Bµi tËp n©ng cao h×nh häc Bài tập nâng cao chương I Bài 1: a) Tìm x y hình bên (a) (b) y x 25 x 10 b) Tìm x, y, z hình c (c) x z y Bài 2: µ = 40 , F$ = 580 Kẻ đường cao EI tam giác Cho tam giác DEF có ED = cm, D Hãy tính: a) Đường cao EI b) Cạnh EF µ = 90 , AB = 5, BC = Giải tam giác vuông ABC, biết A Hãy tính góc nhọn tam giác vuông, biết tỉ số hai cạnh góc vuông 13 : 21 Bài 3: Cho tam giác ABD vuông B, AB = cm, BD = cm Trên cạnh BD lấy điểm C cho BC = cm Từ D kẻ Dx // AB, cắt đường thẳng AC E a) Tính AD b) Tính góc BAD, BAC Từ kết đó, kết luận Ac tia phân giác góc BAD không ? c) Chứng minh tam giác ADE cân D d) Chứng minh AC tia phân giác góc BAD Bài 4: Cho hình vuông ABCD, cạnh AB = đơn vò độ dài Gọi I, J trung điểm AB, AD a) Tính diện tích hình cánh diều AICJ cách khác b) Tính sinICJ Bài 5: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) đường cao AH, AB = cm, CD = 12 cm, AD = 10 cm a) Tính AH b) Tính số đo góc ADC, suy số đo góc ABC 1 c) Tính AC Vì ta hệ thức AD2 + AC2 = AH2 ? µ = 580, AC = Bµi Cho h×nh thang ABCD vu«ng t¹i B vµ C, AC ⊥ AD BiÕt D a) TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh AD, BC b) Chøng minh AC2 = AB.DC µ = 600 Kẻ BH ⊥ AC CK ⊥ AB Bài 9: Cho ABC có A a) chứng minh KH = BC.CosA b) Trung điểm BC M Chứng minh MKH tam giác µ góc nhọn Chứng minh diện tích tam giác S= Bài Cho ABC có A µ = 600 AB.AC.sinA p dụng: a) Tính S(ABC) biết AB = cm, AC = cm A µ b) Biết S(ABC) = (cm2), AB = cm, AC = cm Tính số đo A µ , B, µ C µ theo thứ tự a, Bài 8: Cho ABC có góc nhọn, cạnh đối diện với góc A b, c Chứng minh: a b c = = sin A sin B sin C µ = 1200 Kẻ đường phân giác AD Bài 9: Tam giác ABC có AB = cm, AC = cm, A µ Tính độ dài AD A · < 900 ) Bài 10: Cho hình bình hành ABCD ( ACD · a) Chứng minh : AD2 = CD + CA - 2CD.CA.cos ACD · = tứ giác ABCD hình gì? Tính diện b) Nếu CD = cm, CA = cm, cos ACD tích tứ giác µ < 900 ) Kẻ BK ⊥ AC Bài 11: Cho tam giác cân ABC ( AB = AC; A µ = 2.KBC · a) Chứng minh : A A A b) Chứng minh : sin A = 2.sin cos , tính sinA µ = 900 ) Lấy điểm M cạnh AC Kẻ AH ⊥ BM, Bài 12: Cho tam giác vuông ABC ( B · = c) Biết sin KBC CK ⊥ BM · a) Chứng minh : CK = BH.tgBAC · MC BH.tg BAC = MA BK µ = 600 Kẻ BH ⊥ AC CK ⊥ AB Bài 13: Cho ABC có A b) Chứng minh : a) Chứng minh : KH = BC.cosA b) Trung điểm BC M Chứng minh MKH tam giác · = 450 Về phía ABC, vẽ hình Bài 14: Cho tam giác ABC có BC = a ACB vuông ABDE ACFG Giao điểm đường chéo hai hình vuông Q N Trung điểm BC EG M P a) Chứng minh AEC = ABG b) Chứng minh tứ giác MNPQ hình vuông · c) Biết BGC = a Tính diện