Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu xử lý số liệu - chương 3 Biến đổi Z
Xử lý số tín hiệu Chương 3: Biến đổi z Trang 36 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Chương 3 BIẾN ĐỔI Z 3.1. Biến đổi z 3.1.1. Biến đổi z trực tiếp Định nghĩa: Biến đổi z của tín hiệu rời rạc x(n) định nghĩa như sau: X(z) = nnz)n(x (3.1) Trong đó z là biến phức và được biểu diễn như sau: X(z) = Z[x(n)] (3.2) Hay: )z(X)n(xz (3.3) Do chuỗi biến đổi là vô hạn nên chỉ tồn tại một số giá trị của z để X(z) hội tụ. Tập hợp tất cả các giá trị của z để X(z) hội tụ gọi là miền hội tụ của X(z) ROC (Region Of Convergence). VD: Xác định biến đổi z của các tín hiệu rời rạc hữu hạn sau: x(n) = {1,2,5,7,0,1} X(z) = 1 + 2z-1 + 5z-2 + 7z-3 + z-5 hữu hạn khi z 0 ROC = C\{0} x(n) = {1,2,5,7,0,1} X(z) = z2 + 2z + 5 + 7z-1 + z-3 hữu hạn khi z 0 và z ROC = C\{0,} x(n) = (n) X(z) = 1 ROC = C x(n) = (n - k), k > 0 X(z) = z-k, k > 0 ROC = C\{0} x(n) = (n + k), k > 0 X(z) = zk, k > 0 ROC = C\{} Như vậy, đối với tín hiệu hữu hạn thì ROC là toàn bộ mặt phẳng z và có thể trừ các giá trị z = 0 và z = . VD: Xác định biến đổi z của tín hiệu x(n) = )n(u21n x(n) = {1,21,221, …} Xử lý số tín hiệu Chương 3: Biến đổi z Trang 37 GV: Phạm Hùng Kim Khánh X(z) = nnz)n(x= nnnz)n(u21 = 0nn1z21 X(z) = 11N1Nz211z211lim hội tụ về 1z2111 khi 1z211 ROC: |z| > ½ Do z là biến phức nên ta biểu diễn như sau: z = rej (3.4) X(z) = nnjner)n(x |X(z)| = nnjner)n(x nnjner)n(x = nnr)n(x (3.5) |X(z)| 0nn1nnr)n(xr)n(x = 0nn1nnr)n(xr)n(x (3.6) ROC của X(z) là các giá trị của r để 2 chuỗi ở vế phải của (3.6) hội tụ. Số hạng đầu tiên hội tụ khi r đủ nhỏ (r < r1) và số hạng thứ hai hội tụ khi r đủ lớn (r > r1). Hình 3.1 – ROC của X(z) ROC của 1nnr)n(x r1 r2 ROC của 0nnr)n(x Re(z) Re(z) Im(z) Im(z) ROC với r1 > r2 r1 Không tồn tại ROC với r1 < r2 r2 r2 r1 Re(z) Im(z) Re(z) Im(z) Xử lý số tín hiệu Chương 3: Biến đổi z Trang 38 GV: Phạm Hùng Kim Khánh VD: Xác định biến đổi z của tín hiệu x(n) = anu(n) X(z) = nnz)n(x = 0nn1)az( 1az11 nếu |az-1| < 1 hay |z| > |a| Hình 3.2 – ROC của Z{anu(n)} x(n) = anu(n) z X(z) = 1az11, ROC: |z| > |a| (3.7) Nếu a = 1, ta được biến đổi z của hàm bước đơn vị: x(n) = u(n) z X(z) = 1z11, ROC: |z| > 1 (3.8) VD: Xác định biến đổi z của tín hiệu x(n) = -anu(-n-1) X(z) = nnz)n(x = 1nn1)za(= 1nn1)za( X(z) = N12111N)za( .)za()za(1)za(lim X(z) = )za(1)za(1)za(lim11N11N )za(1za11 = 1az11 khi |a-1z| < 1 hay |z| < |a| x(n) = -anu(-n-1) z X(z) = 1az11, ROC: |z| < |a| (3.9) Hình 3.3 – ROC của Z{-anu(-n-1)} |a| Re(z) Im(z) ROC |a| Re(z) Im(z) ROC Xử lý số tín hiệu Chương 3: Biến đổi z Trang 39 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Từ (3.7) và (3.9): hai tín hiệu khác nhau có cùng biến đổi X(z) nhưng ROC khác nhau. Do đó, tín hiệu rời rạc x(n) xác định duy nhất bằng biến đổi X(z) và ROC của X(z). VD: Xác định biến đổi z của tín hiệu x(n) = anu(n) + bnu(-n-1) X(z) = 0nn1)az(+1nn1)zb( Chuỗi thứ nhất hội tụ khi |z| > |a|, chuỗi thứ hai hội tụ khi |z| < |b| nếu |b| |a| thì X(z) không tồn tại. Ngược lại: X(z) = 1az11 - 1bz11= 1abzzbaab Như vậy: x(n) = anu(n) + bnu(-n-1)z X(z) = 1abzzbaab ROC: |a| < |z| < |b| (3.10) 3.1.2. Biến đổi z ngược Từ (3.1): X(z) = kkz)k(x (3.11) Hay: X(z)zn-1 = kk1nz)k(x ROCkk1nROC1ndzz)k(xdzz)z(X= kROCk1ndzz)k(x (3.12) Theo định lý tích phân Cauchy: nk0nk1dzzj21Ck1n (3.13) với C là đường cong đóng bất kỳ. Từ đó: x(n) = ROC1ndzz)z(Xj21 (3.14) Ký hiệu: x(n) = Z-1{X(z)} 3.2. Tính chất của biến đổi z Tuyến tính Nếu: x1(n) z X1(z) và: x2(n) z X2(z) thì: a1x1(n) + a2x2(n)z X(z) = a1X1(z) + a2X2(z) (3.15) Xử lý số tín hiệu Chương 3: Biến đổi z Trang 40 GV: Phạm Hùng Kim Khánh với a1, a2 là các hằng số tuỳ ý VD: Xác định biến đổi z của tín hiệu x(n) = [3(2n) – 4(3n)]u(n) Đặt x1(n) = 2nu(n) và x2(n) = 3nu(n). Theo (3.7): x1(n) z X1(z) = 1z211, ROC: |z| > 2 x2(n) z X2(z) = 1z311, ROC: |z| > 3 Theo (3.15): x(n) = 3x1(n) – 4x2(n) z X(z) = 3X1(z) – 4X2(z) = 1z213-1z314 ROC: |z| > 3 VD: Xác định biến đổi z của tín hiệu: x(n) = (cos0n)u(n) Ta có: x(n) = )n(ue21)n(ue21njnj00 = )n(ue21)n(ue21njnj00 Theo (3.7) và (3.15): X(z) = 1j1jze1121ze112100, ROC: |z| > 0je = 1 (cos0n)u(n) z 20101zcosz21cosz1, ROC: |z| > 1 (3.16) Tương tự: (sin0n)u(n) z 20101zcosz21sinz, ROC: |z| > 1 (3.17) Dịch thời gian Nếu: x(n) z X(z) thì: x(n - k)zz-kX(z) (3.18) VD: Xác định biến đổi z của tín hiệu: x(n) = khác01Nn01 Ta có: x(n) = u(n) – u(n – N) Theo (3.8): Xử lý số tín hiệu Chương 3: Biến đổi z Trang 41 GV: Phạm Hùng Kim Khánh u(n) z X(z) = 1z11, ROC: |z| > 1 Theo (3.18): u(n – N) z X(z) = z-N1z11, ROC: |z| > 1 X(z) = 1z11 - z-N1z11 = z1z1N, ROC: |z| > 1 (3.19) Co trên miền z Nếu: x(n) z X(z), ROC: r1 < |z| < r2 thì: anx(n)z X(a-1z), ROC: |a|r1 < |z| < |a|r2 (3.20) VD: Xác định biến đổi z của tín hiệu: x(n) = an(cos0n)u(n) Theo (3.16) và (3.20): an(cos0n)u(n) z 220101zacosaz21cosaz1, ROC: |z| > |a| (3.21) VD: Xác định biến đổi z của tín hiệu: x(n) = an(sin0n)u(n) Theo (3.17) và (3.20): an(sin0n)u(n) z 220101zacosaz21cosaz, ROC: |z| > |a| (3.22) Đảo thời gian Nếu: x(n) z X(z), ROC: r1 < |z| < r2 thì: x(-n)z X(z-1), ROC: 21r < |z| < 11r (3.23) VD: Xác định biến đổi z của tín hiệu: x(n) = u(-n) Theo (3.8): u(n) z 1z11, ROC: |z| > 1 Theo (3.23): x(n)z X(z) = z11, ROC: |z| < 1 (3.24) Xử lý số tín hiệu Chương 3: Biến đổi z Trang 42 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Vi phân trên miền z Nếu: x(n) z X(z) thì: nx(n)z dz)z(dXz (3.25) VD: Xác định biến đổi z của tín hiệu x(n) = nanu(n) Theo (3.7): anu(n) z 1az11, ROC: |z| > |a| Theo (3.25): X(z) = -zdzaz11d1 = 211az1az nanu(n) z 211az1az, ROC: |z| > |a| (3.26) Cho a = 1: nu(n) z 211z1z, ROC: |z| > 1 (3.27) Tích chập Nếu: x1(n) z X1(z) và: x2(n) z X2(z) thì: x1(n) * x2(n)z X1(z)X2(z) (3.28) VD: Tính tích chập của 2 tín hiệu sau: x1(n) = {1,-2,1} x2(n) = khác05n01 Ta có: X1(z) = 1 -2z-1 + z-2 = (1 – z-1)2 Theo (3.19): X2(z) = 16z1z1 X(z) = X1(z)X2(z) = (1 – z-6)(1 – z-1) X(z) = 1 – z-1 – z-6 + z-7 x(n) = {1,-1,0,0,0,0,-1,1} Mà X(z) = X1(z)X2(z) nên x(n) = x1(n) * x2(n) Xử lý số tín hiệu Chương 3: Biến đổi z Trang 43 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Từ ví dụ này, ta có thể thực hiện tích chập của hai tín hiệu x1(n) và x2(n) như sau: Tính biến đổi z của x1(n) và x2(n) (tương ứng là X1(z) và X2(z)) Tính X(z) = X1(z)X2(z) Thực hiện biến đổi z ngược x(n) = Z-1{X(z)}, x(n) là tích chập của x1(n) và x2(n). Tương quan Nếu: x1(n) z X1(z) và: x2(n) z X2(z) thì: l21xx)ln(x)n(x)l(r21z )z(X)z(X)z(R121xx21 (3.29) VD: Tính chuỗi tự tương quan của x(n) = anu(n), -1 < a < 1 Theo (3.7): X(z) = 1az11, ROC: |z| > |a| X(z-1) = az11, ROC: |z| < 1/|a| Rxx(z) = X(z)X(z-1) = az11az111= 21a)zz(a11, ROC: 1/|a| >|z| > |a| Theo (3.10): anu(n) + bnu(-n-1)z 1abzzbaab, ROC: |a| < |z| < |b| Thay thế b = 1/a: anu(n) + na1u(-n-1)z 1za1aza1aaa1 anu(n) + na1u(-n-1)z )zz(a1aa1122 = (1-a2)Rxx(z) ROC: |a| < |z| < 1/|a| Hay: 2a11anu(n) + 2a11na1u(-n-1)z Rxx(z) Xử lý số tín hiệu Chương 3: Biến đổi z Trang 44 GV: Phạm Hùng Kim Khánh rxx(l) = 2a11alu(l) + 2a11la1u(-l-1) = l2aa11 Nhân Nếu: x1(n) z X1(z) và: x2(n) z X2(z) thì: x1(n)x2(n)z C1121d)z(X)(Xj21 (3.30) Định lý giá trị đầu Nếu x(n) là nhân quả (x(n) = 0 khi n < 0) thì x(0) = )z(Xlimz (3.31) 3.3. Biến đổi z hữu tỉ 3.3.1. Các điểm cực và điểm không Điểm cực của X(z) là các giá trị z tại đó X(z) = , điểm không của X(z) là các giá trị z tại đó X(z) = 0. Giả sử X(z) là hàm hữu tỉ: X(z) = N0kkkM0kkkzazb)z(D)z(N (3.32) Giả sử a0 0 và b0 0: X(z) = 0N1N01N0M1M01MN0M0aa .zaazbb .zbbzzazb)z(D)z(N (3.32) Do N(z) và D(z) là các đa thức theo z nên có thể biểu diễn như sau: X(z) = N1kkM1kkMN)pz()zz(Gz (3.33) Với G = b0/a0. X(z) có M điểm không tại z = z1, z2, …, zM và N điểm cực tại z = p1, p2, …, pN. Để biểu diễn trên đồ thị, điểm cực được đánh dấu bằng x và điểm không được đánh dấu bằng o. Xử lý số tín hiệu Chương 3: Biến đổi z Trang 45 GV: Phạm Hùng Kim Khánh VD: Xác định điểm cực và điểm không của tín hiệu x(n) = anu(n), a > 0 X(z) = 1az11 = azz, ROC: |z| > a X(z) có một điểm cực p1 = a và một điểm không z1 = 0 Hình 3.4 – Biểu đồ cực – không của x(n) = anu(n) VD: Xác định điểm cực và điểm không của tín hiệu x(n) = khác01Mn0an, a > 0 x(n) = anu(n) – anu(n – M) z X(z) = 1az11 + z-M1Maz1a X(z) = 1MMaz1az1 = azazzMM1M= )az(zaz1MMM Điểm cực: p1 = 0 (M – 1 điểm), pM = a Điểm không: zk = M/k2jae, (k = 0, …, M – 1). Tại k = 0: z0 = a có tất cả M – 1 điểm cực và M – 1 điểm không. X(z) = 1M1M1kkz)zz( VD: Xác định tín hiệu x(n) biết rằng biểu đồ cực – không như hình vẽ Hình 3.5 – Biểu đồ cực – không a Re(z) Im(z) ROC r Re(z) Im(z) ROC 0 [...]... j0.049)(0.9e -j /3 ) n u(n) + 1.099u(n) = )n(u09.0n 3 cos)9.0(088.1099.1 n Điều kiện đầu = 0 y(n) = y zs (n) b. y (-1 ) = y (-2 ) = 1 Xử lý số tín hiệu Chương 3: Biến đổi z Trang 40 GV: Phạm Hùng Kim Khánh với a 1 , a 2 là các hằng số tuỳ ý VD: Xác định biến đổi z của tín hiệu x(n) = [3( 2 n ) – 4 (3 n )]u(n) Đặt x 1 (n) = 2 n u(n) và x 2 (n) = 3 n u(n). Theo (3. 7):... N 1k k k M 0k k k za1 zb (3. 37) Xử lý số tín hiệu Chương 3: Biến đổi z Trang 50 GV: Phạm Hùng Kim Khánh a. ROC: |z| > 1 X(z) = 11 z5.01 1 z1 2 z x(n) = 2u(n) – (0.5) n u(n) b. ROC: |z| < 0.5 X(z) = 11 z5.01 1 z1 2 z x(n) = -2 u(-n-1) + (0.5) n u(-n-1) c. ROC: 0.5 < |z| < 1 1 z1 2 , ROC: |z| < 1 z -2 u(-n-1) 1 z5.01 1 ,... 1 1n n z)n(y ] + z -2 [Y + (z) + 2 1n n z)n(y ] Y + (z) = z -1 Y + (z) + y (-1 ) + z -2 Y + (z) + y (-1 )z -1 + y (-2 ) Y + (z) = 21 zz1 1 = 1zz z 2 2 = 2 2 1 1 pz A pz A Với p 1 = 2 51 , p 2 = 2 51 A 1 = p 1 / 5 , A 2 = -p 2 / 5 Do đó: Xử lý số tín hiệu Chương 3: Biến đổi z Trang 37 GV: Phạm Hùng Kim Khánh X(z) = n n z)n(x = n n n z)n(u 2 1 ... k) z z k [X + (z) - 1k 1n n z)n(x ], k < 0 (3. 47) - Định lý giá trị cuối cùng: Nếu: Xử lý số tín hiệu Chương 3: Biến đổi z Trang 42 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Vi phân trên miền z Nếu: x(n) z X(z) thì: nx(n) z dz )z(dX z (3. 25) VD: Xác định biến đổi z của tín hiệu x(n) = na n u(n) Theo (3. 7): a n u(n) z 1 az1 1 , ROC: |z| > |a| Theo (3. 