất, thường áp suất khí trời, áp suất dư định nghĩa sau: www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2014-2015 19 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực p dư = p tuyệt - pa (2.3) Nếu pdư < 0, đặt: pck = - pdư = pa - ptuyệt (2.4) Với pa áp suất khí trời pck gọi áp suất chân không Lưu ý: áp suất chân không định nghĩa áp suất dư âm, áp suất tuyệt đối nhỏ áp suất khí trời 2.2.4 Thứ nguyên đơn vị : Thứ nguyên áp suất: [p] = [F ] = ML-1T-2 [ A] VN Trong hệ SI, áp suất có đơn vị N/m2 ( Pa ), đơn vị khác at, kgf/cm2, mH2O, mDầu, mmHg… G at = Kgf / cm2 ≈ 10 m H2O ≈ 735 mm Hg ≈ 9,81x104 Pa EN 2.3 Phương trình vi phân tĩnh học lưu chất : H z F EC E D AT A F B { p ( x, y , z ) + p ( x , y , z ).(δ y.δ z ) ∂p δx}.(δy.δz ) ∂x δz δy H G y D δx C x H.2.1 r Giả sử môi trường lưu chất chịu tác dụng lực khối lượng có vectơ đơn vị F =(Fx, Fy, Fz) Vì khối chất lỏng trạng thái cân bằng, áp dụng định luật Newton II, ta có: r r ∑F = ⇒ ∑ Fx = www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2014-2015 20 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực Xét hình chiếu vectơ lực lên trục OX : - Lực khối : ρ.δx.δy.δz.Fx - Lực mặt : +p(x,y,z).(δy.δz) – { p(x,y,z) + ∂p ∂p δx}.(δy.δz) = δx.δy.δz ∂x ∂x - Tổng hình chiếu lực : ρ.δx.δy.δz.Fx - ∂p ∂p =0 ⇔ =ρ.Fx ∂x ∂x VN ρ.Fx - ∂p δx.δy.δz = ∂x (2.5a) Chứng minh tương tự cho hình chiếu lực lên trục OY, OZ → EN G ∂p = ρ.Fy ∂y (2.5c) H ∂p = ρ.Fz ∂z (2.5b) EC Từ phương trình (2.5a, 2.5b & 2.5c) → r r gr ad ( p) = ρ F (2.6) Nhơn (2.5a) cho dx, (2.5b) cho dy (2.5c) cho dz, cộng lại ta : D AT ∂p ∂p ∂p dx + dy + dz = ρ.(Fx.dx + Fy.dy + Fz.dz) ∂x ∂y ∂z Mà hay dp = dp ρ ∂p ∂p ∂p dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z = (Fx.dx + Fy.dy + Fz.dz) (2.7) (2.8) Phương trình (2.8) vế phải phải vi phân toàn phần hàm số lực phụ thuộc vào tọa độ U(x,y,z) Đặt : U(x,y,z) = -π (x,y,z) Hàm số π (x,y,z) gọi hàm số Phương trình (2.8) trở thành: dp ρ = dU = - dπ www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2014-2015 21 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực Với : Fx = ∂U ∂π =∂x ∂x Fy = ∂U ∂π =∂y ∂y Fz= (2.9a) ∂U ∂π =∂z ∂z Hoặc viết dạng vectơ : r r r F = gr ad (U ) = - gr ad (π ) (2.9b) VN Lực thỏa điều kiện (2.9a & 2.9b) gọi lực (chẳng hạn trọng lực, lực quán tính) Vậy lưu chất đứng cân lực khối lượng tác dụng loại lực G Phương trình (2.6) viết lại : r r ρ gr ad (π ) + gr ad ( p) = (2.10) EN 2.4 Tĩnh học tuyệt đối (lưu chất cân trường trọng lực) : H r Xét hệ tọa độ Descartes có OXY mặt phẳng nằm ngang, OZ thẳng đứng hướng lên Lực khối F (Fx, Fy, Fz) trường trọng lực có giá trị sau: Thế vào (2.9a): ∂π = -g → π phụ thuộc z nên: dπ = g dz → π = g z + C ∂z D AT Fz = - (2.11) EC Fx = ; Fy = & Fz = -g z = zo → đặt π = πo → π = g (z- zo) + πo Nếu cho zo = πo =0, ta suy π = g.z, đó: r r → F = - gr ad ( g z ) (2.12) 2.4.1 Phương trình thủy tĩnh (Phương trình tĩnh học lưu chất không nén được) : r Thế giá trị lực khối F (Fx, Fy, Fz) với Fx = ; Fy = & Fz = -g vào p/t (2.8), ta : dp ρ = - g dz → p = -ρ.g.z + C Tại z = zo, → cho p = po → p = po + ρ.g.