tích hình vuông MNPQ theo a a Bài 15: Cho hình chữ nhật MNPQ có đỉnh nằm cạnh hình thoi ABCD ( M ∈ AB, N ∈ BC, P ∈ CD, Q ∈ DA ) Các cạnh hình chữ nhật song song với đường chéo · = 0, 75 hình thoi Biết AB = cm tgBAC a) Tính diện tích hình thoi ABCD b) Xác đònh vò trí điểm M cạnh AB cho diện tích hình chữ nhật MNPQ đạt giá trò lớn tính giá trò lớn Bài 16: Cho hình bình hành ABCD có đ.chéo AC lớn đ.chéo BD Kẻ CH ⊥ AD CK ⊥ AB a) Chứng minh CKH ~ BCA · b) Chứng minh HK = AC.sin BAD · c) Tính diện tích tứ giác AKCH biết BAD = 600 , AB = cm AD = cm µ = 900 ) Từ trung điểm E cạnh AC kẻ EF ⊥ BC Nối AF Bài 17: Cho ABC ( A BE a) Chứng minh AF = BE.cosC b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6 Tính diện tích tứ giác ABFE · c) AF BE cắt O Tính sin AOB Bài 18: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh cm Trung điểm AB BC theo thứ tự M N Nối CM DN cắt P a) Chứng minh CM ⊥ DN · b) Nối MN, tính tỉ số lượng giác góc CMN · c) Nối MD, tính tỉ số lượng giác góc MDN diện tích tam giác MDN · Bài 19: Cho hình chữ nhật ABCD; sin DAC = 0,8 ; AD = 42 mm, kẻ CE ⊥ BD DF ⊥ AC · a) AC cắt BD O, tính sin AOD b) Chứng minh tứ giác CEFD hình thang cân tính diện tích c) Kẻ AG ⊥ BD BH ⊥ AC, chứng minh tứ giác EFGH hình chữ nhật tính diện tích Bài 20: Cho đoạn thẳng MN = cm Vẽ đường tròn tâm M bán kính 3,6 cm Vẽ đường tròn tâm N bán kính 4,8 cm, chúng cắt A B a) Chứng minh : 1 = + 2 MB AM AN b) Tính số đo góc MAB µ = 900 ) Kẻ đường thẳng song song với cạnh BC cắt Bài 21: Cho tam giác vuông ABC ( A cạnh góc vuông AB AC M N Biết MB = 12 cm NC = cm, trung điểm MN BC E F a) Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng b) Trung điểm BN G Tính độ dài cạnh số đo góc EFG c) Chứng minh EFG ~ ABC Bài 22: Cho ABC, kẻ AH ⊥ BC, biết BH = cm, HC = 16 cm, tgC = 0,75 Trên AH lấy điểm O cho OH = cm a) Chứng minh ABC tam giác vuông b) Trên cạnh AB lấy điểm M, OB lấy điểm P OC lấy điểm N cho AM OP ON = = = Tính độ dài cạnh số đo góc MPN AB OB OC Bài tập nâng cao chương II 1- Đường tròn xác định đường tròn Bài 1: Cho hình thang cân ABCD (AD // BC); BC = CD = AD = a a) Chứng minh A, B, C, D nằm đường tròn Hãy xác đònh tâm O bán kính đường tròn b) Chứng minh AC ⊥ OB Bài Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi H trực tâm tam giác, N, P, Q trung điểm AH, AB, AC Chứng minh OPNQ hình bình hành Bài 3: Cho ABC, góc nhọn Vẽ đường tròn đường kính AB, vẽ đường tròn tâm O đường kính AC Đường thẳng OS cắt đường tròn (S) D E, cắt đường tròn (O) H K (các điểm xếp đặt theo thứ tự D, H, E, K) · a) Chứng minh