25): X(z) = -z dz az1 1 d 1 ... 1 6 z1 z1 X(z) = X 1 (z)X 2 (z) = (1 – z -6 )(1 – z -1 ) X(z) = 1 – z -1 – z -6 + z -7 x(n) = {1 ,-1 ,0,0,0,0 ,-1 ,1} Mà X(z) = X 1 (z)X 2 (z) nên x(n) = x 1 (n) * x 2 (n) Xử lý số tín hiệu Chương 3: Biến đổi z Trang 48 GV: Phạm Hùng Kim Khánh X(z) = N 1N 1 N MN M 1N 1 N 0 a zaz zb zbzb , M < N và a N 0 (3. 41) Do N > M nên: z )z(X = N 1N 1 N 1MN M 2N 1 1N 0 a... đầu: y (-1 ) = y (-2 ) = 1 a. y (-1 ) = y (-2 ) = 0 Hàm hệ thống: H(z) = 21 z81.0z9.01 1 Điểm cực: p 1 = 0.9e j /3 và p 2 = 0.9e -j /3 x(n) = u(n) z X(z) = 1 z1 1 Y zs (z) = H(z)X(z) = )z1)(ze9.01)(ze9.01( 1 1 13/ j 13/ j Y zs (z) = 1 13/ j 13/ j z1 099.1 ze9.01 049.0j542.0 ze9.01 049.0j542.0 z y zs (n) = (0.542 – j0.049)(0.9e j /3 ) n u(n)... 11 z5.01 1 z1 2 z x(n) = -2 u(-n-1) - (0.5) n u(n) 3. 5. Biến đổi z đơn hướng 3. 5.1. Định nghĩa và tính chất Biến đổi z đơn hướng định nghĩa như sau: X + (z) = 0n n z)n(x (3. 45) và biểu diễn như sau: x(n) )z(X z Tính chất: - Dịch thời gian: Nếu: x(n) z X + (z) thì: x(n - k) z z -k [X + (z) + k 1n n z)n(x ], k > 0 (3. 46) Nếu: x(n) z ... 2 x 2 (n) z X 2 (z) = 1 z31 1 , ROC: |z| > 3 Theo (3. 15): x(n) = 3x 1 (n) – 4x 2 (n) z X(z) = 3X 1 (z) – 4X 2 (z) = 1 z21 3 - 1 z31 4 ROC: |z| > 3 VD: Xác định biến đổi z của tín hiệu: x(n) = (cos 0 n)u(n) Ta có: x(n) = )n(ue 2 1 )n(ue 2 1 njnj 00 = )n(ue 2 1 )n(ue 2 1 n j n j 00 Theo (3. 7) và (3. 15): X(z) = 1 j 1 j ze1 1 2 1 ze1 1 2 1 00 ,... 2 0 1 0 1 zcosz21 cosz1 , ROC: |z| > 1 (3. 16) Tương tự: (sin 0 n)u(n) z 2 0 1 0 1 zcosz21 sinz , ROC: |z| > 1 (3. 17) Dịch thời gian Nếu: x(n) z X(z) thì: x(n - k) z z -k X(z) (3. 18) VD: Xác định biến đổi z của tín hiệu: x(n) = khác0 1Nn01 Ta có: x(n) = u(n) – u(n – N) Theo (3. 8): Xử lý số tín hiệu Chương 3: Biến đổi z Trang 51 GV: Phạm Hùng... )z(Y)1z(lim)n(ylim 1zn = a1 1 3. 5.2. Giải phương trình sai phân Ta xét 2 ví dụ sau: VD: Xác định biểu thức của chuỗi Fibonacci Từ phương trình sai phân biểu diễn chuỗi: y(n) = y(n – 1) + y(n – 2) (3. 49) Điều kiện đầu: y(0) = y (-1 ) + y (-2 ) = 1 y(1) = y(0) + y (-1 ) = 1 y (-1 ) = 0, y (-2 ) = 1 Biến đổi z đơn hướng của (3. 49): Y + (z) = z -1 [Y + (z) + 1 1n n z)n(y ] + z -2 [Y + (z) + 2 1n n z)n(y ] . – z-6)(1 – z-1) X(z) = 1 – z-1 – z-6 + z-7 x(n) = {1 ,-1 ,0,0,0,0 ,-1 ,1} Mà X(z) = X1(z)X2(z) nên x(n) = x1(n) * x2(n) Xử lý số tín hiệu Chương 3: . 1az11 khi |a-1z| < 1 hay |z| < |a| x(n) = -anu(-n-1) z X(z) = 1az11, ROC: |z| < |a| (3. 9) Hình 3. 3 – ROC của Z{-anu(-n-1)} |a| Re(z)