(zo – z) Hay p* = p + ρ.g.z = po + ρ.g.zo = const www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2014-2015 (2.13a) 22 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực p* γ = p γ + z = const ( 13 b ) Z : độ cao điểm xét so với mặt chuẩn (vị năng); p γ : độ cao đo áp (áp năng); p* γ : cột áp thủy tĩnh (thế năng) Hệ : a) Mặt đẳng áp mặt phẳng nằm ngang: p = const → z = const D AT EC H EN G VN b) Nếu ta có nhiều chất lỏng không hòa tan, khối lượng riêng khác nhau, đựng chung bình → Mặt phân chia chất lỏng mặt phẳng nằm ngang; chất lỏng nặng nằm bên H.2.1.a c) Độ chênh áp suất ΔpAB = pB - pA hai điểm A B (điểm A trên, B dưới) lưu chất phụ thuộc khoảng cách thẳng đứng hai điểm pA γ + zA = pB γ + zB ⇒ pB − pA γ = ( z A − z B ) = h AB ΔpAB = γ.hAB hay pB = pA + γ.hAB (2.14a) hAB : độ sâu điểm B so với điểm A Hoặc: pA = pB - γ.hAB (2.14b) www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2014-2015 23 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực d) Định luật Pascal: “Trong lưu chất không nén được, liên tục, trạng thái cân trường trọng lực, độ tăng áp suất điểm truyền nguyên vẹn đến điểm lưu chất đó” CM : Ta có : pB = pA + γ.h ⇒ A áp suất tăng lên lượng Δp, áp suất B trở thành: p’B = (pA + Δp) + γ.h = (pA + γ.h) + Δp = pB + Δp Nghĩa B tăng lên giá trị tương tự A Δp 2.4.2 Phương trình khí tĩnh (phương trình lưu chất nén ) : + Lưu chất nén → có khối lượng riêng ρ hàm số theo áp suất nhiệt độ: ρ = f (p, T) + Xét lực khối lượng trọng lực : Với EN R : số khí lý tưởng, T nhiệt độ tuyệt đối (2.15) G p R T ρ = VN Phương trình trạng thái khí lý tưởng (xem mục 1.10), cho ta: H Xét hệ tọa độ Descartes có OXY mặt phẳng nằm ngang, OZ thẳng đứng hướng lên Lực khối r F (Fx, Fy, Fz) có giá trị sau : EC Fx = ; Fy = & Fz = -g Thế vào phương trình (2.8) ρ → = -g.dz → dp = -ρg.dz D AT dp z2 p = − ∫ ρ g dz z1 Nếu biết ρ = ρ(z), g = g(z), p1 , z1 z2 , ta tìm giá trị p2 Ta đạt phương trình (2.12): r r F = - g r a d ( g z ) Đối với chất khí, mặt đẳng áp mặt phẳng nằm ngang 2.4.3 Ứng dụng phương trình thủy tĩnh : a) Áp kế : + Áp kế tuyệt đối: Dùng để đo áp suất tuyệt đối lưu chất dựa áp suất p=0 điều kiệu chân không tuyệt đối Ví dụ áp kế đo áp suất tuyệt đối khí trời cột thủy ngân (H.2.2) www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2014-2015 24 H.2.3 H.2.4 G H.2.2 VN Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực EN + Áp kế tương đối : Dùng để đo áp suất tương đối lưu chất so với áp suất khí trời, bao gồm áp suất dư áp suất chân không (H.2.3 & H.2.4) EC H + Áp kế đo chênh có chất lỏng : D AT A B khi' M h N H.2.5 Dùng để đo chênh lệch áp suất p* hai mặt cắt đoạn dòng chảy ống kín (có áp), sử dụng loại chất lỏng (H.2.5) p *A = p *M ⇒ zA + p *B = p *N ⇒ zB + γ γ γ γ pA γ pB γ = zM + = zN + pM γ pN γ www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2014-2015 25 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực p * A − p *B = (z A + γ pA γ ) − (zB + pB γ ) = (zM − zN ) + ( pM γ − PN γ ) Nếu bỏ qua áp suất cột khí → pM ≅ pN → p * A − p *B γ = (zA + pA γ ) − (zB + pB ) = ( zM − zN ) = h γ ( 19 a ) A B EN G γ1 VN + Áp kế đo chênh có chất lỏng : N h1 M H γ2 EC H.2.6 D AT Dùng để đo chênh lệch áp suất p* hai mặt cắt đoạn dòng chảy ống kín (có áp) sử dụng loại chất lỏng (H.2.6) p *A = p *B = γ1 γ1 p *M γ1 p *N ⇒ zB + γ1 p * A − p *B γ1 p * A − p *B γ1 Đặt ⇒ zA + = (z A + = h1 ( p *A − p *B γ1 pA γ1 pA γ1 pB γ1 ) − (zB + = zM + = zN + pB γ1 pM γ1 pN γ1 ) = (zM − zN ) + ( pM γ1 − PN γ1 γ −γ1 ) γ1 =h ⇒ ) = −h1 + γ2 h1 γ1 (2.19b) h = h1 (γ − γ ) γ1 ( 20 ) Nếu h lớn chọn γ2 >> γ1 → h1 giảm Nếu h nhỏ chọn γ2 lớn γ1 chút → h1 tăng www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2014-2015 26 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực b) Ứng dụng định luật Pascal : L F l P1 N M O p1 A1 p2 A2 P2 H.2.7 VN Áp dụng định luật Pascal để làm máy nén thủy lực, nhằm tạo áp lực nén lớn từ lực tác động nhỏ Đặt ON=L ; OM = l ⇒ p1 = P1 A1 EN L F l P1 = G Từ phương trình moment cân lực, ta có : P2 = L A2 F l A1 P2 = A2 P1 A1 ( 21 a ) ( 21 b ) D AT → → EC Mà P2 = p2 A2 H Áp suất gia tăng p1 truyền hoàn toàn khối chất lỏng → độ gia tăng áp suất p2 nhánh nén là: p2 = p1 c) Biểu đồ phân bố áp suất : pa pa p B = γ hB hA hA p A = γ h A hB B p A = γ h A A A H.2.8 p* = const → p* = p*o → p + γ.z = po + γ.zo → p = po + γ.(zo-z) = po + γ.h www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2014-2015 27 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực - Áp suất hàm số tuyến tính theo độ sâu tính từ mặt phân cách (có áp suất po) Sự biểu diễn đồ thị áp suất p theo độ sâu h gọi biểu đồ phân bố áp suất Theo tính chất áp suất thủy tĩnh, áp suất vuông góc với mặt phẳng chịu lực, hướng vào biểu đồ áp suất tuyệt đối (hoặc áp suất dư >0) Hình 2.8 trình bày biểu đồ phân bố áp suất mặt phẳng Hình 2.9 trình bày biểu đồ phân bố áp suất mặt cong pa h1 p1 = γ h1 G VN r EN p1 = γ (h1 + r ) EC 2.4.4 Áp lực thủy tĩnh : H H.2.9 D AT 2.4.4.1 Áp lực chất lỏng tác dụng lên bề mặt phẳng : P y pa O α hC xC x' A C D x yC x' H.2.10 Xét bề mặt phẳng chứa diện tích A nằm chất lỏng, nghiêng góc α so với mặt thoáng chất lỏng Chọn hệ thống tọa độ với OX nằm giao tuyến mặt phẳng chứa bề mặt A mặt tự chất lỏng OY ⊥ OX nằm mặt phẳng chứa bề mặt xét Giả sử cắt mặt OXY lật lên mặt giấy để nhìn thấy diện tích A, ta hình H.2.10 www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2014-2015 28 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực + Trị số áp lực : Xét vi phân diện tích dA ∈ A, có tọa độ (x,y) ứng với độ sâu h → dP =p.dA =(pa+γ.h).dA = (pa+γ.y.sinα).dA Áp lực tác dụng lên A là: P= ∫∫ dP = A ∫∫ (pa+γ.y.sinα).dA A = pa.A +γ.sinα ∫∫ y.dA A = pa.A + γ.sinα.A.yc VN = pa.A + γ.hc.A = (pa + γ.hc).A → P = pc.A (2.22) Trong thực tế thường tính áp lực dựa áp suất dư, : (2.23) EN G P = γ.hc.A H Vậy : Áp lực tác dụng lên hình phẳng nằm hoàn toàn chất lỏng tích số áp suất trọng tâm hình phẳng nhân với diện tích hình phẳng EC + Tâm áp lực : Điểm đặt áp lực thủy tĩnh P gọi tâm áp lực D (xD, yD) Xét trường hợp áp lực dư Moment áp lực P trục OX : ∫∫ p.y.dA = γ.sinα ∫∫ y2.dA D AT YD.P = A A YD.P = γ.sinα.Ixx Với Ixx moment quán tính diện tích A trục OX Ixx = Ix’x’ + yc2.A Với Ix’x’ monent quán tính diện tích A trục CX’ qua trọng tâm C song song với trục OX YD.P = γ.sinα.