BD, BE đường phân giác góc ABC ; CK, CH đường · phân giác góc ACB b) Chứng minh BDAE, AHCK hình chữ nhật Bài 4: Cho đường tròn (O) dường kính AB Vẽ bán kính OC vuông góc với AB O Lấy điểm M cung AC Hạ MH ⊥ OA Trên bán kính OM lấy điểm P cho OP = MH a) Tìm q tích điểm P M chạy cung AC b) Tìm q tích điểm P lấy bán kính OM cho OP khoảng cách từ M đến AB M chạy khắp đường tròn (O) Tính chất đối xứng đường tròn Bài 1: Cho hai đường tròn (O ; R) (O’; R) hai dây AB, CD theo thứ tự thuộc hai đường tròn cho B C nằm A D AB < 2R a) Chứng minh AD // OO’ b) Chứng minh AC = OO’ = BD c) Gọi I trung điểm AD, chứng tỏ điểm I nằm đường cố đònh dây AB, CD thay đổi vò trí cho AB, CD luôn B, C nằm A, D · = 600 Lấy điểm I cố đònh tia phân giác Ot góc xOy làm tâm Bài 7: Cho góc xOy vẽ đường tròn cho cắt Ox A, Oy B (A B không đối xứng qua Ot) Hạ ID ⊥ Ox, IE ⊥ Oy a) Chứng minh DA = EB b) Gọi T tâm đường tròn qua A, I, B Chứng minh TAI, TBI tam giác Xác đònh vò trí T cách nhanh c) Tìm q tích điểm T đường tròn tâm I có độ lớn bán kính thay đổi (nhưng cắt Ox, Oy) d) Tìm q tích điểm H, trực tâm AIB (theo điều kiện câu c) Bài 8: Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) đường cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy điểm K dựng hình chữ nhật AHKO Lấy O làm tâm, vẽ đường tròn bán kính OK, đường tròn cắt cạnh AB D, cắt cạnh AC E Gọi F giao điểm thứ hai đường tròn (O) với đường thẳng AB Chứng minh: a) AEF tam giác cân b) DO ⊥ OE c) D, A, O, E nằm đường tròn V ị trí t ương đối đường thẳng đường tròn – Tính chất tiếp tuyến - Tính chất hai tiếp tuyến cắt Bài 1: Cho hai đường tròn (O) (O’) Một tiếp tuyến chung MM’, tiếp tuyến chung NN’ (M, N nằm (O) ; M’, N’ nằm (O’)) Các đường thẳng MM’ , NN’ cắt tiếp điểm P dây MN, M’N’ cắt PO, PO’ tương ứng điểm Q, Q’ a) Chứng minh tam giác MPO, M’O’P đồng dạng, suy O 'Q ' PQ M 'O ' MP = M ' P MO b) Chứng minh Q ' P = QO c) Kéo dài MQ, M’Q’ cắt điểm I Chứng minh ba điểm O, I, O’ thẳng hàng · = 600 Một đường tròn tâm I bán kính R = cm, tiếp xúc với Ox A, Bài 9: Cho góc xOy tiếp xúc với Oy B Từ M thuộc cung nhỏ AB vẽ tiếp tuyến thứ ba, cắt Ox E, cắt Oy F a) Tính chu vi OEF Chứng tỏ chu vi có giá trò không đổi M chạy cung nhỏ AB · b) Chứng minh EIF có số đo không đổi M chạy cung nhỏ AB Bài 10: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R dây AC tạo với AB góc 30 Tiếp tuyến đường tròn C cắt đường thẳng AB D Chứng minh rằng: a) OAC ~ CAD b) DB.DA = DC2 = 3R2 Bài 11: Cho ABC vuông A, đường cao AH Đường tròn tâm I đường kính BH cắt AB E, đường tròn tâm J đường