MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ CĂN THỨC BẬC HAI Chứng minh số vô tỉ a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : S = x2 + y2 a) Cho a ≥ 0, b ≥ Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : b) Cho a, b, c > Chứng minh : a+b ≥ ab bc ca ab + + ≥a+b+c a b c c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a3 + b3 Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b Cho a, b, c số dương Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) Tìm liên hệ số a b biết : a + b > a − b a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a b) Cho a, b, c > abc = Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 10 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 11 Tìm giá trị x cho : a) | 2x – | = | – x | b) x2 – 4x ≤ c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 2 2 12 Tìm số a, b, c, d biết : a + b + c + d = a(b + c + d) 13 Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ 14 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P ( 15 Rút gọn biểu thức : A = 2 − + )( 16 Chứng minh rằng, ∀n ∈ Z+ , ta có : + 17 Trục thức mẫu : a) 1+ + ) 18 − 20 + 2 1 + + + >2 n b) x + x +1 ( ) n +1 −1 18 Tính : − − 29 − 20 a) b) + − 13 + 48 ( )( 19 Cho a = − + 20 Cho b = 3− 2 17 − 12 − ( c) ( − x) ) 3+ 2 17 + 12 ) −1 x − x + − = − x + ( x − 3) x − 5−x + x −3 b có phải số tự nhiên không ? b) =2 22 Tính giá trị biểu thức : M = 23 Rút gọn : A = − − 29 − 12 10 − Chứng minh a số tự nhiên 21 Giải phương trình sau : a) c) ( ) −1 x = ( ) +1 x − 3 d) x + x − = 12 − 29 + 25 + 21 − 12 + 29 − 25 − 21 1 1 + + + + 1+ 2+ 3+ n −1 + n 1 1 − + − + 2− 3− 4− 2n − 2n + 24 Cho biểu thức : P = a) Rút gọn P b) P có phải số hữu tỉ không ? 1 1 + + + + +1 + + 100 99 + 99 100 1 + + + > n 26 Chứng minh : + n 25 Tính : A = 27 Chứng minh đẳng thức sau : ( ) ( 10 − ) − 15 = ( + ) ( 10 − ) = d) a) + 15 c) − b) + = + 48 = 2 ( ( ) +1 ) + e) 17 − + = − 28 Chứng minh bất đẳng thức sau : 5+ 5− + − 10 < 5− 5+   +1 −  c)  + + ÷ 0, − 1,01 > ÷ −  + + + −   + −1 2− 3 3  d) + + + 3− >  ÷− 2+ 6 2− 2+  27 + > 48 a) +2 e) h) ( 3+ b) −1 + 5+ −2 ) − ( − > 1,9 ) 3+ 5+ − + + 2− < 0,8 < n − n − Từ suy ra: n 1 2004 < + + + + < 2005 1006009 2+ 3+ b) 30 Trục thức mẫu : a) 2+ 3+ 6+ 8+4 2+ + 3+ 3− y= 31 Cho x = Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2 3− 3+ 2002 2003 + > 2002 + 2003 32 Chứng minh bất đẳng thức sau : 2003 2002 x − 3xy + y A = 33 Tính giá trị biểu thức : với x = + y = − x+y+2 34 Tìm GTNN GTLN biểu thức A = − − x2 + 35 Tìm giá trị nhỏ A = với < x < 1− x x y−2 x −1 36 Tìm GTLN : a) A = x − + y − biết x + y = ; b) B = + x y 29 Chứng minh : n + − n < 37 Cho a = 1997 − 1996 ; b = 1998 − 1997 So sánh a với b, số lớn ? 