(Ix’x’ + yc2.A) Suy ra, yD = γ sin α ( I x ' x ' + y C2 A) γ y C sin α A y D = yC + I x'x' yC A ( 24 ) www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2014-2015 29 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực Ix’x’ số không âm → yD ≥ yC → tâm áp lực D nằm thấp trọng tâm C hình phẳng D nằm ngang với C, diện tích A nằm ngang Tương tự để xác định XD, ta xét moment lực P trục OY, ta được: x D = xC + I x'y' ( 25 ) yC A Với Ix’y’ = ∫∫ x' y '.dA moment quán tính ly tâm diện tích phẳng A hệ trục CX’Y’ qua A trọng tâm C song song với hệ trục OXY Ix’y’ dương, âm hay không Nếu hình phẳng đối xứng qua trục CY’ → Ix’y’=0 → xD = xC , điểm D nằm trục đối xứng CY’ → Khi ta , cần xác định yD đủ pa pA A hB pB A EN C B y O α G hA P VN + Trường hợp hình phẳng hình chữ nhựt có cạnh đáy nằm ngang: D b C B A' x Y’ a B' X’ l H.2.11 D AT EC H D P = pc.A = γ.hc.A =γ h A + hB A A = a.b P = γ p + pB h A + hB a.b = A a.b 2 P = Ω.b (2.26) (2.27) Với Ω diện tích biểu đồ phân bố áp suất Điểm đặt lực: “Tổng áp lực phải qua trọng tâm biểu đồ phân bố áp suất” Công thức tính trọng tâm biểu đồ phân bố áp suất hình thang, cho phép ta tính BD = l, khỏang cách từ cạnh đáy lớn đến trọng tâm biểu đồ phân bố áp suất hình thang (D), ta có: BD = l = p A + pB a p A + pB www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2014-2015 (2.28) 30 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực 2.4.4.2 Áp lực chất lỏng tác dụng lên bề mặt cong: Xét bề mặt cong có diện tích A nằm chất lỏng Hệ tọa độ OXYZ có mặt OXY nằm ngang mặt tự chất lỏng (áp suất áp suất khí trời, pa) Gọi dA vi phân diện tích r cong A, xem diện tích phẳng Gọi n vectơ (đơn vị) pháp tuyến diện tích dA Gọi dAx hình chiếu dA lên mặt YOZ; dAy hình chiếu dA lên mặt XOZ, dAz hình chiếu dA lên mặt XOY ⇒ z x O dAz Az Ay dAy VN y Ax dAx dA EN G A H.2.12 H r r n vectơ pháp tuyến dA & i vectơ pháp tuyến YOZ ( ⊃ dAx) r r n vectơ pháp tuyến dA & j vectơ pháp tuyến XOZ ( ⊃ dAy) EC r r dAx = dA Cos( n , i ): r r dAy = dA Cos( n , j ): D AT r r r r dAz = dA Cos( n , k ): n vectơ pháp tuyến dA & k vectơ pháp tuyến XOY ( ⊃ dAz) r r r r r Gọi p áp suất điểm dA, vi phân lực dP = dP x + dP y + dP z = p.dA n tác dụng vuông góc với mặt dA → r r dPx = p.dA.Cos( n , i ) = p dAx r r dPy = p.dA.Cos( n , j ) = p dAy r r dPz = p.dA.Cos( n , k ) = p dAz → Px = ∫∫ dP x A = ∫∫ p.dA x A = ∫∫ γ h.dA x A Nếu hình chiếu Ax A lên mặt phẳng vuông góc với trục OX hình chiếu đơn → Px = ∫∫ γ h.dAx = A ∫∫ γ h.dA x Ax Công thức giống với công thức tính áp lực tác dụng lên hình phẳng có diện tích Ax → Px = γ.hcx.Ax = pcx Ax (2.29) www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2014-2015 31 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực Tương tự, ta có : Py = γ.hcy.Ay = pcy Ay (2.30) Với Ax Ay hình chiếu diện tích A lên mặt phẳng vuông góc với trục OX OY tương ứng hcx hcy khoảng cách thẳng đứng từ mặt tự đến trọng tâm diện tích Ax Ay tương ứng Và pcx pcy áp suất trọng tâm diện tích Ax Ay tương ứng Ta có: Pz = ∫∫ γ h.dA z A = γ ∫∫ h.dAz Az Pz = γW (2.31) VN W thể tích khối chất lỏng tạo mặt cong, đường sinh thẳng đứng viền theo mép mặt cong, kéo dài đến mặt tự chất lỏng phần kéo dài mặt tự do, mặt tự (mặt phẳng nằm ngang có áp suất áp suất khí trời, pa) W gọi thể tích vật áp lực Px2 + P y2 + Pz2 EN P= G Từ đó, ta tính lực P sau: ( 32 ) H Trong trường hợp mặt cong phức tạp ta phải chia nhỏ để trở thành mặt cong nhỏ có hình chiếu đơn EC 2.4.4.3 Lực đẩy Archimède : Xét vật rắn tích Wr ngập hoàn toàn chất lỏng D AT + Thành phần nằm ngang áp lực chất lỏng tác dụng lên vật rắn ; áp lực tác dụng lên mặt cong abc abd ngược chiều (hình chiếu lên mặt phẳng thẳng đứng nhau) + Thành phần thẳng đứng áp lực chất lỏng tác dụng lên vật rắn trọng lượng khối chất lỏng tích vật rắn hướng lên trên: pa Pz a d c D b H.2.13 www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2014-2015 32 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực Xét lực tác dụng lên mặt cda lên mặt cdb : Pz1 = γ.W1 hướng xuống (W1 vật áp lực tác dụng lên mặt cda) Pz2 = γ.W2 hướng lên (W2 vật áp lực tác dụng lên mặt cdb) → Pz = Pz2 - Pz1 = γ.(W2 - W1) (2.33a) Pz = γ.Wr (2.33b) Vậy : - Vật rắn ngập hoàn toàn chất lỏng chịu tác dụng lực Archimède hướng thẳng đứng từ lên có trị số trọng lượng khối chất lỏng mà vật choán chỗ VN - Điểm đặt lực Pz tâm đẩy D, trọng tâm thể tích lưu chất mà vật choán chỗ (thể tích phần chìm lưu chất) - Lực Archimède cho trường hợp vật chất khí D AT EC H EN 2.4.5.1 Vật rắn ngập hoàn toàn chất lỏng : G 2.4.5 Tính ổn định vật nằm chất lỏng: (lý thuyết) H.2.14 Vật chịu tác dụng hai lực : - Trọng lượng G đặt trọng tâm C vật rắn hướng xuống - Lực đẩy Archimède Pz đặt tâm đẩy D hướng lên → Nếu G > Pz ⇒ vật chìm Nếu G < Pz ⇒ vật Nếu G = Pz ⇒ vật lơ lửng (i) Nếu C nằm D ⇒ vật cân ổn định (ii) Nếu C nằm D ⇒ vật cân không ổn định ⇒ trở trạng thái (i) (iii) Nếu C trùng D ⇒ vật cân phiếm định (cân vị trí nào) www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2014-2015 33 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực 2.4.5.2 Vật rắn mặt tự chất lỏng : H.2.15 VN + Nếu C nằm D ⇒ vật cân ổn định - Nếu M cao C ⇒ vật cân ổn định G + Nếu C nằm D ⇒ ta xét tâm định khuynh M EN - Nếu M thấp C ⇒ vật cân không ổn định + Xác định tâm định khuynh M : H - Xét vật tiết diện ngang A ngang mặt tự chất lỏng EC - Trọng lượng G cân với lực đẩy Archimède Pz = γ.W Lực G đặt C, lực Pz đặt D, W thể tích phần chìm vật - Xét mặt cắt ngang chứa trọng tâm C tâm đẩy D D AT - Mặt thoáng lúc đầu aoe - Khi vật quay góc nhỏ θ ⇒ mặt thoáng a’oe’ → • Lực đẩy Archimède P’z có trị số Pz đặt D’ ⇒ giao điểm M P’z với CD gọi tâm định khuynh • Để xác định bán kính định khuynh, ρ = MD , ta tính moment lực P’z trục dd’ qua D vuông góc mặt cắt ngang xét → M(P’z)/dd’ = -P’z MD sin(θ) ≅ -P’z MD θ = -γW MD θ • Mà lực P’z tương đương với lực (Pz , Pz1, Pz2) với (Pz1, Pz2) hình thành ngẫu lực → M(Pz , Pz1, Pz2)/dd’ = M(Pz )/dd’ + M(Pz1, Pz2)/dd’ Mà Pz qua dd’ ⇒ M(Pz )/dd’ = Và M(Pz1, Pz2)/dd’ = M(Pz1, Pz2)/yy’ (moment ngẫu lực không phụ thuộc vị trí trục chọn tính moment) → Tóm lại : M(P’z)/dd’ = M(Pz , Pz1, Pz2)/dd’ = M(Pz1, Pz2)/yy’ www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2014-2015 34 Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực M(Pz1)/yy’= − ∫∫ ( x.tgθ γ ).x.dA ≈ − ∫∫ γθ x dA oa oa M(Pz2)/yy’= − ∫∫ ( x.tgθ γ ).x.dA ≈ − ∫∫ γθ x dA oe oe M(P’z)/dd’ = − γ θ ∫∫ x dA = -γ.θ.Iyy’ ae → -γW MD θ =-γ.θ.Iyy’ → MD = I yy ' ( 34 ) W Với Iyy’ moment quán tính mặt A trục quay yy’ I xx ' W G M 'D = VN Ta chứng minh tương tự cho trục quay ngang xx’ vuông góc với yy’ qua trọng tâm mặt A, ta có: ( 34 a ) EN Để an toàn, ta thực việc tính toán kiểm tra cân sau: I = Min{Ixx’ , Iyy’} I W H ρ = MD = (2.34b) EC → D AT Nếu ρ > C D : cân ổn định H.2.16 www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2014-2015 35 [...]... dương, âm hay b ng không Nếu hình phẳng đối xứng qua trục CY’ → Ix’y’=0 → xD = xC , điểm D sẽ nằm trên trục đối xứng CY’ → Khi đó ta , chỉ cần xác định yD là đủ pa pA A hB pB A EN C B y O α G hA P VN + Trường hợp hình phẳng là hình chữ nhựt có cạnh đáy nằm ngang: D b C B A' x Y’ a B' X’ l H.2.11 D AT EC H D P = pc.A = γ.hc.A =γ h A + hB A 2 A = a .b P = γ p + pB h A + hB a .b = A a .b 2 2 P = Ω .b (2.26) (2.27)... P = Ω .b (2.26) (2.27) Với Ω là diện tích biểu đồ phân b áp suất Điểm đặt lực: “Tổng áp lực phải đi qua trọng tâm của biểu đồ phân b áp suất” Công thức tính trọng tâm của biểu đồ phân b áp suất hình thang, cho phép ta tính được BD = l, khỏang cách từ cạnh đáy lớn đến trọng tâm của biểu đồ phân b áp suất hình thang (D), ta có: BD = l = 2 p A + pB a p A + pB 3 www.datechengvn.com Copyright @datechengvn... lên vật rắn b ng 0 ; b i vì áp lực tác dụng lên mặt cong abc và abd b ng nhau và ngược chiều nhau (hình chiếu lên mặt phẳng thẳng đứng b ng nhau) + Thành phần thẳng đứng của áp lực do chất lỏng tác dụng lên vật rắn b ng trọng lượng của khối chất lỏng có thể tích b ng vật rắn và hướng lên trên: pa Pz a d c D b H.2.13 www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2014-2015 32 Trường Đại Học B ch Khoa –... dưới D ⇒ vật cân b ng ổn định (ii) Nếu C nằm trên D ⇒ vật cân b ng không ổn định ⇒ sẽ trở về trạng thái (i) (iii) Nếu C trùng D ⇒ vật cân b ng phiếm định (cân b ng ở b t cứ vị trí nào) www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2014-2015 33 Trường Đại Học B ch Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực 2.4.5.2 Vật rắn nổi trên mặt tự do của chất lỏng : H.2.15 VN + Nếu C nằm dưới D ⇒ vật cân b ng ổn định -... Xét lực tác dụng lên mặt cda và lên mặt cdb lần lượt là : Pz1 = γ.W1 hướng xuống (W1 vật áp lực tác dụng lên mặt cda) Pz2 = γ.W2 hướng lên (W2 vật áp lực tác dụng lên mặt cdb) → Pz = Pz2 - Pz1 = γ.