kính HC cắt AC F Chứng minh rằng: a) AH tiếp tuyến chung hai đường tròn (I) (J) H b) EF tiếp tuyến (I) E, tiếp tuyến (J) F Bài 12: Cho ABC cân A Đường cao AH BK cắt I Chứng minh: a) Đường tròn đường kính AI qua K b) HK tiếp tuyến đường tròn đường kính AI Bài 13: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Lấy điểm D bán kính OB Gọi H trung điểm AD Đường vuông góc H với AB cắt nửa đường tròn C Đường tròn tâm I đường kính DB cắt CB E a) Tứ giác ACED hình ? b) Chứng minh HCE cân H c) Chứng minh HE tiếp tuyến đường tròn tâm I Bài 14: Cho nửa đường tròn đường kính AB Từ A B vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn Lấy M điểm tùy ý nửa đường tròn, vẽ đường tiếp tuyến, cắt Ax C, cắt By D Gọi A’ giao điểm BM với Ax, B’ giao điểm BM với By Chứng minh rằng: a) A’AB ~ ABB’ , suy AA’.BB’ = AB2 b) CA = CA’ ; DB = DB’ c) Ba đường thẳng B’A’, DC, AB đồng qui Bài 15: Cho đường tròn tâm O, tiếp tuyến Ax điểm A đường tròn Trên Ax chọn hai điểm B, C tùy ý (C nằm A B) vẽ hai tiếp tuyến BD, CE với đường tròn cho · · a) Chứng minh: BOC = DAE b) Giả sử B, C hai phía điểm A, chứng minh trường hợp · · =1800 BOC + DAE V ị trí tương đối hai đường tròn Bài 1: Cho hai đường tròn (O ; cm) (O’ ; cm) cắt điểm phân biệt A B biết OO’ = cm Từ B vẽ đường kính BOC BO’D a) Chứng minh điểm C, A, D thẳng hàng; b) Chứng minh tam giác OBO’ tam giác vuông; c) Tính diện tích tam giác OBO’ CBD; d) Tính độ dài đoạn AB, CA, AD Bài 2: Hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc điểm A Đường thẳng OO’ cắt hai đường tròn (O) (O’) B C (khác điểm A) DE tiếp tuyến chung hai đường tròn, D ∈ (O) ; E ∈ (O’) Gọi M giao điểm hai đường thẳng · BD CE Chứng minh rằng: a) DME = 900 ; b) MA tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (O’); c) MD.MB = ME.MC Bài 4: Cho đường tròn (O ; R), đường tròn (O1 ; r1) tiếp xúc với (O ; R) đường tròn (O2 ; r2) vừa tiếp xúc với (O ; R) vừa tiếp xúc với (O1 ; r1) a) Tính chu vi tam giác OO1O2 theo R b) Dựng hai đường tròn (O1 ; r1) (O2 ; r2) biết R = cm ; r1 = cm Bài 5: Cho đường tròn (O ; R), đường thẳng d điểm A nằm d Dựng đường tròn tiếp xúc với (O ; R) đồng thời tiếp xúc với d A Bài 9: Cho hình bình hành ABCD (AB > AD) Lấy A làm tâm vẽ đường tròn bán kính AD, cắt AB E Lấy B làm tâm vẽ đường tròn bán kính BE, cắt tiếp đường thẳng DE F a) Chứng minh hai đường tròn (A ; AD) (B ; BE) tiếp xúc b) Chứng minh F, B, C thẳng hàng Bài 11: Cho hai đường tròn (O) (O’) bán kính 3R R tiếp xúc A Đường thẳng d1 qua A cắt (O) B, cắt (O’) B’ Đường thẳng d vuông góc với d1 A cắt (O) C, cắt (O’) C’ a) Chứng minh BC’, CB’ OO’ đồng qui điểm M cố đònh b) Chứng minh tiếp tuyến chung PP’ TT’ cắt M c) Gọi I chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC’ Tìm q tích điểm I d d2 thay đổi vò trí (vẫn qua A vuông góc với nhau) Bài 12: Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc A Góc vuông xAy quay xung quanh điểm A, Ax cắt (O) B, Ay cắt (O’) C a) Chứng minh OB // O’C b) Gọi C’ điểm đối xứng C qua O’ Chứng minh B, A, C’ thẳng hàng c) Qua O vẽ d ⊥ AB, cắt BC M Tìm q tích điểm M dây AB, AC thay đổi vò trí vuông góc với Ơn tập chương II Bµi 1: Cho ®êng trßn (O) vµ (O’) tiÕp xóc ngoµi t¹i A Gäi BC lµ tiÕp tun chung ngoµi cđa (O) vµ (O’); B, C lµ hai tiÕp ®iĨm TiÕp tun chung cđa hai ®trßn t¹i A c¾t BC t¹i M a) Chøng minh r»ng A, B, C thc ®êng trßn ( M ; BC/2 ) b) §êng th¼ng OO’ cã vÞ trÝ g× ®èi víi ®êng trßn ( M ; BC/2 ) c) X¸c ®Þnh t©m cđa ®êng trßn ®i qua ®iĨm O, O’, M d) Chøng minh r»ng BC lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ®i qua ®iĨm O, O’, M Bµi 2: Cho ®o¹n th¼ng AB vµ trung ®iĨm O cđa AB Trªn mét nưa mỈt ph¼ng bê AB kỴ hai tia Ax, By vu«ng gãc víi AB Mét gãc vu«ng cã ®Ønh lµ O cã hai c¹nh c¾t Ax vµ By t¹i C vµ D Gäi C’ lµ giao ®iĨm cđa tia CO víi tia ®èi cđa tia By Chøng minh: a) Tam gi¸c CDC’ lµ tam gi¸c c©n b) §êng th¼ng CD lµ tiÕp tun cđa ®êng trßn ®êng kÝnh AB c) §êng trßn ngo¹i tiÕp COD lu«n tiÕp xóc víi mét ®êng th¼ng cè ®Þnh gãc vu«ng t¹i O thay ®ỉi Bµi 3: Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) ngoµi C¸c tiÕp tun chung ngoµi MN, PQ ( M,P n»m trªn (O); N, Q n»m trªn (O’) ) a) CMR: MN ®èi xøng víi PQ qua ®êng th¼ng OO’ b) CMR: ®iĨm M, N, P, Q n»m trªn mét ®êng trßn c) Nèi MQ c¾t (O), (O’) t¬ng øng t¹i c¸c ®iĨm thø hai A, B Chøng minh MA = QB Bµi 4: Cho ®êng trßn (O) vµ tiÕp tun xy t¹i tiÕp ®iĨm C n»m trªn (O) a) CMR nÕu d©y AB song song víi xy th× CA = CB b) CMR nÕu mét ®êng th¼ng d song song víi xy ®ång thêi tiÕp xóc víi (O) t¹i mét ®iĨm D th× ®iĨm C, O, D th¼ng hµng c) Cho hai ®êng th¼ng song song d1 , d2 c¸ch mét kho¶ng b»ng cm, mét ®iĨm M n»m gi÷a hai ®êng th¼ng d1 , d2 vµ c¸ch d1 mét kho¶ng b»ng cm H·y dùng mét ®êng trßn ®i qua M vµ tiÕp xóc d1 , d2 Bµi 5: Cho ®êng trßn (O) vµ (O’) tiÕp xóc víi t¹i A Qua A kỴ ®êng th¼ng a c¾t (O) t¹i C, c¾t (O’) t¹i C’ vµ ®êng th¼ng b c¾t (O) t¹i B, c¾t (O’) t¹i B’ Chøng minh BC // B’C’ §2 Tính chất đối xứng Hướng dẫn giải x Bài 2: a) Ta chứng minh AA’ = BB’; suy AD = BE · = 60 nên dễ dàng chứng minh b) Vì xOy · · AIB = DIE = 120 A' A O t D I B' Ta chứng minh ATI = BTI E B y T · · Nên