38 Tìm GTNN, GTLN : a) A = 39 Tìm giá trị lớn 40 Tìm giá trị lớn 41 Tìm GTNN, GTLN 42 Tìm GTNN, GTLN 43 Giải phương trình : + − x2 b) B = − x + 2x + A = x 1− x2 A = | x – y | biết x2 + 4y2 = A = x3 + y3 biết x, y ≥ ; x2 + y2 = A = x x + y y biết x + y = 1 − x + x − 3x + + (x − 2) x −1 = x−2 44 Giải phương trình : x + 2x − = + 4x + 2x 1 1 + + + + < 2 (n + 1) n 1 1 + + + + 46 Cho A = Hãy so sánh A 1,999 1.1999 2.1998 3.1997 1999.1 3+ − ; b = + 2 + − CMR : a, b số hữu tỉ 47 Cho a = 3−  a +1  a −1  − + a ÷ a − 48 Chứng minh :  ÷ = 4a (a > ; a ≠ 1) a − a + a     1 + + + < n − với n∈ N ; n ≥ 49 Chứng minh n − < n 45 CMR, ∀n ∈ Z+ , ta có : 50 Tìm phần nguyên số + + + + (có 100 dấu căn) 1 1 + + + + | a – b | ⇔ a2 + 2ab + b2 ≥ a2 – 2ab + b2 ⇔ 4ab > ⇔ ab > Vậy a b hai số dấu a) Xét hiệu : (a + 1)2 – 4a = a2 + 2a + – 4a = a2 – 2a + = (a – 1)2 ≥ b) Ta có : (a + 1) ≥ 4a ; (b + 1)2 ≥ 4b ; (c + 1)2 ≥ 4c bất đẳng thức có hai vế dương, nên : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)]2 ≥ 64abc = 64.1 = 82 Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 10 a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) Do (a – b)2 ≥ 0, nên (a + b) ≤ 2(a2 + b2) b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 Khai triển rút gọn, ta : 3(a2 + b2 + c2) Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)  2x − = − x ⇔ 11 a) 2x − = − x ⇔  2x − = x −  3x = x = ⇔   x =   x = b) x2 – 4x ≤ ⇔ (x – 2)2 ≤ 33 ⇔ | x – | ≤ ⇔ -3 ≤ x – ≤ ⇔ -1 ≤ x ≤ c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – ⇔ (2x – 1)2 ≤ Nhưng (2x – 1)2 ≥ 0, nên : 2x – = Vậy : x = ½ 12 Viết đẳng thức cho dạng : a2 + b2 + c2 + d2 – ab – ac – ad = (1) Nhân hai vế (1) với đưa dạng : a2 + (a – 2b)2 + (a – 2c)2 + (a – 2d)2 = (2) Do ta có : a = a – 2b = a – 2c = a – 2d = Suy : a = b = c = d = 13 2M = (a + b – 2) + (a – 1)2 + (b – 1)2 + 2.1998 ≥ 2.1998 ⇒ M ≥ 1998 a + b − =  Dấu “ = “ xảy có đồng thời : a − = Vậy M = 1998 ⇔ a = b = b − =  14 Giải tương tự 13 16 Ta có : Vậy : + 2 = > = k k k + k +1 ( ( k +1 − k k +1 + k )( ) k +1 − k ) =2 ( ) k +1 − k 1 + + + > 2( − 1) + 2( − 2) + 2( − 3) + + 2( n + − n ) = n = 2( n + − 1) (đpcm) 22 Đưa biểu thức dấu dạng bình phương M = -2 23 Trục thức mẫu hạng tử Kết : A = n - 24 Ta có : a − a +1 = −( a + a + 1) ⇒ P = −( + 2n + 1) P số hữu tỉ (chứng minh phản chứng) 1 = − ⇒ A= 10 (n + 1) n + n n + n n +1 1 1 + + + + > n = n 26 + n n 34 Ta phải có | A | ≤ Dễ thấy A > Ta xét biểu thức : B = = − − x Ta có : A 25 Ta chứng minh : ≤ − x2 ≤ ⇒ − ≤ − − x2 ≤ ⇒ − ≤ − − x2 ≤ = 2+ ⇔ B = − ⇔ = − x ⇔ x = Khi max A = 2− ⇔ max B = ⇔ − x = ⇔ x = ± Khi A = 2x − x + 35 Để áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta xét biểu thức : B = Khi : 1− x x  2x − x = (1) 2x − x  B≥2 = 2 B = 2 ⇔ 1 − x x 1− x x 0 < x < (2) Giải (1) : 2x2 = (1 – x)2 ⇔ | x | = | – x | Do < x < nên x = – x ⇔ = − +1 Như B = 2 ⇔ x = - 1   2x − x  − 2x − + x  + ÷−  + + = +1 = Bây ta xét hiệu : A − B =  ÷= x  1− x x 1− x x  1− x ⇔ x= Do A = 2 + x = - 36 a) Điều kiện : x ≥ , y ≥ Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm giảm tổng : a+b ≥ ab Ở ta muốn làm tăng tổng Ta dùng bất đẳng thức : a + b ≤ 2(a + b ) A = x − + y − ≤ 2(x − + y − 3) = x − = y −  x = 1,5 max A = ⇔  ⇔  x + y =  y = 2,5 Cách khác : Xét A2 dùng bất đẳng thức Cauchy b) Điều kiện : x ≥ , y ≥ Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm trội tích : Ta xem biểu thức x − , y − tích : x − = 1.(x − 1) , y − = x − 1.(x − 1) + x − 1 = ≤ = x x 2x y−2 2.(y − 2) + y − 2 = ≤ = = y y 2y 2 Theo bất đẳng thức Cauchy : a+b 2(y − 2) ab ≤ x − = x = 2 2+ + = ⇔  ⇔  4 y − = y = 1 ,b= 37 a = Ta thấy 1997 + 1996 < 1998 + 1997 1997 + 1996 1998 + 1997 max B = Nên a < b 38 a) A = - với x = max A = b) B = với x = ± max B = với x = ± với x = x + (1 − x ) 39 Xét – ≤ x ≤ A ≤ Xét ≤ x ≤ A = x (1 − x ) ≤ = 2 2 x = − x max A = ⇔  ⇔ x= 2 x > 2 40 A = | x – y | ≥ 0, A lớn chi A2 lớn Theo bđt Bunhiacôpxki :    1 A = (x − y) = 1.x − 2y ÷ ≤ 1 + ÷(x + 4y ) =    4 2   5  2y x=− x=    =−   5 max A = ⇔ x ⇔    x + 4y = y = y = −    10 10 41 a) Tìm giá trị lớn : Từ giả thiết :  x ≤ x 0 ≤ x ≤ ⇔  ⇔ x + y3 ≤ x + y =   y ≤ y 0 ≤ y ≤  x = x max A = ⇔  ⇔ x = 0, y = V x = 1, y = y = y  x+y ≤ Do : b) Tìm giá trị nhỏ : (x + y)2 ≤ 2(x2 + y2) = ⇒ x + y ≤ ⇒ x + y3 ) ( x + y ) ( 3 Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki : x +y ≥ 2 2 2   (x + y3 )(x + y) =  x + y   x + y  ≥ x x + y y = (x2 + y2) =     A = ⇔ x=y= 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 42 Đặt ) x = a ; y = b , ta có a, b ≥ 0, a + b = A = a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = a2 – ab + b2 = (a + b)2 – 3ab = – 3ab Do ab ≥ nên A ≤ max A = ⇔ a = b = ⇔ x = x = 1, y = (a + b) 1 1 Ta có ab ≤ = ⇒ ab ≤ ⇒ − 3ab ≥ A = ⇔ x = y = 4 4 4 43 Điều kiện : – x ≥ , – x ≥ nên x ≤ Ta có : − x + (x − 1)(x − 2) − x − x −1 =3 x−2 ⇔ − x + (x − 1)(x − 2) − (x − 1)(x − 2) = ⇔ − x = ⇔ x = −8 44 Ta có : + 4x + 2x2 = 2(x2 + 2x + 1) + = 2(x + 1)2 + > với x Vậy phương trình xác định với giá trị x Đặt x + 2x + = y ≥ 0, phương trình có dạng : y = y2 - y - 12 = ⇔ (y - )(y + 2 ) = ⇔   y = −2 (loai y ≥ x + 2x + = ⇔ x + 2x + = 18 ⇔ (x – 3)(x + 5) = ⇔ x = ; x = -5 1   1   1 = k = k − + − 45 Ta có : ÷= k  ÷ ÷ (k + 1)k (k + 1) k k +  k k +1   k k +1  k  k  1  1   − < 2 − = 1 + ÷ ÷ Do : ÷ k + k k + (k + 1) k k k +       1 1       + + + + < 1 − + 2 − + +  − Vậy : ÷ ÷ ÷ (n + 1) n 2 3 n +1    n    = 1 − ÷ < (đpcm) n +1   > 46 Dùng bất đẳng thức Cauchy (a, b > ; a ≠ 0) ab a + b 1 + + + 49 Đặt A = n a) Chứng minh A > n − : Làm giảm số hạng A : 2 = > = k +1 − k k k+ k k +1 + k Do A >  − + + − + + + − n + n +  =   = n +1 − = n +1 − 2 > n +1 − > n − Do ( ( ( ) ) ( ) ) ( ) b) Chứng minh A < n − : Làm trội số hạng A : ( ) 2 = < = k − k −1 k k+ k k + k −1 Do : A <  n − n − + + − + −  = n −   ( ) ( ) ( ) 50 Kí hiệu a = + + + + có n dấu Ta có : n a1 = < ; a = + a1 < + = ; a = + a < + = a100 = + a 99 < + = Hiển nhiên a100 > > Như < a100 < 3, [ a100 ] = 205 a) Cách (tính trực tiếp) : a2 = (2 + )2 = + Ta có = 48 nên < < ⇒ 13 < a2 < 14 Vậy [ a2 ] = 13 Cách (tính gián tiếp) : Đặt x = (2 + )2 x = + Xét biểu thức y = (2 - )2 y = - Suy x + y = 14 Dễ thấy < - < nên < (2- )2 < 1, tức < y < Do 13 < x < 14 Vậy [ x ] = 13 tức [ a2 ] = 13 b) Đáp số : [ a3 ] = 51 x + y = b (1) a b số hữu tỉ Xét hai trường hợp : x−y a a = ⇒ x − y = số hữu tỉ (2) Từ (1) (2) ta có : b x+ y b 206 Đặt x – y = a ; a) Nếu b ≠ 1 a 1 a x =  b + ÷ số hữu tỉ ; y =  b − ÷ số hữu tỉ 2 b 2 b b) Nếu b = x = y = 0, hiển nhiên x , y số hữu tỉ n   1   1 = = n − + − ÷= n  ÷ ÷= (n + 1) n n(n + 1) n +  n n +1   n n +1  n  n  1    = 1 + − − ÷ ÷<  ÷ Từ ta giải toán n +1  n n +1  n +1   n  51 Ta có 52 Chứng minh phản chứng Giả sử 25 số tự nhiên cho, hai số Không tính tổng quát, giả sử a1 < a2 < … < a25 Suy : a1 ≥ , a2 ≥ , … a25 ≥ 25 Thế : 1 1 1 + + + ≤ + + + a1 a2 a 25 25 (1) Ta lại có : 1 1 2 + + + + = + + + +1 < 25 24 25 + 25 24 + 24 2+ 2 2 < + + + + = 25 − 24 + 24 − 23 + + − + = 24 + 24 23 + 23 2+ ( =2 Từ (1) (2) suy : ( ) 25 − + = ) (2) 1 + + + < , trái với giả thiết Vậy tồn hai số a1 a2 a 25 25 số a1 , a2 , … , a25  ... ,b= 37 a = Ta thấy 199 7 + 199 6 < 199 8 + 199 7 199 7 + 199 6 199 8 + 199 7 max B = Nên a < b 38 a) A = - với x = max A = b) B = với x = ± max B = với x = ± với x = x + (1 − x ) 39 Xét – ≤ x ≤ A ≤ Xét... + 2x − = + 4x + 2x 1 1 + + + + < 2 (n + 1) n 1 1 + + + + 46 Cho A = Hãy so sánh A 1 ,99 9 1. 199 9 2. 199 8 3. 199 7 199 9.1 3+ − ; b = + 2 + − CMR : a, b số hữu tỉ 47 Cho a = 3−  a +1  a −1 ... + y − biết x + y = ; b) B = + x y 29 Chứng minh : n + − n < 37 Cho a = 199 7 − 199 6 ; b = 199 8 − 199 7 So sánh a với b, số lớn ? 38 Tìm GTNN, GTLN : a) A = 39 Tìm giá trị lớn 40 Tìm giá trị lớn