(W2 - W1) (2.33a) Pz = γ.Wr (2.3 3b) Vậy : - Vật rắn ngập hoàn toàn trong chất lỏng chịu tác dụng của lực Archimède hướng thẳng đứng từ dưới lên trên và có trị số b ng trọng lượng của khối chất lỏng mà vật... A + pB 3 www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2014-2015 (2.28) 30 Trường Đại Học B ch Khoa – ĐHQG TP HCM PGS TS Lê Văn Dực 2.4.4.2 Áp lực chất lỏng tác dụng lên b mặt cong: Xét một b mặt cong có diện tích A nằm trong chất lỏng Hệ tọa độ OXYZ có mặt OXY nằm ngang và là mặt tự do của chất lỏng (áp suất b ng áp suất khí trời, pa) Gọi dA là một vi phân diện tích r cong trên A, có thể xem như... lỏng : H.2.15 VN + Nếu C nằm dưới D ⇒ vật cân b ng ổn định - Nếu M cao hơn C ⇒ vật cân b ng ổn định G + Nếu C nằm trên D ⇒ ta xét tâm định khuynh M EN - Nếu M thấp hơn C ⇒ vật cân b ng không ổn định + Xác định tâm định khuynh M : H - Xét vật nổi tiết diện ngang A ngang mặt tự do của chất lỏng EC - Trọng lượng G cân b ng với lực đẩy Archimède Pz = γ.W Lực G đặt tại C, lực Pz đặt tại D, W là thể tích phần... tương tự cho trục quay ngang xx’ vuông góc với yy’ qua trọng tâm của mặt nổi A, ta cũng có: ( 2 34 a ) EN Để an toàn, ta thực hiện việc tính toán kiểm tra cân b ng như sau: I = Min{Ixx’ , Iyy’} I W H ρ = MD = (2.3 4b) EC → D AT Nếu ρ > C D : cân b ng ổn định H.2.16 www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2014-2015 35 ... chứa trọng tâm C và tâm đẩy D D AT - Mặt thoáng lúc đầu là aoe - Khi vật quay đi một góc nhỏ θ ⇒ mặt thoáng là a’oe’ → • Lực đẩy Archimède P’z có trị số b ng Pz nhưng đặt tại D’ ⇒ giao điểm M của P’z với CD được gọi là tâm định khuynh • Để xác định b n kính định khuynh, ρ = MD , ta tính moment của lực P’z đối với trục dd’ qua D và vuông góc mặt cắt ngang đang xét → M(P’z)/dd’ = -P’z MD sin(θ) ≅ -P’z... và Ay tương ứng Ta có: Pz = ∫∫ γ h.dA z A = γ ∫∫ h.dAz Az Pz = γW (2.31) VN W là thể tích khối chất lỏng tạo b i mặt cong, các đường sinh thẳng đứng viền theo mép của mặt cong, kéo dài đến mặt tự do của chất lỏng hoặc phần kéo dài của mặt tự do, và mặt tự do (mặt phẳng nằm ngang có áp suất b ng áp suất khí trời, pa) W được gọi là thể tích của vật áp lực Px2 + P y2 + Pz2 EN P= G Từ đó, ta tính được ... ΔpAB = pB - pA hai điểm A B (điểm A trên, B dưới) lưu chất phụ thuộc khoảng cách thẳng đứng hai điểm pA γ + zA = pB γ + zB ⇒ pB − pA γ = ( z A − z B ) = h AB ΔpAB = γ.hAB hay pB = pA + γ.hAB (2.14a)... + hB a .b = A a .b 2 P = Ω .b (2.26) (2.27) Với Ω diện tích biểu đồ phân b áp suất Điểm đặt lực: “Tổng áp lực phải qua trọng tâm biểu đồ phân b áp suất” Công thức tính trọng tâm biểu đồ phân b ... A hB pB A EN C B y O α G hA P VN + Trường hợp hình phẳng hình chữ nhựt có cạnh đáy nằm ngang: D b C B A' x Y’ a B' X’ l H.2.11 D AT EC H D P = pc.A = γ.hc.A =γ h A + hB A A = a .b P = γ p + pB