ATI = BTI = 60 Suy tam giác Lấy A (hoặc B) làm tâm vẽ cung tròn (A ; AI) cắt cung nhỏ AB T, tâm đường tròn qua A, I, B c) Ta chứng minh đường tròn tâm T bán kính TI qua O Thật vậy, giả sử (T) cắt IO O’ cắt O’T T’ · ' = 2IO · ' T ' Nhưng BTT · · T ' Suy ITB · · ' B , IO · ' B = 30 Ta có ITT ' = 2BO' = 2IO · ' B IOB · · Ta có IOB có góc = 300 Nếu O’B OB hai đường thẳng phân biệt IO vò trí góc góc góc BOO’, chúng Do BO BO’ trùng nhau, O’ trùng với O PHẦN THUẬN: Ta có TI = TO ⇒ T thuộc trung trực OI cố đònh Để đường tròn · · ; TOy tâm T cắt tia Ox, Oy TOx góc nhọn Do T nằm miền góc ·uOv xác đònh Ou ⊥ Ox, Ov ⊥ Oy Do T thuộc đoạn thẳng T1T2 vừa thuộc trung trực OI, vừa thuộc miền góc uOx (để A, B phân biệt) PHẦN ĐẢO: Lấy T’ thuộc đoạn T1T2 vẽ đường tròn bán kính TI, cắt Ox A’, cắt Oy B, ta phải chứng minh đường tròn (I ; IA’) qua B (Chứng minh IDA’ = IEB’ ⇒ IA’ = IB’) KẾT LUẬN: Q tích T đoạn thẳng T1T2, không kể T1, T2 d) AIBT hình thoi nên trực tâm H AIB nằm đường thẳng TI, Bz ⊥ AI, ta chứng minh Bz ⊥ BT Ta chứng minh H thuộc (I) H đối xứng với T qua I Q tích trực tâm H đoạn thẳng H1H2 đối xứng T1T2 qua I không kể H1, H2 F Bài A D B O I H E C K a) Ta c/m AO phân giác góc FAE nên AO trục đối xứng góc FAE AO đường thẳng chứa đường kính (O) nên AO trục đối xứng đường tròn (O) F giao điểm AB với (O) Hình đối xứng F giao điểm AC với (O), điểm E F E đối xứng qua AO Vậy AEF tam giác cân · · · · = 2DFO , EOI = 2EFO b) Ta c/m được: DOI · · Suy DOE = 2DFE = 90 hay DO ⊥ OE c) Lấy I trung điểm DE, ta có ID = IA = IE = IO Vậy D, A, O, E nằm đường tròn tâm I bán kính DE/2 Bài 4: B A C D D' O B' Ta có C D đối xứng qua O Lấy B’ đối xứng A qua O B’ cố đònh CA có hình đối xứng qua O Là DB’ nên CA = DB’, DB = DB’ Suy D nằm trung trực d BB’… §3 Vò trí tương đối đường thẳng đường tròn – Tiếp tuyến O Bài 9: a) EM = EA ; FM = FB Suy OE + EF + OF = OA + OB · OIB có IOB = 300 ; ta tính OB = R ; đó: OE + EF + OF = 2R Giá trò 2R không phụ thuộc vào vò trí điểm M F E M A B 1· 1· · · · = 120 ; EIM = AIM ; MIF = MIB b) Ta tính AIB 2 I 1· · · · = AIB hay EIF = 60 Vậy EIF Suy EIF có số đo không đổi M chạy cung nhỏ AB Bài 10: C 30 A 30 O B 30 D · = 30 a) Tính số đo góc, ta CAO · · · = 30 (chung); ACO = ADC = 30 Hai tam giác OAC CAD có CAO Vậy OAC ~ CAD · = 30 (có nhiều cách chứng minh), b) Tam giác COB tam giác đều, OCA · CBD = 120 Dễõ dàng chứng minh OAC ~ BCD Suy BD = R DCB ~ DAC ⇒ Vậy DA.DB = DC2 = 3R2 Bài 11: DC DB = Do DA.DB = DC2 mà DB = R , DA = 3R DA DC A P F E B I H J C a) Gọi I trung điểm BH I tâm đường tròn đường kính BH Gọi J trung điểm HC J tâm đường tròn đường kính BH Ta có IH ⊥ AH suy AH tiếp tuyến đường tròn đường kính HC Vậy AH tiếp tuyến chung hai đường tròn (I), (J) b) Chứng minh không khó khăn AFHE hình chữ nhật Gọi P giao điểm AH EF Ta có PE = PF = PH = PA · · Chứng minh PEI ~ PHI (c.c.c), suy IEP = IHP = 90 Vậy EF tiếp tuyến đường tròn (I) · = PHJ · Chứng minh PFJ ~ PHJ (c.c.c), suy PFJ = 90 Vậy EF tiếp tuyếAn đường tròn (J) Bài 12: O I B K C H a) Gọi O trung điểm AI ta có OA = OI = OK Vậy đường tròn tâm O đường kính AI qua K · · = OAK b) Ta có AOK cân ⇒ AKO (góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc) · · Ta lại có HK = HB nên HBK Từ ta c/m OK ⊥ HK = HKB C Vậy HK tiếp tuyến đường tròn O E Bài 13: A B a) ACED hình thang vuông H O D I b) Đặt AB = 2R, AD = 2x, DB = 2y HA = HD = x Ta có hệ thức sau: x + y =R hay HI = R OH = OA – AH = (x + y) – x = y hay OH = y · · Hai tam giác OHC IEH có: OH = IE = y ; OC = IH = R ; COH (đv) = HIE Suy OHC = IEH (c.g.c) Do HC = EH hay HCE tam giác cân H µ =E µ = 90 , tức HE ⊥ IE Vậy HE tiếp tuyến đường c) Do OHC = IEH nên H B' tròn tâm I x Bài 14: a) Tự giải D A' b) CA = CM (hai tiếp tuyến cắt C) M Lấy I trung điểm AM, CI đường trung bình AA’M C I Vậy CA = CA’ Tương tự DB = DB’ B K A O AC DB c) Ta có AA’ // BB’ Lại có CA ' = DB' = Vậy B’A’, DC, AB đồng qui Bài 15: a) CO ⊥ AE P, BO ⊥ AD Q Gọi I giao điểm OP AQ µ = 900 ; PIA · · = QIO Hai tam giác PAI QOI có: P$ = Q · · Suy BOC = DAE C A 0 $ µ $ µ b) Tứ giác AQOP’ có P = Q = 90 hay P + Q = 180 C P' 0 · · mà tổng góc tứ giác lồi 360 , suy BOC' + DAE ' = 180 E' B E I Q D O §4 Vò trí tương đối hai đường tròn D C Bài 8: A a) AOBO’ hình thoi (AO = OB = BO’ = O’A) nên AB OO’ O' cắt I, trung điểm chung AB OO’ D’ đối xứng O I D qua O nên D’ thuộc O’ B OCO’D’ hình bình hành (OC // O’D’ ; OC = O’D’) D' AB CD’ cắt trung điểm đoạn Nhưng trung điểm AB I, nên CD’ qua I Vậy AB, OO’, CD’ cắt I, trung điểm đoạn thẳng b) Tứ giác OCDO’ hình bình hành nên OO’ // CD Vì BA ⊥ OO’ nên BA ⊥ CD Tứ giác ACBD’ có IA = IB, IC = ID nên ACBD’ hình bình hành AD’ // CB Vì DA ⊥ AD’ (DD’ đường kính) suy DA ⊥ CB Vậy A trực tâm BCD Bài 9: a) B, A, E thẳng hàng, suy hai đường tròn (A ; DA), (B ; BE) tiếp xúc E F · · · · b) Ta c/m ADF = AED = FEB = DFB · · ADF = DFB ⇒ BF // AD (*) E A B Vì ABCD hình bình hành BC // AD (**) Từ (*) (**) ta suy C, B, F thẳng hàng I' Bài 10: D C Tâm đường tròn tiếp xúc với (O) A nằm đường thẳng OA O A Giả sử đường tròn (I) thỏa mãn yêu cầu đề bài, tiếp xúc với I D B Tại A vẽ tiếp tuyến chung cắt d P, PB = PA Từ ta suy cách dựng B' P B Bài 11: d1 · ' BA = BAC · P B = 90 ⇒ A’B // AC a) A I' · 'B = O · ' AC' OA Ta có · · · ' B) OBA ' = O'C' A = (OA A' Do OA’B ~ O’AC’ Ta có BOC đường kính đường tròn (O), B’O’C’ đường kính đường tròn (O’) O'C' O ' B' P' I O C' A C T I'' M O' B' T' d2 Ta có BC // B’C’ OB = OC = nên OO’ , BC’ , B’C đồng qui M MO ' O'C Ta lại có MO = OB = Suy M điểm cố đònh M1P MO ' b) Giả sử PP’ cắt OO’ M1, ta chứng minh MP = MO = Suy M1 trùng với M · = 90 (A, I cố đònh), đồng thời I không miền góc PMT c) Phần thuận: AIM Do I nằm cung tròn đường kính AM, giới hạn hai tiếp tuyến MP, MT, cung I1I2 (khi B vò trí P C’ vò trí P’) Phần đảo: Lấy I’ cung I1I2 Đường thẳng MI’ cắt (O) B1, cắt (O’) C’1, ta phải · AC' = 1v AI’ ⊥ B C* (có thể sử dụng đònh lí đảo đònh lí Thales) chứng minh B 1 1 Kết luận: Q tích điểm I cung I»1I C 0 µ µ µ µ µ µ µ E Bài 13: Ta tính B + C = 2A ; A + B + C = 180 suy A = 60 F I Ta tính BC = R Gọi I tâm đường tròn nội tiếp, O B Gọi D, E, F tiếp điểm (I) với AB, BC, CD D A · · Trong tam giác IAD vuông D ta thấy IAD = IAF = 300 , ID = IF = r, AD = AF = r Ta có: SABC = p.r = (AB + BC + CA).r = (AD + AF + DB + CF + CE + EB).r Trong DB+CF = BE + EC = R Thay giá trò biết thu gọn ta C SABC = r.(R + r) Bài 14: Ta chứng minh 1 DE = DF = R ; SACD = b.R ; SBCD = a.R ; SABC = a.b.sin α 2 ab.sin α 180 − α · · R = EDC = FDC = Ta rút Ta tính a+ b Gọi M, N giao điểm tiếp tuyến chung K với AC BC 180 − α · KDN = Ta chứng minh CMN cân C nên: α  ab α   · MK = KN = R.tg  450 − ÷ = tg  450 − ÷.sin α Do OK = r = KN.tgKNO ,  a+b  4  180 − α α ab α  · KNO = = 450 − Suy r = sin α tg  450 − ÷ 4 a+b 4  M E A N K D F B [...]...M1P MO ' 1 b) Giả sử PP’ cắt OO’ tại M1, ta chứng minh được MP = MO = 3 Suy ra M1 trùng với M · = 90 0 (A, I cố đònh), đồng thời I không ở miền ngoài của góc PMT c) Phần thuận: AIM Do đó I nằm trên cung tròn đường kính AM, giới hạn bởi hai tiếp tuyến MP, MT, đó là cung I1I2 (khi B ở vò trí P thì C’ ... a b c = = sin A sin B sin C µ = 1200 Kẻ đường phân giác AD Bài 9: Tam giác ABC có AB = cm, AC = cm, A µ Tính độ dài AD A · < 90 0 ) Bài 10: Cho hình bình hành ABCD ( ACD · a) Chứng minh : AD2... cos ACD tích tứ giác µ < 90 0 ) Kẻ BK ⊥ AC Bài 11: Cho tam giác cân ABC ( AB = AC; A µ = 2.KBC · a) Chứng minh : A A A b) Chứng minh : sin A = 2.sin cos , tính sinA µ = 90 0 ) Lấy điểm M cạnh AC... nhỏ AB Bài 10: C 30 A 30 O B 30 D · = 30 a) Tính số đo góc, ta CAO · · · = 30 (chung); ACO = ADC = 30 Hai tam giác OAC CAD có CAO Vậy OAC ~ CAD · = 30 (có nhiều cách chứng minh), b) Tam giác